2.1.3超几何分布
课时作业2：2.1.3 超几何分布
2.1.3超几何分布一、基础达标1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A.C34C248C552 B.C348C24C552C．1－C148C44C552 D.C34C248＋C44C148C552答案 D解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C34C248C552＋C44C148C552.2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A.150 B.125 C.1825 D.14 950答案 C解析记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝C24C096C2100＝1825.3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)答案 B解析本题相当于至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．4．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为( )A ．2本B ．3本C ．4本D ．5本 答案 C解析 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k 7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－mC 27＝12×(7－m )(6－m )21＋m (7－m )21＝57.∴m 2－m －12＝0， 解得m ＝4或m ＝－3. 即7本书中语文课本有4本．5．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为________． 答案 23解析 设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为N ＝10，M ＝6，n ＝3的超几何分布，且P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)故所求概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 26C 14C 310＋C 36C 04C 310＝60120＋20120＝23.6．某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m＋2n＝1.2，则m－n2的值为________.答案0.2解析由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，可得m－n2＝0.2.7．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．解(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝k)＝C k6C3－k4C310(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的分布列为(2)1 2＋16＝23.二、能力提升8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是() A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多有一件一等品答案 D解析P(都不是一等品)＝C22C25＝110，P(恰有一件一等品)＝C13·C12C25＝610，P(至少有一件一等品)＝1－110＝910，P(至多有一件一等品)＝1－C23C25＝710.9．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于()A.310 B.710 C.2140 D.740答案 D解析“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X＝3)＝A27C13A310＝7×6×310×9×8＝740，选D.10．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为____________(用式子表示)．答案C13C397＋C497C4100解析二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台．11．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率．解(1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C34C36＝15；P(X＝1)＝C24C12C36＝35；P(X＝2)＝C14C22C36＝15.∴X的分布列为(2)设“P(C)＝C34C36＝15.∴所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－15＝45.12．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．解由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C04C39＝542，P(X＝4)＝C25C14C39＝1021，P(X＝5)＝C15C24C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为13．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝2 3.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量X的概率分布列为(3)“则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.。
2.1.3超几何分布
回顾复习
1. 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么
这样的变量叫做随机变量． 2.离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序 一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列的性质：
(1) P( xi ) pi (i 1, 2,..., n);(2)0 pi 1(i 1, 2,..., n); (3) p1 p2 ... pn 1;(4)离散型随机变量在某一范围内
取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和。
例：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X的分布源自； （2）至少取到1件次品的概率.
解：（1）从100件产品中任取3件结果数为C100 ,
3
从100件产品中任取3件，其中恰有K件次品的结果为 k 3 C 5 C 95 k 那么从100件产品中任取3件， 其中恰 k 3 C5 C95k 好有K件次品的概率为 p( X k ) , k 0,1, 2, 3 3 C100
一个口袋中装有10个红球和个20白球，这些球除颜 色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到3个 红球就中奖。求中奖的概率。
例3：袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，
设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从 袋中随机摸4个球，求所得分数X的概率分布列。
练习
从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列．
X
0
3 C50C95 3 C100
1 5
1
CC 3 C100
2 95
2 5
2
CC 3 C100
1 95
2.1.3超几何分布ppt
3
1 20
4
3 20
5
3 10
6
1 2
P
引例： 某校组织了一次认识大自然夏令
营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、 4名女生，为了活动的需要，要从这10名同 学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那 么其中恰有1名女生的概率有多大？ （1） 从10名同学中随机抽取3名同学；共 采集标本的同学都是女生的概率有多大？ 3 有 C10 120 种不同的方法. 3 0 恰有3名女生的基本事件个数为 1 2 C C 4个 4 6 （2）其中恰有1名女生有 C4C6 60 种方法. 恰有1名女生的概率为： 因此恰有 3名女生的概率为： 13 20 C 60 C44C C 4 11 66 (" 恰有 1 名女生") . . PP (" 恰有 3 名女生 33 C 120 C 120 230 10 10
3、0.6778
注：此类取球问题可以作为超几何分布的模型。
16
【范例讲解】 例 4. 现有 10 张相同的卡片，其中有 5 张上印有“奖”字。游戏 者从中任抽 5 张，抽到 2 张或 2 张以上印有“奖”字的卡片 就可获得一份精美小礼品，如果抽到 5 张印有“奖”字的卡 片就可另外获得一套丛书， ⑴某人获得精美小礼品的概率是多少？ ⑵他能获得一套丛书的概率是多少？ 解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。
X 1, 2,3, 4,5 分布列如下：
X k
1 2
3 C82C4 5 C12
3
4
5
5 0 C8 C4 5 C12
1 4 P( X k ) C8 C4 5 C12
3 2 1 C8 C4 C84C4 5 5 C12 C12
2.1.3超几何分布
• P(X=xi)=pi,i=1,2, …,n • 则称为随机变量X 的分布列，简称为X的
分布列，也可以用表格表示
X
x1
x2
…
xn
P
P1,
p2
…
pn
此表叫概率分布表，它和分布列都 叫做概率分布。
Pi的性质 • Pi≥0(i=1,2,…,n) • P1+p2+ …+pn=1
4
5.二点分布：如果随机 变量 X 的分布列为：
X 10 P pq
5
引入： 一批零件共 100 件，其中有 5
件次品.现在从中任取 10 件进行检 查，求取出次品件数的分布列.
