一类二阶半线性时滞微分方程解的振动性质
一类二阶非线性变时滞差分方程解的振动性
本文只讨论方程（ ） １ 的非平凡解．方程（ ） １ 的解 ｛（ ） 称为是最终正解（ ／｝ ２ 或最终负解 ） 如果存在整数 ，
Ⅳ≥ｎ ， 。 使得 当 ≥Ⅳ 时 ， Ｉ ０ 或 （ ）＜ ） 方程 （ ） （， （ １ ）＞ ｎ ０ ； １ 的解 ｛ ／ ｝ 为是 振 动的 ， （， 称 ７ ） 如果 它既 不最 终 为正
（ ： ≤Ｐ（ ） ； （ ） ０； （ ）＞ ， △ （ ） ０； Ｈ ）０ ｎ ≤１ 曰 ｎ ｉ Ａ ｎ ０ 且 Ａ ｎ ＞ ＞ １
（ ： ｎ ０是 整数 ， Ｈ ） （ ）＞ 且 （ ） ，ｌ 丁 ｎ ｎ≤ ｉ （ ）＝＋∞ ； ｍ
（） Ｅ
（ ）ｏ（ ）＞ Ｈ２ ：－ｎ ０是整 数 ， ｎ ≤ｎ ｌ （ ）：＋。 且 △ ｎ ＞ ； （ ） ， ｉ ａ ｒ 凡 。， （ ） ｔ０ （ ： Ｈ ） 存在 常数 ＞０ ＞ ， 得 ， ０ 使 ≥ ， ≤ 且 Ｑ ）一 （ ）＞ 卢， （ 凡 ０最终成 立 ；
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则 方程 （ ） １ 可写 为
收稿 日期 ： ０ １ｏ ＿ ６ ２ １－ ４ｏ
基金项 目： 湖南省教育厅科研基金重点 资助项 目（０ Ａ ８ ） ９ ０２ ． 作 者简 介 ： 甲山（９ ３ ） 男 ，湖南城步人 ， 杨 １６ 一 ， 副教授 ， 研究方 向为微分差分方程
中 图分类 号 ： １５ Ｏ ７ 文 献标 志码 ： Ａ
随着计算机科学、 数值分析 、 生物数学及边缘科学 的不断发展 ， 在科学研究和社会实践 中提出了很多由
二阶非线性中立型微分方程解的振动准则
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
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称 方程 ( 1 )
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于 方程
一类二阶时滞微分方程解的振动性质
（） １
方程 （ ）的不 最 终恒 为 零 的非 常数 解 ， １ 叫做 正 解 ［ ］ 一 个 正 则 解 称 为 振 动 的 ， 果 它 有 任 意 大 的零 点 ； １． 如 最 近 ， ［ ］ ［ ］利 用文 ［ ］的某 些技 巧 ， 究 了方 程 （ ）的 振 动 性并 给 出 了一 些 振 动 性 判 据 ． 别 ， 文 １ 、２ ３ 研 １ 特 文
（ ． 山 高等 专 科 学 校 散 学 系 。 徽 黄 山 １黄 安
摘 要 ： 用 函数 平 均技 巧 ， 进 并 推 广 了有 关论 文 中所 给 出的 二 阶 时滞 微 分 方 程 解 的振 动 性 准 利 改 则 ， 到 了一 类二 阶 时 滞微 分 方程 解 的振 动性 质 的 一 些新 的充 分 判据 ． 得 关键 词 ： 阶 时滞 微 分 方程 ； 动 ； 二 振 正则 解 中图分 类号 ： １ ５ ２ ０ ７ ．５ 文献标 识 码 ： Ａ
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改进 并 推广 文 ［ ］ ［ ］的某 些 已知结果 ． １ 、２
２ 主 要 结 果
本 文 中 ， 们 总体 假 设 我
（ ） ∈ Ｃ（ ， ） （ ） 最终 恒 为零 ： Ａ１ Ｊ Ｒ０ ， ￡ 不 ｒ∈ （ Ｊ Ｒ） ｒ ￡ ≤ ￡ 对 ￡ Ｃ（ ， ， （ ） ， ≥ ０且 ｌ ｒ ￡ ， ｉ （ ）＝＋ ｏ ， ｍ ｏ 其 中 Ｊ＝ ［０ ，＋Ｏ ） Ｒ０＝ ［ ， Ｏ ） Ｒ ＝ （ ， ｏ ） ０， ０ ＋ ０， ０ ＋ ｏ； Ａ（）厂， ∈ Ｃ（ Ｒ） 且 （ ２ ｇ Ｒ， ， ｚ）＞ ０ （ ≠ ０ ； Ｙ ≥ Ｃ ＞ ０（ ，ｚ ） ｇ（ ） Ｙ∈ Ｒ） Ｃ为 常 数 ． ，
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。
本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。
1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。
对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。
研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。
2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。
3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。
研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。
4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。
综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。
研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。
二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类n阶非线性差分方程解的渐近状态
曲阜师范大学硕士学位论文二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类n阶非线性差分方程解的渐近状态姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***2001.3.25二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类ｎ阶非线性差分方程解的渐近状态厶（鲰妒ｆ△粕）】＋，（ｎ，。
）：ｏ，ｎ∈Ⅳ（，１０】，ｒ△（陬ＩＰ（△‰））十，（竹，￥（ｈａ（ｎ】），－一，。
ｆ＾ｍｍ）】）＝０，ｍ≥ｌ，竹ＥＮ［ｎｏ）（１，２）；解的塞麴性与塑垫些每中Ⅳ（瑚）＝｛伽，ｎ。
＋１，…），ｎ。
∈，ＴＯ，ｌ，２，…）．当知≠ｏ时·。
量。
Ｉ妒一１（砉）Ｉ＝∞螺研究了—类ｎ阶非线性差分方程矗“９＋，Ｏ，虮…，△“一１０＝０’ｔ∈Ⅳ（伽）解的渐近状态．其中Ⅳ（伽）＝｛伽，瑚＋ｌ，…），竹ｏ∈｛竹，ｎ＋１，…）√．关■调。
拟线性差分方ｇ振动，非振动。
渐近性。
拟线性时精蓥分方程：／差分算子，阶乘幂．专锯镑１引言差分方程理论。
随着科学技术的迅猛发晨，不仅在工程技术，自动控制以及航天卫星等尖端领域中有重要的应用，而且在计算机科学，人口动态学和经济金融辱领域也已成为不可缺少的数学工具．同时由于差分方程表达的离傲系统常常与相应的连续系统具有完全不同的特性，因而使许多研究者对它产生丁更多的关注．作为徽分方程离散化的差分方程的擐动性和渐近性问题也成为近年来的研兜课题．特别是对于二阶差分方程的撅动性及淅近性问题。
