数学讲义初一上册角(基础)知识讲解
人教版初一数学上册 角 讲义
角知识点一、角的概念由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角。
这两条射线叫做角的边，这个公共端点叫做角的顶点。
例1、写出下列角的名称（）（）（）（）（）角的符号时“∠”，有三种表示方法：①用角的两边和角的顶点的字母来表示，如∠AOB、∠O②用数字书写在角的内部来表示，如∠1、∠2③用希腊字母来表示，如∠α、∠β注意：∠AOB的顶点必须是点O若∠O的顶点有2个或以上的角，则不能用一个字母的方法∠O表示它例3、下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）例4、如图，下列说法错误的是（）A、∠DAE也可以表示为∠AB、∠1也可以表示为∠ABCC、∠BCE也可以表示为∠CD、∠ABD是一个平角知识点二、余角和补角总结：1、直角为90°，平角为180°，周角为360°2、若两个角相加等于90°，那么它们互为余角，简称“互余”3、若两个角相加等于180°，那么它们互为补角，简称“互补”例1、∠1和∠2互余，∠1=30°，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=90°，则∠2=______ 例2、∠1和∠2互余，∠1=x，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=x，则∠2=______，则这个角的度数是____________例3、一个角的余角是这个角的补角的13例4、一个角的补角比这个角的余角的3倍少16°，求这个角的度数1、∠α的余角等于30°，那么∠α的补角=_____；∠α的补角等于140°，那么∠α的余角=_____2、已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1=63°，则∠3=_____3、互补的两个角中，一个角的2倍比另一个角的3倍少10°，则这两个角分别是_________4、∠α的补角是它的余角的4倍，则∠α=_____5、一个角是它的余角的2倍，那么这个角是它补角的_____倍6、∠α=2∠β，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，则∠α=_____，∠β=_____7、如果∠A的补角与∠A的余角互补，那么2∠A=_____8、一个锐角的补角比它的余角大____________9、如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是________________10、两个角的大小之比是7：3，他们的差是72°，则这两个角的关系是_____________11、如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EG。
七年级上册角的知识点讲解
七年级上册角的知识点讲解角是数学中一个基本的概念，广泛应用于几何学、三角函数、图形运算等领域。
在初中数学中，学生们需要学习三种角度的度量方法，以及三角函数的基本概念和公式，下面我们将详细介绍七年级上册角的知识点。
一、度量角的方法1.弧度制度量角弧度制是一种计算角度的方法，它常用于数学和物理学中。
一个角的弧度数等于其对应弧长与圆周长之比，即弧度制公式为：$$θ = \frac{l}{r}$$其中，θ代表角度，l为对应的弧长，r为圆的半径。
在弧度制中，一个完整的圆对应的弧长为$2πr$，所以一个完整的角的弧度数为$2π$ 。
2.度制度量角度制度量角是广泛使用的角度计量方法，常用于日常生活和一些工程应用。
在度制中，一个完整的圆角对应 $360°$ 的角度。
因此，如果要将一个弧度转换为度数，我们只需将其乘以$180/π$ 即可。
二、三角函数三角函数是数学中一个重要的分支，它关注的是三角形中的关系。
在初中数学中，学生们需要掌握正弦、余弦和正切这三种基本三角函数的概念及其应用。
1. 正弦函数正弦函数（sin函数）表示直角三角形中，对于某个角度$\theta$, 直角对边与斜边的比值。
即：$$sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$其中，opposite代表直角对边，hypotenuse代表斜边。
在计算角度度量时，我们通常使用度制。
例如，sin(30°) = 0.5。
2. 余弦函数余弦函数（cos函数）表示直角三角形中，对于某个角度θ, 直角毗邻边与斜边的比值。
即：$$cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$其中，adjacent代表直角毗邻边，hypotenuse代表斜边。
同样的，在计算角度度量时，我们使用度制。
例如，cos(60°) = 0.5。
3. 正切函数正切函数（tan函数）表示直角三角形中，对于某个角度θ, 直角对边与直角毗邻边的比值。
七年级上册角边角知识点
七年级上册角边角知识点七年级上册数学课程中，角和边角是必须要掌握的知识点之一。
在实际生活和其他学科中，我们也经常会用到这些概念。
本文将详细介绍角和边角的概念、性质和相关公式，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
一、角的概念在平面直角坐标系中，由两条不同的射线所围成的部分称为角。
其中，两条射线称为角的两边，它们的交点称为角的顶点。
二、角的度数和弧度制1.度数制角的度数制是一种常用的角度表示方法。
一个完整的圆周对应360度，一个直角对应90度。
2.弧度制弧度是度数制的另一种表示方法，它是一个角所对应的圆心角所在圆的半径上所对应的弧长与圆的半径之比。
一个完整的圆周对应2π（或360°）的弧度值。
三、角的分类1.锐角角度小于90度的角称为锐角。
在图中，∠BAC就是一个锐角。
2.直角角度为90度的角称为直角。
在图中，∠ABC就是一个直角。
3.钝角角度大于90度的角称为钝角。
在图中，∠CDE就是一个钝角。
四、角的性质1.一周角一周角是指一个角度为360度（或2π）的角。
2.对顶角对顶角是指两个角的两条边互相垂直，并且顶点重合。
对顶角的度数相等。
在图中，∠ABC和∠DCB是对顶角。
3.相邻角相邻角是指共享同一边的两个角。
在图中，∠ABC和∠CBD 是相邻角。
4.补角两个角的度数之和为90度时，它们互为补角。
在图中，∠ABC和∠CBD是补角，因为它们的度数之和为90度。
5.余角两个角的度数之和为180度时，它们互为余角。
在图中，∠ABC和∠CBD是余角，因为它们的度数之和为180度。
五、边角的概念边角是指两个相邻的角所对应的共同边。
如图所示，∠ABC和∠CBD是边角，它们共享边BC。
六、常用公式1.求弧度制下角度的大小已知角度α（以度为单位），则它所对应的弧度数β为：β=α×π÷1802.求角度制下角度的大小已知角度β（以弧度为单位），则它所对应的角度数α为：α=β×180÷π3.余角公式∠BAC和∠CAD是余角，则有：∠BAC+∠CAD=90度4.补角公式∠BAD和∠EAD是补角，则有：∠BAD+∠EAD=180度七、总结角和边角是数学中一个基本的概念，理解和掌握这些知识点对于学习数学和其他学科都有很大的帮助。
讲义-数学七年级上册-第13讲-角
