大学高等数学经典课件2-4
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《大学高等数学经典》PPT课件
记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.
《高等数学》第2章导数与微分2-4隐函数
第四节 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
2高数2-4
再如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 . x 0
1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小 . x
( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u0 ln(1 u) x
1 ln(1 u)
1 u
u 0
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
四、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察 各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 1 2 限 x sin x lim sin 1 0 lim 不存在. 不可比. x0 （ 型）x 0 x 2 x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
第四节 无穷小、无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小的比较 四、小结与思考
一、无穷小(Infinite Small)
1. 定义1: 若 时 , 函数 (或x ) 为 时的无穷小 . (或x ) 则称函数
例如 :
函数 函数 当 时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
即，当 x 0 时，x ~ ln(1 x ),
x ~ e x 1.
高等数学课件详细
导数的应用
第五章
函数的单调性和极值
导数与函数的单调性：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极 值点
极值的分类：极大值和极小值
极值的求解：通过求导数等于0的点，并判断该点两侧的导数符号，确定极值点
曲线的凹凸性和拐点
质。
定积分的应用： 定积分在物理、 工程、经济等 领域有着广泛 的应用，如计 算物体的质量、 体积、重心等。
定积分的计算 方法：常用的 定积分计算方 法有牛顿-莱布 尼茨公式、积 分表法、数值
积分法等。
定积分的运算和求法
定积分的定义： 对函数在某一区 间上的积分
定积分的性质： 线性性、可加性、 单调性等
导数：函数在某一点的切 线斜率
凹凸性：函数在某点附近 的增减性
拐点：函数在某点附近的 凹凸性发生变化的点
应用：判断函数的单调性、 极值、最值等
洛必达法则和不定积分
洛必达法则：用于求解极限， 包括0/0型和∞/∞型
不定积分：用于求解函数的原 函数，包括基本积分公式和换 元积分法
洛必达法则的应用：求解极限、 求导、求积分等
不定积分的应用：求解函数的 原函数、求导、求积分等
泰勒公式和等价无穷小量代换
等价无穷小量代换：将复杂 函数替换为简单函数，便于 计算和近似
泰勒公式的应用：求极限、 求导数、求积分等
泰勒公式：将函数展开为多 项式形式，便于计算和近似
等价无穷小量代换的应用： 求极限、求导数、求积分等
不定积分与定积分
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用。
极限的运算和求法
极限的定义：函数 在某点或某区间上 的极限值
高等数学-导数-2-4高阶导数
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x), y,
d2 y dx 2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
1
高阶导数
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
1 x
(n)
(1)n
n! x n1
4
高阶导数
例10 y sin4 x cos4 x, 求y(n) .
解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
6
高阶导数
二、莱布尼兹公式
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk )v(k ) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
高等数学 第二章 极限和导数2-4无穷小与无穷大
x 2 − 5 x + 4 12 − 5 ⋅ 1 + 4 = lim =0 2 ⋅1 − 3 2x − 3 x→1
由无穷大与无穷小的关系
函数 反例： 反例： 但当 因为 但 从几何上也很容易得此结论 时, 不是无穷大 !
1 函数 是 当 x → ∞ 时 的无穷小 的无穷小; x
函数
1 是 当 x → − ∞ 时 的无穷小 的无穷小. 1− x
(4) 以零为极限的数列{ x n }， 称为当 n → ∞ 时 称为当 的无穷小 . 1 2 , n 都是 n n 3
→ ∞ 时的无穷小 .
注 1°除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! ° 以外任何很小的常数 很小的常数都 2°不能笼统地说某函数是无穷小， °不能笼统地说某函数是无穷小， 而应当说函数 而应当说函数 自变量趋向某个值时的无穷小 的无穷小. 是自变量趋向某个值时的无穷小 例如，说 “函数 x − 1 是无穷小”是不对的 ; 是无穷小” 例如， 函数 函数 x − 1 当 x → 1 时为无穷小 为无穷小. 而应当说 ，
∀ M > 0, ∃δ > 0, 使 得
当 0 < x − x0 < δ 时 ,
总有 f (x) > M .