得瓢了一系列瀑亮的结果，可参看文献【Ｈ】，［ｔ２－２６］．但是关于二阶拟线性差分方程△‰轳（血ｎ））十，（住，卫ｎ）昌ｏ，ｎ∈Ⅳ‰），ｆＩ．Ｉ）以及二阶拟线性时滞差分方程△‰妒（△‰）】＋，ｋｚ（ｈ１（ｎ）），…，ｚ（ｋ（ｎ））】＝ｏ，ｍ≥ｌ，ｎ∈Ⅳｆｆｌ０），（１．２）△～＋，（ｔ，ｔ『，…，△４—１０＝０’ｔＥⅣ（，ｔ０）（１．３）解的振动性与渐近性的文章，目前还不多见．本文主要研究方程（１．１），（Ｌ２】和（１．３）解的振动性与渐近性，（Ｉ．ｉ）与（１．２】中的Ⅳｎ１０）＝｛ｎｏ，ｎｏ＋１，…），（１．３）中的Ⅳ（伽）＝｛，１０，ｎＤ＋ｌ，…】．△为前向差分算子，即△‰＝函ｌ＋ｌ一翱，△”靠＝△《△“。
几类时滞微分方程的分支分析
几类时滞微分方程的分支分析时滞微分方程作为描述系统动态行为的重要工具，广泛应用于各种领域，如生态系统、神经网络、工程系统等。
对于具有给定初值的时滞微分方程，其稳定性和分支性质是近年来研究的热点问题。
本文将介绍几类时滞微分方程的分支分析，通过理论分析和数值模拟，探讨时滞微分方程的分支机制和复杂性。
时滞微分方程是由微分方程和时滞项组成的数学模型，描述了系统在给定时刻的行为及其过去的历史。
对于时滞微分方程，需要先定义时滞项和微分方程，再通过适当的数学分析，求解方程的解及其性质。
在分支理论中，分支是指系统在某些参数变化时，其动态行为发生本质变化的现象。
分支分析是通过分析方程的解来研究分支现象的性质、类型和产生条件的过程。
对于时滞微分方程，其分支现象通常包括周期解的稳定性和分岔、混沌等非线性现象。
单变量时滞微分方程是一类最基本的时滞微分方程，其形式为：dy(t)dt=f(y(t),y(t-τ))对于这类方程，可以通过适当的变换将其化为常微分方程，再利用经典的分支理论进行分析。
例如，通过线性化方法和中心流形定理，可以研究方程在临界点附近的动态行为和分支现象。
dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ)) dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ))对于这类方程，可以利用相平面分析和奇异性理论来研究其分支现象。
通过分析系统在相平面上的轨迹和奇异点，可以得出方程的动态行为和分支性质。
时滞微分方程组是由多个时滞微分方程组成的系统，形式为：dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn)) …dyn(t)dt=fn(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))对于这类方程组，可以运用多变量分支理论进行分析。
通过研究系统在不同参数下的动态行为和奇异点，可以得出方程组的分支性质和复杂性。
随机时滞微分方程是在时滞微分方程中引入随机因素，形式为：dy(t)=f(y(t),y(t-τ))dt+g(y(t),y(t-τ))dW(t)其中W(t)是布朗运动。
几类二阶时滞微分方程的振动性研究
几类二阶时滞微分方程的振动性研究摘要：时滞微分方程是一类重要的动力系统模型，具有广泛的应用价值。
本文针对几类常见的二阶时滞微分方程，研究其振动性质。
通过对这些方程进行分析和推导，得出了一些重要的结论。
引言：时滞微分方程是描述许多实际系统的重要数学模型，它们在生物学、经济学、工程学等领域中具有广泛的应用。
二阶时滞微分方程是一类特殊的时滞微分方程，其具有更加复杂的动力学行为。
一、周期解的存在性：研究了一类二阶时滞微分方程的周期解存在性。
通过构造合适的Lyapunov函数，得到了周期解的存在性条件。
这些条件为进一步研究方程的稳定性和周期性提供了理论基础。
二、稳定性分析：对另一类二阶时滞微分方程进行了稳定性分析。
通过线性化和特征方程的分析，得到了方程稳定性的判据。
进一步，利用数值方法验证了理论结果。
三、混沌现象：研究了一类非线性二阶时滞微分方程的混沌性质。
通过数值模拟和分析，发现该方程在某些参数范围内表现出混沌行为。
这一研究结果对于深入理解该类时滞微分方程的动力学行为具有重要意义。
四、周期倍增现象：研究了另一类二阶时滞微分方程的周期倍增现象。
通过数值模拟和分析，发现随着参数的变化，方程的周期解会逐渐倍增，最终进入混沌状态。
这一研究结果对于预测和控制该类方程的振动行为具有重要意义。
结论：通过对几类常见的二阶时滞微分方程的振动性质进行研究，我们得出了一些重要的结论。
这些研究结果对于深入理解时滞微分方程的动力学行为以及在实际应用中的应用具有重要意义。
进一步的研究可以将这些结论应用于更广泛的领域，并对相关领域的实际问题提供有价值的解决方案。
关键词：时滞微分方程；二阶；振动性质；周期解；稳定性；混沌现象；周期倍增。
一类二阶非线性时滞脉冲微分方程解的振动性质
振 动性 的研究 成 为一个热 门课 题 ， 有不少关 于 二阶脉 冲微 分方 程 的 文献 问 世 ， 文献 ［ 如 １—５ ． 文在 文 献 ］本 ［ ］的基础上 ， ４ 考虑 如 下二 阶非线 性时 滞脉 冲微分 方程
ｆｒ ｚ （） ＋ ｆ ｔｘ ｔ ｒ ）一 ０ ≥ ｔ， ≠ ｔ； （ （）ｌ （）Ｉ ￡ ） ｚ （， （ — ） ，ｔ ｏ ｔ
第２ ６卷第 ３期
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ３ Ｉ２ ， ．
２１ ０ ０年 ６月
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．， ０ ０
【 分 方程 与 动 力 系统 研 究 】 微
一
类 二 阶 非 线 性 时 滞 脉 冲 微 分 方 程 解 的 振 动 性 质
徐 化 忠
（ 州 学院 数学 与信 息科学 系 ， 滨 山东 滨州 ２ ６ ０ ） ５ ６ ３
—
（ （ ）ｈ （ ）∈ Ｃ Ｒ， ）存在 正数 ， ， ， ， Ａ ） ｚ ，ｋｚ （ Ｒ ， ｂ ｂ 满足 ｚ≠ ０时 ， ≤ ｋ 瓦
ｋ．
函数 ｚ：ｔ ～ ｒｔ ＋ ） Ｒ， ≥ ０ ｈ＞ ０ 为方 程 （ ）的解 ， Ｅ。 ， 。 一 ｔ 。 ， 称 １ 如果 满足 ：
（ ）一 ｇ （ ） ｚ （ Ｉ ＾ ， ￡）： ｈ （ ） ｊ ；
（） １
Ｉ（ 一 ，∈ Ｅ —ｒｔ ，（ ） ｏｚ（ 一 － ￡ （ ｔ ｔ ， ］ｚ￡ 一ｚ ， ） ｚ ｚ） ） ｏ ｏ ０
的＞ ， ，，
一
二 非 脉 振 报 关 键 词 ： 阶 ； 线 性 ； 冲 微 分 方 程 ； 动 性
中 图 分 类 号 ： ７ ０ １５
ｉ ２
文献标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：６ ３ ６ ８ ２ １ ） ３—０ １ Ｏ １ ７ —２ １ （ ０ ０ ０ ０ １一 ５
一类二阶脉冲时滞微分方程的振动性
一
（
： ｌｍ ｉ
…
…
定 义 函数 （）： ｔ ｒ ＋ ｏ ） Ｒ 称 为 方 程 （ ）的解 ， ｆ Ｉ。 ， ｏ 一 １ 如果 满 足
１ （）一 ｐ ｆ ， ∈ Ｉ。 ｒｔ］ ） ｆ （）ｔ ｔ … ；
２ ）当 ｔ ｔ、 ≠ ｆ（ ≠ ｔ ＾∈ Ｎ） ， （） 乎 处处 满 足 （） － （） － （ （ — ｒ 时 ｆ几 ， ｆ ４ 户 ｔｘ４ ｑ ） ｔ ）一 ０ 且 （ ） ｃ （ ， ］ Ｒ （ ， ￡ ∈ ［ ｔ ｔ ， ］ ＾∈ Ｎ） … ，
