2016新课标三维人教B版数学必修2 模块综合检测

(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于空间直角坐标系O -xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法：①OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，32； ②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确说法的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．1解析：选A ①显然正确；点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确． 2．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定解析：选C 将直线ax －y ＋2a ＝0化为点斜式得y ＝a (x ＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所以直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9必相交．故选C.3．过点M (1，－2)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y －4＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0解析：选B 设P (x 0,0)，Q (0，y 0)．∵M (1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0.4．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( )A ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m解析：选A对于A，若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A 正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A.5．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为() A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：选D∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，结合图形得b＝6.再由a2＋32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.6．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是()解析：选B由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD，且EC 投影在面PAD上，E的投影点为PA的中点，EC为实线，故B正确．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示(图中ABCD)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D.8．过点P (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为( ) A ．4 B ．2 C.85D.125解析：选A 根据题意，知点P 在圆C 上， ∴切线l 的斜率k ＝－1k CP＝－11－42＋2＝43，∴切线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与切线l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0. 故切线l 与直线m 间的距离d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4.9．已知三边长分别为3、4、5的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P -ABC 的体积为( ) A ．5 B ．10 C ．20D ．30解析：选A 由题意得△ABC 为直角三角形，其外接圆的直径2R ＝5，显然当且仅当OP ⊥平面ABC 时，满足点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，故所求的体积V ＝13S △ABC·R ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×4×52＝5. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12×2＝π，∴V ＝13＋π.11．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172B ．210 C.132D ．310解析：选C 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的 中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝⎛⎭⎫522＝132.12．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( ) A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1，由圆的性质知S 四边形PACB ＝2S △PBC ，∵四边形PACB 的最小面积是2， ∴S △PBC 的最小值为1＝12rd (d 是切线长)，∴d最小值＝2，|PC|最小值＝22＋12＝ 5.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，∴|PC|最小值＝51＋k2＝5，∵k>0，∴k＝2，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知平面α，β和直线m，若α∥β，则满足下列条件中的________(填序号)能使m⊥β成立．①m∥α；②m⊥α；③m⊂α.解析：m⊥α，α∥β⇒m⊥β.答案：②14．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝115．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．解析：当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴k AB＝－1－10－1＝2，∴kl1＝－1 2.∴直线l1的方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝016．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S-ABC的体积的最大值为________．解析：记球O的半径为R，作SD⊥AB于D，连接OD，OS，易求R＝23，又SD⊥平面ABC，注意到SD＝SO2－OD2＝R2－OD2，因此要使SD最大，则需OD最小，而OD的最小值为12×23＝33，因此高SD的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33.答案：33三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，|AD |＝8，BC 是⊙O 的直径，|AB |＝|AC |＝6，OE ∥AD ， 试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标． 解：因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ， 所以OE ⊥平面ABC .又AF ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以OE ⊥AF ，OE ⊥BC . 又BC 是圆O 的直径， 所以|OB |＝|OC |. 又|AB |＝|AC |＝6， 所以OA ⊥BC ，|BC |＝6 2. 所以|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OF |＝3 2.如图所示，以O 为坐标原点，分别以OB ，OF ，OE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，－32，0)，B (32，0,0)，C (－32，0,0)，D (0，－32，8)，E (0,0,8)， F (0,32，0)．18．(本小题满分12分)已知直线m 经过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32，被圆O ：x 2＋y 2＝25 所截得的弦长为8.(1)求此弦所在的直线方程；(2)求过点P 的最短弦和最长弦所在直线的方程． 解：(1)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为： y ＋32＝k (x ＋3)，即2kx －2y ＋6k －3＝0.由题意易知：圆心O 到直线m 的距离为3， 因此易求得k ＝－34.此时直线m 的方程为3x ＋4y ＋15＝0，而直线的斜率不存在时，直线x ＝－3显然也符合题意， 故直线m 的方程为3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3. (2)过点P 的最长弦所在直线为PO 所在直线， 方程为：y ＝12x .过点P 的最短弦所在直线与PO 垂直， 方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0.19.(本小题满分12分)如图，在五面体ABCD -EF 中，点O 是矩形ABCD的对角线的交点，而△CDE 是等边三角形，棱EF 綊12BC .(1)求证：FO ∥平面CDE ；(2)设BC ＝3CD ，求证：EO ⊥平面CDF .证明：(1)取CD 的中点M ，连接OM ，在矩形ABCD 中，OM 綊12BC ，又EF 綊12BC ，所以EF 綊OM .连接EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM .因为FO ⊄平面CDE ，EM ⊂平面CDE ， 所以FO ∥平面CDE . (2)连接FM .由(1)知，在等边三角形CDE 中，CM ＝DM . 所以EM ⊥CD ，且EM ＝32CD ＝12BC ＝EF . 因此▱EFOM 为菱形， 所以EO ⊥FM .因为CD ⊥OM ，CD ⊥EM ，OM ∩EM ＝M ， 所以CD ⊥平面EOM .所以CD ⊥EO . 而FM ∩CD ＝M ，所以EO ⊥平面CDF .20．(本小题满分12分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，在y 轴上截得的线段长为43，且半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求直线l 的方程．解：(1)直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1. ①又由圆C 在y 轴上截得的线段长为43， 得r 2＝(23)2＋a 2＝12＋a 2.又圆C 过点Q ，则(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2， ② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13＜25，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37＞25，不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)， 由题意可知OA ⊥OB ， 所以x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③式，整理得m 2－m －12＝0，所以m ＝4或m ＝－3，经检验都满足判别式Δ＞0， 所以直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3. 21．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，若G为PB的中点，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图(1)所示．(2)证明：如图(2)，①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，知PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.22．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H.(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心H (0,3)，半径r ＝12＋32＝10， ⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10. 设圆心H 到直线l 的距离为d ， 因为直线被⊙H 截得的弦长为2， 所以d ＝(10)2－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求； 当直线l 不垂直于x 轴时， 设直线方程为y －2＝k (x －3)， 则|3k ＋1|1＋k 2＝3， 解得k ＝43，∴直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0. (2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0， 设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )， 因为点M 是线段PN 的中点， 所以M ⎝⎛⎭⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，⎝⎛⎭⎫m ＋x 2－32＋⎝⎛⎭⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2， 因为关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点， 所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2， 又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对任意的m ∈[0,1]成立． 而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎡⎦⎤325，10，版权所有:中国好课堂 故r 2≤325且10≤9r 2. 又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对任意的m ∈[0,1]成立，即r 2＜325， 故⊙C 的半径r 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，4105.。