总 有f (x) > M 或f (x) < − M
例2 证明 证 ∀ M > 0, 要使 只要
1 故取 δ = , M 则当 0 < x − 1 < δ 时， 有
1 > M x−1 1 即 lim = ∞. x→1 x − 1
若在定义中将 ①式改为 f ( x ) > M ( f ( x ) < − M ) , 则记作 lim
x → x0 ( x→ ∞ )
2-4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导(高等数学)
§2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导教学内容：一．隐函数的导数1.隐函数概念：如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的唯一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数．2.隐函数的导数：把方程(,)0F x y =中的y 看作是x 的函数()y x ，利用复合函数求导法则，方程两端同时对x 求导，然后解出y '．二．对数求导法1.对数求导法：就是先在()y f x =的两边同取对数，然后借助隐函数求导法，方程两边同时对x 求导，再整理出y 的导数．2.幂指函数的导数：()()v x y u x =（()0,()1u x u x >≠），（1）如果()u u x =、()v v x =都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数．通过方程两边同取对数，将幂指函数转换成隐函数再求导．（2）利用公式()()v x y u x =()ln ()e v x u x ⋅=变形成复合函数后再求导．三．由参数方程确定的函数的导数1. (),()x t y t ϕψ==都是可导函数，()0,()t x t ϕϕ'≠ =且有反函数)(1x t -=ϕ，函数()y f x =由参数方程(),()(),x t t y t ϕαβψ=⎧ ≤≤⎨=⎩给出，其中t 为参数，则d d d d d d d d d d yy y t t x x t x t =⋅==()()t t ψϕ''.2.如果(),()x t y t ϕψ==都具有二阶导数，且()0'≠t ϕ，则有 22d d d d ()d '()d d d d d ()d '()d '⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭y y t t t x x x x t t t xψψϕϕ d '()1d d '()d t x t t tψϕ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()2()()()()1'()()t t t t t t ψϕψϕϕϕ''''''-=⋅'()3()()()()()t t t t t ψϕψϕϕ''''''-='.四．例题讲解例1.求由方程e x y xy+=所确定的隐函数()y y x =的导数．例2.求由方程2ln x y xy =+所确定的隐函数()y y x =，在0x =处的导数0x y ='．例3.求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数()y y x =的二阶导数y ''．例4.求函数=y例5.已知函数3()2x f x x =-(1)f '．例6.求x xy sin =（0x >）的导数．例7.设2ln(1),arctan ,x t y t t ⎧=+⎨=-⎩求d d y x ，22d d y x ．。
大学高等数学经典课件2-5-19页文档资料
武 汉 科
(2)d 7 (u) v vd uu dv (2)d 8 (u ) vd uu dv v v 2
技
学 院
同学们,如果能将此表从左到右,或从右到左地记熟它们,
数 理
对今后的演算积分是大有好处的.
系
高 等
Байду номын сангаас三. 微分形式的不变性
数
学
与复合函数求导法则相对应的微分运算法则为下面的
电 子
微分形式不变性质.
系
高
等 由于f’(x)和△ x 无关,且 x(x) 所以上式相当(1)式,
数 学
f(x)在点x0可微.且 f(x0)A
电
子
上面表示可微
可导
教
案 定理 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0
可导,且 d|y xx0f(x0)x
武 汉
今后我们把可导和可微不严格区分而混合使用.
