1 离散时间信号和系统
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
数字信号处理教学课件-第一章 离散时间信号与系统
三、序列的基本运算 1、序列的和 ：
❖ 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成
z(n) = x(n) + y(n)
的新序列x。(n)
22 1 11
0 123456 n
…… z(0) = x(0) + y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2
3 x(-n+1)
2 1
x(-n+1) 是x(-n) 右移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3
x(-n-1)
2
1
x(-n-1) 是x(-n) 左移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2020/7/27
❖ 仿真实验(Matlab)
x = wavread(‘w2.wav’); %读入声音文件 y = fliplr(x); %反褶 figure(1); plot(x); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(y); grid on;
……
y(n)
11 1 1 1
0 123456 n z(n)
33 2 22
2020/7/27
0 123456 n
❖ 仿真实验(Matlab)
x1=wavread(‘w1.wav’); %读入声音文件 x2=wavread(‘w2.wav’); y=x1+x2; %序列求和 figure(1); plot(x1); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,‘w3.wav’); %结果保存为声音文件
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
第1章 离散时间信号与系统
h ( m) x ( n m)
m
m
a
n
u ( m) u ( n m)
am ,
m 0
对于 n 0,,
1 a n 1 u ( n) 1 a
28
第1章 离散时间信号与系统
离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即
x(n) * h(n) h(n) * x(n)
2n， n 1 3 则 x ( n) y ( n) n 1 2， 2 ( n 1) n 1， n 0
如图1.1.8所示。
15
第1章 离散时间信号与系统
图1.1.8 两序列相加
16
第1章 离散时间信号与系统
4. 积
两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相 乘得到的一个新序列。
图1.1.9 例1.1.5的两个序列
18
第1章 离散时间信号与系统
1.1.3 序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足
x(n) x(n N )
（1.1.8）
则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。 下面讨论正弦序列的周期性 由于 则
x n Asin 0n
这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 N （N,K必 须为整数）。具体可分以下三种情况：
0
2 k
（1）当 N 2 为整数时，只要k =1，N 就为最小正整 0 2 。 数，故正弦序列的周期即为 N
0
2
（2）当 2 不是整数，而是一个有理数时， k值逐步增 0 2 加，其取值使 N k 为最小整数，这就是正弦序列的 2 N 周期。此时 k ，其中k,N是互为素数的整数，
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
数字信号处理-第2章第1讲 离散时间信号和离散时间系统
当a>1时 当-1<a<0时 当a< -1时
2.2 常用序列
5、正弦序列
x(n) Asin(n )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT ) T / fs 2 f / fs 单位rad, 单位rad / s
6、复指数序列
一阶后向差分： y(n) y(n) y(n 1) 二阶后向差分： 2 y(n) y(n) y(n 1)
y(n) 2 y(n 1) y(n 2) 用延时算子：Dy(n) y(n 1) y(n) y(n) Dy(n) (1 D) y(n) 1 D 2 y(n) y(n) y(n 1) (1 D) y(n) (1 D)Dy(n) (1 D)2 y(n)
卷积和
卷积和的定义
1. 交换律 2. 结合律
y(n) x(k)h(n k) x(n) h(n) k
y(n) h(n)x(n k) h(n) x(n) k
y(n) [x(n) h1(n)]*h2(n)
[x(n) h2(n)]*h1(n) x(n) [h1(n)*h2(n)]
线性非移变系统稳定的充要条件是满足绝对可 和的条件:
S h(n) n
证明:
(1)充分性
当 x(n) M得
y(n) h(k)x(n k) h(k) x(n k)
k
k
M h(k) 得证 k
(2)必要性
x(n) e( j)n
数字频率又叫归一化频率
x(n) en cos(n) jen sin(n)
《数字信号处理》第一章 离散时间信号与系统 (中文版)
m
x(m)h(n m)，
移不变性
aiT[xi (n)] i
m
x(n)h(n)
h(n) T[ (n)] h(n m) T[ (n m)]
x(n)
LSI y(n)