ｒ＋ ｃ 。 ｒ＋ ∞
定理 １ 设 引理 的条件（ 、Ａ）且 “ ＞ １ ０ ｂ １ ∈ Ｎ）并且 Ｉ ｔ （）ｔ Ｈ）（ ， 女 ，＜ 女 （ ， ｐ ｆｄ 一＋ｏ Ｉ ｔ（）ｔ ｏ或 ｑ ｆｄ 一＋ｏ 则方程（ ） ｏ， １
Ｊ Ｊ
的 任 意 有 界 解 是振 动 的 。 证 设 方 程 （ ） 一 非振 动有 界 解 （ ） 不 妨 设 存 在 Ｔ＞ ｔ， ｔ Ｔ时 ， （ — ｒ ＞ ０ 由引 理 知 存 在 Ｔ ＞ Ｔ， ｔ 三 １ 有 ｔ， 。当 ＞ 有 ｔ ） ， 。 当 三 二
（ ）一 ｎ ｔ一 （） ｔ
（ ）
（ ｔ∈ ［ｏ— ｒ ｔＪ ｔ ，０ ）
解 的 振 动性 ， 中 ０ ｔ ｔ ＜ … ＜ ｔ ＜ … ， 其 。＜ １ 女 ０＜ ｒ ｔ 一 ｔ ＜＋ ， ｉ ｔ 一＋ （ ∈ Ｎ） ａ 、女 为 大 于 零 的 常数 ， … 女 ｌ 女 ｍ ；女ｂ 均 且
一一 ａ ａ＞ ０ 。 ｐ（） 三 ０ ｑ ｔ 三＝ 、 ｆ ＞ ０、 ｔ ｒ （ ）由 ｆ 三＝ 、 （） 三 ０ （ ） （ — ）＞ ０ ｔ Ｔ）以及 （）一一 ｐ（） ｆ 一ｑ ｆ ｔ ｒ （ ． ． ， 有 （ ） （＞ ｆ ｔ （ ） （ ） — ） ａ ｅ ） 就 （ ｆ
二阶非线性延滞微分方程解的振动性
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第 九卷
1
第 二期
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微分方程解的性质
微分方程解的性质在微分方程中，线性方程理论占有非常重要的地位，这不仅因为线性微分方程最简单、其一般理论也被研究的十分清楚，而且微分方程是研究非线性微分方程的基础。
在实际物理问题的数学模型中，线性微分方程非常常见，例如质量-弹簧-阻尼振动系统的运动学方程，就为二阶线性微分方程（组），如式(1)所示。
\left[ M \right]\left\{ {\ddot x} \right\} + \left[ C\right]\left\{ {\dot x} \right\} + \left[ K \right]\left\{ x\right\} = \left\{0\right\} \tag 1。
该“线性”体现在微分方程中，函数（这里x为时间t的函数）及其各阶导数的幂次为1。
在中，已经详细介绍了一阶线性微分方程的解法，为了一般性，需要将其推广到更高阶的线性微分方程，本文先给出线性常微分方程解的结构，按各种概念一步一步深入讲解，请按照本文顺序阅读，不要跳读。
[注]：下面的几个定理证明过程较为复杂，为节省篇幅，这里给出了部分关键定理的证明。
对于微分方程解的存在唯一性定理等更细节的具体证明步骤请参考西安交通大学周义仓的《常微分方程及其应用》或《常微分方程定性与稳定性方法》。
线性微分方程 Linear Differential Equations对于自变量x和未知函数y，其n阶线性微分方程的通式可以写为：\[{k_n}\left( x \right){y^{\left( n \right)}} + {k_{n - 1}}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots +{k_1}\left( x \right)y' + {k_0}\left( x \right)y = g\left( x\right)\tag{2}\]。
其中，系数k_j(x)(j=0,1,2,…,n)及g(x)都只是关于x的函数，与函数y及y的导数无关。
某类二阶多时滞泛函微分方程的振动性
Ｗ ＡＮＧ ｉ－ ｅｇ， Ｊｎｘ ｕ， Ｊ ｎｆ ｎ ＬＪ ｉ－ ｉ ＺＨＵ Ｚ ｏ ｇ ｈ ａ， ｈ ｎ －ｕ ＧＡＯＧｕ －ｈ ｏｚ ｕ
（ ｏｌ ｅ ｆ ａｉＳｌｔｅ 咖 Ｃ ｌｇ Ｂ ｓ ｅｃ ， ｅ ｏ ｃ ｅｅ Ｕ ｉ ｒｉ ， ｈ ｎｈ ２１ ２ ，Ｃ ｉａ ｎｖ ｓｔ Ｓ ａｇ￣ ０ ６ ０ ｈｎ ） ｅ ｙ
文章编号 ： ６１ ０４（０７０ — ４５ ０ １７ — ４４２０）４ ０３ — ５
某类 二 阶多 时滞 泛 函微 分方 程 的振 动性
王金凤 ， 李晋秀 ， 忠华， 国柱 朱 高
（ 东华大学 理学院 ， 上海 ２ １２ ） ０６０
摘 要 ： ， ４用微分不等式 １ 研究了一类具有 个时滞的二阶泛函 微分方程的振动解与非振动解问题， 通过构造序列得到
了方程具有非振动解的必要 条件和振动解的充分条件； 另外， 对两类比较具体 的泛函微分方程 ， 采用另一种方法得到 了方 程一切有界解振动的充分条件．
关键词 ： 时滞微分方程； 微分不等式； 最终正（ 解； 负） 振动 中图分类 号 ： ７ Ｏ１５ 文献标志码 ： Ａ
Ｔｈ ｃ ｌ ｔ ｎｏ ｍｅ Ｓ ｃ ｎ － ｄ ｒＦ ｎ ｔ ｎ ｌ ｅ Ｏｓ ｉａ ｉ ｆＳｏ ｅ ｏ ｄ Ｏｒ ｅ ｕ ｃ ｉ ａ ｌ ｏ ｏ Ｄｉｅ ｅ ｔ ｌ ｑ ａ ｉｎ ｉ ａ ｙ Ｄｅａ ｓ ｆ ｒ ｎｉ ｕ ｔ ｓｗ ｔ Ｍ ｎ ｌｙ ａ Ｅ ｏ ｈ
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，
。
≥。； ） ｑ（ 为非负的非减连续可微
函数 ，ｉ ｚ ＝。 ｌ （）＝ 。且 ０ ｑ （） ｑ （） … ≤ ｍｑ ＝ ≤ １ｔ ≤ ｔ ≤ ２
收稿 日期 ： ０ ６ ３ ５ ２ ０ —０ —１
作者简介 ： 王金凤（９ Ｏ ）女 ， １８ 一 ， 辽宁葫芦岛人 ， 硕士， 研究方向为微分方程理论及应用． － ａ ： ４ｊ ｆ １３ ｃ ｎ Ｅｍ ｉ ｗ ５ ５ ６ ．ｏ ｌ ８＠ ｒ
第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质教学提纲
分 步 法 求 解 举 例
例1
x&(t) x(t 1) x(t) t,t[1,0]
(7)
解 :(1)当 0t1时 ， 方 程 (7)化 为 x & 1(t)=-(t-1),
解 得 x1(t)1 2(t1)2c1.由 (0)=0知 ,c11 2;
(2)当1t 2时，方程(7)化为
x&2(t)=12(t
1).当ri 0(i 1,2,L,n)时，则称方程（1） 为滞后型的微分差分方程（Retarded Differential Difference Equation,简写为RDDE） 或时滞微分方程，各个ri均为滞后量或滞量。
2).当ri 0(i 1,2,L,n)时，则称方程（1） 为超前型的微分差分方程（Advanced Differential Difference Equation,简写为ADDE） 或时超微分方程，各个ri均为超前量或超量。
2)2-1,解得 2
x2
(t)
1 3!
(t
2)3
1 2
t
c2.
由x1(1)=
1 2知,c21Fra bibliotek1; 3!
这就保证了x1(1)=x2(1)?
x2(t)
1(t 3!
2)3
1t 2
11. 3!
作业:
写 出 当 n - 1 t n 时 ， 方 程 ( 7 ) 的 解 x n 表 达 式 .
