单叶双曲面上两族直母线的唯一性
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
4.5.1：单叶双曲面
y
x
h a
h0
h a
如果用平行于 yOz 的平面来截割单叶双曲面 (4.5-1),那么它与用平行于 xOz 的平面来截割所得 结果完全相类似. z
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
xh
y2 z2 h2 2 2 1 2 c a b x h
y
h a
与x轴与y轴分别交于点
a,0,0与(0,b,0),
这四点叫做单叶双曲面的顶点.
1. 单叶双曲面关于坐标 原点、各坐标面、坐标 轴对称
x y z 2 2 1 2 a b c
2 2 2
z z
M (x,y,z)
单叶双曲面与x和y 坐标轴的交点分别 为
0
N
( a,0,0), (0,b,0),
2
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , c b a y h.
x z 2 2 0, 或 c a y b,
这是两条直线
x2 z 2 2 2 0, c a y b. x z 0, a c y b;
因为 a b ，所以椭圆的长半轴为 a 轴为 b 1 h 2 ，从而椭圆焦点的坐标为
c2
h2 1 2 c
，短半
x a 2 b2 y 0, z h.
h2 1 2 , c x2 y2 1, 2 2 2 h h 2 a (1 2 ) b (1 2 ) c c z h.
y2 z2 2 2 1, c (3) b x 0.
这样， 单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动 （大小位置都改变）而产生的， 这个椭圆在变动中 保持所在的平面与 xOy 面平行， 且两对顶点分别 沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动
单叶双曲面与双曲抛物面
（4.7-1） 4.7-
与
（4.7-2） 4.7-
推论1 推论1
对于单叶双曲面上的点， 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线 Back
通过这点. 通过这点.
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 2 = 2z 2 a b (a, b > 0 )
总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一 同族
例题
例1 求过单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + = 1 上的点 ( 6, 2,8 ) 的直母线的方程. 的直母线的方程. 9 4 16
x2 y2 z 2 两族直母线方程为 方程为： 分析: 分析: 单叶双曲面 + = 1 的两族直母线方程为： 9 4 16
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.
单叶旋转双曲面
Back
直纹曲面模型
直纹曲面模型
二、单叶双曲面是直纹曲面
单叶双曲面
x2 y2 z2 + 2 2 =1 2 a b c ( a, b, c > 0)
x y a + b = 2u, (u ∈ R ) u x y = z , a b x y a b = 2v, (v ∈ R) . x y v + = z , a b
（4.7-3） 4.7-
与
（4.7-4） 4.7-
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
【最新精选】解析几何之直纹面
解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。
下面介绍一下直纹面。
定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线上。
这样一族直线称为S 的一族直母线。
简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。
种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。
证明：○1、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：()()22222222222212211211111121,0x y z x z y a b c a c bx z x z y y a c a c b b x z y a c b x z y a c b λλλλλλ+-=⇔-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩………………不全为。
()()()121212112111011010x z x z y y a c a c b b x z y a c b y x z b a c x z y a c b y x z b a c x z a c λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔-⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛+ ⎝⇔以，为未知量的方程组：有非零解。
存在不全为零的，使得22111y b x z y a c b λλλ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩成立。
空间解析几何第三版答案
空间解析几何第三版答案【篇一：空间解析几何复习资料含答案】1. 求点m(a,2. 设 a(?3,3. 证明 a(1,b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点对称点的坐标． x,2)与b(1,?2,4)两点间的距离为29，试求x． 2,3)b(3,1,5) c(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．4. 设?abc的三边?，?，?，三边的中点依次为d，e，f，试用向量表示，，，并证明：??? ．5. 已知：a?i?j?2k，b?3i?j?k求2a?3b，2a?3b．6. 已知：向量与x轴，y轴间的夹角分别为??60，??1200求该向量与z轴间的夹角?．7. 设向量的模是5，它与x轴的夹角为0?，求向量在x轴上的投影．43,5)，c(3,?1,?2)计算：2?3，8. 已知：空间中的三点a(0,?1,2)，b(?1,?4．9. 设a??2,10. 设：??2,0,?1?，b??1,?2,?2?试求a?b，2a?5b，3a?b． ?2,1?，试求与a同方向的单位向量．11. 设：?3?5?2，?2?4?7，?5??4，?4?3?试求（1）在y轴上的投影；（2）在x轴和z轴上的分向量；（3．12. 证明：(?)?(?)??．13. 设：a??3,??220,?1?，b???2,?1,3?求?，(?)． ?????????14. 设a?2i?xj?k，b?3i?j?2k且a?b求x15. 设??0,1,?2?，??2,?1,1?求与和都垂直的单位向量．0)，b(?2,1,3)，c(2,?1,2)求?abc的面积．16. 已知：空间中的三点a(1,1,17. （1）设∥求? （2??1求?18.?3?5，试确定常数k使?k，?k相互垂直．?19. 设向量与互相垂直，(a?c)??3?，(b?c)??6?1?2?3?．20. 设：??3?5，??2??3求a?b21. 设：a?3i?6j?k，b?i?4j?5k求（1）a?a；（2）(3?2)?(?3)；（3）a与b的夹角．?22. 设：(?)?23. 设：a??1,?6?1?．?（1）a?b；（2）a?b；（3）cos(?)． ?1,2?，???1,?2,1?，试求： 24.?3?26?72，求a?b．25. 设a与b相互垂直，?3?4，试求（1）(a?b)?(a?b)；（2）(3a?b)?(a?2b)．26. 设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a27. 已知：求（1）（2）（3）4） ?3?2?，???2，a?b；a?i?b．(?2)?(2?3)；(?)?28. 求与a??2,2,1?b???8,?10,?6?都垂直的单位向量．29. 已知：a??3,?6,?1?，b??1,4,?5?，c??3,?4,12?求(a?c)b?(a?b)c在向量上的投影．30. 设：a?b?c?d，a?c?b?d且b?c，a?d证明a?d与b?c必共线．31. 设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向量a与b的夹角．32. 设：??2,?3,6????1,2,?2?向量在向量与?342，求向量的坐标．?33.?4?3，(a?b)?34. 求过点p0(7,35. 过点p0(1,36. 过点m(1,37. 过点a(3,?6求以?2和?3为边的平行四边形面积． 2,?1)，且以??2,?4,3?为法向量的平面方程． 0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程．?3,2)且垂直于过点a(2,2,?1)与b(3,2,1)的平面方程． ?1,2)，b(4,?1,?1)，c(2,0,2)的平面方程．38. 过点p0(2,1,1)且平行于向量??2,1,1?和??3,?2,3?的平面方程．39. 过点mo（1，?1，1）且垂直于平面x?y?z?1?0及2x?y?z?1?0的平面方程．40. 将平面方程 2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（?3，1，?2）及z 轴；（2）过点a（?3，1，?2）和b（3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点a（3，1，?5）；（4）过点p1（1，?5，1）和p2（3，2，?2）且垂直于x z 面． 42. 求下列各对平面间的夹角（1）2x?y?z?6， x?y?2z?3；（2）3x?4y?5z?9?0，2x?6y?6z?7?0．43. 求下列直线方程（1）过点（2，?1，?3）且平行于向量???3，?2，1?；（2）过点mo(3，4，?2)且平行z 轴；（3）过点m1（1，2，3）和m2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程?x?2y?3z?4?0?x?2y?2?3x?2z?1?0 （1）?；（2）?；（3）? 3x?2y?4z?8?0y?z?4y?z?0???45. 将下列直线方程化成参数式方程?x?6z?1??x?5y?2z?1?0? （1）?；（2）?25． 5y?z?2???y?2?046. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x?y?2z?1?0及x?2y?z?1?0 的直线方程．x?4y?3z??的平面方程． 