上海市浦东新区2020届高三一模数学试卷
上海市浦东新区2019-2020学年度第一学期期末(一模)教学质量检测高三数学word版
上海市浦东新区2020届高三毕业班一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I2. 222lim 31n n n →∞=+ 3. 复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z = 4. 若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为5. 设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =6.在6(x +的二项展开式中，常数项为 7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为8. 已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）9. 在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 10.若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ， 不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 12. 如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1) 15. 以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 221164x y +=C. 22143x y +=D. 2214x y += 16. 动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31(,)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. [0,3]B. [3,6]C. [6,9]D. [9,12]三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°.18. 已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元. （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20. 已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和||||AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.21. 定义1212231(,,,)||||||n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (0,2)2.233. 4. 111112⎛⎫⎪-⎝⎭5. 21n +6. 157. 2π8. 149.10. [0,311. (,1]-∞- 12. 90 11.111(1)n n a a n n n n +=+++，累加可得11211n a n n +=-++，∴322t a -⋅≥，即21t a ⋅≤， ∵[2,2]a ∈-，∴2211t t ⋅≤⇒≤-12. ∵2441936=，2452025=，∴从89n =开始分析，当89n =，12max (sin 2sin sin )123444504647891980n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+⨯+++⋅⋅⋅+=当90n =，12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+= 当12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. D三. 解答题17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．……………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．……………………………2分在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a ，所以BE AC ⊥ …………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n = ……………………………8分 因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．与所成的角为ϕ，则222ta a t nd cos ++=⋅=ϕ，……………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，…………………12分 解得，a t 36=．……………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………………3分,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分 （2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f …………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r……………………………………………12分∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥≥ ……………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ ……10分对称轴*16534x N =∉， …………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……4分（2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，……………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2…………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，||AB == …14分 将k 替换成1k -，可得||EF = ……………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L ……………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+……………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L…………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+…………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020年上海市浦东新区高考数学一模试卷
2020年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1–6每题4分，7–12每题5分，共54分） 1．若集合A ={x |0<x <3}，集合B ={x |x <2}，则A ∩B = ． 【答案】（0，2）【命题意图】该题考查了描述法、交集运算，属于基础题．【解析】因为A ={x |0<x <3}，B ={x |x <2}，所以A ∩B =（0，2）．故答案为：（0，2）． 【点评】进行交集的运算，取公共部分即可．2．22231n n lim n →∞=+ ． 【答案】23【命题意图】该题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查，属于基础题．【解析】22222213133n n n lim lim n n→∞→∞==++．故答案为：23． 【点评】运用数列的极限的运算法则求解． 3．复数z 满足z •i =1+i （i 为虚数单位），则|z |= ．【命题意图】该题考查复数代数形式的乘除运算及复数求模，属于基础题． 【解析】由iz =1+i 得，()()()1i i 1i i i i z +-+===-1﹣i ，故|z|=．【点评】先求出复数z ，然后利用求模公式可得答案．4．若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为 ．【答案】)111112⎛-⎝【命题意图】该题考查的知识增广矩阵的定义及跟方程组的关系，属于基础题． 【解析】题目知12x y x y +=⎧⎨-=⎩，即该方程组的增广矩阵为111)112⎛ -⎝．故答案为111)112⎛ -⎝【点评】根据方程组系数写出增广矩阵即可．5．设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 3+a 5=18，则a n = ． 【答案】2n +1【命题意图】该题考查等差数列的通项公式，属于基础题． 【解析】因{a n }等差数列且a 1=3，a 3+a 5=18，则2a 1+6d =18， 因此d =2，a n =2n +1．故答案为：2n +1.【点评】根据等差数列的通项公式求d ，即可求得通项公式． 6．在（x）6的二项展开式中，常数项为 ． 【答案】15【命题意图】该题考查二项式定理展开，二项式展开的系数，属于基础题． 【解析】通项公式为T r +16r C =•362r x-，令632r -=0，得r =4，故常数项为46C =15，故答案为：15． 【点评】二项式展开式通项公式，再令x 的幂指数等于0，得r 的值，则求得展开式中的常数项． 7．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】2π【命题意图】考查圆锥侧面积公式，属于基础题． 【解析】S 12=LR 12=⨯（2πr ）×R 12=⨯2π×1×2=2π．故答案为：2π【点评】根据圆锥侧面积公式求解． 8．已知集合A ={﹣2，﹣1，12-，13，12，1，2，3}，任取k ∈A ，则幂函数f （x ）=x k 为偶函数的概率为 （结果用数值表示）． 【答案】14【命题意图】该题考查概率计算方法，是基础题． 【解析】A ={﹣2，﹣1，12-，13，12，1，2，3}，∀k ∈A ，基本事件总数n =8， 幂函数f （x ）=x k 为偶函数包含的基本事件个数m =2， P 2184m n ===．故答案为：14． 【点评】由题意可知，基本事件总数n =8，幂函数f （x ）=x k 为偶函数包含的基本事件个数m =2，根据概率计算公式可得结果9．在△ABC 中，边a 、b 、c 满足a +b =6，∠C =120°，则边c 的最小值为 ．【答案】【命题意图】该题考查基本不等式以及余弦定理在求解最值中的应用，属于中档题． 【解析】a +b =6，∠C =120°， 所以2()2a b ab +≤=9，当且仅当a =b 时取等号，c 2=a 2+b 2﹣2ab ×cos120°，=（a +b ）2﹣ab ， =36﹣ab ≥36﹣9=27，因此c ≥c 的最小值．故答案为：【点评】根据基本不等式2()2a b ab +≤可求ab 的最大值，根据余弦定理求解c 的最值． 10．若函数y =ax +2a a 的取值范围是 ．【答案】03⎡⎢⎣⎦， 【命题意图】该题考查函数与方程的关系，涉及直线与圆的位置关系，需要一定数形结合思想，属于综合题．【解析】根据题意可知，若函数y =ax +2a 等价于y =a （x +2）与y =有交点， y =a （x +2）几何意义为直线y =a （x +2），过点（0，﹣2），斜率为a 的直线， 因此y =x 2+y 2=1，（y ≥0），为圆x 2+y 2=1的上半部分，如图所示：满足01a ≥⎧≤，则0≤a ≤，因此a 的取值范围为[0；故答案为：[0．【点评】y =ax +2a y =a （x +2）与y =有交点，根据几何意义，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．11．已知数列{a n }，a 1=1，na n +1=（n +1）a n +1，若对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式1321tn a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 ．【命题意图】该题考查累加法求数列通项公式，数列与函数相结合的应用，是中档题． 【答案】（﹣∞，﹣1]【解析】a 1=1，na n +1=（n +1）a n +1，()1111n n a a n n n n +=+++， ()()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++， 因此2111212a a -=-， 32113223a a -=-， 43114334a a -=-， …11111n n a a n n n n--=---， ()11111n n a a n n n n +-=-++， 左右分别相加可得11211n a n n +=-++， 因此3﹣a •2t ≥2，即a •2t ≤1，又因a ∈[﹣2，2]，所以2•2t ≤1⇒t ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】根据数列的递推关系式累加法求出数列的通项公式，得最大值，进而求解t 的范围即可． 12．如果方程组1212022019n n sinx sinx sinx sinx sinx nsinx +++=⎧⎨+++=⎩L L 有实数解，则正整数n 的最小值是 ．【答案】90【命题意图】该题考查方程组的求解，属于基础题． 【解析】因442=1936，452=2025，当n =89，（sin x 1+2sin x 2+…+n sin x n ）max =﹣1﹣2﹣3﹣…﹣44+45×0+46+47+…+89=1980 当n =90，（sin x 1+2sin x 2+…+n sin x n ）max =﹣1﹣2﹣3﹣…﹣45+46+47+…+90=2025当sin x 1+2sin x 2+…+n sin x n =﹣1﹣2﹣3﹣…﹣42﹣43×0﹣44×0﹣45+46×0+47×0+48+49+…+90=2019时，n min=90，故答案为：90.【点评】442=1936，452=2025，分析求解．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若命题甲：x﹣1=0，命题乙：lg2x﹣lgx=0，则命题甲是命题乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分也非必要条件【答案】A【命题意图】该题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及对数的相关计算，属于基础题【解析】①若命题甲：x﹣1=0，则x=1，lg2x﹣lgx=lg21﹣lg1=0，则命题甲：x﹣1=0，能推出命题乙：lg2x﹣lgx=0，成立；②若命题乙：lg2x﹣lgx=0，则lgx（lgx﹣1）=0，所以lgx=0或lgx=1，即x=1或x=10；命题乙：lg2x﹣lgx=0，不能推出命题甲：x﹣1=0成立，小范围可以推大范围但大范围不能推小范围，因此命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选A．【点评】根据方程求解以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．14．已知函数f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x﹣1）的图象经过点（1，1），则函数f﹣1（x）的图象一定经过点（）A．（0，1）B．（1，0）C．（1，2）D．（2，1）【答案】B【命题意图】该题考查函数与反函数之间的关系，属于基础题．【解析】因为f（x﹣1）的图象过点（1，1），则f（x）的图象经过点（0，1），因此函数f﹣1（x）的图象一定经过点（1，0）点，故选B．