2021届江苏省南京市第二十九中学新高三上学期9月调研考试数学试卷及答案
2020年9月江苏省南京市普通高中2021届高三毕业班学情调研考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省南京市普通高中2021届高三毕业班上学期学情调研考试数学试题(解析版)2020年9月注意事项：1．本试卷共6页,包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分,考试时间为120分钟．2．答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时,选出每小题的答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内,在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0},B＝{x|1＜x＜3 },则A∩B＝A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}解析：集合A＝{x|x2－x－2＜0}={x|-1<x<2},A∩B＝{x|1＜x＜2} ,答案选C. 2．已知(3－4i)z＝1＋i,其中i为虚数单位,则在复平面内z对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：z=()()()()25714343431431iiiiiii+-=+-++=-+,z对应的点位于第二象限,答案选B.3．已知向量a ,b 满足|a |＝1,|b |＝2,且|a ＋b |＝ 3,则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3解析：|a ＋b |2=|a |2+2a ·b +|b |2＝5+4cos θ=3,解得[]πθθ，，021cos ∈-=,所以32πθ=,答案选D. 4．在平面直角坐标系xOy 中,若点P (43,0)到双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4C ． 2D ． 3解析：双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐进线方程为3x ±ay=0,则点P 到该渐进线方程的距离为6333422=+⋅=a d ,解得a 2=3,所以椭圆的离心率为2393=+==a c e ,故答案选A.5．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．若2b cos C ≤2a －c ,则角B 的取值范围是A ．(0,π3]B ．(0,2π3]C ．[π3,π) D．[2π3,π) 解析：因为2b cos C ≤2a －c ,所以由余弦定理可得abc b a b 22222-+⋅≤2a －c ,化简得ac ≤a 2+c 2－b 2,即21cos ≥B ,因为()π，0∈B ,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈30π，B ,答案选A. 6．设a ＝log 4 9,b ＝2－1.2,c ＝(827)－13,则 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 解析：由题意b ＝2－1.2<02=1,a ＝log 4 9=log 2 3=log 2 9＞23log 222=,c ＝(827)－13＝。
2021年高三上学期9月调研数学(文)试卷含解析
2021年高三上学期9月调研数学（文）试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=__________．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是__________．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=__________．4．计算÷=__________．5．“α=”是“tanα=1”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为__________．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是__________．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是__________．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=__________．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为__________时，log2a•log2（2b）取得最大值．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为__________．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为__________．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是__________．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围__________．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．xx学年江苏省泰州市兴化一中高三（上）9月调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={﹣1，0}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是∃x0∈R，使得≤0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题：“∀x∈R，3x＞0”的“”的否定是：“∃x0∈R，使得≤0”．故答案为：∃x0∈R，使得≤0．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．解答：解：z=（1﹣i）i=1+i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查复数求模，属于基础题．4．计算÷=﹣20．考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．解答：解：=lg=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．解答：解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据tanα=1能求α．6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出y=sinx的导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求．解答：解：y=sinx的导数为y′=cosx，即有曲线在处的切线的斜率为k=cos=．故答案为：．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．解答：解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=．考点：曲线与方程；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a的值．解答：解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为a=±．点评：本题考查曲线与方程、两条直线垂直的条件．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=2n+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：先由递推公式求a2，a3，a4，再猜想通项公式；解答：解：∵a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，∴a2=a12﹣2a1+2=9﹣6+2=5，a3=a22﹣2×2a2+2=25﹣20+2=7，a4=a32﹣2×3a3+2=49﹣42+2=9，即a2=5，a3=7，a4=9，由归纳推理猜想an=2n+1．故答案为：2n+1．点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出a2，a3，a4是解决本题的关键．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为[2，+∞）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先根据集合A、B的关系，画出满足条件的平面区域，结合点到直线的距离从而求出a 的范围．解答：解：集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，∴集合B是以（a，0）为圆心，以为半径的圆，若A∩B=B，画出图象，如图示：，显然，直线和圆相切时是临界值，∴圆心（a，0）到直线的距离d==，解得：a=2，∴a≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查了集合之间的关系，考查点到直线的距离公式，数形结合思想，是一道中档题．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为．考点：对数函数的图像与性质．专题：导数的综合应用．分析：设切点为（a，b），利用导数求出直线PM的方程，继而求出M点的横坐标，再根据直线PM⊥直线PN，求出直线PN的方程，继而求出N点的横坐标，根据中点坐标公式，求出Q点的横坐标，再利用导数求出最值，问题得以解决．解答：解：设P点的坐标为（a，b），如图所示，∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，∴直线PM的斜率k PM=f′（a）=，∴直线PM的方程为y﹣b=（x﹣a），令y=0，解得x M=a﹣ab，∵直线PM⊥直线PN，∴k PN=﹣=﹣a，直线PN的方程为y﹣b=﹣a（x﹣a），令y=0，解得x N=a+，∵MN的中点为Q，∴x Q=（x M+x N=）=（a﹣ab+a+），又b=lna，∴x Q=（a﹣alna+a+），令g（a）=a﹣alna+a+，∴g′（a）=1﹣（lna+1）+1+=（1﹣lna）（1+），令g′（a）=0，解的a=e，当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当a＞e时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a=e时取得极大值，即为最大值，最大值为g（e）=e﹣e+e+=，故点Q的横坐标的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了曲线的切线方程和导数与最值得关系，关键是把点的坐标问题转化为求函数的最值问题，培养了学生的转化能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是（，]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．解答：解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案为：（，]．点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．解答：解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（I）对数的真数＞0求解函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域得到集合A，再根据指数函数的值域求解B即可；（II）由题意A，B满足A∩B=B得B是A的子集，建立关于a的不等关系，可解出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，..…..…B={y|y=2x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤4﹣a}．…..…..（Ⅱ）∵A∩B=B，∴B⊆A，..…．∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，…∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．…．（13分）点评：本题考查集合的求法，对数函数的定义域、值域的求解是解题的关键，考查计算能力．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）令，由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范围是，进而得m（t）的解析式．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，直线是抛物线m（t）=的对称轴，分a ＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．解答：解：（1）∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1．∵，且t≥0…①，∴t的取值范围是．由①得：，∴=，．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，∵直线是抛物线m（t）=的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；2）当a=0时，m（t）=t，在上单调递增，有g（a）=2；3）当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，g（a）=，若即时，g（a）=，若∈（2，+∞）即时，g（a）=m（2）=a+2．综上所述，有g（a）=．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．解答：解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．24565 5FF5 念26435 6743 权)39299 9983 馃X32324 7E44 繄737513 9289 銉q227775 6C7F 汿733495 82D7 苗H40277 9D55 鵕。
江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研数学试题 含答案
江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研数学试题注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜3 }，则A ∩B ＝A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3} 2．已知(3－4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝3，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π34．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (43，0)到双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为 A ．2B ．4C ． 2D ． 35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a －c ，则角B 的取值范围是A ．(0，π3]B ．(0，2π3]C ．[π3，π)D ．[2π3，π)6．设a ＝log 4 9，b ＝2－1.2，c ＝(827)－13，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：(x －1)2＋y 2＝1，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT ＝2PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．x 2＋y 2－14x ＋18＝0B ．x 2＋y 2＋14x ＋18＝0C ．x 2＋y 2－10x ＋18＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋18＝08．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (1＋x )＝f (1－x )．若当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2(2x ＋3)，则f (932)的值是A ．－3B ．－2C ．2D ．3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10．将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则A ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．函数g (x )的图象关于点(π6，0)对称C ．函数g (x )在区间(－5π12，－π6)上单调递增D ．函数g (x )在区间(0，7π6)上有2个零点11．已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120 12．记函数f (x )与g (x )的定义域的交集为I ．若存在x 0∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[f (x )－g (x )](x －x 0)≥0恒成立，则称(f (x )，g (x ))构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有（ ）A ．f (x )＝ln x ，g (x )＝1x B ．f (x )＝e x ，g (x )＝e xC ．f (x )＝x 3，g (x )＝x 2D ．f (x )＝x ＋1x，g (x )＝3x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好 升高r 3，则Rr ＝ ▲ ．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：y ＝14x 2交于A ，B 两点，则弦AB 与抛物线C 所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．15．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且2S n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，则a 4＝ ▲ ；若a 1＝2，则S 20＝ ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)16．若不等式(ax 2＋bx ＋1)e x ≤1对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，x ∈R ．