高二数学期中试卷(必修二)
人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷二(含解析)
人教版高中数学必修第二期册中考试达标高分突破卷二(考试版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB a =，AD b =，则DE 等于（）A ．12a b-B ．12a b+C ．12a b+D ．12a b-2．已知向量()3,4a →=，()1,2b λλ→=-+，且a b →→⊥，则λ=（）A ．11-B ．2-C ．117D ．27-3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC∆的面积为A ．2+B 1C ．2D 1-4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π5．用m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是（）A ．若//m n ，n α⊂，则//m aB ．若//m a ，n α⊂，则//m nC ．若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥D ．若m α⊥，n α⊂，则m n⊥6．已知三棱锥A BCD -中，CD =，1BC AC BD AD ====，则此几何体外接球的体积为（）A ．2πB ．3C ．6D ．π7．在OAB 中，2OA OB ==，AB =P 位于直线OA 上，当PA PB →→⋅取得最小值时，PBA ∠的正弦值为（）A ．377B ．277C ．2114D 2138．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =，且2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为A 55B ．35C ．52D 55二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
2024高二数学期中考试题及答案
2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。
A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。
2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。
3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。
4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。
5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。
6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。
7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。
8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。
9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。
10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。
三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。
2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。
【常考题】高中必修二数学下期中试题附答案
7．D
解析：D 【解析】
设直线 l 的倾斜角为 θ∈[0,π).点 A(1,−2),B( 3 ,0). 3
直线 l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点 P(0,−1).
1 2
1 0
kPA
0 1
1, kPB 0
3
3.
3
∵点(1,−2)和( 3 ,0)在直线 l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧， 3
异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大， ∴当异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大时，
圆心到直线的距离 d | 2 2 | 2 2 2
所以圆上的点到直线的距离的最小值为 2 2 1.
故选 B. 【点睛】 本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函 数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】
【解析】 【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积． 【详解】 解：如图所示：
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ，
M 是线段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ， 则：当 AM BC 时，线段PM 达到最小值， 由于： PA 平面 ABC ， 所以： PA2 AM 2 PM 2 ， 解得： AM 1， 所以： BM 3 ， 则： BAM 60 ， 由于： BAC 120 ， 所以： MAC 60 则： ABC 为等腰三角形． 所以： BC 2 3 ，
B．
3
,
2 3
C．
2 3
,
5 6
高二期中考试_数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = a，则a的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 若a，b，c是等差数列，且a + b + c = 9，a^2 + b^2 + c^2 = 27，则ab + bc + ca的值为（）A. 9B. 15C. 18D. 213. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/44. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在x = 1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -25. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/48. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -29. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/412. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -213. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 415. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/416. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -217. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 418. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 419. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/420. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a，b，c的值分别为______。
高二下学期期中考试数学试题(解析版)
莆田华侨中学2022-2023学年下学期期中考试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列导数运算正确的是（）A.B.()121x x-'=11ln 222x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C. D. ()cos sin x x '=()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【解析】【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【详解】因为，，，， ()121x x -'=-11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()cos sin x x '=-()1ln 1x x x '+=+所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）OABC G BC OA a = OB b = OC c == AGA.B.C.D.1122a b c -- 1122a b c -++12a b c -++12a b c -- 【答案】B 【解析】【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． AB ACAG 【详解】解：，AC OC OA c a =-=-， AB OB OA b a =-=- ．()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++ 故选：B ．3. 函数的单调递增区间是（ ）()2ln f x x x =-A. 和B.C. D.(),0∞-()0,2()2,+∞(),2-∞()0,2【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，由确定增区间．()f x '()0f x '>【详解】，的定义域为， 22()1x f x x x'-=-=()f x (0,)+∞由，得， ()0f x '>2x >∴的单调递增区间为． ()f x ()2,+∞故选：B ．4. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作K 1A 2A K 1A 2A 时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的K 1A 2A 0.90.70.7概率为（ ）A. B. C. D.0.8640.1560.1810.819【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为，()20.9110.70.819⎡⎤⨯--=⎣⎦因此，该系统不能正常工作的概率为.10.8190.181-=故选：C.5. 向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（ ） (1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b cx A. B. 1C. 2D. 01-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共面关系，建立等式即可得解.a mb nc =+ 【详解】向量，，，，1，，，0，，，，共面，(1a = x 2)(0b = 2)(1c = 0)a b c ，，，，，，，，∴a mb nc =+0m ≠0n ≠(1∴x 2)(n =m 2)m ，解得，． ∴122nx m m =⎧⎪=⎨⎪=⎩1x m ==1x ∴=故选：B ．6. “”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（ ）5a >()3f x x ax =-A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解. 【详解】若在区间（1，2）上单调递减，()3f x x ax =-所以在区间（1，2）上恒成立， 2()30f x x a '=-≤所以在区间（1，2）上恒成立， 23x a ≤所以，()2max3xa ≤所以，23212a ≥⨯=所以“”是“”的必要不充分条件，5a >12a ≥所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，5a >()3f x x ax =-故选：C .7. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，ABCD M N 2NB AN = 2CMMD =，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）2AB =3BC =AM CNA.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用圆柱的性质、异面直线所成的角即可求解.【详解】方法一 如图（1），在上取点，使，连接，，，，． AB E 2AE EB=NE AN NB BE EA 易知四边形为矩形，则，且． ANBE NB AE ∥NB AE =连接，．因为，且，MN CM MN BC ∥MN BC =所以四边形为平行四边形，所以，且． MNBC CM NB ∥CM NB =连接，则，且，CE AE CM ∥AECM =所以四边形为平行四边形，则， AECM AM CE ∥所以或其补角是异面直线与所成的角． NCE ∠AM CN 在中，，，所以．Rt BNC △3CB=BN =CN ==在中，，，所以，Rt BCE 3CB =1BE =CE==2NE AB==所以．cos NCE ∠==故选：D ．方法二 如图（2），在上取点，使，连接，，，． AB E 2AE EB=AN NB BE EA 易知四边形为矩形，，．ANBE 1AN =NB =MN 由已知条件，得为圆柱的一条母线．MN 以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图（2）的空间直角坐标系N NB NA NM x y z ，Nxyz则，，，，()0,0,0N ()0,1,0A ()0,0,3M)C所以，，则， ()0,1,3AM =-)NC =cos ,AM NC ==所以异面直线与． AM CN 故选：D ．8. 已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()f x '0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）()()sin cosf x x f x x '<A.B. 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C.D.64f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性处理即可. 【详解】设则，因为对于任意的，都有()(),sin f x g x x=()()()2sin cos sin f x x f x x g x x'-'=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，所以在上单调递减，所以()()sin cos f x x f x x '<()0g x '<()g x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即，所以，所以643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭643sin sin sin643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>64312f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭>>又故无法比,64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 1sin1,33f fππ⎛⎫> ⎪⎝⎭较与，故B ，C ，D 错误. 3f π⎛⎫⎪⎝⎭()1f 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次A =B =的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） C =D =A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 A B A D C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立B D AC 【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.【详解】对于A ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互A B 独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A 正确；A B 对于B ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独A D 立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B 正确； A D A D 对于C ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； B D 若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互B D B D 斥，故C 错误；对于D ：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相A C 互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即A C A 与不互斥，故D 正确. C 故选：ABD.10. 以下命题正确的是（ ）．A. 直线l 的方向向量，直线m 的方向向量，则 ()112a ,,=-()1,2,1b = l m ⊥B. 直线l 的方向向量，平面的法向量，则或()0,1,1a =- α()1,1,1n =--l α∥l ⊂αC. 两个不同平面，的法向量分别为，，则αβ()12,1,0n =- ()24,2,0n =-αβ⊥D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -()1,,n u t =α，1u =0=t 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，利用直线的方向向量是否垂直即可求解；对于B ，利用直线的方向向量与平面的法向量是否垂直即可求解；对于C ，利用平面的法向量是否平行即可求解；对于D ，根据法向量得到方程组，求出和的关系即可求解.u t 【详解】对于A ，因为直线的方向向量，直线的方向向量，l ()1,1,2a =- m ()1,2,1b =所以，所以与不垂直，故直线与直线不垂直，故A 错误；()11122110a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=≠ a bl m 对于B ，因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,1,1a =- α()1,1,1n =--所以，所以，故或，故B 正确；()()()0111110a n =⨯+⨯-+-+-=⋅ a n ⊥//l αl ⊂α对于C ，因为两个不同平面的法向量分别为，,αβ()()122,1,0,4,2,0n n =-=-所以，即，所以，故C 错误；212n n =- 12//n n//αβ对于D ，因为，所以, ()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --()()1,1,1,1,1,0AB BC =-=-又向量是平面的法向量，则,即，解得，故D 正确. ()1,,=r n u t α00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩1,0u t ==故选：BD.11. 