【点评】y=f（x﹣1）必过点（1，1），则f（x）的图象经过点（0，1），由反函数图象的对称性知，函数f﹣1（x）的图象一定经过点．15．以抛物线y2=4x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）A．2211615x y+=B．221164x y+=C．22143x y+=D．2214xy+=【答案】C【命题意图】该题考查抛物线与椭圆的定义及简单性质，属于基础题．【解析】因为y2=4x，则2p=4，p=2，因此F（1，0），所以椭圆的右焦点为（1，0），即c=1，又因2a=4，则a=2，椭圆中，b2=a2﹣c2=4﹣1=3．因此椭圆的标准方程为22143x y+=．故选C．【点评】椭圆半焦距c，又长轴为4，得a=2，根据椭圆性质，求得b，则椭圆方程可求．16．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间t=0时，点A的坐标是12⎫⎪⎝⎭，，则动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）A．[0，3]B．[3，6]C．[6，9]D．[9，12]【答案】D【命题意图】该题考查正弦型函数的解析式，复合函数的单调性，需要结合题意分析难度中档．【解析】因为动点A（x，y）单位圆上，绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，A=1，12秒旋转一周，周期为12，即T=12，则ωπ6 =，当t=0时，点A的坐标是（2，12），故φπ6=；则：y=sin（π6xπ6+），由π2-+2kππ6≤xππ62+≤+2kπ，k∈Z得：x∈[﹣2+12k，2+12k]，k∈Z，即函数y=sin（π6xπ6+）的单调增区间为[﹣4+12k，2+12k]，k∈Z，所以k=0，[﹣4.2]，k=1，[8，14]．故选D．【点评】有定义可知y=sin（π6xπ6+），根据单调性可知动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：AC⊥BE；（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30°．【命题意图】该题考查线线垂直的证明，利用线面垂直证明，以及空间中线面的位置关系，属于中档题． 【解析】（1）连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，又因为SD ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，AC ⊥SD ． AC ⊥平面SBD ．又因为BE ⊂面SED ，所以AC ⊥BE ． （2）令DE =t ，因为SD ⊥面ABCD ， 所以BE 与面ABCD 所成角为∠EBD ．直角△EDB 中，由tan ∠EBD =tan30°=，得t =．因此当ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°． 【点评】（1）连接BD ，则AC ⊥BD ，AC ⊥SD ，因此AC ⊥面SBD ，则证明AC ⊥BE ． （2）令DE =t ，根据SD ⊥面ABCD ，得BE 与面ABCD 所成角为∠EBD ．由tan ∠EBD =tan30°=得t 3=a ．从而ED 3=a 时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°．18．已知函数()222f x cos x x =．（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=u u u r u u u r，若函数f （x ）的图象经过点（B ，2），求△ABC 的面积．【命题意图】该题考查倍角公式，两角和公式，函数y =A sin （ωx +φ）的最小正周期的计算公式，三角形的面积公式，属于基础题．【解析】（1）()π2122216f x cos x x sin x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，即f （x ）的最小正周期为2ππ2=， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+则ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ， 因此f （x ）的单调递增区间为ππππ36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ；（2）由于f （x ）的图象经过点（B ，2）， 因此π22126sin B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，π1262sin B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且0<B <π， 故ππ13π2666B <+<，所以π5π266B +=，解得π3B =， 所以162BC BA BC BA ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，因此12BC BA =u u u r u u u r，所以△ABC的面积为1π23BC BA sin ⋅=u u u r u u u r【点评】（1）根据倍角公式及两角和公式得()π2216f x sin x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， f （x ）的最小正周期为π，解πππ2π22π262k x k -+≤+≤+得f （x ）的单增区间； （2）由题意得π1262sin B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据B 的范围即可求出B π3=，再根据6BC BA ⋅=u u u r u u u r 可得求出△ABC的面积．19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（x ∈N *，x ≤9）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x %，而从事水果销售的农户平均每户年收入为135x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元． （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为f （x ）（万元），问f （x ）的最大值是否可以达到2.1万元？ 【命题意图】该题考查函数的实际应用，涉及到二次函数性质，属于中档题． 【解析】（1）经过三年，种植户的平均收入为1.8（1+4x %）3， 需要31.8(1) 2.425x +≥，则1 2.516125x x +≥≥， 又因为x ∈Z ，因此x ≥3，即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作；（2）()()()2*53 1.810051134665251809100100255x x x x f x x x x N x ⎛⎫⎛⎫-+⨯-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==-++∈≤ ⎪⎝⎭，，当*16534x N =∉时，最值，因此当x =5时，f （x ）max =2.12>2.1，可以达到2.1万元． 【点评】（1）31.8(1)2.425x +≥， x 的最小值即可； （2）根据题意可知()()53 1.810051525100x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，化成二次函数形式，根据对称轴可求出最大值．20．已知曲线C ：x 2﹣y 2=1，过点T （t ，0）作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点． （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若t =0，点A 在第一象限，AH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得AB EF ⋅=u u u r u u u r 0和|ABuuu r|=|EF uuu r|同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由．【命题意图】该题考查直线与圆锥曲线中的双曲线，位置关系的综合应用，考查分析能力与计算能力是难题．【解析】（1）焦点为())12F F ，，渐近线方程y =±x ，根据对称性求解一个焦点到渐近线的距离即可，)2F 到直线y =x的距离，1d ==．则焦点到渐近线的距离为1（2）令y =kx （0<k <1），A （x 1，y 1），B （﹣x 1，﹣y 1），H （x 1，0）， 根据1122BH y kk x ==． 又因为点A 在第一象限，所以0<k <1， 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，因此BH 倾斜角的取值范围为102arctan⎛⎫ ⎪⎝⎭，， （3）直线l ：当y =0时，直线m ：x =t ((200AB E F =，，，，2t =⇒=． 当直线l ：x =t ，直线m ：y =0时，t =设l ：y =k （x ﹣t ）（k ≠0），联立双曲线可得（1﹣k 2）x 2+2k 2tx ﹣（1+k 2t 2）=0，根据弦长公式，AB ==， 将k 替换成1k -，可得EF =因为|AB |=|EF |，得（t 2﹣1）k 2+1=t 2﹣1+k 2，则t 2=2，此时△=4（k 2t 2﹣k 2+1）>0成立．得解为{．【点评】（1）())12F F ，，且渐近线方程y =±x ，根据点到直线距离公式即可得到距离．（2）设直线方程l ：y =kx （0<k <1），A （x 1，y 1），B （﹣x 1，﹣y 1），H （x 1，0），则1122BH y kk x ==进而求解范围．（3）当y =0时，判断结果；设l ：y =k （x ﹣t ）（k ≠0），联立双曲线，根据（1﹣k 2）x 2+2k 2tx ﹣（1+k 2t 2）=0，弦长公式，得AB ，EF ，然后求解t ，得到结果．21．定义f （a 1，a 2，…，a n ）=|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+…+|a n ﹣1﹣a n |（n ∈N ，n ≥3）为有限实数列{a n }的波动强度． （1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足（a ﹣b ）（b ﹣c ）>0，判断f （a ，b ，c ，d ）≤f （a ，c ，b ，d ）是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列a 1，a 2，…，a n 是数列1+21，2+22，3+23，…，n +2n 的一个排列，求f （a 1，a 2，…，a n ）的最大值，并说明理由．【命题意图】该题通过排列组合的形式，结合现实生活，新定义，以及数列的相关知识，需要对题意进行理解把握，属于难题.【解析】（1）f （1，4，2，3）=|1﹣4|+|4﹣2|+|2﹣3|=6 （2）f （a ，b ，c ，d ）≤f （a ，c ，b ，d ）是正确的；方法一：f （a ，b ，c ，d ）﹣f （a ，c ，b ，d ）=|a ﹣b |+|c ﹣d |﹣|a ﹣c |﹣|b ﹣d |， 因为a >b >c 或a <b <c ，所以|a ﹣b |﹣|a ﹣c |=﹣|b ﹣c |，|c ﹣d |﹣|b ﹣d |≤|b ﹣c |所以f （a ，b ，c ，d ）﹣f （a ，c ，b ，d ）≤0，即f （a ，b ，c ，d ）≤f （a ，c ，b ，d ） 并且当b >c 时，d ≥b 可以取等号，当c >b 时，若d ≤b 可以取等号， 所以等号可以取到；方法二：不妨设a >b >c ，分4种情况讨论[1]若d ≥a ，则f （a ，b ，c ，d ）﹣f （a ，c ，b ，d ）=（a ﹣b ）+（d ﹣c ）﹣（a ﹣c ）﹣（d ﹣b ）=0，所以f （a ，b ，c ，d ）=f （a ，c ，b ，d ）；[2]若a >d ≥b ，则f （a ，b ，c ，d ）﹣f （a ，c ，b ，d ）=（a ﹣b ）+（d ﹣c ）﹣（a ﹣c ）﹣（d ﹣b ）=0，所以f （a ，b ，c ，d ）=f （a ，c ，b ，d ）；[3]若b >d ≥c ，则f （a ，b ，c ，d ）﹣f （a ，c ，b ，d ）=（a ﹣b ）+（d ﹣c ）﹣（a ﹣c ）﹣（b ﹣d ）=2（d ﹣b ）<0，所以f （a ，b ，c ，d ）<f （a ，c ，b ，d ）；[4]若c >d ，则f （a ，b ，c ，d ）﹣f （a ，c ，b ，d ）=（a ﹣b ）+（c ﹣d ）﹣（a ﹣c ）﹣（b ﹣d ）=2（c ﹣b ）<0，所以f （a ，b ，c ，d ）<f （a ，c ，b ，d ）；（3）令2ii b i =+，1≤i ≤n ，{b n }是递增数列．f （a 1，a 2，…，a n ）=x 1a 1+x 2a 2+…+x n a n ，其中x 1，x n ∈{1，﹣1}，x 2，…，x n ﹣1∈{﹣2，0，2}， 并且x 1+x 2+…+x n =0．经过上述调整后的数列，系数x 2，…，x n ﹣1不可能为0． 当n 为偶数，系数中有12n -个2和12n -个﹣2，1个1和1个﹣1． 当n 为奇数，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个﹣2，2个﹣1． （2）系数中有12n -个﹣2和32n -个2，2个1． [1]n 是偶数，n =2k ，k ≥2，k ∈N *，f （a 1，a 2，…，a n ）的最大值=2（b 2k +…+b k +2）+b k +1﹣b k ﹣2（b k ﹣1+…+b 1） =2[（2k ）+…+（k +1）﹣k ﹣…﹣1]+k ﹣（k +1）+2[22k +…+2k +1﹣2k ﹣…﹣2]+2k ﹣2k +1=2k 2﹣1+2[22k +1﹣2﹣2（2k +1﹣2）]=2k 2﹣1+22k +2﹣2k +3﹣2k +4221429232n n n =+⋅-⋅+ [2]n 是奇数，n =2k +1，k ∈N *，因为b 2k ﹣2b k +1+b k >0，所以2b k +2﹣b k +1﹣b k ≥b k +2+b k +1﹣2b k ，可知2（b 2k +1+…+b k +2）﹣b k +1﹣b k ﹣2（b k ﹣1+…+b 1）≥2（b 2k +1+…+b k +3）+b k +2+b k +1﹣2（b k +…+b 1） f （a 1，a 2，…，a n ）≤f （b k ，b k +2，b 1，b k +3，b 2，b k +4，b 3，…，b 2k ﹣1，b k ﹣1，b 2k ，b k +1）≤2（b 2k +1+…+b k +2）﹣b k +1﹣b k ﹣2（b k ﹣1+…+b 1）=2[（2k +1）+…+（k +2）﹣（k +1）﹣k ﹣…﹣1]+（k +2）+（k +1）+2[22k +1+…+2k +2﹣2k +1﹣…﹣2]+2k +1+2k =2（k 2﹣2）+（k +2）+（k +1）+2[22k +2﹣2﹣2（2k +2﹣2）]+3•2k=2k 2+2k ﹣1+22k +3﹣13•2k +1+4122154213222n n n -=+⋅-⋅+. 【点评】（1）通过定义法求解即可；（2）方法一，根据定义求解，再根据绝对值里面的正负即可判断；方法二，假设a >b >c ，分d 与a ，b ，c 的大小讨论四种情况依次去绝对值符号即可得出结论；（3）令2ii b i =+，1≤i ≤n ，{b n }递增数列．分n 为奇、偶数情况讨论，分别求其最大值即可．。
上海市浦东新区2020届高三数学一模试卷(有答案)
参考答案
一.填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9.1010. 11. 12.