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1????48. 求通过两直线与的平面方程． 1?12?12147. 求过点（3，1，?2）且通过直线64．求下列各对直线的夹角（1）x?1yz?4x?6y?2z?3????，； 1?2751?1（2）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0，?．?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0?x?7y?z?0 相互平行． ?x?y?z?2?0?x?1yz?1??49. 证明直线与4?1350. 设直线 lx?1y?3z?4?? 求n为何值时,直线l 与平面2x?y?z?5?0 平行？ 1?2n51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0的夹角为52. 设直线l在平面?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面?的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ?． 3?y?z?1?0 x?2z?0??x?2y?z?1?0 与 ??x?y?z?1?0?2x?y?z?0 平行的平面方程． ??x?y?z?054. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0的距离，求它的轨迹方程．55. 直线l:??2x?y?1?0 与平面?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线l与平面??3x?z?2?0的交点，若平行，求直线l与平面?的距离．?x?3?4tx?1yz?5???56. 设直线l经过两直线l1:，l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线l1与l2都?18?3?z??11?10t?垂直，求直线l的方程．57. 已知直线：l1:??x?y?z?1?0?1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相交，求直线l的方程．及点 p(3，?2x?y?z?4?058. 方程：x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．?z2?5x60. 将曲线：? 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程． ?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线：?绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．?z?062. 说明下列旋转曲面是怎样形成的x2y2z2y22x??z2?2；（1???10；（2）（3）（4） x2?y2?z2?1；(z?a)2?x2?y2．434363. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形x2y2z222?1．??1；（3）z?4x；（4）4y? （1）3x?4y?1；（2）32322自测题 (a)(一) 选择题1．点m(4,?1,5)到 x y 坐标面的距离为（）a．5b．4 c．1d．422．点a(2,?1,3)关于y z 坐标面的对称点坐标（）a．(2,?1,?3)b．(?2,?1,3)c．(2,1,?3) d．(?2,1,?3)3．已知向量a??3,5,?1?,b??2,2,2?,c??4,?1,?3?，则2a?3b?4c?（）a．?20,0,16?b．?5,4,?20?c．?16,0,?20? d．??20,0,16?4．设向量?4?2?4，?6?3?2，则(3?2)(?3)=（）a．20 b．?16c．32 d．?325．已知：a(1,2,3),b(5,?1,7),c(1,1,1),d(3,3,2)，则prja．4 b．1 c．cd?ab= （） ?1 d．2 26．设?2????2?，则(?)?(?)?（）a．?i?3j?5k b．?2i?6j?10kc．2?6?10 d．3i?4j?5k7．设平面方程为x?y?0，则其位置（）a．平行于x 轴 b．平行于y 轴 c．平行于z 轴 d．过z 轴．8．平面x?2y?7z?3?0与平面3x?5y?z?1?0 的位置关系（）a．平行 b．垂直 c．相交 d．重合9．直线x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3?0的位置关系（） ?2?73 a．平行 b．垂直c．斜交d．直线在平面内10．设点a(0,?1,0)到直线???y?1?0 的距离为（） ?x?2z?7?0c．a．5 b．(二) 填空题 1611d． 58【篇二：空间解析几何及向量代数测试题及答案】=txt>一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点o(0,0,0),a(1,0,0),b(0,1,1),c(0,0,1)组成的四面体的体积是___??___. 2.已知向量a?(1,1,1),b?(1,2,3),c?(0,0,1),则(a?b)?c=__(-2,-1,0)____.?????????x?y3.点(1,0,1)到直线?的距离是3x?z?0?4.点(1,0,2)到平面3x?y?2z?1的距离是___________. ?x2?y2?z?05.曲线c:?对xoy坐标面的射影柱面是___x2?x?y2?1?0____,?z?x?1对yoz坐标面的射影柱面是__(z?1)2?y2?z?0_________,对xoz坐标面的射影柱面是____z?x?1?0__________.?x2?2y6.曲线c:?绕x轴旋转后产生的曲面方程是__x4?4(y2?z2)_____，曲线?z?0c绕y轴旋转后产生的曲面方程是___x2?z2?2y_______________. x2y2z27.椭球面???1的体积是_____??????____________.9425二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点p(a,b,c)作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解: 设点p(a,b,c)在平面z?0上的射影点为m1(a,b,0)，在平面x?0上的射影???????点为m2(0,a,b)，在平面y?0上的射影点为m3(a,0,c)，则m1m2?(?a,0,c)，???????m1m3?(0,?b,c)x?a??????????????于是m1，m1m2，m1m3所确定的平面方程是?ay?b0?bzc?0 c即 bc(x?a)?ac(y?b)?abz?0 .?x?y?0?x?y?02.已知空间两条直线l1:?,l2:?.z?1?0z?1?0??(1)证明l1和l2是异面直线;(2)求l1和l2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l1的标准方程是v1?{1,?1,0} l2的标准方程是xyz?2??，l2经过点m2(0,0,2)，方向向量v2?{1,1,0}，于110xyz?1??，l1经过点m1(0,0,?1)，方向向量1?10是003???????(m1m2,v1,v2)?1?10?6?0，所以l1和l2是异面直线。
单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线，被广泛用作几何学上形状最核心的概念，在平面几何学中，用于表示复杂的曲线以及许多其他形状。
它被认为是三维空间中表面曲率最大的曲线，其中最重要的曲率有两个，一个是曲率系数，另一个是角度系数。
因此，它在几何学中被认为是一种特殊的曲线，具有它独特的性质。
单叶双曲面的直母线的形状由一个曲面的曲率决定，它的几何形状与它的曲率密切相关，是这个曲面上变形最小的子曲线。
该曲线本身就是一个局部结构，形状取决于曲面整体结构和曲面的曲率分布，并且每一个点处的曲率值都会发生变化，但它们在一定范围内也具有一定的相似性，能够表现出特定的形状特征。
单叶双曲面的直母线具有它独特的性质，它的母点（转折或半径点）是边缘上最大曲率值的点，它是一个与圆轴垂直的半径向量，并且球面线性曲率表示为等距射线取曲面上每个点处的曲率值，它与曲率比直接相关，这使得它可以方便地用来建立诸如应力和应变分布等几何参数。
单叶双曲面的直母线被广泛应用于决定复杂表面的曲率，也可以用作分析曲面的变形情况，同时也用于做计算几何的连接线，而且用于定义几何形状和构建复杂表面。
它的应用范围很广，不仅可以应用于实际制造，例如汽车制造中，还可以用于推理和几何学等理论研究，以提升精密制造的技术水平。
总之，单叶双曲面的直母线是一种具有巨大运用可能的特殊曲线，可以用来表示曲面的曲率和角度系数，并可以应用于实际制造和推理几何学研究，作为精密制造技术发展的主要基础。
4.7 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
悉尼歌剧院
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 ， a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面。它有两族直母线： 是直纹曲面。它有两族直母线：
x z y w a + c = u 1 + b , ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y , a c b x z y t a + c = v 1 − b , 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y , a c b
分析: 分析:
如果曲面 S 上存在一族直线， 上存在一族直线， (1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上; 族中的某一条直线上; (2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 ， a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面.它有两族直母线： 是直纹曲面.它有两族直母线：
x z y w + = u 1 + , a c b ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y a c b x z y t + = v 1 − , a c b 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y . a c b
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z − 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.
