基于广义逆的二元矩阵PADE逼近及其代数性质
（计算数学专业论文）广义逆在代数扰动理论中的性质、表示及矩阵Drazin逆..
摘要广义逆矩阵的表示与计算是，１义逆理论的重要研究课题，因其埋论．卜的重要地位和实际中的Ｊ“泛应用＋直为人们所关注，近二三卜年来，国内外众多学者在这方而做了大量：工作，得到了丰富的成果（见ｆ１～６］等）。
区别于传统的分析扰动，Ｊ．Ｒ．Ｂｕｎｃｈ和Ｄ．Ｊ．Ｒｏｓｅ在１９７４年首先提出了用代数扰动的方法求勰非奇异线性方程组，随后，Ｌ，Ｂ，Ｒａｉｌ。
陈永林，季均等运用这一１方法相继得到了ｙｃｙ－Ｂａｎａｃｈ空间卜的线性算子。
实（复）域上矩阵的｛１）逆，｛１，２）逆及Ａ簧；逆的‘系列结果。
本文的第三章将麻用代数扰动的思想，首次得到Ｌ一零矩阵的（Ｊ。
义）Ｂｏｔｔ—Ｄｕｆｆｉｎ逆矩阵及矩阵的加权Ｄｒａｚｉｎ逆的荇干新性质以及这两类广义逆的新表达式。
鉴于除环在：】：程，物理等领域的重要应ｊ＿ｌ】，本文的第四章将对广义逆在Ｐ一除环｝。
所具有的众多性质加以系统整理。
并且在Ｐ一除环．卜首次研究了矩阵的代数扰动理论。
条件数是衡量矩阵对扰动敏感程度的主要指标之，在矩阵计算和扰动分析的研究中发挥着重要作用，从而广受重视（见［３，３２—４７１等）。
本文的第五章将讨论Ｄｒａｚｉｎ逆条件数的极小性质，绘出了Ｄｒａｚｉｎ逆条件数达到极小的充要条件以及此时矩阵所具有的性质。
非负矩阵在随机过程，马氏链，数理统计中有着』’‘泛的廊朋。
本文的第六章将讨论…类特殊的非负矩阵。
文章将从新的角度出发，在进一步的讨论中得到若Ｔ瓤性质。
关键词：代数扰动，（加权）Ｄｒａｚｉｎ逆，（广义）Ｂｏｔｔ—Ｄｕｆｆｉｎ逆，Ｐ．除环，条件数，值域与零空间，矩阵范数，非负矩阵ＡＢＳＴＲＡＣＴＴｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅｎｒａｔｒｉｅｅｓｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｐｉｃｉｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅ．Ｓｉｎｃｅｉｔｓｈｉｇｈｖａｌｕｅｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｂｏｔｈｔｈｅｏｔｉｃａｌｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｐｒａｃｔｉｃａｌｕｓｅ，ｍａｎｙｓｃｈｏｌａｒｓｈａｖｅ（１０ｎｅｎｍｃｈｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｉｔ．（Ｒｅｆｓ：［１—６］ｅｔｅ．）Ｉｎｔｈｅｙｅａｒｏｆ１９７４，Ｊ．ＲＢｕｎｃｈａｎｄＤ．ＪＲｏｓｅｆｏｕｎｄａｎｅｗｗａｙｃａｌｌｅｄａｌｇｅｂｒａｉ（－ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｎｏｒＩｓｉｎｇｕｌａｒｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｆｔｅｒｔｈｅｎ．Ｌ，Ｂ．Ｒａｉｌ，Ｙ，Ｌ．ＣｈｅｎａｎｄＪ．ＪｉｈａｖｅａｌｓｏｄｏｎｅａｌａｒｇｅａｒｎｏｕｎｔｏｆｗｏｒｋｏｎｉｔｗｉｔｈｒｅｓｕｌｔｓｉｎｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｏｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ，｛１卜ｉｎｖｅｒｓｅ，｛ｌ，２）一ｉｎｖｅｒｓｅａｘｅｄＡＧ．ｉｎｖｅｒｓｅｏｆｍａｔｒｉｃｅｓ．ＴｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｒｐｔｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｇｏｉｎｇｔｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓｏｎａｌｇｅｂｒａｉｃｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＢｏｔｔ—ＤｕｆｆｉｎｉｎｖｅｒｓｅａｎｄｗｅｉｇｈｔｅｄＤｒａｚｉｕｉｎｖｅｒｓｅ．Ｉｎｔｅｒｍｏｆｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒａｃｔｉｃａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｄｉｖｉｓｉｏｎｒｉｎｇｔｏｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄｐｈｙｓｉｃｓ．ｉｎｔｈｅｆｏｒｔｈｃｈａｒｐｔ，ｗｅｇｉｖｅｓｏｍｅｎｅｗｒｅｓｕｌｔｓｉｎＰ—ｄｉｖｉｓｉｏｎｒｉｎｇＯＵａｌｇｅｂｒａｉｃｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙＣｏｎｄｉｔｉｏｎ１１１１１ｎｂｅｒｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｍｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｄｅｃｉｅｓｗｈｉｃｈａｒｅｕｓｅｄｔｏｍｅｍｓｕｒｅｓｅｎｓｉｔａｔｉｏｎｏｆｍａｔｒｉｘａｇａｉｎｓｔｐｅｒｔｕｒｈａｔｉｏｎＩｎｔｈｅｆｉｖｔｈｃｈａｒｐｔ，ｗｅｏｂｔａｉｎｓｏｍｅｐｒｏｐｅｚｌＡｅｓｏｆｍａｔｒｉｘｗｈｅｎｉｔｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｏｎＤｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅｉ８ｍｉｎｉｍａｌ．Ａｎｄｆｉｎａｌｙ，ｗｅｗｉｌｌｆｉｎｄｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅｍａｔｒｉｃｅｓｗｈｉｃｈｈａｖｉｎｇｓａｎｌｅｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅｇｒｏｕｐｉｎｖｅｒｓｅａｎｄＭ—Ｐｉｎｖｅｒｓｅ．ＫＥＹＷＯＲＤ：ａｌｇｅｂｒａｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ，（ｗｅｉｇｈｔｅｄ）Ｄｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅ，（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ）Ｂｏｔｔ．Ｄｕｆｆｉｎｉｎｖｅｒｓｅ，Ｐ—ｄｉｖｉｓｉｏｎｒｉｎｇ，ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒ，ｖａｌｕｅｄｆｉｅｌｄ＆ｚｅｒｏｓｐａｃｅ、ｍａｔｒｉｘｎｏｒｎｌ．ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅｍａｔｒｉｘ噶垫堑＝硕士学位论文答辩委员会成员名单矿衫年，月Ｊ孑曰Ｉ姓名职称单位各注Ｉ座发顿放褪鲜芳肝也犬墨税哲缸主席ｌ｛才ｌ研韶褪鲜袁肝范无喜磁学瓜ｆ呶茄旋教疆辞龟卿勃震基诒噎番Ｌ｝馥确坩井烀笮磊好瑟戎爱么舅畚云纬ｌＶ学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导师的指导Ｆ进行的研究工作及取得的研究成果。
