推荐精选2017-2018学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词优化练习 新人教A版选修2-1
2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3
1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3 非(not)1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)2.会判断命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”的真假.(难点)3.掌握命题的否定与否命题的区别.(易混点)[基础·初探]教材整理1 “且”“或”“非”的含义阅读教材P14第1段～第6段，P15“思考”～第3段，P16“思考”～第2段，完成下列问题.1.用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.2.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.3.对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”.1.命题：“菱形的对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是( )A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”【解析】菱形的对角线互相垂直且互相平分.∴使用逻辑联结词“且”.【答案】 B2.若p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0，则p∨q：________.(用文字语言表述)【答案】正数或负数的平方大于0教材整理2 含有逻辑联结词的命题的真假判断阅读教材P14第7,8段，P15最后两行，P17第3,4段，完成下列问题.1.已知命题p：5≤5，q：5＞6，则下列说法正确的是( )A.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为真B.p∧q为假，p∨q为假，﹁p为假C.p∧q为假，p∨q为真，﹁p为假D.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为假【解析】易知p为真命题，q为假命题，由真值表可得：p∧q为假，p∨q为真，﹁p 为假.【答案】 C2.若命题p：常数列是等差数列，则﹁p：________.【解析】只否定命题的结论：常数列不是等差数列.【答案】常数列不是等差数列[小组合作型]①若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0；②若ab＝0，则a＝0________b＝0；③平行四边形的一组对边平行________相等.【解析】①若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，故填且.②若ab＝0，则a＝0或b＝0，故填或.③平行四边形的一组对边平行且相等，故填且.【答案】①且②或③且(2)将下列命题写成“p∧q”“p∨q”和“﹁p”的形式：①p：6是自然数，q：6是偶数；②p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}；③p ：甲是运动员，q ：甲是教练员. 【解】 ①p ∧q ：6是自然数且6是偶数.p ∨q ：6是自然数或6是偶数.﹁p ：6不是自然数. ②p ∧q ：∅⊆{0}且∅＝{0}.p ∨q ：∅⊆{0}或∅＝{0}.﹁p ：∅{0}.③p ∧q ：甲是运动员且甲是教练员.p ∨q ：甲是运动员或甲是教练员.﹁p ：甲不是运动员.1.判断一个命题的构成形式时，不能仅从命题的字面上找逻辑联结词，而应当从命题的结构特征进行分析判断.2.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤3.常见词语的否定形式：[再练一题]1.(1)判断下列命题的形式(从“p∨q”“p∧q”和“﹁p”中选填一种)：①π不是整数：________；②6≤8：________；③2是偶数且2是素数：________.(2)分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题：①p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；②p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.【解析】(1)①﹁p②p∨q③p∧q(2)①“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“﹁p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根.②“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“﹁p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”.【导学号：97792007】【精彩点拨】本题主要考查判断复合命题的真假，关键是搞清每个简单命题的构成形式.【自主解答】(1)此命题是“﹁p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解.∵x＝－2是该不等式的一个解，∴命题p为真命题，即﹁p为假命题，故原命题为假命题.(2)此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数.∵命题p为假命题，命题q为真命题，∴“p∨q”为真命题，故原命题为真命题.(3)此命题为“p∧q”的形式，其中p：2∈Q，q：2∈R.∵命题p为假命题，命题q为真命题.∴命题“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题.判断含逻辑联结词的命题的真假时，首先确定该命题的构成，再确定其中简单命题的真假，最后由真值表进行判断.[再练一题]2.分别写出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题，并判断其真假.(1)p ：等腰梯形的对角线相等，q ：等腰梯形的对角线互相平分； (2)p ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点，q ：不等式x 2－2x ＋1>0恒成立. 【解】 (1)p ∧q ：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题.p ∨q ：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题.﹁p ：等腰梯形的对角线不相等，假命题.(2)p ∧q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点且不等式x 2－2x ＋1>0恒成立，假命题.p ∨q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点或不等式x 2－2x ＋1>0恒成立，真命题.﹁p ：函数y ＝x 2－2x ＋2有零点，假命题.[探究共研型]【提示】 已知命题p ∧q 、p ∨q 、﹁p 的真假，可以通过真值表判断命题p 、q 的真假，然后将命题间的关系转化为集合间的关系，利用解不等式求参数的范围，要注意分各种情况进行讨论.