解析几何试题
一、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分）1、当两向量a ，b 有等式a b a b +=-成立时，向量a ，b 满足的条件是 . A a ，b 同向 B a ，b 反向 C 2a =2b D a b ⊥2、已知向量a ，b不共线，若7ka b +与4a b +线性相关，则k 等于 .A 4B 7C 28D -283、当两平面523140x y z +++=与28100x my z +-+=垂直时，m 应为 .A 2B 7C 7-D 14 4、直线16:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩与2158:121x y z L --+==-的夹角为 . A 6π B 4π C 3π D 2π5、直线23743x t y t z t =-+⎧⎪=--⎨⎪=⎩与平面422100x y z --+=位置关系是 .A 平行B 垂直C 相交D 直线在平面上6、空间两直线111111c c z b b y a a x -=-=-与222222c c z b b y a a x -=-=-（其中222111::::c b a c b a ≠）的位置关系是 .A 异面B 平行C 相交D 重合7、方程0222222=-+c z b y a x ()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面 B 锥面 C 椭球面 D 双曲面8、二次曲线()0,=y x F 按其中心进行分类，二次曲线22224630x xy y x y -+--+=属于 . A 中心曲线 B 无心曲线 C 线心曲线 D 直线9、球面2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=与xoy 面相切，则其系数必满足关系式 .A 224D F G +=B 224D E G +=C 224E F G +=D 224D G F +=10、曲面的参数方程为()()(),x a u v y b u v u v z uv =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩为参数，则曲面是 .A 单叶双曲面B 双叶双曲面C 椭圆抛物面D 双曲抛物面二、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分） 1、已知三角形三顶点为()3,2,1A ，()1,2,3B ，()8,5,2C 则ABC ∆的面积是 . 2、若0a b c ++=，且5a =，2=b ，3c =，则()a b c +⋅= . 3、如果点(2,1,1)P --关于平面π的对称点为'(2,3,11)P -，那么π的方程是 .4、球面的一条直径的两端点是()0,0,0O ，()4,2,4-P ，则该球面的标准方程是 .5、平面014632=+-+z y x 的法式方程是 .6、点(3,4,1)P -到直线⎩⎨⎧=+=-00y x y x 的距离是是 .7、坐标原点O 关于平面0922=--+z y x 的对称点的坐标是 .8、与平面0932=--+z y x 平行且在Oz 轴上截距等于8的平面方程是 .9、曲线22125160x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转一周生成旋转曲面的方程是为 .10、线心二次曲线02364422=+-++-y x y xy x 的中心直线的方程为 . 三、计算题（请写出详细的解答过程，1、2小题7分，3小题6分，共20分）1、已知{1,0,0},{0,1,2},{2,2,1}a b c ==--=，求一单位向量m ，使得m c ⊥，且m 与,a b 共面.2、确定λ的值使两直线1111:12x y z L λ-+-==与2:11L x y z +=-=相交. 3、二次曲线2224260x axy y x y ++---=，当a 的值取何时为椭圆型曲线、双曲型曲线、抛物型曲线. 四、求方程. （请写出详细的解答过程，每小题8分，共40分）1、求通过直线1129:133x y z L ---==与平面3520x y z +--=的交点，并且与L 垂直的平面方程. 2、求通过点(2,1,0)P -，且又与直线12:213x y z L +-==-垂直相交的直线的方程. 3、试求通过点(0,3,1)P -且与xoy 平面的交线为22160x y z ⎧+=⎨=⎩的球面方程.4、已知圆柱面的准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，母线垂直于这三点所在的平面，求该圆柱面的方程.5、光线沿直线3010x y x z +-=⎧⎨+-=⎩投射到平面:10x y z ∏+++=上，求该光线的反射线所在的直线方程.一、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分） 1、当两向量a ，b 有等式a b a b -=+成立时，向量a ，b 满足的条件是 . A a ，b 同向 B a ，b 反向 C 2a =2b D a b ⊥ 2、已知向量a ，b不共线，若9ka b +与5a b +线性相关，则k 等于 .A 9B 5C 45D -453、当两平面23140x y z +++=与39100x my z -+-+=垂直时，m 应为 .A 15B -15C 10D -104、直线11:112x y z L --==-与平面230x y z +--=的交角为 . A 6π B 4π C 3π D 2π5、直线2994x t y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩与平面347100x y z -+-=位置关系是 .A 平行B 垂直C 相交D 直线在平面上6、已知方程1222222=-+-+-k c z k b y k a x （其中222,,,0c b k a k c b a ≠<>>>）则当k 满足 时，方程表示一双叶双曲面A 2c k <B 22c k b >>C 22b k a >>D 2222b k c a k b <<<<或7、方程222000222()()()0x x y y z z a b c ---+-=()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面 B 锥面 C 椭球面 D 双曲面8、二次曲线()0,=y x F 按其渐近方向进行分类，二次曲线0565222=+-+++y x y xy x 属于 . A 抛物型曲线 B 双曲型曲线 C 椭圆型曲线 D 圆柱型曲线9、若直线的方向角为,,,γβα则下列式子中正确的是 .A 2cos cos cos 222=++γβα B0cos cos cos 222=++γβα C 1sin sin sin 222=++γβα D2sin sin sin 222=++γβα 10、曲面的参数方程为sec cos sec sin 22tan x a y b z c αβππααβπβπα=⎧⎛⎫-<<⎪ ⎪=⎨ ⎪⎪-≤<=⎝⎭⎩，则曲面是 .A 椭球面B 单叶双曲面C 双叶双曲面D 抛物面二、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分）1、已知三角形三顶点为()3,2,1A ，()1,2,3B ，()8,5,2C 则ABC ∆的重心坐标是 .2、若0a b c ++=，且5a =，2=b ，3c =，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a .3、如果点(1,2,3)P --关于平面π的对称点为'(1,4,9)P -，那么π的方程是 .4、球面的一条直径的两端点是()0,0,0O ，()6,2,8P --，则该球面的标准方程是 .5、自原点指向平面326350x y z -++=的单位法向量0n = .6、点(6,7,8)P -到直线00x z x z -=⎧⎨+=⎩的距离是是 .7、坐标原点O 关于平面22120x y z -+--=的对称点的坐标是 .8、与平面0932=--+z y x 平行且通过点()1,2,3的平面方程是 .9、曲线22125160x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕x 轴旋转一周生成旋转曲面的方程是为 .10、中心二次曲线034864322=+--+-y x y xy x 的中心为 . 三、计算题（请写出详细的解答过程，1、2小题7分，3小题6分，共20分）1、若向量3a b +垂直向量75a b -，向量4a b -垂直向量72a b -，求向量a b 与的夹角.2、确定λ的值使两直线3260:4150x y z L x y z λ-+-=⎧⎨++-=⎩与x 轴相交.3、二次曲线222210x axy y x y ++---=，当a 的值取何时为椭圆型曲线、双曲型曲线、抛物型曲线. 四、求方程（请写出详细的解答过程，每小题8分，共40分）1、平面π过Ox 轴，且与平面0:0x y π+=的夹角为3π，求平面π的方程.2、求通过点(1,1,1)P ，且又与直线2:213x y z L +==-垂直相交的直线的方程.3、已知单叶双曲面的轴与三坐标轴重合，且通过椭圆0,141622==+z y x与点(4,M ，求（1）单叶双曲面的方程；（2）该单叶双曲面与平面032=+-z x 的交线对xoy 平面的射影柱面的方程.4、已知圆锥面的顶点在坐标原点O ，准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，且轴线垂直于这三点所在的平面，求该圆锥面的方程.5、设直线20:10x z L y z +=⎧⎨++=⎩与平面:10x y z ∏+++=的交点为P ，在平面∏上求过点P 且垂直于直线L 的直线方程.