讲义【知识梳理】1．角的定义：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．2．角的表示方法：角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB∠，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．(2)在一个顶点处只有．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示O∠，如图①所示．(3)用小写希腊字母表示，记作α∠，如图①所示．(4)用数学表示单独的一个角，记作1∠，如图①所示．【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示．【注意】(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：角的大小比较一般有两种方法：(1) 度量法：用量角器量出角的度数（量法与小学学习方法相同）．通过比较度数的大 小来确定角的大小．若用量角器测得130∠=︒，245∠=︒，3045︒<︒，12∴∠<∠(2)叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小．如下图所示，先让顶点O 与E 重合，再让OA 边与EC 边重合，并且使另一边OB 、ED 在OA 的同侧；如果OB 与OD 重合，则表示这两个角相等，如图①，记作AOB COD ∠=∠．如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的外部，则表示AOB ∠小于AOD ∠，记作AOB AOD ∠<∠． 如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的内部，则表示AOB ∠大于AOD ∠，记作AOB AOD ∠>∠【例题精讲】例1. 如图，图中共有多少个角？【考点】角的概念与表示．【解析】以OA 为始边的角有AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠，共4个，以OB 为始边的角有BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠，共3个，以OC 为始边的角有COD ∠、COE ∠共2 个，以OD 为始边的角有DOE ∠，共1个，所以共有432110+++=（个）． 【答案】10个．【教学建议】找角的个数与找线段方法一样，都按一定的方法分类，找角的个数可按顺时针方向数．也可按逆时针方向数．本题也可看作过点O 引出5条射线共54102⨯=个角，若过点O 引出n 条射，则共有()12n n -个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）.例2. 画出表示下列方向的射线：(1)南偏东25︒方向；(2)北偏西60︒方向；(3)东南方向；(4)南偏西80︒方向． 【考点】角的概念与表示，方位角．【解析】(1)以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (3)以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45︒，所成角的终边即为所求的射线，如隔①所示． (4)以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示．【答案】略．【教学建议】教师需引导学生回顾角的表示和方位角的概念，在进行本题的解答，并且通过本题进一步正确理解方位角的概念，正确表示方位角．【巩固测试】1. 观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？【考点】角的大比较．【解析】估计1∠最大，2∠与3∠相等，测量：1150∠=︒，2330∠=∠=︒，460∠=︒． 由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同． 【答案】1∠最大，2∠与3∠相等．【教学建议】用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定．角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较．2. 已知40AOB ∠>︒，用量角器画出AOC ∠,使40AOC ∠=︒，然后比较AOB ∠和BOC ∠的大小． 【考点】角的大比较．【解析】如图所示，当1AOC ∠在AOB ∠的内部时，1BOC AOB ∠<∠；当2AOC ∠在AOB ∠的外部时，2BOC AOB ∠>∠.【答案】略．【教学建议】因为40AOB ∠>︒，要画出40AOC ∠=︒，所以AOB AOC ∠>∠，又因为OA 是两个角的一条公共边，所以可能在AOB ∠的内部也可能在AOB ∠的外部.二、尺规作图 【知识梳理】 5．画相等的角： （1）度量法．①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合； ①对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合；①读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数．（2）尺规法．6．角的和、差、倍的画法：（1）度量法：用量角器分别量出两个角的度数，根据角的和、差、倍的意义可以画出角度等于两个角和（或差）的角．（2）尺规作图法．利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧”．作两个角的差的要领是“二合同侧”． 7．角平分线的概念及画法（作法）（1）概念：以一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，这时，12AOC BOCAOB ∠=∠∠或2AOB AOC A BOC ∠=∠=∠. （2）画法．①利用量角器画图：量→算→画． ①利用直尺和圆规作图．8．余角、补角的定义．(1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角．(2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角． 9．余角、补角性质．(1)余角的性质：同角（或等角）的余角相等．(2)补角的性质：同角（或等角）的补角相等．【注意】(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关． (2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法． 10．角的度量单位、角的换算及角的分类 (1)角的度量单位是：度、分、秒． 1度的160为1分，记作1'，即160'︒=．1分的160为1秒，记作1''，即160'''=． 【注意】①角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式；②1︒的角是指将一个周角分成360等份，每一份就是1︒的角．1周角＝360︒，1平角＝180︒ (2)角的分类：小于90︒的角叫做锐角、等于90︒的角叫做直角、大于90︒小于180︒的角叫做钝角．【例题精讲】例1. 如图，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使COD β∠=∠.【考点】画相等的角． 【解析】(1)作射线OC ；(2)以β∠的顶点为圆心、取定的长a 半径作弧，分别交β∠的两边于点E 、F （如图①）；① ①(3)以点O 为圆心、a 的长为半径作弧，交OC 于点M ； (4)以点M 为圆心、EF 的长为半径作弧，交前弧于点N ；(5)经过点N 作射线OD （如图①）．COD ∠就是所求作的角．【教学建议】教师需先引导学生回顾画相等的角的基本方法和过程，并通过本题进一步熟悉画相等的角的过程．例2. 已知α∠、β∠ (如图所示)，作一个角2AOB αβ∠=∠-∠【考点】画角的和、差、倍．【解析】2AOD ααα∠=∠+∠=∠（二合异侧），2AOB αβ∠=∠-∠ (二合同侧)． 保留作图痕迹线，了解作图的基本语句．结果如图所示．【教学建议】两个角的和、差、倍类同于有理数的和、差、倍，如2αβ∠-∠的度数，等于两个α∠的度数和再减去β∠的度数．例3. 如图已知α∠，β∠，用直尺和圆规求作一个γ∠，使得12γαβ∠=∠-∠（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】画角的和、差、倍．