二.选择题
13. B 14.B 15. C 16. B
三.解答题
17.（1） 是异面直线 与 所成的角或其补角.2分
在等腰 中，
易得 ……………………4分
即：异面直线 与 所成的角 ……………………1分
在 中， ，周长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为
，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为 ，点 为椭圆 上的一个动点，试根据 面积 的
不同取值范围，讨论 存在的个数，并说明理由.
21.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，即 ，
（2） ……………………4分
……………………3分
18.（1）由 ，∴ ，……………………2分
由正弦定理得： ，……2分
∴ ；
；
由 ，∴ ，……………………2分
∴ ；……………………1分
（2）由 ，∴ ，
∴ ，∴ ；……………………4分
由 知， ，∴ ，……………2分
∴ .……………………1分
19.（1）
……………………3分
， ……………………3分
（2）∵ ，
∴ ， ，……………………2分
当 时，
……………………3分
当 时， 是偶数，
……………………3分
20.（1）由 得： ，所以 ………①
又 周长为 ，所以 ………②
解①②方程组，得
所以椭圆方程为 ………………………4分
上海市浦东新区2020届高三一模数学卷(含答案)
上海市浦东新区2020届高三一模数学卷2019.12一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =∩____________．2．222lim 31n n n →∞=+____________．3．复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________．4．若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．5．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =____________．6．在6(x+的二项展开式中，常数项为____________．7．如果圆锥的底面圆半径长为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为____________．8．已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，任取k A ∈，则幂函数()kf x x =为偶函数的概率为____________．（结果用数值表示）9．在ABC △中，边a b c 、、满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为___________．10．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是____________．11．已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________．12．如果方程组⎩⎨⎧=+++=+++2019sin sin 2sin 0sin sin sin 2121n n x n x x x x x ⋯⋯有实数解，则正整数n 的最小值是____________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=.则命题甲是命题乙的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件14．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点11（，），则函数1()f x -的图像一定经过点（）（A ）01（，）（B ）10（，）（C ）12（，）（D ）21（，）15．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）（A ）2211615x y +=（B ）221164x y +=（C ）22143x y +=（D ）2214x y +=16．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒．已知时间0t =时，点A的坐标是1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）（A ）[]0,3（B ）[]3,6（C ）[]6,9（D ）[]9,12三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,a AD SD ==，点E 是线段SD 上任意一点．（1）求证：BE AC ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC △中，6BC BA ⋅=，若函数()f x 的图像经过点)2,(B ，求ABC ∆的面积.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为8.1万元．在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定，2020年初抽出x 5户（9,≤∈*x N x ）从事水果销售工作．经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了%4x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为⎪⎭⎫⎝⎛-x 513万元．（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到 2.1万元？S D ACE20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知曲线:C 221x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于,A B 两点.（1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH .求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于,E F 两点.问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅= 和AB EF =同时成立.如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.定义()3,N ),,,(1322121≥∈-++-+-=*-n n a a a a a a a a a f n n n ⋯⋯为有限实数列{}n a 的波动强度．（1）求数列1423，，，的波动强度；（2）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，判断()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列n a a a ,,,21⋯是数列n n 2,,23,22,21321++++⋯的一个排列，求()12,,,n f a a a ⋯的最大值，并说明理由．2019.12一、填空题 参考答案注：填写等价即可得分1、0,2)（；2、23；3；4、111112⎛⎫ ⎪-⎝⎭；5、21n a n =+；6、15；7、2π；8、0.25；9、；10、[3；11、(],1-∞-；12、90.二、选择题13----16：ABCD 三、解答题注：其他解法相应给分17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．……………………………………………………………6分又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．…………………………………………………………7分（2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．…………………………………………………………2分在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………………………………6分所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30 ．………………………………7分解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00………………………………………………2分则()0,a ,a AC -=，()t ,a ,a BE --=……………………………4分因为0022=+-=⋅a a BE AC ，所以BEAC ⊥………………………………………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n =………………………………………………8分因为()t ,a ,a BE --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a d --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θ30．d 与n 所成的角为ϕ，则222ta a t n d cos ++==ϕ，…………………………………………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，……………………………………………12分S DBACE解得，a t 36=．………………………………………………………………………………………13分当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为 30．……………………………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…………………………………………………………3分,,,36T x k k k Zπππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦……………………………………………………6分（2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f ………………………………………………10分612BC BA ac ⋅=⇒=………………………………………………………………………12分∴1sin 2ABC S ac B ==△…………………………………………………………………14分19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………………………2分因而由题意31.8(1)2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥⇒≥……………………………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.…………………………………6分（2）2*5(3 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤……10分对称轴*16534x N =∉，………………………………………………………………………………11分因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x =>……………………………………………………13分可以达到2.1万元．………………………………………………………………………………14分20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……………2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==.……………4分（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==………7分又因为点A 在第一象限，所以01k <<，………………………………………………8分从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………………………………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2………………………………………10分（3）当直线:0l y =，直线:m x t=((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =（根据对称性，这种不讨论不扣分）………11分不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分将k 替换成1k -，可得2||21EF k =-………………………………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{………………………………………………………………16分21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=…………………………………4分（2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………………………………6分解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<∵或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号，所以等号可以取到……………………………………………………………………………………10分解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1]若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………7分[2]若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………8分[3]若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………9分[4]若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论………………………………………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++⋯，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=⋯.经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-.当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1]n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++ΛΛ…………………………………………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦ΛΛ2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦ΛΛ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232nnn =+⋅-⋅+………………………………………………………………………15分[2]n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥ΛΛ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++ΛΛ()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++ΛΛ………………………………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦ΛΛ2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦ΛΛ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+………………………………………………………………………18分综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。
上海市浦东新区2020届高三一模数学试卷
上海市浦东新区2020届高三一模数学试卷2019.12一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 若集合}30|{<<=x x A ，集合}2|{<=x x B ，则=B A ；2. =+∞→132lim 22n n n ； 3. 复数z 满足i i z +=⋅1（i 为虚数单位），则=||z ；4. 若关于x 、y 的方程组为⎩⎨⎧=-=+21y x y x ，则方程组的增广矩阵为 ；5. 设}{n a 是等差数列，且31=a ，1853=+a a ，则=n a ；6. 在6)1(xx +的二项展开式中，常数项为 ；7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为 ；8. 已知集合}3,2,1,21,31,21,1,2{---=A ，任取A k ∈，则幂函数k x x f =)(为偶函数的概率为 ；（结果用数值表示）9. 在ABC △中，边a 、b 、c 满足6=+b a ， 120=∠C ，则边c 的最小值为 ； 10. 若函数212x a ax y --+=存在零点，则实数a 的取值范围是 ；11. 已知数列}{n a ，11=a ，1)1(1++=+n n a n na ，若对于任意的]2,2[-∈a ，*∈N n ，不等式t n a n a 2311⋅-<++恒成立，则实数t 的取值范围为 ； 12. 如果方程组⎩⎨⎧=+++=+++2019sin sin 2sin 0sin sin sin 2121n n x n x x x x x 有实数解，则正整数n 的最小值是 ；二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：01=-x ，命题乙：0lg lg 2=-x x ，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件14. 已知函数)(1x f -为函数)(x f 的反函数，且函数)1(-x f 的图像经过点)1,1(，则函数)(1x f -的图像一定经过点（ ）A. )1,0(B. )0,1(C. )2,1(D. )1,2(15. 以抛物线x y 42=的焦点为右焦点，且长轴长为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 1151622=+x xB. 141622=+y xC. 13422=+y xD. 1422=+y x16. 动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好为12秒，已知时间0=t 时，点A 的坐标是)21,23(，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. ]3,0[B. ]6,3[C. ]9,6[D. ]12,9[三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SD 平面ABCD ，a AD SD ==，点E 是线段SD 上任意一点。
2019-2020学年上海市浦东新区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1．（4 分）集合 A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则 A∩B=
．
2．（4 分）不等式 ＜1 的解集为
．
！ 3．（4 分）已知函数 f（x）=2x﹣1 的反函数是 f﹣1（x），则 f﹣1（5）=
一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1．（4 分）集合 A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则 A∩B= 【解答】解：∵集合 A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}， ∴A∩B={1，3}． 故答案为：{1，3}．
{1，3} ．
个单位
！
=cosωx 的图象， 令 h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx= sin（ωx+ ），
功
成 如果存在实数 m，使得对任意的实数 x，都有 h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，
∴ • ≤1，∴ω≥π，则 ω 的最小值为 π，
故答案为：π．
到
马 12．（5 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M、N 是双曲线
的最小值为（
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
）
【解答】解：∵△ABC 中，
，AB=AC=1，
以 A 为原点，以 AB 所在对的直线为 x 轴，以 AC 所在的直线为 y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系，
则 B（1，0），C（0，1） 设 P 的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q 的坐标为（0，n），0≤n≤1， ∴ =（﹣1，n）， =（m，﹣1），
上海市浦东新区2020学年度第一学期期末质量抽测试卷高三数学理科