这样逐步地做下去，便可将方程(5)的 初值问题在区间[t0 nr,t0 (n1)r]上 的解转化为求下面常微分方程的初值 问题的解：
x&n(t) f (t, xn(t),n(t r)), xn(t0 nr) n(t0 nr). 其中n(t)是方程(5)的初值问题在
一类二阶中立型方程解的振动准则及应用
一类二阶中立型方程解的振动准则及应用
1一类二阶中立型方程解的振动准则
一类二阶中立型方程是最常用的一种振动方程，它可以描述许多振动系统中简单而又精确的动力特性。
这些方程可以用来推导常用的振动准则，这些准则可以提供可靠的惯性性能指标及其在工程设计中的应用。
2振动准则构成
振动准则是用来估计振动系统性能的重要参数。
它们是按照特定方程推导出来的，根据物理过程和特性确定。
振动准则主要是描述振动系统参数之间关系的性质，如振动幅度、相位、阻尼比、响应曲线和稳定区域等。
3振动准则的应用
振动准则主要应用于振动抑制和振动控制。
振动抑制技术主要是通过调整系统的参数，降低振动的振幅，来实现振动系统的抑制。
而振动控制技术则是指对振动系统进行参数调整，以实现振动幅度在指定范围内变化，从而达到控制振动的目的。
这些技术都是依据振动准则来完成的，确定系统性能指标，使得工程设计和振动行为都可以有效的控制。
4结论
一类二阶中立型方程是衡量振动系统特性的有效方式，它可以用来推导出多种振动准则。
这些准则有助于确定系统性能指标，从而实现振动抑制和振动控制。
掌握了这些振动准则，并运用到工程设计中，可以更加有效地控制和调节振动行为，从而提高振动系统的精度和可靠性。
自治时滞微分方程的线性化振动性Ξ
文章编号:1000-0887(2000)07-0765-05自治时滞微分方程的线性化振动性Ξ李永昆(云南大学数学系,昆明650091)(吴学谋推荐)摘要: 研究了非线性时滞微分方程 x ′(t )+∑mi =1f i(x (t -τ1),…,x (t -τm))=0的线性化振动性· 关 键 词: 时滞微分方程; 振动; 非振动中图分类号: O17317 文献标识码: A引 言考虑非线性自治时滞微分方程 x ′(t )+∑mi =1p i fi(x (t -τi ))=0,(1)和 x ′(t )+∑mi =1p ix (t -τi)=0,(2)其中,p i ∈(0,∞),τi ∈[0,∞),f i ∈C (R ,R ),i =1,…,m · 文[1]研究了方程(1)的线性化振动性,并证明了:如果下列条件成立H 1)uf i (u )>0(u ≠0)且limu →0f i (u )u=1(i =1,…,m );H 2)存在δ>0使得 或者 f i (u )≤u ,u ∈[0,δ), 或者 f i (u )≥u ,u ∈[0,δ),(i =1,…,m )· 那么,方程(1)振动的充分必要条件是方程(2)振动· 在文[2]中,张炳根指出:条件H 2)对u 趋于零时,f i (u )的变化有限制,并提出这个条件是否可改进?文[3]曾试图去掉条件H 2),但未完全成功(见文[4])· 本文的目的是通过使用一种新技巧研究相当广泛的一类非线性自治时滞微分方程667 应用数学和力学,第21卷第7期(2000年7月) Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编重庆出版社出版Ξ收稿日期: 1998-06-22;修订日期: 2000-03-15基金项目: 云南省应用基础研究基金资助项目作者简介: 李永昆(1961～),博士,教授,已发表论文40余篇. x ′(t )+f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0(3)的线性化振动性,其中,f ∈(R ,R ),τi ∈(0,∞)(i =1,…,m )· 所得结果肯定地回答了张炳根的问题,并表明在更一般的情况下,H 2)也可去掉· 如通常一样,微分方程的解称为振动的,如果它有任意大的零点;否则称为非振动的· 微分方程称为振动的,如果它的每一解都是振动的· 1 主要结果及其证明本文的主要结果如下:定理 假设下列条件成立H )ⅰ)f (u 1,…,u m )>0,u 1,…,u m >0,f (u 1,…,u m )<0,u 1,…,u m <0, ⅱ)存在常数p i ∈(0,∞),i =1,…,m 使得 lim (u 1,…,u m)→0u i u j>0,i ,j =1,…,mf (u 1,…,u m )p 1u 1+…+p m u m=1· 那么,方程(3)振动的充分必要条件是方程(2)振动· 推论 假设H 1)成立,那么方程(1)振动的充分必要条件是方程(2)振动· 证 令 f (u 1,…,u m )=p 1f 1(u 1)+…+p m f m (u m ),易知对u i u j >0,i ,j =1,…,m 有 f (u 1,…,u m )p 1u 1+…+p m u m -1≤∑mi =1f i (u i )u i-1· 因此,H )ⅰ)成立· 显然,H )ⅱ)也成立· 为证定理,首先我们给出如下几个引理· 引理1[5] 方程(2)振动的充分必要条件是它的特征方程 λ+∑mi =1p ie-τλi=0(4)没有实根· 类似于文[6]的定理1的证明易得引理2 假设H )成立· 那么,若方程(2)振动,则方程(3)也振动· 引理3 假设H )成立,并设方程(2)不振动,那么,对任意的ε∈(0,1),方程 x ′(t )+(1-ε)f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0,(3)ε也不振动· 证 对任意固定的ε∈(0,1),由H )可知存在δ>0使得(1-ε)∑mi -1p i ui<f (u 1,…,u m )<(1+ε)∑mi -1p i ui (u i ∈(0,δ);i =1,…,m ),(5)从引理2知方程(2)的特征方程(4)有一实根η,即 η+∑mi =1p ie-ητi=0· (6)显然,η<0,τ=max 1≤i ≤mτi ,设X 是[t 0-τ,∞)上的的实值有界连续函数全体并赋予上确界范数所成的Banach 空间· 设S 是X 中具有下列性质的x (t )所组成的集合· a )对t ≥t 0,x (t )单调不增且对t ∈[t 0-τ,t 0],x (t )≡x 0exp (η(t -t 0));767李 永 昆b )x 0exp (η(t -t 0))≤x (t )≤x 0exp (-ητ),t ≥t 0;c )x (t -τi )≤exp (-ητi )x (t ),t ≥t 0,(i =1,…,m )· 其中,x 0满足0<x 0<δexp (ητ)· 在S 上定义映射F 如下 (Fx )(t )=x 0eη(t -t 0) (t 0-τ≤t ≤t 0),x 0exp -(1-ε)∫tt 0f (x (s -τ1),…,x (s -τm ))x (s )d s (t >t 0)· 显然,(Fx )(t )是单调减少的连续函数且(Fx )(t )≤x 0exp (-ητ)· 下证(Fx )(t )≥x 0exp (η(t -t 0))· 为此,由(H ),(5)和(6),对t ≥t 0,得 (Fx )(t )=x 0exp -(1-ε)∫t t 0f (x (s -τ1),…,x (s -τm))x (s )d s ≥x 0exp -(1-ε2)∫tt 0p 1x (s -τ1)+…+p m x (x -τm)x (s )d s≥x 0exp (-(1-ε2)∑mi =1p ie-ητi(t -t 0))≥x 0exp (η(t -t 0))· 又由H ),(5)和(6),对每一k =1,…,m ,t ≥t 0有 (Fx )(t -τk )(Fx )(t)=exp (1-ε)∫tt -τkf (x (x -τ1),…,x (s -τm ))x (s )d s ≤exp (1-ε2)∑m i =1p i∫tt -τkx (s -τi )x (s )d s ≤exp ((1-ε2)∑mi =1τk p i e -ητi )=exp (-(1-ε2)ητk )≤exp (-ητk )· 于是,已证得了FS ΑS · 明显地,集合S 是非空(因x 0exp (η(t -t 0)∈S ),闭和凸的· 为证FS 在X 中相对紧,只要证d [(Fx )(t )]/d t 一致有界即可· 事实上, dd t [(Fx )(t )]=-(1-ε)f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))x (t )(Fx )(t )· 由上式及(5)和(6),有 dd t [(Fx )(t )]=(1-ε)f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))x (t )(Fx )(t )≤x 0(1-ε2)∑mi =1p i x (t -τi )x (t)e -ητ<x 0(∑mi =1p ie-ητi)e -ητ=-x 0ηe-ητ· 至此,我们已证得F 满足Shander 不动点定理的所有条件,故F 有不动点x ε∈S 使得Fx ε=x ε· 显然,x ε是方程(3)ε使得x ε(t 0)=x 0的最终正解· 由文[7]的引理2我们有867自治时滞微分方程的线性化振动性引理4[7] 设M 是R 的开子集,假设对每一i =1,…,m 和每一固定的μ∈M ,函数p i (·,μ)和τi (·,μ)在[t 0,∞)上非负连续,且 lim t →∞[t -τi (t ,μ)]=∞· 又假设对每一i =1,…,m 和固定的t ≥t 0,函数p i (t ,·)和τi (t ,·)在M 上连续,设N 是使得方程 x ′(t )+∑mi =1p i(t ,μ)x (t -τi(t ,μ))=0振动的所有μ∈M 的集合,那么N 是一个开集· 引理5 假设H )成立,那么存在ε0∈(0,1)使当ε∈(0,ε0)时,方程(3)ε振动的充分必要条件是方程 x ′(t )+(1-ε)∑mi =1p ix (t -τi)=0(2)ε振动· 证 对每一ε∈(0,1),若方程(2)ε振动,则由引理2知方程(3)ε也振动· 其次,对每一ε∈(0,1),若方程(3)ε振动,则由引理3易知方程(2)也振动· 从而由引理4可知存在ε0∈(0,1)使得对每一ε∈(0,ε0)方程(2)ε也振动· 定理的证明 考虑方程 x ′(t )+αf (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0,(7)和 x ′(t )+α∑mi =1p i x (x -τi )=0,(8)其中α为参数,由引理5知对任意的α∈[1,2]均存在ε(α)∈(0,1)使当ε∈(0,ε(α))时,方程 x ′(t )+(1-ε)αf (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0振动的充分必要条件是方程 x ′(t )+(1-ε)α∑mi =1p i (t -τi )=0振动· 故易知当α∈[1,2)时,方程(7)振动的充分必要条件是方程(8)振动· 附 录引理2的证明 若不然,方程(3)有非振动解x (t )· 假设x (t )是最终正解,对x (t )是最终负解的情形可类似证明· 故略· 选取t 1≥t 0使当t ≥t 1时,x (t -τi )>0,i =1,…,m · 从而,由(1)知当t ≥t 1时,x (t )单减,故lim t →0x (t )=l ∈[0,∞)存在· 我们断言l =0· 否则,l >0· 由f 的性质易知,存在σ>0使当|u i -l |<σ,i =1,…,m 时, |f (u 1,…,u m )>12f (l ,…,l )>0· 再选取t 2>t 1使当t ≥t 2时,对i =1,…,m , x (t -τi )-l <δ· 于是,从t 2到∞积分(3)的两边得 0=l -x (t 2)+∫∞t2f (x (t -τ1),…,x (t -τm))d t >967李 永 昆l -x (t 2)+12∫∞t2f (l ,…,l )d t · 此为矛盾· 故l =0令 q i (t )=p if (x (t -τ1),…,x (t -τm ))p 1x (t -τ1)+…+p m x (t -τm ),则由假设知q i (t )>0,且 limt →∞p iq i (t )=1,i =1,…,m · 注意到x (t )是方程 y ′(t )+∑mi =1q i(t )y (t -τi)=0的一个非振动解,由文[7]的定理1知方程(2)有非振动解· 矛盾· [参 考 文 献][1] Kulencvic MRC ,Ladas G ,Meimaridou A.On oscillation of nonlinear delay differential equations [J ].Qua rt Appl Math ,1987,14(1):155～164.[2] 张炳根.泛函微分方程振动理论的若干问题[A ].见王联,薄富全,刘永清等编:常微分方程理论及应用[C ].北京:科学出版社,1992,42～45.[3] 李永昆.一阶非线性时滞微分方程的线性化振动性[J ].科学通报,1994,39(13):1159～1163.[4] 柴树根.关于“一阶非线性时滞微分方程的线性化振动性”一文的注[J ].数学研究与评论,1998,18(1):147～148.[5] Ladas G ,Sficas Y G ,Stavroulakis I P.Necessary and sufficient conditions for oscillations [J ].AmerMath Monthly 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常微分四类振动方程
特征方程：
g 0 l
2
i,
g l
通解： (t ) c1 cost c 2 sint , c1 , c1为任意常数.
（4.41） A，θ为任意常数
(t ) A sin( t )
周期T与初始 状态无关，只 与摆长l相关
d 2
比较系数法： 非齐次特解：
随时间增大 振幅将无限大ห้องสมุดไป่ตู้从而破坏系统结构
非齐次通解： 自由周期振动
+
外力强迫振动
=非周期振动
共振现象：当外力频率p（达到）无限接近于系统 固有频率ω（即使外力振幅H很小），系统振幅将 （无限）充分大，从而破坏系统自身结构的现象！
4. 阻尼强迫振动
g , 2n l m
~ t k [ M cos t N sin t ]e t , 非齐次特解： 0, p, k为 i重数
分两种情况：
~ M cos pt N sin pt, (i ) p ( pi非特征根)： ~ t ( M cos pt N sin pt (ii) p ( pi特征根)：
特解
d 2 dt 2
2n
d 2 H s in p t dt
特解
振幅什么条件下最大？
利用外力 （圆）频率 可实现振幅 最大化！
非齐次通解：
自由阻尼衰减振动 （时间充分大可忽略）
+
外力强迫周期振动 =非周期振动 （主项）
振动主项中，但如果外力园频率p达到（或接近于）某固定频率， 即使施加的外力不大，随时间增长，质点振动运动的振幅将达到 最大。 共振现象 该频率称共振频率
一类二阶中立型微分方程有界解的振动性
Ｖ０ ． Ｎｏ． １２３ ４ Ａｕ ｇ．２章编号 ：０ ４—１７ （ ０ ８ ０ ０ １ ０ １０ ４ ８ ２０ ）４— ｌ５— ３
一
类二阶中立型微分方程 有 界解 的振 动 性
徐 继军 任喜凤 ，
（． １ 郑州 师 范高等 专科 学校 数 学 系 ，河南 郑 州 ４ ０４ ； ５０４ ２ 郑 州轻 工业 学 院 继 续教 育 学院 ，河 南 郑 州 ４ ００ ） ． ５０ ２
维普资讯
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
立， 即对充 公 大 的 ｔ 成立 ．
盾 不 等式 ．
综上 所述 ， ０， ｌ （）＝ ． 以＝ 即 ｉ ｔ ０ ｍｘ
１ 基 本 引 理
引理 １ 在方 程 ① 中 ， 设 ： Ｑ （） 假 Ａ ） ｔ 和 ，ｔ （）
㈩ 一
ｒ＝ ， 】
≥。 ①
行 讨论．
通 常 ， 程 ① 的 一 个 解 如 果 具 有 任 意 大 的 零 方 点 ， 为振 动 的 ， 果 它 最 终 为正 或 最 终 为 负 ， 为 称 如 称 非振 动 的． 本 文 中 的 不 等 式 除 特 别 说 明 外 ， 指 最 终 成 均
Ｑ（） ｔ ，
（）∈Ｃ ［。∞ ］Ｒ ， ，… ，． ｔ （ ｔ， ， ） ＝１ ｎ
０ 引 言
考虑 二 阶中立 型微 分方 程
－
在本 文 中 ， 们将 对任 意 自然 数 ｍ， 一 般周 我 ｎ和
期 函数 Ｑ （） Ｏ （ ） ＝１ ｊｔ ， ＇ ｔ（ ｊ ，… ， ） 常数 的情 形进 ｎ为
ｘ ｉｕ Ｒ Ｎ ｘｉｅ ｇ ｕ Ｊ－ ｎ ， ｊ Ｅ —ｎ ｆ