浅介几种广义逆矩阵及其应用
浅介几种广义逆矩阵及其应用矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
其中所涉及到的一个重要分支——广义逆矩阵，有许多好的性质和用途，已成为许多领域研究并解决问题的强有力工具，是矩阵理论在最近几十年中的新成就之一。
本文主要介绍[]几种常用广义逆矩阵的基本知识及广义逆矩阵在生产生活中的应用。
标签：广义逆矩阵；基本介绍；应用1 背景介绍广义逆产生于线性方程组求解的实际需要，其思想可追溯到1903年E.I.弗雷德霍姆所研究的关于积分算子的一种广义逆，随后由E.H.Moore在1920年提出任意矩阵的广义逆定义，然而在其后的30年却未能引起人们关注，直到1955年，R.Penrose定义了Moore的广义逆矩阵之后，广义逆矩阵的发展才开拓了一片新的天地。
后来人们证明Moore和R.Penrose的两种广义逆矩阵是等价的，因而被称为M一P广义逆矩阵。
至此，广义逆矩阵正式诞生，此后的逐步发展也使其具有了广泛的应用。
2 几种常见广义逆矩阵的简单介绍我们引用方便的M—P方法来定义广义逆矩阵：设任意复数矩阵Amn，如果存在复数矩阵Bnm，满足M-P方程，即（1）ABA=A（2）BAB=B（3）（AB）H=AB（4）（BA）H=BA的全部或一部分，则称B为A的广义逆矩阵。
由此易推算广义逆矩阵有15种。
在这里，重点研究和介绍五种，即：A-、自反广义逆Ar-，极小范数广义逆Am-，最小二乘广义逆Al-及伪逆矩阵A+。
2.1 A-满足方程（1）的记为A-，其重要性质有：（1）A广义逆的转置等于A转置的广义逆，即（AT）-=（A-）T；（2）若复方阵A满秩，那么A的逆等于A的广义逆，且A-唯一；（3）秩（A）≤秩（A-）；（4）秩（A）=秩（AA-）=秩（A-A）；（5）线性方程组Ax=b有解（相容）当且仅当AA-b=b。
2.2 自反广义逆Ar-满足方程（1）和（2）的是自反广义逆。
若X、Y都是A的广义逆矩阵，则Z=XAY是A的自反广义逆。
一种新型的矩阵Padé逼近方法
、
引 言
在 自然 科 学 和 工 程 技 术 的 实 际 计 算 中 ， 函数 的 用
本 思想 就是 对 于一 个 给定 的形 式 矩 阵 值 幂 级 数 ， 构造 一 个 矩 阵值 有理 函数 ， 为逼 近 式 ， 该 逼近 式 的 Ｔｙ ｒ 称 使 ａｌ 展 ｏ 开式有 尽 可能 多 的项 与原 来 的 幂 级数 相一 致 ． 引 入矩 阵 多项 式 的集 台
展 开与 级 数 （ ） 首 项 起 连 续 地 有 尽 可 能 多 的 项 相 １从
同． 即
经典 矩 阵 Ｐｄ 逼 近 在 控 制理 论 、 统 理 论 、 息 理 ａ６ 系 信 论 、 子及 初 等 粒 子 物 理 中 已 经 有 深 入 的 实 际 应 用 背 原 景 ０ 但是 ， 典矩 阵 Ｐｄ 逼 近都 要 涉及 矩 阵 的乘 法 ， 经 ａ６ 而 矩 阵 的乘 法一 般 不 满足 交 换 律 ， 而 在 一 定 程 度 上 限 制 从
了该 逼 近 方 法 的 应 用 范 围 ． 于 广 义 逆 的 矩 阵 Ｐ ｄ 基 ａ ６逼
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这 里 要 求 尽可 能地 大 ． 中 其
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表 示 一 个首 项 系数 从 ｒ 开始 的余 项 幂级 数 ． 项 由 于有 理 函数 包含 多 项 式 为 其 特 侧 ， 以 定义 中所 所 述 的 矩阵 有 理 函数 Ｐ（ ）Ｑ（ ） ｚ Ｉ 。显然 是存 在 的 ． 记
是 作为 从幂 级 数 展 开 式 中提 取 更 多 信 息 的 一 种 系 统 方 法 ， 延至 ２ 则 ｏ世 纪 ６ ｏ年代 初 期 结 合 电子 计 算 机 的应 用 始 由理论 物 理学 家 Ｂ ｋｒ Ｇａａ ｅ 等 强 调 指 出 ， 逐 渐 ａｅ和 ｎｍ ｌ 并
线性代数中的广义逆
线性代数中的广义逆线性代数中的广义逆是一种特殊的矩阵运算，它在解决线性方程组、最小二乘问题以及矩阵逆的计算中具有重要作用。
本文将详细介绍广义逆的定义、性质和应用，以加深对该概念的理解。
一、广义逆的定义与性质广义逆是针对非方阵而言的。
对于一个m×n的矩阵A，在矩阵A的扩展实数域中，若存在一个n×m的矩阵B，使得AB和BA均为投影矩阵，则称B为A的广义逆，记作A^+。
广义逆具有以下性质：1. 幂等性：(A^+)^+ = A^+2. 逆性：(AB)^+ = B^+A^+3. 秩性：(A^+)A和A(A^+)的秩相等4. 唯一性：若A^+和B^+都是A的广义逆，则A^+ = B^+二、广义逆的应用广义逆在线性方程组的求解中扮演着重要角色。
对于一个m×n的线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知向量。
若A的行秩等于列秩，则该方程组有唯一解。
然而，在实际问题中，方程组常常出现行秩小于列秩的情况，此时无法直接求解。
利用广义逆的概念，我们可以构造最小二乘解。
最小二乘解是指使得||Ax-b||^2（欧氏范数下的二范数）最小的解。
通过广义逆的求解方法，可以找到最接近方程组Ax=b的解x*，即使得||Ax*-b||^2取得最小值。
特别地，当A的列秩等于n（A是满秩列）时，最小二乘解与精确解重合。
广义逆还在矩阵逆的计算中起到重要作用。
当方阵A不可逆时，可以使用广义逆来近似计算逆矩阵。
通过广义逆的逆性质，我们可以得到A的近似逆矩阵A^+的逼近解析表达式。
三、广义逆的计算方法1. 伪逆法：通过奇异值分解（SVD）求解广义逆，即A^+=VΣ^+U^T，其中U、Σ、V分别是A的左奇异向量矩阵、对角奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
2. 矩阵分块法：将矩阵A分块，利用分块矩阵性质求解广义逆。
3. Moore-Penrose逆矩阵：Moore-Penrose逆矩阵是一种特殊的广义逆矩阵，是广义逆的一种常用表示形式。
深析矩阵的广义逆定理及其应用的诸多领域毕业论文
矩阵的广义逆及其应用摘要：矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。
本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。