浦东新区2020学年度第一学期期末质量抽测试卷高三数学（理科）2020.1考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码.3. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟.一、填空题（本题满分60分）本大题共有12题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．计算：=+-∞→1212lim n n n ． 2．函数xx x f +-=11)(的定义域是 ． 3．用数学归纳法证明等式：a a aa a n n --=++++++111212Λ（1≠a ，*N n ∈），验证1=n 时，等式左边= ．4．若函数)0(1)(>-=x x x x f 的反函数为)(1x f -，则)2(1--f = ．5．等差数列}{n a 中，公差1=d ，143=+a a ，则2042a a a +++Λ= ．6．函数())(cos 22sin 32R x x x x f ∈-=的最小正周期为 ．7．在二项式10)1(+x 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 ．8．无穷等比数列}{n a 各项和S 的值为2，公比0<q ，则首项1a 的取值范围是 ．9．如图，ABC ∆中，ο90=∠C ，ο30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为 ．10．关于x 的方程0)5(6241=-+⋅-⋅+k k k x x 在区间]1,0[上有解，则实数k的取值范围是 ．11．对于函数n x x mx x f ++-=2)(2（),2[+∞-∈x ），若存在闭区间 ],[b a ),2[+∞-)(b a <，使得对任意],[b a x ∈，恒有)(x f =c（c 为实常数），则实数n m ,的值依次．．为 ． ≠ ⊂12．研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式 02>+-a bx cx ”，有如下解法：解：由02>+-c bx ax ⇒0)1()1(2>+-x c x b a ，令x y 1=，则)1,21(∈y ， 所以不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,21(． 参考上述解法，已知关于x 的不等式0<++++cx b x a x k 的解集为)3,2()1,2(Y --，则 关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为 ．二、选择题（本题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.13．从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有………………………………………………………………………（ ）A ．140种B ． 120种C ．35种D ．34种14．“41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+xa x ”的 …………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．直角POB ∆中，ο90=∠PBO ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点.若弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB =α弧度，则 …………………………………………………………（ ）A. tan α=αB. tan α=2αC. sin α=2cos αD. 2 sin α= cos α16．函数21(2)y x =-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比 数列，则以下不可能成为公比的数是 ………………………………………… （ ）A ．23B ．21 C ．33 D ．3三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当10x -=，即1x =时，22lg lg lg 1lg10x x -=-=，故命题甲可推出命题乙； 当2lg lg 0x x -=，可得1x =或10x =，故命题乙不可以推出命题甲, 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,2)D ．(2,1)【答案】B【解析】先求出函数()f x 的图像必经过点，然后即可求出函数1()f x -的图像一定经过点. 【详解】解：函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数()f x 的图像经过点(0,1)， 则函数1()f x -的图像一定经过点(1,0)， 故选：B. 【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211615x y +=B ．221164x y +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中,a b 的关系，再根据长轴长可得椭圆a ，进而可求出b ，即可得椭圆的标准方程. 【详解】解：有已知抛物线24y x =的焦点为(1,0)，设椭圆方程为22221x y a b+=，则221a b -=，又由已知2a =， 所以23b =，故椭圆方程为22143x y +=，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A ．[0,3] B ．[3,6]C ．[6,9]D ．[9,12]【答案】D【解析】先根据题意：已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，得03xOA π∠=，再依据每12秒运动一周得出点A 每秒旋转的角度，从而t 秒旋转6t π，利用三角函数的定义即可得出y 关于t 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间. 【详解】 解：根据题意，得3xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=， 所以t 秒旋转6t π，0,663A OA t xOA t πππ∠=∠=+，则sin sin 63y xOA t ππ⎛⎫=∠=+ ⎪⎝⎭．令22,2632k t k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：512112,k t k k Z -+≤≤+∈， 经检验：当1k =时，713t ≤≤，故D 符合， 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题5．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ________ 【答案】(0,2)【解析】直接利用交集的概念运算即可. 【详解】解：由已知{}|02A B x x =<<I ， 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.6．222lim 31n n n →∞=+________【答案】23【解析】将原式变形为22222lim lim1313n n n n n→∞→∞=++，进而直接求极限即可.【详解】解：222222lim lim 13133n n n n n→∞→∞==++， 故答案为：23【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ..【解析】试题分析：因为1iz i =+，所以11,iz i i+==-+z =，也可利用复数模的性质求解：11iz i i z i z =+⇒⋅=+⇒=【考点】复数的模8．若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为________【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵. 【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为111112⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：111112⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =________ 【答案】21n +【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出n a .【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则35112418a a a d a d +=+++=，又13a =，2d ∴=， 21n a n ∴=+，故答案为：21n +. 【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.10．在6x⎛⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r rrr r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.11．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为22124S rl πππ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示） 【答案】14【解析】首先找到使幂函数()k f x x =为偶函数的所有k ，然后利用概率公式求解即可. 【详解】解：要幂函数()k f x x =为偶函数，则2,2k =-， 故使幂函数()k f x x =为偶函数的概率为2184=， 故答案为：14【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.13．在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为________【答案】【解析】利用222()2a b a b ab +=+-和余弦定理得出236c ab =-，利用条件求出ab 的最大值，代入236c ab =-，即可得边c 的最小值. 【详解】解：由已知2222cos120c a b ab =+-o 2()2a b ab ab =+-+36ab =-226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，236927c ≥∴-=，c ∴≥故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.14．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________【答案】【解析】将函数221y ax a x =+--存在零点转化为()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()2()2,()1f x a x g x x =+=-，则函数221y ax a x =+--存在零点等价于()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点， 如图：函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数2()1g x x =-23321a ==-， 所以()2()2,()1f x a x g x x =+=-303a ≤≤， 故答案为：3]3【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 【答案】(,1]-∞-【解析】由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n a n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 16．如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是___ 【答案】90【解析】当90n <时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L ，sin 1(46,47,,90)j x j ==L 得出方程组的实数解，进而可得正整数n 的最小值. 【详解】如果90n <，对于方程组1212sin sin sin 0(1)sin 2sin sin 2019(2)n n x x x x x n x ⎧++⋅⋅⋅+=⎨++⋅⋅⋅+=⎩用方程（2）减去方程（1）的45倍，得1444624744sin 43sin sin sin 2sin (45)sin 2019n x x x x x n x ----++++-=L L（3）（3）式的左端的绝对值不大于(44431)21980++⋯+⨯=， 因此（3）式不可能成立，故原方程组当90n <时无解； ∴从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L sin 1(46,47,,90)j x j ==L12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=则12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =故答案为：90. 【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现90n <时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题17．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°. 【答案】（1）证明见解析（2）当6ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o 【解析】（1）连结BD ，通过证明AC ⊥平面SBD ，即可得AC BE ⊥.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由SD ⊥平面ABCD 可得BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠，ED t =，在Rt EDB ∆中可求出t 值，即可得到点E 的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC SD ⊥．由AC BDAC SD BD SD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒AC ⊥平面SBD ．又因为BE ⊂平面SBD ，所以AC BE ⊥． （2）解法一：设ED t =，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠ 在Rt EDB ∆中，由tan tan EBD ∠=30°2a =6t ⇒=． 所以，当6ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()0,0,0D ，(),0,0A a ，(),,0B a a ，()0,,0C a ．设DE t =,则(0,0,)E t则(),,0AC a a =-u u u v ，(),,BE a a t =--u u u v因为2200AC BE a a ⋅=-+=u u u v u u u v， 所以AC BE ⊥;（2）取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =v因为(),,BE a a t =--u u u v，可知直线BE 的一个方向向量为(),,d a a t =--v ． 设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知θ=30o ．d u r与n r 所成的角为φ，则222cos d nd na a t φ⋅==⋅++v v v v ，因为1sin cos 2θφ==22212t a a t =++， 解得，6t =． 当6ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题. 18．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.【答案】（1）周期T π=，单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）【解析】（1）将函数()f x 整理为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求出周期，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求出x 的范围，即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）由函数()f x 的图像经过点(,2)B 可求出B ，再根据6BC BA ⋅=uu u r uu r，可求出ac ，利用面积公式即可求出△ABC 的面积 【详解】解：（1）由已知()cos 2122sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2,2T ππ∴== 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由已知()2sin 212630f B B B B πππ⎧⎛⎫=++=⎪ ⎪⇒=⎝⎭⎨⎪<<⎩， 又cos 6123BC BA ac ac π⋅==⇒=u u u r u u u r ，∴11sin 1222ABC S ac B ==⨯=△【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？【答案】（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到2.1万元，详见解析【解析】（1）首先得出种植户的平均收入31.8(14%)x +，得不等式31.8(1)2.425x +≥，解不等式即可得出答案;（2）得出该村平均每户的年收入为5(3) 1.8(1005)(1)525()100x x x x f x -+⨯-+=，利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ 对称轴*16534x N =∉， 因而当5x =时，max () 2.12 2.1f x =>可以达到2.1万元． 【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.20．已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和AB EF =uu u r uu u r 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）1(0,arctan )2（3）存在，实数t 的取值集合为{ 【解析】（1）求出曲线C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可； （2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，表示出直线BH 的斜率，根据k 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线:0l y =，直线:m x t =和当直线:l x t =，直线:0m y =时，t 的值，当():()0l y k x t k =-≠时，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，利用弦长公式求出||AB 和||EF ，利用AB EF =uu u r uu u r列方程求出t 的值，验证判别式成立即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==.（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x == 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2； （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，由弦长公式，||AB ==将k 替换成1k-，可得||EF =由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ 【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.21．定义1212231(,,,)n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.【答案】（1）6（2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的，详见解析（3）当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+；当n 为奇数时，3n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，利用a b c >>或a b c <<判断正负即可；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列，可整理()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0，分n 的奇偶性讨论，确定各自含有的2,2,1,1--的个数，进而求出12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值. 【详解】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-= （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的证明：()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b b c c d a c c b b d -=-+-+---+-+-a b c d a c b d =-+-----a b c >>Q 或a b c <<，a b a c b c ∴---=--且c d b d b c ---≤-()(),,,,,,0f a b c d f a c b d c d b c b d b c b c ∴-=-----≤---=所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况：系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-； 或系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1. [1]n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232nnn =+⋅-⋅+ [2]n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤ ()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 综上，当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+； 当n 为奇数时，3n ≥，()12max ,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.。
