高中数学 2.5夹角的计算 北师大版选修2-1

6．直线与平面的夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与 此平面的夹角．夹角的范围是[0，π2]．
7．直线与平面夹角的求法
设平面 α 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平
面 α 所成的角为 θ. 当 0≤〈n，a〉≤π2时，θ＝_π2_－__〈__n_，__a_〉__； 当π2<〈n，a〉≤π 时，θ＝_〈__n_，__a_〉__－__π2_. 即 sinθ＝__|c_o_s_〈__n_，__a_〉_.|
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1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于
120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
[答案] C
2．若直线 l 与平面 α 所成角为π3，直线 a 在平面 α 内，且与
直线 l 异面，则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是( )
cos∠BOD＝
232＋ 2×
232－
23×
3 2
262＝0，
∴∠BOD＝90°，即 AB1 与 BC1 所成的角为 90°.
[总结反思] (1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序 化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积．
4．由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因 此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围 是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能 仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难 点．
5．异面直线夹角与向量夹角的差异 根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角 或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两 个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦 值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．
A．
6 3
B．2 5 5
C．
15 5
D．
10 5
[答案] D
[解析] 连结 A1C1，设 A1C1∩B1D1＝O，连结 OB．由已知得
C1O⊥平面 BB1D2D，
∴∠C1BO 为所求角．
在 Rt△C1OB 中，
得 sin∠C1BO＝
10 5.
课堂典例讲练
异面直线所成的角
在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 AB＝ 2BB1，求 AB1 与 C1B 所成角的大小．
∴A→B1·B→C1＝ 26×(－ 26)＋ 22× 22＋1×1＝0 .∴A→B1⊥B→C1，即异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 90°.
方法二：如图所示，连接 B1C，设 B1C∩BC1＝O. 取 AC 中点 D，连 OD，则 OD∥AB1. 即∠BOD 为 AB1 和 BC1 所成的角． 取 BB1＝1，在△BOD 中， OD＝OB＝12AB1＝ 23，BD＝ 26， 由余弦定理得
知识要点解读
1．求异面直线所成的角 设 l1 与 l2 是两异面直线，a、b 分别为 l1、l2 的方向向量，l1、 l2 所成的角为 θ，则〈a，b〉与 θ 相等或互补， ∴cosθ＝||aa|··|bb||.
2．求二面角 平面 α 与 β 相交于直线 l，平面 α 的法向量 为 n1，平面 β 的法向量为 n2，<n1，n2>＝θ，则 二面角 α－l－β 为 θ 或 π－θ.设二面角大小为 φ， 则|cosφ|＝|cosθ|＝||nn11|··|nn22||. 3．求直线与平面所成的角 如图，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ 为 l 与 α 所成的角，θ＝〈a，n〉，则 sinφ ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝||aa|·|nn||.
[解析] 方法一：如图所示，以 A 为原点，射线 AC、AA1 分 别为 y 轴、z 轴，过 A 垂直于 AC、AA1 的射线为 x 轴，建立直角 坐标系，取 BB1＝1，则 B( 26， 22，0)，B1( 26， 22，1)，C1(0， 2， 1)，
∴A→B1＝( 26， 22，1).B→C1＝(－ 26， 22，1)．
4．平面夹角的概念 在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ___[_0_，__π2_]____ 内的角为两个平面的夹角． 5．平面夹角的求法 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n_1_，__n_2_〉___；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n_1，__n__2〉_．即 cosθ＝|_c_o_s〈__n_1_，__n_2_〉_.|
A．0，23π
B．π3，π
C．π3，23π [答案] D
D．π3，π2
3．已知三棱锥底面是边长为 1 的等边三角形，侧棱长为 2，
则侧棱与底面夹角的余弦值为( )
A．
3 2
B．12
C．
3 3
[答案] D
D．
3 6
4．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1 ＝1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( )
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
空间向量与立体几何 第二章
2.5 夹角的计算 第二章
1 课前自主预习 2 知识要点解读 3 预习效果检测
4 课堂典例讲练 5 易混易错辨析
6Hale Waihona Puke 课时作业课前自主预习
1．共面直线的夹角 ____[0_当，__两π2_]_条__直_内线的l1与角l2叫共作面两时直，线我的们夹把角两．条直线交角中，范围在
2．异面直线的夹角 当 直 线 l1 与 l2 是 异 面 直 线 时 ， 在 直 线 l1 上 任 取 一 点 A 作 AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹 角．
3．直线夹角的求法
设直线 l1 与 l2 的方向向量分别是 s1，s2.当 0≤〈s1，s2〉≤π2时， l1 与 l2 的夹角等于_〈__s_1，__s_2_〉____；当π2<〈s1，s2〉≤π 时，l1 与 l2 的夹角等于π__－__〈__s1_，__s_2〉__．实际操作中，设 l1 与 l2 的夹角为 θ， 则 cosθ＝|_c_o_s〈__s_1_，__s_2〉__|.