设函数f (x )＝m ·n ＋1．rr3（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈[π3，7π12]，且f (α)＝85，求cos2α的值．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }是公比为2的等比数列，其前n 项和为S n ．（1）在①S 1＋S 3＝2S 2＋2，②S 3＝73，③a 2a 3＝4a 4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{a n }的通项公式，并判断此时数列{a n }是否满足条件P ：任意m ，n ∈N *，a m a n 均为数列{a n }中的项，说明理由；（2）设数列{b n }满足b n ＝n (a n ＋1a n )n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n ．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，（2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．EDBAP20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ＝BC ＝P A ＝1， AD ＝2，∠P AD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1）求证：CD ⊥AE ；（2）记二面角C －AE －D 的平面角为θ，且|cos θ|＝105，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1．（1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求TF 1→·TF 2→的取值范围；（2）设A (0，－1)，与坐标轴不垂直．．．的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点．若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝kx －x ln x ，k ∈R ． （1）当k ＝2时，求函数f (x )的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，f (x )≤k 恒成立，求k 的取值范围； （3）设n ∈N *，求证：ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤n (n －1)4．江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研数学试题数学参考答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．2 14．643 15．4；220 16．(－∞，－1]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)． ……………………… 4分（1）T ＝2π2＝π． ……………………… 5分（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6)＝45．由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π6≤π，所以cos(2α－π6)＝－1－sin 2(2α－π6)＝－1－(45)2＝－35，……………… 7分从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π6＝－35×32－45×12＝－4－3310． …………………… 10分18．（本小题满分12分） 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． …………………………………… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1． ………………………………… 4分此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ………………………10分 ＝1－2n 1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1，所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分 （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9100，P (X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝39100， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25， P (X ＝3)＝(25)2×34＝325．所以随机变量X 的分布列为：………………………… 10分 期望E (X )＝0×9100＋1×39100＋2×25＋3×325＝1.55． ………………………… 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ． ………………………… 2分 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝2．在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝2，AD ＝2，所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝ 2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2． 所以CD ⊥AC ． ………………………… 4分 又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC ．又AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE ． ………………………… 6分 （2）解：因为P A ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝P A ＝1，AD ＝2， 所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)， 则→CD ＝(－1，1，0)，→AD ＝(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)，故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．由（1）知，CD ⊥平面P AC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得⎩⎨⎧(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|＝|cos<m ，n >|＝|m ·n|m ||n ||＝|λ2·λ2＋(1－λ)2|＝105， 化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝23．所以当|cos θ|＝105时，实数λ的值为23． ………………………… 12分 21．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34x 02－2，且x 02∈[0，4]，所以TF 1→·TF 2→的取值范围是[－2，1]． ………………………… 4分 （2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即(1＋k 2)×4(m 2－1)1＋4k 2－k (m ＋1)×8km1＋4k2＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0，解得m ＝35． ………………………… 9分又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)，且AM ⊥BD ，所以m1＋4k 2＋1－4km 1＋4k 2＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝±5 5．又当k ＝±5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝57625＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝±5 5x ＋35. ……………………… 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ，2由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f ′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．……… 2分（2）f (x )＝kx －x ln x ，故f ′(x )＝k －1－ln x ．当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ，因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立． …………………………… 4分 当k ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． …………………………… 7分（3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1， 因此ln n n ＋1≤n －12． ……………………………………10分 所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)4． …………………12分。
江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版)含解析
南京市2021届高三年级学情调研数学2020.09注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题(第13题~第16题）、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分,考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0｝，B＝｛x｜1＜x＜3 }，则A∩B ＝A．｛x|－1＜x＜3} B．｛x｜－1＜x＜1} C．｛x｜1＜x＜2｝D．｛x|2＜x＜3｝2．已知(3－4i）z＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a，b满足｜a｜＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝错误!，则a与b的夹角为A．错误!B．错误!C．错误! D．错误!4．在平面直角坐标系xOy中,若点P(4错误!,0）到双曲线C：错误!－错误!＝1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为A．2 B．4 C． 2 D．错误! 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c．若2b cos C≤2a －c,则角B的取值范围是A．(0,错误!] B．(0，错误!] C．［错误!，π) D．[错误!，π）6．设a＝log4 9，b＝2－1。
2,c＝(错误!)－错误!,则A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b7．在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x－1)2＋y2＝1，点B(3，0），过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝错误!PB，则动点P 的轨迹方程为A．x2＋y2－14x＋18＝0 B．x2＋y2＋14x＋18＝0C．x2＋y2－10x＋18＝0 D．x2＋y2＋10x ＋18＝08．已知奇函数f (x）的定义域为R,且f (1＋x)＝f (1－x)．若当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（2x＋3)，则f（错误!)的值是A．－3 B．－2 C．2D．3二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值．如图,某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．由上图提供的信息可知A．运营商的经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10．将函数f(x）＝sin2x的图象向左平移错误!个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，则A．函数g（x）的图象关于直线x＝错误!对称B．函数g（x）的图象关于点（错误!，0)对称C．函数g(x)在区间(－错误!，－错误!）上单调递增D．函数g（x)在区间(0，错误!）上有2个零点11．已知（2＋x)（1－2x）5＝a0＋a1x＋a2x错误!＋a3x错误!＋a4x错误!＋a5x错误!＋a6x错误!，则A．a0的值为2 B．a5的值为16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为12012．记函数f(x）与g（x）的定义域的交集为I．若存在x0∈I,使得对任意x∈I,不等式[f(x）－g（x）]（x－x0）≥0恒成立，则称（f（x），g（x))构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（）A．f（x)＝ln x，g（x）＝错误!B．f(x）＝e x,g （x）＝e xC．f（x）＝x3，g（x)＝x2 D．f(x)＝x＋错误!，g(x）＝3错误!三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中）升高错误!，则错误!＝▲ ．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝错误!x2交于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为▲ ．15．已知数列{a n｝的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n＝a n a n，n∈N＊，则a4＝▲ ；若a1＝2，则S20＝▲ ．（本＋1题第一空2分，第二空3分）16．若不等式（ax2＋bx＋1)e x≤1对一切x∈R恒成立,其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是▲ ．四、解答题：本大题共6小题,共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量m＝（2cos x，－1），n＝(3sin x，2cos2x)，x∈R．设函数f(x）＝m·n＋1．（1)求函数f(x）的最小正周期;（2）若α∈[错误!，错误!]，且f（α)＝错误!，求cos2α的值．18．（本小题满分12分)已知数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．(1）在①S1＋S3＝2S2＋2,②S3＝错误!,③a2a3＝4a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列｛a n}的通项公式，并判断此时数列{a n}是否满足条件P：任意m，n∈N*,a m a n均为数列｛a n}中的项，说明理由；(2）设数列｛b n}满足b n＝n（错误!）n－1，n∈N*，求数列｛b n}的前n项和T n．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间）,结果如下:E DAP（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2＝错误! ,（2)如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）如图,在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1,AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1)求证:CD ⊥AE ；（2)记二面角C －AE －D 的平面角为θ，且｜cosθ|＝错误!,求实数λ的值．21．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y2＝1．(1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2,T是椭圆C上的一个动点，求错误!·错误!的取值范围；（2）设A(0，－1),与坐标轴不垂直．．．的直线l交椭圆C于B，D 两点．若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数f (x）＝kx－x ln x，k∈R．（1）当k＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当0＜x≤1时,f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；（3)设n∈N*，求证：错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!．南京市2021届高三年级学情调研测试数学试卷考点扫描一、单项选择题：整体分析：1-6题较为基础;第7题需要掌握切线长的转换,进而表示PA与PB的表达式，通过设P点求出轨迹方程;第8题需要利用已知条件中的关系式（关于直线x=1对称）、奇函数得出周期,进而求出对应区间的函数值。
江苏省南京市2022-2023学年高三上学期9月学情调研数学试卷(带解析)
因为 ，所以 ， ，因此 ，故 ，所以 在 上单调递增，故A正确；
B：令 ，则 ，令 ，定义域为 ，关于原点对称，且 ，故 为奇函数，B正确C： 时， ， 时， ， 时， ，所以 只有1个零点，C错误；
D： 时， ； 时， ； 时， ；D正确；
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
【详解】对于A，由题意知：点 到点 与到定直线 的距离相等，且点 不在直线 上，符合抛物线定义， 点 的轨迹为抛物线，A正确；
对于B，由A知，点 的轨迹为抛物线，则当 为坐标原点时，点 到直线 距离最小，即此时圆 的半径最小，即 ， 圆 面积的最小值为 ，B错误；
对于C，由A得：点 的轨迹方程为 ，设 ，则圆 的半径 ，点 到 轴的距离 ， ，解得： ，
【小问1详解】
连接AC交BD于点O，连接OM，可知O为AC中点，M为PC中点，所以OM∥PA，
且 平面 ， 平面 ，所以PA∥平面MBD.
【小问2详解】
由题意可得平行四边形ABCD为菱形，建立如图坐标系，如下图：
在菱形ABCD， AB=AD= 2，∠BAD=120°， ，
所以： ，
所以 ， ， ， ，
详解】令 ， ，则 ，所以 ；
令 ， ，则 ，所以 ；
令 ，则 ，所以 ，
.