【解析】如图所示，BCD ∠即为所求作的γ∠．【教学建议】本题先画出12β∠，再画12αβ∠-∠． 例4. 一个角的补角比它的余角的2倍多5︒，求这个角．【考点】余角与补角． 【解析】设这个角为α，则它的补角为180α︒-，余角为90α︒-，依题意得180α︒-＝2(90α︒-)＋5︒，18018025,5ααα︒-=︒-+︒=︒．所以这个角的度数为5︒． 【答案】5︒．【教学建议】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设定这个角入手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可．例5.如图所示，已知：OC 是AOB ∠的角平分线，OD 是AOC ∠内的一条射线，已知AOD ∠比BOD ∠小30︒，求COD ∠的大小．【考点】余角与补角．【解析】因为OC 是AOB ∠的平分线（已知）．所以AOC BOC ∠=∠ (角平分线的意义) 设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=,根据题意，得BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-， 所以()()30αβαβ+--=︒．解方程，得15β=︒，即15COD ∠=︒．【答案】15COD ∠=︒．【教学建议】根据已知可设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=．则有BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，利用等量关系，30BOD AOD ∠-∠=︒列出式子，即可解出β的度数．例6.如图所示，射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，已知BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒，试用含有m ，n 的式子表示AOF ∠的度数．【考点】余角与补角．【解析】因为射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线(已知)． 所以AOB BOC ∠=∠，DOE EOF ∠=∠（角平分线的意义）． 又因为AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠．所以222()AOF BOC DOE COD BOC DOE COD ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠. 又因为BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒ (已知)． 所以BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．所以()()222AOF BOC DOE COD m n n m n ∠=∠+∠+∠=-+=-． 【答案】2AOF m n ∠=-．【教学建议】AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠，而射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，因此2AOB BOC BOC ∠+∠=∠，2DOE EOF DOE ∠+∠=∠，那么22AOF BOC DOE COD ∠=∠=∠+∠．由于BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．然后把相关角的式子分别代入，问题就解决了．【巩固测试】1. 如图所示，已知90AOC BOD ∠=∠=︒． (1)AOD ∠与BOC ∠有什么关系？为什么？ (2)若35DOC ∠=︒，则AOB ∠等于多少度？ (3)若150AOB ∠=︒，则DOC ∠等于多少度？【考点】余角与补角．【解析】(1) AOD ∠＝BOC ∠.理由如下：由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，90AOD DOC ∠+∠=︒，90BOC DOC ∠+∠=︒所以AOD ∠＝BOC ∠ (同角的余角相等)． (2)由已知35DOC ∠=︒，所以903555AOD BOC ∠=∠=︒-︒=︒，所以553555145AOB AOD DOC BOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒． (3)由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，150AOB ∠=︒． 所以1509060AOD AOB BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 所以906030DOC AOC AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.【答案】（1）AOD ∠＝BOC ∠；（2）145AOB ∠=；（3）30DOC ∠=︒．【教学建议】此类题比较常见，这个图形可以作为一个基本图形去记忆．第(3)小题也可以这样解：把DOC ∠看作是两个直角AOC ∠和BOD ∠的重叠部分，那么()18015030DOC AOC BOD AOB ∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒.课堂练习一、选择题1. 如图，能用∠1，∠ACB ，∠C 三种方法表示同一个角的是（ ）2. 学校M 在小明家N 的北偏东30°的方向，那么小明上学要走的路线可能是（ ）ABCDMMNN MM NN3. 如图所示，已知①AOB ＝64°，OA 1平分①AOB ，OA 2平分①AOA 1，OA 3平分①AOA 2，OA 4平分①AOA 3，则①AOA 4的大小为（ ）AB C 1A B DCAB CAB CD111A BCD课后作业1、如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=1400，则∠DOC的度数是（）A、300B、400C、500D、6002、一副三角尺可拼成很多角，如下图是由一副三角尺拼成的2个图形，请你计算：在第一个图中：∠ACD= °，∠ABD= °；在第二个图中：∠BAG= °，∠AGC= °。
《角的初步认识》 讲义
《角的初步认识》讲义一、角的定义角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。
这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。
比如说，我们常见的三角尺，其中的一个角就是由两条边和一个顶点组成的。
角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。
两条边张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
二、角的表示方法角通常有三种表示方法：1、用三个大写英文字母表示，比如∠AOB，其中 O 是顶点，A、B 分别是角的两条边的端点。
需要注意的是，顶点字母必须写在中间。
2、用一个大写英文字母表示，当顶点处只有一个角时，可以用这个顶点的字母来表示角，比如∠O。
3、用一个数字或一个希腊字母来表示，比如∠1 或者∠α。
三、角的度量为了准确地测量角的大小，我们需要用到量角器。
量角器是一个半圆形的工具，上面标有刻度。
把量角器的中心与角的顶点重合，0 刻度线与角的一条边重合。
角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
角的度量单位是“度”，用符号“°”表示。
我们把半圆平均分成 180 等份，每一份所对的角的大小是 1 度。