科
技 学
高
等 定义 如果函数y=f(x)在点x0的增量能分成两部分的和,其
数 学
中一项为的线性函数A △ x(A与△ x无关),另一项是较△x
电 子
高阶的无穷小, 有 yA x o ( x)
( 1 )
教 案
则称函数y=f(x)在x0点可微,并称A △ x为函数y=f(x)
在点x0的微分 记作 dy|x=x0 或 df(x)|x=x0 即
教 设 y 是由 y=f(u)，u=g(x) 复合而成的x的函数，则由
案
yxyu ux
d y y x d y x u u x d y x u d u d y y u du
武 汉 科
对照 dy=yx’dx, 公式dy=yu’du 说明不论u是自变量还是中
高等数学I(电子)高等数学课件D2_4隐函数524 24隐函数
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
d t d 1 1 140
( rad/ min )
d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
t,
d2 y d x2
1
f (t)
练习: P111 题8(1)
解:
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
《大学高数》课件
不定积分的性质、不定积分的计算方法（换 元法、分部积分法等）。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
定积分运算
定积分的性质、定积分的计算方法（微元法 ）。
03 高级知识
微分方程
总结词
微分方程是描述函数变化率与函数值之 间关系的方程，是高等数学中的重要内 容。
VS
详细描述
微分方程在许多领域都有广泛的应用，如 物理学、工程学、经济学等。通过学习微 分方程，学生可以理解各种实际问题的数 学模型，并掌握求解微分方程的方法，从 而解决实际问题。
课程目标
知识目标
使学生掌握《大学高数》的基本 概念、原理和方法，理解数学在 描述自然现象和社会现象中的作 用。
能力目标
培养学生运用数学工具解决实际 问题的能力，提高他们的逻辑思 维、推理和创新能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 树立正确的数学观，认识到数学 在人类文明发展中的重要地位。
习题1
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$的单调区间。
习题2
利用定积分求圆$x^2 + y^2 = 4$的面积。
习题3
计算$int_{0}^{pi} sin x dx$的值。
习题4
判断级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$的收敛性。
答案与解析
• 答案1： 首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$ ，令导数等于0，解得$x=0$或$x=2$。根 据导数的符号判断单调区间，得到单调递 增区间为$(- \infty, 0)$和$(2, + \infty)$ ，单调递减区间为$(0,2)$。
无穷级数
总结词
无穷级数是高等数学中研究无穷序列的数学分支，它可以用来表示函数、研究 函数的性质和行为。
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
应用数学教学课件2-4
18
2. 4 函数的奇偶性
生活训练营
• 1. 判断下列函数的奇偶性？
• （1） = 3
（2） = 4 − 1
• （3） =
1+ 2
（4） = + 2
• 2（1）已知y = 是偶函数，且 3 = 9，求 −3 的值.
•
（2）已知y = 是奇函数，且 −4 = 5，求 4 的值.
10
2. 4 函数的奇偶性
想一想
• 函数 = 2 ， ∈ [2，4]图像如图所示，它是偶函数吗？为什么？
• 函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称.
11
2. 4 函数的奇偶性
练一练
• 下列区间是否关于原点对称
• （1）；
• （2）（−∞，1）∪（1， + ∞）；
• （3）（−1，1）；
15
2. 4 函数的奇偶性
生活训练营
• 3. 已知函数是奇函数，根据在（-∞，0]上的图像，你能作出[0，+∞）内
的图像？
16
2. 4 函数的奇偶性
生活训练营
• 4. 已知函数y=f(x)是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）
上的图像如图所示，画出它在（-∞，0）上的图像.
17
• （4）{−2， − 1，0，1，2}
• （5）（−1，1]
• （6）（−∞，0）∪（0， + ∞）
12
2. 4 函数的奇偶性
开拓新知
• 小结：判断一个函数 = ( ∈ )奇偶性的步骤如下：
• S1. 判断定义域是否关于原点对称，即当 ∈ 时，是否有 − ∈ ；
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案
y
u
y y ( v lu n v u ) u v ( v lu n v u ) u v 1 ( u v lu n v u )
u
u
例如
武
汉 科
y x c x o u s x , v c x o y s u v 1 ( u v u v lu n )
技
学
院 数
y x co x 1 s (cx o x ssix ln n x )
武 汉 科 技
yy[1(1111)] 2x 1x3 x5 x7
学
院 数 理 系
1(x 1 )x ( 3 )(1111) 2(x 5 )x (7 )x 1x 3x 5x求 y ' ((x ) 0 ,(x ) 0 )
学
电 子
解:
ln y ln(x) (x)
数
学 解:将题设方程两边都对x求导,得到
电
子 教
yxd d y x ex eyd d y x0 d d y xe yy e x x
案
方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的
复合函数,
武 汉
例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的复合函数,对x求导应按
科 技
复合函数求导方法做.