令 ， ，则 ①，令 ， ，则 ②，
令 ， ，则 ③，
假设 ，那么由③可知 ，将 ， 代入②式发现与 矛盾，所以 不成立， .
同理可得当x为偶数时， .
所以原式= .
故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
江苏省南京市2021届高三9月学情调研数学试题
江苏省南京市2020届高三9月学情调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数y =_______.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 3．某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为_______．4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为_______5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______6．把一个底面半径为3cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm7．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．8．若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 9．若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tanα＋1，则tan 2α的值为_____． 10．已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 11．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为__________．12．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.13．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为________．14．已知函数32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+⎪=⎨--≤⎪⎩＞.若函数[]()y g f x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为______．二、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asin 2BbsinA . （1）求B 的大小； （2）若cosC，求sin()A C -的值． 16．如图，在三梭柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点．（1）求证：AF ∥平面B 1CE ；（2）若A 1B 1⊥1B C ,求证：平面B 1CE ⊥平面ABC .17．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：()()21800159,491800,915t t p t t ⎧--≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈.(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值． (2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Q t-=-（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．18．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点（2a，3e )和(b）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：OB PQ ⋅为定值． 19．已知函数2()2ln ,,f x x ax bx a b R =+-∈(1）若曲线()y f x =在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实教a ，b 的值． (2）若a ＝0，且()f x ≤－2对一切正实数x 值成立，求实数b 的取值范围． (3）若b ＝4，求函数()f x 的单调区间．20．已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛n S n｝是以12为公差的等差数列·（1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2nn n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，①求证：数列｛nT n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值．21．已知二阶矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(1）求1A -；(2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C'：x 2一3y 2＝1，求曲线C 的方程．22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l ：41x ty at =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a 为常数），曲线C :2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)．若曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3，求a 的值． 23．解不等式22|1|6x x +-<24．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ， PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为P A ，AB 的中点，且DF ⊥CE .(1）求AB 的长；(2）求直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值．25．已知集合A ＝｛1，2，3，4｝和集合B ＝｛1，2，3，…，n ｝，其中n ≥5，*n N ∈．从集合A 中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S 表示；从集合B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T 表示．记X ＝T －S.(1）当n ＝5时，求随机变量X 的概率分布和数学期望()E X ； (2）求(3)P X n =-．参考答案1．[1,)+∞ 【分析】根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】要使得函数有意义，则10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题.2 【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．4 【分析】循环代入,n p 的值，直到10p >时输出p 的值. 【详解】第一次循环：2,4n p ==，不满足，执行循环； 第二次循环：3,9n p ==，不满足，执行循环；第三次循环，4,16n p ==，此时满足10p >，结束循环得：4n =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查程序框图循环结构中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：（1）逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；（2）根据循环结构中的特殊形式简化运算. 4．0.018【分析】根据频率和为1来计算x 的值. 【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易. 5．23【分析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率. 【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，则概率62=93P =.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数.6．3 【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可. 【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=.7 【分析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值. 【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 303b a =︒=，则c e a ===.【点睛】本题考查双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候如果涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题. 8．［－1，2］ 【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】 因为2||T ππω==，所以2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈ ，所以5(2)[,]666x πππ-∈-，则max ()2sin22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-. 【点睛】本题考查三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域. 9．34【分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】 由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，则1tan 3α=或tan 0α=（舍，α为锐角），则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-.10．（1，＋∞） 【分析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集. 【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||xf x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数；又因为0x >时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，则有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性（注意定义域）和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集. 11．20 【分析】由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出n S ，利用二次函数的基本性质求出n S 的最大值及其对应的n 值，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由14712581399931293a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1392a d =⎧⎨=-⎩，()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -∴=+=--=-+=--+.所以，当20n =时，n S 取得最大值，对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k S 为数列{}n S 的最大值，因此，20k =. 故答案为：20. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题. 12．6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB =则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解. 13．［－2，2］ 【分析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，则5≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比如针对一些“存在”“恒成立”问题，一般只需要根据已知条件找到临界条件即可进行计算求解. 14．（34，2） 【分析】分别画出()f x 、()g x 的图象，采用换元法令()f x t =，考虑()g t a =中t 的取值可使()f x t =有6个解时对应的a 的取值范围. 【详解】作出()f x 、()g x 图象如下：因为()g x a =至多有两解，()f x t =至多有三解，则()g x a =有两解时()f x t =有6解； 且(0)1f =，(2)3f =-，所以()f x t =有三解时(3,1)t ∈-； 当3t =-时，3(3)4a g =-=，当1t =时，(1)2a g ==，故3(,2)4a ∈时，[]()y g f x a =-有6个零点. 【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题.15．（1）4B π=；（2）sin()A C -=【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解；（2）利用A B C π++=计算A 的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得：sin sin 2sin A B B A =即2sin sin cos sin ()A B B B A =*∵A ，B ∈(0，π)∴(*)可化简为cos 2B =∴4B π=(2）由(1)知cos 2B =，可得sin B =∵cos 0C =，C ∈(0，π)∴sin 0C =[]cos cos ()cos()cos cos sin sin A B C B C B C C B π=-+=-+=-+==∵A ∈(0，π)∴sin A =sin()sin cos sin cos A C A C C A -=-==【点睛】（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析； （2）三角形的问题中有一个隐含条件：A B C π++=，要注意使用. 16．（1）见证明；（2）见证明 【分析】（1）先通过证1//AF B E ，由线线平行经过判定定理得到线面平行；（2）由线线垂直1(,)AB B C AB EC ⊥⊥经过判定定理得到线面垂直11(A B ⊥平面)ABC ，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证：在三棱锥ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1 ，AB =A 1B 1 ∵E ，F 是AB ，A 1B 1的中点∴FB 1∥12A 1B 1，AE ∥12AB ，FB 1=12A 1B 1，AE =12AB ∴FB 1∥12AE ，FB 1=12AE ，四边形FB 1EA 为平行四边形∴AF ∥EB 1又∵AF ⊄平面B 1CE ，EB 1⊂平面B 1CE ，∴AF ∥平面B 1CE (2）证：由(1)知，AB ∥A 1B 1 ∵A 1B 1⊥B 1C ∴AB ⊥B 1C又∵E 为等腰ΔABC 的中点 ∴AB ⊥EC 又∵EC∩B 1C=C AB ⊥B 1C ∴AB ⊥平面B 1CE 又∵AB ⊂平面ABC∴平面ABC⊥平面B1CE【点睛】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；（2）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 17．