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当10x -=，即1x =时，22lg lg lg 1lg10x x -=-=，故命题甲可推出命题乙； 当2lg lg 0x x -=，可得1x =或10x =，故命题乙不可以推出命题甲, 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,2)D ．(2,1)【答案】B【解析】先求出函数()f x 的图像必经过点，然后即可求出函数1()f x -的图像一定经过点. 【详解】解：函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数()f x 的图像经过点(0,1)， 则函数1()f x -的图像一定经过点(1,0)， 故选：B. 【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211615x y +=B ．221164x y +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中,a b 的关系，再根据长轴长可得椭圆a ，进而可求出b ，即可得椭圆的标准方程. 【详解】解：有已知抛物线24y x =的焦点为(1,0)，设椭圆方程为22221x y a b+=，则221a b -=，又由已知2a =， 所以23b =，故椭圆方程为22143x y +=，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A ．[0,3] B ．[3,6]C ．[6,9]D ．[9,12]【答案】D【解析】先根据题意：已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，得03xOA π∠=，再依据每12秒运动一周得出点A 每秒旋转的角度，从而t 秒旋转6t π，利用三角函数的定义即可得出y 关于t 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间. 【详解】 解：根据题意，得3xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=， 所以t 秒旋转6t π，0,663A OA t xOA t πππ∠=∠=+，则sin sin 63y xOA t ππ⎛⎫=∠=+ ⎪⎝⎭．令22,2632k t k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：512112,k t k k Z -+≤≤+∈， 经检验：当1k =时，713t ≤≤，故D 符合， 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题5．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ________ 【答案】(0,2)【解析】直接利用交集的概念运算即可. 【详解】解：由已知{}|02A B x x =<<I ， 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.6．222lim 31n n n →∞=+________【答案】23【解析】将原式变形为22222lim lim1313n n n n n→∞→∞=++，进而直接求极限即可.【详解】解：222222lim lim 13133n n n n n→∞→∞==++， 故答案为：23【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ..【解析】试题分析：因为1iz i =+，所以11,iz i i+==-+z =，也可利用复数模的性质求解：11iz i i z i z =+⇒⋅=+⇒=【考点】复数的模8．若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为________【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵. 【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为111112⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：111112⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =________ 【答案】21n +【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出n a .【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则35112418a a a d a d +=+++=，又13a =，2d ∴=， 21n a n ∴=+，故答案为：21n +. 【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.10．在6x⎛⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r rrr r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.11．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为22124S rl πππ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示） 【答案】14【解析】首先找到使幂函数()k f x x =为偶函数的所有k ，然后利用概率公式求解即可. 【详解】解：要幂函数()k f x x =为偶函数，则2,2k =-， 故使幂函数()k f x x =为偶函数的概率为2184=， 故答案为：14【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.13．在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为________【答案】【解析】利用222()2a b a b ab +=+-和余弦定理得出236c ab =-，利用条件求出ab 的最大值，代入236c ab =-，即可得边c 的最小值. 【详解】解：由已知2222cos120c a b ab =+-o 2()2a b ab ab =+-+36ab =-226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，236927c ≥∴-=，c ∴≥故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.14．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________【答案】3【解析】将函数2y ax a =+()()2,()f x a x g x =+图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()2()2,()1f x a x g x x =+=-，则函数221y ax a x =+--存在零点等价于()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点， 如图：函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数2()1g x x =- 2321a ==-， 所以()2()2,()1f x a x g x x =+=-30a ≤≤， 故答案为：3]3【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 【答案】(,1]-∞-【解析】由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n a n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+= 则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n nn n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 16．如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是___ 【答案】90【解析】当90n <时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L ，sin 1(46,47,,90)j x j ==L 得出方程组的实数解，进而可得正整数n 的最小值. 【详解】如果90n <，对于方程组1212sin sin sin 0(1)sin 2sin sin 2019(2)n n x x x x x n x ⎧++⋅⋅⋅+=⎨++⋅⋅⋅+=⎩用方程（2）减去方程（1）的45倍，得1444624744sin 43sin sin sin 2sin (45)sin 2019n x x x x x n x ----++++-=L L（3）（3）式的左端的绝对值不大于(44431)21980++⋯+⨯=， 因此（3）式不可能成立，故原方程组当90n <时无解； ∴从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L sin 1(46,47,,90)j x j ==L12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=则12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =故答案为：90. 【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现90n <时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题17．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°. 【答案】（1）证明见解析（2）当63ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o【解析】（1）连结BD ，通过证明AC ⊥平面SBD ，即可得AC BE ⊥.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由SD ⊥平面ABCD 可得BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠，ED t =，在Rt EDB ∆中可求出t 值，即可得到点E 的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC SD ⊥．由AC BDAC SD BD SD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒AC ⊥平面SBD ．又因为BE ⊂平面SBD ，所以AC BE ⊥． （2）解法一：设ED t =，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠ 在Rt EDB ∆中，由tan tan EBD ∠=30°2a=63t a ⇒=． 所以，当6ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()0,0,0D ，(),0,0A a ，(),,0B a a ，()0,,0C a ．设DE t =,则(0,0,)E t则(),,0AC a a =-u u u v ，(),,BE a a t =--u u u v因为2200AC BE a a ⋅=-+=u u u v u u u v， 所以AC BE ⊥;（2）取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =v因为(),,BE a a t =--u u u v，可知直线BE 的一个方向向量为(),,d a a t =--v ． 设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知θ=30o ．d u r与n r 所成的角为φ，则cos d nd nφ⋅==⋅v v v v ，因为1sin cos 2θφ==12=，解得，t =．当ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题. 18．已知函数2()2cos 2f x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.【答案】（1）周期T π=，单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）【解析】（1）将函数()f x 整理为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求出周期，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求出x 的范围，即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）由函数()f x 的图像经过点(,2)B 可求出B ，再根据6BC BA ⋅=uu u r uu r，可求出ac ，利用面积公式即可求出△ABC 的面积 【详解】解：（1）由已知()cos 2122sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2,2T ππ∴== 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由已知()2sin 212630f B B B B πππ⎧⎛⎫=++=⎪ ⎪⇒=⎝⎭⎨⎪<<⎩， 又cos 6123BC BA ac ac π⋅==⇒=u u u r u u u r ，∴11sin 1222ABC S ac B ==⨯=△【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？【答案】（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到2.1万元，详见解析【解析】（1）首先得出种植户的平均收入31.8(14%)x +，得不等式31.8(1)2.425x +≥，解不等式即可得出答案;（2）得出该村平均每户的年收入为5(3) 1.8(1005)(1)525()100x x x x f x -+⨯-+=，利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ 对称轴*16534x N =∉， 因而当5x =时，max () 2.12 2.1f x =>可以达到2.1万元． 【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.20．已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和AB EF =uu u r uu u r 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）1(0,arctan )2（3）存在，实数t的取值集合为{ 【解析】（1）求出曲线C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可； （2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，表示出直线BH 的斜率，根据k 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线:0l y =，直线:m x t =和当直线:l x t =，直线:0m y =时，t 的值，当():()0l y k x t k =-≠时，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，利用弦长公式求出||AB 和||EF ，利用AB EF =uu u r uu u r列方程求出t 的值，验证判别式成立即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==.（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x == 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2； （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，由弦长公式，||AB ==将k 替换成1k-，可得||EF =由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ 【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.21．定义1212231(,,,)n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.【答案】（1）6（2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的，详见解析（3）当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+；当n 为奇数时，3n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，利用a b c >>或a b c <<判断正负即可；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列，可整理()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0，分n 的奇偶性讨论，确定各自含有的2,2,1,1--的个数，进而求出12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值. 【详解】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-= （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的证明：()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b b c c d a c c b b d -=-+-+---+-+-a b c d a c b d =-+-----a b c >>Q 或a b c <<，a b a c b c ∴---=--且c d b d b c ---≤-()(),,,,,,0f a b c d f a c b d c d b c b d b c b c ∴-=-----≤---=所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况：系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-；或系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1]n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+ [2]n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤ ()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 综上，当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+； 当n 为奇数时，3n ≥，()12max ,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.。