h(n)
y(n) x(n) h(n)
一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表 征，任意输入的系统输出等于输入序列和 该单位抽样响应h(n)的卷积和。
则要求0 N
2 k，即N
2 0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N是最小的正整数
1）当 2）当 3）当
分情况讨论
为2整数时
0 2
为0有理数时 为2无理数时
0
1）当 2 为整数时， 0
取k 1，x(n)即是周期为 2 的周期序列 0
如sin( n)，
4
0
，
4
2 8 N 0
该序列是周期为8的周期序列
2
9
n
)
7
y1(n) y2 (n) 满足可加性
T [ax1 (n)]
2
ax1(n)sin( 9
n
7
)
ay1(n)，a为常数 满足比例性
该系统是线性系统
例：证明由线性性系统
证：设y1(n) T[x1(n)] ax1(n) b
线性系统满足 叠加原理的直 接结果：零输 入产生零输出。
其它n
与其他序列的关系
RN (n) u(n) u(n N )
N 1
RN (n) (n m) (n) (n 1) ... [n (N 1)] m0
4）实指数序列 x(n) anu(n) a 为实数
5）复指数序列 x(n) e( j0 )n e n e j0n
第1章离散时间信号与系统
右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：
与
的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面 举例说明。
y[k] x[n]h[k n] n
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
单位脉冲响应（Impulse response）
定义： h[k ] T{ [k ]}
例：累加器:
k
y[k] x[n]
n
h[k ] u[k ]
LTI系统对任意输入的响应
T{x[k]} T{ x[n][k n]}
n
x[n]T{[k n]}
n
x[n]h[k n]
n
x[k]* h[k]
第1章离散时间信号与系 统
2021年8月29日星期日
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
实验一 离散时间信号与系统的傅里叶分析
电子信息工程系实验报告课程名称：数字信号处理成绩：实验项目名称：实验1 离散时间信号与系统的傅里叶分析时间：指导教师（签名）：班级：电信092 姓名：XXX 学号：910706201实验目的:用傅里叶变换对离散时间信号和系统进行频域分析。
实验环境:计算机、MATLAB软件实验原理：对信号进行频域分析即对信号进行傅里叶变换。
对系统进行频域分析即对其单位脉冲响应进行傅里叶变换，得到系统的传输函数；也可由差分方程经过傅里叶变换直接求其传输函数，传输函数代表的就是频率响应特性。
而传输函数是w的连续函数，计算机只能计算出有限个离散频率点的传输函数值，故可在0～2∏之间取许多点，计算这些点的传输函数的值，并取它们的包络，所得包络即所需的频率特性。
实验内容和步骤:1、已知系统用下面差分方程描述：y(n)=x(n)+ay(n-1)，试在a=0.95和a=0.5 两种情况下用傅立叶变换分析系统的频率特性。
要求写出系统的传输函数，并打印|H(e jω)|~ω曲线。
解：B=1;A=[1,-0.95]; [H,w]=freqz(B,A,'whole');subplot(1,3,1);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);grid on;xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');title('幅频响应特性');axis([0,2,0,2.5]);B=1;A=[1,-0.5];[H,w]=freqz(B,A,'whole');subplot(1,3,3);plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);grid on;xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');title('幅频响应特性');axis([0,2,0,2.5]);图形如下图1、2所示：图1 a=0.95时的幅频响应特性图2 a=0.5时的幅频响应特性2、已知两系统分别用下面差分方程描述: y1(n)=x(n)+x(n-1) y2(n)=x(n)-x(n-1)试分别写出它们的传输函数，并分别打印|H(e jω)| ~ω曲线。
1 离散时间信号与系统
其中把卷积和用 * 来表示。
• 卷积和的运算在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、 相乘、相加。 • (1)翻褶 : 先在哑变量坐标 m 上作出 x(m)和 h(m), 将 h(m) 以 m=0 的纵轴为对称轴翻褶成 h(-m) 。 • (2) 移位 : 将 h(-m) 移位 n, 即得h(n-m) 。当 n 为正整数 时, 右移 n 位。当 n 为负整数时, 左移 n 位。 • (3) 相乘 : 再将 h(n-m) 和x(m) 的相同 m 值的对应点值 相乘。 • (4) 相加 : 把以上所有对应点的乘积叠加起来 , 即得y( n) 值。 • 依上法, 取 n= … , -2,-l ,0,1,2, …各值, 即可得全部 y(n) 值。
• 2. 结合律 • 可以证明卷积和运算服从结合律，即