（1）t=4.（2）当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.【分析】（1）分段考虑()1500p t≤的解；（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应t的范围内的最大值. 【详解】解: （1）9≤t≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去.4≤t<9时，1800-15(9-t)2≤1500，即218610t t-+≥解得t舍)或t≤9∵4≤t <9，t∈N. ∴t=4.(2）由题意可得4410(90)1520,49,2880100,915,t t t NtQt t Nt⎧-++≤<∈⎪⎪=⎨⎪-≤≤∈⎪⎩4≤t <9，t =7时，1520Q≤-=260(元)9≤t≤15，t =9时，28801009Q≤-=220(元)答:(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间间隔为4min.(2)问当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元. 【点睛】处理函数的实际应用问题时，如果涉及到分段函数，一定要记得分段去处理，求解出每一段满足的解，同时在分析函数的时候也可以借助每段函数本身具备的性质，必要时利用导数这个工具也是可行的.18．（1）22143x y +=；（2）见证明 【分析】（1）将点的坐标代入方程，联立求解；（2）设出C 点坐标，然后求解出P Q 、的坐标，最后利用向量数量积的坐标表示计算结果得出定值. 【详解】（1）由题意知：222222191431e b b e a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，结合222a b c =+ 解得2a =，b =1c =.所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.(2）由题意知：A (-2，0)，B (2，0)，O (0，0)，设C (0x ，0y )，则P (022x +，02y) AC l :00(2)2y y x x =++，PQ l :000022()22x x yy x x y -+=-+ 化简得：PQ l ：00026x yy x y -=- 连理AC ，PQ 直线的方程，解得Q 000014(18),22(2)x y x x ⎛⎫++⎪+⎝⎭ 所以(2,0)(6,)12P Q OB PQ y y ⋅=⋅-=. 【点睛】本题考查圆锥曲线中的椭圆方程以及定值问题，难度一般.对于求解方程，将满足条件的等式联立即可直接求解；定值问题中最难的就是如何将待求的式子表示出来，当能正确表示的时候，即可进行计算，中间可能会借助点自身满足的关系式进行化简.19．（1）1a =，2b =.（2）2b ≥；（3）当a =0时，()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a ＜时，()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，()f x 的增区间为10,a ⎛- ⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为11,a a ⎛+ ⎝⎭；当1a ≥时()f x 在(0,)+∞上单调递增. 【分析】（1）根据切线斜率以及函数值，得出等量关系后联立求解； （2）采用分离参数法，构造新函数完成求解；（3）分析导函数中a 的取值，采用分类的思想求解()f x 的单调区间. 【详解】 （1）2()2f x ax b x'=+-，由题意知，(1)1f a b =-=-，(1)222f a b '=+-= 解得1a =，2b =.(2）由题意知，2ln 2x bx -≤-恒成立，整理得2ln 2x b x+≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立. 设2ln 2()x g x x+=，则2ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，解得1x =. 且当(0,1)x ∈时，()0g x '＞，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '＜所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即max ()(1)2g x g == 所以2b ≥.(3)当b =4时，2()2ln 4f x x ax x =+-，则22242()24ax x f x ax x x-+'=+-=设2()242h x ax x =-+ ①当a =0，()0h x '＜的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，()0h x '＞的解集为10,2⎛⎫⎪⎝⎭所以()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.②当0a ＜时，()0h x '＜的解集为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()0h x '＞的解集为⎛ ⎝⎭所以()f x的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. ③当0a ＞时，161616(1)a a ∆=-=-若1a ≥，则0∆≤，所以()0h x '＜恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增.若01a ＜＜，则()0h x '＜的解集为⎝⎭ ()0h x '＞的解集为11⎛⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的增区间为10,a ⎛ ⎝⎭，减区间为1a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为11,a a ⎛+ ⎝⎭. 【点睛】（1）根据切线方程求解参数的方法：①导数值等于斜率值；②()f x 的函数值等于切线方程的y 值；（2）根据不等式恒成立，求解参数范围的方法：①分离参数法（构造新函数，分析参数范围）；②分类讨论法（从临界点出发，求解参数范围）.20．（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1. 【分析】（1）先求解等差数列{}nS n的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据11(0)n n T n c c T n++=≠，证明{}n T n 为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】（1）因为12a =，所以121S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+即21322n S n n ==+ 当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)nn b n =+ 所以23222324...2(1)nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则23412222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+ 两式相减，可整理得12n n T n +=⋅∴+12n nT n =，+12+1n n T n n T ⋅=，且141T = 所以数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列. ②由①可知，12n n T n +=⋅，且由（1）知21322n S n n ==+，代入()()m m n nT m S T n S λλ+=+可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭整理得22232232m n m m n n λλ++=++即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c = 则222111(1)3(1)23224222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-= 因为2λ≥-，所以当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且245143160288c c λλλ+++-=-=≥所以2(5)n c c n ≥＞所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1. 【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.21．（1）113441122A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（2）22681y x -= 【分析】（1）求逆矩阵，直接利用逆矩阵计算公式计算即可；（2）设出C C '、上点的坐标，然后根据矩阵A 的对应变换得到坐标间的关系，最后利用C '的方程求解C 的方程. 【详解】解：（1）设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，代入数值则113441122db ad bc ad bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (2）设C 上任意一点（x ，y ），对应C′上任意一点（x′，y′）2323212+x x y x y x y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得232x x y y x y =+⎧⎨=+''⎩又222231(23)3(2)1x y x y x y ''-=⇒+-+= 整理得C ：22681y x -= 【点睛】（1）矩阵逆的计算可以选择公式法计算，也可以按照1AA -等于单位矩阵去计算； （2）对于坐标变换的问题，首先需要清楚已知点坐标和待求点坐标的关系，不能将二者弄混淆了，其次就是根据已知的方程求解未知的方程. 22．3a = 【分析】根据圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径. 【详解】解：由条件可知l ：440ax y -+=，C ：22(2)1x y -+=则圆心到直线的距离：3123C l d a -==-=⇒=【点睛】直线的参数方程化为一般方程：消去参数；圆的参数方程化为直角坐标方程：根据22sin cos 1θθ+=化简.23．{}12x x ＜ 【分析】分析绝对值部分，采用零点分段的方法求解不等式. 【详解】解：①21(1226x x x x ⎧⇒∈⎨-+⎩＜＜ ②[)211,2226x x x x ≥⎧⇒∈⎨-+⎩＜故不等式的解集为：{}12x x ＜. 【点睛】解含绝对值的不等式的方法：（1）零点分段法；（2）几何意义法；（3）函数图象法. 24．（1）AB=；（2）21【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，设出B 点坐标，根据DF CE ⊥求解AB 的值；（2）求出平面DEF 的法向量n ，根据|cos ,|sin CF n θ<>=计算线面角的正弦值. 【详解】解：（1）以A 为原点，AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系P (0，0，2)，D (0，2，0)，设B (2a ，0，0)，则C (2a ，2，0)，E (0，0，1)，F (A ，0，0)，0a ＞.(,2,0)DF a =-，(2,2,1)CE a =--∵DF ⊥CE∴2240DF CE a ⋅=-+=∴a =AB=(2）由(1）知，(2,2,0)DF =-，(2,0,1)EF =-，(2,0)CF =--设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =22020n DF x y n EF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 解得212x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴(2,1,2)n =设直线CF 与平面DEF 所成角为θ2sin cos ,21CF n CF n CF nθ⋅===【点睛】求解线面角的正弦值时，当求解完已知向量和法向量夹角的余弦后，需要对结果增加一个绝对值，这样才能保证线面角的正弦值是正值，这一点需要注意. 25．（1）概率分布见解析，13()4E X =（2）3(3)(27)(3)2(1)(2)n n P X n n n n --=-=--【分析】（1）当5n =时，分别考虑T S 、的取值情况，再分析X T S =-的概率分布； （2）考虑3X n =-的可能组成情况，对每一种情况进行概率计算然后概率结果相加得到(3)P X n =-.【详解】解：（1）当n=5时，B={1，2，3，4，5}由题意可知，A =1或2，T=3或4或5则X=T-S=1或2或3或4.则随机变量X 的概率分布为334511(1)40P X C C ===⋅ 23334523(2)20C P X C C ===⋅ 22233433453(3)8C C C P X C C ⋅+===⋅ 223433459(4)20C C P X C C ⋅===⋅ 随机变量X 的数学期望113913()123410408204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2）因为X=T-S=n -3，所以S=1，T=n-2或S =2，T=n -1 所以222332334(3)(4)(2)(3)33(3)(27)22(3)(1)(2)2(1)(2)42n n n n n n n C C Cn n P X n n n n C C n n n ------⋅+⋅+--=-===--⋅--⋅. 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布以及排列组合中的概率计算，难度较大.分析随机变量的分布列，一定要考虑到所有的情况，针对每种情况进行概率计算；组合事件的概率计算，可先考虑事件可拆分成哪些基本事件，先分析基本事件的概率，然后求和即可.。
【数学】2021届南京高三9月零模数学试卷及解析