关键词：分块矩阵；广义逆；Moore—Penroce逆；Cramer法则.The generalized inverse matrix and its applicationAbstract: The generalized inverse of matrix, i.e. the inverse of Moore-Penrose, plays an indispensable role in many fields of theories and applied sciences, such as differential equation, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, the analysis of electrical network, system theory and surveying, etc.The thesis introduces the definition and the property of the generalized inverse for the first place, and its primary content is the application of generalized inverse matrix including its all kinds of applications in the block matrix theory, its Cramer rule and its calculation. Besides, brief explanations are given to some theories with illustrations.Key words: block matrix; generalized inverse; inverse of Moore-Penrose; Cramer rule.1引言矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore 首先提出的，但在此后的30多年里，矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose 利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。
广义逆的性质与应用
广义逆的性质与应用广义逆是矩阵理论中的重要概念，广义逆的性质与应用涵盖了多个领域，包括线性代数、最小二乘法、控制论、信号处理等。
本文将介绍广义逆的定义、性质及其在不同领域中的应用。
一、定义与性质1.1 定义广义逆也被称为伪逆或摩尔－彭若斯广义逆，是对于非方阵的矩阵而言的一种逆。
对于任意的m x n矩阵A，它的广义逆记作A^+ ，满足以下条件：1) AA^+A = A2) A^+AA^+ = A^+3) (AA^+)^T = AA^+4) (A^+A)^T = A^+A1.2 性质广义逆具有以下一些重要性质：1) 如果A是可逆矩阵，则A的广义逆等于A的逆。
2) A的广义逆是唯一的。
3) 两个矩阵的广义逆的乘积等于它们各自广义逆的乘积。
4) 广义逆具有非负性：如果A的元素都是非负的，则A的广义逆的元素也都是非负的。
5) 当A是满秩矩阵时，AA^+ = I，即A乘以它的广义逆等于单位矩阵。
二、应用领域2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用于解决拟合问题的数学方法，广义逆在最小二乘法中起着重要作用。
对于线性方程组Ax=b，其中A是一个非方阵，x和b是两个向量，如果该方程组无解，我们可以通过广义逆来寻找一个最优解，即使得Ax尽量接近b的解x^* = A^+b。
2.2 控制论广义逆在控制论中的应用主要是在系统建模和控制器设计中。
在一些复杂的系统中，往往无法直接求解系统的解析解。
通过广义逆，我们可以得到一种近似解，在控制器设计中，可以利用广义逆来求解动态系统的逆动力学问题。
2.3 信号处理广义逆在信号处理中也起着重要作用，特别是在图像恢复、压缩感知以及信号降噪等方面的应用。
通过广义逆，可以对噪声干扰下的信号进行恢复和重构，提高信号的质量和准确性。
2.4 数据挖掘在数据挖掘中，广义逆被广泛应用于矩阵分解、推荐系统和聚类分析等领域。
通过广义逆，可以对大量的数据进行降维处理，提取有效的特征，并用于分类和预测任务。
三、总结广义逆作为矩阵理论的重要内容，具有广泛的应用价值。
线性代数中的广义逆与广义逆矩阵
线性代数中的广义逆与广义逆矩阵线性代数是现代数学中的重要分支之一，在不同领域中都有广泛的应用。
广义逆是线性代数中的一个重要概念，与广义逆相关的广义逆矩阵也是研究的热点之一。
本文将介绍线性代数中的广义逆与广义逆矩阵的概念、性质以及应用。
一、广义逆的概念与性质1. 广义逆的定义广义逆是指对于任意的m×n矩阵A，存在一个n×m的矩阵B，使得A·B·A=A，称矩阵B为矩阵A的广义逆。
广义逆有时也被称为伪逆或逆广义。
2. 广义逆的性质（1）广义逆的存在性：对于任意的矩阵A，都存在唯一的广义逆。
（2）广义逆的满足性质：对于矩阵A的广义逆B，满足BA=BBAB=B。
（3）广义逆的不唯一性：对于同一个矩阵A，其广义逆并不唯一。
二、广义逆矩阵的计算方法1. SVD分解方法奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法，可以用于计算广义逆矩阵。
通过对矩阵A进行SVD分解，可以得到A=UΣV^T的形式，其中U、Σ和V^T分别为矩阵A的左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
则矩阵A的广义逆可以表示为A^+=VΣ^+U^T，其中Σ^+表示奇异值矩阵Σ的逆矩阵。
2. 初等变换法通过初等变换的方法来计算广义逆矩阵也是常用的一种方法。
对于矩阵A，通过初等行变换和初等列变换，可以将矩阵A转化为行最简形或列最简形。
然后再进行逆变换，得到矩阵A的广义逆矩阵。
这种方法相对简单直观，但当矩阵较大时计算量较大。
三、广义逆与最小二乘法的关系最小二乘法是一种常用的数学优化方法，在统计学和信号处理等领域中有广泛应用。
广义逆与最小二乘法密切相关。
对于线性方程组Ax=b，当矩阵A的秩小于n时，方程组可能无解；当矩阵A的秩等于n且方程组有解时，最小二乘法可以用来求解近似解。
对于方程组Ax=b中的矩阵A，如果A的秩小于n，一般情况下不存在精确解。
但可以通过最小二乘法来求解近似解x，使得A x接近于b。
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组和计算数值解。
本文介绍了广义逆矩阵的基本概念，具体的求解方法和一些相关的典型应用。
1.什么是广义逆矩阵广义逆矩阵（generalized inverse matrix）是一个矩阵的另一种特殊的逆矩阵，它被广泛应用于线性代数和数值分析中。
它是一种概念比较抽象的概念，定义如下：设A是一个n阶矩阵，它具有n个线性无关的列向量，若能够找到一个n阶矩阵G，使其能够满足： GA = AG = A则G称作A的广义逆矩阵。