一、判断题（请将你认为正确的论述在题目后面的横线上写T ，错误写F ，每题1分共10分）1、共面的三个向量中一定有两向量是共线的.2、若0 =⨯b a ，0=⨯c a ，那么0 =⨯c b . 3、若c b c a ⨯=⨯且0 ≠c ，那么b a=. 4、对任意的三个向量a ，b ，c 均有()()c b a c b a ⨯⋅=⋅⨯. 5、对任意的向量a ，b均有()()22b a b a b a -=-⋅+. 6、对任意的向量a ，b ，c 均有()()c b a b a c b a ,,,,=++μλ. 7、由方程191636222=--z y x 所表示的图形是一个单叶双曲面.8、单叶双曲面与双曲抛物面统称为双曲面，它们都有一个对称中心.9、对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.10、二次曲线的渐近线与这二次曲线没有交点.二、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分） 1、当两向量a ，b 有等式b a b a -=+成立时，向量a ，b 满足的条件是 . A a ，b 同向. B a ，b 反向. C a ，b 同向且b a ≥. D a ，b 反向且b a ≥. 2、已知向量a ，b 不共线，若b a k 5+与b a -3线性相关，则k 等于 .A 3.B 5.C 15.D 15-. 3、向量a ，b ，b a⨯共面的充要条件是 . A a ，b 同向. B a ，b 反向. C a ，b 共线. D a ，b垂直.4、当两平面01432=+-+z y x 与01042=+-+z my x 垂直时，m 应为 . A 2. B 7-. C 7. D 14.5、直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=23321t z t y t x 与平面01032=+-+z y x 位置关系是 .A 平行.B 垂直.C 相交 .D 直线在平面上.6、方程0222222=-+c z b y a x ()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面. B 锥面. C 椭球面. D 双曲面.7、将椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+Γ01916:22z y x 绕其长轴旋转所得的旋转曲面的方程是 . A 116916222=++z y x . B 19916222=++z y x . C 11699222=++z y x . D 191622=+y x .8、二次曲线()0,=y x F 按其渐近方向进行分类，二次曲线0565222=+-+++y x y xy x 属于 . A 抛物型曲线. B 双曲型曲线. C 椭球型曲线. D 圆柱型曲线.9、二次曲线522=+y x 在点()1,2的切线方程是 . A 52=+y x . B 52=-y x . C 52=-y x . D 52=+y x .10、球面8222=++z y x 与曲面0222=-+z y x 的交线方程，在下列表示法中错误的是 . A ⎩⎨⎧=+=++z y x z y x 2822222. B ⎩⎨⎧==++28222z z y x . C ⎩⎨⎧=+=+242222z x y x . D ⎩⎨⎧==+2422z y x .三、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分）1、已知三角形三顶点为()3,2,1A ，()1,2,3B ，()8,5,2C 则ABC ∆的重心的坐标是 .2、若0 =++c b a ，且1=a ，2=b ，3=c ，则()=⋅+c b a .3、若()0,,≠c b a ，且0=⋅=⋅=⋅c r b r a r ，则r = . 4、球面的一条直径的两端点是()0,0,0O ，()4,2,4-P ，则该球面的标准方程是 .5、自原点到平面014632=+-+z y x 的距离p = .6、球心在原点且与平面01432=+-+z y x 相切的球面标准方程是 .7、坐标原点O 关于平面0922=--+z y x 的对称点的坐标是 .8、与0932=--+z y x 平行且在Oz 轴上截距等于5的平面方程是 .9、已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+Γ01169:22z y x 与点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,223，则该椭球面的方程为 .10、二次曲线05642222=+--+-y x y xy x 按其中心的分类，该二次曲线属于 . 四、计算题. （请写出详细的解答过程，每小题10分，共50分）1、已知直角坐标系内A ()1,0,1、B ()5,2,2、C ()6,4,3、D ()5,5,5四点坐标，判别它们是否共面？如果不共面，求以它们为顶点的四面体的体积和从顶点D 所引出的高的长.2、求通过直线⎩⎨⎧=+--=--+032032z y x z y x ，且与平面018=+-+z y x 垂直的平面方程.3、已知两直线：521:1z y x l ==，433221:2-=-=-z y x l ，判断两直线是否为异面直线？若为异面直线求两直线间的距离与它们的公垂线方程. 4、已知圆柱面的准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，母线垂直于这三点所在的平面，求该圆柱面的方程.5、求二次曲线0422222=+-+-y x y xy x 在点()1,2的切线方程.一、判断题（请将你认为正确的论述在题目后面的横线上写T ，错误写F ，每题1分共10分）1、一组共线向量一定是共面向量.2、若0=⋅b a，0 =⨯c a 且0 ≠a ，那么0=⋅c b . 3、若c b c a ⋅=⋅且0 ≠c ，那么b a=. 4、对任意的三个向量a ，b ，c 均有()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅. 5、对任意的向量a ，b 均有22b a b a b a -=-⋅+. 6、对任意的向量a ，b ，c 均有()()c b a a c c b b a ,,2,,=+++. 7、由方程1963222=+-z y x 所表示的图形是一个双叶双曲面.8、椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心.9、对于双曲抛物面上，异族的任两条直母线必共面.10、二次曲线()0,=y x F 的非零特征根确定的主方向为二次曲线的渐近方向.二、单项选择题（以下四个选项中只有一个是正确答案，请将其代号填在后面横线上，选错或未选均不得分，每小题2分，共20分） 1、 当向量b a⊥时，下列等式成立的是 A b a b a -=+ B b a b a +=+ C b a b a -=+ D b a b a +=- 2、已知向量a ，b 不共线，若b a 52+与b k a -6线性无关，则k 不能等于 .A 2.B 6.C 15.D 15-. 3、对于非零向量a ，b，在何时()b a b a ⨯,,取得最大值 . A a ，b 同向. B a ，b 反向. C a ，b 共线. D a ，b垂直.4、当两平面01432=+-+z y x 与01062=+-+z my x 平行时，m 应为 . A 2. B 3 . C 4. D 6-.5、直线32231+=--=+z y x 与平面01032=+-+z y x 位置关系是 . A 平行. B 垂直. C 相交 . D 直线在平面上.6、方程()()()0321222222=+--+-c z b y a x ()+∈R c b a ,,所表示的曲面是 . A 柱面. B 锥面. C 椭球面. D 双曲面.7、二次曲线()0,=y x F ，其非渐近方向的个数有 .A 0个.B 1个.C 2个.D 无数多个.8、将双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-Γ01916:22z y x 绕实轴旋转所得的旋转曲面的方程是 .A 19916222=--z y x .B 116916222=+-z y x .C 19916222=+-z y x . D 191622=-y x9、二次曲线136422=+y x 在点()3,3的切线方程是 . A 1233=+y x . B 1233=-y x . C 1233=-y x . D 1233=-y x .10、二次曲线010*********=+-++-y x y xy x 按其渐近方向进行分类，该二次曲线属于 .A 双曲型曲线.B 抛物型曲线.C 椭球型曲线.D 圆柱型曲线.三、填空题（请将正确答案写在题目后面的横线上，每小题2分，共20分）1、已知三角形三顶点为()()3,2,1,,=i z y x P i i i i ，则321P P P∆的重心的坐标是 . 2、若0 =++c b a ，且1=a ，2=b ，3=c ，则=⨯+⨯+⨯a c c b b a . 