2008年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试卷及答案
2008全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案题 号 一 二 三 总 分1～5 6～10 11 1213 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x-=+=，，则444y x +的值为（ ）．（A ）7 （B ） 1132+ （C ） 7132+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212444311384x ++⨯⨯+==， 2114311322y -++⨯-+==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（第3题）FEDCOA B（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A ）52a （B ）1 （C ）32（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②（第8题）（第9题答案）NEFMD BCA 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以 a r a h a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．（第8题答案）另解： ()()()ABC S rp p p a p b p c ∆==--- ＝12435125⨯⨯⨯=（这里2a b cp ++=） 所以125512r==， 22125358ABC a S h a ⨯===△ 由△ADE ∽△ABC ，得 3552335a a h r DE BC h --===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
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图 １
2008年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）（C ） （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==， 所以 444y x +=22233y x++- 2226y x =-+=7． 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条（第3题）【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2a （B ）1 （C）2 （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒- 120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．（第4题）又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-． 解：由1()4x a x **=-，得 21(1)(1)04a x a x ++++=， 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x =-66． ①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②由①，②可得 x s 4=，所以4=xs ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠， 所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ． 【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以 a r a h a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DE h BC -=， 所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h abc -=⋅=-=-++ ()a b c a b c+=++， （第8题） （第8题答案） （第8题答案图）（第9题答案）故 879168793DE ⨯+==++（）． 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<． 所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（1） 用b 表示k ；（2） 求△OAB 面积的最小值．解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00b x k k=-><，． 所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b A B b k-（，，，，于是，△OAB 的面积为 )(21kb b S -⋅=． 由题意，有3)(21++-=-⋅b kb k b b ， 解得 )3(222+-=b b b k ，2b >． ……………… 5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立． 所以，△OAB 面积的最小值为1027+．……………… 15分12．已知a b ，为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y y ，，且满足11222008x y x y -=．求b 的最小值．解：关于x 的方程220x ax b -+=的根为a ，关于y 的方程220y ay b ++=的根为a -．t =，则当1212x a t x a t y a t y a t =+=-=-+=--，；，时，有11220x y x y -=，不满足条件；当1212x a t x a t y a t y a t =-=+=--=-+，；，时，有11220x y x y -=，不满足条件；当1212x a t x a t y a t y a t =-=+=-+=--，；，时，得11224x y x y at -=；当1212x a t x a t y a t y a t =+=-=--=-+，；，时，得11224x y x y at -=-．由于0t =>，于是有502at =．……………… 10分又由于a 为正整数，得知t 是有理数，从而t 是整数．由502at =，得2512a t ==，，即b 取最小值为22b a t =-=22251262997-=．所以，b 的最小值为62997．……………… 15分13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．……………… 5分 如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形． 又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是BD CD CD AD =， 即 cb a a b +=， 所以 ()c b b a +=2．而264(45)=⨯+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．……………… 15分说明：满足条件的三角形是唯一的．若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2．