2.广义逆矩阵的求解广义逆矩阵的求解方法有很多种，其中最常用的方法是Moore-Penrose伪逆矩阵法。
该法是采用矩阵分解的方法，将A分解为三个矩阵：A=L+D+U，其中L为下三角矩阵，D为对角矩阵，U为上三角矩阵，令P=L+D，Q=U+D，则G近似地可求得为：G = P-1Q-1；借助矩阵分解法，可将广义逆矩阵求解问题转化为求普通逆矩阵的问题，可大大简化求解步骤，成为一种非常有效的求解方法。
3.广义逆矩阵的应用广义逆矩阵的应用非常广泛，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解，解决数据压缩问题等。
（1）求解线性方程组广义逆矩阵可以用来求解线性方程组，若Ax=b，求x，则x=Gb，其中G是A的广义逆矩阵，这就是线性方程组的求解方法。
（2）计算最小二乘法的数值解对于最小二乘问题，若想求解精确的数值最优解，可以采用广义逆矩阵。
先将矩阵A进行矩阵分解，得G，然后将G代入，可以求出相应的数值最优解。
（3）数据压缩广义逆矩阵还可以应用在数据压缩中，可以采用广义逆矩阵加不完全正定矩阵取近似值来压缩数据，这样可以有效减少存储空间，提高计算效率。
综上所述，广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的一个重要概念，求解过程可以采用矩阵分解和不完全正定矩阵等方法，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解和进行数据压缩等。
广义逆矩阵的性质及其求解
广义逆矩阵的性质及其求解在线性代数中，广义逆矩阵是指在非方形矩阵的逆不存在的情况下，可被用来解出线性方程组的伪逆矩阵。
与逆矩阵相似，广义逆矩阵同样有着许多重要的性质。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、性质以及其求解方法。
定义设非方形$m\\times n$矩阵A，则A的广义逆矩阵A+是满足下列条件的矩阵：1.AA+A=A2.A+AA+=A+3.(AA+)H=AA+4.(A+A)H=A+A其中，A H表示矩阵A的共轭转置，A+也称为Moore-Penrose逆。
性质广义逆矩阵A+拥有以下重要性质：1.AA+A和A+AA+都是对称矩阵。
2.如果A是列满秩的，则A+=A T(AA T)−1。
3.如果A是行满秩的，则A+=(A T A)−1A T。
4.(A+)+=A。
5.如果Ax=b有解，则x=A+b是Ax=b的解。
如果b在A的列空间内，则x是Ax=b的最小范数解。
6.如果Ax=b有多个解，那么最小范数解为x=A+b+(I−A+A)z，其中z为任意向量。
除此之外，广义逆矩阵还拥有一些其他的性质和应用，如计算矩阵的秩、估计多元回归系数、解决最小二乘问题等。
但需要注意的是，广义逆矩阵不是唯一的。
不同的求解方法可能得到不同的结果，因此在实际应用中需要谨慎处理。
求解方法现在我们来介绍一些求解广义逆矩阵的方法：SVD分解最常用的方法是奇异值分解（SVD）。
一个非零矩阵A可以被分解为$A=U\\Sigma V^H$，其中U和V都是酉矩阵，$\\Sigma$是对角矩阵。
$\\Sigma$ 的对角线上的元素称为A的奇异值。
根据SVD，$A^+=V\\Sigma^{-1}U^H$，可以直接求得广义逆矩阵。
QR分解QR分解是另一种求解广义逆矩阵的方法。
假设非方形矩阵A可以分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
则A+= (QR)+=(R T Q T)+=(R+Q T)，其中R+是矩阵R的广义逆矩阵。
伪逆矩阵的定义式对于$m\\times n$的矩阵A来说，其广义逆矩阵的定义式是：$$ A^+ = \\lim_{\\epsilon\\rightarrow 0}(A^TA+\\epsilon I)^{-1}A^T $$这里$\\epsilon$是任意小的正数，I是单位矩阵。
【国家自然科学基金】_pade逼近_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
科研热词 高斯 电力系统 特征值分析 时滞 时域 强非线性 开关电流 广域测量系统 广义pade逼近 小波变换 小干扰稳定 同宿轨道 共享结构 pade近似
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4
2014年 科研热词 对流扩散方程 pade′逼近 crank-nicolson格式 2层隐格式 推荐指数 1 1 1 1
பைடு நூலகம்
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2011年 科研热词 重心有理hermite插值 精度 稳定裕度 整定规则 强非线性 复合 同异宿轨道 全局分岔 pm法 pi控制 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年 序号 1 2 3 4 5
科研热词 集成电路 瞬态响应 广义逆矩阵指数函数 互连线 pade逼近
推荐指数 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 高斯函数 误差分析 计算机辅助几何设计 绝对稳定 精细积分方法 等距逼近 矩阵指数 显式差分格式 截断误差 开关电流 小波变换 加权平方 padé逼近 padé级数逼近 pade逼近
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
科研热词 推荐指数 pade逼近 2 非谐效应 1 逼近式光滑支持向量机 1 起伏地表 1 结合能 1 状态方程 1 求解算法 1 最小二乘法 1 应用 1 复pade逼近 1 固体 1 叠前深度偏移 1 压缩条件 1 单程波方程 1 前馈补偿 1 光滑函数 1 伺服系统 1 pade 1 mgo 1 lugre摩擦模型 1 equation of state, cohesive energy, 1 anharmonic ef
多元矩阵Padé逼近的代数性质
Ｅ ， ］ Ｍ Ｍ 型对 角右 矩阵 Ｐｄ 逼 近 Ｍ ， ａ∈ Ｅ
Ｅ ， 型对 角 右 Ｐ ｄ 近 Ｍ ， Ｍ Ｍ］ ａ亡逼 Ｅ Ｅ ， ］ Ｍ
证 设
… 退化 ， Ｌｆ（ ，） 非 且 。 ０ ０ ＋厶 ， 厶 非奇 异 时 ， ｇ ｘ ） 工， 则 （ ， 的
１ 引
言
关 于一元矩 阵 Ｐ ｄ 逼 近 的论文 已有许 多 ． 至今还时 有 出现． 关于 多元矩 阵 Ｐ ｄ ａｅ 且 但 ａ ６逼近 的论 文却 很 少． １对 多 元矩 阵 Ｐ ｄ 逼 近 的 Ｐ ｄ 文［ ］ ａｅ ａ ６方程 ， 在 性 ， 存 非退 化条 件等 做 了深 人 的研究 ， 有 关多 元矩 但 阵 Ｐｄ ａｅ逼近 的代数性 质 的研 究并 不完善． 文将对 多元矩 阵 Ｐ ｄ 本 ａ 亡逼近 的某 些代数 性质进 行研 究．