已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围.【精彩点拨】 分别解出p ，q 中a 的范围→由条件得出p ，q 的真假→求出a 的取值范围【自主解答】 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，x 1＋x 2＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，由于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题，即p 真且q 假， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤1.分别求出命题p ，q 为真时对应的参数集合A ，B .2.由“p 且q ”“p 或q ”的真假讨论p ，q 的真假.3.由p ，q 的真假转化为相应的集合的运算.4.求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.[再练一题]3.已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围.【解】 由 2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2， ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2， ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).1.已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( )A.p∨q为真，p∧q为真，﹁p为假B.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为真C.p∨q为假，p∧q为假，﹁p为假D.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假【解析】p为真，q为假，故选D.【答案】 D2.已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )A.p∧qB.﹁p∧﹁qC.﹁p∧qD.p∧﹁q【解析】因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p 为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、﹁p为假命题，﹁q为真命题，﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，故选D.【答案】 D3.命题“若x＞0，则x2＞0”的否定是________.【答案】若x＞0，则x2≤04.命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴；q：2π是y＝|sin x|的最小正周期.下列命题：①p∨q；②p∧q；③﹁p；④﹁q.其中真命题的序号是________.【解析】∵π是y＝|sin x|的最小正周期，∴q为假.又∵p为真，∴p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假，﹁q为真.【答案】①④5.判断下列命题的真假：(1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数；(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解.【解】(1)由p：“函数y＝cos x是周期函数”，q：“函数y＝cos x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题.(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题.。
【2020】最新高中数学第一章常用逻辑用语1-3简单的逻辑联结词1-3-1且(and)1-3-2或(or)1-3-3非(not)学
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
1.3.3 非(not)
学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．
[解](1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为真命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题， p为假命题．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．
若p真q假，则 所以m≥3.
若p假q真，则 所以1<m≤2.
所以m的取值范围为1<m≤2或m≥3.
母题探究：1.本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．
[解]由例题知，当p为真时，m>2，当q为真时1<m<3，则当p∨q为真命题时，m>1，
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词
想一想:命题 “菱形的对角线垂直且互相平分” 中使用的逻辑 联结词是 ,所以此命题是 形式的命题.(抢 答)
【解析】命题中出现了逻辑联结词“且”,是 p 且 q 形式的 命题. 【答案】且 p 且 q
1.已知 p,q 是两个命题,若 p∧q 为假,���p 为假,则( A.q 为真命题 B.q 为假命题 C.p,q 同为假命题 D.q 的真假性不能确定
【变式设问】针对本例(1)中的命题,你能否写出“p∨q”形 式的命题? 提示:能,48 是 16 或 12 的倍数. 【针对训练 1】指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词 的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题. (1)两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形; (2)若 x∈{x|x<1 或 x>2},则 x 是不等式(x-1)(x-2)>0 的解.
(2)用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个 新命题,记作 p∨q,读作“p 或 q”. (3)对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作���p,读 作“非 p”或“p 的否定”. 议一议:逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义 是否相同?
【解析】生活用语中的“或”表示不兼有,而在数学中所研 究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.
4.分别指出下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形 式的命题的真假. (1)命题 p:正方形的两条对角线互相垂直,命题 q:正方形的两条 对角线相等. (2)命题 p:“x2-3x-4=0”是“x=4”的必要不充分条件, 命题 q:若函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象关于 y 轴对称,则φ= .