（ ． ｅｔ ｆＭａｈ ， ｈｎｚ０ ｅｃｅ Ｃ ｌｇ ，ｈ ｎｚｏ ４ ０ ４ ， ｈｎ ； １ Ｄｐ．ｏ ｔ． Ｚ ｅｇｈＭＴａｈ￣ ｏｅｅＺ ｅｇｈ Ｍ ５ ０４ Ｃ ｉａ ｌ ２ ｃ ｚ ｏ ｏ ｔ Ｍｎ ｄｃ ｔｎ Ｚ ｅｇｈ ＭＵ ｉ ｆＬｇ ｔ ｎ． Ｚ ｅｇｈ Ｍ ５ ０２，ｈｎ ） ． ｂｚ ｆＣ ｎｉ ｉｇＥ ｕａｉ ， ｈｎｚ。 ｎ ．ｏ ｉ ｄ ， ｈｎｚｏ ０ ０ Ｃ ｉａ ｅ ｎ 。 ｖ ｈＩ ４
一类二阶中立型微分方程的振动和非振动准则
一类二阶中立型微分方程的振动和非振动准则杨甲山;方彬【摘要】The oscillation theory of neutral functional differential equations plays an important role in both theory and application. This paper discusses oscillation of a class of second order nonlinear neutral delay functional differential equation with positive and negative coefficients. Using the fixed point theorem in Banach spaGe, and by introducing parameter function and certain analytic techniques , some new non-oscillation criteria for the equation are obtained. In addition, some sufficient conditions for oscillation of the e-quation are proposed. These criteria can improve the restriction of the conditions for the equation. Some existed results in the literatures are further improved and extended.%中立型泛函微分方程的振动性在理论和应用中有着重要意义.研究了一类具有正负系数的二阶非线性中立型时滞泛函微分方程的振动性,利用Banach空间的不动点原理,通过引入参数函数并结合一些分析技巧,获得了该类方程存在非振动解的新的准则,并同时得到了该类方程振动的判别准则,这些准则改善了对方程的条件限制,所得结论推广并改进了现有文献中的一系列结果.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)006【总页数】5页(P776-780)【关键词】正负系数;中立型泛函微分方程;非线性;振动和非振动;Riccati变换【作者】杨甲山;方彬【作者单位】邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004;北京信息控制研究所,北京100037;信阳师范学院数学与信息科学学院,河南信阳464000【正文语种】中文【中图分类】O175.71 引言及问题的提出关于中立型时滞泛函微分方程的定性理论的研究，在理论和实际应用中均有着非常重要的意义.因此，在这一领域出现了许多研究成果［1-15］.近年来，在计算机科学研究中出现了一些同时具有正负系数的中立型方程的数学模型，使得这类方程的研究日益受到重视［1-12］.但注意到具有正负系数的一阶的和线性的中立型方程振动和非振动研究成果较多［1，2，4，6-7］，而具有正负系数的高阶的非线性方程的振动和非振动定理相对较少［3，5，8-12］.本文考虑如下一类非常广泛的具有正负系数的二阶非线性中立型时滞泛函微分方程其中，τn＞0，σi≥0，δj≥0，t0＞0为常数(n=1，2，…，N;i=1，2，…，m;j=1，2，…，l，下同，略);N、m、l均为正整数;Pn(t)∈C(［t0.TIF，+∞)，R);Qi (t)，Rj(t)∈C(［t0.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞));fi (u)，g j(u)∈C(R，R)且ufi(u)＞0(u≠0)，ugj(u)＞0(u≠0).关于方程(1)的特殊情形，许多文献作过研究.如文献［2-8］分别研究了如下具有正负系数的线性方程及非线性方程的振动性，在∞”及“(H0)：对t≥t0及∀α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”成立的条件下得到了方程存在非振动解的结论;文献［5］等在“R(t)最终为负”的条件下给出了方程(3)振动的充分条件.本文的目的是要改善对方程的这些条件限制，利用Banach空间的不动点原理，通过引入参数函数和Riccati变换，并结合一些分析技巧，建立方程(1)振动和非振动的若干新的准则，所得定理推广并改进了现有文献中的一系列结论.函数x(t)称为方程(1)的解，如果x(t)∈C2(［t-1.TIF，+∞)，R)，并且x(t)满足方程(1)，这里.本文只讨论方程(1)的非平凡解.方程(1)的解称为是最终正解(或最终负解)，如果存在常数T≥t0，使得当t≥T时，x(t)＞0(或x(t)＜0).方程(1)的解x(t)称为是振动的，如果它既不最终为正也不最终为负，否则称它是非振动的;方程(1)称为是振动的，如果它的所有解都是振动的.考虑如下假设：(H1)：fi(0)=0，gj(0)=0，且存在常数Lfi＞0，Lgj＞0，使得对∀x≥0，y≥0，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi|x-y|和|gj(x)-gj(y)|≤Lgj|x-y|.(H3)：存在常数αi＞0，βj＞0，使得fi(u)/u≥αi，gj(u)/u≤βj.(H4)：σi≥δj≡δ且至少有一个i使得σi＞δ，(H5)：Pn(t)≥0且2 主要结果及证明定理1 设(H1)和(H2)成立，-1＜＜0并且最终有Pn(t)≤0，则方程(1)一定存在一个最终正解，这里证明记可选择一个充分大的T＞t0，使得T≥t0 +μ，且当t≥T时有考虑Banach空间B={x=x(t)|x(t)∈C(［T-μ.TIF，+∞)，R)且有界}，B上的范数定义为‖x‖定义B的子集B1={x∈B：a≤x(t)≤ A，t≥T-μ}，则B1是B的有界凸闭子集，这里常数A＞a＞0，并使得0＜a＜1+和A＞10/9成立.于是由条件(H2)，可选择一个充分大的t1≥T，使得当t≥t1时有这里L=max{.定义映照ρ：B1→B如下则显然ρ是连续的.注意到条件(H1)、(4)和(5)式，对∀x∈B1及t≥t1有另一方面，由定理的条件及(6)式，类似可得从而a≤ρx≤A，因此ρB1⊆B1.又对∀x1，x2∈B1和t≥t1，同理可得因0＜(A-a)/A＜1，所以ρ是B1上的压缩映照.于是，由Banach压缩映照原理知，ρ在B1上有唯一的不动点x*=x*(t)，容易验证此不动点x*(t)就是方程(1)的一个最终正解.定理证毕.例1 考虑具有正负系数的二阶微分方程若取τ=1，σ=3/2，δ=1/2，t0=2，P(t)=-1/2+ 2/t，Q(t)=2(2t-3)/t(t-1)3(2t+1)，R(t)= 2(2t-1)(3t+1)/t(t-1)3)(2t+3)，f(x)=x，g(x)=x，则易知此时方程满足定理1的条件，故所给方程一定存在一个最终正解.事实上，不难验证，x(t)=1/2+1/t就是一个这样的解.注1 文献［2-9］在“对任意t≥t0及任意常数α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”条件下给出具有正负系数的二阶方程(2)～(3)存在非振动解的判别准则，但本文定理却不需要这个条件，例1所给的方程显然也不满足这个条件.因此文献［2-9］中的定理均不能用于本文例1中的方程.下面给出方程(1)的新的振动准则.为此，记引理1 设(H3)和(H4)成立，如果Pn(t)≥0，x(t)为方程(1)的一个最终正解，则z(t)＞0，z'(t)≥0，z″(t)＜0.证明由于x(t)为方程(1)的一个最终正解，即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)＞0，x(t-τn)＞0，x(t-σi)＞0，x(t-δj)=x(t-δ)＞0，从而y(t)＞0，进而z(t)＞0(t≥t1).由(7)和(8)式及方程(1)，并注意到(H3)和(H4)，可得下证z'(t)≥0(t≥t1).