6
在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,求 取到的次品数 X 的分布.
解:∵ X 的可能取值为 0,1,2,3.
1
一、复习引入：
• 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一 个变量来表示，那么这样的变量叫做随机 变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
• 2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限 个数值 或可列无穷多个数值 则称 为离散随 机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形.
2
概率分布列
设其中有 个红球，求 的分布列.
解：设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超 几何分布,其中 N 5, M 3, n 2 ,
∴ X 的可能取值为 0,1,2.
∴
P(X
k)
C3k C22 k C52
(k
0,1, 2)
∴随机变量 X 的分布列是
教学设计6: 2.1.3 超几何分布
2.1.3 超几何分布一、教学目标：1、通过实例，理解超几何分布及其特点；2、掌握超几何分布列及其导出过程；3、通过对实例的分析，会进行简单的应用. 二、教学重难点：重点：超几何分布的理解；分布列的推导 难点：具体应用三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程 （一）复习引入1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.2.离散型随机变量: 随机变量 ξ只能取有限个数值x 1，x 2，…，x n 或可列无穷多个数值 x 1，x 2，…，x n ,则称 ξ为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 ξ取有限个数值的 情形.3.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξ x 1 x 2 … x i … PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.4.分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概 率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性 质：(1)P i ≥0，i ＝1，2，...； (2)P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ（二）探析新课1、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：2、超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X =m则C C ()C --==m M mn N nMNP X m .此时我们称随机变量X 服从超几何分布1）超几何分布的模型是 不放回抽样2）超几何分布中的参数是M ,N ,n . （三）知识方法应用考点1利用超几何分布公式求概率[例1] 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的 个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．[解] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－420C 530＝70023751≈0.0295， 所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．变式训练1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概 率是( )A.2845 B.1645 C.1145D.1745【解析】由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.【答案】B考点2超几何分布的分布列X 1 0 Pp1-p[例2] 从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[解] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156. 从而随机变量X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )52815281556156所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝57.[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决． 变式2．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112， 故X 的分布列为X 1 2 3 P17424384112当堂检测1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( )A.12 B.13 C.14D.15【解析】设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.【答案】B2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)【解析】6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.【答案】B3．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为 ________．【解析】至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 【答案】8154．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．【解析】由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.【答案】37425．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为X ＝k 0 1 P (X ＝k )3525(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为Y ＝k 0 10 20 50 60 P (Y ＝k )1325115215115。
2.1.3《离散型随机变量及其分布列-超几何分布》课件
称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机 变量 X 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n
例 4.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一 个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜色 外完全相同.游戏者一次从中摸出 5 个球.至少摸到 3 个红球就中奖，求中奖的概率.
解：设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超几何分 布,其中 N 30, M 10, n 5,于是由超几何分布
模型得中奖的概率
P( X ≥ 3) P( X 3) P( X 4) P( X 5)
C130C220 C350
C140C210 C350
C150C200 C350
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称 X服从两点分布，而称P(X=1)=p为成功概率。
例2、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球 除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到
黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列。
解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1
超几何分布:
一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任
取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件X k 发
生的概率为
P(X
k)
C C k nk M NM C Nn
(k
0,1, 2,
, m)
其中 m minM, n,且 n≤ N , M ≤ N ,n, M, N N* .