• 这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系 统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移 不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关，如图 1-21以下关系 : • 也就是说，两个线性移不变系统的并联(等式右 端)等效于一个系统，此系统的单位抽样响应等于 两系统各自单位抽样响应之和(等式左端)。如图 1-22 所示。
• 2. 翻褶 如果序列为 x(n), 则 x(-n) 是以 n=0 的纵轴为对称 轴将序列 x(n) 加以翻褶。
• 3. 和 两序列的和是指同序号 (n) 的序列值逐项对应相加而 构成一个新的序列, 表示为：z(n)=x(n)+y(n) • 4. 积 两序列相乘是指同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘。 表示为: z(n)=x(n)﹒y(n) • 5. 累加 设某序列为 x(n), 则 x(n) 的累加序列 y(n)定义为
m m
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。
频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。
对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。
在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。
频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。
DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。
DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。
频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。
DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。
DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。
DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。
DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。
对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。
频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。
首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。
其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。
此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。
第一章 离散时间信号和系统
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。
离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。
其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。
有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。
无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。
输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。
不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性离散时间信号与系统具有许多特性。
其中一些重要的特性包括时域特性、频域特性和稳定性。
时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。
离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和单位阶跃响应来描述。
频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。
其中一些常见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和解码。
它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
第1章离散时间信号与系统
2 (a)若： N ，N为整数，则序列的最小周期为N
0
(b)若： 2 N S L ，N为有理数但不是整数，L、S 0
为整数，则序列的最小周期为S。
2 0 N , 不是有理数，则序列是非周期性的 (c)若：
所以 x(n) 的周期N是 N1 , N2的最小公倍数30
(2) 1 2 1 , N1 8 ; 4 14
2
4
, N2
2 8; 4
13
N1/N2是无理数，所以x(n)是非周期的。
n0 n0
u(n-n0),n0>0
…
-1
…
0 1
(a)
2
3
n
… … -1
u(-n0-n),n0>0
…
0 1 (b) n0
… …
n
… … 图1.1.2
-n0
…
-1
… 0 1 …
n
思考： u(n+n0),n0>0; 的图形。
4
(c)
单位脉冲序列与单位阶跃序列的相互关系：
(n) u (n) u (n 1)
u(n) (n) (n 1) (n 2) (n m)