四、角的分类按照角的度数大小，我们可以把角分为以下几类：1、锐角：小于 90 度的角。
比如说，30 度、45 度、60 度的角都是锐角。
2、直角：等于 90 度的角。
我们可以通过三角尺上的直角来判断一个角是不是直角。
3、钝角：大于 90 度而小于 180 度的角。
例如，120 度、150 度的角就是钝角。
4、平角：等于 180 度的角。
一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
5、周角：等于 360 度的角。
一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角叫做周角。
五、角的绘制要画一个角，可以按照以下步骤进行：1、先画一条射线，作为角的一条边。
2、将量角器的中心与射线的端点重合，0 刻度线与射线重合。
3、在量角器上找到要画的角的度数，对应的刻度线的地方点一个点。
七年级上册角的初步认识重点
七年级上册角的初步认识重点
一、角的基本概念
1. 角的概念：角是由两条射线或线段在一个平面内相交而形成的几何图形。
2. 角的性质：角的大小与边的长短无关，只与两条射线或线段间的夹角有关。
二、角的度量单位
1. 度量单位：度是常用的角量度单位，此外还有弧度和角度等。
2. 度量方法：使用量角器或直接利用直角三角板进行度量。
三、角的表示方法
1. 几何符号：用∠表示一个角，用∠1、∠2等表示两个不同的角。
2. 数字符号：用数字或字母表示一个具体的角。
四、角的画法
1. 使用量角器画角：定度数、定点、连线。
2. 使用直角三角板画角：定第一条边、定第二条边、画直角。
五、角的分类
1. 锐角：小于90度的角。
2. 直角：等于90度的角。
3. 钝角：大于90度但小于180度的角。
4. 平角：等于180度的角。
5. 优角：大于180度但小于360度的角。
6. 周角：等于360度的角。
六、角的应用
1. 在几何学中，角是重要的几何图形之一，其在各种几何图形中的应用广泛。
2. 在日常生活中，角的应用也非常广泛，如角度测量、建筑设计、机械制造等。
七、角的变化
1. 角的大小可以变化，可以通过移动射线或线段来改变角的大小。
2. 通过旋转，一个角可以围绕其顶点旋转任意角度，从而形成不同的角。
七年级数学上册 角 复习讲义
角知识导图基础知识点1角：有公共端点的两条射线组成的图形．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（）．A BC D2把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分得角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．2．计算：（1）902339'︒-︒=；（2）17652'3︒÷=．3角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线．3．已知30°ABC∠=，BD是ABC∠的平分线，则ABD∠＝______度．4如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其4．已知26α∠=，则α∠的补角是度．B1AOCBA1OOCBA1BA1O几何图形点、线、面、体立体图形平面图形从不同方向看立体图形展开立体图形直线、射线、线段平面图形线段的大小比较两点确定一条直线两点之间、线段最短角的度量角角的比较与运算余角和补角角的平分线等角的余角相等等角的补角相等重点题型1【互余、互补】5．下列叙述正确的是（ ）．A ．90︒的角是余角B ．110︒和90︒的角互为补角C ．15︒、25︒、50︒的角互为余角D ．120︒和60︒的角互为补角6．若90αβ∠+∠=︒，90βγ∠+∠=︒，则α∠与γ∠的关系是（ ）．A ．互余B ．互补C ．相等D ．90αγ∠=︒+∠ 7．如果一个角的余角是50︒，那么这个角的补角的度数是（ ）．A ．130︒B ．40︒C ．90︒D ．140︒8．一个角的补角加上10︒后，等于这个角的余角的5倍，求这个角的度数．9．两个角的大小之比是7:3，他们的差是72°，求这两个角的度数．ABCDEF123 O ABCDE重点题型2【角度计算】10．如图所示，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．11．如图，从∠AOB 内部引出一条射线OC ，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，若∠AOB ＝80°，求∠DOE 的度数．12．如图，BD 平分∠ABC ，BE 分∠ABC 为2:5两部分，∠DBE ＝21°，求∠ABC 的度数．两步一回头13．下列关于角的说法正确的是（ ）．A ．两条射线组成的图形叫做角B ．延长一个角的两边C ．角的两边是射线，所以角不可以度量D ．角的大小与这个角的两边长短无关 14．下列各角中，是钝角的是（ ）．A ．14周角 B ．23周角 C ．23平角 D ．14平角能用一副三角板画出来的角都是______的倍数． 15．下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（ ）．①15︒的角；②65︒的角；③75︒的角；④135︒的角；⑤145︒的角． A ．①③④B ．①③⑤C ．①②④D ．②④⑤16．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为 度． 17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°， 则∠2的度数是（ ）．A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°问题探究【角的几何推理】18．如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．求： （1）∠MON ＝ °；（2）如果（1）中的∠BOC ＝β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）如果（1）中的∠AOB ＝α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中能看出什么规律？19．已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．（本题所指的角均是小于平角的角）MONC B ACAO D EB图12拓展延伸20．如图，表示南偏东40°的方向线是射线（ ）．A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD21．学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25︒方向，那么平面图上的∠CAB 等于（ ）． A ．115︒ B ．155︒ C ．25︒ D ．65︒22．如图12，AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，则∠AOC 的度数是 ．23．如图13所示，∠AOB 是平角，∠AOC ＝40°，∠BOD ＝70°，OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∠MON 等于_________．24．一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为 ． 25．观察时针，回答问题：（1）分针多长时间转一圈？它的转速是多少度/分？ （2）从1时开始到6时整，时针转动了多少度？（3）从中午12时整开始，经过多少时间，时针与分针再次重合？26．如图，东西方向的海岸线上有A 、B 两个观测站，在A 地发现它的北偏东30︒方向上有一条渔船，同一时刻，在B 地发现这条渔船在它的北偏西60︒方向上，试画图说明这条渔船的位置．