4.2一元二次方程的解法(3)f
21.2.2一元二次方程的解法(3)因式分解法
2
2.用因式分解法解方程：
2 (1)x -2x
-8=0
2 (2)x –x
– 12=0
2 （3）x +6x-7=0
（ 1） a · b＝0
a ＝ 0 或 b＝ 0 。
（2）(x-2)(x+3)=0
x-2=0或x+3=0
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分 解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法. 1.用分解因式法解一元二次方程的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零; 2.理论依据是 “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
21.2.3
因式分解法(1)
一、情景设置 导入新知
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
x2=p (p≥0) (ax+b)2=p (p≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
b b 4ac 2 . b 4ac 0 . (3)公式法: x 2a
例2 用因式分解法解下列方程:
(1)
(2)
2 x + 2 x –
8x +12=0
11x – 12=0
四、基础练习 巩固新知
1.解下列方程：
(1) x x 0, (2) x
2
2
2
2 3x 0,
2
(3)3x 24 x 12,
(4)4 x 25 0
2
(5)3x(2 x 1) 4 x 2
例1
用因式分解法解下列方程:
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程（Quadratic Equation）是指只含有一个未知量的二次方程，通常具有如下一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数且a不等于0，x为未知数。
解一元二次方程的过程被称为解方程或求根，下面将介绍三种常见的解法。
一、因式分解法如果一元二次方程可被因式分解为两个一次因式的乘积形式，即方程左边可以被写成两个因式的乘积，那么可以通过令每个因式等于零并求解来得到方程的解。
具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 对方程左侧进行因式分解：(px + q)(rx + s) = 0，其中p、q、r、s 为实数。
3. 令每个因式等于零进行求解：px + q = 0 以及 rx + s = 0。
4. 求解得到每个因式的解：x = -q/p 以及 x = -s/r。
通过以上步骤，我们可以得到方程的解。
二、配方法有些一元二次方程无法直接进行因式分解，但可通过配方法（Completing the Square）将其转化为完全平方形式来求解。
具体步骤如下：1. 将方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 将方程左侧组成一个完全平方形式：(x + d)^2 = e，其中d为实数，e为某个表达式。
3. 展开完全平方形式，得到新的方程形式：x^2 + 2dx + d^2 = e。
4. 对比原方程与新方程，列出两边的对应系数，解出d和e。
5. 将新方程移到原方程中，得到ax^2 + bx + c = 0形式的新方程。
6. 利用一次项系数可配出的完全平方形式，将新方程化简为(a'(x +d')^2 = e')形式。
7. 可得到方程的解：x = (-d' ± √e') / a'，其中±表示两个解。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求得方程的解。
4.2一元二次方程的解法(3)
第四章 一元二次方程4.2 一元二次方程的解法（3）【学习目标】:1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
【重点和难点】：重点：掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式【知识回顾】1、用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0；2、方程x 2-25x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？【预习指导】如何解方程2x 2-5x+2=0？点拨：对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解【典型例题】例1、解方程：01832=++x x例2、-01432=++x x例3、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与抛出后小球运动的时间t （s ）有如下关系：h=24t-52t 。
经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m ？【知识梳理】用配方法解一元二次方程的步骤是：【课堂练习】1、填空：(1)x 2-31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2.（3）a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )22、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）A.2x 2-4x+4=3+4B. 2x 2-4x+4=-3+4C.x 2-2x+1=23+1D. x 2-2x+1=-23+1 5、用配方法解下列方程：（1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-（3）x x 10152=+ （4） 3y 2-y-2=06、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.【课外练习】解下列方程：（1）22x -8x+1=0； （2）212x +2x-1=0；（3）22x +3x=0； （4）32x -1=6x（编写人：赵雯君）。
一元二次方程的解法(因式分解法)
4.2一元二次方程的解法（因式分解法）教学目标：1．应用因式分解法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．教学重点：应用因式分解法解一元二次方程．教学过程：复习： 把下列各式因式分解（1）x x -22 （2）2216y x -（3）162492+-a a （4）16)2(2--x （5）2310x x +- （6）23103x x -+例题讲评：例1．用因式分解法解一元二次方程（1）x x 42-= （2）0)3(3=+-+x x x（3）0)12(22=--x x （4）291240y y -+=(5)01242=-+x x (6)271360x x -+=能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件： 例2.解下列一元二次方程（1）09)1(6)1(2=+---x x （2）()22932x x -=-(3)2(1)0()x a x a a -++=为常数 (4) ()()5412=-+x x例3．小明解方程)2(4)2(2+=+x x 时，在方程的两边都除以（x +2），的x +2=4，解得x =2，你认为对吗？为什么？用因式分解法解一元二次方程的步骤是（1）通过移项，将方程右边化为零；（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积；（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个__________，求得方程的解．