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当10x -=，即1x =时，22lg lg lg 1lg10x x -=-=，故命题甲可推出命题乙； 当2lg lg 0x x -=，可得1x =或10x =，故命题乙不可以推出命题甲, 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,2)D ．(2,1)【答案】B【解析】先求出函数()f x 的图像必经过点，然后即可求出函数1()f x -的图像一定经过点. 【详解】解：函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数()f x 的图像经过点(0,1)， 则函数1()f x -的图像一定经过点(1,0)， 故选：B. 【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211615x y +=B ．221164x y +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中,a b 的关系，再根据长轴长可得椭圆a ，进而可求出b ，即可得椭圆的标准方程. 【详解】解：有已知抛物线24y x =的焦点为(1,0)，设椭圆方程为22221x y a b+=，则221a b -=，又由已知2a =， 所以23b =，故椭圆方程为22143x y +=，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A ．[0,3] B ．[3,6]C ．[6,9]D ．[9,12]【答案】D【解析】先根据题意：已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，得03xOA π∠=，再依据每12秒运动一周得出点A 每秒旋转的角度，从而t 秒旋转6t π，利用三角函数的定义即可得出y 关于t 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间. 【详解】 解：根据题意，得3xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=， 所以t 秒旋转6t π，0,663A OA t xOA t πππ∠=∠=+，则sin sin 63y xOA t ππ⎛⎫=∠=+ ⎪⎝⎭．令22,2632k t k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：512112,k t k k Z -+≤≤+∈， 经检验：当1k =时，713t ≤≤，故D 符合， 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题5．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ________ 【答案】(0,2)【解析】直接利用交集的概念运算即可. 【详解】解：由已知{}|02A B x x =<<I ， 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.6．222lim 31n n n →∞=+________【答案】23【解析】将原式变形为22222lim lim1313n n n n n→∞→∞=++，进而直接求极限即可.【详解】解：222222lim lim 13133n n n n n→∞→∞==++， 故答案为：23【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ..【解析】试题分析：因为1iz i =+，所以11,iz i i+==-+z =，也可利用复数模的性质求解：11iz i i z i z =+⇒⋅=+⇒=【考点】复数的模8．若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为________【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵. 【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为111112⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：111112⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =________ 【答案】21n +【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出n a .【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则35112418a a a d a d +=+++=，又13a =，2d ∴=， 21n a n ∴=+，故答案为：21n +. 【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.10．在6x⎛⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r rrr r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.11．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为22124S rl πππ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示） 【答案】14【解析】首先找到使幂函数()k f x x =为偶函数的所有k ，然后利用概率公式求解即可. 【详解】解：要幂函数()k f x x =为偶函数，则2,2k =-， 故使幂函数()k f x x =为偶函数的概率为2184=， 故答案为：14【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.13．在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为________【答案】【解析】利用222()2a b a b ab +=+-和余弦定理得出236c ab =-，利用条件求出ab 的最大值，代入236c ab =-，即可得边c 的最小值. 【详解】解：由已知2222cos120c a b ab =+-o 2()2a b ab ab =+-+36ab =-226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，236927c ≥∴-=，c ∴≥故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.14．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________【答案】【解析】将函数221y ax a x =+--存在零点转化为()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()2()2,()1f x a x g x x =+=-，则函数221y ax a x =+--存在零点等价于()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点， 如图：函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数2()1g x x =- 23321a ==-， 所以()2()2,()1f x a x g x x =+=-303a ≤≤， 故答案为：3]3【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 【答案】(,1]-∞-【解析】由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n a n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 16．如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是___ 【答案】90【解析】当90n <时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L ，sin 1(46,47,,90)j x j ==L 得出方程组的实数解，进而可得正整数n 的最小值. 【详解】如果90n <，对于方程组1212sin sin sin 0(1)sin 2sin sin 2019(2)n n x x x x x n x ⎧++⋅⋅⋅+=⎨++⋅⋅⋅+=⎩ 用方程（2）减去方程（1）的45倍，得1444624744sin 43sin sin sin 2sin (45)sin 2019n x x x x x n x ----++++-=L L（3）（3）式的左端的绝对值不大于(44431)21980++⋯+⨯=， 因此（3）式不可能成立，故原方程组当90n <时无解； ∴从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L sin 1(46,47,,90)j x j ==L12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=则12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =故答案为：90. 【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现90n <时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题17．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°. 【答案】（1）证明见解析（2）当6ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o 【解析】（1）连结BD ，通过证明AC ⊥平面SBD ，即可得AC BE ⊥.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由SD ⊥平面ABCD 可得BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠，ED t =，在Rt EDB ∆中可求出t 值，即可得到点E 的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC SD ⊥．由AC BDAC SD BD SD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒AC ⊥平面SBD ．又因为BE ⊂平面SBD ，所以AC BE ⊥． （2）解法一：设ED t =，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠ 在Rt EDB ∆中，由tan tan EBD ∠=30°2a =6t ⇒=． 所以，当6ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()0,0,0D ，(),0,0A a ，(),,0B a a ，()0,,0C a ．设DE t =,则(0,0,)E t则(),,0AC a a =-u u u v ，(),,BE a a t =--u u u v因为2200AC BE a a ⋅=-+=u u u v u u u v， 所以AC BE ⊥;（2）取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =v因为(),,BE a a t =--u u u v，可知直线BE 的一个方向向量为(),,d a a t =--v ． 设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知θ=30o ．d u r与n r 所成的角为φ，则222cos d nd na a t φ⋅==⋅++v v v v ，因为1sin cos 2θφ==22212t a a t =++， 解得，6t =． 当6ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题. 18．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.【答案】（1）周期T π=，单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）【解析】（1）将函数()f x 整理为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求出周期，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求出x 的范围，即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）由函数()f x 的图像经过点(,2)B 可求出B ，再根据6BC BA ⋅=uu u r uu r，可求出ac ，利用面积公式即可求出△ABC 的面积 【详解】解：（1）由已知()cos 2122sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2,2T ππ∴== 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由已知()2sin 212630f B B B B πππ⎧⎛⎫=++=⎪ ⎪⇒=⎝⎭⎨⎪<<⎩， 又cos 6123BC BA ac ac π⋅==⇒=u u u r u u u r ，∴11sin 1222ABC S ac B ==⨯=△【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？【答案】（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到2.1万元，详见解析【解析】（1）首先得出种植户的平均收入31.8(14%)x +，得不等式31.8(1)2.425x +≥，解不等式即可得出答案;（2）得出该村平均每户的年收入为5(3) 1.8(1005)(1)525()100x x x x f x -+⨯-+=，利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ 对称轴*16534x N =∉， 因而当5x =时，max () 2.12 2.1f x =>可以达到2.1万元． 【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.20．已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和AB EF =uu u r uu u r 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）1(0,arctan )2（3）存在，实数t 的取值集合为{ 【解析】（1）求出曲线C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可； （2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，表示出直线BH 的斜率，根据k 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线:0l y =，直线:m x t =和当直线:l x t =，直线:0m y =时，t 的值，当():()0l y k x t k =-≠时，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，利用弦长公式求出||AB 和||EF ，利用AB EF =uu u r uu u r列方程求出t 的值，验证判别式成立即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==.（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x == 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2； （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，由弦长公式，||AB ==将k 替换成1k-，可得||EF =由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ 【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.21．定义1212231(,,,)n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.【答案】（1）6（2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的，详见解析（3）当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+；当n 为奇数时，3n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，利用a b c >>或a b c <<判断正负即可；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列，可整理()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0，分n 的奇偶性讨论，确定各自含有的2,2,1,1--的个数，进而求出12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值. 【详解】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-= （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的证明：()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b b c c d a c c b b d -=-+-+---+-+-a b c d a c b d =-+-----a b c >>Q 或a b c <<，a b a c b c ∴---=--且c d b d b c ---≤-()(),,,,,,0f a b c d f a c b d c d b c b d b c b c ∴-=-----≤---=所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况：系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-； 或系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1. [1]n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232nnn =+⋅-⋅+ [2]n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤ ()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 综上，当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+； 当n 为奇数时，3n ≥，()12max ,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.。