ABCMA DNB O图1327．如下图1，将面积为a 2的小正方形BFED 与面积为b 2的大正方形AECM 放在一起（b ＞a ＞0），试用a 、b 表示三角形ABC 的面积．28．在抗日战争时期，一组游击队员奉命把A 村的一批文物送往一个安全地带，在A 村的南偏东50°距离3千米处有一B 村，他们从A 村出发，以北偏东80°方向行军，不知道走了多远以后，他们发现B 村出现了烟火，于是决定先把文物就地埋藏起来，然后调转方向走了7千米的路程，直接赶到B 村消灭了敌人，结束战斗后，这组游击队员应到哪里去取文物呢？假如你在场，凭以上信息，你能估计文物藏在什么地方吗？（画图说明）课堂加油站天气要降温了，如果怕冷你可以去墙角取暖，因为墙角有90度．不过躺在地下会更暖，因为地面有180度．如果还是怕冷你可以自转一周，因为有360度．但是，如果还是怕冷，可以众里寻她（他）……课堂小结A B C D MFECB这一讲我们主要学习了什么？一、互余、互补二、角的平分线，如图： 因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝∠______＝12∠____．三、几何定值问题有什么技巧？西南北东30° OAa b1 2 O课后练习29．下列说法正确的是（ ）．A ．角的两边都是线段B ．一条射线是一个周角C ．平角是一条线段D ．角的大小与它的两边的长短无关30．如图，OA 是表示北偏东30︒方向的一条射线， 仿照这条射线画出表示下列方向的射线： （1）南偏东30︒；（2）北偏西60︒．31．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE ＝90°．（1）请你数一数，图中有 个小于平角的角； （2）求出∠COE 的度数．课堂小测32．把一个圆形的蛋糕等分成12份，每份中的角是 °．33．如图，直线a ，b 相交于点O ，若1∠等于40︒，则2∠等于（ ）．A ．50︒B ．60︒C ．140︒D ．160︒34．已知∠α的余角是4251'16''︒，则α∠的度数是___________． 35．已知∠α与∠β是互为补角，∠α＝100°30'，那么∠β的度数是（ ）．A ．80°30'B ．100°30'C ．179°30'D ．79°30'36．点B 在点A 的南偏东40°，则点A 在点B 的____________． 37．已知∠AOB ＝3∠BOC ，若∠BOC ＝30°，则∠AOC 等于（ ）．A ．120°B ．120°或60°C ．30°D ．30°或90°38．已知OC 是∠AOB 的平分线，则下列各式：①12AOC AOB ∠=∠；②∠AOC ＝ ∠COB ；③∠AOB ＝2∠AOC ，其中正确的是（ ）．A ．只有①B ．只有①②C ．只有②③D ．①②③39．小明从A 处向北偏东72°38'方向走10m 到达B 处，小亮也从A 处出发向南偏西15°38'方向走15m 到达C 处，则∠BAC 的度数为 度．40．若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，根据_____________________，可得∠2＝∠4． 41．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示角的式子中：①90°－∠β；3cm7cm 62° 80°西南东CMA BN 50°北②∠α－90°；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．能表示∠β的余角的是_______（填序号）．参考答案 1．B2．（1）6621'︒；（2）5857'20''︒． 3．15 4．1545．D 6．C 7．D8．解：设这个角的度数为x ，180105(90)x x -+=-，65=x ．9．解：设两个角的度数为7x 、3x ，7372x x -=，18x =，两个角的度数是126、54． 10．解：∠2=70°，∠3=50°．11．解：因为OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，所以∠COD ＝12∠AOC ，∠COE ＝12∠BOC ，因为∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝80°，所以∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝40°． 12．98°13．D14．C15．A16．12017．B18．（1）45°；（2）45°；（3）2α；（4）∠MON 只与∠AOC 有关，与∠BOC 无关． 19．当OC 在∠AOB 内部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝30°；当OC 在∠AOB 外部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝60°．20．C 21．A 22．30° 23．125︒ 24．28°25．（1）60分钟；6度/分； （2）150°； （3）72011分钟．26．北偏东30︒方向和北偏西60︒方向两射线的交点即为渔船的位置 27．212b28．解：由题意作答图，作法如下：（1）在平面上任找一点为A （村） （2）作出A 村的南偏东50°的方向线AM ，在AM 上截取AB ＝3cm （以1cm 表示1千米）（3）作出A 村的北偏东80°的方向线AN （4）以B 点为圆心，以7cm 为半径作圆弧交AN 于C（5）连结BC ，量出C 点在B 点处的方向为北偏东62°，BC ＝7cm ，则从B 处以北偏东62°的方向出发走7千米到达C 处，则C 处附近就为藏文物地点．29．D 30．略 31．（1）9； （2）65°． 32．30 33．C 34．478'44''︒ 35．D36．北偏西40°37．B38．D39．12340．等角的余角相等41．①②④。
七年级上册数学角重要知识点
七年级上册数学角重要知识点数学角重要知识点
数学角是我们学习数学时需要掌握的重要概念之一，下面我们来一起学习一下七年级上册数学角的重要知识点。
一、角的定义
角是由两条射线共同端点所组成的图形，其中的射线称为角的边，共同的端点称为角的顶点。
角的大小通常用度数或弧度来表示。
二、角的分类
按角的大小，角可以分为三种类型：
1.锐角：小于90度的角称为锐角。
2.直角：等于90度的角称为直角。
3.钝角：大于90度小于180度的角称为钝角。
三、角的度数
角的大小用度数来表示，如一个圆的周长是360度，一个直角的角度是90度。
四、角的度分秒表示法
度数也可以用几度几分几秒的形式表示，例如一个角大小可以表示为67°28′36″。
五、角的度数计算
1.角大小的计算公式：角度数 = 弧度数× 180°/π
2.角度的加减：对于角α和角β，α+β和α-β的度数分别等于它们各自的度数之和和之差。
六、角平分线
在一个角内，连接角的顶点和角的边上一点，把角分成两个相
等的角的射线称为角的平分线。
七、垂线
垂线是指从一个点向另一条直线或曲线作的垂直于该直线或曲
线的直线段，在平面几何中具有重要的作用。
八、垂直和水平
垂直和水平是指二维平面上垂直于地面和水平于地面的方向。
在数学中，把垂直方向称为竖直方向，把水平方向称为横向。
以上就是七年级上册数学角的重要知识点，掌握好这些知识点，可以为以后的学习打下坚实的基础。
初一数学上册角类讲解
初一数学上册角类讲解一、角的概念，几何角与角的关系。
1、角的定义。
角是具有公共端点的两条射线组成的图形。
2、几何角：射线的公共端点和公共端点所张的大小相等方向相反的两个角叫做直角。
3、两角的关系。
（ 1）两角可以不在同一个平面内。
（ 2）两角可以不在同一条直线上。
（ 3）两角可以重合。
4、直角、锐角、钝角、平角、周角。
（ 1）直角（ 2）锐角（ 3）钝角（ 4）平角（ 5）周角二、角的分类1、按角所在位置分类：分为三种情况：一个角在角平分线上，这个角叫做直角；一个角在一条直线的两个位置上，这个角叫做锐角；一个角在另一条直线的两个位置上，这个角叫做钝角。