3、若c b a ,,是两两相互垂直且成右手次序的三个向量，且1=a ，2=b ，3=c ，，则()b c a = .4、球面的方程是05442222=++--++z y x z y x ，则该球面的球心坐标是 ，半径是 .5、自原点指向平面014632=+-+z y x 的单位法向量0n = .6、两平行平面014632=+-+z y x 与07632=--+z y x 的距离p = .7、坐标原点关于平面0922=--+z y x 的对称点的坐标是 .8、与0932=--+z y x 平行且通过点()1,1,1的平面方程是 .9、二次曲线054222=+-++-y x y xy x 按其中心的分类，该二次曲线属于 . 10、抛物线px y 22=的主直径方程是 .四、计算题. （请写出详细的解答过程，每小题10分，共50分）1、已知直角坐标系内A ()1,1,1、B ()4,1,3-、C ()6,1,5、D ()5,2,4四点坐标，判别它们是否共面？如果不共面，求以它们为顶点的四面体的体积和从顶点所引出的高的长.2、设一平面与已知平面0332=--+z y x 平行，且与三个坐标平面围成的四面体的体积为6，试求该平面的方程.3、已知两直线：0111:1+=-=z y x l ，12111:2z y x l =-=-，判断两直线是否为异面直线？若为异面直线求两直线间的距离与它们的公垂线方程.4、已知圆锥面的顶点在坐标原点O ，准线是过点A ()0,0,1、B ()0,1,0、C ()1,0,0的圆，且轴线垂直于这三点所在的平面，求该圆锥面的方程.5、求二次曲线0183622=+++--y x y xy x 的渐近线.。
单叶双曲面直母线族中平行直线的性质
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先 在 单 叶 双 曲 面 上 取 一 点 为计 算 方便 不 妨 将 此 点取 成 曲面 与
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4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
（5）
如果
那么由(5)知必有
这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.
因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.
同样可以证明由直线
（6）
(其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当 和 的情形)
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面.
证:
单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
（4.7-1）
其中 不同时为零。当 时，各式除以 式子就化为(3)；当 时便化成(4)； 当 时便化成(4`).
我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
（1）
其中 为正常数，
把（1）改写为
或者
（2）
(2)与(1)等价吗?
等价!
（2）
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
改写为:
(2)/
(3)
(3)与(2)等价吗?
不等价!
对于给定的u, (3)表示什么曲线?
直线
（4）
与
（4）/
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
（2）
(2)/
(1)
(3)
也就是说
(3)
与
高校数学专业解析几何课程思政案例探究
高校数学专业解析几何课程思政案例探究作者：刘红霞来源：《科教导刊》2021年第32期摘要大学所有课程，都肩负着将课程思政融入课堂教学的责任。
数学文化，蕴含了丰富的哲学思想，同时又指导着数学的发展。
结合烟台大学“课程思政”建设内容，以解析几何为例，研究了基于数学文化的高等院校数学专业课程思政元素的探究和实施，让高校数学专业课与思政理论课协同共进，实现协同育人目标。
关键词专业课程;解析几何;数学文化;课程思政中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdk.2021.32.047Case Study on Analytic Geometry Curriculum Ideological andPolitics of College Math MajorLIU Hongxia（School of Mathematics and Information Science， Yantai University， Yantai， Shandong 264005）Abstract All the courses in universities shoulder the responsibility of integrating ideological and political education into classroom teaching. Mathematical culture contains rich philosophical thought and guides the development of mathematics at the same time.Taking analytic geometry as an example，this paper studies the exploration and implementation of ideological and political elements in the curriculum of mathematics specialty in high school based on mathematical culture， let the mathematics and ideological and political theory courses in colleges and universities advance together to achieve the goal of cooperative education.Keywords professional course; analytic geometry; mathematical culture; curriculum ideological and politics高校思想政治工作既是高校思想政治工作者和思政课程的任务和使命，也是高校全体教职工、所有课程的任务和使命。
单叶双曲面上两族直母线的唯一性
单叶双曲面上两族直母线的唯一性刘德金;姜宏彬【摘要】证明了单叶双曲面上只要有直线,则一定是大家熟知的u族和v族直母线,从而解决了单叶双曲面上已知两族直母线存在的唯一性问题,简化了以往对该问题的讨论。
%This paper shows that if only there is straight line on the uniparted hyperboloid,then it must be rectilinear generator of u-family or v-family as well known,then the uniqueness about u and v-family rectilinear generator of uniparted hyperboloid is solved,and discussion about it in other papers are simplified.【期刊名称】《潍坊学院学报》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】3页(P37-39)【关键词】单叶双曲面;直母线;腰椭圆【作者】刘德金;姜宏彬【作者单位】德州学院,山东德州253023;山东莱阳师范学校,山东莱阳265200【正文语种】中文【中图分类】O182.2文献［1］给出了单叶双曲面的两族直母线这两族直母线是把（1）改写为再分解因式得令得到的文献［2］提出的问题是，将积等式（3）改写成其它比例式，如也可以得到直母线族，它与u族和v族直母线（2）有什么关系？另一方面，单叶双曲面方程（1）也可变为分解因式得从它出发也可以得到与前面完全不同的比例式，如由此又可得到两族直母线那么这两族直母线与u族和v族直母线（2）又有什么关系？对于该问题，文献［2］比较详细地分析证明了无论由那种比式得到的直母线族其实都是文献［1］中给出的u族和v族直母线（2）。
但笔者认为，这并没有解决两族直母线存在的唯一性问题，譬如还有没有不是利用上述比式而是由其它形式导出的直母线？本文拟证明如下的结论，该结论彻底证明了单叶双曲面上已知两族直母线（2）存在的唯一性问题，并且大大简化了以往对该问题的讨论。
单叶双曲面与双曲抛物面
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
,
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
定理 双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z ，
是直纹曲面.它有两族直母线：
a,b 0
x
y b
z,
u
R
（4.7-3）
与
x a
y b
2v,
v
x a
y b
z,
v
R
.