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当10x -=，即1x =时，22lg lg lg 1lg10x x -=-=，故命题甲可推出命题乙； 当2lg lg 0x x -=，可得1x =或10x =，故命题乙不可以推出命题甲, 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,2)D ．(2,1)【答案】B【解析】先求出函数()f x 的图像必经过点，然后即可求出函数1()f x -的图像一定经过点. 【详解】解：函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数()f x 的图像经过点(0,1)， 则函数1()f x -的图像一定经过点(1,0)， 故选：B. 【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211615x y +=B ．221164x y +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中,a b 的关系，再根据长轴长可得椭圆a ，进而可求出b ，即可得椭圆的标准方程. 【详解】解：有已知抛物线24y x =的焦点为(1,0)，设椭圆方程为22221x y a b+=，则221a b -=，又由已知2a =， 所以23b =，故椭圆方程为22143x y +=，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A ．[0,3] B ．[3,6]C ．[6,9]D ．[9,12]【答案】D【解析】先根据题意：已知时间0t =时，点A 的坐标是1)2，得03xOA π∠=，再依据每12秒运动一周得出点A 每秒旋转的角度，从而t 秒旋转6t π，利用三角函数的定义即可得出y 关于t 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间. 【详解】 解：根据题意，得3xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=， 所以t 秒旋转6t π，0,663A OA t xOA t πππ∠=∠=+，则sin sin 63y xOA t ππ⎛⎫=∠=+ ⎪⎝⎭．令22,2632k t k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：512112,k t k k Z -+≤≤+∈， 经检验：当1k =时，713t ≤≤，故D 符合， 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题5．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ________ 【答案】(0,2)【解析】直接利用交集的概念运算即可. 【详解】解：由已知{}|02A B x x =<<I ， 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.6．222lim 31n n n →∞=+________【答案】23【解析】将原式变形为22222lim lim1313n n n n n→∞→∞=++，进而直接求极限即可.【详解】解：222222lim lim 13133n n n n n→∞→∞==++， 故答案为：23【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ..【解析】试题分析：因为1iz i =+，所以11,iz i i+==-+z =，也可利用复数模的性质求解：11iz i i z i z =+⇒⋅=+⇒=【考点】复数的模8．若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为________【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵. 【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为111112⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：111112⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =________ 【答案】21n +【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出n a .【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则35112418a a a d a d +=+++=，又13a =，2d ∴=， 21n a n ∴=+，故答案为：21n +. 【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.10．在6x⎛⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r rrr r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.11．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为22124S rl πππ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示） 【答案】14【解析】首先找到使幂函数()k f x x =为偶函数的所有k ，然后利用概率公式求解即可. 【详解】解：要幂函数()k f x x =为偶函数，则2,2k =-， 故使幂函数()k f x x =为偶函数的概率为2184=， 故答案为：14【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.13．在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为________【答案】【解析】利用222()2a b a b ab +=+-和余弦定理得出236c ab =-，利用条件求出ab 的最大值，代入236c ab =-，即可得边c 的最小值. 【详解】解：由已知2222cos120c a b ab =+-o 2()2a b ab ab =+-+36ab =-226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，236927c ≥∴-=，c ∴≥故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.14．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________【答案】3【解析】将函数2y ax a =+()()2,()f x a x g x =+图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()2()2,()1f x a x g x x =+=-，则函数221y ax a x =+--存在零点等价于()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点， 如图：函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数2()1g x x =- 2321a ==-， 所以()2()2,()1f x a x g x x =+=-30a ≤≤， 故答案为：3]3【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 【答案】(,1]-∞-【解析】由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n a n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+= 则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n nn n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 16．如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是___ 【答案】90【解析】当90n <时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L ，sin 1(46,47,,90)j x j ==L 得出方程组的实数解，进而可得正整数n 的最小值. 【详解】如果90n <，对于方程组1212sin sin sin 0(1)sin 2sin sin 2019(2)n n x x x x x n x ⎧++⋅⋅⋅+=⎨++⋅⋅⋅+=⎩用方程（2）减去方程（1）的45倍，得1444624744sin 43sin sin sin 2sin (45)sin 2019n x x x x x n x ----++++-=L L（3）（3）式的左端的绝对值不大于(44431)21980++⋯+⨯=， 因此（3）式不可能成立，故原方程组当90n <时无解； ∴从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L sin 1(46,47,,90)j x j ==L12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=则12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =故答案为：90. 【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现90n <时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题17．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°. 【答案】（1）证明见解析（2）当63ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o【解析】（1）连结BD ，通过证明AC ⊥平面SBD ，即可得AC BE ⊥.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由SD ⊥平面ABCD 可得BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠，ED t =，在Rt EDB ∆中可求出t 值，即可得到点E 的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC SD ⊥．由AC BDAC SD BD SD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒AC ⊥平面SBD ．又因为BE ⊂平面SBD ，所以AC BE ⊥． （2）解法一：设ED t =，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠ 在Rt EDB ∆中，由tan tan EBD ∠=30°2a=63t a ⇒=． 所以，当6ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()0,0,0D ，(),0,0A a ，(),,0B a a ，()0,,0C a ．设DE t =,则(0,0,)E t则(),,0AC a a =-u u u v ，(),,BE a a t =--u u u v因为2200AC BE a a ⋅=-+=u u u v u u u v， 所以AC BE ⊥;（2）取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =v因为(),,BE a a t =--u u u v，可知直线BE 的一个方向向量为(),,d a a t =--v ． 设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知θ=30o ．d u r与n r 所成的角为φ，则cos d nd nφ⋅==⋅v v v v ，因为1sin cos 2θφ==12=，解得，t =．当ED =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题. 18．已知函数2()2cos 2f x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.【答案】（1）周期T π=，单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）【解析】（1）将函数()f x 整理为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求出周期，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求出x 的范围，即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）由函数()f x 的图像经过点(,2)B 可求出B ，再根据6BC BA ⋅=uu u r uu r，可求出ac ，利用面积公式即可求出△ABC 的面积 【详解】解：（1）由已知()cos 2122sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2,2T ππ∴== 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由已知()2sin 212630f B B B B πππ⎧⎛⎫=++=⎪ ⎪⇒=⎝⎭⎨⎪<<⎩， 又cos 6123BC BA ac ac π⋅==⇒=u u u r u u u r ，∴11sin 1222ABC S ac B ==⨯=△【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？【答案】（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到2.1万元，详见解析【解析】（1）首先得出种植户的平均收入31.8(14%)x +，得不等式31.8(1)2.425x +≥，解不等式即可得出答案;（2）得出该村平均每户的年收入为5(3) 1.8(1005)(1)525()100x x x x f x -+⨯-+=，利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ 对称轴*16534x N =∉， 因而当5x =时，max () 2.12 2.1f x =>可以达到2.1万元． 【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.20．已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和AB EF =uu u r uu u r 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）1(0,arctan )2（3）存在，实数t的取值集合为{ 【解析】（1）求出曲线C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可； （2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，表示出直线BH 的斜率，根据k 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线:0l y =，直线:m x t =和当直线:l x t =，直线:0m y =时，t 的值，当():()0l y k x t k =-≠时，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，利用弦长公式求出||AB 和||EF ，利用AB EF =uu u r uu u r列方程求出t 的值，验证判别式成立即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==.（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x == 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2； （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，由弦长公式，||AB ==将k 替换成1k-，可得||EF =由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ 【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.21．定义1212231(,,,)n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.【答案】（1）6（2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的，详见解析（3）当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+；当n 为奇数时，3n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，利用a b c >>或a b c <<判断正负即可；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列，可整理()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0，分n 的奇偶性讨论，确定各自含有的2,2,1,1--的个数，进而求出12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值. 【详解】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-= （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的证明：()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b b c c d a c c b b d -=-+-+---+-+-a b c d a c b d =-+-----a b c >>Q 或a b c <<，a b a c b c ∴---=--且c d b d b c ---≤-()(),,,,,,0f a b c d f a c b d c d b c b d b c b c ∴-=-----≤---=所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况：系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-；或系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1]n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+ [2]n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤ ()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 综上，当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+； 当n 为奇数时，3n ≥，()12max ,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.。
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系. 【详解】解：当10x -=，即1x =时，22lg lg lg 1lg10x x -=-=，故命题甲可推出命题乙； 当2lg lg 0x x -=，可得1x =或10x =，故命题乙不可以推出命题甲, 故命题甲是命题乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)C ．(1,2)D ．(2,1)【答案】B【解析】先求出函数()f x 的图像必经过点，然后即可求出函数1()f x -的图像一定经过点. 【详解】解：函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数()f x 的图像经过点(0,1)， 则函数1()f x -的图像一定经过点(1,0)， 故选：B. 【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211615x y +=B ．221164x y +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中,a b 的关系，再根据长轴长可得椭圆a ，进而可求出b ，即可得椭圆的标准方程. 【详解】解：有已知抛物线24y x =的焦点为(1,0)，设椭圆方程为22221x y a b+=，则221a b -=，又由已知2a =， 所以23b =，故椭圆方程为22143x y +=，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A ．[0,3] B ．[3,6]C ．[6,9]D ．[9,12]【答案】D【解析】先根据题意：已知时间0t =时，点A 的坐标是31)2，得03xOA π∠=，再依据每12秒运动一周得出点A 每秒旋转的角度，从而t 秒旋转6t π，利用三角函数的定义即可得出y 关于t 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间. 【详解】解：根据题意，得3xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=， 所以t 秒旋转6t π，0,663A OA t xOA t πππ∠=∠=+，则sin sin 63y xOA t ππ⎛⎫=∠=+ ⎪⎝⎭．令22,2632k t k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：512112,k t k k Z -+≤≤+∈， 经检验：当1k =时，713t ≤≤，故D 符合， 故选：D ． 【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、填空题5．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ________ 【答案】(0,2)【解析】直接利用交集的概念运算即可. 【详解】解：由已知{}|02A B x x =<<I ， 故答案为：(0,2)本题考查交集的运算，是基础题.6．222lim 31n n n →∞=+________【答案】23【解析】将原式变形为22222lim lim1313n n n n n→∞→∞=++，进而直接求极限即可.【详解】解：222222lim lim 13133n n n n n→∞→∞==++， 故答案为：23【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = . 2【解析】试题分析：因为1iz i =+，所以11,iz i i+==-+2z =，也可利用复数模的性质求解：11 2.iz i i z i z =+⇒⋅=+⇒=【考点】复数的模8．若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为________【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵. 【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为111112⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：111112⎛⎫⎪-⎝⎭.本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =________ 【答案】21n +【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出n a . 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则35112418a a a d a d +=+++=，又13a =，2d ∴=， 21n a n ∴=+，故答案为：21n +. 【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.10．在6x x ⎛⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr rr r r r r C x C x x C xx ----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.11．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________. 