2、按角的顶点数目分类：分为三种情况：两个角是一个顶点的角叫做直角；三个角是一个顶点的角叫做三角形；三个角是三个顶点的角叫做六边形。
三、角的画法。
1、作一条射线，先用一条长度表示出它的端点在射线上的位置，再用箭头指明射线的延长方向。
2、先画一条射线，表示出它的端点在射线上的位置。
3、从端点引出两条射线，然后表示出它们的延长方向。
4、连接端点和中点的线段，把这两点之间的部分叫做射线的“一半”。
5、过每一条射线画一个角。
6、把表示角的点的线段的两端，按逆时针方向旋转到同一个方向，并且把两个端点重合起来。
7、作出每个角的两条边和一个顶点。
8、连接两个端点，并且把它们的端点重合在一起。
9、在同一个角里，连接两条边的中点的线段叫做这个角的“高”。
10、沿着某一条边或者某一个顶点，将其余各边依次首尾相接地连接起来，就得到了一个封闭的图形——角。
11、如果要求证一个角是直角，只需要找到这个角的顶点，使顶点落在这条边上即可。
12、如果已知一个角的两条边和一个顶点，那么根据题意可设计出多种证明方案。
13、利用勾股定理也能够判断一些特殊的角。
14、通常我们说的角都是指平角。
初一数学上册角类讲解
初一数学上册角类讲解
初一数学上册角类讲解：
1、角的定义：角是由两条不同的直线构成的图形，它们的交点称为角的顶点，而这两条直线称为角的边。
2、角的分类：根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。
3、锐角：锐角的角度小于90°，它们的夹角小于90°，可以用角度来表示，
如30°、45°、60°等。
4、直角：直角的角度等于90°，它们的夹角等于90°，可以用角度来表示，
如90°。
5、钝角：钝角的角度大于90°，它们的夹角大于90°，可以用角度来表示，
如120°、135°、150°等。
6、角的度量：角的度量是指用来衡量角的大小的单位，一般用角度来表示，1°=1/360圆，1′=1/60°，1″=1/60′。
7、角的运算：角的运算是指对角进行加减乘除等运算，如角的和、角的差、
角的积、角的商等。
8、角的平分：角的平分是指将一个角分成几个相等的角，如将一个角平分成
两个相等的角，称为角的二等分；将一个角平分成三个相等的角，称为角的三等分；将一个角平分成四个相等的角，称为角的四等分等。
9、角的延长：角的延长是指将一个角的边延长，使其角度变大，如将一个角
的边延长一定的距离，使其角度变为2倍，称为角的延长2倍。
10、角的旋转：角的旋转是指将一个角的边旋转一定的角度，使其角度发生变化，如将一个角的边旋转90°，使其角度变为180°，称为角的旋转180°。
七年级上册角的重点知识点
七年级上册角的重点知识点角是我们初中数学学习的一个重要的基础概念，也是我们后面学习三角函数等高等数学的重要基础。
在初中数学的学习中因此角的知识点也是一个不可或缺的板块。
下面就让我们来一起了解一下七年级上册角的重点知识点。
角的概念角是由两条不同 but 线段在同一平面内，共同围成的图形，其两条线段的端点称为角的顶点，共有三个部分，分别是顶点和两个边。
我们用大写字母表示一个角，如∠ABC。
其中两个线段所在线同一条直线上的角称为邻补角，如∠CBD和∠ABC是邻补角。
角的度数角的度数用角度来表示，一周对应着360°。
因此，直角对应着90°，一般角对应着180°，而外角和内角之和对应着360°。
我们通过划分圆或直线来得到角度的度数，比如一个直角对应着一个180/2=90°的角，而一个圆上的角则对应着其圆心角所对应的圆心角。
角的标准位置角通常有四个标准位置，它们在平面直角坐标系中的坐标分别为(1,0),(0,1), (-1,0)和(0,-1)，从而构成单位圆上的4个点。
在标准位置的角度为0°或360°、90°、180°、270°，我们可以通过旋转角度来将任意角调整到标准位置。
角度制与弧度制我们在数学学习中常用的是角度制，但在物理和工程学科中则较常用弧度制。
弧度制是将圆的弧长等分为360份，则每个单位的弧长称为1弧度，顺时针或逆时针旋转的角度为负数时，可以用负数的弧度表示。
常见的几何运算我们在学习角和角度的知识点时，还需要掌握常见的几何运算。
比如在两角的运算时，我们可以进行加、减、乘和除的运算，并且运算的结果也可以表示为角或者弧度的形式。
此外，我们还需要了解到一些相关的公式，如正弦、余弦、正切等函数以及它们的反函数。
总结角度是我们数学学习的一个重要的概念，它是数学、物理等学科中必不可少的工具。
因此，在七年级上册角的知识点中，掌握角度的概念、度数、标准位置和几何运算都是重点。
初一上册数学角知识点讲解
初一上册数学角知识点讲解除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初一上册数学角知识点讲解，希望对大家的学习有一定帮助。
1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法(四种)：3、角的度量单位及换算4、角的分类锐角直角钝角平角周角范围 090=90 90 =180=3605、角的比较方法(1)度量法(2)叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画出15的倍数的角，在0～180之间共能画出11个角.(2)借助量角器能画出给定度数的角.(3)用尺规作图法.8、角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.图形：符号：9、互余、互补(1)若2=90，则1与2互为余角.其中1是2的余角，2是1的余角.(2)若2=180，则1与2互为补角.其中1是2的补角，2是1的补角.(3)余(补)角的性质：等角的补(余)角相等.10、方向角(1)正方向(2)北(南)偏东(西)方向(3)东(西)北(南)方向课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
七上数学知识点归纳总结角
七上数学知识点归纳总结角角是数学中的一个基本概念，它在我们的生活中无处不在。
在数学的世界里，角是两条射线的夹角，可以用来描述物体之间的关系以及运动的方向等。
本文将以七上数学的知识点为基础，归纳总结角的相关知识，帮助读者更好地理解和运用角的概念。
一、角的定义和表示方法角是由两条射线共同围成的图形，其中一条射线称为角的边，另一条射线称为角的腿。
角的大小可以用角度来度量，角度是以度为单位的。
通常用符号∠ABC来表示一个角，其中A、B、C分别表示角的顶点、边、腿。
二、角的分类和特点根据角的大小，我们可以将角分为三类：锐角、直角和钝角。
1. 锐角：角的度数小于90°，如30°、45°等。
锐角的特点是两条射线的夹角比较小，形状类似于一个尖角。
2. 直角：角的度数等于90°，如90°。
直角的特点是两条射线正好垂直相交，形状类似于一个正方形的角。
3. 钝角：角的度数大于90°但小于180°，如120°、150°等。
钝角的特点是两条射线的夹角比较大，形状类似于一个钝角。
三、角的运算和性质1. 角的加法：两个角的度数相加得到它们的和角。
例如，∠ABC和∠BCD的和角是∠ABD，其度数等于∠ABC的度数加上∠BCD的度数。
2. 角的减法：一个角减去另一个角得到它们的差角。
例如，∠ABD 减去∠BCD得到∠ABC，其度数等于∠ABD的度数减去∠BCD的度数。
3. 互补角和补角：两个角的度数加起来等于90°的角称为互补角，两个角的度数加起来等于180°的角称为补角。
四、角的度数和角度制与弧度制的转换角度制是我们常用的度量角的方法，其中360°等于一圈。
弧度制是另一种度量角的方法，其中2π弧度等于一圈。
要将角度制转换为弧度制，可以使用下面的公式：弧度 = (角度×π) / 180要将弧度制转换为角度制，可以使用下面的公式：角度 = (弧度× 180) / π五、角的平分线和垂直平分线1. 角的平分线：一条射线可以将一个角分成两个相等的角，这条射线称为角的平分线。