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
第 4 课时 简单的逻辑联结词
高中数学 第1章 常用逻辑用语 1
§1.3简单的逻辑联结词知识点一由简单命题写出复合命题分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：0∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)p∨q：2是无理数或大于1；p∧q：2是无理数且大于1；綈p：2不是无理数．(2)p∨q：N⊆Z或0∈N；p∧q：N⊆Z且0∈N；綈p：N⃘Z.(3)p∨q：x2＋1≠x－4；p∧q：x2＋1>x－4且x2＋1<x－4；綈p：x2＋1≤x－4.知识点二从复合命题中找出简单命题指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理数解；(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1或x>2}；(4)他是运动员兼教练员．解(1)“p且q”形式，其中p：96是48的倍数，q：96是16的倍数．(2)“非p”形式，其中p：方程x2－3＝0有有理数解．(3)“p或q”形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}．(4)“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.知识点三判断含有逻辑联结词的命题的真假分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：3>3，q：3＝3；(2)p：∅{0}，q：0∈∅；(3)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．解(1)因为p假q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．(2)因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．(3)因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．(4)因为p假q假，所以“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．知识点四非命题与否命题写出下列命题的否定及命题的否命题：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)面积相等的三角形是全等三角形．解(1)命题的否定：存在一个菱形，其对角线不互相垂直．否命题：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直．(2)命题的否定：存在面积相等的三角形不是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．考题赏析1．(广东高考)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．答案 D2．(如皋联考)已知命题：p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.上述命题中为真命题的是________．解析p为真，q为假，故p或q，綈q为真命题．答案②④1．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为()①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．A．②③B．②④C．①③D．①④答案 C解析因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，即綈(p且q)等价于綈p或綈q，所以“綈p或綈q”是假命题等价于“綈(p且q)”是假命题，即p且q为真命题．故选C.2．条件p：x∈A∪B，则綈p是()A．x∉A或x∉B B．x∉A且x∉BC ．x ∈A ∩BD ．x ∉A 或x ∈B 答案 B解析 因x ∈A ∪B ⇔x ∈A 或x ∈B ，所以綈p 为x ∉A 且x ∉B ，故选B.3．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ①p 或綈q 是真命题； ②p 或綈q 是假命题； ③綈p 且綈q 是假命题； ④綈p 或q 是假命题， 其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为p 且q 为真，所以p 与q 都为真，所以綈p 且綈q 为假．所以只有①③是真命题，所以选C. 4．若命题“p ∧q ”为假，且“綈p ”为假，则( ) A ．p ∨q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假 答案 B解析 綈p 为假，则p 为真，又p ∧q 为假，所以q 为假．所以选B. 5．“a ≥5且b ≥2”的否定是________． 答案 a <5或b <2解析 本题考查命题的否定，“p 或q ”的否定是“綈p 且綈q ”，“p 且q ”的否定是“綈p 或綈q ”． 6．命题p ：{2}∈{2,3}，q ：{2}⊆{2,3}，则下列对复合命题的判断，正确的是________．(填上所有正确的序号)①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假． 答案 ①④⑤⑥解析 由题可知p 为假，q 为真，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真，非q 为假．答案为①④⑤⑥.7．已知p ：3－x ≤0或3－x >4，q ：5x ＋2<1，求p ∧q .解 由3－x ≤0或3－x >4，解得p ：x ≥3或x <－1； 由5x ＋2－1<0，即3－x x ＋2<0， 解得q ：x <－2或x >3.所以p ∧q ：x <－2或x >3.8．已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.若p真q 假，则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52＝⎣⎡⎭⎫12，1. 若p 假q 真，注意到已知a ＞0，a ≠1，所以有 a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.讲练学案部分知识点一 含逻辑联结词的命题的构成将下列命题写成“p ∧q ”“p ∨q ”和“綈p ”的形式： (1)p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分；(2)p ：能被5整除的整数的个位数一定为5，q ：能被5整除的整数的个位数一定为0. 解 (1)p ∧q ：菱形的对角线互相垂直且平分． p ∨q ：菱形的对角线互相垂直或平分． 綈p ：菱形的对角线不互相垂直．(2)p ∧q ：能被5整除的整数的个位数一定为5且一定为0； p ∨q ：能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0；綈p ：能被5整除的整数的个位数一定不为5.【反思感悟】 简单命题用联结词“或”、“且”、“非”联结得到的新命题是复合命题，联结后可以综合起来叙述，但综合叙述不能叙述成条件复合的简单命题或叙述成结论复合的简单命题．如(2)中的p ∨q 不能叙述成：能被5整除的整数的个位数一定为5或0，因为p 、q 都是假命题，则p ∨q 也为假命题．判断下列命题是否是复合命题并说明理由．(1)2是4和6的约数；(2)不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或x <2.