（4.7-4）
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛 物面上异族的任意两直母线必相交. 定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总 是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平 面.
通过这点.
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三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
实例兰州第二热电厂的冷却水塔的形状是单叶双曲面
F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0，F 2 ( x1 , y1 , z1 ) 0
A
从这四个等式中消去参数 x1 , y1 , z1 ，最后得一个三元方程
F ( x, y, z ) 0
S
M1
就是所求的锥面的方程. 这里消去参数的几何意义与柱面的情形类似，就是让点 M 1 跑遍准线上的所有点，从而 让动直线 “扫”出符合要求的锥面.
117 ，即 3
M1 (1, 2,1) 是 S 上的定点，点 M 1 到 l 的距离
设 M ( x, y, z ) 是圆柱面上任意一点，则 M 到轴 l 的距离为
| M 0 M v | | {x, y 1, z 1}{1,2,2} | 117 |v| 3 3 化简整理就得 S 的方程为 8x 2 5 y 2 5z 2 4xy 4xz 8 yz 18y 18z 99 0
推论 一个关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程总表示一个顶点在 ( x0 , y0 , z 0 ) 的锥 面. 证 设有 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程 F ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0 作坐标变换 x x x0 , y y y0 , z z z0 ，则(*)化为 F ( x, y, z) 0 (**)为齐次方程，故 F ( x, y, z) 0 表示以 O(0,0,0) 为顶点的锥面. 从而 F ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0 表示顶点在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的锥面.
x2 ( y 1)2 ( z 1)2 14 与 过 已 知 点 M1 (1, 2,1)
x 2 y 2 z 3 0 的交线，即准线圆 是
二次直纹曲面讲义
单页双曲面和双曲抛物面 的直纹性的相同之处
? 对任意点每族直母线中各有唯 一一条直母线通过该点
? 两族直母线无公共直线
? 所有直母线都在两族中
单页双曲面和双曲抛物面 的直纹性的不同之处
? 单页双曲面异族直母线可能相交 也可能平行
? 双曲抛物面异族直母线都相交
? 单页双曲面同族的任意三条直母 线是都不会平行于同一平面
2 2
?
k2 b2
?
2z
??y ? k
为抛物线（对称轴平行 与z轴，开口为 z轴正向
大小形状与
k 无关，顶点为（
0,
k
,
-k 2b
2 2
）
顶点所在的抛物线方程 为????
y2 b2
?
2z）
??x ? 0
抛物线沿抛物线平行移动
双曲抛物面的截痕（用平行于yoz平面截）
双曲抛物面方程
x2 a2
?
y2 b2
? 15th Asian Games hosted by Qatar in December 2006
The world's first hyperboloid lattice 37-meter water tower by Vladimir Shukhov, All-Russian Exposition, Nizhny Novgorod, Russia, 1896
Félix Candela（结构建筑师）
Second Life (第二生命)
There are only 3 doubly ruled surfaces: The hyperboloid, hyperbolic paraboloid, and plane.
单叶双曲面与双曲抛物面
锥面有什么共
平面是直纹曲面；
有没有更同复的杂特的征直呢?
柱面和锥面都是直纹曲面；
纹曲面呢？有哪些 二次曲面可能是直
椭球面不是直纹曲面；
纹曲面呢?
双叶双曲面不是直纹曲面；
椭圆抛物面不是直纹曲面.
例(教材P153)
求直线
：x 2
y 1
z 1 0
绕直线
l
:
x
y
z
旋转所
得的旋转曲面的方程.
单叶旋转双曲面
分析: 单叶双曲面 x2 y2 z2 1 的两族直母线方程为：
9 4 16
w
x 3
z 4
u 1
y 2
,
与
u
x 3
z 4
w 1
y 2
t
x 3
z 4
v 1
y 2
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线
通过这点.
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三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
单叶双曲面与双曲抛物面直母线
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线DOI : 10. 13853 /j . cnki . i ssn. 1672 -3708. 2000. 06. 006 第年(X X 月卷第6期1o) 台州师专2 学报l f o a 侧T ll 2 u 知山2l o、N6 eO .l力a(U g J nee.e XX (e单叶双曲面与双曲抛物面的直母线董大伦台州师( 范专科学校数学系浙江临海,’31 7 仪旧: 摘要对单叶双曲面与双曲抛物而的直母线的一些性质作进一步的探讨得到儿个结果,。
关键词: 单叶双曲而; 双曲抛物而; 直母线中图分类号:8 2 1文献标识码:A文章编号:!7 o一7 5 l( l2 仪刃)肠一仪犯0一。
: 文【] 给出了单叶双曲面与双曲抛物面的直母线如下性质l单叶双曲面或双曲抛物面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线的交点必共面而且双曲抛物面的这些公垂线是一族共面的平行线本文沿用【] 中的记号及名称对直母线性质进一步深人探讨l, 。
,。
命题1单叶双曲面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线。
的交点轨迹是椭圆( 或圆): 证明设单叶双曲面的方程为护一十乒护一护止一一“(l)由〔l] 知直母线心. 护L X..1二e口二~,.下、+盯J , `“ 0 、了、`尹万`,=u o kl +下U b):l “ 0、丁“三、=ez1 _’工’向其同族其他直母线e r L lw 一X 住:.了/,.、+吸、乙矛Z 护了、.一 C一=u又l +下OuU笋u o( 兰u三)=I _土b所引公垂线的交点在平面加( 。
