湖南省长沙市第一中学2018～2019学年度高二第一学期期末考试理科数学试题及参考答案

2018－2019学年度高中二年级第一学期期末考试数学(理科)时量:120分钟 满分:150分得分:______________ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数3＋i 1＋i＝A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i2.已知全集U ＝R ,函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ,集合N ＝{x |x 2－x <0},则下列结论正确的是A.M ∩N ＝NB.M ∩(∁U N )＝ C.M ∪N ＝U D.M (∁U N )3.已知命题p :a ∈R ,且a >0,a ＋1a≥2,命题q :x 0∈R ,sin x 0＋cos x 0＝3,则下列判断正确的是A.p 是假命题B.q 是真命题C.p ∧(綈q )是真命题D.(綈p )∧q 是真命题4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则{a n }的前10项和为 A.10 B.8 C.6 D.－85.已知函数f (x )＝e x ＋aex (a ∈R ),若f (x )为奇函数,则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x6.已知四边形ABCD 是平行四边形,点E 为边CD 的中点,则BE →＝ A.12AB →－AD → B.－12AB →＋AD → C.AB →＋12AD → D.AB →－12AD →7.某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数,y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数,y 2＝2x 3－x 2(x ＞0),为使利润最大,应生产A.9千台B.8千台C.6千台D.3千台8.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→,N 为B 1B 的中点,则|MN→|为A.216aB.66aC.156aD.153a9.已知直线l 1:x ＝－1,l 2:x －y ＋1＝0,点P 为抛物线y 2＝4x 上的任意一点,则P 到直线l 1,l 2的距离之和的最小值为A.2B. 2C.1D.2210.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋m ,若g (x )存在两个零点,则m 的取值范围是A.[－1,＋∞)B.[－1,0)C.[0,＋∞)D.[1,＋∞)11.在平面直角坐标系xOy 中,F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 是双曲线左支上一点,M 是PF 1的中点,且OM ⊥PF 1,2|PF 1|＝|PF 2|,则双曲线的离心率为A. 6B.2C. 5D. 312.已知函数f (x )＝ax＋x ln x ,g (x )＝－x 3＋x 2＋5.若对任意的x 1,x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2,都有f (x 1)－g (x 2)≤0成立,则实数a 的取值范围是A.(]－∞，2－4ln 2B.(－∞,1]C.⎣⎡⎦⎤2－4ln 2，12＋14ln 2D.⎝⎛⎦⎤－∞，12＋14ln 2 答题卡13.已知x >1,观察下列不等式: x ＋1x >2； x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…按此规律,第n 个不等式为________.14.若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋3≤0，x －1≤0，y －1≥0，则z ＝－x ＋y 的最小值为________.15.⎠⎛011－x 2d x －⎠⎛0πsin x d x ＝________.16.若函数f(x)＝ax 2＋x ln x 有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分. 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,其面积为S,且b 2＋c 2－a 2＝433S.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a ＝53,cos B ＝45,求c.已知数列{a n },S n 是其前n 项和,且满足3a n ＝2S n ＋n(n ∈N *).(Ⅰ)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列；(Ⅱ)记T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ,求T n 的表达式.如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为长方形,三角形SBC是边长为2的正三角形,将三角形SBC沿BC折起,使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上.(Ⅰ)证明:平面SAB⊥平面SAD；(Ⅱ)若AB＝1,求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值.已知圆M: x 2＋y 2＋22y －10＝0和点N ()0，2, Q 是圆M 上任意一点,线段NQ 的垂直平分线和QM 相交于点P , P 的轨迹为曲线E .(Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点,直线x ＝ty ＋m 交E 于B 、C 两点,直线AB, AC 的斜率分别是k 1, k 2,若k 1·k 2＝9,求:①m 的值；②△ABC 面积的最大值.