有如下三种情形：（第13（A ）题答案）（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1-=n b （n 为大于1的正整数）， 代入()c b b a +=2，得()()()21121n n n +=--，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ； （ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1-=n b （n 为大于1的正整数）， 代入()c b b a +=2，得()n n n 212⋅-=，解得 2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1-=n c （n 为大于1的正整数）， 代入()c b b a +=2，得()()1212-=+n n n ，即 0132=--n n ，此方程无整数解． 所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．……………… 5分当n ＝5时，设125a a a ，，，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125a a a ，，，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是125a a a ，，，中必定有一个数是5．若125a a a ，，，中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．若125a a a ，，，中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n 的最小值为5． ……………… 15分情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
2008年初二数学竞赛试题(定稿)
2008年初二数学竞赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．设x =x 的值为 （ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．零 2．已知312=-yx ，则x y xy xy y x 3652-+--的值 （ ）A ．71 B ． 71- C ． 72 D ． 72- 3．方程（1)132=--+x x x 的所有整数解的个数是 （ ）A ．２B .３C .４D .５ 4.若直线b ax y +=与直线2521+=x y 关于x 轴对称，则b a +的值是 （ ） A ．－３ B .－２ C .２ D .３5．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 （ ） A .１４ B .１６ C . １８ D .２０6. 如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ( )主视图 左视图 俯视图 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个7．在凸四边形ABCD 中，∠C=1200, ∠B=∠D=900,AB=6,BC=23,则AD= （ ） A. 23 B.6 C. 43 D.638.设n(n ≥2)个正整数1a ，2a ，…，n a ，任意改变它们的顺序后，记作1b ，2b ，…，n b ，若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b )，则 ( ) A ． P 一定是奇数． B ．P 一定是偶数．C ．当n 是偶数时，P 是奇数．D ．当n 是奇数时，P 是偶数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知20082006,20082007,20082008a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ca ++---的值 ．10．将５个整数从大到小排列，中位数是４，如果这个样本中的唯一众数是７，则这５个整数的和的最大值是 ． 11．在图8中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、 2、3、4、5，那么，右上角的小方格内填入x 的数应是 .12．在△ABC 中，AB ＝15cm ，AC ＝13cm ，BC 边上高A D ＝12cm ，则三角形ABC 的面积为 ．132353145x13．如图,有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲,其中A ( 1,1 ) B ( 2,1 ) C ( 2,2 )D ( 1,2 )，用信号枪沿直线b x y +=3发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当b 的取值范围为 ______时，甲能由黑变白．14．如果正整数n 有以下性质：n 的八分之一是平方数，n 的九分之一是立方数，n 的二十五分之一是五次方数，那么n 就称为“希望数”，则最小的希望数是 .三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．已知四个实数,,,a b c d ，且,a b c d ≠≠.若四个关系式：24a ac +=，2224,8,8b bc c ac d ad +=+=+= 同时成立，（1）求c a +的值； （2）分别求d c b a ,,,的值.每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?图1FEDC BA图2FEABCD 17．在△ABC 中，∠C=90︒，D 是AB 的中点，E 、F 分别在BC 、AC 上，且∠EDF=90︒.(1)如图1，若E 是BC 的中点，,EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？并说明理由；（2）如图2，当F 在AC 上运动时，点E 在BC 上随之运动，问在运动过程中，EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？并说明理由.18．已知直线)1(142k y ≠--+=k k k x（1）说明无论k 取不等于1并求出此定点的坐标；（2）若点B(5,0) , 点P 在y 轴上，点A 为（1）中确定的定点，要使△PAB 为等腰三角形，求直线PA 的解析式．2008年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分建议二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 3 10.23 11. 1 12.84cm 2或24 cm 2（答对一个得2分） 13. -５≤b ≤－１ 14. 215·320·512三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解：（1）由)(2ac a ++)(2ac c +=4+8=12，得12)(2=+c a ，∴ 32±=+c a . …… 4分（2）由)(2ac a +(-)2bc b +=4－4=0，-+)(2ac c )(2ad d +=8－8=0得 0))((=++-c b a b a ，)((d c -0)=++d c a ∵b a ≠，d c ≠,∴0=++c b a ,0=++d c a . ∴)(c a d b +-==. …… 2分 又)(2ac a +－)(2ac c +=4－8=－4， 得，4))((-=+-c a c a . …… 2分 当32=+c a 时，332-=-c a ， 解得334=a ，332=c ， 32-==d b . …… 2分当32-=+c a ，332=-c a ， 解得334,332-=-=c a ， 32==d b . …… 2分16．