元 矩阵 Ｐ ｄ 逼近 ． ａ６ 即使左 、 右矩 阵 Ｐ ｄ ａ∈逼近式 同时存 在 ， 它们也 不一 定恒等． 但 定义 ２ 设 ｆ ｚ Ｙ 是一个 二元 函数矩 阵 ， 其右 （ ）Ｍ ， 型矩 阵 Ｐ ｄ （．） 称 左 Ｅ Ｄ］ ａ 亡逼近是 非退 化 的 ． 果 如 其 右 （ ） 阵 Ｐｄ 左 矩 ａ亡方程 的解是 唯一 的． 引理 口 设 ｆ ｚ・ 是一个二 元 函数 矩阵 ， （ ， 的［ ， 型右 矩阵 Ｐ ｄ 逼 近 为非退化 的充要条 （ ） ｆ ｘ ） Ｍ Ｄ］ ａ∈ 件是其 Ｅ ， 型左 矩 阵 Ｐ 逼近 为非退 化 的． Ｍ Ｄ］ ａ
２ 定 义 、 号 与 引理 记
定义１ 设ｆｏ ） ‘ ｊ （， 一∑ ∑Ｃ＂ ，为ｄ 方阵， ｒ ｉ‘ ｃ × ｊ ． ． ， ｔ 其元素为 实数或复数（ Ｅ ｄ ）那么 即 Ｃ￣ ， ｄ
r 广义逆矩阵
r广义逆矩阵广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是线性代数中的一个概念，也称为伪逆矩阵（Pseudoinverse Matrix）。
它是针对不可逆矩阵或者奇异矩阵的一种推广。
一般来说，对于方阵(A)，如果存在矩阵(B)满足(AB=BA=I)，其中(I)是单位矩阵，那么(B)就是(A)的逆矩阵。
然而，对于不可逆或者奇异矩阵，不存在这样的逆矩阵。
在这种情况下，我们可以使用广义逆矩阵来近似表示逆矩阵的概念。
下面详细说明广义逆矩阵的概念和性质：一.定义：设(A)是一个(m\times n)的矩阵。
如果存在一个(n \times m)的矩阵(A^+)，使得满足下面的条件之一：[ AA^+A = A ][ A^+AA^+ = A^+ ]那么(A^+)被称为(A)的广义逆矩阵。
二.性质：1.广义逆矩阵存在且唯一。
2.如果(A)可逆，则其广义逆矩阵等于其逆矩阵。
3.如果(A)不可逆，则(A)的广义逆矩阵可以用来解决(Ax=b)的最小二乘问题，其中(b)不一定在(A)的列空间中。
4.如果(A)是一个方阵，并且非奇异，那么(A)的广义逆矩阵等于其逆矩阵。
三.计算方法：1.对于非方阵(A)，可以使用Moore-Penrose伪逆公式进行计算，常见的方法有SVD（奇异值分解）等。
2.对于方阵(A)，如果(A)非奇异，其广义逆矩阵等于其逆矩阵；如果(A)是奇异的，可以通过求解(A^TAx = A^Tb) 来计算广义逆矩阵。
四.应用：1.广义逆矩阵在统计学中的回归分析中具有重要应用，用于处理多重共线性或数据欠定等问题。
2.在控制理论中，广义逆矩阵用于解决控制系统的逆问题，如逆动力学问题。
总的来说，广义逆矩阵是一种处理不可逆矩阵或奇异矩阵的工具，它可以用来解决线性代数和统计学中的一些特殊问题，具有重要的理论和实际应用价值。
浅析矩阵pade逼近在模型降阶中的应用
浅析矩阵pade 型逼近在模型降阶中的应用刘永（上海大学，理学院，上海200444）摘 要：本文通过探讨构造矩阵pade 型逼近的行列式公式方法，将矩阵pade 型逼近应用于频率域高阶的多变量输入输出的线性系统.在简化系统规模的同时，很好的保持了系统的性能.关键词：矩阵pade 型逼近；线性系统；行列式公式Simply Analyze the Applications of Matrix Pade Type Approximationto Model ReductionLIU-YONG(College of Science ，Shanghai University, Shanghai 200444, China )Abstract ：By discussing the determinant formula of matrix pade approximation. This article applied the matrix pade approximation to the linear systems of high order frequency domain and inputting and outputting of multivariable. This method simplified the scale of the systems, simultaneously, the nature of this systems were preserved perfectly.Key words: Matrix pade approximation ；Linear systems ；Determinant formula1 引言大系统是控制系统领域里一个新兴的分支，它是近年来随着控制理论在工程和社会系统的应用日趋深入而发展起来的.当前对大系统的研究面临着一个非常棘手的问题：由于高阶次带来的数值问题，随着阶次的线性增加使计算量将以3次方或4次方关系增加.这就给计算带来了挑战.现在一般的处理方法是将大系统进行简化处理，把系统问题控制在我们能够计算的范围之内，而简化后的模型又不改变原系统的性态. Yuri Dolgin 在[137]中研究了交换系统的模型简化问题,Zhuang 在[138]中讨论了矩阵pade 型逼近与控制系统模型简化的问题，给出了几种算法.本文探讨的就是简化后系统的计算问题，讨论了一种模型简化方法:矩阵pade 型简化算法.文章利用矩阵pade 型逼近的思想来计算大系统简化后的模型，所研究的对象为频率域高阶的多变量输入多变量输出的线性系统.2 矩阵pade 型逼近的行列式公式下面考虑矩阵pade 型逼近逼近的行列式公式[3]构造方法，设()()rl ij ij C b B a A ⨯∈==，，矩阵A 和矩阵B 的直接内积定义为∑∑===⋅=l i rj ij ijb aB A B A 11，. (1)由矩阵pade 型逼近的误差公式知()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+xz x v z v z n m z F n m m F1~11φ()()()()()()()().~221111 +++=+-+-+-+z v x z xv v z v z n m n m n m m φφφ(2) 这里()，，ts i i iC z C z F ⨯∞=∈=∑iC()()z v z A z A A n m mm F ~10 ++=. 已知生成多项式()z v 由1+n 个系数组成，如果将生成多项式变为()z v λ原幂级数的pade 逼近是不变的，所以我们只需求出n 个系数即可，为此令()()()1,001-==+-k k x v x k n m ，φ. (3)即∑=+++--==ni ki n m i k k Cb 011,,00 ，. (4)用1+-n m C 并假设它不等于零与上式作内积得0011=∑=+++-+-ni i k i n m n m b C C ，. (5)将()nn z b z b z b b z v ++++= 2210与(5)式联合得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-0001121012113102111121011n m n m n m n m m n m m n m n m n m n m n m m n m n m n m n m n m C C b C C b C C C C b C C b C C C C C C C C ，，，，，，，，， . (6) 由上面的分析这里我们令1=n b 以确保()z v 是n 次多项式.