初中数学全等三角形精讲

七年级数学三角形精讲

［知识点归纳总结］

1. 三角形的三边之间的关系

三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。

2. 三角形的内角和

三角形三个内角的和等于180°。

3. 三角形全等的条件

（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。

4. 全等三角形的性质

全等三角形的对应角相等，对应边相等。

5. 三角形的外角性质

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

专题总复习（一）全等三角形、轴对称

一、复习目标：

1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.

2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.

3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.

二、重难点分析：

1、全等三角形的性质与判定；

2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.

三、知识点梳理：

知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

知识点二：全等三角形的性质.

（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.

知识点三：判定两个三角形全等的方法.

（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）

知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.

①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.

②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.

③有公共边的，公共边一定是对应边.

④有公共角的，公共角一定是对应角.

⑤有对顶角的，对顶角是对应角.

⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.

知识点五：找全等三角形的方法.

（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.

（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.

（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.

知识点六：角平分线的性质及判定.

（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.

（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.

知识点七：证明线段相等的方法.（重点）

（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）

（2）证明两个三角形全等，则对应边相等

（3）借助中间线段相等.

知识点八：证明角相等的方法.（重点）

（1）对顶角相等；

（2）同角或等角的余角（或补角）相等；

（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；

（4）角平分线的定义；

（5）垂直的定义；

（6）全等三角形的对应角相等；

（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.

知识点九：全等三角形中几个重要的结论.

（1）全等三角形对应角的平分线相等；

（2）全等三角形对应边上的中线相等；

（3）全等三角形对应边上的高相等.

知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）

（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；

（2）引平行线构造全等三角形；

（3）作垂直线段（或高）；

（4）取长补短法（截取法）.

【典型例题】

例1. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由。

A

D

F

B E C

解：△CEF≌△BDE

理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C

又∵∠DEC＝∠B＋∠BDE

∴∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE

∵∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE

∴

=

=

=

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

∠∠（已证）

（已知）

∠∠（已证）

BDE CEF

BD CE

B C

∴△CEF≌△BDE（ASA）

例2. 已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF＝DE，则AB∥CD，为什么？

D C

A B

E F

解：理由：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠DEC ＝∠BFA ＝90° 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中

C D A B B F D E ==⎧⎨⎩

（已知）（已知）

∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ） ∴∠DCE ＝∠BAF ∴CD ∥AB

例3. 用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成一个四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于E 、F 时，通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。

A D

B C

F

E 1 2

解：结论：BE ＝CF

理由：∵△ABC 、△ACD 为等边三角形

∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，∠BAC ＝60° 又∵∠1＋∠EAC ＝60°，∠2＋∠EAC ＝60° ∴∠1＝∠2

∴∠∠（已证）（已证）∠∠

（已证）12===⎧⎨⎪⎩⎪A

B A

C B A C F ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）

∴BE ＝CF

例4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是BC 边上的高，∠B ＝20°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数。