(12分)解：设原有k 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n 个人，显然k ≥2，GFEABC Dn ≤32．易知旅客人数等于128+k ，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为)1(-k n ，由此列出方程)1(128-=+k n k . …… 2分所以 12928129)1(221128-+=-+-=-+=k k k k k n . …… 4分 因为n 为正整数数，所以129-k 必为正整数，但由于29是质数，因数只有1和29两个，且k ≥2，所以11=-k ，或291=-k . …… 2分如果11=-k ，则2=k ，57=n ，不满足n ≤32的条件. 如果291=-k ，则30=k ，29=n ，符合题意. …… 2分 所以旅客人数等于)1(-k n ＝29×29＝841（人）. …… 2分 答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人.17．(12分)解：（1）EF 2= AF 2+BE 2. …… 1分 ∵E D ,分别是AB,BC 的中点， ∴DE ∥AC ，且DE=21AC . ∵∠C=90︒,∠EDF=90︒, ∴ 四边形CFDE 是矩形， ∴DE=CF=AF,DF=CE=BE. …… 3分又∵∠EDF=90︒，∴EF 2=DF 2+DE 2=AF 2+BE 2. …… 1分 (2) EF 2= AF 2+BE 2. …… 1分延长FD 至G,使得DG=DF,连结BG,EG. 则△AFD ≌△BGD. …… 2分 ∴BG=AF=CF, DF=DG , ∠GBD=∠A . ∵∠EDF=90︒, ∴EF=EG. …… 1分 又∠GBD=∠A ， ∴BG ∥AC,∴∠GBE=∠C=900, …… 1分 ∴EG 2=BE 2+BG 2=BE 2+AF 2∴ EF 2=AF 2+BE 2. …… 2分18．(14分)解：（1）由题意知1≠k ，若取,1-=k 得62=+-y x ①， 若取,2=k 得02=-y x ②. 解①②得⎩⎨⎧==42y x . 所以，不论k 取任何实数此直线都经过一定点，其坐标为（2，4）. …… 5分 （2）分三种情况讨论：① 设P 1(0,m 1) ,满足P 1B=P 1A, 由勾股定理得， 2222)4(25m m -+=+，解得85-=m ，即P 1（0，85-），符合题意， 直线P 1A 的解析式： 851637-=x y . …… 2分② 设P 2(0,m 2)，满足P 2B=AB, 易求得AB=5, 所以点P 2（0，0）， 直线P 2A 的解析式： x y 2=. …… 2分 ③设P 3(0,m 3)，满足P 1A=AB, 由勾股定理得，2225)4(2=-+m ,解得214±=m ，即P 3（0，)214+，P 4（0，)214-，直线P 3A 的解析式：214221++-=x y ， …… 2分 直线P 3A 的解析式：214221-+=x y . …… 2分 综上所述，直线PA 的解析式为：851637-=x y ，或x y 2=，或214221++-=x y ，或214221-+=x y . …… 1分。
2008年四川省初中数学联赛初赛(初二)
2008年四川省初中数学联赛初赛(初二)
四川省数学竞赛委员会
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2008(000)011
【总页数】3页(P25-27)
【作者】四川省数学竞赛委员会
【作者单位】四川省数学竞赛委员会
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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初二奥林匹克数学竞赛试题
22008年初中数学联赛（初二组）试卷一、选择题（本大题满分56分，每小题8分）1、已知a 、b 、c 是三角形的三边，则a 4＋b 4c 4 －2 a 2c 2－2 b 2c 2－2 a 2c 2的值是（ ）A.恒正 B. 恒负 C.可正可负 D.非负 2、已知a ＋b ＋c ＝0， a1＋b1＋c1＝－4，那么，（a1）2＋（b1）2＋（c1）2的值是（ ） A.3 B. 8 C. 16 D.203、已知：a 1－│a │＝1，那么代数式a1＋│a │的值是（ ）A.25B.－25C.－5D. 54、已知│a │＝5，b 2＝9时，且ab ＞0则a ＋b 的值为( )，A. 8B.－2C.－8或8D.－2或25、已知a 、b 、c 是正整数，a ＞b ，且a 2－a b －a c ＋bc ＝7,则a －c 的值为（ ）A.－1B.－1或－7C.1D.1或7 6、已知△ABC 的一个角是400，且∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的大小是( )A. 1400B. 800或1000C. 1000或 1400D. 800 或14007、如图，已知FA ＝FB,FC ＝FD,下列结论中：①∠A ②DE ＝CE ；③连接FE ，则FE 平分∠F ，正确的是（ ） A. ①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题（本大题满分40分，每小题8分）1、若x 2＋x y ＋y ＝14，y 2＋x y ＋x ＝28，则 x ＋y 的值为 .2、（3+1）2001-2（3+1）2000-2（3+1）1999+2008＝ .3、已知x 、y 是实数，43+x +y 2-6y+9=0，若axy-3x=y ，则a= . 4、a 、b 、c 为△ABC 的三边，且3a 3+6a 2b-3a 2c-6abc=0，则△ABC 的形状为 .5、已知x1+y1=5，则yxy x yxy x +++-2252= .1 2三、计算（本大题满分20分，）要求写出必要的步骤.（1）2115141021151410+++--+2） 18612⨯＋（1＋3）（1－3）四、（本大题满分12分，）如图，在△ABC 中，AD 若AB=5，AC=3，求AD五、（本大题满分12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ∠BAC=80°O 为△ABC 内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°,求∠BAO 的度数.。