事实上，若存在t2≥t1，使得z'(t2)＜0，则当t≥t2时，z'(t)≤z'(t2)＜0.取定T≥t2，并从T到t(t＞T)积分，得z(t)≤z(T)+令t→+∞，则有这与z(t)＞0矛盾.故z'(t)≥ 0.引理证毕.定理2 设(H3)～(H5)成立，如果存在一单调递增函数φ(t)∈C1(［t0.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞))使得这里ε≥0为常数，则方程(1)是振动的.证明不妨设x(t)为方程(1)的一个最终正解(最终负解的情形类似可证)，即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)＞0，x(t-τn)＞0，x(t-σi)＞0，x(t -δj)＞0.于是由引理1及(11)式知，y'(t)＞0(t≥t1)，即y(t)为单调递增函数.由(H5)及(7)式知，y(t)≥x(t)(t≥t1)，于是从而有，将其代入(11)式，注意到(9)式得令V(t)=φ(t)z'(t)/y(t-δ)，则V(t)≥0(t≥t1).再由z'(t)≥0，y'(t)＞0(t≥t1)及(13)式得由于z'(t)单调减少，y(t)单调增加，于是有记ε=z'(t1)/y(t1-δ)，对上式两边从t1到t积分得令t→+∞，并注意到(12)式，有V(t)→-∞，这与V(t)≥0矛盾.定理证毕.定理3 设(H3)～(H5)成立，如果存在常数k≥2和函数φ(t)∈C1(［t0.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞))及r(t)∈C(［t0.TIF，+∞)，［0.TIF，+∞))且r(t)在［t0.TIF，+∞)的任一子区间上均不恒为0使得这里h(t，s)=∫tsr(v)dv，则方程(1)是振动的.证明同定理2，令V(t)=φ(t)z'(t)/y(tδ)，则V(t)≥0(t≥t1)，且由(10)式知，y'(t)≥z'(t)≥0，又z″(t)≤0，于是由(13)和(15)式可得上式两边同乘以hk(t，s)并从t1到t(t＞t1)积分得即上式取上极限，即得与(14)式矛盾.定理证毕.注2 选择恰当的不同的函数φ(t)和r(t)，就能导出许多不同的关于方程(1)的具体振动准则.例2 若在定理3中取φ(t)=1，r(t)=1，则h(t，s)=∫tsr(v)dv=t-s，就有下面结果：推论1 设(H3)～(H5)成立，如果存在常数k≥2使得则方程(1)是振动的.例3 若在定理3中取，则h(t，s)=lnt-lns，为了简单取t0=1，于是就有：推论2 设(H3)～(H5)成立，如果存在常数k≥2和函数φ(t)∈C1(［1.TIF，+∞)，(0.TIF，+∞))使得则方程(1)是振动的.注3 文献［5］等在“R(t)最终为负”的条件下给出了具有正负系数的二阶泛函微分方程(3)振动的一个充分条件，但本文定理2和3却不需要这个条件.当方程(1)中的Rj(t)≡0时，方程退化为一般的二阶非线性中立型泛函微分方程，此时本文所给的振动准则仍然是非常好的振动准则.参考文献［1］Tang X H，Yu J S.Positive solution for a kind of neutral equationswith positive and negative coefficients［J］.Acta Math Sinica，1999，42(5)：795-802.［2］Kulenovic M R S，Hadziomerspahic S.Existence of nonoscillatory solution of second order linear neutral delay equation［J］.J Math Anal Appl，1998，228：436-448.［3］Gai M J，Shi B，Zhang D C.Oscillation criteria for second ordernonlinear differential equations of neutral type［J］.Appl Math J Chin Univ，2001，B16(2)：122-126.［4］李美丽，冯伟.二阶线性中立型时滞微分方程非振动解的存在性［J］.山西大学学报：自然科学版，2002，25(3)：195-199.［5］仉志余，王晓霞，林诗仲.非线性二阶中立型时滞微分方程的振动和非振动准则［J］.系统科学与数学，2006，26(3)：325-334.［6］Manojlovic J，Shoukaku Y，Tanigawa T，et al.Oscillation criteria for second order differential equations with positive and negative coefficients ［J］.Appl Math Comput，2006，181(2)：853-863.［7］李秀云，刘召爽，俞元洪.具有正负系数的二阶中立型时滞微分方程的振动性［J］.上海交通大学学报：自然科学版，2004，38(6)：1028-1030.［8］何宏庆，仉志余.二阶非线性中立型时滞微分方程的振动准则［J］.数学的实践与认识，2007，37(23)：130-134.［9］杨甲山.具有正负系数的二阶非线性中立型方程的非振动准则［J］.工程数学学报，2010，27(1)：118-124.［10］刘兴元.具有正负系数中立型时滞微分方程的振动性［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2006，29(2)：192-196.［11］杨甲山，王瑀.一类具正负系数的二阶中立型方程的振动性［J］.合肥工业大学学报：自然科学版，2012，35(4)：552-556.［12］杨甲山.具正负系数和阻尼项的高阶微分方程的振动定理［J］.中山大学学报：自然科学版，2012，51(1)：30-34.［13］潘立军.具偏差变元的一类三阶微分方程的周期解［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34(1)：71-76.［14］Luo H，Zhuang R K，Guo X M.Oscillation criteria for second ordernonlinear differential equation with damping［J］.Appl Math Mech，2005，26(4)：441-448.［15］Zheng Z H，Li X L.Necessary and sufficient conditions for the existence of equilibrium in abstract non-autonomous functional differential equations［J］.Sci Chin Math，2010，53(8)：2045-2059.。
2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质
x1 x1
(t) f (t, x1(t),
(t0) (t0).
1
(t
r
)),
(6)
假设(6)的解在区间[t0,t0 r]上存在，记为x 1(t), 那末当t0 r t t0 2r时，有x(t r) 1(t r)。
首先给定一初始时刻t0 R，若函数x(t)在[t0,b) 上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t0 ,b)上有 定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-ri(t)) (i=1,2, , m),
当t0 r t t0时,t-ri(t)有可能落在区间 [t0 r,t0 ]之上，但是x(t)在[t0 r,t0 ]上是没有 定义的，它等于多少，有待我们预先给定。
xt ( ) x(t ), [r,0].因此，xt C.
设D RC, f : D Rn为给定的函数，则关系式
x(t) f (t, xt )
(10)
称为具有有界滞量的滞后性泛函微分方程。其中x(t)
表示x(t)对t的右导数。
如果存在t0 R, A 0,以及 x C([t0 , r, t0 A), Rn ), (t, xt ) D， 并且x(t)在区间[t0 , t0 A)上满足 方程(10)，则称函数x是方程(10)的 一个解。
()
2.