从(6)中我们能很方便的解出1-n 10b ，，， b b . 然后再按照下式∑∑∑=∞===-⋅mi iii iin i iizA z C z b 00. (7)解出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+==----012110101101000C b C b C b A C b C b A C b A m m m m . (8) 至此我们已经求出了()F n m 的分子和分母，下面将利用(6)和(8)计算简化后的模型.3 多变量线性系统的模型简化对一个多变量定常线性系统，设它的状态空间的表达式为()()()()()⎩⎨⎧=+=t Cx t y t Bu t Ax t x. (9) 其中x 是k 维的状态向量，u 是r 维的控制向量，y 是l 维的输出向量. 对应的，该系统在频域内的表达式为()()()()()⎩⎨⎧-==-B A sI C s G s U s G s Y 1. (10) 其中()s G 是r l ⨯阶的传递函数矩阵，可以表示成下列形式()kk k k se s e e s D s D D s G ++++++=-- 101110. (11)其中()1-k 10，，，=i D i 是r l ⨯阶的常量矩阵，()k i e i ,,1,0 =是常量. 接下来我们将()s G 写成下列幂级数的形式() +++=2210s C s C C s G . (12)其中() ,1,0=i C i 是r l ⨯阶常量矩阵，并且由下列关系式给出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑-=- ，，，2111100000i C e D e C D e C i j j j i i i . (13) 这里01=-C 且0=i D k i ≥∀.我们的目地就是要找到一个阶数相对较低的函数()nn n n n s s b s b b s A s A A s R +++++++=----11101110 去逼近()s G .这里()1,1,0-=n i A i 是r l ⨯阶常量矩阵. ()1,,1,0-=n i b i 是常量.设()s R 是()s G 的一个()n n 1-矩阵pade 逼近，那么利用上面的结论我们很容易看出有下面的关系式成立⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=++++++=+==-=+-+==----000012011010010120100011000012110101101000b C C C C C C b C C b C C C C C C b C C C C C b C b C b A C b C b A C b A n n n n n n n n n n n n ，，，，，，，，， . (14) 这样以来我们就通过矩阵pade 型逼近的方法构造了多变量定常线性系统的简化模型，这种简化模型能有效的计算传递函数矩阵.4 数值实验考虑下列系统(Chen [6] )()()()()()()()()()()()()()10010886647.1338354.110077.212400010044.120.8510898.1951501007.196.14++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=s s s s s s s s s s s s s G将()s G 展成幂级数形式() ++++=332210s C s C s C C s G根据(13)计算得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=99.101985893.4227.71500721.10C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=869.82131759.383.543794683.01C⎥⎦⎤⎢⎣⎡=946.64002414.2639.407566919.02C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=091.4932425.1231.305404439.03C由于()s G 的分子中最高次项是二次的，故我们寻找()s G 的()G 21矩阵pade 逼近()s R ，由(14)知：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+3012001020110000C C C C ，，，，，，C b C b C C C b C b C C 和⎩⎨⎧+==01101000C b C b A C b A解得()283381.463385.402.112248.472611393.85156.22245.93725.331418622.166726.4ss s s s s s R ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++= 下面进行模型验证作出()s G 和()s R 中第二个元素的图像其中实线表示()s G 的第二个元素，虚线表示()s R 的第二个元素，由图像可以看出它们的图像几乎重合，这说明逼近效果很好.5 结论本文的目地是对一个多变量定常线性系统的传递函数矩阵进行计算，但由于这个传递函数的规模较大，所以我们就想着把它进行简化，最终通过将其展开成幂级数的形式再构造它的低维矩阵pade 逼近进行各种问题的分析，使得原问题得到解决.利用矩阵pade 逼近的思想，可以简化大规模系统的计算，这种简化能得到较好的结果，其实这种思想源于矩阵pade 逼近的核心实质—对于含有极点的函数pade 逼近是最好的选择.基于这种思想我们还可以构造其它类型的矩阵pade 逼近，例如，选取以原函数的极点为极点的生成多项式构造矩阵pade 逼近.目前这种方法还非常有效但并不是对于所有类似的问题它都能解决，有些问题我们进行简化后并不能保持它的稳定性，这就还需要我们进行不断的探索.6 参考文献[1] 王仁宏，数值逼近[M].北京:高等教育出版社，1999:173-219.[2] 蒋正新，施国梁，矩阵理论及其应用[M].北京:北京航空学院出版社，198:823一85.[3] 吴忠强，现代控制理论[M].北京:中国标准出版社，2002:1一57.[4] Yuri Dolgin，Ezra Zeheb，On Routh-pade Model Reduction of Interval Systems [J].IEEE.Trans.Automat.Control，2003，48(9):1610-1612.[5] Zhuang Guozhong，Matrix Pade Type Approximations and Model Reduction of Multi-variableControl Systems[J]. Control Theory and Applications, 1993，10(4):451一456.[6] 徐献瑜，李家楷，徐国良，pade逼近概论[M].上海:上海科技出版社，1990:1一132.[7] 涂序彦，王极，郭燕慧，大系统控制论[M].北京:北京邮电大学出版社，2005:1-59.[8] 顾传青，基于广义逆的矩阵Pade逼近[J].计算数学，1997，19(1):l9-28.[9] Arioka S，Pade-Type Approximation in Multivariable[J]. Appl.Numer. Math,1987，3:497-511.[10] 顾传青，一种新型的矩阵pade逼近方法[J]. 自然杂志，2002，24(1):41一44.。