解 (1)是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数．(2)是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题，因不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3是假命题，不等式x 2－5x ＋6>0的解为x <2也是假命题，而命题(2)是真命题，这与p 、q 都假，则p ∨q 一定假矛盾．命题“不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或解为x <2”是p ∨q 的形式．知识点二 含逻辑联结词的命题的真假判断分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假：(1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．解 (1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．【反思感悟】 判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是对应p 、q 的真假及“p ∧q ”“p ∨q ”为真时的判定依据，至于“綈p ”的真假，可就p 的真假判断，也可就“綈p ”直接判断．判断下列命题的真假：(1)－1是偶数或奇数；(2)2属于集合Q ，也属于集合R ； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)此命题为“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故原命题为真命题．(2)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R ，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题．(3)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )．因为p 为真命题，所以“綈p ”为假命题，故原命题为假命题．知识点三 简单的逻辑联结词的综合应用已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m2≤－1，∴m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零， 则Δ＝16(m －2)2－16<0， 解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎨⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}．【反思感悟】 由p 、q 的真假，可以判断“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”的真假．反之，由“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”的真假，也能推断p 、q 的真假，如“p ∧q ”为假，则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等负根．q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．(1)当m 为何值时，p 或q 为真？ (2)当m 为何值时，p 且q 为真？解 由已知可知：p 真时m >2，q 真时1<m <3， (1)若p 或q 为真，只需m ∈{m |m >2}∪{m |1<m <3} ＝{m |m >1}．(2)若p 且q 为真，只需m ∈{m |m >2}∩{m |1<m <3} ＝{m |2<m <3}.课堂小结：1. 从集合的角度理解“且”“或”“非”. 设命题p ：x ∈A.命题q ：x ∈B. 则p ∧qx ∈A 且x ∈Bx ∈A ∩B ；p ∨q x ∈A 或x ∈B x ∈A ∪B ；2.对有逻辑联结词的命题真假性的判断 当p 、q 都为真，p ∧q 才为真；⌝p 与p 的真假性相反且一定有一个为真.当p 、q 有一个为真，p ∨q 即为真； 3.含有逻辑联结词的命题否定（1）“x=0或x=1”的否定是“x ≠0且x ≠1”而不是“x ≠0或x ≠1”; （2）“x 、y 全为0”的否定是“x 、y 不全为0”，而不是“x 、y 全不为0”；（3）“全等三角形一定是相似三角形”的否定是“全等三角形一定不是相似三角形”而不是“全等三角形不一定是相似三角形”.一、选择题1．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1) 答案 C解析 点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．2．如果原命题的结论是“p 且q ”的形式，那么否命题的结论形式为( ) A ．綈p 且綈q B ．綈p 或綈q C ．綈p 或q D ．綈q 或p 答案 B解析 注意逻辑联结词的否定，“或”的否定是“且”，“且”的否定为“或”，所以p 且q 的否定为綈p 或綈q .所以选B.3．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真 答案 C解析 由于将点(－1,1)代入y ＝log a (ax ＋2a )成立，故p 真；由y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，知y ＝f (x －3)的图象关于(6,0)对称，故q 假．4．若p 、q 是两个简单命题，p 或q 的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真答案 B解析 因为p 或q 的否定綈p 且綈q 为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，所以p 与q 都为假命题．所以选B.5．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是－4和1C ．方程x 2＋1＝0没有实数根D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 答案 D解析 A 中的命题是条件复合的简单命题，B 中的命题是结论复合的简单命题，C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p ∧q 型． 二、填空题6．由命题p ：6是12的约数，命题q ：6是24的约数．构成的“p ∨q ”形式的命题是______________________________，“p ∧q ”形式的命题是______________________________，“綈p ”形式的命题是________________________________．答案 6是12或24的约数 6是12和24的约数 6不是12的约数7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是________． 答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．8．已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p ∨q 、p ∧q 、綈p 中的真命题是________．答案 綈p 解析 对于p 当a >0，b >0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，綈p 为真；对于q ，抛物线y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.