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00)学校___________________年级___________班 姓名_________________一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于（ ） （A ）－4x ＋3 （B ）5 （C ）2x ＋3 （D ）4x ＋32、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）21 （D ）313、已知a 为非负整数，关于x 的方程0412=+---a x a x 至少有一个整数根，则a 可能取值的个数为（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ） 14、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数是（ ） （A ）124o （B ）122o （C ）120o （D ）118o5、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有（ ） （A ）a ＋b ＋c ＞0 （B ）b ＞a ＋c（C ）abc ＜0 （D ）c ＞2b6、已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知a 是方程x 2－5x ＋1＝0的一个根，则44-+a a 的个位数字为_____________． 2、在凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，若S △OAD ＝4，S △OBC ＝9，则凸四边形ABCD 面积的最小值为__________________．3、实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________．4、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝25，则线段CD的长度为__________________．三、（本大题满分20分）已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．四、（本大题满分25分）如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3＝90o．五、（本大题满分25分）如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、B2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、7 2、25 3、29≤t 4、6 三、（本大题20分）解：∵方程x 2＋ax －b ＝0的根是a 和c ，∴a ＋c ＝－a ，ac ＝－b ∵x 2＋cx ＋d ＝0的根是b 和d ，∴b ＋d ＝－c ，bd ＝d ······································· 5分 （一）若d ≠0，则由bd ＝d 知b ＝1由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知－2a 2＝－1，解得22±=a ················· 10分 当22=a 时，2-=c 得d ＝－c －b ＝12-； ········································· （1） 当22-=a 时2=c ，得d ＝－c －b ＝12--． ······································· （2） 经验证，22±=a ，b ＝1，2 =c ，d ＝12-±是符合条件的两组解． ······· 15分 （二）若d ＝0，则b ＝－c ，由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知ac ＝c 若c ＝0，则a ＝0，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若c ≠0，则a ＝1，再由c ＝－2a 知c ＝－2，从而b ＝－c ＝2 经验证，a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝0也是符合条件的解． ································ 20分 四、（本大题25分） 证明：（1）如图，连结I 1A 1，I 1A 2，I 1A 3，I 2A 2和I 2A 3∵I 1是△A 1A 2A 3的内心，∴∠I 1A 1A 2＝∠I 1A 1A 3＝21∠A 2A 1A 3 ∠I 1A 2A 1＝∠I 1A 2A 3＝21∠A 1A 2A 3，∠I 1A 3A 1＝∠I 1A 3A 2＝21∠A 1A 3A 2 ···················· 5分延长A 1I 1交四边形A 1A 2A 3A 4外接圆于P ，则∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 1P ＋∠PI 1A 3＝∠I 1A 1A 2＋∠I 1A 2A 1＋∠I 1A 1A 3＋∠I 1A 3A 1 ＝21(∠A 2A 1A 3＋∠A 1A 2A 3＋∠A 2A 3A 1)＋21∠A 2A 1A 3＝90o ＋21∠A 2A 1A 3 ··············· 10分同理∠A 2I 2A 3＝90o ＋21∠A 2A 4A 3，又∵四边形A 1A 2A 3A 4内接于一圆 ∴∠A 2A 1A 3＝∠A 2A 4A 3，∴∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 2A 3．∴A 2、I 1、I 2、A 3四点共圆．········ 15分 （2）又连结I 3A 4，则由（1）知A 3、I 2、I 3、A 4四点共圆∴∠I 1I 2A 3＝180o －∠I 1A 2A 3＝180o －21∠A 1A 2A 3 同理∠I 3I 2A 3＝180o －∠I 3A 4A 3＝180o －21∠A 1A 4A 3 ··········································· 20分∴∠I 1I 2I 3＝360o －(∠I 1I 2A 3＋∠I 3I 2A 3)＝21(∠A 1A 2A 3＋∠A 1A 4A 3)＝90o ················· 25分五、（本大题25分）解：1、计算总的放法数N ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．所以，总的放法数N ＝16×15×14＝3360． ············································ 10分2、计算满足题目要求的放法数m ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．所以，满足题目要求的放法数m ＝16×9×4＝576． ·································· 20分所求概率P ＝3561415164916=⨯⨯⨯⨯=N m ． ·················································· 25分。
2008年四川省初中数学联赛初赛初二
2008年四川省初中数学联赛初赛(初二) 一、选择题(每小题7分,共42分)1.若a 、b 为实数,满足1a -1b =1a +b ,则b a -ab的值是( ).(A )-1 (B )0 (C )12 (D )12.下面四种说法:①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数;②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数;③两个无理数的和一定是无理数;④两个无理数的积一定是无理数.其中,正确的说法种数为( ).(A )1(B )2(C )3(D )43.已知一次函数y =kx +b ,其中kb >0.则所有符合条件的一次函数的图像一定通过( ).(A )第一、二象限(B )第二、三象限(C )第三、四象限(D )第一、四象限4.在凸四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,EG 与FH 交于点O .设四边形AEOH 、BFOE 、CGOF 的面积分别为3、4、5.则四边形DHOG 的面积为( ).(A )152 (B )154 (C )4 (D )65.已知x =20072008.则x 除以10的余数是( ).