【答案】4π【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为22124S rl πππ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示） 【答案】14【解析】首先找到使幂函数()k f x x =为偶函数的所有k ，然后利用概率公式求解即可. 【详解】解：要幂函数()k f x x =为偶函数，则2,2k =-， 故使幂函数()k f x x =为偶函数的概率为2184=， 故答案为：14【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.13．在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为________ 【答案】33【解析】利用222()2a b a b ab +=+-和余弦定理得出236c ab =-，利用条件求出ab 的最大值，代入236c ab =-，即可得边c 的最小值.【详解】解：由已知2222cos120c a b ab =+-o 2()2a b ab ab =+-+36ab =-226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，236927c ≥∴-=，33c ∴≥，故答案为：33【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.14．若函数221y ax a x =+--存在零点，则实数a 的取值范围是________ 【答案】3[0,]3【解析】将函数221y ax a x =+--存在零点转化为()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()2()2,()1f x a x g x x =+=-，则函数221y ax a x =+--存在零点等价于()2()2,()1f x a x g x x =+=-图像有交点， 如图：函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数2()1g x x =-2321a ==-， 所以()2()2,()1f x a x g x x =+=-30a ≤≤， 故答案为：3 【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 【答案】(,1]-∞-【解析】由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n an ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 16．如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是___【答案】90【解析】当90n <时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L ，sin 1(46,47,,90)j x j ==L 得出方程组的实数解，进而可得正整数n 的最小值.【详解】如果90n <，对于方程组1212sin sin sin 0(1)sin 2sin sin 2019(2)n n x x x x x n x ⎧++⋅⋅⋅+=⎨++⋅⋅⋅+=⎩ 用方程（2）减去方程（1）的45倍，得1444624744sin 43sin sin sin 2sin (45)sin 2019n x x x x x n x ----++++-=L L （3）（3）式的左端的绝对值不大于(44431)21980++⋯+⨯=， 因此（3）式不可能成立，故原方程组当90n <时无解； ∴从90n =开始分析，当90n =，我们可以取9120,,,x x x L 使sin 1(1,2,,45)i x i =-=L sin 1(46,47,,90)j x j ==L12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=则12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =故答案为：90. 【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现90n <时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题17．如图，四棱锥S ABCD-的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD AD a==，点E是线段SD上任意一点.（1）求证：AC BE⊥；（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30°.【答案】（1）证明见解析（2）当6ED a=时，BE与平面ABCD所成角的大小为30o【解析】（1）连结BD，通过证明AC⊥平面SBD，即可得AC BE⊥.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由SD⊥平面ABCD可得BE与平面ABCD所成角为EBD∠，ED t=，在Rt EDB∆中可求出t 值，即可得到点E的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结BD，因为四边形ABCD为正方形，所以，AC BD⊥，又因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC SD⊥．由AC BDAC SDBD SD D⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒AC⊥平面SBD．又因为BE⊂平面SBD，所以AC BE⊥．（2）解法一：设ED t=，因为SD⊥平面ABCD，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠ 在Rt EDB ∆中，由tan tan EBD ∠=30°2a =6t a ⇒=． 所以，当6ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()0,0,0D ，(),0,0A a ，(),,0B a a ，()0,,0C a ．设DE t =,则(0,0,)E t则(),,0AC a a =-u u u v ，(),,BE a a t =--u u u v因为2200AC BE a a ⋅=-+=u u u v u u u v， 所以AC BE ⊥;（2）取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =v因为(),,BE a a t =--u u u v，可知直线BE 的一个方向向量为(),,d a a t =--v ．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知θ=30o．d u r与n r 所成的角为φ，则222cos d nd na a tφ⋅==⋅++v v v v ，因为1sin cos 2θφ==22212t a a t =++， 解得，6t =．当63ED a =时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题. 18．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积. 【答案】（1）周期T π=，单调递增区间,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）33【解析】（1）将函数()f x 整理为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可求出周期，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求出x 的范围，即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）由函数()f x 的图像经过点(,2)B 可求出B ，再根据6BC BA ⋅=uu u r uu r，可求出ac ，利用面积公式即可求出△ABC 的面积 【详解】解：（1）由已知()cos 21322sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2,2T ππ∴== 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由已知()2sin 212630f B B B B πππ⎧⎛⎫=++=⎪ ⎪⇒=⎝⎭⎨⎪<<⎩， 又cos 6123BC BA ac ac π⋅==⇒=u u u r u u u r ，∴113sin 1233222ABC S ac B ==⨯⨯=△【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.19．某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元.（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？ 【答案】（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到2.1万元，详见解析 【解析】（1）首先得出种植户的平均收入31.8(14%)x +，得不等式31.8(1)2.425x +≥，解不等式即可得出答案;（2）得出该村平均每户的年收入为5(3) 1.8(1005)(1)525()100x x x x f x -+⨯-+=，利用二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥≥由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ 对称轴*16534x N =∉，因而当5x =时，max () 2.12 2.1f x =>可以达到2.1万元． 【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.20．已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围； （3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1（2）1(0,arctan )2（3）存在，实数t 的取值集合为{2,2}- 【解析】（1）求出曲线C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，表示出直线BH 的斜率，根据k 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线:0l y =，直线:m x t =和当直线:l x t =，直线:0m y =时，t 的值，当():()0l y k x t k =-≠时，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，利用弦长公式求出||AB 和||EF ，利用AB EF =uu u r uu u r列方程求出t 的值，验证判别式成立即可得出结果.【详解】（1）曲线C 的焦点为()()122,0,2,0F F -，渐近线方程y x =±，由对称性，不妨计算)22,0F 到直线y x =的距离，2012d -==.（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y k k x == 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2；（3）当直线:0l y =，直线:m x t =((222,1,0,1AB E t F t =---，221=2 2.t t -⇒=±当直线:l x t =，直线:0m y =时，2t =±不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，由弦长公式，2222221(1)1||111k t k AB k k k+-+∆=+=-- 将k 替换成1k-，可得222211||21k t k EF k +-+=-由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得2t =±，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立． 因此满足条件的集合为{2,2} 【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.21．定义1212231(,,,)n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.【答案】（1）6（2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的，详见解析（3）当n 为偶数时，4n ≥，()12max ,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+；当n 为奇数时，3n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，利用a b c >>或a b c <<判断正负即可；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列，可整理()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0，分n 的奇偶性讨论，确定各自含有的2,2,1,1--的个数，进而求出12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值. 【详解】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-= （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的证明：()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b b c c d a c c b b d -=-+-+---+-+-a b c d a c b d =-+-----a b c >>Q 或a b c <<，a b a c b c ∴---=--且c d b d b c ---≤-()(),,,,,,0f a b c d f a c b d c d b c b d b c b c ∴-=-----≤---=所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到；（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-.当n 为奇数时，有两种情况：系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-； 或系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1. [1]n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+ [2]n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤ ()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 综上，当n 为偶数时，4n ≥，()12max,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦221429232nnn =+⋅-⋅+；当n 为奇数时，3n ≥，()12max ,,...,n f a a a ⎡⎤⎣⎦122154213222n nn -=+⋅-⋅+ 【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.。
上海市浦东新区2020年高三调研数学试题
上海市浦东新区2020年高三调研数学试卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.2. 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间100分钟.一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．不等式0112≤--x x的解集为 。
2．若()1,4A ，)21,1(B ，)23,(-x C ，且0=⋅，则=x 。
3．根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 。
4．已知实数x 和纯虚数y 满足：i y i y x -=-+-)3()12（，（i 为虚数单位），则=x 。
5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 。
6．某赛车场的路线中有D C B A ,,,四个维修站如图所示．若维修站之间有路线直接联结（不经过其它维修站），则记为１；若没有直接路线联结，则记为0（A 与A ，B 与B ，C 与C ，D 与D 记0），现用矩阵表示这些维修站间路线联结情况为 。
7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等， 那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 。
8．（文科）已知2||=,3||=，3)2(=⋅+，则向量与（理科）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的三位数N N 的各位数字中，11=n ，)3,2(=k n k 出现0的概率为32，出现1的概率为3，记321n n n ++=ξ，当该计算机程序运行一次时，随机变量ξ的数学期望是 。
9．如图，1||||==，与的夹角为ο120，与的夹角为ο30，5||=，a ρ=，b ρ=，若=μλ+，则μλ+= 。
10．半径为1的球面上的四点A 、B 、C 、D 是正四面体的顶点， 则A 与B 两点间的球面距离为 。
11（文）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图和俯视图中，这条棱的投影是长为6和2的线段，在该几何体的侧视图中，这条棱的投影长OCBA为 。
上海市浦东新区2020届高三数学练习试卷(2020浦东新区三模) 理
2020年上海市浦东新区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数1lg )(-=x x f 的定义域为 . ),1(+∞2．若行列式124012x -=，则x = . 23．若椭圆的一个焦点与圆2220x y x +-=的圆心重合，且经过)0,5(，则椭圆的标准方程为 . 22154x y += 4．若集合{}1A x x x =<∈R ，，{}2B y y x x ==∈R ，，则I A =B C R .()1,0-5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y . 6 6．已知b n n an n =++∞→)1(lim （其中b a ,为常数），则=+22b a . 1 7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 648． ()51x +展开式中不含．．3x 项的系数的和为 . 229．在ABC ∆中，若1AB =，5BC =,且552sin=A ，则sin C = . 25410成绩（分） 50 61 73 85 90 94 人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到11．甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中至少有1人射中的概率为 . 0.9812．在极坐标系中，定点π1,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在曲线θρcos 2=上移动，当线段AB 最短时，点B 的极径为 22-13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”。
则原点)0,0(O 与直线052=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是52. 14．如图放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积 为 . π+1AA 1 DC BD 1 C 1B 1EFPQ• • ••二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 二. 选择题15．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 （ ） （B ）2个. （C ）3个. （D ）4个.16．若ABC ∆的面积333ABC S ∆∈⎣⎦，且3AB BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB u u u r 与BC uuur 夹角的取值范围是 （ ）（A ）[,]32ππ. （B ）[,]43ππ. （C ）[,]64ππ. （D ）[,]63ππ. 17．如图，正方体1111的棱长为6，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q 、分别在棱AB CD 、上，若2EF =,DQ x =，，则四面体的体积 （ ）（A ）与y x ,都无关. （B ）与x 有关，与y 无关.（D ）与x 无关，与y 有关.18．已知关于x 的方程20ax bx c ++=r r r r ，其中a r 、b r 、c r都是非零r r （ ）（A ）至多有一个解 （B ）至少有一个解 （D ）可能有无数个解 三、解答题 19．（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分． 已知虚数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=，（1）若55221=-z z ，求)cos(βα-的值； （2）若21,z z 是方程0232=+-c x x 的两个根，求实数c 的值。