解:（1）∵ X 的可能取值为 0,1,2,3.
又∵
P(X
2.1.3超几何分布
M
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.20573 0.40523 0.28604 0.08990 0.01249 0.00061
2. 以随机方式自五男三女的小群体 中选出五人组成一个委员会，求 该委员会中女性委员人数的概率 分布.
解：由题意可知：N=8，K=3，NK=5，n=5，代入公式得到 概率分布为
解：
根据公式 ①算出其相应的概率依 次为
CC P (X=0) = C
5
0
10
100-5 10 100
0.58375
P (X=1) =
CC C
5
1
10-1
100-5 10 100
0.33939
CC P (X=2) = C
5
2
10-2
100-5 10 100
0.07022 0.00638 0.00025
分析：
依题意，设随机变量X表示摸出红 球的个数，则X服从参数为N=30， M=10，n=5的超几何分布. X可能的取值为0，1，2，3，4，5.
解：
由题目可知，要求摸到4个红球 的概率，根据公式 ① 可得摸到4个 红球的概率为
CC P (X=4) = C
10 5
பைடு நூலகம்
4
5-4 30-10
30
4200 = 142506
CC C
M n
N-M
①
N
注意
上面公式成立的条件为：
0 m l, l min(n, M ).
如某问题满足如上定义
这时可称离散型随机变量X的 这种形式的概率分布为超几何分布 也称X服从参数为N,M,n的超几何分布.
20-21版：2.1.3 超几何分布（创新设计）
2.1.3 超几何分布
30
跟踪演练3 有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任
一房间，且进住各房间是等可能的，试求下列各事件的概率.
(1)事件A：指定的4个房间中各有1人；
解 因为每个人有6个房间可供选择，所以4个人住的方式共
有64种； 指定 4 个房间，且每个房间有 1 人，因而总共有 A44种分配方
值10元的奖品；其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
解 抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只
有0和1两种情况.
2.1.3 超几何分布
9
P(X＝1)＝CC11140＝140＝25， 则 P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35. 因此X的分布列为
X
0
1
P
3 5
2 5
2.1.3 超几何分布
10
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列. 解 ①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有 1张中奖或2张都中奖. 故所求概率 P＝C14C61C＋210C24C60＝3405＝23.
2.1.3 超几何分布
32
(3)事件C：指定的某个房间中有两人；
解
指定的某个房间有两人的住法有C
2 4
种，其余两人
中每人都有5种选择，
则共有5×5种住法， 则 P(C)＝C24×654×5＝22156.
2.1.3 超几何分布
33
(4)事件D：一号房间有1人，二号房间有三人. 解 一号房间有 1 人住的方法有 C14种，剩余 3 人住二
2.1.3 超几何分布
三段式学案1 ：2.1.3超几何分布
超几何分布一、学习目标：1、通过实例，理解超几何分布及其特点；2、掌握超几何分布列及其导出过程；3、通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、学习重难点：重点：超几何分布的理解；分布列的推导。
难点：具体应用。
三、学习方法：讨论交流，探析归纳 四、学习过程 （一）、复习引入：分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξ x 1 x 2 … x i … PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1． （二）、探析新课：1、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：2、超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m则()m M m n N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n （三）、知识方法应用N M n X 1 0 Pp1-p例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.例3、4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数.（1）求ξ的分布列；（2）求所选三人中女生人数1≤ξ的概率.例4、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.例5、某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列.分析：对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．（四）课堂练习：1、从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取2个球，则其中有一个红球的概率是 （ ）A 0.1B 0.3C 0.6D 0.22、一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽的1件次品的概率是（ ） A 0.078 B 0.78 C 0.0078 D 0.0783、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.4、从装有3个红球，2个白球的袋中随机 取出2个球，设其中有ξ个红球，则ξ的分 布列是______.（五）、你的收获：答案（三）、知识方法应用例1．【解析】由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈ 例2. 【解析】由题意X 0 1 2 3 4 5 P0．583750.339390.070220.006380.000250.00001例3. 【解析】 (1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选的3人中女生随机变量X ＝0,1,2，其概率P (X ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2，故X 的分布列为：X 0 1 2 P153515(2)由(1)可得“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为 P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝15＋35＝45.例4．【解析】例5．例5．【解析】 依题意，随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 6C 4－k 4C 410(k ＝0,1,2,3,4)．∴P (X ＝0)＝C 06C 44C 410＝1210，P (X ＝1)＝C 16C 34C 410＝435，P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 36C 14C 410＝821，P (X ＝4)＝C 46C 04C 410＝114，∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P121043537821114（四）课堂练习： 1．【答案】 C 2．【答案】 A2 6 10P4528 4516 45153．【答案】94．【答案】0 1 2P0.1 0.6 0.3。
2、1、3超几何分布
CC CC CC 501 0.167 C C C 3003
3 2 5 10 5 15
4 1 5 10 5 15
5 0 5 10 5 15
题型训练二：求超几何分布的分布列
例2、从5名男生3名女生中任选3人参加某运动会火炬接 力活动，若随机变量X 表示所选3人中女生的人数， 求X的分布列及p(X<2)的值.