课堂练习：1.方程x （x +1）=3（x +1）的解的情况是 （ ）A ．x =-1B ．x =3C ．3,121=-=x xD ．以上答案都不对2.已知322--=x x y ，当x = 时，y 的值是-3．3．解下列一元二次方程（1）0)3)(12(=++y y （2）032=-x x（3）01272=+-x x （4）)12(3)12(4-=-x x x（5）0502022=+-x x （6）0)1(922=--t t（7）()()04323322=-+-+x x (8) 025)5(4=+-y y(9)()()02123122=++++y y （10）02222=-++b a ax x (a 、b 为常数)课后练习： 姓名：1．方程x 2 = x 的根是2．（1）已知最简二次根式62+x 与x 5是同类二次根式，则x=（2）已知最简二次根式x x 32+与x +15是同类二次根式，则x=3．方程（x －1）（x －2）=0的两根为x 1，x 2且x 1＞x 2，则x 1－2x 2=4．已知实数x 满足4x 2－4x +1=0，则代数式2x +x 21的值为5．要使分式2544x x x -+-的值为0，则x 应该等于6．方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0的解是x 1=_________，x 2=_________7．当x = 时，代数式562++x x 的值与1-x 的值相等8．下列说法正确的是 （） A ．解方程t 2 = t ，得t =1 B ．由（x +1）（x －3）=3，可得x +1=3或x －3=3C ．方程2(21)3(21)0x x +++=，两边都除以2x +1，解得x 1=x 2=－2D ．方程2690x x -+=的根是x 1=x 2=39．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 （） A ．(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0B ．(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1C ．(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D ．x (x +2)=0 ∴x +2=010．方程ax (x －b )+(b －x )=0的根是 （）A ．x 1=b , x 2=aB ．x 1=b , x 2=a 1C ．x 1=a , x 2=b 1D ．x 1=a 2, x 2=b 211．用因式分解法解下列方程（1）022=+x x （2）2(1)2(1)0y y y -+-=（3） 2491210x -= （4）229124(32)x x x -+=-（5）05522=+-x x （6）2(2)4(2)30x x +-++=（7）0122=-+x x(8)2)2(3-=-x x x（9）04)1(2=--x (10)01)2(2)2(2=+---x x（11）024102=-+x x （12） 03232=--x x12．用适当的方法解下列方程（1）（x +3）（x －1）= 5 （2）0)12(1622=+-x x（3）2(21)3(21)x x -=+ （4） 0142=--x x13．已知()()0622222=-+-+b a b a ，求22b a +的值．14.已知关于x 的一元二次方程0)1()1(232=+-+++k k k x kx 的一个根为0，求k 的值．。
一元二次方程的解法(配方)
如果k＜0，那么方程
就没有实数解。
想一想
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛 点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间 t（s）有如下关系：
h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m？
练一练
1解下列方程 （1）2x2-8x+1=0
(2) 1 x2+2x-1=0
2
后一个方程中的二次项系数变为1，即方程 两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转 化为学过的方程的形式，用配方法即可求出
方程的解
如何用配方法解方程2x2-5x+2=0 呢？
试一试 用配方法解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5x10 2
移项，得 x2 5 x 1
系数化为1 移项
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
概念巩固
用配方法解下列方程，配方错误的是（C）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t2-7t-4=0化为(t-
7 2
)2=
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x- )2= 10 39
典型例题 例 解下列方程
1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2
解：（1）系数化为1，得 x2
移项，得 x2 3x
3x1
1 4
0
4
配方，得 x2 3x32 19
2 4 4
即
一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(提高)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m≠0，解得x ＝1．(2)当m+n≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 24|6|2()n m m x m n -±==+，∴ 11x =，25n m x m n-=+．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a mb mc =-=-= ∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 3(1),2(1)m m x m -±+==- ∴ 122, 1.1x x m==-2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ m ==1==，∴ 11m =+21m =．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m m x ±==∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=.134．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
4.2一元二次方程的解法因式分解
典型例题
例 1 用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x （2）（x+3）2-x（x+3）=0 （3）6x2-1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）x2-6x-16=0
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（2x－1）2=x2 （2）（2x-5）2-2x+5=0
归纳：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解
2 2
9 . x 12 x 27 0 ;
2
10 . 2 ( x 3 ) x 9 .