(A )1(B )3(C )7(D )96.设a 、b 、c 为互不相同的有理数,满足(b +2)2=(a +2)(c +2).则符合条件的a 、b 、c 共有( )组.(A )0(B )1(C )2(D )4二、填空题(每小题7分,共28分)1.关于x 的不等式|2x -1|<6的所有非负整数解的和为.2.已知x =12+3,y =12-3.则x 3+12xy +y 3=.3.用三种边长相等的正多边形地砖铺地,其顶点拼在一起,刚好能完全铺满地面.设正多边形的边数为x 、y 、z .则1x+1y+1z的值为.4.如图1,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =AC ,DA =DB ,∠ADB =90°.则∠ACD 的度数等于.图1图2三、(20分)如图2,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥DB ,AC =5,∠DBC =30°.(1)求对角线BD 的长度;(2)求梯形ABCD 的面积.四、(25分)设实数x 满足3x -12-4x -23≥6x -35-1310.求2|x -1|+|x +4|的最小值.五、(25分)已知正整数a 、b 、c 满足a <b <c ,且ab +bc +ca =abc .求所有符合条件的a 、b 、c .参考答案一、1.D.由题设条件知b 2-a 2=ab .两边同时除以ab 得b a -a b=1.2.A.题目的四种说法中,①对,②、③、④错.3.B.由kb >0,知k 、b 同号.522008年第11期当k 、b 同为正数时,一次函数的图像通过第一、二、三象限;当k 、b 同为负数时,一次函数的图像通过第二、三、四象限.所以,符合条件的一次函数的图像一定通过第二、三象限.4. C.图3如图3,联结OA 、OB 、OC 、OD .则S △AEO =S △B EO , S △B FO =S △CFO , S △CG O =S △DG O , S △DH O =S △AH O .故S 四边形AEOH +S 四边形CFOG=S 四边形B FOE +S 四边形DH OG .所以,S 四边形DH OG =3+5-4=4.5.A.x 除以10的余数等于72008除以10的余数.又7,72,73,74,75,…除以10的余数分别为7,9,3,1,7,….它们以4为周期.又2008=502×4,于是,72008除以10的余数为1,即x 除以10的余数是1.6.A.因为(b +2)2=(a +2)(c +2),即b 2+2+22b =ac +2+(a +c )2,则 ac =b 2,a +c =2b .故a 2+c 2+2ac =(a +c )2=4b 2=4ac .所以,(a -c )2=0.因此,a =c ,与题设矛盾.二、1.6.原不等式等价于2x -1<6,2x -1>-6.解得-52<x <72.于是,符合条件的所有非负整数解为x =0,1,2,3.因此,所有非负整数解的和为6.2.64.易知x =2-3,y =2+ 3.于是,x +y =4.则x 3+12xy +y 3=x 3+y 3+3xy (x +y )=(x +y )3=64.3.12.依题意有x -2x×180°+y -2y×180°+z -2z×180°=360°.化简得1x+1y+1z=12.4.30°.图4如图4,过A 作AE ⊥CD 交CD 的延长线于E ,过D 作DF ⊥AB 于F .由DA =DB ,∠ADB =90°,知△ADB 为等腰直角三角形.故∠DBA =∠DAF =45°.因为AB ∥DC ,所以,∠ADE =45°.又DF ⊥AB ,则DF =12AB ,∠ADF =45°.所以,∠FDE =90°,即FD ⊥CD .由AE ⊥CD ,得AE ∥FD .又AF ∥ED ,故四边形AFDE 为平行四边形.从而,AE =DF =12AB =12AC .所以,∠ACD =30°.图5三、(1)如图5,过A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于E .由AC ⊥DB , AE ∥DB]AC ⊥AE , ∠AEC =∠DBC =30°]∠EAC =90°,即△EAC 为直角三角形]EC =2AC =10]AE =EC 2-AC 2=102-52=5 3.又AD ∥BC 且AE ∥DB ,则四边形AEBD 为平行四边形.从而,DB =AE =5 3.(2)记梯形ABCD 的面积为S .过A 作AF 62中等数学⊥BC于F,则△AFE为直角三角形.因为∠AEF=30°,所以,AF=12AE=532,即梯形ABCD的高AF=532.又四边形AEBD为平行四边形,因此,AD=EB.故S=12(AD+BC)AF=12EC・AF=12×10×532=2532.四、原不等式两边同乘以30得15(3x-1)-10(4x-2)≥6(6x-3)-39.解得x≤2.记y=2|x-1|+|x+4|.(1)当x≤-4时,y=-2(x-1)-(x+4)=-3x-2.所以,y的最小值为(-3)×(-4)-2= 10,此时x=-4.(2)当-4≤x≤1时,y=-2(x-1)+(x+4)=-x+6.所以,y的最小值为5,此时x=1.(3)当1≤x≤2时,y=2(x-1)+(x+4)=3x+2.所以,y的最小值为5,此时x=1.综上所述,2|x-1|+|x+4|的最小值为5,在x=1时取到.五、由1≤a<b<c,知abc=ab+bc+ca<3bc.所以,a<3.故a=1或a=2.(1)当a=1时,有b+bc+c=bc,即b+c=0,这与b、c为正整数矛盾.(2)当a=2时,有2b+bc+2c=2bc,即bc-2b-2c=0.所以,(b-2)(c-2)=4.又2<b<c,则0<b-2<c-2.于是,b-2=1,c-2=4.从而,b=3,c=6.所以,符合条件的正整数仅有一组:a=2,b=3,c=6.(四川省数学竞赛委员会 提供)2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数f(x)=cos4x+sin2x(x∈R)的最小正周期是( ).(A)π4(B)π2(C)π(D)2π2.已知平面上点的集合M={(x,y)|y=2x-x2},N={(x,y)|y=k(x+1)}.当M∩N≠ 时,k的取值范围是( ).(A)-33,33(B)0,33(C)-33,0(D)33,+∞3.“x2+y2<4”是“xy+4>2x+2y”成立的( ).(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)既不充分也不必要条件(D)充分必要条件4.已知关于x的方程x2-2ax+a2-4a =0至少有一个模为3的复数根.则实数a 的所有取值为( ).(A)1,9(B)-1,9,2-13(C)1,9,2+13(D)1,9,2-13图15.设f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数.图1所示的是y=xf′(x)的图像的一部分.则f(x)的极大值与极722008年第11期。
初二竞赛数学试题大全及答案
初二竞赛数学试题大全及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于16，这个数是什么？A. 4B. -4C. 4或-4D. 16答案：C3. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数的立方是-27，这个数是什么？A. -3B. 3C. -27D. 27答案：A5. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C6. 一个数的倒数是1/4，这个数是什么？A. 4B. -4C. 1/4D. 4/1答案：A7. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案：B8. 一个数的平方根是4，这个数是什么？A. 16B. -16C. 4D. 8答案：A9. 如果一个数的立方根是2，这个数是什么？A. 8B. 6C. 4D. 2答案：A10. 一个数的对数以10为底是2，这个数是什么？A. 100B. 10C. 20D. 200答案：B二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的平方是36，这个数是_________。