南京市20212020.098540 1．C 2．B 3．D4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 45209．ABD10．ACD 11．ABC 12．AC 、452013．2 14． 64315．4；220 16．(-∞，-1]67017．(本小题满分10分)因为 m =(2cos x ，-1)，n =( 3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )=m ·n +1=2 3sin x cos x -2cos 2x +1= 3sin2x -cos2x =2sin (2x - π6)． ……………………… 4分(1)T = 2π2=π． ……………………… 5分(2)由f (α)= 85，得sin (2α- π6)= 45．由α∈[ π3， 7π12]，得 π2≤2α- π6≤π，所以cos (2α- π6)=- π6=- 45=- 35，……………… 7分从而 cos2α=cos [(2α- π6)+ π6]=cos (2α- π6)cos π6-sin (2α- π6)sin π6=- 35× 32- 45× 12= -4-3 310． …………………… 10分18．(本小题满分12分)(1)选①，因为S 1+S 3=2S 2+2，所以S 3-S 2=S 2-S 1+2，即a 3=a 2+2，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1=2a 1+2，解得a 1=1，因此a n =1×2n -1=2n -1． …………………………………… 4分 此时任意m ，n ∈N ，a m a n =2m -1·2n -1=2m +n -2，由于m +n -1∈N ，所以a m a n 是数列{a n }的第m +n -1项，因此数列{a n }满足条件P ．……………………………………7分 选②，因为S 3= 73，即a 1+a 2+a 3= 73， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 1+2a 1+4a 1= 73，解得a 1= 13，因此a n = 13×2n -1． ………………………………… 4分 此时a 1a 2= 29<a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项， 因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3=4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1=4×8a 1，又a 1≠0，故a 1=4，因此a n =4×2n -1=2n +1． …………………………………4分此时任意m ，n ∈N ，a m a n =2m +1·2n +1=2m +n +2，由于m +n +1∈N ，所以a m a n 是为数列{a n }的第m +n +1项，因此数列{a n }满足条件P ．……………………………………7分(2)因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以 a n ＋1a n=2，因此b n =n ×2n -1． 所以T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1，则2T n = 1×21+2×22+…+(n -1)×2n -1+n ×2n，两式相减得-T n =1+21+22+…+2n -1-n ×2n………………………10分 = 1-2n 1-2-n ×2n =(1-n )2n -1，所以T n =(n -1)2n+1． ……………………………………12分19．(本小题满分12分)(1)假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2= 100×(36×30-24×10)2(36+24)×(10+30)×(36+10)×(24+30)= 2450207≈11.836>6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关．…………………… 4分(2)记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )= 2460= 25，P (B )= 3040= 34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3．P (X =0)=(1- 25)2×(1- 34)= 9100，P (X =1)=C 12× 25×(1- 25)×(1- 34)+ 34×(1- 25)2= 39100，P (X =2)=( 25)2×(1- 34)+C 12× 25×(1- 25)× 34= 25，P (X =3)=( 25)2× 34= 325． 所以随机变量X 的分布列为：X0123P 9100 39100 25 325………………………… 10分期望E (X )=0× 9100+1× 39100+2× 25+3× 325=1.55．………………………… 12分20．(本小题满分12分)(1)因为∠PAD =90°，所以PA ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PA 平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ．………………………… 2分又CD 平面ABCD ，所以CD ⊥PA ． 在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB =90°，所以∠ABC =90°，又AB =BC =1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC =∠CAD =45°，AC = 2．在△CAD 中，∠CAD =45°，AC = 2，AD =2，所以CD = AC 2+AD 2-2×AC ×AD ×cos ∠CAD = 2，从而AC 2+CD 2=4=AD 2．所以CD ⊥AC ．………………………… 4分又AC ∩PA =A ，AC ，PA 平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ． 又AE 平面PAC ，所以CD ⊥AE ．………………………… 6分(2)因为PA ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ， 故以{ AB ， AD ， AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB =BC =PA =1，AD =2，所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，则 CD =(-1，1，0)， AD =(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE =λCP ，所以 CE =λ CP ，设E (x ，y ，z )，则(x -1，y -1，z )=λ(-1，-1，1)，故E (1-λ，1-λ，λ)，所以 AE =(1-λ，1-λ，λ)．由(1)知，CD ⊥平面PAC ，所以平面ACE 的一个法向量为n = CD =(-1，1，0)．设平面AED 的法向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由 AE AD 得 (1-λ)x 1+(1-λ)y 1+λz 1=0，y 1=0，令z 1=1-λ，所以平面AED 的一个法向量为m =(-λ，0，1-λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|=|cos <m ，n >|=| m ·n |m ||n ||=| 222|= 10，化简得3λ2-8λ+4=0，解得λ= 23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ= 23．所以当|cos θ|= 10时，实数λ的值为 23． ………………………… 12分21．(本小题满分12分)(1)因为椭圆C ： x 24+y 2=1，所以F 1(- 3，0)，F 2( 3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1⋅ TF 2=(- 3-x 0，-y 0)·( 3-x 0，-y 0)=x 02+y 02-3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即 x 024+y 02=1，所以 TF 1⋅ TF 2= 34x 02-2，且x 02∈[0，4]，所以 TF 1⋅ TF 2的取值范围是[-2，1]． ………………………… 4分(2)因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y =kx +m (m ≠-1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由 x 24得(1+4k 2)x 2+8km x +4m 2-4=0，所以x 1+x 2=- 8km 1+4k 2，x 1x 2= 4(m 2-1)1+4k 2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB · AD =0，因此 (y 1+1)( y 2+1)+x 1x 2=0，即(kx 1+m +1)( kx 2+m +1)+x 1x 2=0，从而 (1+k 2) x 1x 2+k (m +1)( x 1+x 2)+(m +1)2=0，即 (1+k 2)× 4(m 2-1)1+4k 2-k (m +1)× 8km 1+4k 2+(m +1)2=0，也即 4(1+k 2)( m -1)-8k 2m +(1+4k 2) (m +1)=0，解得m = 35． ………………………… 9分又线段BD 的中点M (- 4km 1+4k 2， m 1+4k 2)，且AM ⊥BD ，所以 m 1+4k 2 4km 1+4k 2=- 1k ，即3m =1+4k 2，解得k =± 5．又当k =± 5，m = 35时，△=64k 2m 2-4(1+4k 2)( 4m 2-4)= 57625>0，所以满足条件的直线l 的方程为y =± 5x + 35. ……………………… 12分22．(本小题满分12分)(1)当k =2时，f (x )=2x -x ln x ，f ′(x )=1-ln x ，由f ′(x )>0，解得0<x <e ；由f ′(x )<0，解得x >e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e )，单调递减区间为(e ，+∞)．……… 2分(2)f (x )=kx -x ln x ，故f ′(x )=k -1-ln x ．当k ≥1时，因为0<x ≤1，所以k -1≥0≥ln x ，因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)=k 恒成立．…………………………… 4分当k <1时，令f ′(x )=0，解得x =e k -1∈(0，1)．当x ∈(0，e k -1)，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e k -1，1)，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 于是f (e k -1)>f (1)=k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，+∞)．…………………………… 7分 (3)由(2)知，当0<x ≤1时，x -x ln x ≤1．令x = 1n 2(n ∈N *)，则 1n 2+ 2n2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2-1， 因此 ln n n +1≤ n -12． ……………………………………10分 所以 ln12+ ln23+…+ ln n n +1≤ 02+ 12+…+ n -12= n (n -1)4． …………………12分。
江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版)
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A
D
B
C
高三数学试题第 4页
21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2＋ y2＝ 1． 4 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求T→F1·→ TF2的
取值范围； （2）设 A(0，－1)，与坐标轴不．垂．直．的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点．若△ABD 是以 A
升高r，则R＝ ▲ ． 3r
r 3
r
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数学
家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的
封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三
分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在
2．已知(3－4i)z＝1＋i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝ 3，则 a 与 b 的夹角为
A．π 6
B．π 3
C．5π 6
D．2π 3
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：ax22－y92＝1 的一条渐近线的距离
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，
2020-2021学年南京二十九中高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年南京二十九中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知i是虚数单位，则i20143i−1的实部为()A. 110B. −110C. 310D. −3102.设集合A={x|−2<x<1}，B={x|0<x<5}，则A∩B=()A. (−2,5)B. (−2,0)C. (0,1)D. (1,5)3.设复数z=a+bi(a、b∈R)，则“a=0”是“z为纯虚数”的()A. 既不充分也不必要条件B. 充要条件C. 充分非必要条件D. 必要非充分条件4.已知向量a⃗=(1,3)，向量b⃗ =(x,−1)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数x的值为()A. −3B. 3C. −1D. 15.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照如图的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A. 24B. 26C. 28D. 306.在正方体中，下列几种说法正确的是()A. B.C. 与DC成角D. 与成角7.已知a，b>0，(a−1b )2=ba，则当a+1b取最小值时，a2+1b2的值为()A. 2B. 2√2C. 3D. 48.如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函．给出下面三个函数：①f(x)=1；②f(x)=x2；③f(x)=xx2+x+1.其中属于有界泛函的是()A. ①B. ②C. ③D. ①②③二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列不等式中成立的是()A. 0.60.8>0.80.8B. 0.60.8<0.80.6C. log 0.80.6>log 0.60.8D. log 0.80.6<0.80.610. 下列结论正确的是( )A. 方程√(x +4)2+y 2−√(x −4)2+y 2=6表示的曲线是双曲线的右支B. 若动圆M 过点(1,1)且与直线3x −2y −1=0相切，则点M 的轨迹是抛物线C. 两焦点坐标分别为(3,0)和(−3,0)，且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为x 225+y216=1D. 椭圆x 225+y29=1上一点P 到右焦点的距离的最大值为9，最小值为95 11. 已知数列{a n }，{b n }满足a n+1−a n =n ，b n ⋅a n +2nb n =1，且a 1=1，S n 是数列{b n }的前n 项和，则下列结论正确的有( )A. ∃m ∈N +，a m+5=a m +a 5B. ∀n ∈N +，a n +33n ≥314C. ∃m ∈N +，b m =16D. ∀n ∈N +，13≤S n <112. 要得到y =cos2x 的图象C 1，只要将y =sin (2x +π3)图象C 2怎样变化得到( )A. 将y =sin (2x +π3)的图象C 2沿x 轴方向向左平移π12个单位 B. 将y =sin (2x +π3)的图象C 2沿x 轴方向向右平移11π12个单位C. 先作C 2关于x 轴对称图象C 3，再将图象C 3沿x 轴方向向右平移5π12个单位 D. 先作C 2关于x 轴对称图象C 3，再将图象C 3沿x 轴方向向左平移π12个单位三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)在[−1,1]上既是奇函数又是减函数，则满足f(1−x)+f(3x −2)<0的x 的取值范围是______．14. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中有放回的取两次球，每次取一个，则这两次取出球的编号之积为偶数的概率为________15. 如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(x,y ∈R)，则x −y =______．16. 