如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧ABCD AB 90︒G CEH 上的动点，则（ ） DFA. 存在点，使得 H //EH BDB. 存在点，使得 H EH BG ⊥C. 存在点，使得平面H //EH BDG D. 存在点，使得直线与平面的夹角为 H EH BDG 45︒【答案】BC 【解析】【分析】先将图形补全为一个正方体，对四个选项一一验证： ADMF BCNE -对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. ,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示： ADMF BCNE -对于A ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故A 错误； //BD EFMN H DF//EH BD 对于B ：因为正方体中， 面，ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.EF BG ⊥所以当重合时，有.故B 正确；,F H EH BG ⊥对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-=(),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H DF对于D ：由B 的分析可知：当重合时，直线与平面的夹角最大.,F H EH BDG 此时.()0,0,2EH =-所以与平面所成的角的正弦值为EH BDG cos ,e EH e EH e EH⋅==<⨯ 所以与平面所成的角的最大值小于45°.故D 错误. EH BDG 故选： BC12. 若两曲线与存在公切线，则正实数a 的取值可以是（ ） 21y x =-ln 1y a x =-A. 1 B. e C. e 2 D. 3e【答案】AB 【解析】【分析】设两个切点分别为，，可得两函数的切线方程，从而可得()11,A x y ()22,B x y ，令，利用导数求出，可得的取值范围，从()2224ln 1a x x =-⋅-22()44ln (0)g x x x x x =->max ()g x a 而得答案.【详解】解：设两曲线与的两个切点分别为，， 21y x =-ln 1y a x =-()11,A x y ()22,B x y 由可得；由可得， 21y x =-2y x '=ln 1y a x =-a y x'=则过两切点的切线方程分别为，， 2111(1)2()y x x x x --=-()()222ln 1ay a x x x x --=-化简得，． 21121y x x x =--22ln 1ay x a x a x =+--因为两条切线为同一条，所以，122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得．()2224ln 1a x x =-⋅-令，，22()44ln (0)g x x x x x =->()4(12ln )g x x x =-'令，得，()0g x '=x =当时，；当；0x <<()0g x '>x >()0g x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()gx )+∞则， max ()2e g x g ==所以． (0,2]a ∈e 故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在处有极值，则常数a ＝______． ()ln f x x ax =-1x =【答案】1 【解析】【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得 ()10f '=1x =1a =【详解】由可得， ()ln f x x ax =-()1f x a x'=-又在处有极值，所以可得， ()f x 1x =()10f '=即，所以.经检验满足题意， ()1011f a ='-=1a =故答案为：114. 一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______． 【答案】67【解析】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.【详解】若A 表示“2名中至少有1名男生”，B 表示“2名中有1名女生”， 所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为， ()(|)()P AB P B A P A =而，，故. 112325C C 3()C 5P AB ==2325C 7()1C 10P A =-=6(|)7P B A =故答案为：6715. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为-P ABC PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒8CA =6PA =D AB 中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹E PAC △PC DE ⊥E AC AE =E 的长度为________.【答案】 ①. ②.4125【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为E AC PC DE ⊥AE E 内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到PAC △AC F F FG PC ⊥PC ⊥DFG 的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度．E E 【详解】因为平面，平面，所以，又，所PA ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC ,PA AC PA BC ⊥⊥90ACB ∠=︒以，ACBC ⊥又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标,,PA AC A PA AC ⋂=⊂PAC BC ⊥PAC //Ax BC 系，则，设，所以，则()()()0,0,0,0,8,0,0,0,6A C P BC a =(),8,0B a ,4,02a D ⎛⎫⎪⎝⎭①当在上时，设，因为，所以E AC ()0,,0E c PC DE ⊥，故，则()0,8,6,4,00832002a PC DE c c ⎛⎫⋅=-⋅--=+-+= ⎪⎝⎭ 4c =()0,4,0E 所以；4AE=②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为E PAC △ACF F FG PC ⊥G由①可得，又，平面，所以平面，因为PC DF ⊥FG PC ⊥,,DF FG F DF FG ⋂=⊂DFG PC ⊥DFG 平面，所以FG ⊂PAC PC FG ⊥即在线段上运动时，， E FG PC DE ⊥点的轨迹为线段．∴E FG 则． 12sin 425PA FG FC PCA PC =⋅∠=⨯==故答案为：；. 412516. 已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为__________.2ln ,0()1,0x kx x f x kx x x ->⎧=⎨-+≤⎩()f x k 【答案】 ()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用分离参数法得，，，，从而转化为直线与函数图象交ln x k x =0x >21x k x-=0x <y k =点个数问题，利用数形结合的思想即可得到答案. 【详解】当时，令，则， 0x >()ln 0f x x kx =-=ln xk x=令，，， ()ln x h x x=0x >()221ln 1ln x xx x h x x x ⋅--'==令，即，解得，此时单调递增， ()0h x '>1ln 0x ->0e x <<()h x 令，即，解得，此时单调递减， ()0h x '<1ln 0x -<e x >()h x 故在时，取得最大值，且当趋近于0时，趋近于负无穷， ()h x e x =()1e eh =x ()h x 当趋近于正无穷时，趋近于0，且大于0，x ()h x 当时，，当时，，故此时不是零点，所以，0x ≤()21f x kx x =-+0x =()01f =0x ≠令，，()201f x kx x =-+=22211111124x k x x x x -⎛⎫==-=--- ⎪⎝⎭令，， ()211x x xϕ=-0x <根据符合函数单调性可知，此时函数单调递减，当趋近于负无穷时，趋近于0，且小于0， x ()x ϕ当趋近于0时，趋近于负无穷， x ()x ϕ在同一坐标系中作出与如下图所示，()h x ()x ϕ题目转化为与函数与在图像上有两交点，y k =()h x ()x ϕ故由图得.()1,00,e k ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为：.()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，，．()1,3,4A ()1,5,4B -()1,2,1C -（1）求；,AB BC（2）求在上的投影向量．AC BC【答案】（1）2π3（2） ()0,2,2--【解析】【分析】（1）由向量夹角余弦公式,分别计算向量数量积和向量的模,再根据夹角范围,确定夹角的值. （2）根据投影向量定义分别计算两个向量的数量积和模,再求出向量的同方向单位向量,计算即可得到BC投影向量. 【小问1详解】解：因为，，()2,2,0AB =- ()0,3,3BC =--所以，，，6AB BC⋅=-AB =BC = 所以． 1cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===-⋅因为，0,πAB BC ≤≤所以．2π,3AB BC = 【小问2详解】因为，， ()2,1,3AC =--- ()0,3,3BC =--所以．cos ,AC BC ==因为， 0,BC BC ⎛= ⎝所以在上的投影向量为AC BC．()cos ,0=0,2,2BC AC AC BC BC ⎛= ⎝⋅--18. 如图，四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，，，M 为BC P ABCD -2PD DC ==AD =的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值. 【答案】（1 （2 【解析】【分析】（1）根据点面距离的法向量求法即可求解；（2）根据面面夹角的法向量求法即可求解. 【小问1详解】因为四棱锥的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，P ABCD -所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又，，M 为BC 的中点， 2PD DC ==AD =所以，，，，(0,0,0)DA 2,0)M (0,0,2)P 所以，，2)PA =-2,2)PM =-DA = 设平面的法向量为，PAM (,,)n x y z =所以， ()()()),,220,,2,2220nPA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩取，解得，， 1x=z=y =所以，n =所以D 到平面APM.==【小问2详解】易知，平面ABCD 的一个法向量为，(0,0,2)DP =. ()0,0,2·cos ,m n ⎛===平面ABCD 与平面APM . 19. 已知函数，.()sin cos f x x x x =+()0,2πx ∈（1）求函数在处的切线方程； ()f x πx =（2）求函数的极值. ()f x 【答案】（1）2ππ10x y +-+=（2）的极大值为;的极小值为. ()f x π2()f x 3π2-【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解. 【小问1详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=所以， (π)πcos ππf '==-而，()ππsin πcos π1f =+=-所以函数f （x ）在处的切线方程为：， πx =(1)π(π)y x --=--即， 2ππ10x y +-+=【小问2详解】因为，()sin cos f x x x x =+所以， ()sin cos (sin )f x x x x x =+-'+所以， ()cos f x x x '=令， ()cos 0f x x x '==解得或， 0x =ππ,2x k k =+∈Z 又因为， ()0,2πx ∈所以或，1π2x =3π2x =x 10,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12π 13π,π22⎛⎫ ⎪⎝⎭3π23π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x ↗极大值 ↘极小值↗函数的极大值为;()f x 1πππππsin cos 22222f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭函数的极小值为.()f x 33π3π3π3ππsin cos 22222f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭20. 某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗． （1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率； （2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】（1）27（2）37【解析】【分析】（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根据条件概=i A i 1,2i =()1P A ()21P A A 率的概率公式计算可得；（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根据全i B =i 1,2i =()1P B ()21P B B ()21P B A 概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】设事件“第次取到的是小兔盲盒”，．=i A i 1,2i =∵，，()14117C 4C 7P A ==()132116C 1C 2P A A ==∴， ()()()12121412727P A A P A P A A ==⨯=即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率为．1227【小问2详解】设事件“第次取到的是小狗盲盒”，．i B =i 1,2i =∵，，，()13117C 3C 7P B ==()122116C 1C 3P B B ==()132116C 1C 2P B A ==∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率为2()()()()()2121121P B P B P B B P A P B A =⨯+⨯ 31417372=⨯+⨯． 37=21. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，111ABC A B C -11A B BA ⊥ABC 11A B BA 1π3ABB ∠=，，E 是的中点.1A B AC ⊥2AB AC ==AC（1）求证：平面；1A B ⊥1AB C （2）点P 在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.1A E 1A E AP 1A BE π41EP EA 【答案】（1）证明见解析（2）125EP EA =【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明； (2)利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解. 【小问1详解】因为四边形为菱形，所以，11A B BA 11A B AB ⊥又因为，，平面，， 1A B AC ⊥1AB AC ⊂1AB C 1AB AC A = 所以平面. 1A B ⊥1AB C 【小问2详解】取的中点O ，连接，四边形为菱形，且， AB 1B O 11A B BA 1π3ABB ∠=所以.1B O AB ⊥因为平面平面，平面平面，11A B BA ⊥ABC 11A B BA ⋂ABC AB =平面，1B O ⊂11A B BA 所以平面，所以，又因为，与相交， 1B O ⊥ABC 1B O AC ⊥1A B AC ⊥1B O 1A B 所以平面.取中点D ，连结， AC ⊥11A B BA BC OD 以O 为原点，，，为空间基底建立直角坐标系.OB OD 1OB则，，，，()1,0,0B ()1,0,0A-(1A -()1,1,0E -所以，.(1BA =-()2,1,0BE =- 设平面的一个法向量为，1A BE (),,n x y z =所以，令，则，，13020n BA x n BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x=z =2y =所以.(1,n =设，可得点，. 1EP EA λ=()1,1P λλ---(),1AP λλ=-- 由题意πsin cos ,4AP n AP n AP n ⋅===解得或（舍），即. 2=5λ0λ=125EP EA =22. 已知函数，.()ln 1f x x mx =-+()()e 2xg x x =-（1）若的最大值是1，求的值；()f x m （2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围. x ()()f x g x ≤m 【答案】（1） 1em =（2） [)1,+∞【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，0m ≤0m >0m >1x m=取得最大值，列出方程，求出的值；()f x m （2）转化为在上恒成立问题，构造，二次求导，利用1ln 2e x x m x +-≥-()0,∞+()1ln e xx x xϕ+=-隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，0020e n 0l x x x +=01e x x =()x ϕ0x x =列出不等式，求出的取值范围. m 【小问1详解】的定义域为，. ()f x ()0,∞+()11mx f x m x x-'=-=若，，在定义域内单调递增，无最大值；0m ≤()0f x ¢>()f x若，令,解得：，令，解得：， 0m >()0f x ¢>10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故时，单调递增，时，单调递减. 10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()f x 时，取得极大值，也是最大值，故，1x m∴=()f x 11ln 1f m m ⎛⎫== ⎪⎝⎭；1em ∴=【小问2详解】原式恒成立，即在上恒成立，()ln 1e 2xx mx x -+≤-()0,∞+即在上恒成立. 1ln 2e xx m x+-≥-()0,∞+设，则. ()1ln e x x x x ϕ+=-()22e ln x x xx xϕ+'=-设，则， ()2e ln xh x x x =+()()212e 0xh x x x x'=++>在上单调递增，且，.()h x ∴()0,∞+112e e 211e 1e 10e eh -⎛⎫=⋅-=-< ⎪⎝⎭()1e 0h =>有唯一零点，且，()h x ∴01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭020e n 0l xx x +=即. 000ln ex x x x -=两边同时取对数，得，易知是增函数，()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-ln y x x =+，即. 00ln x x ∴=-01ex x =因为，所以当时，， ()()2h x x x ϕ'=-()00,x x ∈()()20h x x xϕ'=->当时，， ()0,x x ∈+∞()()20h x x xϕ'=-<故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，()x ϕ()00,x ()0,x +∞()x ϕ0x x =， ()()0000000e 11ln 11x x x x x x x x ϕϕ+-∴≤=-=-=-， 21m ∴-≥-，1m ∴≥故的取值范围是.m [)1,+∞【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试(期中)数学试卷及参考答案