三、解答题9．判断下列复合命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)x ＝±1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“非p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“非p ”假，所以该命题是假命题． 10．已知p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负数根，q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解 p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4>0－4m <0⇔m >12.q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数 ⇔0<m 2－m ＋1<1⇔0<m <1.(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤0或m ≥1.⇒m ≥1.(2)若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤120<m <1⇒0<m ≤12综上，得m ≥1或0<m ≤12.。
高中数学常用逻辑用语简单的逻辑联结词且and或or非not学案
1.3 简单的逻辑联结词1.3.1 且(and)1.3.2 或(or)1.3.3 非(not)学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p 且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)[自主预习·探新知]1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题：用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p1．思考辨析(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．( )(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．( )(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( )(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．“xy≠0”是指( )A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.]3．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则( )【导学号：97792023】A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D.][合作探究·攻重难](1)方程x2－3＝0没有有理根；(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.【导学号：97792024】[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.的已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋x 最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨(q)．则其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[思路探究] 判断p，q的真假→判断p，q的真假→判断所给命题的真假[解析]由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f(x)＝x＋4x<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(q)，(p)∨(q)是真命题，故选C.[答案] C”还是“2．(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③q为真命题，则p∧(q)为真命题，④p为假命题，则(p)∨q为假命题．](2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假.【导学号：97792025】①p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；②p：2是奇数，q：2是合数；③p：4≥4，q：23不是偶数；④p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2<x<5}，q：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．[解] ①∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p 是真命题． ②∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∨q 是假命题，p ∧q 是假命题，p 是真命题． ③∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是真命题，p 是假命题． ④∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p 是假命题.1．设集合A 是p 为真命题时参数的取值范围，则p 为假命题时，参数的取值范围是什么？提示：p 为假命题时，参数的取值范围是∁R A .2．设集合M 、N 分别是p ，q 分别为真命题时参数的取值范围，则p ∨q 与p ∧q 分别为真命题时参数的取值范围分别是什么？提示：当p ∨q 为真命题时，参数的取值范围是A ∪B . 当p ∧q 为真命题时，参数的取值范围是A ∩B .已知p ：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，q ：关于x 的方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．[思路探究][解] 当x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－m <0，解之得m >2，当4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根为真时，16(m －2)2－16<0，解之得1<m <3. 因为p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p 与q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≥3或m ≤1，所以m ≥3.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，所以1<m ≤2.所以m 的取值范围为1<m ≤2或m ≥3.求出根据命题根据1．若命题“p∧q”为假，且p为假，则( )A．p∨q为假B．q假C．q真D．p假B[由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.]2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4D[对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A ∩B 是A 的子集，也是A ∪B 的子集．