2
我最棒
,用分解因式法解下列方 程
4. ( 4 x 2 ) x ( 2 x 1) 5 . 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ); ;
2
6 .( 3 x 1) 5 0 ;
2
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
2
3x 7 x 4 ?.
2
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 7 x 6 0得x1 1, x2 6;
2
而x 7 x 6 ( x 1)( x 6);
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 2.3 y 2 解 : 1. 一元二次方程
一元二次方程的解法三公式法,因式分解法—巩固练习提高-精品
一元二次方程的解法(三).•公式法，因式分解法一巩固练习(提高)【巩固练习】一、选择题1 .方程(x —3)(x+2)=l 的解为().A.x=3B.x=-2C.%=3,X 2=-2D.以上结论都不对2 .整式x+1与整式x-4的积为x'-3x-4,则一元二次方程--3*-4=0的根是（）. A•Xi=-1,X2=—4B.Xi=11,X2=4C.Xi=L X 2=4D.Xi=LX2=-43 .如果x2+x-l=0,那么代数式d+2/—7的值为（） A.6B.8C.-6D.-84 .若关于x 的一元二次方程(mT )x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m 的值等于()A.1B.2C.1或2D.06.(2015•广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程X 2-7X +10=0的两根，则该等腰三角形周长是().A.12B.9C.13D.12或9二、填空题7 .已知实数x 满足4X 2-4X +1=0,则代数式2x+4-的值为. 2x8 .已知y=x 2+x-6,当x= __________ 时,y 的值是24.9 .若方程/+如+〃可以分解成(x-3)与(x+4)的积的形式，则m=,n=10 .若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab,B|Ja^b=4ab,例如2X6=4X2X6=48.(1)则3X5的值为；(2)则xXx+2Xx-2X4=0中x 的值为；(3)若无论x 是什么数，总有aXx=x,则a 的值为.11 .(2014秋•王益区校级期中)阅读下面的材料，回答问题：解方程X4-5x2+4=。
，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2=y,那么x4二y2,于是原方程可变为y 2-5y+4=0①，解得yi=l,y2=4.当y=l 时,x 2=l,x=±l ； 当y=4时,X 2=4,/.X =+2；原方程有四个根:xi=l,X2=-1,X3=2,X4=-2.(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用—法达到—的目的，体现了数学的转化思想.(2)方程(x 2+x)2-4(x 2+x)-12=0的解为.12 .若方程(2012x)2-2011X2013x-1=0的较大根为a,方程--2012*-2013=0的较小根为b,5.若代数式 （X — 2）（% — 1）的值为零，则X 的取值是(）- A. x= 2 或 x = lC. x=2 B. x= 2 且 x = lD. x=-l则(Q+。
4.2一元二次方程的解法(开平方)
练一练
4一个球的表面积是100cm2， 求这个球的半径。 （球的表面积s=4R2，其中R是
球半径）
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归纳总结
1、用直接开平方法解一元二
次方程的一般步骤； 2、任意一个一元二次方程都
可以用直接开平方法解吗？
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谢谢大家
11.06.2 生产计划
023
部
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（2）移向，得x2=2
∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的根为： x1=
，x2=
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概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方 根的意义求解
4 25
的平方根是___ _52 __
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的；
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
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尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
整体，就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 2
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2
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典型例题
例2解下列方程：
⑵ （x－1）2－4 = 0
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解；
一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法【基础练习】 一、选择题1．方程x 2﹣2x=0的根是（ ） A ．x 1=x 2=0 B ．x 1=x 2=2 C ．x 1=0，x 2=2 D ．x 1=0，x 2=﹣2 2．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =- 3．一元二次方程2340x x +-=的解是( )A ．11x =；24x =-B ．11x =-；24x =C ．11x =-；24x =-D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．方程x 2+x ＝0的解是___ _____；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可)11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________． 12．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2﹣8x +15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．三、解答题 13．解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法） （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：方程24b ac-的值24b ac -的符号（填＞0，=0，＜0）1x ，2x 的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）2230x x --=2210x x -+= 2230x x -+=(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【提高练习】一、选择题1.方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=6B ．x 1=﹣6，x 2=2C ．x 1=﹣3，x 2=4D ．x 1=﹣4，x 2=32．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )． A ．x 1＝-1，x 2＝-4 B ．x 1＝-1，x 2＝4 C ．x 1＝1，x 2＝4 D ．x 1＝1，x 2＝-4 3．如果x 2+x -1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )．A ．