pade逼近
5．2 pade 逼近方法的简介5.2.1 泰勒级数问题一个函数的泰勒级数展开式的系数，和这个函数的值之间的关系，既是一个深奥的数学问题，又是一个重要的实际问题。
关于它的研究，是基于数学分析和物理、生物科学中的自然数学模型的实际计算的基础之上的。
关于这个问题的某些方面已经有过一些研究，但是还有一些问题需要在今后继续研究。
规范的解释是：如果泰勒级数展开式绝对收敛，那么它唯一确定了一个任意次可微的函数。
相反的，如果一个函数是任意次可微的，那它也只有一个对应的泰勒级数展开式。
实际上，我们把函数近似为一个尽可能长的多项式。
然而，这种方法在实际运算中有一些很不理想的局限性[9]。
考虑以下例子：⋅⋅⋅+-+-+=++=4322/1128141161385211)121()(x x x x x x x f （5.18）很容易看出，当x>0.5时，泰勒级数表达式均不收敛，尽管在+∞≤≤x 0时，)(x f 是一个保持在21至的光滑适当的函数。
规范方法是要在一个新点0x （5.000<<x ），应用原来的表达式计算)(x f ，作出一个新的泰勒级数表达式。
这个新的表达式可以满足在x 很大时的情况，但是不包括∞=x 处。
实际上，用这种方法我们永远不能达到∞=x ，并且在这个方向上的任何进展都是非常冗长的。
对于以上这个例子，我们可以应用一个特殊的技巧，将级数转变为一个较长的多项式。
假设我们做一个变量代换：x=w/(1-2w) 或者 w=x/(1+2x)（5.19）就有：⋅⋅⋅+++++=-=-4322/11283516583211)1())((w w w w w w x f （5.20）所以，在这个变量代换下，∞=x 就变为w=0.5。
很容易看出，泰勒级数表达式（5.20）收敛于w=0.5，即∞=x 。
于是)(∞f 的最初连续估计值是：1，1.25，1.34375，1.38281，1.39990……（5.21）可以看出它收敛于2=1.414…。
多元矩阵Pad(e)逼近的代数性质
多元矩阵Pad(e)逼近的代数性质
郭清伟
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2002(018)001
【摘要】本文证明多元矩阵Pade逼近与一元矩阵Pade逼近一样具有函数值变换下的不变性.
【总页数】3页(P37-39)
【作者】郭清伟
【作者单位】合肥工业大学,理学院,合肥,230009
【正文语种】中文
【中图分类】O24
【相关文献】
1.基于广义逆的二元矩阵PADE逼近及其代数性质 [J], 陆新建;杨慧
2.多元矩阵Padé逼近的代数性质 [J], 郭清伟
3.内积空间上的矩阵型pade逼近的代数性质 [J], 陈娟;万诗敏
4.矩阵Pade—型逼近及其代数性质 [J], 祝精美
5.矩阵Padē型逼近及矩阵Padē逼近的计算 [J], 祝精美;崔建;赵华祥
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广义逆矩阵及其应用【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。
他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。
1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。
1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。
用矩阵符号函数和Padé逼近求解不变子空间的开题报告
用矩阵符号函数和Padé逼近求解不变子空间的开题报告
一、矩阵符号函数
矩阵符号函数是指对于一个矩阵A，定义其函数为f(A)=∑∞k=0akk!Ak，其中Ak 表示A的k次方。
矩阵符号函数在矩阵分析、数值线性代数、微分方程等领域有着广泛的应用。
二、不变子空间
不变子空间是指在一个线性变换下保持不变的向量空间，即对于一个线性变换T 和其子空间V，如果T(V)⊆V，则称V是T的一个不变子空间。
不变子空间在矩阵的特征值和特征向量计算中有广泛的应用。
三、Padé逼近
Padé逼近是指用有理函数来逼近给定函数的一种方法，其中有理函数是指多项式的分式形式。
Padé逼近在数值计算、微积分、微分方程中均有重要的应用。
四、研究内容
本文研究了如何利用矩阵符号函数和Padé逼近求解不变子空间。
具体来说，我们将矩阵符号函数与不变子空间的定义相结合，提出了一种计算矩阵不变子空间的方法。
我们使用Padé逼近来逼近矩阵符号函数，从而得到矩阵的高阶逼近矩阵。
然后，我们利用高阶逼近矩阵来计算矩阵的不变子空间。
五、研究意义
本文介绍的方法为计算矩阵的不变子空间提供了一种新的途径。
与传统的方法相比，我们的方法具有较高的精度和稳定性，并且可以处理较大的矩阵。
此外，本文提出的方法还为解决其他数学问题提供了新的思路和方法。
广义逆矩阵的应用北京邮电大学北邮期末矩阵论文
广义逆矩阵的应用摘要：线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。
为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。
广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。