答案：±612. 一个数的立方是64，这个数是_________。
答案：413. 一个圆的周长是2π，那么它的半径是_________。
答案：114. 如果一个数的绝对值是10，那么这个数可以是_________。
答案：±1015. 一个数的对数以2为底是3，这个数是_________。
答案：8三、解答题（每题5分，共55分）16. 证明勾股定理。
答案：略（根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方进行证明）17. 解一元二次方程：x² - 5x + 6 = 0。
答案：(x - 2)(x - 3) = 0，解得 x₁ = 2，x₂ = 3。
奥数-2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷(含答案)-
2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷(满分120分,考试时间90分钟)一、仔细选一选 (共30分)1.下列计算正确的是（ ）A ．（13-）2=-13B ．32-22=1C ．-35+5=-25 D.36=±62.李师傅在检验一座雕塑底座(如图)正面时,测得CD=AB=40cm, AD=BC=30cm,AC=DB=50cm,那么可以判断四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3.下列命题中，真命题的是（ ）A.两条对角线相等的四边形是矩形;B.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形;C.两条对角线垂直的四边形是菱形;D.两条对角线相等的平行四边形是矩形.4.剪纸是中国的民间艺术,剪纸方法很多,下面是一咱剪纸方法的图示(先将纸折叠,然后再剪,展开后即得到图案):下列四幅图案,不能用上述方法剪出的是:5.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题,其中答对的是( )A.若2,42==x x 则 B.方程()1212-=-x x x 的解是1=x C.若直角三角形有两边长分别是3和4,则第三边的长为5.D.若分式23221x x x x -+=-的值为零，则6.一次统计八(1)班若干名学生每分钟跳绳次数的频数分布直方图如上图所示.由这个直方图可知;这若干名学生平均每分钟跳绳的次数(结果精确到个位)是( ).个A.数据不全无法计算B.103C.104D.1057.如图,以正方形ABCD 的对角线AC 为边,延长AB 到E,使AE=AC,以AE 为一边作菱形AEFC,若正方形的边长为2,则菱形AEFC 的面积为( ).A.24B.4C.22D.28.用反证法证明:已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,求证: ∠A, ∠B 中至少有一个角不大于45°,应假设 ( )A.∠A > 45°B.∠B > 45°C.∠A > 45°,∠B > 45°D.∠A< 45°,∠B <45°9.在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点N 、M ，正方形ABCD 内接于 Rt △MON ，点A 、B 分别在线段MO 、NO 上，点C 、D 在线段MN 上。
奥数-2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷(含答案)-题卷
2008学年第二学期八年级数学全科竞赛试卷满分120分,考试时间90分钟一、仔细选一选（每题3分，共30分）1 2345678910二、仔细填一填(每题4分，共24分)11. ; 12. ; 13. ; 14. ；15. ; 16. , , ,;三、解答题(共66分)17. (6分)计算: (1)18232;- (2) (4827)362 3.-÷+⨯18. (6分)解方程（1） ()9142=-x (2) 03422=-+x x19.(8分)(1)频数分布表中的a= ,b= ,c= ,d= .请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效(2)(3)20.( 8分)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效21.(8分) ⑴⑵22.(8分) （1）2008年的客流量预计 万人次，比2007年增加 万人次，在2006年、2007年、2008年这三年中，客流量增加最多的是 年； （2）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效班级 姓名 试场 考号请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效23.(10分)(1)(2)24.(12分)（1）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效（2）（3）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请勿在此区域内作答请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效yx 第24题。
四川初二数学试题及答案
四川初二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. √2C. 0.5D. 3.14答案：B2. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. 0C. -1D. 以上都不是答案：B3. 一个二次函数的图像开口向上，下列哪个选项是正确的？A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a 可以是任何实数答案：A4. 以下哪个图形不是轴对称图形？A. 圆形B. 正方形C. 等腰三角形D. 菱形答案：D5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数答案：C7. 以下哪个选项是正确的？A. 2x + 3 = 5x - 7B. 3x - 2 = 2x + 3C. 4x = 2x + 6D. 5x - 2 = 3x + 4答案：C8. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是：A. 1B. 0C. -1D. 以上都是答案：D9. 以下哪个图形是中心对称图形？A. 圆形B. 正方形C. 等腰三角形D. 以上都是答案：D10. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。
答案：5，-52. 一个数的平方是16，这个数可以是______或______。
答案：4，-43. 一个数的立方是-8，这个数是______。
答案：-24. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是______。
答案：75. 如果一个数的倒数是2/3，那么这个数是______。