m 0
5
（３）矩形序列 (Rectangle sequence)
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
RN ( n )
1
…
0 1
-3 -2 -1
第1章 离散时间信号与系统
1.1.离散时间信号与离散LSI系统
▲
■
y(n) = {1, 3, 6, 6, 5, 3} ↑ n=0
数字信号处理（DSP）
▲
■
不进位竖乘法 (竖式法)
h(n) x(n) × 1 h(0) 1 x(0) 3 3 2 2 1 1 6 6 n=2 n=3 1 1 2 3 2
(有限长序列)
x(0)· h(0) 1 3 x(0)· h(1)+x(1)· h(0) 3 x(0)· h(2)+x(1)· h(1)+x(2)· h(0) x(0)· h(3)+x(1)· h(2)+x(2)· h(1)
三、几种常用序列
3
x(n)
1. 单位抽样序列 1, n 0 ( n) 0, n 0
2
( n)
1 1
-3 -2 -1 -2 -10 0 1 12 -1 2
n3
4
n
容易看出： x(n) (n - m) = x(m) (n - m)
任意序列可以表示成各延迟单位序列的叠加
幅度连续 幅度量化 (数字信号)
数字信号处理（DSP）
▲
■
系统也可以分为连续系统与离散系统
连续系统：输入、输出都是连续信号的系统； 离散系统：输入、输出均为离散信号的系统。 既有连续系统，又有离散系统的系统称混合系统
数字信号处理（DSP）
▲
■
数字信号处理的基本组成与实现
xa (t)
前置预 滤波器 A/ D 变换器
x ( n)
x(n) = 2 (n+2) + (n+1) + 3 (n) + (n-2) + 2 (n-3)
m -
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式中的符号“*”代表卷积运算，与连续函数卷积积分的计算 过程相似
1 离散时间信号和系统
2）图解法卷积的计算步骤 （1）变量置换：将x1(n)和x2(n)用x1(m)和x2(m)表示； （2）翻转：将序列x2(m)进行翻转，形成x2(-m)； （3）移位：将x2(-m)移位n，得到x2(n-m)。当n>0时，序
如果
x(n+N)=x(n)
1 离散时间信号和系统
则要求 ω0N = 2kπ ，式中k与N均取整数，且k的取 值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。下面可分几种情况讨论：
(1)当2π/ω0为整数时，只要k = 1，就能保证N为最 小正整数，即周期为2π/ω0。例如sin(π/4)n， ω0 =π/4， 2π/ω0 =8，因此该正弦序列周期为8。
bT［x2(n)］= 3bx2(n)+5b T［ax1(n)+bx2(n)］= 3[ax1(n)+bx2(n)]+5 T［ax1(n)+bx2(n)］ ≠ aT［x1(n)］ + bT［x2(n)］
因此，该系统不是线性系统。
练习：证明
y(n)
=
x(n) sin(ω0n
+
π
4
)
所代表的系统是线性
系统。
则当且仅当
T ［ ax1(n)+bx2(n) ］ =aT ［ x1(n) ］ +b T ［ x2(n) ］ = ay1(n)+by2(n) （1.2.2）
时，系统为线性系统，其中a和b均是常数。
1 离散时间信号和系统
【例1.2.1】判断y(n)=3x(n)+5是否为线性系统。 解： aT［x1(n)］= 3ax1(n)+5a
即
x(n) = ∑∞ x(m)δ (n − m)
m=−∞
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很 有用的公式。
1 离散时间信号和系统
【例1.1.1】 x(n)的波形如图1.1.6所示，用单位脉冲序列 及其加权和表示x(n)。
图1.1.6 用单位脉冲序列移位加权和表示序列
解： x(n) = -δ(n+3)+δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+ δ(n-3)+2δ(n-4)+δ(n-5)-δ(n-7)
1 离散时间信号和系统
1.2 时域离散系统
数字信号处理就是将输入序列变换为所要求的输
出序列。在数学上一个离散时间系统可以定义为一种 变换或算子(算法)，可以形象地以图1.2.1来表示。设时 域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出 序列用y(n)表示，运算关系用T［· ］表示，输出与输入
−∞ < n < ∞
(1.1.2)
信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图 形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，
则其可以用集合符号表示，例如：
x(n)={ … 1.4，2.6，3.5，4.9，0，0.8… }
1 离散时间信号和系统
1.1.1 常用的典型序列 1）单位脉冲序列δ(n)
(n)
=
0,
0 ≤ n ≤ N −1 n < 0, n ≥ N
(1.1.8)
矩阵序列如图1.1.3所示。显然，矩形序列和单位阶
跃序列的关系为： RN(n)=u(n)-u(n-N)
(1.1.9)
图1.1.3 矩形序列
1 离散时间信号和系统
4）实指数序列
x(n)=anu(n)，
a为实数
如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为 收敛序列；如|a|>1，幅度随n指数增长，则称为发散序 列。其波形如图1.1.4所示。
1 离散时间信号和系统