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。
2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。
高二数学下学期期中检测卷(解析版)
高二数学下学期期中检测卷(解析版)高二数学下学期期中检测卷(解析版)注意：本试卷共120分，考试时间120分钟。
第一部分：选择题（共70分）本部分共10小题，每小题7分。
从每小题所给的四个选项中，选出一个最佳答案，并将其标号填入答题卡相应的位置。
1. 已知直线L1的斜率为k1，点A(x1, y1)在直线L1上，若直线L1与直线L2垂直，则直线L2的斜率为（）。
A. -1/k1B. 1/k1C. k1D. -k12. 已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1,3），则a+b+c的值为（）。
A. 3B. -3C. 1D. -13. 设f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中a，b，c，d都是正数，且a+b+c+d=16，abc+abd+acd+bcd=60，则abcd的值为（）。
A. 70B. 80C. 90D. 1004. 函数f(x)=x³+3x²+3x+1的单调递减区间为（）。
A. (-∞, -1)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (1, +∞)5. 已知集合A={x|x²-2x-8<0}，则A的解集为（）。
A. x∈(-∞,-2)U(4, +∞)B. x∈(-∞,-2)U(2, +∞)C. x∈(-∞,-4)U(2, +∞)D. x∈(-∞,-4)U(4, +∞)6. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则三角形ABC中斜边AB的长度为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知函数y=ln(x+1)+a是函数y=f(x)=ln(x)的图像上任意一点(x, y)的图像，若f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x-1，则a的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 48. 设集合A={x|log₂(x+1)≥0}，则A的解集为（）。
A. x≥-1B. x>-1C. x>-2D. x≥-29. 已知向量a=(2,3)和b=(4,5)，则向量a与向量b的数量积为（）。
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。
高二期中考试(数学)试卷含答案解析
高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．2i12i-=+（）A．1 B．−1 C．i D．−i2.（5分）2．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+13.（5分）3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4.（5分）4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%5.（5分）5．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．106.（5分）6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10B．18C ．20D ．367.（5分）7．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．108.（5分）8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种9.（5分）9．北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） A ．8225B ．245C ．115D ．21510.（5分）10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1511.（5分）11．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名12.（5分）12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．14.（5分）14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.（5分）15．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.16.（5分）16．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.18.（12分）18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.（12分）19．（12分）已知函数3()6ln f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅰ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； 20.（12分）20．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1、q 1和p 2、q 2；（2）求X 2的分布列和数学期望E (X 2) ．21.（12分）21．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22.（12分）22．（12分）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1D 2.（5分） 2B 3.（5分） 3 C 4.（5分） 4C 5.（5分） 5C 6.（5分）6B 7.（5分） 7C 8.（5分） 8 C 9.（5分） 9 B 10.（5分） 10C 11.（5分） 11 B 12.（5分） 12 A二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．1 14.（5分） 14． 24015.（5分） 15． 16.（5分） 16．45三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）【解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.……（5分）（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.……（10分）18.（12分）18．（12分）【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=……（4分） （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑……（4分）（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. ……（4分）19.（12分）19．（12分） 【答案】（Ⅰ）98y x =-；（Ⅰ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；【解】(Ⅰ) ∵()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.…4分 （Ⅰ） 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值. ……（12分）20.（12分）20．（12分）【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）；详见解析【解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.……（8分） （2）227(2)27P X p ===；2216(1)27P X q ===；22124(0)33327P X ==⨯⨯=；∴2X 的分布列为故210()9E X =.；……（12分） 21.（12分）21．（12分）【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；……（4分） （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. ……（12分）22.（12分）22．（12分）【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；……（4分） （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（8分）（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0aas a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a≥--.……（12分）。
高二数学期中考试试题及答案
高二数学期中考试试题及答案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2013-2014年度高二第一学期期中考试(必修二、选修1-1)
校2013-2014年度第一学期期中考试高二数学（文科）试卷卷Ⅰ一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．把正确答案的代号填在答题卷上.） 1.与不共线的三个点距离都相等的点的个数（ ）A.1个B.2个C.3个D.无数多个 2.经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是（ )A.2x y +=B. 1x y +=C. 2x y +=或y x =D.1x =或1y = 3.在直角坐标系中,直线330x y --=的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3πC ．65π D ．32π4．某几何体的三视图如右图，则该几何体的表面积等于（ ）A ．π12B ．π10C ．π313D ．π65.点()21P ，为圆()22125x y -+=内弦AB 的中点, 则直线AB 的方程为（ ） A ．10x y +-=B ．230x y +-=C ．03=-+y xD ．250x y --=6．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．下面四个命题中不正确．．．的是（ ） A ． ,//,,n m m ααββ⊥⊆⇒⊥n B ．αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥； C ． ,α⊥m m n ⊥,βαβ⊥⇒⊥n D ．m n ∥，m n αα⇒∥∥；7.若圆220x y ax by c ++++=与圆221x y +=关于直线21y x =-对称，则a b +=（ ）A ．4-5B ．12-5C ．45D ．1258.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个四面体ABCD 当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD所成的角为（ ）A.090 B.060 C.045 D.0309. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O3222 2正视图侧视图俯视图的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A.26B.36 C. 23 D. 2210.已知点(,x y )在曲线2214x y +=上，则227224z x y x =+++的最小值是（ ） A. 1 B.54 C. 52D. 0 二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填在答题卷的相应位置上.）11．已知点()()()3,3,51,1,30,1,0A B C -，，，则AB 的中点M 到点C 的距离||CM 等于_____ 。
山东省泰安市宁阳一中高二数学第一学期期中考试(理)人教版必修二
2008-2009学年度山东省泰安市宁阳一中高二数学第一学期期中考试（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题解答题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式∑∑==--=ni ini ii xn xy x n yx b 1221，x b y a -=。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若下图中直线1l ，2l ，3l 的斜率分别是1k ，2k ，3k ，则（ ）A ．1k <2k <3kB ．3k <1k <2kC ．1k <3k <2kD ．3k <1k <2k2．圆C 1：088222=-+++y x y x 与圆C 2：024422=---+y x y x 的位置关系 （ ） A ．相交B ．内含C ．相切D ．相离3．把二进制数110011（2）化为非二进制数，下列结果不正确的是（ ） A ．51B ．201（5）C ．123（6）D ．36（8）4．一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员人数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．在x 轴上的截距为2且倾斜角为45°的直线方程为（ ）．A ．222+=x y B ．2--=x y C ．2+=x y D ．2-=x y6．运行下面程序：INPUT m ，n DOr=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0 PRINT m END当输入168，72时，输出的结果是（ ） A ．168B ．72C ．36D ．247．下列说法中，正确的是 （ ） ①数据4、6、7、7、9、4的众数是4②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方⑨数据3，5，7，9的标准差是数据6、10、14、18的标准差的一半 ④频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 ⑤数据4、6、7、7、9、4的中位数是6.5 A ．①③B ．②④C ．③⑤D ．④⑤8．为了解l200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）k 为（ ） A ．40B ．30C ．20D ．129．设点M 是Z 轴上一点，且点M 到A （1，0，2）与点B （1，－3，1）的距离相等，则点M 的坐标是（ ）A ．（－3，－3，0）B ．（0，0，－3）C ．（0，－3，－3）D ．（0，0，3）10．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则△EOF （O 为原点）的面积为（ ）A ．23B ．43C ．52D ．556 11．下图是一个程序框图，如果在条件框内填写上语句“i >50”，那么这个程序是计算（ ）A ．1+2+3+…+50B ．2+4+6+…+50C ．1+2+3+…+49D ．1+2+3+…+5112．将直线l ：012=-+y x 向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线'l ，则直线l 与'l 之间的距离为（ ）A ．557 B ．55C ．51D ．57 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。
上海市2023学年高二下学期期中数学试题(解析版)