答案：3/26. 一个二次函数的图像开口向下，那么a的值应该是______。
答案：小于07. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：48. 一个数的立方根是3，那么这个数是______。
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷及参考答案
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00)学校___________________年级___________班 姓名_________________题 号 一 二 三 四 五 合计 得 分 评卷人 复核人一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、若121≤≤−x ，则式子1449612222++++−++−x x x x x x 等于（ ） （A ）－4x ＋3 （B ）5 （C ）2x ＋3 （D ）4x ＋32、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）21 （D ）31 3、已知a 为非负整数，关于x 的方程0412x 少有一个整数根，则a 可能取值的个数为（ ）=+−−−a x a 至____________．2、，对角线AC 、BD 交于O 点，若S △OAD ＝4，S △OBC ＝9，则凸四边形ABCD3、，则t 的取值范围为___________________．（A ）4（B ）3 （C ）2 （D ） 14、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数是（ ） （A ）124o （B ）122o（C ）120o （D ）118o5、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有（ ） （A ）a ＋b ＋c ＞0 （B ）b ＞a ＋c （C ）abc ＜0 （D ）c ＞2b6、已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知a 是方程x 2－5x ＋1＝0的一个根，则a 的个位数字为_在凸四边形ABCD 中44−+a 面积的最小值为__________________．实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y4、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝25，则线段CD的长度为__________________．三、（本大题满分20分）已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．四、（本大题满分25分）如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3＝90o．五、（本大题满分25分）如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、B2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、7 2、25 3、29≤t 4、6 三、（本大题20分）解：∵方程x 2＋ax －b ＝0的根是a 和c ，∴a ＋c ＝－a ，ac ＝－b∵x 2＋cx ＋d ＝0的根是b 和d ，∴b ＋d ＝－c ，bd ＝d ······················································5分 （一）若d ≠0，则由bd ＝d 知b ＝1由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知－2a 2＝－1，解得22±=a ····························10分 当22=a 时，2−=c 得d ＝－c －b ＝12−；······················································（1） 当22−=a 时2=c ，得d ＝－c －b ＝12−−．···················································（2） 经验证，22±=a ，b ＝1，2∓=c ，d ＝12−±是符合条件的两组解．··········15分 （二）若d ＝0，则b ＝－c ，由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知ac ＝c 若c ＝0，则a ＝0，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若c ≠0，则a ＝1，再由c ＝－2a 知c ＝－2，从而b ＝－c ＝2经验证，a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝0也是符合条件的解．·········································20分 四、（本大题25分） 证明：（1）如图，连结I 1A 1，I 1A 2，I 1A 3，I 2A 2和I 2A 3∵I 1是△A 1A 2A 3的内心，∴∠I 1A 1A 2＝∠I 1A 1A 3＝21∠A 2A 1A 3 ∠I 1A 2A 1＝∠I 1A 2A 3＝21∠A 1A 2A 3，∠I 1A 3A 1＝∠I 1A 3A 2＝21∠A 1A 3A 2··························5分延长A 1I 1交四边形A 1A 2A 3A 4外接圆于P ，则∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 1P ＋∠PI 1A 3＝∠I 1A 1A 2＋∠I 1A 2A 1＋∠I 1A 1A 3＋∠I 1A 3A 1 ＝21(∠A 2A 1A 3＋∠A 1A 2A 3＋∠A 2A 3A 1)＋21∠A 2A 1A 3＝90o ＋21∠A 2A 1A 3····················10分同理∠A 2I 2A 3＝90o ＋21∠A 2A 4A 3，又∵四边形A 1A 2A 3A 4内接于一圆 ∴∠A 2A 1A 3＝∠A 2A 4A 3，∴∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 2A 3．∴A 2、I 1、I 2、A 3四点共圆．···········15分 （2）又连结I 3A 4，则由（1）知A 3、I 2、I 3、A 4四点共圆 ∴∠I 1I 2A 3＝180o －∠I 1A 2A 3＝180o －21∠A 1A 2A 3同理∠I 3I 2A 3＝180o －∠I 3A 4A 3＝180o －21∠A 1A 4A 3························································20分∴∠I 1I 2I 3＝360o －(∠I 1I 2A 3＋∠I 3I 2A 3)＝21(∠A 1A 2A 3＋∠A 1A 4A 3)＝90o ·······················25分五、（本大题25分）解：1、计算总的放法数N ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．所以，总的放法数N ＝16×15×14＝3360．··························································10分2、计算满足题目要求的放法数m ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．所以，满足题目要求的放法数m ＝16×9×4＝576．············································20分所求概率P ＝3561415164916=××××=N m．·································································25分。