武 汉
x 2 3 x 2 x 2 2 x x 2 x 3 x 2 6 x 2
科 技
2 可把右式展开后求导,也可用复合函数求导.后者方便.
学
院
数 理
y 3 ( 1 2 x ) 3 y 9 ( 1 2 x ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 2 8 x ) 2
系
高 等
学
院
数
理
系
高
等 例2 求由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数的导数.
数
学 解: 对两边都对x求导,我们得到
电
子
y x cx o y )x s ( y ) ( cx o y ) 1 s ( y ) (
教 案
co x y s ) ( co x y s )y (
y cosx(y) 1cosx(y)
高 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数
等 数
导数相关变化率
学 电
一. 隐函数的导数
子
在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值
教 案
时,相应地 总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方
程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作
y=f(x).不过这里的f的具体表 示 式不一定能求得出来. 例
教 案
y ( x) (x)(x)[l n(x)](x)
y
2(x)
武
[(x )(x ) (x )(x )l n(x ) ]2(x 1 )(x )
汉
科
技 学 院 数
y (x ) (x ) [(x )(x )(x )(x )ln (x )] 1 2 (x )(x )
理
系
高
等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
武 如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数,
汉
科 技
对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一
学 院
个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算 的需要,我
数
理 系
们用下面的例题说 明隐函数的求导方法
高
等 例1 求由方程 xy+ex-ey=0 所确定的隐函数的导数 dy/dx
数
学
1 ,y x ( x 1 ) ( x 2 ) ; 2 ,y 3 ( 1 2 x ) 3 ; 3 ,y 5 x 2 3 x x ;
电
x
子 教 案
4,ylnabx; abx
5,y1x; 1x
6,yx(1(1xx))32.
分析:1 可把右式展开后求导,也可利用乘积求导.后者方便.
y x ( x 1 ) x 2 ) ( y , ( x 1 ) x 2 ) ( x ( x 2 ) x ( x 1 )
对于隐含数还有一种求导数的方法 对 数 求 导 法
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ly n v lu n (l y n v lu n ) 1 y v lu n v u
教
1y123 1 5 x
案
y x1 x1 x x(1 x)1 (x)
yx (1 (1 x x ))3 2x(1 1 x)5 1 x (x)(1 (1 x )1 x ( )4 5 x)
同样的问题采用好的方法,不但计算方便而且正确.通过上
武
汉 科
述研究我们知道初等函数的导数仍然是初等函数.而隐函数,
理
系
高 等
例4
求
y
(x1)(x3) (x5)(x7)
的导数
数
学 解： (lnx)1,当x0时，结论成立。
电
x
子 教
当 x 0 时 ,(lx) n [l n x )]( 1( 1 ) 1 x x
案
y (x1)x (3) (x1)x (3)
(x5)x (7) (x5)x (7)
ly n 1 (l x n 1 lx n 3 lx n 5 lx n 7 ) 2
3 用商的求导公式,也可先化简后求导的方法,后者方便
数 学
y 5 x 2 3 xx 5 x 3 x 1 2 . y 5 1 x 2 3
电
x
2
子 教
4 可用复合函数求导或对数性质把函数变形后再求导.后者好
案
yln a b xln a (b) xln a (b)x
a bx
y b b 2ab abxabx(ab)xa (b)x
武 汉
5 (1)可用商的求导方法(2)用乘积求导方法(3)可化简后再求导;
科
技 学 院 数
y 1 1 x x 2 1 ( 1 x x ) 1 2 x 1 y ( 1 2 x )2
理
系
高 6 方法和5一样,用商和乘积的方法不如用对数的方法化 等 数 7 简后求导.
学 电 子
yx (1 x )2 ln y ln x 2 ln 1 ( x ) 3 ln 1 ( x ) (1 x )3
技
学 院
参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方
数
理 系
法得到它的导数.
高 等
例7 设f(x) ＝ x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100) 求 f ‘(0)分析: 本题