2 62e Z a Z+62。
2 一。
’。
, )( 吕。
一x)二+Za caZ占2+。
2`夕一占2 。
,)。
少+吞(。
2 占2+吞2 。
, ++ )( 孟ul):=o(2 )上。
为方便我们将方程( 2 ) 简记作Z二。
,众a 2a 2+B丫Z + +(3 )Z。
解析几何第三章习题及解答
解析⼏何第三章习题及解答第三章常见曲⾯习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由⽅程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲⾯是⼀球⾯，求出它的球⼼坐标和半径。
证明：将⽅程配⽅得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到⽅程表⽰球⼼是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的⽅程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的⼀个球⾯和⼀个平⾯的交线表⽰，设过该三点的球⾯⽅程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=??++=??++=?球⾯⽅程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平⾯⽅程是132x yz ++=，所以所求圆的⽅程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ?++-+-+-++=?++-=? 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ?=?++?=∈-∞+∞?++??=?++?在⼀球⾯上，并此球⾯⽅程。
证明：因为曲线满⾜2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在⼀个球⾯上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的⽅程（1）到两定点距离之⽐等于常数的点的轨迹；（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3）到定平⾯和定点等距离的点的轨迹。
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作者简介 ： 刘德金 （９ ７一） 男． １５ ， 山东武城人 ， 州学院数 学系教授 。研 究方 向： 德 几何与一般拓扑的教学与研 究。
一
３ ７
潍坊 学院学报
２ １ 年 ４月 ０２
由此 又可得 到两 族直母 线
，
“
（＋ 一（互 和， ｛＋ 一（ｘ 詈 ＋ ） 詈 一 ） ａ 族 口 【 叫１ ） 【 ｚｔ＋ ） 甜 一一 （ 一 一＿（詈 （ ｃｔ
且大 大简 化 了以往对 该 问题 的讨 论 。
结论 证明
单 叶双 曲面上 只要 有直线 ， 它一定 是 （） Ｕ族或 族 直母线 中 的直线 。 则 ２中 若 一 直 线 是 单 叶 双 曲 面 （ ） 的 直 线 ， 它 一 定 与 ｚ 平 面 相 交 ， 且 交 点 在 腰 椭 圆 １上 则 ０ 并
第 １ 第 ２期 ２卷
２１ ０ ２年 ４月
潍 坊 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｅｆｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＷ ｉ ｇ Ｕｎｖ ｒ ｉ ａ ｙ
Ｖｏ．１ ． １ ２ Ｎｏ ２ Ａｐ ． ０ ２ ｒ２ １
单 叶双 曲面 上 两 族 直 母 线 的 唯 一 性
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双 曲 面上 已知 两族 直母 线存 在 的唯 一性 问题 ， 简化 了以往 对该 问题 的讨论 。
／， ●
一
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一
Ｌ
＿ ｌ
关键 词 ： 叶双 曲面 ； 单 直母 线 ； 椭 圆 腰 中图分 类号 ： ８ ． ０１ ２ ２ 文献标 识码 ：Ａ
６ 文章 编号 ：６ １ ４ ８ （０ ２ Ｏ —０ ３ 一Ｏ 和 １７ － ２ ８２ １ ）２ ０７ ３
［］ ３李世 国． ｕ Ｃ Ｄ高级开发技术 ： Ｒ Ａｔ Ａ ｏ Ａ Ｘ编程及应用［ ． Ｍ］ 北京 ： 机械工业 出版社 ，９９ １９． ［］ ４王金敏 ， 崔奇 ， 方沂． 一种基于 Ｏ ｊ ｔ Ｒ ｂ ｃＡ Ｘ技术 的扫掠体 求解算法［ ． ｅ Ｊ 工程 图学学报 ， ０ ，６ ：ｌ ５ ］ ２ ５ （）１一１． ０ ［］ ５ 张先宏， 彭颖红 ， 阮雪榆． Ｏ ｊ ｔ Ｒ 用 ｂ ｃ Ａ Ｘ建 立复 杂零 件模 型的关键 技术研究［］模具技术 ， ０ ，１ ：一３ ｅ Ｊ． ２ １（）ｌ ． ０
Ｌ Ｕ Ｄ － ｎ ＪＡ Ｇ Ｈｏ ｇｂｎ Ｉ ｅ ｉ。 Ｉ Ｎ ｎ －ｉ ｊ
（ ｚ ｏ ｎ ｖｒｉ Ｄｅ ｈ ｕ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｙ。Ｄｅ ｈ ｕ ２ ３ ２ ｚ ｏ ５ ０ ３，Ｃ ｉ ａ ｈ ｎ ；Ｌ ｉ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｃ ｏ ｆＳ ａ ｄ ｎ ａ ｙ ｎ ｒ ｌ ｈｏ ｌ ｈ ｎ ｏ ｇ，Ｌａｙ ｎ ６ ２ ０，Ｃｈｎ ） Ｓ ｏ ｉａ ｇ２ ５ ０ ｉａ
（ ４ １）
由此 可见 ， 向（ ２ 平行 于单 叶双 曲 面 族 中直母 线 的方 向（ ３ 或 族 中直母线 的方 向（ ４ 。 证 毕 。 方 １） １） １ ）
参考文献 ：
Ｅｉ ｌ 吕林根， 许子道． 解析几何Ｅ ． 版． Ｍ］３ 北京 ： 高等教 育 出 社，０２ ｌ８ ２． 版 ２０ ：２—１９
ｗ
７
对于该 问题， 文献［ ］ ２ 比较详细地分析证 明了无论 由那种比式得到的直母线族其实都是文献［ ］ １ 中给 出的 Ｕ族和 族直母线 （） ２ 。但笔者认为， 这并没有解决两族直母线存在的唯一性 问题， 譬如还有没有不
是利 用上述 比式而是 由其 它形式 导 出的直母 线 ？ 本文 拟证 明如下 的结 论 ， 结论彻 底证 明 了单叶 双 曲面 上 已知 两 族直 母 线 （ ） 在 的唯 一性 问题 ， 该 ２存 并
因此 ， 样 的直 线方 程可设 为 这
ｊ 。。。 ｆ 一ｂ一１ ＿ 上 Ｉ一０ ｚ
ｌ
。
ｒ — ０ Ｘ ｔ ＋
ｙ＝ ｙ ＋ Ｙｔ ｏ
（） ８
ｌ＝Ｚ ｔ
其 中 （。Ｙ ，） ，。 ０ 是腰椭 圆上 的点 ， 即
弦 一 Ｘ＋ Ｏ Ｚ
【＝ ＝ 。＝ ｏ