青浦高级中学2022学年第二学期高二年级数学期中2023.4一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）1. 等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为______{}n a n a =【答案】 2n 【解析】【分析】直接根据基本量写出等差数列通项公式【详解】设等差数列的公差为，由题意，. {}n a d 2(1)22n a n n =+-⨯=故答案为：2n 2. 两数1与4的等比中项为______ 【答案】 2±【解析】【分析】根据等比中项的概念进行计算. 【详解】1与4的等比中项为.2=±故答案为：.2±3. 将循环小数化为分数：______（循环节为23） 0.23= 【答案】2399【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式进行求解【详解】根据时，可得： 1q <111111n a a a q a q q-+++=- . 2110.23230.230.230.230.231100100991100=+⨯+⨯+==- 故答案为：23994. 无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险e x y =阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函()e xf x x =⋅数______ ()f x '=【答案】()1e xx +【解析】【详解】根据导数的乘法运算法则， 可知，()()()e e e 1e x x x x x x x x '''⋅=⋅+⋅=+所以，.()()1e xf x x '=+故答案为：.()1e xx +5. 设函数，则___． ()ln xf x x=(1)f '=【答案】 1【解析】【分析】求出函数的导函数，代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以； ()ln x f x x =()21ln x f x x -'=()21ln1111f -'==故答案为：16. 函数在处的切线方程为______ ()sin f x x =π1,62⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 12y =+【解析】【分析】求导，根据切点和导数的几何意义得到切线斜率，由点斜式写出方程.【详解】，则，于是在处的切线斜率为，故切线方程()sin f x x =()cos f x x '=π1,62⎛⎫⎪⎝⎭π6f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝为：，即. 1π26y x ⎫-=-⎪⎭12y =故答案为： 12y =+7. 二项式的展开式中，所有的系数之和为______ ()51x +【答案】 32【解析】【分析】令，即可得出答案. 1x =【详解】令，1x =即可得出二项式展开式中，所有项的系数之和为. 5232=故答案为：.328. 某同学有4本相同的小说书，1本散文书．从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有______种【解析】【分析】根据题意，分为选出的4本书都是相同的小说书和选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书，两种情况，结合分类计数原理，即可求解.【详解】若选出的4本书都是相同的小说书时，此时只有1中赠法； 若选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书时，有4中不同的赠法， 由分类计数原理得，共有种不同的赠法. 145+=故答案为：.59. 数列满足：，，且（，），则该数列前100项和{}n a 11a =23a =21n n n a a a ++=-n ∈N 0n >100S =______ 【答案】 5【解析】【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得是以6为周期的数列.进而求出{}n a ，即可根据周期性得出答案.1234560a a a a a a +++++=【详解】由已知可得，，，，，32a =41a =-53a =-62a =-，，，711a a ==823a a ==932a a ==所以，是以6为周期的数列. {}n a 又，1234560a a a a a a +++++=所以，12345699101000S a a a a a a a a ++++++++=L .()123456123416a a a a a a a a a a =+++++++++13215=++-=故答案为：5.10. 星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期______（填一、二、三、四、五、六、1002日） 【答案】 三【解析】 【分析】化简，结合二项展开式求得除以的余数，即可求解.333331002(2)2(71)2=⋅=+⋅7【详解】由题意，可得.333331002(2)2(71)2=⋅=+⋅又由，3303313232333333(71)22(C 7C 7C 71)+⋅=⋅⋅+⋅++⋅+ 所以除以的余数为，所以再过天后是星期三. 1002721002故答案为：三 11. 的展开式中，含有的项为______()6212x x ++4x 【答案】 4195x【分析】表示有个因式相乘，根据的来源分析即可.()6212x x++6()212x x ++4x 【详解】表示有个因式相乘，可能来源如下：()6212x x ++6()212x x++4x（1）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是；4()212x x ++x 214x 46C 15=（2）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是；2()212x x ++22x414x 2262C 60⨯=（3）有个提供，个提供，个提供常数，此时系数是；2()212x x++x 122x114x 2164C C 2120⨯⨯=于是的系数为，含有的项为. 4x 1560120195++=4x 4195x 故答案为：4195x 12. 某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列满足：，，的通项公式为{}n F 121F F ==()123n n n F F F n --=+≥{}n F .在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数n nn F ⎤⎥=-⎥⎦列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：①数列是严格增数列；②数列的前n 项和满足；{}1n n F F +-{}n F n S 21n n S F +=-③；④.222121n n n F F F F F ++++= ()2122321222n n n F F F F F F F -++++= 那么以上结论正确的是______（填序号） 【答案】②③ 【解析】【分析】根据数列的特征以及递推公式，即可判断①；由已知可得，累加法即可得出11n n n F F F +--=②；，变形可得时，，然后累加，即可得出③；举例，验2112F F F =2n ≥211n n n n n F F F F F +-=-1n =证，即可判断④.【详解】对于①，由题意可知，，，. 210F F -=3211F F F -==4321F F F -==由已知，则当时，单调递增.0n F >2n ≥{}n F 所以，时，由已知可知，单调递增，且. 3n ≥11n n n F F F +--={}1n n F F +-10n n F F -->所以数列在时，为严格增数列. {}1n n F F +-3n ≥但是该数列的前三项不满足，故①错误； 对于②，当时，有2n ≥， 11F =， 210F F -=F F F -=，432F F F -=，L 11n n n F F F +--=，21n n n F F F ++-=两边同时相加可得，， 212101n n n F F F F S +=+++++=+ 所以，，故②正确；21n n S F +=-对于③，由已知可得，，2112F F F =， ()222312312F F F F F F F F =-=-，()233423423F F F F F F F F =-=-L ，()21111n n n n n n n n F F F F F F F F +-+-=-=-两边同时相加可得，22212n F F F +++ 122312342311n n n nF F F F F F F F F F F F F F +-=+-+-++- ，故③正确；1n n F F +=对于④，当时，左边为，右边为，显然不成立，故④错误. 1n =121F F =()()224239F F F =+=所以，结论正确的是②③. 故答案为：②③.【点睛】关键点睛：由递推公式推得，，进而累加法，逐项相消即可得出.11n n n F F F +--=n S 二、选择题（13，14题每题4分，15，16题每题5分，共18分）13. 5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种【答案】B 【解析】【分析】由题意可先安排除甲乙之外的3人，再用插空法排甲乙2人，即得答案. 【详解】由题意5个人排一排，甲乙不相邻，先排其余3人，再将甲乙插空即可， 故不同的排法有种， 3234A A 72=故选：B14. 二项式的展开式中，有理项有（ ）项(121A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】r【详解】二项式展开式的通项为(121+，.12211212C 1C r rr rr r T x -+=⨯⨯=⨯0,1,2,,12r = 所以，当为偶数时，该项为有理项，即，共7项. r 0,2,4,6,8,10,12r =故选：C.15. 对于以下结论：①若公比，那么等比数列前n 项和存在极限；[)()1,00,1q ∈-⋃②为数列最大的项，那么对任意的n （，，）都成立； k a {}n a k n a a >n ∈N 0n >n k ≠③函数的导数为，若，那么为函数的极值点； ()f x ()f x '()00f x '=0x x =④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数. ()f x ()f x '()0f x '≥()f x 正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】A 【解析】【分析】取特殊值、特殊数列、特殊函数，即可说明各个结论，进而得出答案. 【详解】设数列前项和为， n n S 对于①，当时，，1q =-()111n n a a -=-所以，当为奇数时，； n 1n S a =当为偶数时，.n 0n S =又，所以此时，没有极限，故①错误；10a ≠n S 对于②，对于数列，可知中的每一项都为数列中最大的项，但是显然不成立，故②1n a ={}n a k n a a >错误；对于③，对于函数，有恒成立，()3f x x =()230f x x '=≥所以，函数为R 上的增函数，即函数没有极值点. ()f x 又，显然不是的极值点，故③错误； ()00f '=0x =()f x 对于④，对于常函数，有恒成立， ()1f x =()00f x '=≥但显然不是单调递增函数，故④错误. ()f x 所以，正确的个数为0个. 故选：A .()f x ()g x ()()f x g x ''>(),x a b ∈A.B.()()f x g x <()()f x g x >C. D.()()()()f x g b g x f b +<+()()()()f x g a g x f a +>+【答案】CD 【解析】【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数，利()()()h x f x g x =-用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断.()h x R 【详解】对于AB ，不妨设，，则，，满足题意， ()2f x x =()1g x =()2f x '=()0g x '=若，则，故A 错误(排除)， ()1,x a b =∈()()21f x g x =>=若，则，故B 错误(排除)；()0,x a b =∈()()01f x g x =<=对于CD ，因为，在上的导函数存在，且， ()f x ()g x R ()()f x g x ''>令，则，所以在上单调递增，()()()hx f x g x =-()()()0h x f x g x '=-'>'()h x R 因为，即，所以， (),x a b ∈a x b <<()()()h a h x h b <<由得， ()()h x h b <()()()()f x g x f b g b -<-则，故C 正确； ()()()()f x g b g x f b +<+由得， ()()h a h x <()()()()f a g a f x g x -<-则，故D 正确. ()()()()f x g a g x f a +>+故选：CD.三、解答题（14+14+14+18+18，共78分）17. （1）已知等比数列首项为，公比为q （），前n 项和为，请推导等比数列的求和公{}n a 1a 1q ≠n S 式：；()111n n a q S q-=-（2）已知等差数列前n 项和为，满足，，求. {}n b n T 15b =116T b =n T 【答案】（1）答案见解析 ；（2）． ()112n n T n -=【解析】【分析】（1）直接利用错位相减法即可求解；（2）先求等差数列的公差，然后利用等差数列前n 项和公式即可求解. 【详解】（1）的前n 项和为{}n a ，①211231111n n n S a a a a a a q a q a q -=++++=++++两边同乘公比q 得，② 23111111n n n qS a q a q a q a q a q -=+++++ ①②得，-()()11111nnn q S a a q a q-=-=-因为，所以.1q ≠()111n n a q S q-=-（2）设等差数列的公差为，则， {}n b d 11161,51110115555255b d d T b d d b ⨯=+=+++==因为，所以，所以，所以， 116T b =555555d d +=+1d =-()116n n b b n d =+-=-所以.()()11122n n n b b n n T +-==18. 已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．22nx ⎫+⎪⎭n ∈N 0n >10:1（1）求展开式中含的项 1x -（2）求系数最大的项 【答案】（1） 13112T x -=（2）或17261792T x-=1171792T x -=【解析】【分析】（1）由已知得出二项式展开式的通项为，然后根据已知列出方程式，整理求5212C n r rr r nT x-+=⋅解即可得出.进而由，得出，代入通项即可得出答案； 8n =8512r-=-2r =（2）设第项的系数为，然后求解不等式组，得出或.代入通项，1r +182C rrr a +=⋅112r rr r a a a a +++≥⎧⎨≥⎩=5r 6r =即可得出答案. 【小问1详解】由已知可得，二项式展开式的通项为，. 52122C 2C rn rn rr r rr n n T x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭0,1,2,,r n = 所以，，44222C 102C nn⋅=⋅即，()()422!2!104!4!2!2!n n n n ⋅⋅=⨯--整理可得，，解得，或（舍去负值）， 25240n n --=8n =3n =-所以，.8n =由可得， ， 8512r-=-2r =所以，展开式中含的项为.1x -2211382C 112T x x --=⋅⋅=【小问2详解】由（1）可知，该二项式展开的第项的系数为.1r +182C r rr a +=⋅设第项系数最大，则应有，1r +112r rr r a a a a +++≥⎧⎨≥⎩即， 118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩即，解得.()()29128r r r r ⎧≤-⎪⎨+≥-⎪⎩56r ≤≤因为，所以或. N r ∈=5r 6r =当时，；=5r 825175522682C 1792T xx--=⋅⋅=当时，.6r =83066112782C 1792T xx --=⋅⋅=综上所述，系数最大的项为或.17261792T x-=1171792T x -=19.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日生产产品件数()间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%） （1）将日利润（元）表示成日产量（件）的函数；（2）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值. 【答案】（1）y=－+3600（1≤x≤40）（2）该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大343x 值为72000元 【解析】【分析】（1）由题为实际问题，可利用题目给出的条件；正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%，和，建立相应的函数关系；（注意定义域）．242004500x P -=（2）由（1）已知函数的解析式，可运用导数求出函数的单调区间和最值．即：为函数的增区()0f x '>间，反之为减区间．结合实际意义可得．【详解】（1） 224200420040002000(1)45004500x x y x x--=⨯-⨯-3436003x x =-∴ 所求的函数关系是． 343600(,140)3y x x x N x *=-∈≤≤（2） 显然，令，解得． 2'36004y x =-'0y =30x =列出的变化情况如下表所示： ,,x y y 'x （1，30） 30 （30，＋∞） y′ + 0 - y ↗极大值 72000↘由上表得，当时，函数取最大值， 30x =343600(,140)3y x x x N x *=-∈≤≤最大值为（元） 3436003030720003⨯-⨯=∴ 该厂的日产量为件时，日利润最大，其最大值为元．307200020. 已知数列满足，．{}n a 11a =()1132n n n a a n --=+≥（1）求，2a 3a （2）求数列的通项公式{}n a （3）如果数列满足，，若对，恒成立，求{}n b 32nn n b a =-()1n n n S b =-2n nA SB S ≤-≤N n ∈0n >的最小值B A -【答案】（1）；24a =313a =（2） 312n n a -=（3）2512【解析】【分析】（1）根据数列递推式即可求得答案； （2）利用累加法即可求得数列的通项公式；（3）利用（2）的结论可得，以及的表达式，分类讨论求得的最大值和最n b ()1nn n S b =-()1nn n S b =-小值，结合函数单调性可得的最值，再结合恒成立，可得范围，即可求得2n nS S -2nn A S B S ≤-≤,A B 答案.【小问1详解】由题意得；212112343;a a a --++===2312313934313a a a --==++==+【小问2详解】，()111132,3n n n n n n a a n a a ----=-=+≥∴ ，2213214313133,3,,3,n n n a a a a a a a a --∴-====--- 累加可得， ()1113123133 (31333332)n n n n a a --=---++++==-又，又也适合该式， 1311,2n n a a =∴-=11a =故. 312n n a -=【小问3详解】由（2）知， ()311,1,N,0231,222n n n n n n n a b a S n n ⎛⎫=-=-∴=- -∴-∈⎭=>⎪⎝当n 为奇数时，， 111122n nn S ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，且， n S ∴n 112⎛⎫> ⎪⎝⎭1+； 1131122n S S ∴<≤=+=当n 为偶数时，， 111122n n n S ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，且， n S ∴n 112⎛⎫< ⎪⎝⎭1-，而， 21n S S ∴≤<22133==,1244n S S ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭1-综上，的最大值和最小值分别为，，函数在上单调递增， n S 32342y t t =-()0,∞+由对，恒成立， 2n nA SB S ≤-≤N n ∈0n >∴， min max 232232321,334122642n n n n A S B S S S ⎛⎫⎛⎫≤-=-=-≥-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为. B A ∴-1232561212⎛⎫--= ⎪⎝⎭21. 已知函数()ln 1f x x ax =++（1）当时，求的最大值1a =-()f x （2）讨论函数的单调性()f x （3）对任意的，都有成立，求实数的取值范围 ()0,x ∈+∞()e xf x x ≤a 【答案】（1）0（2）答案见解析（3）．(],1-∞【解析】 【分析】（1）求导，研究函数的单调性，从而得出最值；（2）结合函数的定义域，分类讨论的范围，解导函数的不等式即可；a （3）先证明恒成立，分析出，先找到符合题意的的范围， ()e 10xh x x =--≥(ln )0h x x +≥a 然后证明该范围的补集不符题意即可.【小问1详解】时，，1a =-()ln 1f x x x =-+由，所以， 0x >()111x f x x x-'=-=当时，，所以函数在上单调递增；01x <<()0f x ¢>()f x ()01,当时，，所以函数在上单调递减；1x >()0f x '<()f x ()1,+∞故函数；()()max 1ln1110f x f ==-+=【小问2详解】定义域为，， (0,)+∞()1f x a x '=+当时，，在上递增； 0a ≥()10f x a x'=+>()f x (0,)+∞当时，令，解得，令，解得. a<0()10f x a x '=+>10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10f x a x +'=<1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭于是时递增；时递减 10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x 1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 【小问3详解】任意都有成立，故，即. ()0,x ∈+∞()e x f x x ≤()ln 1e xf x x ax x =++≤ln e ln 1x x x ax +≥++设，由增函数加增函数得增函数，在上单调递增，()ln g x x x =+()g x ()0,x ∈+∞又，，故存在唯一的，使得； 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0()0g x =设，，当时，单调递增， ()e 1x h x x =--()e 1xh x '=-0x >()0h x '>()h x 当时，单调递减，0x <()0h x '<()h x 于是时，取得最小值，故恒成立.0x =()h x (0)0h =()0h x ≥于是，即， ln (ln )e (ln )10x x h x x x x ++=-+-≥ln e ln 1x x x x +≥++当，即时取得等号.ln 0x x +=0x x =显然时，符合题意；1a ≤ln e ln 1ln 1x x x x x ax +≥++≥++当时，对不等式，取,即，1a >ln e ln 1x x x ax +≥++0x x =00ln 00e ln 1x x x ax +≥++根据上面的分析：，得到，即00ln 00eln 1x x x x +=++00ln 0000ln 1e ln 1x x x x x ax +++=≥++0(1)0a x -≥， 但，，即得到矛盾，于是不成立. 1a >01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0(1)0a x -<1a >综上， 1a ≤。
辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案
2023-2024学年度下学期期中考试高二数学（A ）（答案在最后）时间：120分钟满分：150分命题范围：选择性必修二，选择性必修三结束.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设随机变量X 服从正态分布()3,4N ，若()()263P X a P X a >-=<-，则a =（）A.2-B.1- C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意随机变量X 服从正态分布()3,4N ，即正态分布曲线关于3x =对称,因为()()263P X a P X a >-=<-，故2(63)3,12a a a -+-=∴=-，故选：B2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213S a =，则公比q=A.12B.13C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】将已知转化为1,a q 的形式，解方程求得q 的值.【详解】依题意1113a a q a +=，解得2q =，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1,a q ，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,n n a q a S n ，利用等比数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a q ，进而求得数列其它的一些量的值.3.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（）A.1100B.160 C.150D.130【答案】B 【解析】【分析】利用全概率公式可求解得出.【详解】设B 表示汽车中途停车修理，1A 表示公路上经过的汽车是货车，2A 表示公路上经过的汽车是客车，则()123P A =，()213P A =，()10.02P B A =，()20.01P B A =，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为()()()()()11222110.020.013360P B P A P B A P A P B A =+⋅=⨯+⨯=.故选：B.4.函数()sin cos f x x x x =+的导数()f x '的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.【详解】因为()sin cos f x x x x =+，所以()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()()cos g x f x x x '==，R x ∈，则()()cos g x x x g x -=-=-，所以函数()cos g x x x =是奇函数，故A ，C 错误；又()ππcos π=-π<0g =，故B 错误.故选：D.5.若(2nx 二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含4x 项的系数为（）A.80B.14- C.14D.80-【答案】A 【解析】【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案.【详解】由二项式(2nx ，则其展开式的通项()(()()121C 2C 210,N rn n rrrr n rr nnT x xr n r ---+==-≤≤∈，展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为1C n ，4C n ，则14C C n n =，解得5n =，则通项为()()155215C 2105,N rr rr T xr r --+=-≤≤∈，令1542r -=，解得2r =，则展开式中含4x 项的系数为()22523554C 2128021-⨯⋅⋅-=⨯=⨯.故选：A.6.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（）A.89B.19 C.79D.59【答案】A 【解析】【分析】由条件概率公式求解即可.【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件A ，灯泡寿命超过800小时为事件B ，则()()0.9,0.8P A P AB ==，所以()()()0.88|0.99P AB P B A P A ===.故选：A7.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A.333412963C C C B.33341296433C C C A A C.33331296444C C C A D.333312964C C C 【答案】A 【解析】【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题只需每个课题依次选三个人即可，共有3331296C C C 中选法，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：333412963C C C ，故选A.8.已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞⋃+∞B.[C.(,)-∞⋃+∞D.(【答案】B 【解析】【分析】由题得()0f x '≤在R 上恒成立，解不等式24120a ∆=-≤即得解.【详解】由题意知，2()321f x x ax '=-+-，因为()y f x =在R 上是单调函数，且()y f x '=的图象开口向下，所以()0f x '≤在R 上恒成立，故24120a ∆=-≤，即a ≤≤故选：B【点睛】结论点睛：一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增函数⇒'()f x ≥0.一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是减函数⇒'()f x ≤0.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.对两个变量x 与y 进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，则下列说法正确的是（）A.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好B.由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心()x yC.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，则变量x 与y 之间具有很强的线性相关性【答案】ABD 【解析】【分析】根据残差的平方和的性质判断A ，根据回归方程的性质判断B ，根据相关指数的性质判断C ，根据相关系数的定义判断D.【详解】对于A ，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A 正确；对于B ，若回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则ˆˆy bx a =+，即回归方程表示的直线必过样本点的中心(,x y ，B 正确；对于C ，相关指数2R 越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C 正确；对于D ，变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，故相关系数较为接近1，所以变量x 与y 之间具有很强的线性相关性.D 正确；故选：ABD.10.设等差数列{}的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，100S >，60a <，则（）A.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B.2445d -<<-C.50a > D.0n S >时，n 的最大值为5【答案】ABC 【解析】【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A 选项的正误；根据已知条件列出关于d 的不等式组，求出d 的取值范围，可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C ，D 选项的正误.【详解】对于C 选项，由()()110105610=502a a S a a +=+>且60a <，可知50a >，故C 正确；对于B 选项，由53635632122031230252450a a d d a a d d a a a d d =+=+>⎧⎪=+=+<⎨⎪+=+=+>⎩，可得2445d -<<-，故B 正确；对于D 选项，因为100S >，()111116111102a a S a +==<，所以，满足0n S >的n 的最大值为10，故D 错误；对于A 选项，由上述分析可知，当15n ≤≤且*N n ∈时，0n a >；当6n ≥且*N n ∈时，0n a <，所以，当15n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a >，当610n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a <，当11n ≥且*N n ∈时，0nnS a >.由题意可知{}单调递减，所以当610n ≤≤且*N n ∈时，6789100a a a a a >>>>>，由题意可知{}n S 单调递减，即有6789100S S S S S >>>>>，所以678910111110a a a a a ->->->->->，由不等式的性质可得6789106789100S S S S Sa a a a a ->->->->->，从而可得6789106789100S S S S S a a a a a <<<<<，因此，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项，故A 正确.故选：ABC.11.如果函数()f x 对定义域内的任意实数，都有()()0f x xf x '+>，则称函数()y f x =为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是（）A.()e xf x = B.()ln f x x =C.()2f x x= D.()sin f x x=【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”，逐项验证可得答案．【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，即函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．对于A ，()e xf x =，()()()e=∈=xg xf x x x x R ，()()e e 1e x x x g x x x '=+=+，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()e xf x =不是“F 函数”．故A 正确；对于B ，()ln f x x =，()()()ln 0>==g xf x x x x x ，()ln 1g x x '=+，当10e x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1ex >时，()0g x '>，()g x 单调递增，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()ln f x x =不是“F 函数”．故B 正确；对于C ，()2f x x =，()()()3=∈=g xf x xx x R ，()203'=≥x x g ，所以()g x 单调递增函数，则函数()2f x x =是“F 函数”．故C 错误；对于D ，()sin f x x =，()()()sin ∈==g x xf x x x x R ，()sin cos g x x x x '=+，当3ππ2<<x 时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()sin f x x =不是“F 函数”．故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()()g x xf x =，根据()0g x '>可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念.要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法.(用数字作答)【答案】72【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有4424A =种情况，则有32472⨯=种不同的站法；故答案为72．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13.已知随机变量X ，Y 满足21Y X =+，且随机变量X 的分布列如下：X 012P1613a则随机变量Y 的方差()D Y 等于______；【答案】209##229【解析】【分析】根据分布列中概率和为1可得a ，再由期望、方差公式计算出()D X ,最后利用()()2D aX b a D X +=计算可得答案.【详解】因为11163a ++=，所以12a =，()11140126323=⨯+⨯+⨯=E X ，()22214141450126333239⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D X ，所以()()()520214499=+==⨯=D Y D X D X .故答案为：209.14.若函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围为______.【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,分为0a =、0a <和0a >进行讨论,利用函数的单调区间和()01f =即可得到答案.【详解】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,当0a =时,函数()0f x =无解,不符合题意;当0a <时,()'0fx >得02x <<,()'0f x <得0x <或2x >,即函数()f x 的增区间为()0,2,减区间为()(),0,2,-∞+∞,又()01f =,所以函数()f x 有且仅有1个零点,与题意不符;当0a >时,()'0fx >得0x <或2x >,()'0f x <得02x <<,即函数()f x 的增区间为()(),0,2,-∞+∞,减区间为()0,2,又()01f =,要使函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则需()20f <,即81210a a -+<,解得14a >.故答案为:1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n = ，，，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a =；条件②：12n n a a +-=；条件③：24S =-.）选择条件和．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足n n b a =，并求数列{}n b 的前n 项的和n T 【答案】（1）25n a n =-（2）当12n ≤≤时2=4n T n n -+，当3n ≥时248n T n n =-+【解析】【分析】（1）根据12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，然后求出首项，即可得通项.（2）由52,12;25,3n n n b n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，分情况讨论即可得nT 【小问1详解】选①②，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，又55a =得13a =-，故()32125n a n n =-+-=-选②③，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，由24S =-可知124,a a +=-13a ∴=-，()32125n a n n =-+-=-选①③，无法确定数列.【小问2详解】52,12;252525,3n n n n n a n b a n n n -≤≤⎧=-∴==-=⎨-≥⎩ ，其中n N ∈,当12n ≤≤，n N ∈时，2=4n T n n-+当3n ≥，n N ∈时，数列{}n b 是从第三项开始，以公差2=d 的等差数列()()21252=4+482n n n T n n +--=-+.16.已知函数()ln 22f x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =的斜率等于1的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）1y x =-；（2）极小值ln 21-，无极大值．