设摸出的红球的个数为 X k n k CM CN M 则 P( X k ) (k 0,1, 2 , m), m min M , n n CN
C
思考题1 学案例5
还是超几何分布问题吗？
一盒中放有大小相同的红色、禄色和黄色三种小球， 已知红球个数是禄球个数的两倍，黄球个数是禄球个 数的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球 的1分，取出黄球得0分，取出禄球得-1分，试写出从 该盒中取出一球所得分数 的分布列
求概率从而列出随机变量X的分布列.
再见
什么是超几何分布? 先思考一个例子 : 思考 1.在含有 5 件次品的 100 件产品中 ,任取 3 件,求取到的次品数 X 的分布列 .
解 :∵ X 的可能取值为 0,1,2,3. k 3 k C5 C95 又∵ P ( X k ) (k 0,1, 2, 3) 3 C100 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 0 3 1 2 2 1 3 0 P C5 C5 C95 C 95 C5 C 95 C5 C 95 3 3 3 3 C100 C100 C100 C100
分布列为：
X
0 1 2
28 57 8 19 8 95
3
1 285
P
多做练习: 1.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球， 设其中有 个红球，求 的分布列.
课件5：2.1.3 超几何分布
【提示】 这意味着 2 个骰子中至少有一个是不合格骰 子，其中有 1 个不合格骰子的概率是 P1＝CC12C24 12＝23，有 2 个 不合格骰子的概率是 P2＝CC2224＝16，所以此现象发生的可能性 为23＋16＝56.
设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所 有物品中任取 n 件(n≤N)，这 n 件中所含这类物品件数 X 是 一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为 P(X＝m)＝ CmMCCnNnN－－mM(0≤m≤l，_l为__n_和__M__中_较__小__的__一__个___)，则称离散型随 机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 X 服从 参数为 N，M，n 的超几何分布．
P(X＝60)＝CC11012C00115＝313， P(X＝100)＝C51CC71012＋00 C210＝97990， P(X＝110)＝CC15C2100115＝91950＝616， P(X＝150)＝CC51C1200110＝919， P(X＝200)＝CC120520＝9920＝4915，
类型1 超几何分布的简单应用
例 1.10 件产品中有 2 件次品，任取 2 件进行检验，求下 列事件的概率：
(1)至少有 1 件次品； (2)至多有 1 件次品． 【思路探究】 本题是超几何分布问题，可利用公式求 解．
解 (1)“至少有 1 件次品”的对立事件是“2 件都是正品”． “2 件都是正品”的概率为CC12820＝2485， 所以“至少有 1 件次品”的概率为 1－2485＝1475. (2)“至多有 1 件次品”的对立事件为“2 件都是次品”． “2 件都是次品”的概率为CC12220＝415， 所以“至多有 1 件次品”的概率为 1－415＝4445.
课件9：2.1.3 超几何分布
P(X＝2)＝CC26C41042＝73，
P(X＝3)＝CC36C41041＝281， P(X＝4)＝CC46C41040＝114，
∴X 的分布列为
X0 123 4
P
1 210
4 35
3 7
8 21
1 14
(2)方法一 直接法 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝37＋281＋114＝3472. 方法二 间接法 由分布列的性质，得 P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)] ＝1－2110＋345＝3472.