已知函数f(x)与g(x)的定义域为R ，有下列5个命题： ①若f(x −2)=f(2−x)，则f(x)的图象自身关于直线y 轴对称；②y =f(x −2)与y =f(2−x)的图象关于直线x =2对称； ③函数y =f(x +2)与y =f(2−x)的图象关于y 轴对称；④f(x)为奇函数，且f(x)图象关于直线x =12对称，则f(x)周期为2； ⑤f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且g(x)=f(x −1)，则f(x)周期为2． 其中正确命题的序号为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知α，β为锐角，cosα=35，cos(α+β)=−√55．(1)求cos2α的值； (2)求sin(α−β)的值．18. (1)求和：S n =112+214+318+⋯+(n +12n )． (2)a n =1n(n+2),n ∈N +，求此数列的前n 项和S n ．19. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且D ，E ，F 分别为BC ，BB 1，AA 1的中点． (Ⅰ) 求证：平面B 1FC//平面EAD ； (Ⅱ)求证：平面CBC 1⊥平面EAD ．20. 18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20∼80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”．(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20−80年龄段的人口分布的概率．从该城市20−80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．21. 已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左右两个焦点，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，若△ABF1的面积12√27.求直线l的方程．22. (13分)设函数．(1)当时，求函数在上的最大值；(2)记函数，若函数有零点，求的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：i 20143i−1=(i4)503⋅i23i−1=−1−1+3i=−1(−1−3i)(−1+3i)(−1−3i)=110+310i，则i20143i−1的实部为110．故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：∵A={x|−2<x<1}，B={x|0<x<5}，∴A∩B={x|0<x<1}=(0,1)，故选：C．根据集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据交集的定义是解决本题的关键．3.答案：D解析：解：复数z=a+bi(其中a、b∈R，i为虚数单位)，当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，则“a=0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，故选：D．根据复数的概念可得当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．4.答案：B解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =x−3=0，∴x=3．故选：B．根据a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．5.答案：B解析：解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，。
江苏省南京市第二十九中2021-2022学年高三下学期一模考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．4．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eBCD ．21e 5．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．37．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+8．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-9．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．33C ．305D ．5210．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．3D ．3-11．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．212．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．50,6⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年9月18日南京高三期初数学调研卷零模 (学生版)
A.3(,]-∞- B.3[,)-+∞ C.32[,)- D.23(,]2.已知2a ii+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a =A.2- B.12-C.12D.23.“1m =”是“直线304x y m ++=与圆2220x y x +-=相切”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知,a b 为单位向量，且43()(),a b a b -⊥+ 则,a b夹角的余弦值为A.7-11 B.1-11 C.111 D.7115.将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有A.24种B.36种C.60种D.72种6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222100:(,)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F 过2F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,P Q 两点，1F Q 与y 轴的交点为,R 1,F Q PR ⊥则C 的离心率为C.22021年南京高三期初数学调研一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x x 2-9≤0},B ={x 2x -4>0},则A ⋂B =7.取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下，得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为A.6B.7C.8D.98.已知01,,(,),a b c ∈且22223212223ln ,ln ,ln a a e b b e c c e -+=-+=-+=，其中e 是自然对数的底数，则A.a b c >> B.a c b >> C.c a b>> D.c b a>>二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是A.这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内B.这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大C.这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200D.这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关10.已知m,n 是两条不同的直线,a,β,是三个不同的平面.下列说法中正确的是A.若m//a,m ⊂β,a∩β=n ,则m//n B.若m//n,m //α,则n//αC.若a∩β=n ,α⊥β，βγ⊥,则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥,则//βγ11.设正实数x ，y 满足12=+y x ，则A.xy 的最大值是41 B.yx 12+的最小值是9C.224y x +的最小值为21 D.y x +2的最大值为212.已知()x f 是周期为4的奇函数，且当20≤≤x 时，()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,x x x x x f ，设()()()1++=x f x f x g ，则A.函数()x g y =为周期函数B.函数()x g y =的最大值为2C.函数()x g y =在区间()8,7上单调递增D.函数()x g y =的图像既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将函数x y cos =的图像向右平移()0>ϕϕ个单位长度，所得图像与x y sin =的图像重合，则ϕ的一个可能的值为.（写出一个正确答案即可）14.已知()*∈⎪⎭⎫⎝⎛+N n x n211的展开式中2x 的系数是7，则=n ；若r x 与1+r x ()N r ∈的系数相等，则=r .15.如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A ，B两点关于抛物线的对称轴对称，F 是抛物线的焦点，AFB ∠是馈源的方向角，记为θ.焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值df称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于5.0，那么馈源方向角θ的正切值为.16.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆和PBC ∆都是边长为32的正三角形，23=P A .若M 为三棱锥ABC P -外接球上的动点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，137a S =，且1a ，22+a ，3a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若⎩⎨⎧=为偶数，为奇数，n n n a b n n ，求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.18.（本小题满分12分）请在①2=⋅AC AB ；②734sin =B ；③5=+b a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()A B C A sin sin sin =+-，2=c ，，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.19.科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)26,21，[)31,26，[)36,31，[)41,36，[]46,41（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有%9.99的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；采用实验方案未采用实验方案合计大果非大果合计100100200（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5≈σ，请估计对照园中果径落在区间()50,39内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()d b c a d c b a bc ad n x ++++-=22()02x x P ≥100.0050.0010.0005.0001.00x 706.2841.3635.6879.7828.10②若X 服从正态分布()2,σμN ，则()683.0=σ+μ<<σ-μX P ，()954.022=σ+μ<<σ-μX P ，()997.033=σ+μ<<σ-μX P 20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，2=AC ，4=BC ，P AC ∆为正三角形，D 为AB 的中点，PD AC ⊥，︒=∠90PCB .（1）求证：P AC BC 平面⊥；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:C ()012222>>=+b a bya x 的左、右顶点分别为A ，B .F 是椭圆C 的右焦点，且FB AF 3=，3=⋅FB AF .（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若()121=+k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标.22.设函数()()x e a x x f -=2，R a ∈，e 是自然对数的底数.（1）若3=a ，求函数()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥++a x x f ，求a 的取值范围.。
江苏省南京市二十九中学2023-2024学年高三上学期10月调研测试数学试题
江苏省南京市二十九中学2023-2024学年高三上学期10月调研测试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．1i 2-D ．1i 22．已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()20.061P ξ>=，则()20P ξ-≤≤等于（ ）A ．0.484B ．0.439C ．0.878D ．0.9393．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．4．某商店共有A ，B ，C 三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是A 品牌，乙买的不是C 品牌，则这三人买水杯的情况共有（ ） A ．3种B ．7种C ．12种D ．24种5．已知函数()f x 的定义域为[)1,+∞，数列{}n a 满足()n a f n =，则“数列{}n a 为递增数列”是“函数()f x 为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()()238sin f x x x x π=--∈R 的所有零点之和为（ ）. A ．10B ．11C ．12D ．137．已知{an }是公差为d （d ＞0）的等差数列，若存在实数x 1，x 2，x 3，⋯，x 9满足方程组123911223399sin sin sin ...sin 0sin sin sin ...sin 25x x x x a x a x a x a x ++++=⎧⎨++++=⎩，则d 的最小值为（ ） A ．98B ．89C ．54D ．458．如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线，线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F △的内切圆为圆2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为4，则C 的离心率为（ ）AB ．53C ．2D ．3二、多选题9．()cos (0,0)f x a x a ωω=≠>，若将()f x 图象向左平移π6ω个单位长度后在7π[0]12,上有且只有两个零点，则ω的取值可以是（ ） A ．167B ．2C ．3D ．410．已知三棱锥A BCD -的侧面展开图放在正方形网格中的位置如图所示，那么在三棱锥A BCD -中，则（ ）A ．AB CD ⊥ B ．13A BCD V -=C ．直线AB 与平面BCD 所成角的正切值为12D ．二面角C AB D --的余弦值为19-11．