四川省八年级数学联赛初赛试题
一 ．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四 ．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五 ．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。
2008年全国初中数学联赛试题及标准答案(修正版)
2008年全国初中数学联赛试卷（第一试)一、选择题1．设a２+1=3a，b2＋1=３b,且a≠b，则代数式＼f(1,a2)＋＼ｆ(１,ｂ2)的值为(）(Ａ） 5. (B)7.(C) 9．(D)11．2.如图，设AD，BＥ,ＣF为三角形ＡＢC的三条高,若AＢ＝６,BＣ＝5,EＦ＝3，则线段ＢＥ的长为（）(A)185. (Ｂ) 4. (C）错误!. (D) 错误!.3.从分别写有数字1,２，3，４，5的５张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是( ）(A）错误!. (B) 错误!.(Ｃ) 错误!. （D) 1２.4．在△ABＣ中，∠AＢＣ=12°，∠ACＢ=132°，BM和ＣN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则()(Ａ）ＢM>CN. (B) BM＝ＣN.(C) ＢM<CN.（D) ＢM和CN的大小关系不确定.5．现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价１0%或２0%,若干天后,这５种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为( ）(A）(错误!）3．(Ｂ) (错误!）4. (C) (错误!)5. （Ｄ) 98.6.已知实数x,y满足(x-错误!)(y－错误!)=2008，则3x2－2ｙ2＋３x－3y-2007的值为（）(Ａ) -200８.(B) 2０08. (C）-1.(D)1.二、填空题1.设a=错误!,则错误!＝ ___＿_____.2.如图,正方形AＢＣD的边长为１,Ｍ,Ｎ为BD所在直线上的两点,且AＭ＝错误!，∠ＭＡN=135°,则四边形AMCＮ的面积为_＿＿_____＿__.３.已知二次函数y＝ｘ2＋ａx＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为ｍ，n，且│m│＋│n│＜1. 设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q，则│ｐ│+│q│＝_＿____＿__＿.4．依次将正整数1,2,3，…的平方数排成一串:149162536４９64811001211４4…,排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是６，排在第10个位置的数字是4,排在第２008个位置的数字是__＿＿_______.第二试一、已知a2＋ｂ2＝1，对于满足条件0≤x≤１的一切实数x,不等式ａ(1－ｘ) (1－ｘ－aｘ）-ｂｘ(b-x-bｘ)≥０恒成立.当乘积ab取最小值时，求a,b的值.二、如图,圆O与圆D相交于Ａ,B两点,BＣ为圆D的切线,点Ｃ在圆O上，且AB=BC．（１）证明:点Ｏ在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径ｒ的最小值．三、设a为质数，b为正整数,且9(2ａ＋b)2=509(４ａ+511b)求a，b的值．。
2008年四川初中数学联赛初二组决赛试卷
2008年四川省初中数学联赛（初二组）决赛试卷一、选择题（每小题7分，共42分）1．若a 、b 是实数，且满足()210a -=，则()()()()()()1111...112220082008ab a b a b a b ++++=++++++（） A ．20062007 B ．20072008C ．20082009D ．20092010 2．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，且最短边的长为1，则满足这样条件的互不全等的三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知点(A a 是两函数2y kx =-与)1y x =的图像交点，则实数k 等于（）A ．B ．1C 1D ．14．在菱形ABCD 中，060ABC ∠=，1AB =，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（）A B C D 5．以关于x 、y 的方程组32339mx y x my +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点(),x y 在第二象限，则符合条件的实数m 的范围为（ ）A ．19m >B ．2m <-C ．129m -<< D ．29m -<< 6．如图，在凸四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，AF 、DE 交于点G ，BF 、CE 交于点H ，四边形EGFH 的面积为10，则△ADG 和△BCH 的面积之和为（）A ．203B ．10C ．15D ．20二、填空题（每小题7分，共28分）1．已知实数a 、b 、c 满足()()()0a b b c c a +++=且0abc <，则代数式a b c a b c++的值是． 2．在△ABC 中，5AB =、12AC =、13CB =，D 、E 为边BC 上的点，满足1BD =，8CE =，则DAE ∠的度数为．3．在Rt △ABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足090DFE ∠=，若3AD =、4BE =，则线段DE 的长度为．4．将正整数1、2、3．．．10分成A 、B 两组，其中A 组：1a ，2a ，．．．，m a ，B 组：1b ，2b ，．．．，n b ．现从A 、B 两组中各取一个数，把取出的两数相乘，则所有不同的两个数乘积的和的最大值为．三、解答题（1题20分，2、3题25分，共70分）1．已知a、b、c为实数．证明：()2c a b+-这四b c a+-、()2a b c++、()2a b c+-、()2个代数式的值中至少有一个不小于222++的a b ca b c++的值，也至少有一个不大于222值．2．如图，在直角梯形ABCD中，0∠=∠=，16ABC BAD90AB=，对角线AC与BD交于点E，过E作EF AB⊥于点F，O为边AB的中点，且8+的值．+=，求AD BCFE EO3．在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”“-”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”，否则，就称数n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，因为123456789++--++--+是1的一种可被表出的方法）．1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；2）求25可被表出的不同方法种类．。