x ＝2或x ＝1B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )．A ．12B ．9C ．13D ．12或9 二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式122x x+的值为________． 8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝__，n ＝____． 10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为 ；(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为 ；(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为 ． 11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4． 当y=1时，x 2=1，∴x=±1； 当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．12．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x 2﹣16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 ．三、解答题13. 用公式法解下列方程：2(1)210x ax --=； （2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+> ．14．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=015．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． (3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211x x +； ②2212x x +．【基础答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C【解析】解：x 2﹣2x=0，x （x ﹣2）=0，解得：x 1=0，x 2=2．故选：C ． 2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2．12.【答案】19或21或23．【解析】由方程x 2﹣8x +15=0得：（x ﹣3）（x ﹣5）=0， ∴x ﹣3=0或x ﹣5=0， 解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21； 当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19； 综上，该等腰三角形的周长为19或21或23. 三、解答题 13. 【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0， （x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0， ∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】 (1)方程24b ac-的值24b ac -的符号（填＞0，=0，＜0）1x ，2x 的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）2230x x --=16＞0 不等 2210x x -+= 0 =0 相等 2230x x -+=-8＜0不存在(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2；② 原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③ 原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．【提高答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D【解析】x 2+x ﹣12=（x +4）（x ﹣3）=0，则x +4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ． 2．【答案】B ；【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．3．【答案】C ．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．∴32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．4.【答案】B ；【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m -2)＝0，即m -1＝0或m -2＝0，∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m -1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2．5．【答案】C ；【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．6．【答案】A ；【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12． 二、填空题 7．【答案】2； 【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==， 所以121122x x+=+=． 8．【答案】5或-6；【解析】此题把y 的值代入得到关于x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-．9．【答案】 1 ； -12 ；【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m ＝1，n ＝-12． 10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14a =． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-；(3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=， ∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立．∴ 14a =． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．【解析】解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0， 解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2． 由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．12.【答案】24或8．【解析】解：∵x 2﹣16x +60=0， ∴（x ﹣6）（x ﹣10）=0， 解得：x 1=6，x 2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高， ∴BD=4，AD==2， ∴S △ABC =BC•AD=×8×2=8；当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°， S △ABC =BC•AC=×8×6=24． ∴该三角形的面积是：24或8．故答案为：24或8．三、解答题13.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞∴2224412a a x a a ±+==±+ ∴22121, 1.x a a x a a =++=-+ （2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=， 令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞，∴ 222224()22B B AC a b a b x A ab -±-+±-==，∴ 222221222a b a b a ax ab ab b++-===， 222222()222a b a b b bx ab ab a+--===，∴ 1a x b =，2b x a=． 14.【答案与解析】 解：（1）直接开平方得：2x-3=±5， ∴2x-3= 5或2x-3=-5∴x 1= 4，x 2= -1 （2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b 2-4ac=16-8=8. ∴ 422=222x ±=±，∴12=22=22.x x +-，（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x 1= 6，x 2= -1. 15.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.②3132+ ；3132- ； 3 ；-1. ③ 73-； 1 ； 43- ； 73- . (2)242b b ac a -+- ； 242b b ac a --- ；b a - ；ca.(3)1232x x +=-，1212x x =-g ． ①1212123112312x x x x x x -++===-．②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．。