x(t) ax(t r)
x(t
)
C（常数）t[t0r Nhomakorabea,
t0
]
()
例2 考虑下列方程
x(t) x(t 1) 2x(t 1)
线性微分方程的振动性和震荡解
线性微分方程的振动性和震荡解线性微分方程是数学中一个广泛应用的分支，其研究对象为形如y''+p(x)y'+q(x)y=0的函数y(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
在解这类方程时，我们往往需要寻找解的特性和性质。
其中振动性和震荡解是相对重要的概念，对于线性微分方程的解具有重要的意义。
一、振动性的引出我们考虑如下简单的线性微分方程：my'' + ky = 0其中，m、k为常数。
该方程可以看做是描述一个振动系统的运动方程。
这个系统受到的外界扰动较小，可以看做是一个自由振动的系统。
有经验的读者肯定可以想到，这个模型可以用来描述许多实际中存在的振动系统，如受到微小扰动的弹簧、震动的机械装置等等。
由于这类振动系统的自由运动只受到其初始状态和系统固有振动频率的影响，所以我们主要研究的是这个方程式中的解的固有性质，即振动性。
二、振动性的定义接下来，我们考虑这个方程的解的一些性质。
显然，它的一个解为：y = sin(wt)其中，w为角频率，t为时间。
在物理实验中，通过对振动系统的测量，我们可以求得某个物理量沿时间的变化，如果这个物理量的变化具有如上的形式，我们称之为正弦函数的振动。
同时，哪怕一个实际物理过程的显微细节再细致，我们也可以近似认为其表现为类似正弦函数的周期振动。
这些现象的共同点是它们表现出的固有周期性质，也就是振动性。
我们把一个线性微分方程的解如果显示出一种周期振动的趋势，就说其具有振动性。
这在实际应用中也非常常见。
三、振动性的数学表述对一个解具有周期性质，也即具有振动性的性质来讲，我们也可以具有一种数学上更为严谨的说明方式：其所有解在对任意初始条件的响应过程中，始终保持其初始状态。
这一性质可以通过管理数学、力学中的“周期轨道”和“线性时间不变”，以及物理系统的“守恒量”等来解释。
四、线性微分方程的震荡解现在，我们考虑许多微分方程的振动解和震荡解之间的区别。
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数 学 的 实 践 与 认 识
40 卷
+ 1
= - q ( t) -
f′ ( x ( g ( t) ) ) g ′ ( t) N ( ( x ( t) ) f ( x ( g ( t) ) )
+ 1 - 1 1
)
W ( t)
- q ( t) - K W ( t ) 两边乘以 H ( t , s ) , 再在 [ t0 , t] 上积分, 可以得到
- 1
的解的振动性质, 文[ 2] 研究了二阶半线性微分方程 ( a ( t) ( x ( t) x ′ ( t) x′ ( t) ) ′ + q ( t) f ( x ( t ) ) = 0, > 0 的解的振动性质, 分别建立了上述方程的若干个振动性定理. 在此基础上 , 本文讨论了一类 较为广泛的二阶半线性时滞微分方程 : ( ( x( t) ) x ′ ( t) x′ ( t) ) ′ + q ( t) f ( x ( g ( t ) ) ) = 0, > 0 (E) 的解的振动性质, 在一定条件下 , 建立了两个新的振动性定理 , 推广和改进了已知的结果. 对于方程 ( E ) , 约定: i) q : [ t0 , ∞ ) → R , q ( t ) > 0; ii) , f : R → R 连续, 且 ( x ) =
+ 1
于是 1 H ( t , t 0)
∫
t
0
t
q ( s) H ( t, s ) -
h + 1( t , s ) ds H ( t , s)
W ( t0) , t
t0
ห้องสมุดไป่ตู้
令 t → ∞ , 两边取极限 , 即可推出矛盾, 于是定理得证. 推论 1 若方程 ( E ) 条件变为 : i) q : [ t0 , ∞ ) → R , q ( t ) > 0; ii) , f : R → R 连续 , 且 ′ ( x) 个常数 ; iii ) g ( t) ∈ C [ t 0, ∞) , t 0 ∈ R , g ′ ( t) > 0, 当 t → ∞ 时 , g ( t) → ∞ , 并且对任意大的 t , 有 g( t ) t. 并且条件 ( C 1) 和( C 2 ) 成立 , 则方程( E ) 振动 . 例 对于上面定理 , 可以考虑下面例子 : ( x ( t)
第 40 卷第 1 期 2010 年 1 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY
V ol. 40 N o. 1 Jan. , 2010
教学园地
一类二阶半线性时滞微分方程解的振动性质
窦向凯, 张全信 , 徐振民
( 滨州学院 数学与信息科学系 , 山东 滨州 256603)
3+
0, f ( x ) ∈ C ( - ∞, ∞ ) , x f ( x ) > 0, x ≠ 0, > 0 是一
x′ ( t)
- 1
x′ ( t) ) + t
′
2 - co s t 3 t + sin t x 2 = 0 t
q( t ) = t
2 - cos t + sin t t
1期
窦向凯 , 等 : 一类二阶半线性时滞微分方程解的振动性质
0
t
q( s ) d s =
d( s ( 2 ∫
t
0
t
cos t) ) = t ( 2 - cos t ) - t0 ( 2 + cos t ) t - k0
= t ( 2 - co s t ) - k 0 令 H ( t , s) = ( t - s ) , t 1 t2
2 t t t t t
0
2
t0 , 则
2 + 1
[ ( t - s ) q( s ) - 2 ∫ 1 q ( u ) du = ∫2( t - s) ∫ t 2 ( t - s) ( s - k ) d s t∫
s t
0 0
( t - s) -
1-
] ds ds
2 + 1 ( t - s ) 12+2 (t ∫
t0 t
2
0
t0
t
( x ( t) ) x ′ ( t) x′ ( t) 2 f′ ( x ( g ( t) ) ) x ′ ( g( t ) ) g′ ( t) f ( x ( g ( t) ) ) f′ ( x ( g ( t) ) ) g ′ ( t ) N ( x ( t) ) x ′ ( t) 2 f ( x ( g( t ) ) )
收稿日期 : 2009-03-20 基金项目 : 滨州学院“ 青年人才创新工程” 科研基金 ( BZX Y Q N LG 200725)
i+ l ( i) ( i)
t, g ′ ( t ) > 0, g ( t) → ∞, y ( t ) ∈ C n, y ( t ) 常号, y ( n) ( t) ≠ 0, y ( n) ( t ) y ( t ) t1 T;
t
0
t
H ( t, s) ds s
+ 1
于是有
∫
t
0
t
q ( s ) H ( t , s ) ds
W ( t 0 ) H ( t , t 0) +
( h( t , s ) ∫
t
0
t
W ( s ) - kH ( t , s ) W ( s )
) ds
令 X = ( K H ( t , s) ) Y = q= 由引理 3 知 W ( s ) h ( t, s ) - K H ( t, s ) { W ( s ) 因此对于任意 t t0 有
+ 1
证明 假设 x ( t ) 是方程( E) 的非振动解 , 不失一般性, 假设 x ( t ) > 0, t W ( t) = 由于 ( ( x ( t) ) x ′ ( t) 于是 ( x′ ( t) 因此有 x ″ ( t) 0. 0, 从而 x ′ ( t ) > 0. 又由引理 2 知 x ″ ( t) x′ ( t) x′ ( t) > N t 于是 x′ ( g ( t) ) > N g ( t) 由上面引理 1 和引理 2 知 W′ ( t) = - q ( t) - q ( t) n- 2 n- 2 2 - 1
+ 1 + 1
W ( t)
2
h ( t , s) + 1 + 1 ( K H ( t, s ) )
+ 1
h ( t , s) H ( t, s )
t
+ 1
∫
t0
t
q ( s) H ( t, s ) ds
W ( t 0) H ( t , t 0 ) +
∫
t0
h ( t , s) d s H ( t, s )
( x ( t) ) x ′ ( t) x′ ( t) f ( x ( g ( t) ) )
- 1
- 1
x′ ( t) ) ′ = ( ( x ( t ) ) sg n( x ( t ) ) = ( x( t)
- 1
( x′ ( t) ) sg n( x ′ ( t) ) ( x′ ( t) 0
2
- 1
0 0 + - 1
x
- 1
x , x f ( x ) > 0, x ≠ 0, > 0 是一个常数 ;
iii ) g ( t) ∈ C [ t , ∞) , t ∈ R , g ′ ( t) > 0, 当 t → ∞ 时 , g ( t) → ∞ , 并且对任意大的 t , 有 g( t ) t. 在进行新的定理证明之前, 我们首先建立几个引理[ 3-6] 引理 1 对半线性时滞微分方程 d ( y ( n- 1) ( t ) ) + c( t ) ( y ( g ( t ) ) ) = 0 dt 其中 c ( t) 0, t i) ii) 0, g ( t ) T 则 t1 T t0 , 使得 y ( t ) 常号 , i = 1, 2, …, n - 1, t l ∈ { 1, 2, … , n - 1} , n + l 是奇数 , 使得 y ( i) ( t ) > 0, t ( - 1)
( t) y
( n)
( t) y
0
n- 1
y′ ( t) > N t 引理 3 若 X , Y 为非负实数 , 有
q q
n- 2
( t) 0, q > 1
X + ( 1 - q ) Y - qX Y 其中等号成立当且仅当 X = Y . 定理 1 假设( C 1 ) : f′ ( x ( g( t ) ) ) g ′ ( t) N 1 ( ( x ( t ) f ( x ( g ( t ) ) ) - 1) 定义 = 又假设存在平均函数 H 1: D = { ( t , s ) t s ) > 0. H 2: h ( t , s) = 并且条件 ( C 2) : lim sup t →+ ∞ 成立, 则方程 ( E ) 振动. 1 H ( t , t0 ) s t 0 → R , 使得当 t 1 K
∫
t
0
t
W′ ( s ) H ( t , s) d s
-
∫
t
0
t
q ( s ) H ( t , s ) ds - K
H ( t, s ) ∫
t
0
t
+ 1
W ( s)
ds
又因为
∫
t