已知函数f(x)＝x2＋ax＋ln x(a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域上的单调性；(Ⅱ)令函数g(x)＝e x－1＋x2＋a－f(x),e＝2.718 28…是自然对数的底数,若函数g(x)有且只有一个零点m,判断m与e的大小,并说明理由.(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.选修4－4:坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数).以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的普通方程及其极坐标方程；(Ⅱ)设直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2,射线OM:θ＝π6与圆C 的交点为P,与直线l的交点为Q,求线段PQ 的长.23.选修4－5:不等式选讲已知函数f(x)＝|x －1|＋|x ＋1|. (Ⅰ)解不等式f(x)≤2；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为m,若a,b 均为正数,且1a ＋4b＝m,求a ＋b 的最小值.2018－2019学年度高中二年级第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.D2.A 【试题解析】函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ＝{x |x <1},N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1},结合选项M ∩N ＝N 正确,选A.3.C 【试题解析】由均值不等式知p 为真命题；因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4≤2,所以q 为假命题,则綈q 为真命题,所以p ∧(綈q )为真命题.故选C.4.A 【试题解析】由题意可得a 23＝a 1a 4,即(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6),解之可得a 1＝－8,故S 10＝－8×10＋10×（10－1）2×2＝10.故选A.5.C 【试题解析】由题意,因为函数f (x )＝e x ＋a e x (a ∈R )为奇函数,则f (0)＝e 0＋ae0＝0,解得a ＝－1,即f (x )＝e x －1e x ,则f ′(x )＝e x ＋1e x ,所以f ′(0)＝e 0＋1e0＝2,即k ＝2,且当x ＝0时,f (0)＝e 0－1e0＝0,即切点的坐标为(0,0),所以切线的方程为y ＝2x ,故选C.6.B 【试题解析】如图,过E 作EF ∥BC ,由向量加法的平行四边形法则可知BE →＝BF →＋BC →＝－12AB →＋AD →,故选B.7.C 【试题解析】f (x )＝y 1－y 2＝－2x 3＋18x 2,f ′(x )＝－6x 2＋36x ＝0,x ＝6,故选C.8.A 【试题解析】如图,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则|MN →|＝|MA →＋AB →＋BN →|＝⎪⎪⎪⎪－13AC 1→＋AB →＋12BB 1→＝⎪⎪⎪⎪23a －13b ＋16c . 又a ·b ＝0,a ·c ＝0,b ·c ＝0,∴|MN →|2＝⎝⎛⎭⎫23a －13b ＋16c 2,可得|MN →|＝216a .或者建立空间直角坐标系来求解.9.B 【试题解析】抛物线y 2＝4x ,其焦点坐标F (1,0),准线为x ＝－1也就是直线l 1,故P 到直线l 1的距离就是P 到F 的距离.如图所示,设P 到直线l 2的距离为d ,则d ＋|PF |≥|1－0＋1|2＝2,当且仅当P ,E ,F 三点共线时等号成立,故选B.10.A 【试题解析】g (x )＝f (x )＋m ＋x 有两个零点, 等价于f (x )＋m ＋x ＝0有两个根, 即y ＝f (x )与y ＝－x －m 有两个交点, 画出y ＝f (x )与y ＝－x －m 的图象,如图,由图可知,当y ＝－x －m 在y 轴的截距不大于1时, 两函数图象有两个交点,即－m ≤1,m ≥－1,m 的取值范围是[－1,＋∞),故选A.11.C 【试题解析】因为M 是PF 1的中点,O 为F 1F 2的中点, 所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为OM ⊥PF 1,所以PF 2⊥PF 1.又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ,2|PF 1|＝|PF 2|,|F 1F 2|＝2c , 所以|PF 1|＝2a ,|PF 2|＝4a .在△F 1PF 2中,PF 2⊥PF 1,所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2. 代入得(2a )2＋(4a )2＝(2c )2,所以c 2a2＝5.即e ＝ 5.选C.12.A 【试题解析】根据题意,对任意的x 1,x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2,都有f (x 1)－g (x 2)≤0, 即f (x 1)≤g (x 2),f (x )max ≤g (x )min 恒成立,g ′(x )＝－3x 2＋2x ,在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2内先增后减,g (2)<g ⎝⎛⎭⎫12,故g (x )min ＝1. 则f (x )≤1,ax＋x ln x ≤1,解a ≤x －x 2ln x .令h (x )＝x －x 2ln x ,则h ′(x )＝1－2x ln x －x ,h ″(x )＝－2ln x －3.在区间⎣⎡⎦⎤12，2内,h ″(x )<0,h ′(x )递减,h ′(1)＝0,故x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时,h ′(x )>0, x ∈[1,2]时,h ′(x )<0,h (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫12，h （2）＝h (2)＝2－4ln 2, ∴a ≤2－4ln 2,则实数a 的取值范围是(－∞,2－4ln 2].