一元二次方程的基本解法
一元二次方程的基本解法嘿，小伙伴们，今天咱们聊聊一元二次方程。
别一听这个名词就头大，其实它就是个数学小怪兽，但说白了，也就是我们经常见到的那种“x的平方加上x再加上常数等于零”的方程。
我们一步步来，把它拆解开，搞清楚怎么解这个方程，让它不再那么神秘。
1. 一元二次方程是什么？一元二次方程，其实就是含有一个未知数的二次方程，形如：ax² + bx + c = 0。
听起来有点拗口，对吧？别担心，咱们举个例子，帮大家更好地理解。
1.1 方程的组成部分ax²：这里的a是二次项的系数，它决定了方程的开口方向和大小。
bx：b是一次项的系数，它决定了方程的斜率。
c：c是常数项，也就是方程的“常驻”部分。
拿一个具体的方程来看，比如：2x² + 3x 5 = 0。
这就是个一元二次方程，我们的目标就是找到x的值，让这个方程成立。
1.2 方程的几何意义如果把方程画在坐标系上，你会发现它的图像是一条抛物线。
找方程的解，就是找这条抛物线和x轴交点的位置。
说白了，就是找那些“x”值，让方程的值变成零。
2. 解一元二次方程的常见方法好了，了解了方程的基本概念，我们来看看具体的解法吧。
一般来说，有几种常用的办法。
2.1 配方法这方法有点像玩魔术，咱们把方程变得简单易解。
首先，把方程改写成一个完全平方的形式。
举个例子，我们来看方程：x² + 6x + 8 = 0。
1. 把方程左边调整为完全平方：我们可以把x² + 6x变成(x + 3)² 1，然后得到(x + 3)² 1 + 8 = 0。
2. 化简方程：变成(x + 3)² + 7 = 0。
3. 解方程：我们把(x + 3)² = 7，开方得到x + 3 = ±√(7)，但因为√(7)是虚数，这表明方程没有实数解。
配方法虽然有点复杂，但它特别适合用来解决某些特殊类型的方程。
2.2 求根公式这个方法就像是数学界的万能钥匙。
一元二次方程的解法(三)公式法(课件)数学九年级上册(人教版)
8
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4
8
2
【分析】∵一元二次方程ax2-x+2=0有实数根，
∴b 4ac -1 -4a 2 1 8a 0 ，且a≠0，
1
解得 a ≤ 且a≠0．
8
2
2
例3.已知关于x的一元二次方程 kx 2 (k 3) x 3 0(k 0)．求证：
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0
(2)x2-
1
3x- =0
4
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
b b 2 4ac 1 25 1 5
x
2a
2 1
2
∴
，得 k 且 k 1
4
Δ 1 4(k 1) 0
解得
且 k 1．
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或
两个相等实根两种情况.
已知一元二次方程 ax x 2 0 有实根，a的取值范围是（ B）
1
1
1
1
a≤ 且a 0
A．a ≤
B．
C．a
将x=2代入 x 2 kx k 1 0 有
4-2k+k-1=0
解得k=3
2
则方程为 x 3x 2 0
解得x1=2，x2=1
等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．
2
例4.已知关于x的一元二次方程 x kx k 1 0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
一元二次方程组的解法
判别式法的优缺点
优点
通用性强：适用于所有一元二
计算简便：只需计算一次判别
01
次方程，无论其是否有实根。
02
式，然后根据判别式的值进行
分类讨论。
03
缺点
无法直接得到根的具体形式：
02
• 对于一些简单的方程，可以快速求解。
03
04
缺点
05
• 对于一些复杂的方程，可能难以找到合 适的因式分解方法。
06
• 无法直接求解一元二次方程组的所有解 ，需要结合其他方法使用。
05 一元二次方程组的解法判别式法
判别式法的基本步骤
写出方程的一般形式
$ax^2 + bx + c = 0$
计算判别式
动力学问题
在涉及力、质量和加速度 等物理量的动力学问题中， 一元二次方程组可以帮助 求解未知的物理量。
振动和波动问题
在解决振动和波动等问题 时，一元二次方程组可以 用来求解频率、振幅、周 期等关键参数。
在经济问题中的应用
成本和收益分析
在经济学中，一元二次方 程组可以用来分析成本和 收益之间的关系，帮助决 策者制定最优策略。
01
1. 将一元二次方程化为一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$ 。
02
2. 计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$。
03
3. 根据判别式的值，选择不同的解法
04
• 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，使用 求根公式 $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是代数中常见的一类方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
解一元二次方程的过程涉及到求根的操作，根据一元二次方程特性定理可知，一元二次方程的解有两个。
为了求解一元二次方程，我们可以运用一些常用的数学方法和技巧。
首先，我们回顾一下如何确定一元二次方程的解的情况。
根据一元二次方程的特性定理，方程的解可以分为三种情况：两个实数解、一个实数解和两个共轭复数解。
当一元二次方程有两个实数解时，方程的判别式D = b^2 - 4ac大于零。
在这种情况下，可以使用求根公式来计算方程的解。
求根公式为x = (-b ± √D) / 2a。
在计算时，根据正负号的不同，可以得到两个实数解。
当一元二次方程有一个实数解时，方程的判别式D = b^2 - 4ac等于零。
在这种情况下，可以使用求根公式来计算方程的解。
求根公式为x = -b / 2a。
可以得到一个实数解。
当一元二次方程没有实数解，即方程有两个共轭复数解时，方程的判别式D = b^2 - 4ac小于零。
在这种情况下，我们可以通过化简方程，将方程写成标准形式。
标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a>0，然后将方程配方为(a1x + b1)^2 + b2 = 0的形式，再根据解方程的办法，解出方程。
在实际解题过程中，我们可以考虑使用因式分解、配方法或者求根公式来求解一元二次方程。
因式分解适用于一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的情况。
通过分解两个因式并令其等于零，可以得到方程的解。
配方法适用于一元二次方程不能直接因式分解的情况。
通过选择适当的常数，使方程可通过配方来进行变形，变形后的方程可以使用因式分解或求根公式进行求解。
求根公式适用于解一元二次方程的一般情况，即判别式D大于等于零的情况。
举个例子来说明一下解一元二次方程的过程。
假设我们要解方程x^2 + 3x - 4 = 0。
学年新教材高中数学第一章预备知识4.2一元二次不等式及其解法课件北师大版必修第一册
解:(1)因为方程 2x2-3x-2=0 的 Δ=(-3)2-4×2×(-2)>0,
所以该方程x2=2.