【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据()01f x '=，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值.【详解】（1）设切点为()00,x y ，因为()12f x x=-+'，所以0121x -+=，01x =，0ln1220y =-+-=，所以切线方程l 为()011y x -=⨯-，即1y x =-．（2）()f x 的定义域为0,+∞．令()0f x '=即120x -+=，12x =，令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 存在极小值1ln 212ln 212f ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，无极大值．17.随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：[)20,25，[)25,30，[)30,35，[)35,40，[]40,45.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等质量非优等合计（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间[]40,45中含有的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.001x 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关（2）分布列见解析，2()3E X =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可计算并判断结果.（2）随机变量X 的可能取值有0，1，2，服从超几何分布，利用超几何分布的公式可计算概率值，从而列出分布列并计算期望.【小问1详解】解：由题意可得22⨯列联表为：甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200则()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2200(42001200)20018.18210.8281001001109011⨯-=≈>⨯⨯=⨯.所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.【小问2详解】由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[]40,45中含有10个，随机变量X 的可能取值有0，1，2，021020230C C 19038(0)C 43587P X ====，111020230C C 20040(1)C 43587P X ====，210230C 459(2)C 43587P X ====，随机变量X 的分布列如下：X012P38874087987384092()0128787873E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知数列{}n a 满足11a =，11n n S a n +=--.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）设1n n nb a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）222n nn S +=-.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合12,n n n n a S S -≥=-推理判断作答.（2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和作答.【小问1详解】当1n =时，122S a =-，解得23a =，当2n ≥时，11n n S a n +=--，1n n S a n -=-，两式相减得11n n n a a a +=--，即121n n a a +=+，即有()1121n n a a ++=+，而21142(1)a a +==+，则N n *∀∈，()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知12nn a +=，于是12n n n n nb a ==+，则231232222n n n S =++++ ，于是231112122222n n n n n S +-=++++ ，两式相减得2311111(1)11222112221212222121n n n n n n n n n S +++-+=++++-=-=--，所以222n n n S +=-.19.设函数()e xf x ax =-，0x ≥且R a ∈．（1）求函数()f x 的单调性；（2）若()21f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）e 2a ≤-【解析】【分析】（1）求导后分1a ≤与1a >两种情况讨论即可；（2）方法一：讨论当0x =时成立，当0x >时参变分离可得2e 1x x a x --≤，再构造函数()2e 1x x g x x --=，0x >，求导分析最小值即可；方法二：将题意转化为2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，再构造函数()21e xx ax h x ++=，求导分类讨论单调性与最大值即可.【小问1详解】()e x f x a '=-，0x ≥，当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[)0,+∞上单调递增；当1a >时，[)0,ln x a ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[)0,ln a 上单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '≥，则()f x 在[)0,ln a 上单调递增．【小问2详解】方法一：2e 1x ax x -≥+在0x ≥恒成立，则当0x =时，11≥，显然成立，符合题意；当0x >时，得2e 1x x a x --≤恒成立，即2min e 1x x a x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭记()2e 1x x g x x --=，0x >，()()()2e 11x x x g x x'---=，构造函数e1xy x =--，0x >，则e 10x y '=->，故e 1xy x =--为增函数，则0e 1e 010x x -->--=.故e 10x x -->对任意0x >恒成立，则()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以()()min 1e 2g x g ==-∴e 2a ≤-．方法二：211e xx ax ++≤在[)0,+∞上恒成立，即2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭．记()21e x x ax h x ++=，0x ≥，()()()11e xx x a h x '-+-=-，当1a ≥时，()h x 在()0,1单增，在()1,+∞单减，则()()max 211ea h x h +==≤，得e 2a ≤-，舍：当01a <<时，()h x 在()0,1a -单减，在()1,1a -单增，在()1,+∞单减，()01h =，()21ea h +=，得0e 2a <<-；当0a =时，()h x 在()0,∞+单减，成立；当a<0时，()h x 在()0,1单减，在()1,1a -单增，在()1,a -+∞单减，()01h =，()121eaah a ---=，而1e 11a a -≥-+，显然成立．综上所述，e 2a ≤-．。
2022-2023学年高二下学期期中数学试题(解析版)
香山中学2022-2023学年度第二学期高二级期中考试数学科试卷一、单项选择题（共40分）1. 下列式子正确的是（ ）A. B. ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭()1ln x x'=C.D.e e 22x x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x x '=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案.【详解】A 中，因为，所以，故A 错误；π1sin 62=πsin 06'⎛⎫= ⎪⎝⎭B 中，由基本初等函数的导数公式易知，故B 正确； ()1ln x x'=C 中，因为，故C 错误； ()221e e 22e e 242xx x x x x x x x -'-⎛⎫== ⎪⎝⎭D 中，，故D 错误. ()sin sin cos x x x x x '=+故选：B.2. 曲线在处的切线的倾斜角是（ ） 2()e 25x f x x x =+--0x =A.B.C.D.56π23π4π34π【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答. ()f x ()f x '(0)f '【详解】由求导得：，则有，2()e 25x f x x x =+--()e 22xf x x '=+-(0)1f '=-因此，曲线在处的切线的斜率为， 2()e 25xf x x x =+--0x =1-所以曲线在处的切线的倾斜角是. 2()e 25xf x x x =+--0x =34π故选：D3. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则41521538既刮风又下雨的概率为（ ）A.B.C.D.3435110120【答案】C 【解析】【分析】利用条件概率的计算公式求解即可【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，A =B =AB =则， ()()()423,,15158P A P B P B A ===所以. ()()()43115810P AB P A P B A ==⨯=故选：C4. 已知函数的导函数为，且，则（ ） ()f x ()'f x ()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.12-126π-6π+【答案】D 【解析】【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入即()f x 6x π=6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭()f x 6x π=可得出答案.【详解】， ()2cos 6f x xf x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，()2sin 6f x f x π⎛⎫''∴=- ⎪⎝⎭令，则， 6x π=2sin 666f f πππ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，162f π⎛⎫'= ⎪⎭∴⎝则，()cos f x x x =+cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎭+⎝∴故选：D.5. 为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 20种 D. 24种【答案】B 【解析】【分析】根据分类计数法将甲分为第一个出场和第二个出场两种情况，然后根据分步计数原理求出这两种情况下的排列方式，即可求解. 【详解】解：由题意知：当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）； 1222C A 4=当甲第二个出场时，不同演讲方法有（种）.1222C A 4=所以所求的不同演讲方法有（种） 448+=故选：B6. 若离散型随机变量的概率分布列如下表所示，则的值为ξaξ 1-1P41a -23a a + A.B.C.或 D.132-132-12【答案】A 【解析】【详解】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：. 2204110314131a a a a a a -⎧⎪+⎨⎪-++=⎩…………解得. 13a =故选A.7. 已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝a 13x （）A.B.C.D.79-7981-81【答案】A 【解析】【分析】利用已知条件求出实数的值，然后写出展开式通项，利用的指数为，求出参数的值，代入a x 3通项即可得解.【详解】因为（为常数）的展开式中各项系数之和为， 521ax x x ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝a 1所以在中令，可得，解得， 521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝1x =()()5111a --=2a =的展开式的通项， 5x ⎛ ⎝()35521552rr r r r r r T C x C x --+⎛=⋅⋅=- ⎝因为， 555221122x x x x x x x ⎛⎛⎛⎛⎫--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎝，令，可得， ()33215212r r r r T C x x-+=-3332r -=0r =，令，可得. ()36215222k kkk xT C x-+=⨯-⋅3632k -=2k =故的展开式中的系数为， 521ax x x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝3x ()30255C 2C 79+-=-故选：A.8. 已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为1()ln xf x x ax-=+()f x [1,)+∞a （）A. B. C.D.()0,1(01]，()1,+∞[1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据函数，求导得到，然后根据函数在上为增函数，转1()ln xf x x ax-=+()f x '()f x [1,)+∞化为在上恒成立求解. ()0f x '≥[1,)+∞【详解】函数， 1()ln xf x x ax-=+，()2211()aax f x x ax ax --'=+=因为函数在上为增函数，()f x [1,)+∞所以在上恒成立， ()0f x '≥[1,)+∞又，0a >所以 在上恒成立，10ax -≥[1,)+∞即在上恒成立， 1a x ≥[1,)+∞令，()()max 11g x g x x==，所以， 1a ≥故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题（共20分）9. 已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)： X 0 1 2 3 4 P0.10.20.40.2a 则下列计算结果正确的有（ ）A. a ＝0.1B. P (X ≥2)＝0.7C. P (X ≥3)＝0.4D. P (X ≤1)＝0.3【答案】ABD 【解析】 【分析】由概率之和为1可判断A ，根据分布列计算可判断B,C,D.【详解】因为，解得，故A 正确； 0.10.20.40.21a ++++=0.1a =由分布列知,，(2)0.40.20.10.7P X ≥=++=(3)0.20.10.3P X ≥=+=，故BD 正确，C 错误.(1)0.10.20.3P X ≤=+=故选：ABD10. 如果函数的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是（）()y f x =A. 函数在区间内单调递增B. 当时，函数有极大值 ()y f x =()3,512x =-()y f x =C. 函数在区间内单调递增 D. 当时，函数有极大值()y f x =()1,22x =()y f x =【答案】CD 【解析】 【分析】本题首先可结合函数的导函数的图像分析出函数的单调递增区间、单调递减区间以及极值点，()y f x =然后与选项对比，即可得出结果.【详解】结合函数的导函数的图像可知： ()y f x =当时，导函数值小于，函数是减函数； <2x -0()f x 当时，导函数值等于，函数取极小值； 2x =-0()f x 当时，导函数值大于，函数是增函数； 22x -<<0()f x 当时，导函数值等于，函数取极大值； 2x =0()f x 当时，导函数值小于，函数是减函数； 24x <<0()f x 当时，导函数值等于，函数取极小值； 4x =0()f x 当时，导函数值大于，函数是增函数， >4x 0()f x 结合选项易知，、错误，、正确， A B C D 故选：CD.【点睛】本题考查根据导函数图像判断函数性质，当导函数值为负数时，函数是减函数，当导函数值是正数时，函数是增函数，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题.11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中1A 2A 3A 随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） B A. B. ()25P B =()1511P B A =C. 事件与事件相互独立D. ，，是两两互斥的事件B 1A 1A 2A 3A 【答案】BD 【解析】【分析】由 可判定A 错误；由条件概率求解，可判定B 正确；由()()()()123P B P BA P BA P BA =++独立事件的概率计算公式，可判定C 错误；由互斥的事件的定义，可判定D 正确. 【详解】由题意，因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，所以D 正确；1A 2A 3A 因为，所以，所以B 正确； ()()()123523,,101010P A P A P A ===()()()111555101151110P BA P B A P A ⨯===同理可得, 3223222434()()4410111011(|),(|)23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======所以，所以A 错误； ()()()()123552434910111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=因为，所以，所以C 错误． ()()()11555959,101122221044P BA P B P A =⨯=⋅=⨯=()()()11P BA P B P A ≠⋅故选：BD.12. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数()()e xg x f x = 2.71828e =()f x 具有M 性质．下列函数中具有M 性质的为（ ）()f x A.B.()2xf x -=()xf x -=3C.D.()3f x x =()22f x x =+【答案】AD 【解析】【分析】根据新定义，由函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论． 