故④是真命题，故选D.]3．已知命题：p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧qD ．p ∧qD [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x>0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、p 为假命题，q 为真命题，p ∧q 、p ∧q 为假命题，p ∧q 为真命题，故选D.]4．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97792026】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，12 [p 为真时，2a －1<0，即a <12，q 为真时，－a2≤1，即a ≥－2，则p ∧q 为真时，－2≤a <12.]5．分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“ p ”形式的命题的真假：(1)p ：点P (1,1)在直线2x ＋y －1＝0上，q ：直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝4的圆心； (2)p ：4∈{2,3,4}，q ：不等式x 2－x －2＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}； (3)p ：若a ＞b ，则2a＞2b，q ：若a ＞b ，则a 3＞b 3. [解] (1)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p 为真命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p 为假命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，p 为假命题．。
高中数学第1章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词a21a高二21数学
A．p 且 q 为假
B．p 或 q 为假
C．非 p 为真
D．非 p 为假
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(2)已知命题 p：方程 x2－2ax－1＝0 有两个实数根；命题 q：
函数 f(x)＝x＋4x的最小值为 4，给出下列命题：①p∧q；②p∨q；
③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)．
则其中真命题的个数是( )
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5．已知命题 p：“任意的 x∈[1,2]x2－a≥0”；命题 q：“存 在 x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p 且 q”是真命题．求 实数 a 的取值范围．
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解：由“p 且 q”是真命题，则 p 为真命题，q 也为真命题． 若 p 为真命题，a≤x2 恒成立，∵x∈[1,2]∴a≤1. 若 q 为真命题，即 x2＋2ax＋2－a＝0 有实根， Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即 a≥1 或 a≤－2. 综上可知实数 a 的取值范围为{a|a≤－2 或 a＝1}．
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解析：当 a＝0 时，方程 ax＋1＝0 无解，故 p 是假命题．若 直线 x＋my＝0 与直线 2x＋y＋1＝0 平行，则 m＝12，所以命题 q 为假命题，故(﹁p)∨q 为真命题．
答案：C
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2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题
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【解】 (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中 p：12 是 2 的倍数，q：12 是 3 的倍数．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中 p：3＞2，命题 q：3 ＝2.
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联词(2)练习新人教A版选修1-1(2021学年)
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１。
3 简单的逻辑联词（2)A级基础巩固一、选择题1.如果命题“p或ｑ”与命题“非p”都是真命题,那么＼x(导学号０３６２4210)( B )A.命题p不一定是假命题Ｂ．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D.命题ｐ与命题q的真值相同[解析] “非p”为真命题,则命题p为假,又p或q为真，则q为真，故选Ｂ.２.如果命题“¬(ｐ∨q)”为假命题，则错误!( C ）A.p、ｑ均为真命题Ｂ.p、q均为假命题C.p、q至少有一个为真命题D.p、q中至多有一个为假命题[解析] “¬(ｐ∨q)"为假命题,则“p∨q”为真命题，即ｐ,ｑ中至少有一个为真命题.3．(2016·辽宁大连高二检测)已知U=R，Ａ⊆U,B⊆U，命题p：错误!∈A∪B,则¬p是错误!（ D ）A．２∉A B.错误!∈∁U BC.2∉A∩BD.＼r（2）∈（∁U A)∩（∁U B)[解析] ¬ｐ:错误!∉Ａ∪Ｂ,即错误!∈(∁U A）∩(∁U B)，故选Ｄ．4.已知命题p:若ｘ〉y，则-x<－y；命题q:若x〉ｙ，则x２＞y2。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.3全称命题与特称命题的否定1111数学
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【提升总结】命题的否定何命题均有否定，无论是真命题还是(hái 假 shi) 命题；而否命题仅针对命题“若p，则q”而言. 2．命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的 真假性必然是一真一假，一假一真，即真假相 反；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能
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例2 设原命题为“奇函数的图像关于原点对称”，写出该 命题的否命题及这个(zhè ge)命题的否定：
解：否命题:“若一个函数不是奇函数，则它的图像不关 于原点对称”； 命题的否定(fǒudìng):“存在一个奇函数的图像不关于原点对 称”.
想一想：命题的否定与否命题有什么(shén me)不同？
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【变式练习】 写出下列命题(mìng tí)的否定：
（1）三个数-3,2.5， 2 中，至少(zhìshǎo)有一个数不是自然
数. （2）对任意(rènyì)一个实数 x ，都有2x+4≥0.
答案：
（1）三个数-3,2.5， 中2，没有一个数是自然数.
（2）存在一个实数 x ，使得2x+4＜0.