考虑二维空间中的函数:d R R R ⨯→，当该函数对任意选取的,,x y z 都满足下面的条件（1）-（4）时，我们称d 为二维欧氏空间中的度量函数. （1）(),0d x y ≥； （2）()(),,d x y d y x =；（3）(),0d x y =当且仅当x y =； （4）()()(),,,d x z d x y d y z ≤+.注：,,x y z 均为二维空间中的点，例如()12,x x x =，其中12,x x ∈∈R R . 考虑以下四种度量函数： ()11122,d x y x y x y =-+-()2,d x y =()311,d x y x y =-40,(,)1,x yd x y x y =⎧=⎨≠⎩则以上四个度量函数是二维欧氏空间中的度量函数的是（ ）A ．1dB ．2dC ．3dD ．4d12．已知函数()f x 满足()f a x +为偶函数且()()()2f c x f c x a a c -='++≠'，其中()f x '是()f x 的导函数，则（ ） A ．()f x 的一个周期为2c a - B ．()f x '的图象关于点(),0a 对称 C ．()f x 的图象关于直线x c =对称 D ．()()f f x '的图象关于直线x c =对称三、填空题13．若241nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则满足要求的最小正整数n 为.14．已知集合{},,,A a b c d =的所有非空真子集的元素之和为2023，则a b c d +++=.15．设正实数,b c 满足b c +=1a >-，则2211ac a bc a +++的最小值为.16．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD =AD BC =,E F 分别是,AD BC 的中点若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为.四、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．已知数列{}n a 满足13a =，2122n nn a a a +=-+. (1)证明数列(){}ln 1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)若112n n n b a a =+-，数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：2n S <. 19．为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1.(1)假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话. （i ）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；（ii ）该社区这一天被电信诈骗的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(2)根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）（参考数据：lg11 1.04≈，lg30.477≈，35000100.9986-≈，3500100.9863-≈） 20．已知ABC V 中，内角,A B 都是锐角. (1)若2A B π+>，证明：22sin sin 1A B +>； (2)若()22sin sin sin A B A B +=+，且2AB =，求ABC V 内切圆半径的最大值.21．已知椭圆()2212:10x C y a a +=>的焦点在x 轴上，离心率为e =，A ，B 是此椭圆上不同于上顶点M 的两点(1)求椭圆的标准方程； (2)若12MA MB k k ⋅=-（i ）求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）设直线AB 与抛物线()22:20C y px p =>交于D ，E 两点，且A ，D ，B ，E 从左到右排列，且满足2DE AB =，设M A E V 的面积为MAE S V ，求M A E S p +V 的最小值及此时抛物线2C 的方程.22．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似定义为：011()1m m n n a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：(0)(0)f R =，(0)(0)f R ''=，(0)(0)f R ''''=L ，()()(0)(0)m n m n f R ++=．已知()ln(1)f x x =+在0x =处的[1,1]阶帕德近似为()1axR x bx=+．注：[][][](4)(5)(4)()(),()(),()(),()(),f x f x f x f x f x f x f x f x '''''''''''''''⎡⎤====⎣⎦L (1)求实数a ，b 的值； (2)求证：1()1x b f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭；(3)求不等式12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集，其中e 2.71828=L ．。
《精编》江苏省南京市高三数学9月学情调研试题新人教A版.doc
南京市2021届高三期初考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，知。
分．请把答案填写在答题卡相应位置上．过落1.集合A={|2,x x x R <∈}，集合B={|12,x x x R <<∈}，那么A B ＝＿＿＿＿“2,220x R x x ∀∈-+>〞的否认是＿＿＿＿＿1iz i =+〔i 为虚数单位〕，那么｜z ｜＝＿＿＿ 4.石图是某算法的流程图，其输出值a 是＿＿＿＿＿5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，假设从袋中随机抽取两个球，那么取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.6.假设一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，那么此圆柱的体积为＿＿＿＿7.点P 〔x,y 〕在不等式表示的平面区域上运动，那么z x y =+的最大值是＿＿＿＿8.曲线y=x+sinx 在点(0，0)处的切线方程是＿＿＿＿．9.在等差数列{n a }中，487,15a a ==，那么数列{n a }的前n 项和n S ＝＿＿＿10.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点. F 为边AB 上.的，且，那么x+y 的值为＿＿＿＿11.设函数f 〔x 〕是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x) =2x ＋1.假设f(a)=3，那么实数a 的值为＿＿＿12.四边形ABCD 是矩形，AB=2，AD=3，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．假设∠AEF 为钝角，那么线段BE 长度的取值范围是＿＿＿＿13.如图，过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q.，假设△AOP 是等腰三角形，且，那么椭圆的离心率为＿＿＿＿假设存在实数a ，b ，c ，d,满足f(a)=f(b)＝f(c)＝f(d )，其中d>c>b>a>0，那么abcd 的取值范围是＿＿＿＿二、解答题：本大匆共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步璐．15.〔本小题总分值14分〕在锐角△ABC中，A,B,C所对的边分别为a，b，c．向量(1〕求角A的大小；(2〕假设a＝7，b=8，求△ABC的面积．16.〔本小题总分值14分〕如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：AP∥平面MBD；〔2)假设AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD；17.〔本小题总分值14分〕如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路〔图中阴影局部〕，．道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积。
南京二十九中第一学期高三第二次阶段考试数学解析版
高三南京二十九中第一学期第二次阶段考试（数学）试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合{}12M x x =-≤≤，{}2xN y y ==，则MN =（ ）A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)2,+∞2．已知复数52iz i=-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(cos ,2)a α=-，()sin ,1b α=，且//a b ，则2sin cos αα等于（ ） A ．45-B ．－3C ．3D ．454．已知,,,a b c d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若a b >，则22ac bc >D ．若a b >，则||a b >5．已知函数()cos f x x x =+，R x ∈，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log 0.2c f =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<6．函数()sin 2x xy e e x -=-的图象可能是（ ）A B C D7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱32EF =，EF //平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍甍的体积为（ ）A ．6B ．113C ．314 D ．128．在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 为圆22:()(2)4C x m y -++=上两个动点，且||23AB =，若直线:2l y x =-上存在唯一的一个点P ，使得OC PA PB =+，则实数m 的值为（ ）A ．15+或15-B ．15-+或15--C ．51-或51+D ．51-+或51-- 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．对于函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，叙述正确是（ ）A ．图象C 关于直线11π12x =对称； B ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数； C ．图象C 关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称． D ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2q =B ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列C ．8254S =D ． 数列{}2n S +是等比数列11．已知点(2,0)A -，圆22:(4)16C x y ++=，点P 在圆C 上运动，给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．PA PC ⋅的取值范围是[8,25]B ．在x 轴上存在定点(4,0)B ，使:PA PB 为定值；C ．设线段PA 的中点为Q ，则点Q 到直线30x y +-=的距离的取值范围是1]；D ．过直线40x y +-=上一点T 引圆C 的两条切线，切点分别为,M N ，则CM CN ⋅的取值范围是(16,0]-12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．()50720202f =；B ．方程()114f x x =-有四个实根； C ．当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；D ．若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知2()2x f x x +=+()x R ∈，则不等式2(3)(38)f x x f x -<-的解集为 ． 14．已知函数2()1x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图象相交于A 、B 两点.若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程为 ．15．已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，AB =，CD =45CBD ∠=︒，则球O 的表面积为 ．16．在锐角ABC ∆中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①6AB AC ⋅=-，②||213b ci +=，i 为虚数单位，③ABC ∆的面积为315在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，__________. （1）求a ；（2）求sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知函数()()()322211f x ax a x a R =--+∈.（1）若0a >，讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，若α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<恒成立，求m 的取值范围.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（3）设43n n c b n =+-，是否存在正整数,i j (2)i j <<，使2,,i j c c c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数,i j ，若不存在，请说明理由．21．如图，过点(1,0)E 的直线与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，过点(2,0)C 且与AB 垂直的直线与圆O 的另一交点为D ．（1）当点B 坐标为(0,2)-时，求直线CD 的方程； （2）记点A 关于x 轴的对称点为F （异与点A ,B ），求证：直线BF 恒过定点；（3）求四边形ACBD 面积S 的取值范围．22．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：()22231ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．高三第一学期第二次阶段考试（数学） 答案1～8 BCAD DABA9．AB 10．AD 11．BD 12．BC13．(2,3) 14．22(1)(1)1x y -+-= 15．28π 16．四、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①6AB AC ⋅=-，②||b ci +=i 为虚数单位，③ABC ∆的面积为在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，__________. （1）求a ；（2）求sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】方案一：选择条件①：（1）∵cos 6AB AC bc A ⋅==-，1cos 4A =-；∴24bc =由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =. …… 5分（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴24915sin 1cos 164C C =-=-=， ∴357sin sin cos cos sin 666C C C πππ-⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. …… 10分 方案二：选择条件②：（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =.（2）同方案一 方案三：选择条件③：（1）∵1cos 4A =-，∴15sin A =，又∵115sin 3152ABC S bc A bc ===△，∴24bc =，由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =.（2）同方案一18．已知函数()()()322211f x ax a x a R =--+∈.（1）若0a >，讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，若α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<恒成立，求m 的取值范围.【详解】（1）()()221622163a f x ax a x ax x a -⎛⎫'=--=- ⎪⎝⎭. ①当102a <<时，2103a a -<，由()0f x '<，可得2103a x a -<<；由()0f x '>，可得213a x a-<或0x >.()f x 在21,03a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+上单调递增； ②当12a =时，()230f x x '=≥，()f x 在R 上单调递增； ③当12a >时，2103a a ->，由()0f x '<可得2103a x a -<<；由()0f x '>可得0x <或213a x a->. ()f x 在210,3a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当102a <<时，函数()f x 的单调递减区间为21,03a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+；当12a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当12a >时，函数()f x 的单调递减区间为210,3a a -⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； …… 7分 （2）因为[]sin 1,1x ∈-，所以α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<等价于()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的差小于m ，即()()max min m f x f x >-.当2a =时，()32431f x x x =-+，由（1）知，()f x 在[)1,0-，1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.因为()16f -=-，()01f =，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12f =，所以()min 6f x =-，()max 2f x =，所以()268m >--=，即m 的取值范围为()8,+∞. …… 12分 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥. 又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得2AC =， 设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且2BC =， 因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . …… 4分（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-.由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量.设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,2m n m n m n a ⋅===⋅+，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-.设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PAθ⋅==⋅==.即直线PA 与平面EAC . …… 12分20．已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）设43n n c b n =+-，是否存在正整数,i j (2)i j <<，使2,,i j c c c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数,i j ，若不存在，请说明理由．【详解】（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，则有()()1112555,2716,a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩将②代入①得()()163163220d d -+=，即24d =，∵0d >，∴2d =，11a =.∴21n a n =-. 当1n =时，1122S b =-，120b =≠，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n b S S b b b b ---=-=---=-，∴120nn b b -=≠ ∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，2nn b =. …… 4分（2）∵212n n n a n b -=， 21321...222n n n T -=+++，① 2311132321 (22222)n n n n n T +--=++++② ①－②，得2312111122221111121 (2)2222222222n n n n n n n T +-+--=++++-=++++- 111111121323221222212n n n n n -++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+-=--，∴2332n n n T +=-. …… 7分（3）假设存在正整数,i j (2)i j <<，使2,,i j c c c 成等差数列．∵243n n c n =+- ∴2(243)9(243)i j i j +-=++- ∴122223i j i j --+=++且2i j <<当1j i =+时，112224i i i i --+=++，解得4i =，5j =；当2j i ≥+时，2111(23)(22)(25)(22)25j i i i i j i i i i ----++-+≥++-+=-+，令1()25n f n n -=-+(3)n ≥，则1(1)()210n f n f n -+-=->，∴当3n ≥时，()f n 单调递增，∴()(3)60f n f ≥=>，∴122223i j i j --+<++ 即122223i j i j --+=++无解综上：存在正整数4i =，5j =，使2,,i j c c c 成等差数列． …… 12分21．如图，过点(1,0)E 的直线与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，过点(2,0)C 且与AB 垂直的直线与圆O 的另一交点为D ．（1）当点B 坐标为(0,2)-时，求直线CD 的方程；（2）记点A 关于x 轴的对称点为F （异与点A ,B ），求证：直线BF 恒过定点；（3）求四边形ACBD 面积S 的取值范围． 【详解】（1）当点B 坐标为()0,2-时，直线AB 的斜率为()02210--=-，因为CD 与AB 垂直，所以直线CD 的斜率为12-，所以直线CD 的方程为()122y x =--，即220x y +-=． …… 2分 （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)F x y -，由对称性可知直线BF 恒过的定点必在x 轴上，记为(,0)T t设由题意直线AB 斜率存在且不为0，设AB 方程为1x my =+，代入圆O 可得：22(1)230m y my ++-=， ∴0∆>，12221m y y m +=-+，12231y y m -⋅=+ ∵,,B F T 三点共线 ∴1211210y y y t x x x ++=--，解得121122112112()y x x x y x y t x y y y y -+=+=++∴1221122112121212121212(1)(1)2()2312142x y x y my y my y my y y y my y t m y y y y y y y y m++++++-====+=⋅+=++++-∴直线BF 恒过定点(4,0)T …… 7分 （3）当直线AB 与x轴垂直时，4AB CD ==，所以四边形ACBD面积1·2S AB CD == 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为()1y k x =-(0)k ≠，即0kx y k --=，则直线CD 方程为()12y x k=--，即20x ky +-= 点O 到直线AB，所以AB == 点O 到直线CD，所以CD =， 则四边形ACBD 面积11··22S AB CD ==令211k t +=>（当0k =时四边形ACBD 不存在），所以S=(0,=，故四边形ACBD 面积S 的取值范围为(0,． …… 12分22．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：()22231ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫+++>⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 【详解】（1）11()ln ,()axf x x ax f x a x x-'=-=-=，令1()0,f x x a '==，当1()0,0f x x a '><<，当1()0,f x x a'<> ∴1x a=时，()f x 取得极大值，亦为最大值， ∴max 1()ln 1ln 1f x a a a=-=--≤-，即ln 10a a --≤，设11()ln 1,()1a a a a a a aϕϕ-'=--=-=， 令()0,1,()0,01;()0,0,1a a a a a a ϕϕϕ'''==<<<>>.min ()(1)0a ϕϕ∴==, ()0a ϕ∴≥，又()ln 10a a a ϕ=--≤，∴()ln 10a a a ϕ=--=,∴实数a 的取值集合为{1}； …… 3分 （2）()121212ln1(),x x g x f x k x x x x x x '=-=-<<-，122211121211ln11()(1ln )x x x x g x x x x x x x x =-=-+--，121122121222ln 11()(1ln )xx x x g x x x x x x x x =-=--+--， 令11()1ln ,()1tu t t t u t t t-'=-+=-+=，()0,01,()0,1u t t u t t ''><<<>，当1,()0,1ln 0t u t t t ≠<∴-+<，22121111ln 0,0,()0x xx x g x x x ∴-+<-<∴>， 同理2()0g x <，函数12(),(,)g x x x x ∈连续不断， 故存在012(,)x x x ∈，使得0()0g x =，即存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立； …… 7分 （3）设()ln 1,()ln ,h x x x x h x x '=-+=，当()0h x '>时，1,()x h x >∴在(1,)+∞递增， 11,()0,ln 1x h x x x >∴>∴>-，令11n x n+=>2211111ln,(ln )1(2)(1)(1)n n n n n n n n ++>>>++++， 2223111ln 2ln ln .22224n nn n n +∴+++>-=++ …… 12分。
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2021届江苏省南京市第二十九中学新高三上学期9月调研考试
数学试卷
★祝考试顺利★ (含答案)
一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈N|－2＜x ＜3},B ＝{x|－3＜x ＜1},则A ∩B 等于_____________. A.{x|－2＜x ＜1} B.{x|－3＜x ＜3} C.{－1,0} D.{0}
2.已知向量a 与b 的夹角为120°,|a |＝3,|a ＋b |＝,则|b|等于_____________.
A.5
B.4
C.3
D.1 3.过点()2,3-作圆224x y +=的切线,则切线的方程为_____________． A ．5x+12y-26=0 B ．5x-12y+46=0 C ．5x+12y-26=0或x=-2 D ．5x+12y-26=0或y=3
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知450,10S a ==,则_____________． A ．515n a n =- B ．35n a n =- C ．228n S n n =- D ．24n S n n =- 5．下列说法正确的是_____________．
A ．如果直线l 不平行于平面α,那么平面α内不存在与l 平行的直线
B ．如果直线l ∥平面α,平面α∥平面β,那么直线l ∥平面β
C ．如果直线l 与平面α相交,平面α∥平面β,那么直线l 与平面β也相交
D ．如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,那么平面α∥平面β
6．已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1,C 2：(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切,
则动圆圆心M 的轨迹方程为_____________．
A.22
18y x -= B. 2218x y -= C. ()22118y x x -=≥ D. 22
18
y x -=(x ≤－1)
7．在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱11A B 的中点,则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为_____________． A 51515 D 58．设a>0,b>0,且2a+b=1,则1a a b ++_____________．
A ．有最小值为221
B ．有最小值为21+
C ．有最小值为
14
3
D ．有最小值为4 二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分． 9．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,以下结论中正确的有 ． A.若sinA ＞sinB,则A ＞B ；
B.若sin2A ＝sin2B,则△ABC 一定为等腰三角形；
C.若222cos cos cos 1A B C +-=,则△ABC 为直角三角形；
D.若△ABC 为锐角三角形,则sinA<cosB ．
10.如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,动点E 在线段A 1C 1上,F 、M 分别是AD 、CD 的中点,则下列结论正确的是 . A.FM ∥A 1C 1; B.BM ⊥平面CC 1F;
C.存在点E,使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D;
D.三棱锥B-CEF 的体积为定值.。