【详解】当时，的定义域为R ，函数， ()2xf x -=()f x ()()e 22e e xxxxg x f x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭==由，则在R 上单调递增，函数具有M 性质，故A 选项正确； e12>()g x ()f x 当时，的定义域为R ，函数， ()xf x -=3()f x ()()e 33e e x xx x g x f x -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭==由，则在R 上单调递减，函数不具有M 性质，故B 选项不正确； e013<<()g x ()f x 当时，的定义域为R ，函数，()3f x x =()f x ()()3e e xxg x f x x ==，当时，，单调递减，故函数不具有()()2323e e 3e x x x g x x x x x '=+=+3x <-()0g x '<()g x ()f x M 性质，故C 选项不正确；当时，的定义域为R ，函数，()22f x x =+()f x ()()()2e 2e xxg x f x x ==+，则在R 上单调递增，函数()()()()2222e 2e 22e 11e 0x x x x g x x x x x x ⎡⎤=++=++=++>⎣⎦'()g x 具有M 性质，故D 选项正确.()f x 故选：AD三、填空题（共20分）13. 如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5 112【解析】【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜()45f =l (0,3)(4,5)l 率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可. k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率， ()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则， l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以． 111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11214. 设随机变量的分布列为，则常数________．X ()()1,2,,10P X k ak k ===⋅⋅⋅=a 【答案】155【解析】【分析】利用概率和为求解即可.1【详解】因为， ()()1,2,,10P X k ak k ===⋅⋅⋅因为，即，()123101a ++++= ()1011012a ⨯+=所以. 155a =故答案为：. 15515. 已知，则_______．()422380123832x x a a x a x a x a x -+=++++⋅⋅⋅+1357a a a a +++=【答案】 648-【解析】【分析】利用赋值法分别将和代入已知式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即1x ==1x -可求出的值． 1357a a a a +++【详解】因为，()422380123832x x a a x a x a x a x -+=++++⋅⋅⋅+令，可得，1x =01280a a a a ++++…=令，可得，=1x -40123861296a a a a a -+-+⋯+==两式相减，可得，则. ()135721296a a a a +++=-1357648+++=-a a a a 故答案为：．648-16. 某机场有并排的10个停机位，若有3架飞机要降落在该机场并停放在这排停机位中，每架飞机停放在任一停机位都是随机的，则3架飞机停好后每架飞机两边各至少有一个空停机位的不同停法种数为______． 【答案】120 【解析】【分析】对于不相邻问题，在求解时，可以考虑采用插空法，先排列不受限制的元素，再将不相邻的元素插在前面元素排列后形成的空位中．【详解】求3架飞机随机停在10个停机位的3个停机位中，每架飞机两边各至少有一个空停机位的方法数，可考虑先将其中的7个空停机位排成一排，这样有6个空隙，再把3架飞机安排到其中的3个空隙中，共有种不同的停法． 36120A =故答案为：120.四、解答题（共70分）17. 已知函数在时取得极值． ()()()32111,,1,032f x ax a x bx a b a a =-++∈≠>R 1x =（1）求的值；b （2）求的单调减区间． ()f x 【答案】（1）1b =（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）先对求导，利用极值的定义求得，再利用导数进行检验是否满足题意即()f x 1b =1b =可；（2）利用（1）中结论直接得解. 【小问1详解】 因为， ()()3211132f x ax a x bx =-++所以，()()21f x ax a x b '=-++由于为函数的一个极值点，则，即，得， 1x =()10f '=()10a a b -++=1b =当时，，1b =()()()()21111fx ax a x ax x '=-++=--因为，令，则或， 1,0a a ≠>()0f x '=1x a=1x =当，即时， 11a<1a >令，得；令，得当或； ()0f x '<11x a <<()0f x ¢>1x a<1x >所以在上单调递减，在，上单调递增，()f x 1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()1,+∞此时是的极小值，满足题意；1x =()f x 当，即时， 11a<01a <<令，得；令，得当或； ()0f x '<11x a <<()0f x ¢>1x <1x a>所以在上单调递减，在，上单调递增，()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭(),1-∞1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭此时是的极大值，满足题意； 1x =()f x 综上：. 1b =【小问2详解】 由（1）可知，当时，的单调减区间为； 01a <<()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，的单调减区间为. 1a >()f x 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭18. 从7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种?（1）其中的，必须当选；A B （2），恰有一人当选；A B （3）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同职务，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【答案】（1）120；（2）420；（3）12600.【解析】【分析】（1）先选出，，再从剩下的人中选人即可.A B 103（2），之中选1人，再从剩下的人中选人即可.A B 104（3）根据题意分步，第一步计算选出一名男生担任体育委员的情况，第二步计算选出一名女生担任班3长的情况，第三步再从剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委的情况，最后利用62413分步计数原理计数即可.【详解】（1）根据题意，先选出，，再从剩下的人中选人，共有种选法；A B 10323210120C C =（2）根据题意，先选出，中1人，再从剩下的人中选人，共有种选法；A B 10414210420C C =（3）选出一名男生担任体育委员共有种情况，选出一名女生担任班长共有种情况.17C 15C 剩下名男生再选人，名女生再选人，担任其它个班委，共有种情况，62413642133C C A 所以共有种选法. 112641375312600C C C C A =【点睛】本题主要考查排列，组合的应用，同时考查了分类，分步计数原理，属于中档题.19. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与均值．【答案】（1） 14（2）分布列见解析；期望为35【解析】【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解;（2）首先确定随机变量的取值，，再根据古典概型计算公式，列出分布列，求解数学期望.0,1,2X =【小问1详解】设事件A =“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有． ()111231053C C C 1C 4P A ==【小问2详解】X 的所有可能值为0，1，2，且，，． ()38310C 70C 15P X ===()1228310C C 71C 15P X ===()2128310C C 12C 15P X ===所以X 的分布列为 X 01 2 P 715 715 115故． ()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=20. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.(21)n x -（1）求展开式中二项式系数最大的项.（2）求的展开式中的常数项. ()1121n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）；41120x （2）.17【解析】【分析】（1）由二项式系数关系及组合数性质得，进而写出二项系数最大项即可；8n =（2）由（1）知二项式为，分别求出前后两个二项式的常数项，即可得结果. 88(21)(21)x x x ---【小问1详解】依题意，由组合数的性质得.17C C n n =8n =所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. 8(21)x -444458C (2)(1)1120T x x =-=【小问2详解】由（1）知，， 8881(21)1(21)(21)x x x x x -⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭因为二项式的展开式的通项为，8(21)x -818C (2)(1)k k k k T x -+=-所以的常数项为，的常数项为， 8(21)x -89(1)1T =-=8(21)x x -778C 2(1)16x x -=-所以的展开式中的常数项为. 811(21)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()11617--=21. 已知函数． ln(1)()()1ax f x a x x =++∈+R （1）当时，求函数的图象在点（0，f （0））处的切线方程；1a =f x （）（2）讨论函数的极值；f x （）【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析2y x =【解析】【分析】（1）求得，即可求得切线斜率，结合及导数的几何意22()(1)x f x x +'=+02k f ='=（）00f =（）义即可求得切线方程． （2）求得，，对与的大小分类讨论即可求得函数的单调性，21(1)x a f x x ++'=+（）1x -（（（1a --1-()f x 从而求得其极值． 【详解】解：（1）当时，， 1a =()ln(1)1x f x x x =+++所以， 22112()1(1)(1)x x x f x x x x '+-+=+=+++所以．又， 02f '=（）00f =（）所以函数的图象在点（0，f （0））处的切线方程为f x （）2y x =（2）， 221(1)11(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++（（1x -（（（令，得10x a ++=1x a =--若，即时，恒成立，此时无极值11a --≤-0a ≥0f x '（（（f x （）若，即时，11a ---（0a ＜则当时，，11x a ---（（0f x '（（（当时，，1x a --（0f x '（（（此时在处取得极小值，极小值为f x （）1x a =--11n a a -++（（【点睛】本题主要考查了函数的导数的应用，切线方程的求法，极值的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于难题．22. 已知函数 ()()32R f x x ax x a =++∈（1）若函数存在两个极值点，求的取值范围；()f x a （2）若在恒成立，求的最小值.()ln f x x x x ≥+()0,∞+a【答案】（1）或 a <a >（2）1-【解析】【分析】（1）函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零()f x 23210x ax ++=求解即可；（2）在恒成立，即，转化为求()ln f x x x x ≥+()0,∞+2ln ln x x ax x a x x+≥⇒≥-()ln x g x x x =-的最大值，利用导数即可得答案.【小问1详解】因为， ()()32R f x x ax x a =++∈所以()'2321f x x ax =++因为函数存在两个极值点，()f x 所以有两个不同的解，23210x ax ++=所以，解得24120a ->a <a >【小问2详解】 在恒成立，即恒成立， ()ln f x x x x ≥+()0,∞+2ln ln x x ax x a x x +≥⇒≥-令，则 ()ln x g x x x=-()max a g x ≥因为， ()221ln x x g x x --'=设， ()()21ln 10h x x x h =--=⇒在上都递减，2ln ,1y x y x =-=-()0,∞+所以在上递减， ()21ln h x x x =--()0,∞+所以，当时，，此时，在上递增， 01x <<()0h x >()'0g x >()g x ()0,1当时，，此时，在上递减， 1x >()0h x <()'0g x <()g x ()1,+∞所以，()max ()11g x g ==-所以， 即1a ≥-min 1a =-。
高二第二学期期中考试数学试卷
高二年级第二学期期中检测数学试题（满分:150分，考试时间:120分钟）一、选择题:本题共8小题，每小腿5分，共40分.只有一项符合题目要求.1.函数y = f （x ）位点（x 0，y o ）处的切线方形为y = 2x + 1.则x x x f x f x ∆∆--→2)2()(lim 000 等于（ ）A.4B. - 2C.2D.4 2.函数 f （x ）= 的图象大致形状是（ ）3.（x + 2y ）×（x - y ）5的展开式中x 2y 4的系数为（ ）A. - 15B.5C. - 20D.254.甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们和和两不相邻的排法共有（ ）A.36种B.72种C.144种D.246种 5.函数f （x ）= k x- lnx 在[1，e ]上单调递增，则k 的收值范围是（ ）A. [1， +∞）B.（e 1， +∞）C.[e 1， +∞）D.（1， +∞） 6.若函数f （x ）=31x 3 - 2+x 2 在（a - 4.a + 1）上有最大值，则实数a 的取值范围为（ ） A.（- 3.2] B.（- 3，2） C.（- 3.0） D.（- 3.0]7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.短道速滑和冰壶3个项目进行集训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种.A.30B60 C.90 D150 8.设a =24l 24e n ）（- ，b = e 1，c =44ln ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A.a < c < b B. c < a < b C .a < b < cD.b < a < c二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下求导运算正确的是（ ） A.)1(2x ʹ = 32x B.(ln 2x)ʹ = x 1 C .（l gx ）ʹ =10l 1n x D .（cos 2）' =-sin 210.由0.1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的四数，则（ ）A.若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数B.若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数C.若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数D.总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机抽出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是A.A 1，A 2两两互斥B.P （B|A 2） =75 C.事件B 与事件A 2相互独立 D.P （B ） = 149 12.已知函数f （x ） = e x - ax 2（a 为常数），则下列结论正确的有（ ）A.若f （x ）有3个零点，则a 的取值范围为（42e ，+ ）B.a = 2e 时，x = 1是f （x ）的极值点 C.a =21 时，f （x ）有唯一零点x 0且 - 1 < x 0 <- 21 D.a = 1时，f （x ）≥0恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f （x ）= 2ln x - x 2 + 1，则f （x ）的单调递增区间是 _________4.将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在（x -x1）n 的展开式中，含x 2项的系数为 _________ .15.若直线y = kx + b 是曲线y = 1nx + 1的切线，也是曲线y = ln （x + 2）的切线.则b = _________16.给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种不同的颜色可供选择，则共有_________ 种不同的染色方案.四、解答题:本题共6小圆，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算.17.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n且S n底2a n- 2（n∈N）（1）求数列{a n}的通项公式:（2）若b n =n naa 2log1+.求数列{b n}的前n项和T n18.（本小M满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA = AB = BC = 0.5AD = 1. （1）求PB与CD所成的角:（2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值:（3）求点B到平面PCD的距离.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设∑表示选出的3名同学中男生的人数，求∑的分布列.20.（本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为4331，.（1）求第三次由乙投篮的概率:（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为∑求∑的分布列:（3）求∑的期望及标准差.已知函数f （x ）= x ln x +2 x（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程:（2）当x > 1时，mx - m < f （x ）恒成立，求整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = axlnx 2 - 2x .若f （x ）在x = 1处取得极值，求f （x ）的单调区间:（2）若a = 2，求f （x ）在区同[0.5，2]上的最值:（3）若函数h （x ） =xx f )( - x 2 + 2有1个零点，求a 的取值范围.（修考做据:1 m2 = 0.693）。