七年级角的基础知识点
七年级角的基础知识点角是我们数学中常见的一个概念，也是初中数学学习中比较基础但又十分重要的知识点之一。
七年级角的基础知识点包括角的度数、角的分类以及角的计算等方面。
本篇文章将分别就这些方面来进行阐述。
一、角的度数1. 角的定义在平面内，由两条有公共端点的线段类似夹起来的图形称为角，公共端点称为角的顶点，用字母标记。
通常用大写字母表示角，如$\angle{ABC}$。
2. 角的度数基本概念角的度数是用角所对的弧长所对应的圆心角的度数来定义的。
一度是指圆的周长的$\dfrac{1}{360}$，度数用$\degree$表示。
3. 角的度数计算(1)角度数= $\dfrac{弧长}{周长} \times 360\degree$(2) 已知角度数，求圆扇弧长扇形占用了圆的一部分，其度数为$α$。
这时用所有圆周长$C$来度量圆，所以圆弧长即为：弧长=$\dfrac{α}{360}\times C$二、角的分类1. 按角度大小分类按照角的度数大小可以将角分为三种类型，即锐角、直角和钝角。
(1)锐角：角度小于$90\degree$。
(2)直角：角度为$90\degree$。
(3)钝角：角度大于$90\degree$，小于$180\degree$。
2. 按角的位置分类按照角所在的位置，角可以分为以下两种类型：(1)内角：在图形内部的角，如三角形和多边形内角。
(2)外角：在图形外部的角，与多边形内角相对应，对顶角相等。
三、角的计算1. 角的加减法(1)角对应部分之和的公式$\angle{AOB}$，$\angle{BOC}$对应部分相加等于$\angle{AOC}$。
(2)补角和余角①补角两个角的和等于直角，则这两个角互为补角，如图：$\angle{AOB}+\angle{BOC}=90\degree$，则$\angle{AOB}$和$\angle{BOC}$互为补角。
②余角两个角的和等于$\angle{180\degree}$，则这两个角互为余角，如图：$\angle{AOB}+\angle{BOC}=180\degree$，则$\angle{AOB}$和$\angle{BOC}$互为余角。
七年级上数学角知识点
七年级上数学角知识点角是我们在数学中经常会涉及到的一个概念。
在七年级上学期，我们需要学习相关的角知识点。
下面就来具体了解一下。
一、角的定义角可以用两条半直线来表示，它们的起点为角的顶点，这个顶点是角的中心点，两条半直线则是角的两个边。
一个角的度数通常用°来表示。
二、角的分类1.锐角：一个角的度数在0°~90°之间。
2.直角：一个角的度数是90°。
3.钝角：一个角的度数在90°~180°之间。
三、角的正弦、余弦、正切、余切1.正弦：指角的对边与斜边的比值，记作sin。
2.余弦：指角的邻边与斜边的比值，记作cos。
3.正切：指角的对边与邻边的比值，记作tan。
4.余切：指角的邻边与对边的比值，记作cot。
四、锐角三角函数在锐角ABC中，A为顶点，BC为斜边。
1.正弦定理：sinA = 对边/斜边。
2.余弦定理：cosA = 邻边/斜边。
3.正切定理：tanA = 对边/邻边。
五、角的度数1.角度制：以°为单位。
2.弧度制：以弧长相等的圆弧所对的圆心角度数作为度量单位，记作弧度，也可以用π表示，1π = 180°。
六、特殊角度的正弦、余弦、正切、余切值从视角出发，我们可以总结出以下的特殊角度的正弦、余弦、正切、余切值：1.0°：sin0° = 0，cos0° = 1，tan0° = 0，cot0° = 无穷大。
2.30°：sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3，cot30° = √3。
3.45°：sin45° = √2/2，cos45° = √2/2，tan45° = 1，cot45° = 1。
4.60°：sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = 1/√3。
七年级数学角的基本概念与性质
七年级数学角的基本概念与性质数学是一门精密而有趣的学科，而角是数学中的基本概念之一。
本文将重点介绍七年级数学中有关角的基本概念与性质，帮助读者对角有更深入的理解。
1. 角的定义角是由两条射线或线段的公共端点组成的图形。
射线或线段的公共端点称为角的顶点，而射线或线段称为角的两条边。
我们通常用大写字母来表示角，如∠ABC或∠P。
2. 角的度量单位角的度量单位通常有两种，即角度和弧度。
在初中数学中，我们主要使用角度来度量角。
一个完整的圆周分为360度，所以一个直角的度数为90度，一个平角的度数为180度。
3. 角的分类根据角的大小，我们可以将角分为不同的类型。
主要的类型有：- 钝角：大于90度但小于180度的角。
- 直角：正好为90度的角。
- 锐角：小于90度的角。
4. 角的性质在数学中，角具有一些重要的性质，它们对于解决各种几何问题非常重要。
下面是一些常见的角性质：- 互补角性质：两个角的度数相加等于90度。
如果∠ABC和∠BCD是互补角，那么∠ABC + ∠BCD = 90度。
- 补角性质：两个角的度数相加等于180度。
如果∠ABC和∠BCD 是补角，那么∠ABC + ∠BCD = 180度。
- 垂直角性质：两个互相垂直的角的度数相等。
如果∠ABC和∠CBD是垂直角，那么∠ABC = ∠CBD。
- 同位角性质：当两条直线被一条截线切割时，位于同一侧的内角或外角的度数之和等于180度。
5. 角的度数计算当我们需要计算一个角的度数时，可以利用一些基本的计算方法来求解。
下面是一些常见的计算方法：- 已知两条角的度数，可以通过相加或相减来计算第三角的度数。
例如，如果∠ABC = 50度，∠BCD = 80度，则∠ABD = ∠ABC +∠BCD = 50度 + 80度 = 130度。
- 已知一个角的补角或互补角，可以用对应结果来计算角的度数。
例如，如果∠ABC = 40度，那么它的补角∠DBC的度数为180度 - 40度 = 140度。
人教版数学七年级上册36角(基础)知识讲解
角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1 图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
七年级数学上册专题复习讲义第十二讲角的初步认识新人
第十二讲角的初步认识（一）一、知识精讲1.角的定义角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是90° ,那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180° ,那么称这两个角互为补角。
4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例1】（2017汉阳区期末）如图，在锐角/ XB内部，画1条射线，可得射线，可得6个锐角，画3条射线，可得10个锐角，……，按此规律，画可得锐角个.【练1】如图，在/ 图内部引出两条射线C D则图中小于平角的角共有A.3 B.4 C.5 D.6【练2】在/O内部从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少4/3个锐角画2条9条不同射线，B B B【练3】从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少个?【例2】（2017武昌区期末）一个角的余角比它的补角的1大150求这4个角的度数.【练4】18° ,则/ A.54°【练5】(A.3 若/ AOB和/ BOC互为邻补角，且/ AOB比/ BOC大AOB如图,）对的度数是（B.81 °C.99°D162°。