从 它 出发 也 可 以得 到 与 前面完全 不 同 的 比例式 ， 如
（ ６）
筮 一 ： 和
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＋ 羔
Ｃ
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１ ＋
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， ＝＝ —一 源自ｂ 一＝＝ａ
１ － ＋
“
ｘ 芳 叫 一
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芳手 ｆ ’ ） （ 一
＊ 收 稿 日期 ：０ １ １一 １ ２ １— Ｏ ２
Ｉ］ － ￣立． 叶双 曲面直母 线性质研 究补遗ｌ］ 曲靖师 范学 院学报 ，０ ２ ２ （ ） ５ ２ 单 －． Ｊ ２０ ， １３ ： —８
Ｔｈ ｉ ｅ ｅ ｓＡｂ ｕ ｗｏ Ｆａ ｉｉｓＲｅ ｔｌｎｅ ｒ ｅ Ｕｎ ｑｕ ｎ ｓ ｏ ｔｔ ｍ ｌｅ ｃ ｉｉ ａ Ｇｅ ｅ ａ ｏ ｆＵｎ ｐａ ｔ ｄ Ｈｙ ｅ ｂ ｌ ｉ ｎ ｒ ｔ ｒｏ ｉ ｒｅ ｐ ｒ ｏ ｏ ｄ
一
要证 （ ） Ｕ族 或 ７族直母 线 中的直 线 ， ８是 ９ 只须证 明 （ ） ８ 一定 是 （ ０ 或 （ １ 即可 。 因为 （ ） （ ０ 或 （ １ １ ） １） ８、１） １）
都过 腰椭 圆上 的点 ， 以这 又 只需证 （） 所 ８的方 向与 （Ｏ 或 （１的方 向平行 即可 。 １ ） １） 事实 上 ，（） 单 叶双 曲面 （） ， ８在 １上 则对 于任 意 ｔ 有
Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ｕ ｉａ ｔ ｄ ｈ ｐ ｒ ｏ ｏ ｄ ｅ ｔｌ ｅ ｒｇ ｎ ｒ ｔ ｒ ｏ ｇ ｌ ｐ ｅ ｙ ｒ ｓ ｎ ｐ ｒｅ ｙ ｅ ｂ ｌ ｉ ，ｒ ｃ ｉ ｎ ａ ｅ ｅ ａ ｏ ，ｇ ｒ ｅ ｅ ｌ ｓ ｉ ｉ
（ 责任 编辑 ： 乃生 ） 刘
（ 接第 ３ 上 ０页 ）
）＋ ｙ ＋ ） （ ｏ Ｘｔ ２ （ ｏ Ｙｔ ｚ ｘ＋
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一
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ａ ｚ
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由（ ） ９ 得
２ ＋ ） （ 一 ｔ 。 （ ＋ ） ＋ ｚ 三
因为 ｔ 是任 意 的 ， 以 所
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十 ， 一 一０
由此得
ｘ ：Ｙ ：ｚ＝ 一 ｏ 。Ｘ Ｙ Ｏ：±
一
（ 州学 院 ，山东 德
德 州 ２ ３ ２ ；山东莱 阳师 范学 校 ，山东 ５ ０３ 一
一
莱 阳 ， ６ ２ ０ ２ ５０ ）
ｌ
ｌ ｌ
、 、 ｌ● ，
—
摘 要 ： 明 了单叶双 曲面上 只要有 直 线 ， 证 则一定 是 大家 熟知 的 ｕ族 和 Ｖ族 直母 线 ， 而 解决 了单 叶 从
ｆ
１— Ｚ ＿ ． Ｚ — ｂ
上
王 上 羔
ａ ｆ
ａ
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也可 以得 到直母 线 族 ， 它与 “族 和 族 直母线 （ ） ２ 有什 么关 系 ？ 另一 方 面 ， 叶双 曲面 方程 （ ） 可变 为 单 １也
分解 因式 得
（ （一 一 詈 （ ｘ ＋ ） ）（ ）一 ＋ ）
、 、 ●● ／
一
旦训
个
旦叫
文 献［ ］ 出 了单 叶双 曲面 １给
三
（ ） １
，●●●●● ●●●●，、、●● ●●●●●
的两族 直母 线
族
ｌ
＋ ） ＋ ） 和 一（
＼ ） ＼ Ｊ
一
１
鉴一
一
（ ２）
１ ） ＋
这两族 直母 线是 把 （ ） １ 改写 为 一 一 １ 一
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒｃ ：Ｔｈｓｐ ｐ ｒｓ ｏ ｈ ｔｉ ｏ ｌ ｈ ｒ ｔａｇ ｔｌ ｅｏ ｈ ｎｐ ｒｅ ｙ ｅｂ ｌｉ ，ｔ ｅ ｔ ｓ ｅｒｃｉｎ ａ ｅ ｅ ａ ｉ ａ ｅ ｈ ｗｓｔａ ｆ ｎ ｙｔ ｅｅｉ ｓｒ ｉｈ ｉ ｎ ｔ ｅｕ ｉａ ｔｄｈ ｐ ｒ ｏｏｄ ｈ ｎｉ ｍｕ ｔ ｅ ｔ ｉｅ ｒｇ ｎ ｒ — ｓ ｎ ｂ ｌ ｔｒｏ —ａ ｌ ｒｖ ｆｍ ｉ ｓｗｅｌｋ ｏ ｏ ｆｕ ｆｍｉ ｏ －ａ ｌ ａ ｌ ｎ ｗｎ，ｔ ｅ ｈ ｎｑ ｅ ｅ ｓａ ｏ ｔＵａ ｄ ｖｆｍｉ ｅｔｌ ｅ ｒｇ ｎ ｒ ｔｒｏ ｎｐ ｒｅ ｙ ｅ — ｙ ｙ ｈ ｎ ｔｅｕ ｉｕ ｎ ｓ ｂ ｕ ｎ －ａ ｌ ｒｃｉｎ ａ ｅ ｅ ａｏ ｆｕ ｉａｔｄ ｈ ｐ ｒ ｙ ｉ ｂ ｌｉ Ｓｓ ｌｅ ｏｏｄ ｉ ｏ ｖｄ。ａ ｄ ｄｓ ｕ ｓｏ ｂ ｕ ｔｉ ｔ ｅ ａ ｅ ｓａ ｅｓｍｐｉｉｄ ｎ ｉｃ ｓ ｉｎ ａ ｏ ｔｉ ｎｏ ｈ ｒｐ ｐ ｒ ｒ ｉ ｌ ｅ ． ｆ
经 过点 （ 。Ｙ ， ） ｚ ，。 ０ 的 族 中的直线 为
㈤
ｆ＋ ） ＋ ）ｏ ＋ ） （ 警（ 詈一 （ 詈 ｘ
（０ １）
【 口詈一 ＋ ）一） ＸＸ ）（警（ ｎ。 ｏ一 、 ｛
经过 点 （ 。 ， ） ｚ 。 Ｏ 的 族 中的直线 为 ，
１警）詈 一 ｆ ） （一 ） 詈一 ）＋ ） （ （ ）（ 詈一 （ （ 一 ＋ 詈
再分解 因 式得
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（＋ ） 一 ）（ ）一 ） 詈 詈 （ 一 （ 詈 ＋
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１一
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（） ４
得 到的文 献 ［］ 出 的问题 是 ， 积等 式 （ ） 写成其 它 比例式 ， ２提 将 ３改 如
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Ｈ
ｎ Ｃ
１ 一
一
（ ） ５
５ 结束 语
由于三维 扫掠 实体 的扫 掠边 界包 络 曲面 的数 学 表达 式 求 解 十分 困难 ， 成 目前 诸 多大 型 通 用商 业 建 造 模 软件在 以三维 曲面 或 实体 为扫 描 基 体 的扫 掠 实 体 建 模 方 面 存 在 功 能 空 缺 。本 文 引 入 ＯｂｅｔＡＲ 技 ｊｃ Ｘ 术， 为此类 问题 提供 了一 种解 决思 路 ， 通 过 两个 实 例 演示 了该 思 路 的可 行 性 。Ｏｂｅｔ Ｘ 开发 技 术使 并 ｊｃ ＡＲ 得 ＡｕｏＣ ｔ ＡＤ在包 含扫 掠特 征 的复杂 零件 造 型方面 走在 了其 他设计 软 件 的前 列 。