答案
X1 0 P 0.8 0.2
4．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取 到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为
13 随机变量 ξ，则 P(ξ≤6)＝___3_5____.
解析 P(ξ≤6)＝P(取到 1 只黑球 3 只红球)＋P(取到 4 只红 球)＝CC34C47 13＋CC4447＝1335.
CmMCnN－－mM CnN
(0≤m≤l，
l 为 n 和 M 中较小的一个)，则称离散型随机变量 X 的
这种形式的概率分布为超几何分布，也称 X 服从参数为
N，M，n 的超几何分布.
问题探究 探究点一 超几何分布 问题 超几何分布适合解决什么样的概率问题？ 答 一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物 A(M 个)， B(N－M 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A 符合即可断定是 超几何分布．按照超几何分布的分布列 P(X＝k)＝CMk CCnNnN－－kM， k＝0,1,2，…，m，m＝min{M，n}，进行处理即可．
跟踪训练 2 交 5 元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有 同样大小的球 10 个，其中 8 个标有 1 元钱，2 个标有 5 元钱，摸奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
《2.1.3 超几何分布》PPT课件(北京市县级优课)
P
X m
C2mC43m C63
N 一类有M件
n
P X m
CM m
C
nm N M
CNn
二、概念形成
1.超几何分布的定义：一般地，设有总数为N件的两类 物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件( n N )， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它 取值为m时的概率为
PX
m
引例2：某商场有6件大型电器，其中有2件不合格品， 质检部门在进行质量检查时，声称要随机抽取3件进行检 查，求抽到不合格品数X的分布列.
总数
构成
抽取数
二、概念形成 抽象出一般的数学模型
总数
构成
抽取数
5
3名女生， 2名男生
2
6
2件不合格品 ， 3 4件合格品
PX m
P
X m
C3mC22m C52
PX
m
CMm
C nm N M
CNn
，m 0,1,2,,l
其中l=min{n，M}，则称离散型随机变量X服从参数 为N，M，n的超几何分布。
2.超几何分布的特点：（1）物品有明显的两类构成的； （2）是不放回抽样；（3）参数是N，M，n.
五、布置作业
1.用TI图形计算器研究当总体中个体总数或所抽取物品 总数变化时对超几何分布有什么影响.(小组探究) 2.书P46练习A1，2，练习B
取值为0，1，2，3.则至少摸到2个球的概率为
PX 2 P( X 2) P( X 3) 3 1 1
因此，中奖概率为 1 .
10 30 3
3
三、应用举例
例2甲、乙、丙、丁、戊这5个厂均生产了100件同样的 产品，其中甲厂有5件次品，乙厂有10件次品，丙厂有 20件次品，丁厂有40件次品，戊厂有50件次品.现从甲、 乙、丙、丁、戊这5个厂中分别任取10件检查，
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2.1.3超几何分布
一、学习目标
1. 通过实例，理解超几何分布及其特点；
2. 掌握超几何分布列及其计算过程；
3. 通过对实例的分析，会进行超几何分布的简单应用。
二、课前准备
复习：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的_________________，简称ξ的分布列
2. 分布列的两个性质：⑴_________________； ⑵_________________。
三、新课导学
引例：在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品质量．假定一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，X 表示不合格品数， 问题1.从100件产品中随机抽取10件有
种等可能基本事件．
问题2.{}2X =表示的随机事件是“ ”，含有 种基本事件，{}2P X == ．
问题3.不合格品数X 的概率分布如何？
新知：超几何分布定义：一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取()n n N ≤件，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时
的概率为()()m
n-m
n
=m =0m n M N M
N C C P X l l C
-≤≤，为和M 中较小的一个。
我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布
注：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；
（2）超几何分布中的参数是M ，N ，n ．（分清个参数的含义）
（3）超几何分布列如下表所示：（其中min(,)l n M =．
例1.例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，
（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
（2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．
变式：生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
思考：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？
例2．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？
例3、老师要从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵,规定至少要背出其中的2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布;
(2)他能及格的概率.。