至__少__(_zh_ì_sh_ǎ_o)_有__一__个__乌___鸦__不__是__黑. 色的
4.命题“有的实数没有立方根”的否定为____命真题.（填
“真”“假”）
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5.写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)有些素数是奇数.
(2)所有二次函数(hánshù)的图像都开口向上.
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探究点3 常见量词(liàngcí)的否定
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词
1.4 全称量词与存在量词自主复习考点清单：含有逻辑联结词的命题的构成形式判断含有逻辑联结词“且”、“或”的命题的真假 全(特)称命题的否定及其真假判定与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题考点详情：重点一：含有逻辑联结词的命题的构成形式找出命题中的逻辑联结词→判断命题的形式→确定命题的构成重点二：判断含有逻辑联结词“且”、“或”的命题的真假 1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤：第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断。
注意：一真“或”为真，一假“且”为假。
2. 不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式。
3. 当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假。
例题：1. “a 2+b 2≠0”的含义为（ ） A ．a 和b 都不为0 B ．a 和b 至少有一个为0C ．a 和b 至少有一个不为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0【答案】C【解析】a 2+b 2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C 与此意思同，C 正确；A 中a 和b 都不为0，是a 2+b 2≠0充分不必要条件；B 中a 和b 至少有一个为0包括了两个数都是0，故不对； D 中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故不对；2. 已知命题p：x∈A∪B，则非p是（）A．x不属于A∩B B．x不属于A或x不属于BC．x不属于A且x不属于B D．x∈A∩B【答案】C【解析】由x∈A∪B知x∈A或x∈B．非p是：x不属于A且x不属于B．答案：C3. 如果命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，那么下列结论不正确的是（）A．“P或Q”为真B．“P且Q”为假C．“非P”为假D．“非Q”为假【答案】B【解析】命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，可直接看出命题Q，命题P都是正确的．故“P或Q”为真．“P且Q”为真．“非P”为假．“非Q”为假．故选B．重点三：全(特)称命题的否定及其真假判定(1)对全(特)称命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.重点四：与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.注意：(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.巩固练习1. 在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及连接词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机； （2）两次都没击中飞机；（3）恰有一次击中飞机； （4）至少有一次击中飞机．2．已知命题:p 对任意x ∈R ，总有||0x ≥； :1q x =是方程20x +=的根，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∧3．已知命题:p 对任意x ∈R ，总有20x >；:>1q x “”是2x >“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝4．设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q ：若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝5．已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y <，则22x y >．在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p:x A ∀∈，2x ∈B ，则( ) A. P ⌝:x A ∀∈,2x ∈B B. P ⌝:x A ∀∉,2x ∉B C. P ⌝:x A ∃∉,2x ∈BD. P ⌝:x A ∃∉,2x ∉B7．已知f(x)=m(x －2m)(x+m+3)，g(x)=2x －2。
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词a11a高二11数学
(2)当 p 假，q 真时，a 的取值范围为 a＜－1 或 a≥4.
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综上所述，a 的取值范围为
1＜a≤3 或 a＜－1 或 a≥4.
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[规范与警示] (1)关注命题真假的判断规律 对于含有联结词的命题的真假的判断，要根据“p 且 q”“p 或 q”的真假判断，p， q 的真假，如本例就是由“p∨q”为真“p∧q”为假，判断出 p，q 一真一假． (2)注重分类讨论的意识 在解决问题时，当出现不同情况时要注意分类讨论．如本例中“p，q 一真一假”， 并未点明 p 和 q 谁真谁假，自然想到分类讨论．
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判断含逻辑联结词的命题真假的方法和步骤 (1)逐一判断命题 p，q 的真假．
(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈 p”的真假． p∧q 为真⇔p 和 q 同时为真， p∨q 为真⇔p 和 q 中至少一个为真， 綈 p 为真⇔p 为假．
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则綈 q”． 答案：若 a≥b，则 2a≥2b 若 a<b，则 2a≥2b
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探究一 用逻辑联结词构造新命题 [典例 1] 指出下列命题的形式及构成它的简单命题： (1)24 既是 8 的倍数，也是 6 的倍数； (2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形； (3)矩形不是平行四边形．
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探究三 逻辑联结词的应用
[典例 3] 已知 c>0，且 c≠1，设 p：函数 y＝cx 在 R 上递减，q：函数 f(x)＝x2－2cx
－1
在12，＋∞
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1.3 简单的逻辑联结词
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题D．綈q是真命题
解析：根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．
答案：D
2．命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数(n∈Z)，则下列说法中正确的是( )
A．p或q为真B．p且q为真
C．非p为真D．非q为假
解析：由题设知：p真q假，故p或q为真命题．
答案：A
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：∵p真，q假，∴(綈p)∨(綈q)为真．
答案：C
4．已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．[1,4]
C．[e,4] D．(－∞，1]
解析：“p且q”是真命题，则p与q都是真命题；p真则任意x∈[0,1]，a≥e x，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4；p且q为真，则e≤a≤4.
