高考数学 热点难点精讲解析 2.9函数与方程

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.9函数与方程1、零点的判定 ○相关链接○（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。

（2）用定理：零点存在性定理。

注：如果函数()y f x =在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，但()()0f a f b <g 不一定成立。

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断 ○例题解析○〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。

（1） f(x)=x 2-3x-18,x ∈[1,8]; （2） f(x)=log 2(x+2)-x,x ∈[1,3]分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。

解答：（1）方法一： ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x 2-3x-18, x ∈[1,8]存在零点 方法二：令f(x)=0得x 2-3x-18=0，x ∈[1,8]。

∴ (x-6)(x+3)=0,∴x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x 2-3x-18, x ∈[1,8]存在零点（2）方法一：∵f(1)=log 23-1>log 22-1=0,f(3)=log 25-3<log 28-3=0,（3） ∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log 2(x+2)-x,x ∈[1,3]存在零点。

时，两图象有一个交点，因此f(x)=log 2(x+2)-x,x ∈[1,3]存在零点。

注：(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断.(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.2、函数零点个数的判定 ○相关链接○函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b ］上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.○例题解析○判断函数232()43f x x x x =+-在区间[]1,1-上零点的个数，并说明理由。

分析：求(1),(1)f f -的值→判断函数在[]1,1-上的单调性→函数零点个数。

解答：[][][]2227213(1)410,(1)4103333()1,191()4222(),22911()2()1,1()1,1f f f x f x x x x x f x f x f x -=-++=-<=+-=>∴-'=+-=--'-≤≤≤≤∴-∴-Q 在上有零点。

又当时，0，在上是单调递增函数，在上有只有一个零点。

注：在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.3、与二次函数有关的零点分布问题 ○相关链接○设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件： 根的分布（m n p <<且,,m n p均为常数）图象满足的条件12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ 12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ 12x m x <<[()0f m <12,(,)x x m n ∈02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 12m x n x <<<()0()0()0f m f n f p >⎧⎪<⎨⎪>⎩只有一根在(),m n 之间02b m n a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩或()()0f m f n <g○例题解析○（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求褛a 取值范围。

分析：（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。

解答：（1）①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1②方法一：方程思想若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+ x2=-2m, x1·x2=3m+4,故只需()()()2121244340(1)10(1)10m mx xx x⎧∆=-+>⎪+++>⎨⎪++>⎩⇔()2340412201534210m m m mm mmm m⎧-->><-⎧⎪⎪-+>⇔<⎨⎨⎪⎪>-++-+>⎩⎩或，故m的取值范围是{}|51m m-<<-方法二：函数思想若f(x)有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足()244340212(1)0m mmf⎧∆=-+>⎪⎪->-⎨⎪->⎪⎩⇔234041112340m m m mmm m⎧-->><-⎧⎪⎪<⇔⎨⎨⎪⎪-++>⎩⎩或m<1m>-5，故51m-<<-∴m的取值范围是{}|51m m-<<-。

（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根，令g(x)= |4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。

故需满足0<-a<4,即-4<a<0.∴a 的取值范围是（-4，0）。

4、由函数零点的存在情况求参数的取值○相关链接○已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；○例题解析○〖例〗(2012·临沂模拟)已知函数f(x)=-x 2+2ex+m-1,()().=+>2e g x x x 0x(1)若g(x)=m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【方法诠释】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.解析：(1)方法一：(),=+≥=22e g x x 2e 2e xQ 等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+∞)，因此，只需m ≥2e,则g(x)=m 就有零点.方法二：作出()()=+>2e g x x x 0x的大致图象如图：可知若使g(x)=m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出()()=+>2e g x x x 0x的大致图象.∵f(x)=-x 2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e 2，∴其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e 2.故当 m-1+e 2>2e,即m>-e 2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即 g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(-e 2+2e+1,+∞).注：有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。