故选A. 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.x n ＋nx>n ＋114.2 【试题解析】作出x ,y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3≤0x －1≤0y －1≥0表示的平面区域,得到如图的区域,其中A (－1,1),设z ＝F (x ,y )＝－x ＋y ,将直线l :z ＝－x ＋y 进行平移, 当l 经过点A 时,目标函数z 达到最小值, ∴z 最小值＝F (－1,1)＝1＋1＝2. 故答案为:2. 15.π4－2 【试题解析】由定积分的几何意义可知,⎠⎛011－x 2d x 是以原点为圆心,以1为半径的四分之一圆的面积,等于π4.⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0＝－cos π＋cos 0＝2.∴⎠⎛011－x 2d x －⎠⎛0πsin x d x ＝π4－2.答案为:π4－2.16.－12<a<0 【试题解析】f(x)＝x ln x ＋ax 2(x ＞0),f ′(x)＝ln x ＋1＋2ax.令g(x)＝ln x ＋1＋2ax ,函数f(x)＝ax 2＋x ln x 有两个极值点g(x)＝0在(0,＋∞)上有两个实数根.g′(x)＝1x＋2a＝1＋2ax x,当a ≥0时,g ′(x)＞0,函数g(x)在区间(0,＋∞)上单调递增,因此g(x)＝0在区间(0,＋∞)上不可能有两个实数根,应舍去.当a<0时,令g ′(x)＝0,解得x ＝－12a .令g′(x)＞0,解得0＜x ＜－12a,此时函数g(x)单调递增；令g′(x)＜0,解得x ＞－12a,此时函数g(x)单调递减.∴当x ＝－12a 时,函数g(x)取得极大值.要使g(x)＝0在区间(0,＋∞)上有两个实数根,则g ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＞0,解得－12<a<0.∴实数a 的取值范围是－12<a<0. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【试题解析】(Ⅰ)∵b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,S ＝12bc sin A ,∴代入已知等式得:2bc cos A ＝433·12bc sin A ,得:tan A ＝3,∵A 是三角形内角,∴A ＝60°.6分(Ⅱ)∵B 为三角形内角,cos B ＝45,∴sin B ＝1－cos 2B ＝35,∴sin C ＝sin (B ＋A)＝sin (B ＋60°)＝12sin B ＋32cos B ＝3＋4310,∵a ＝53,sin A ＝32,sin C ＝3＋4310,∴由正弦定理得:c ＝a sin Csin A＝3＋4 3.12分18.【试题解析】(Ⅰ)∵3a n ＝2S n ＋n ,∴a 1＝1, 当n ≥2时,3a n －1＝2S n －1＋n －1,即a n ＝3a n －1＋1,∴a n ＋12＝3a n －1＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n －1＋12, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32,公比为3的等比数列.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a n ＋12＝32·3n －1,∴a n ＝12×3n －12,∴S n ＝3a n －n 2＝34·3n －14()2n ＋3,8分∴T n ＝S 1＋S 2＋...＋S n ＝34()3＋32＋ (3)－14×()5＋2n ＋3n 2＝98()3n －1－n ()n ＋44.12分19.【试题解析】(Ⅰ)如图,作SO ⊥AD ,垂足为O ,依题意得SO ⊥平面ABCD ,∴SO ⊥AB. 又AB ⊥AD ,SO ∩AD ＝O ,∴AB ⊥平面SAD.又∵AB 平面SAB ,所以平面SAB ⊥平面SAD.5分 (Ⅱ)连结BO ,CO ,∵SB ＝SC ,∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ,BO ＝CO ,又四边形ABCD 为长方形,∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ,∴OA ＝OD. 取BC 中点E ,得OE ∥AB ,连结SE ,∴SE ＝3,其中OE ＝1,OA ＝OD ＝1,OS ＝3－12＝ 2.由以上证明可知OS ,OE ,AD 互相垂直,不妨以OA ,OE ,OS 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.∴DC →＝(0,1,0),SC →＝(－1,1,－2),BC →＝(－2,0,0), 设m ＝(x 1,y 1,z 1)是平面SCD 的法向量,则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2,0,1). 设n ＝(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量,则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0.即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 2＝1得n ＝(0,2,1). 则|cos 〈m ,n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝13×3＝13.12分 20.