结构的刚度计算

建筑力学行动导向教学案例教案提纲

模块六：静定结构的位移计算及刚度校核

6.1.1 杆系结构的位移

杆系结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横载面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。

图6-1 刚架的绝对位移图6-2刚架的相对位移

我们将以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移。

除荷载外，温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素，也将会引起位移，如图11.3(a) 和图11.3(b)所示。

图6-3其他因素引起的位移

6.1.2 计算位移的目的

在工程设计和施工过程中，结构的位移计算是很重要的，概括地说，计算位移的目的有以下三个方面：

1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。

2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还

需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。

3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一

定的施工措施，因而也需要进行位移计算。

建筑力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍虚功原理，然后讨论在荷载等外界因素的影响下静定结构的位移计算方法。

6.2.构件的变形与刚度校核

6.2.1轴心拉压变形

一、纵向变形

1、拉压杆的位移：等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位

置的改变，即产生了位移△l。

2、计算公式

N N F F l l dx dx dx E EA EA σ

ε∆====⎰⎰⎰ 图6-4轴心受拉变形

EA

l

F l N =∆—— EA 称为杆的拉压刚度 （4-2）

上式只适用于在杆长为l 长度N 、E 、A 均为常值的情况下， 即在杆为l 长度内变形是均匀的情况

[例6.2-1]某变截面方形柱受荷情况如图6-5所示，F=40KN 上柱高3m 边长为240mm,下柱高4m 边长为370mm ，E=0.03×105 Mpa 。试求：该柱顶面A 的位移。

解：1.绘内力图

图6-5

二、横向变形 1、横向变形

(公式6-1)

2.横向变形因数或泊松比

（公式6-2）

【例6.2-2】 一矩形截面钢杆，其截面尺寸b ×h =3mm ×80mm ，材料的E =200GPa 。经拉伸试验测得：在纵向100mm 的长度内，杆伸长了0.05mm ，在横向60mm 的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm ，试求：⑴ 该钢材的泊松比；⑵ 杆件所受的轴向拉力F P 。 解：（1）求泊松比。 求杆的纵向线应比ε

求杆的横向线应变ε′

求泊松比μ

（2）计算杆受到的轴向拉力

由虎克定律σ=ε·E 计算图示杆件在F P 作用下任一横截面上的正应力 σ=ε·E =5×10-4×200×103=100MPa

3333

52522.4010310120104100.03102400.03103701.86BC BC AB AB AB BC AB BC

N l N l l l l EA EA ∆=∆+∆=+-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯⨯=-求变形：

a a d -1=∆a a

∆-=

'εε

εν'

=νεε-='4105100

05

.0-⨯==∆=

l l ε4

'1055.160

0093.0-⨯-=-=∆=a a ε31.010

51055.14

4

'=⨯⨯-==--εεμA

F N

=

σ

M e

M e

γ

O

B

A

ϕ

可求得在F P 作用下，杆件横截面上的轴力

F N=σ·A =100×3×80=24×103 =24kN

该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即F N=F P ，所以该杆受到的轴向外力F P=24kN 。

6.2.2等直圆轴扭转时的变形及刚度条件

1、转角计算公式

扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 图6-6

p

p 1

dx d e e l

l M M l

x GI GI ϕγρ

===⎰

⎰

p

e M l

GI ϕ=

（公式6-3） p GI 称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。

2、刚度校核

（公式6-4）

6.2.3梁的位移及刚度校核 一、梁的位移 1、 梁的位移

梁平面弯曲时，每个截面都发生了移动和转动，如图6-7所示。横截面形心在垂直于轴线方向的线位移称为挠度，用w 表示。对于水平方位的梁，规定w 向下为正。实际上梁平面弯曲时横截面形心沿梁的轴线方向还有线位移。工程中梁的变形一般为小变形，曲率很小，弯曲引起的最大轴向位移不足杆长的十万分之一，所以忽略这种轴向位移。横截面的角位移θ称为转角。在图6-7b 所示的坐标系下，以顺时针转向的θ为正。

图6-7 梁的弹性曲线与梁的位移

梁的位移计算方法有挠曲线方程法、叠加法、图乘法，一般采用图乘法。

[]θφ≤⨯⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=π

180

max p max GI T

2、挠曲线方程法

通常梁的挠度是沿x 轴变化的，称为挠度方程：()w f x =，如图6-7所示。

//()tan ()

dw

f x dx

f x θθ

θ==≈∴= ()//

()3

22

//1

1x w M EI

w ρ

=

=±

⎡⎤+⎢⎥⎣⎦

由于1dw

dx

θ=

<< 所以2()//

2x M d w w dx EI

==± 积分得 图6-8挠度w 正负号确定（相反）

/()1

x w M dx C EI

θ==-

+⎰

()1x w M dx dx Cx D EI

⎡

⎤=-

++⎣⎦⎰⎰ 积分常数C 、D 利用梁的边界条件确定。

【例6.2-3】一悬臂梁在自由端受集中力Fp 作用。 试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。（EI 为常数）

解：1、弯矩方程为()()x M F l x =--

2、挠曲线近似微分方程为

()"x M Fl Fx

w EI

EI

-=-

=

3、一次积分得 2

1()2Fx Flx C EI θ=-+ （1） 二次积分得 23

1()26

Flx Fx w Cx D EI =

-++ (2) 4、边界条件 x=0 w=0

θ=0代入（1）

（2）式得C=0;D=0 5、转角方程及挠度方程为22Flx Fx EI EI θ=- 23

26Flx Fx w EI EI

=-