(2) 2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ω0 = A/B，其中A、B为互质的整数，此时只要取k = B时，才 能保证N为整数。这时为最小正整数，则正弦序列是以A 为周期的周期序列。例如sin(3/4)πn， ω0 =(3/4)π，2π/ω0 =8/3，取k = 3，该正弦序列是以8为周期的周期序列。
δ(n)=u(n)-u(n-1)
(1.1.5)
而
u(n) = ∑∞ δ (n − k)
(1.1.6)
k =0
令n-k=m，代入上式得到
u(n) = ∑n δ (m)
m = −∞
(1.1.7)
1 离散时间信号和系统 图1.1.2 单位阶跃序列
1 离散时间信号和系统
3） 矩形序列RN(n)
1,
RN
列右移；n<0时，序列左移； （4）相乘与求和：对于给定的n值，将x1(m)和x2(n-m)相
同m的序列值对应相乘，并求和得到该n值时y(n)值。
卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这 类卷积称为序列的线性卷积。设两序列长度分别为N和 M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。
1 离散时间信号和系统
1 离散时间信号和系统
1 离散时间信号和系统
1.1 离散时间信号 1.2 时域离散系统 1.3 离散时间线性时不变系统和差分方程 1.4 模拟信号的采样和恢复
1 离散时间信号和系统
1.1 离散时间信号
对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，
得到
xa (t) t=nT = xa (nT )
1 离散时间信号和系统
1.2.2 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T［· ］在整个运算
过程中不随时间变化，这种系统称为时不变系统。若 输入x(n)的输出为y(n)，则将输入序列移动任意位后，
所得的输出序列跟着移位而数值保持不变。用公式表
示如下： 则
y(n)=T［x(n)］ y(n-n0)=T［x(n-n0)］
脉冲响应是无限长的，该系统称为无限长单位脉冲响 应（IIR）系统。FIR系统和IIR系统是两类非常重要的
正弦序列 ω 0
=
1 10
π
1 离散时间信号和系统
因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此
得到数字频率与模拟角频率之间的关系为
ω0=Ω0T
(1.1.13)
式(1.1.13)表明，数字域频率ω0是模拟域角频率Ω0 的T倍。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可
以表示成下式：
ω0
=
Ω0 fs
(1.1.14)
式中ω0称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度， 它表示序列变化的速率。正弦序列如图1.1.5所示。
对连续时间正弦信号进行采样也可以得到正弦序
列。例如： xa(t)=sin(Ω0t)
它的采样值为： xa (t)|t=nT=sin(Ω0nT) x(n)=sin(ω0n)
1 离散时间信号和系统
）
图 1.1.5
1 离散时间信号和系统
1 离散时间信号和系统
（3）序列的移位 序列x(n)平移n0个序数，可以表示为y(n) = x(n-n0)。当
n0 >0时称为x(n)的延时序列；当n0 <0时，称为x(n)的超 前序列。
（4）序列的翻转和尺寸变换 序列x(n)如图1.1.7(a)所示，将序列x(n)以纵坐标为
1 离散时间信号和系统
所谓单位脉冲响应，是指输入序列为单位脉冲序 列δ(n)，系统输出的初始状态为零时系统的输出，一般 用h(n)表示。换句话说，单位脉冲响应即是系统对于 δ(n)的零状态响应。用公式表示为
h(n)=T［δ(n)］
(1.2.4)
如果系统的单位脉冲响应h(n)的长度有限，该系统 称为有限长单位脉冲响应(FIR)系统；如果系统的单位
之间关系用下式表示：
y(n) = T［x(n)］
(1.2.1)
1 离散时间信号和系统
x(n)
y(n)
T[•]
图1.2.1 时域离散系统
1 离散时间信号和系统
1.2.1 线性系统 设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分
别用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］
t 0 (b )
ห้องสมุดไป่ตู้
图1.1.1单位脉冲序列和单位脉冲信号
(a)单位脉冲序列；
(b)单位脉冲信号
1 离散时间信号和系统
2）单位阶跃序列u(n)
1 u(n) =
0
n≥0 n<0
(1.1.4)
单位阶跃序列如图1.1.2所示。它类似于模拟信号中的 单位阶跃函数u(t)。δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：
【例 1.1.2】 设单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如图 1.1.8所示，用图解法求 y(n) = x(n) ∗ h(n) 。
解：
图1.1.8 例1.1.2用图
y(n) = x(n) ∗ h(n) = ∑∞ x(m)h(n − m)
m = −∞
图解法过程如图1.1.9所示。
1 离散时间信号和系统 图1.1.9 例1.1.2解图
(1.2.3)
1 离散时间信号和系统
【例1.2.2】判断y(n)=3x(n)+5代表的系统是否是时
不变系统。
解：
y(n-n0) = 3x(n- n0)+5 y(n- n0) = T［x(n- n0)］
因此该系统是时不变系统。
1 离散时间信号和系统
【 例1.2.3】证明 y(n) = x(n)sin(ωn) 所代表的系统不是时 不变系统。
−∞<n<∞
(1.1.1)