答案：C
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲或乙有一个没有降落在指定范围”或“甲、乙都没有降落在指定范围”，所以其可表示为“(綈p)∨(綈q)”．故选A.
答案：A
6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题
“p ∨q ”为________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向
量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
7．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在曲线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个
点P (x ，y )的坐标是________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －3y ＝－x 2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝－9.
答案：(1，－1)或(－3，－9)
8．下列命题：①命题“2是素数也是偶数”是“p ∧q ”命题；
②命题“綈p ∧q ”为真命题，则命题p 是假命题；
③命题p ：1、3、5都是奇数，则綈p ：1、3、5不都是奇数；
④命题“(A ∩B )⊆A ⊆(A ∪B )”的否定为“(A ∩B )⊇A ⊇(A ∪B )”．
其中，所有正确命题的序号为________．
解析：①②③都正确；命题“(A ∩B )⊆A ⊆(A ∪B )”的否定为“(A ∩B ) A 或 A (A ∪B )”，④不正确．
答案：①②③
9．分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假．
(1)相似三角形周长相等或对应角相等；
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧；
(3)2≤2；
(4)有两个角相等的三角形相似或有两条边相等的三角形相似．
解析：(1)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应
角相等，因为p 假q 真，所以“p ∨q ”为真．
(2)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径
平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以“p ∧q ”为真．
(3)命题“2≤2”是由命题p ：2＝2，q ：2<2用“或”联结构成的新命题，
即p ∨q .因为命题p 是真命题，所以命题p ∨q 是真命题．
(4)由p ：有两个角相等的三角形相似与q ：有两条边相等的三角形相似构成
“p ∨q ”形式的命题．因为p 是真命题，所以p ∨q 是真命题．
10．对命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2
<a }中的元素，则a 为何值时，“p 或q ”为真？a 为何值时，“p 且q ”为真？
解析：若p 为真，则1∈{x |x 2<a }，
所以12<a ，即a >1；
若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，即a >4.
若“p 或q ”为真，则a >1或a >4，即a >1；
若“p 且q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.
[B 组 能力提升]
1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a∥b ，b∥c ，则a∥c .则下列命题中真命题是( )
A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
解析：如图，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a·c ≠0，命题p 为假命题；
显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A.
答案：A
2．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )
在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中
正确的是( )
A ．“p ∨q ”是真命题
B ．“p ∨q ”是假命题
C ．綈p 为假命题
D ．綈q 为假命题
解析：当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命
题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，所以“p ∨q ”是假命题，选B.
答案：B
3．p ：1x －3
＜0，q ：x 2－4x －5＜0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是________． 解析：p 为真：
1x －3＜0，∴x ＜3； q 为真：x 2－4x －5＜0，∴－1＜x ＜5；
p 且q 为真：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜3，－1＜x ＜5，∴－1＜x ＜3.
故p 且q 为假时x 的范围是x ≤－1或x ≥3.
答案：x ≤－1或x ≥3
4．已知命题p ：不等式x
x －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，
“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p
∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确。