高二数学第二学期期中试卷
高二数学第二学期期中试卷2021高二数学第二学期期中试卷本卷须知：本试卷分基础检测与才干检测两局部，共4页，总分值为150分。
考试用120分。
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案;不能答在试卷上。
3.非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各标题指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准运用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案有效。
4.考生必需坚持答题卡的整洁，考试完毕后，将答题卷和答题卡一并收回。
参考公式：第一局部基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，在每题5分，共50分)1.以下言语中，哪一个是输入语句( )A.PRINTB.INPUTC.IFD.THEN2.给出左面的顺序框图，输入的数是( )A.2450B.2550C.5050D.49003.以下抽样中不是系统抽样的是()A.从标有1～15号的产品中，任选3个作样本，按从小到大排序，随机选起点，以后选(超越15那么从1再数起)号入样.B.工厂消费的产品，用传送带送入包卸车间前，检验人员从传送带每隔5分钟抽一件产品停止检验.C.某商场搞某一项市场调查，规则在商场门口随机抽一个顾客停止讯问，直到调查到事前规则调查的人数为止.D.为调查某城市汽车的尾气排放的执行状况，在该城市的主要交通干道上采取对车牌号末位数字为6的汽车停止反省.4.左面是甲、乙两名运发动某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )A.甲运发动的效果好于乙运发动.B.乙运发动的效果好于甲运发动.C.甲、乙两名运发动的效果没有清楚的差异.D.甲运发动的最低得分为0分.5.关于两个变量之间的相关系数，以下说法中正确的选项是( )A.越大，相关水平越大.B.，越大，相关水平越小，越小，相关水平越大.C.且越接近于，相关水平越大;越接近于，相关水平越小.D.以上说法都不对.6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号;这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制123456789ABCDEF十进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，那么5F对应的十进制的数是 ( )A.20B.75C.95D.1007.从区分写上数字1,2，3，，9的9张卡片中，恣意取出两张，观察下面的数字，那么两数积是完全平方数的概率为( )A. B. C. D.8.200辆汽车经过某一段公路时的时速的频率散布直方图如右图所示，估量这200辆汽车在这段公路时速的平均数和中位数是( )A.64.5, 60B.65, 65C.62, 62.5D.63.5, 709.设，那么关于的方程所表示的曲线为()A.长轴在轴上的椭圆B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线D.实轴在轴上的双曲线。
2 高二数学选择性必修第二册期中模拟试卷(新高考题型,基础卷2)(解析版)
高二数学期中模拟试卷（新高考版基础卷2）考试范围：人教A版2019选择性必修第一册（全册）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）A ．12B ．14【答案】B 【详解】设1BE BB λ=，因为EF EB =+1112AA AB AD AA AB AD λ=--++=-+所以1x =-，1y =，12z λ=-.111A ．12B ．【答案】C【详解】设圆台的上底面圆心为22-⎛⎫=- ⎪AB CD OM CB 8．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限）二､多选题（本题共4小题，每小题多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·全国·高二单元测试）已知方程A ．当10a =时，表示圆心为(2,-C ．当0a =时，表示的圆的半径为的棱长为A ．椭圆的离心率是22B ．线段AB 长度的取值范围是(0,332⎤+⎦C ．ABF 面积的最大值是()9214+D ．OAB 的周长存在最大值【答案】AC所以OAB的周长没有最大值，D错误，故选：AC三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:2120l ax y +-=，直线2l 过点()4,1A -，______．在轴上的截距等于在【答案】(1)证明见解析（1）证明：取BE 中点则11////FG CC AA ，且FG 所以1//FG A D 且FG A =两两垂直．20．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知双曲线为4，且过点()3,26-.(1)求双曲线方程；(2)若直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数【答案】(1)2213y x -=(2)3±，7±．【答案】(1)证明见解析；(2)419.19，（1）取AP中点为E，连接EM EB在PAD △中，∵M 为PD 的中点，∴1//,2EM AD EM AD =,在正方形ABCD 中，∵N 为BC 的中点，∴1//,2BN AD BN AD =,∴//,BN ME BN ME =，∴四边形BNME 为平行四边形，，）。
人教A版高中必修二试题四川省成都市届高二期中测试(理数).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作郫县一中第三学期期中考试参考答案数 学（理工类）一、选择题答案： 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．13. 12580x y -+= 或 1x =； 14. 122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，15 33 16. ②③④三、解答题：本大题共6小题,满分74分．17. 解：由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得1l 与2l 的交点为（0，2）， ……………3分又∵3:3450l x y -+=的斜率为34，∴l 的斜率为43-， ………………6分 由点斜式得所求直线l 的方程为42(0)3y x -=--， ………………9分即4360x y +-=为所求直线l 的方程 ………………12分 18.解:由2100x y y -+=⎧⎨=⎩∴A （－1，0） ………… 2 分又K AB =2011(1)-=--∵x 轴为∠A 的平分线，故K AC =－1 ………… 4分 ∴AC 边的方程为：y =－(x +1) …………6分∵BC 边上的高的方程为：x －2y +1=0 ………… 8分 ∴K BC =－2∴BC 边的方程为：y －2=－2（x －1） 即：2x +y －4=0 ………… 10分由24010x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得C （5，－6） …………12分19. 解设圆心坐标为(3,)y y ， ………… 2分 则圆心到y x =的距离为|3|2||2y y d y -== ………… 4分又因为圆C 与y 轴相切，则|3|r y = ………… 6分 由题意知222(2)(7)3y y += …………8分1y ∴=± …………10分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ＣCＢＢＢＤＤＢDＢＢA当1y =时，圆心为（3，1），则圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-= …………11分 当1y =-时，圆心为（-3，-1），则圆C 的方程为22(3)(1)9x y +++= ……12分20.解:(1)直线方程()():21174l m x m y m +++=+,可以改写为()2740m x y x y +-++-=,所以直线必经过直线27040x y x y +-=+-=和的交点.由方程组270,40x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,1x y =⎧⎨=⎩即两直线的交点为A (3,1). ……3分 又因为点()3,1A 与圆心()1,2C 的距离55d =<,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交. ……6分(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此时,5,5,225545AC BC BD ===-=所以. 即最短弦长为45. ……9分又直线AC 的斜率12AC k =-,所以直线BD 的斜率为 2.此时直线方程为:()123,250.y x x y -=---=即 ……12分21．解：（Ⅰ）由题意，得2333a cc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………… 2分 解得1,3a c ==， ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=. ………… 4分 （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，22012x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）, ………… 7分 ∴12000,22x x x m y x m m +===+=, ………… 10分 ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±. ………… 12分 22.解答：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(03)(03)-，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b =-=，故曲线C 的方程为2214y x +=． ········································································· 3分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，判别式0∆>， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． ·································································· 6分 若OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++， 于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±． ···································································· 9分 （Ⅲ）2222221122()OA OB x y x y -=+-+ 22221212()4(11)x x x x =-+--+ 12123()()x x x x =--+1226()4k x x k -=+．·································································· 12分 因为A 在第一象限，故10x >．由12234x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >， 故220OA OB ->， 即在题设条件下，恒有OA OB >． ································································· 14分。
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仲尼中学2011年高二年级期中考试试卷
数 学
命题人：方跃灿
参考公式：
球的体积公式 圆台体积公式
334R V π=
)(3
1
下下上上S S S S h V
++= 球的表面积公式 圆台侧面积公式
2
4S R π= )(r R l S +=π
试卷I
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1、如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )．
(第1题)
2.直线012=++y x 的斜率为（ ）
A .2
1-
B .21
C .-2
D .2
3.已知直线a 、 b 、 c 及平面α、 β、 γ，则下列命题正确的是（ ） A .βαβα////,//，则若a a
B .βαγββ//,，则若⊥⊥a
C .b b a //,ααα，则若⊥⊥
D .βαβα//,，则若⊥⊥a a
4.已知ABC ∆是边长为2的正三角形，则它的平面直观图'''C B A ∆的面积为（ ） A .
43 B .23 C .46 D .2
6 5.经过点（1，-2），倾斜角是直线3-=x y 的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A.1=x B .2-=x C .42-=x y D .42+=x y
6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与平面ABCD 所成角的正切值为（ ） A .1 B .
2
2
C .2
D .21
7.已知直线0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）通过第二、第三和第四象限，则有（ ） A .AC>0，BC>0 B .AC<0，BC<0 C .AC>0，BC<0 D .AC<0，BC>0 8．如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）
（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）900
9.过ABC ∆所在平面α外一点P ，作α⊥PO ，垂足为O ，下列命题： ① 若点O 在BC 上，则ABC PBC 平面平面⊥， ② 若AC PB BC AB PC PA ⊥==则,,,
③ 若PC PB PA ==，则点O 是ABC ∆的外心，
④ 若PC PB PC PA BC PA ⊥⊥⊥,,，则点O 是ABC ∆的重心， 其中正确的有（ ）
A .①②③
B .②③④
C .①③④
D .①②③④ 10.已知一正方体的棱长为2，则它的内切球和外接球的表面积之比为（ ） A .2:1 B .3:1 C .2:1 D .3:1
A
B
C D 3
2
A 1
B 1
C 1
D 1
试卷Ⅱ
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11、已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b 与α的位置关系是 . 12、已知正四面体P-ABC 的棱长为2，则该正四面体的体积为__________． 13、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
14、直线kx-y+1=3k ，当k 变化时，所有直线都通过定点A ，则点 A 的坐标为__________．
15、若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个
半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________．
16、空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 ．
17、已知二面角α －AB －β 是直二面角，P 是棱AB 上一点，PE 、PF 分别在面α ，β 内，∠EPB ＝∠FPB
＝45°，那么∠EPF 的大小是______．
三、解答题（本大题共有5题，共72分）
18、（14分）已知直线1l 过点),3()14(a B a A ，，-，直线2l 的方程为21//12l l x y ，+=，
（1）求a 的值及直线1l 的方程；
（2）求点B 关于直线2l 对称的对称点'B 的坐标。
19、（14分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中
心，
PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ；
（2）平面PAC ⊥平面BDE ．
20、（14分）20、AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，AB ＝2，AC ＝1，P 为⊙O 所在平面外一点，且
P A ⊥⊙O ， PB 与平面所成角为450
（1）证明：BC ⊥平面P AC ； （2）求二面角P-BC-A 的正切值．
21、（15分）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD
＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
22、（15分）如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．
(1)证明：PQ ∥平面ACD ；
(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．
仲尼中学2011年高二年级期中考试答题卷
数学
一、选择题(本大题有10小题，每小题5分，共50分)
二、填空题(本大题有7小题，每小题4分，共28分)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
三、解答题(本大题有5小题，共72分)
18. （本题满分14分）
19. （本题满分14分）
20. （本题满分14分）
21. （本题满分15分）
22. （本题满分15分）班
级
姓
名
考
号
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试
场
号
座
位
号
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…
…
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密
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…
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…
…
…
…
…
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…
…
…
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封
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…
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线
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…
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