【试题解析】(Ⅰ)圆M: x 2＋y 2＋22y －10＝0的圆心为M ()0，－2,半径为23,点N ()0，2在圆M 内, ||PM ＋||PN ＝23>||MN , 所以曲线E 是以M, N 为焦点,长轴长为23的椭圆,由a ＝3, c ＝2,得b 2＝3－2＝1,所以曲线E 的方程为x 2＋y 23＝1.4分 (Ⅱ)①设B ()x 1，y 1, C ()x 2，y 2,直线BC: x ＝ty ＋m ,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 2＋y 23＝1, 得()1＋3t 2y 2＋6mty ＋3m 2－3＝0,Δ＝36t 2－12m 2＋12,y 1＋y 2＝－6mt 1＋3t 2, y 1y 2＝3m 2－31＋3t 2, 由k 1k 2＝9知y 1y 2＝9()x 1－1()x 2－1＝9()ty 1＋m －1()ty 2＋m －1 ＝9t 2y 1y 2＋9()m －1t ()y 1＋y 2＋9()m －12,且m ≠1,代入化简得()9t 2－1()m ＋1－18mt 2＋3()m －1()1＋3t 2＝0,解得m ＝2.8分②由Δ＝36t 2－12m 2＋12＝36(t 2－1)>0,解得t 2>1,S △ABC ＝12||y 2－y 1＝3t 2－11＋3t 2＝3t 2－14＋3()t 2－12 ＝34t 2－1＋3t 2－1≤34(当且仅当t 2＝73时取等号).综上,△ABC 面积的最大值为34.12分 21.【试题解析】(Ⅰ)由已知x >0,f ′(x )＝2x ＋a ＋1x ＝2x 2＋ax ＋1x, ①当a ≥－22时,f ′(x )≥0,则函数f (x )在(0,＋∞)单调递增.2分②当a <－22时,Δ＝a 2－8>0时,2x 2＋ax ＋1＝0有两个正根, 记x 1＝－a －a 2－84,x 2＝－a ＋a 2－84, 当x ∈(0,x 1)时,f ′(x )>0,f (x )递增,当x ∈(x 1,x 2)时,f ′(x )<0,f (x )递减,当x ∈(x 2,＋∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增.综上,当a ≥－22时,函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增.当a <－22时,函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a －a 2－84,⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－84，＋∞上单调递增, 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－84，－a ＋a 2－84上单调递减.5分 (Ⅱ)函数g (x )＝e x －1＋x 2＋a －f (x )＝e x －1－ln x －ax ＋a ,则g ′(x )＝e x －1－1x－a ＝h (x ), 则h ′(x )＝e x －1＋1x2>0,所以g ′(x )在(0,＋∞)上单调递增,当x →0时,g ′(x )→－∞；x →＋∞时,g ′(x )→＋∞；所以g ′(x )∈R ,所以g ′(x )在(0,＋∞)上有唯一零点x 0,所以g (x 0)为g (x )的最小值.由已知函数g (x )有且只有一个零点m ,则m ＝x 0.所以g ′(m )＝0,g (m )＝0,则⎩⎪⎨⎪⎧e m －1－1m －a ＝0，e m －1－ln m －am ＋a ＝0，则e m －1－ln m －⎝⎛⎭⎫e m －1－1m m ＋⎝⎛⎭⎫e m －1－1m ＝0,得(2－m )e m －1－ln m ＋m －1m＝0, 令p (x )＝(2－x )e x －1－ln x ＋x －1x(x >0),所以p (m )＝0, 则p ′(x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫e x －1＋1x 2,所以x ∈(0,1)时,p ′(x )>0,x ∈(1,＋∞)时,p ′(x )<0,所以p (x )在(0,1)单调递增,在(1,＋∞)单调递减,因为p (1)＝1>0,p (e)＝(2－e)e e －1－1＋e －1e ＝(2－e)e e －1－1e<0,所以p (x )在(1,e)上有一个零点,在(e ,＋∞)无零点,所以m <e.12分22.【试题解析】(Ⅰ)∵圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数), ∴消去参数α得普通方程为:x 2＋(y －1)2＝1.又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,∴(ρcos θ)2＋(ρsin θ－1)2＝1,化简得圆C 的极坐标方程为:ρ＝2sin θ.4分(Ⅱ)∵射线OM :θ＝π6与圆C 的交点为P . ∴把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得:ρP ＝2sin π6＝1. 又射线OM :θ＝π6与直线l 的交点为Q , ∴把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得:ρsin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝2. ρQ ＝2.∴线段PQ 的长|PQ |＝|ρP －ρQ |＝1.10分23.【试题解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≤2. ∴－1≤x ≤1,∴不等式解集为[－1,1].4分(Ⅱ) ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2,∴m ＝2,6分又1a ＋4b ＝2,a >0,b >0,∴12a ＋2b＝1, ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋2＝92, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝2，b ＝2a ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3时取等号,所以(a ＋b )min ＝92.10分。