关键词：特征值广义相关系数Moore-Penrose方程线性方程组1.引言矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵.在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家 C.约当是"高斯—约当"消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1 858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要". 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dyads))的和.后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的.矩阵一直与线性变换紧密结合着.直到1900年,它们仅仅是线性变换理论的有限维的情形.向量空间的现代定义是由皮亚诺于1888年引进的.不久,其元素是函数的抽象向量空间跟着出现了.第二次世界大战后随着数字计算机的发展,矩阵,特别是矩阵的数值分析方面有新的进展.约翰冯诺伊曼和赫尔曼戈德斯坦于1947年在分析舍入误差中引进了条件数.阿兰图灵和冯诺伊曼在程序存储计算机方面是二十世纪的巨人.图灵于1948年引进了矩阵的LU分解,L是对角线上为1的下三角矩阵,U是梯形矩阵.在解一系列线性方程组时普遍采用LU分解,每个方程组有同一系数矩阵.QR分解的好处是在10年后认识到的.Q是其列为正交向量的矩阵而R是上三角矩阵,其对角线元素是正的.QR分解用于各种计算如解方程,找特征值的计算机算法中.矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。
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第 ｌ 卷第 １ ６ 期 ２０ ０ ２年 １ 月
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学
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学
报
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ １ １１ ．
Ｊ ｕ ｎ １ ｆ ｕ ｈ ｕ Ｉ ｓｉｕ ｅｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｚ ｏ ｎ ｔ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ Ｚｈ ｔ
ｒｖ ｄ ｆｏ ｔ ｅＰ ｉｅ ｒ ｍ ｈ ＡＤＥ ａ ｐ ｏ ｐ ｒ ｍｍａ ｔｏ ｉ ｅ ｓｏ ，ｎ ｓａｇ ｂ ａｃｐ ｏ ｅｌｉｓａ ｅｐ ｅ ｅ ｔｄ ｎ ｆｄｍ ｎ ｉ ｎ １ ａ ｄ ｉ ｌｅ ｒ ｉ ｒ ｐ ｒｔｅ ｒ ｒｓ ｎ ｅ ｔ
ａ ｄｐ ｏ ｅ ． ｎ ｒ ｖ ｄ Ｋｅ ｒ ｓ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｎ ｅ ｓ ｔ ｉ ２ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ａ ｒｘ— ｖ ｌ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｉ ｖ ｒ ｅ ｍａ ｒｘ； － ｉ ｎ ｉ ｎ ｌ ｍ ｔ ｉ ｚ ａ ｕ ｄ ＰＡＤＥ ａ ｐ ｏ ｉ ｐ ｒ ｘ— Ｉ ａ ｔ ａ ｇ ｂ ａｃ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｎ ｎ Ｉ ｌ ｅ ｒ ｉ ｒ ｐ ｒ ｉｓ
定 义 ｉ ｔ 阵为 Ａ－ 一Ａ‘ Ｉ Ｉ ， １ ／Ｉ ｌ Ａ≠０ Ａ ０ ｝ （） １ 设 Ａ＝ （ ∈ Ⅱ） ， 是 Ａ 的 共 轭 Ａ‘ 阵， Ａ 是 Ａ 的共轭转 置 阵 ， 则定 义矩阵 Ａ 的广义逆 矩
这 里 Ｃ ＝（ （ ） 一 。 ｃ ∈
定 义 ２ 设 二元矩 阵 有理 函数 Ｒ… （ ） ， 一Ｐ（ ， ｘ ｙ ／ ｘ＇ ， 中 Ｐ（ ） 景。 ｚ ｊ （（， Ｅ ）Ｑ（ ） 其 ｘ， 一 Ｐ ｗ ｙ ｙ ｐ ） ）
矩阵 Ｐ ＡＤＥ逼近 在 变分原 理 ， 原子 及初 等 粒子 物
其 中
理， 系统理论 的模 型 简化 等 领 域 中 已经有 深 人 的实 际
应 用背景 文 献［ ］ 出 了一 种 的基 于 广义逆 的矩 阵 １给
Ｉ＝（ Ａ） １ Ａｌ ｝＝（ｒ Ａ
。
妻 ｛ 主 。
Ｐ ＤＥ逼近 ， Ａ 其特 点是 ： 保 持逼 近 阶 的前提 下 ， 构 在 在 造过程 中 不 需 要 用 到 矩 阵 的 乘 法 运 算 ， 有 左 ， 设 右 Ｐ ＤＥ逼近 的 区别 ， 而拓展 了应用 范 围， 可以用 两 Ａ 从 并 种不 同 的格 式计算 出来 。本文 利用 文献 ［］ １与文献 ［］ ２
中的定义及 结果 ， 首次 将一元 推广 到了二元 ． 并给 出定
１ 定 义 与算 法
设 二元矩阵值 幂级 数 为
ｆ ｘ ） （ ， ＝‰ ＋ ｆ ＋ ｃ Ｙ ｃ ＋ ｃ ｘ － ｃ Ｙ ｌ ｏ ０ ＋ ２ １ ｏ １ ｙ｝ ０ １ － ２
＋… ； （） ２
义及结果 。本文 的最后 一 部分 给出了基 于广义逆 的二 元矩阵 Ｐ Ｅ逼近 （ ＭＰ 的一些 代数 性质 。 ＡＤ ＧＢ Ａ）
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是矩 阵值多项 式 ， ｘ， 一 王 Ｏ（ ）
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收 穑 日期 ｔ∞ １ ｌ 一 ｌ 一 １ ３ ２
作 者 简 介 ， 新 童 （ ９ ６ ） 男 ， 南 岳 阳＾ ， 阳化 工 总厂 电视 大 学 讲 师 ， 要从 事 函数 论 方 面 的拄 学 与研 究 ． 陆 １６ 一 ， 湖 岳 主
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工学院学来自报 ２０ ０ ２芷
是 实多项式 ， 若满 足 ：
（）Ｑ（ ， ＿ ， ～ Ｐ（ ） ｉ ） （ ） 厂 ， ：
后 根 据 其 定 义 提 出和 证 明 了 它 的 一 些 代 数 性 质 。
关键 词 ： 广义逆 ； ：元矩 阵 Ｐ ＤＥ逼近 ； 数性 质 Ａ 代 中圈分 类号 ： ５ ． １ Ｏ１ １ ２ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ８ ２ １ ｛０ ２ ０ 一∞ ４ —０ １０ － ６ １２ ０ ）１ １ ３
Ｇｅ ｅ ａｉｅ － ｍ ｅ ｓｏ ａ ｎｖ ｒ ｅ Ｍ ａ ｒｘ Ｖａ ｕ ｄ ｎ ｒ ｌ ｄ ２ Ｄｉ ｎ ｉ ｎ ｌＩ ｅ ｓ ｔｉ － ｌ ｅ ｚ ＰＡＤＥ ｐ ｏ ｉ ｎ ｎ ｈ ｉ ｇ ｂ ａｃＰｒ ｐ ｒ ｉ ｓ Ａｐ ｒ ｘ ｍａ ｔａ ｄ ｔ ｅｒＡｌ ｅ ｒ ｉ ｏ ｅ ｔｅ
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基于 逆的二 广义 元矩阵Ｐ Ｄ 逼近及其代数性质 ＡＥ
陆新 建 杨 ． 慧
（． １ 岳阳化工总厂电视大学 ． 湖南 岳帑 ４ ４ １ ｊ． １ ０ ４ ２ 上海 市电信公司长途通信事业部 ， 上海 ２ ０ ０） ０ ０ ３
摘
要： 基于广 义逆 的一元矩 阵 Ｐ ＡＤＥ逼 近被推 广到 了： 元 的情形 ， 并耸 出 了其 定 义 ， 然