是直线居上一点，OC, OD, OE是三条射线，则图中互补的角共有B.3C.4D.5【例3】（2017东湖开发区）如图，直线AB、CD相交于点平分/ BOC, Z 1 : 72=7 ： 1,求/ BOD 和/ AON 的度数.0, OM 平分/ BOD, OND【例4】(2017江岸区期末)如图，在同一平面内，皿⑥于O射线OM平分/ AB从点O引射线OC射线N平分/ BC(1)若/ BC= 30° ,请你补全图形，再计算/ MN的度数(2)若O与(B不垂直，/ AOB= a , Z BOC= 3 ( 0< 3 < a < 90° )变，请你画出大致图形，并直接写出MN的度数(3)结合上面的计算，观察并继续思考：在同一平面内，/ AO-a,分/ AOB, ON平分/ BOC,你发现/ MON与/ AOC有怎样的数量出来.【例5】(2017东湖开发区期末)8时30分，钟的时针与分针成(角. A.75° B.90° 0.105° D.120 °【练6】2点30分时，时钟与分钟所成的角为度.【例6】（2017江汉区期末）如图，直线SN与直线WE相交于点O,射线O N 表示正北方向，射线O E表示正东方向.已知射线O B的方向是南偏东m ,射线OC的方向是北偏东n° ,且m°的角与n °的角互余.其它条件不/ BOC= 3 , OM 平关系？请你直接写（1 ）①若 m = 60 ,则射线 O C 的方向是 .②请直接写出图中所有与BOE 互余的角及与 BOE 互补的角；（2）若射线O 是/BOJ 的角平分线，求/ AOC 的度数（用含有 m 的式子表示）三、课堂检测1. （2017黄陂区期末）如图，已知 OD 平分/ AOB, OE 平分/ BOD,若 AOC 3BOC 虹 COE 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 3' ------ 2” ----- :2 3 5 22. （2017 洪山区期末）如图， O 为直线 AB 上一点，/ DOC= 90° , OE 平分/ AOC OF 平分/ BOC.北N 阳东南（1）图中与/ COF 互余的角有 ,与/ COF 互补的角有 （2）如若5 EOD AOE , / EOD 的度数为^23. （2017江岸区期末）如图，直线 SN 与直线 WE 相交于点0,射线 ON 表示正②图中与/ BOE 互余的角有 与/ BOE 互补的角有（2）若射线 O A 是/ BON 的角平分线，则/ BOS 与/ AOC 是否存在确定的 数量关系？如果存在，请写出你的结论以及计算过程；如果不存在，请说明理由.四、课后练习1. （2017江汉区期末）9时30分钟的时针与分针所成的角度是（2. （2017青山区期末）如图，在观测站 。
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角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．【要点梳理】【高清课堂：角 397364 角的概念】要点一、角的概念1． 角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1 图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( ) ．A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】判断下列说法是否正确(1)两条射线组成的图形叫做角 ( )(2)平角是一条直线 ( )(3)周角是一条射线 ( )【答案】(1)× (2)× (3)×2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).【答案与解析】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．类型二、角度制的换算3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″． (2)130300.560'⎛⎫'''=⨯= ⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈° 所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】解： (1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°+24′+36×160'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝33°+24′+0.6′ ＝33°+24.6′＝33°+24.6×160⎛⎫ ⎪⎝⎭°＝33.41° 提示：在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算。
类型三、角的比较与运算4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．5. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD 的度数．【答案与解析】解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝12∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．【高清课堂：角 397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80 ，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOC=12(∠AOB+∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、余角和补角6.（2016春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．【答案与解析】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：这个角的度数是40°．【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•金华）已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（）A．55°B．65°C．145°D．165°【答案】C．类型五、方位角7. A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是( ) ．A．南偏东60° B．南偏西60°C．南偏东30° D．南偏西30°【答案】D【解析】依题意画出示意图．由图可知，图中∠1即表示从A看B的北偏东30°，∠2是从B看A的方位角．由此可确定从B看A是南偏西30°．【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来．举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．【答案】北偏西30°类型六、钟表上有关夹角问题8.（2015•丹东模拟）如图是一个时钟的钟面，下午1点30分，时钟的分针与时针所夹的角等于．【答案】135°．【解析】解：30°×（4+）=30=135°.【总结升华】根据钟面平均分成12份，可得每份30°，根据每份的度数乘以时针与分针相距的份数，可得答案．本题考查了钟面角，每份的度数乘以时针与分针相距的份数是解题关键．举一反三：【变式】2时48分时针与分针的夹角．【答案】解法1：如图(2)，设2时48分时针与分针的夹角为∠α，所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°)＝360°-204°＝156°解法2：如图(2)∠BOD＝30°×4＝120°，∠COD＝2×6°＝12°，∠AOB＝48×0.5°＝24°，所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．即2时48分时针与分针的夹角为156°．。