画出函数 y=2x2-3x-2 的图象,
可知该函数的图象是开口向上的抛物线,
且与 x 轴有两个交点
- ,
和(2,0).
观察图象可得原不等式的解集为{x <
- ,或
x>2}.
第十四页，编辑于星期五：二十三点 四十五分
。
(2)原不等式可化为3x2-6x+2<0,因为方程3x2-6x+2=0的Δ=
(-6)2-4×3×2>0,所以该方程有两个不相等的实数根,
√
√
解得 x1=1- ,x2=1+ .
画出函数 y=3x2-6x+2 的图象可知
该函数的图象是开口向上的抛物
所以该方程有两个不相等的实数根,
解得x1=1,x2=6.
画出函数y=x2-7x+6的图象,
可知该函数的图象是开口向上的抛物线,
且与x轴有两个交点(1,0)和(6,0).
观察图象可得原不等式的解集为{x|1<x<6}.
第十九页，编辑于星期五：二十三点 四十五分
。
探究二 含参一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a≥0).
根.
第九页，编辑于星期五：二十三点 四十五分。
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是全体实数的条件是
什么?
提示:令y=ax2+bx+c,由题意知y>0恒成立,则一元二次函
数y=ax2+bx+c的图象应开口向上,与x轴无交点,即应满足
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∴
7 81 x 2 2
∴，x1=4，
1 x2 2
典型例题
例
用公式法解下列方程： (3) x2=3x-8
解（3）移项，得x2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解
用公式法解一元二次方程的一般步骤？
用公式法解一元二次方程首先要把它化 为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出 b2-4ac的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代 入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无 实数 解(根)
2
用直接开平方法和配方法解一元二次方程， 计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法？
知识回顾
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
3.如何用配方法解一般形式的一元二次 解：因为a≠0
2
，所以方程两边都除以a，得
b c x x 0 a a b c 2 移项，得 x x a a
b b 2 c b 2 配方，得 x 2 x( ) ( ) 2a 2a a 2a
初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 公式法 （第3课时）
泗阳县实验初级中学
知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是 什么？
二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根
2、用配方法解下例方程 2 （1）2 x 7 x 2
（2）
0
2x 4x 5 0
b2-4ac=32-4×1×2=1＞0
∴
3 1 x 2 1
∴x1=-1，x2=-2
典型例题
例
用公式法解下列方程： ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
解（2）移项，得2x2-7x-4=0 ∵a=2，b=-7，c=-4
b2-4ac=4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4×2×（-4）=81＞0
b 4ac 0
ax bx c 0 (a 0) 在一元二次方程 中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是 2 由于 无意义 b 4ac
2
概念巩固
1.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0) 形式为______，b2-4ac=____ 2.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正 确的是（ ）
12 144 12 A.x= 2
12 144 12 C.x= 2
12 144 12 B.x= 2
12 144 48 D.x= 6
=
典型例题
例 用公式法解下列方程： ⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
解（1）∵a=1，b=3，c=2
，x2=2
探究
1.为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？ 2
在用配方法求 的根时，得
ax bx c 0 (a 0)
2
b 2 b 4ac (x ) 2 2a 4a
2
2
因为负数没有平方根，所以
2.在一元二 次方程 ax bx c 0 (a 0) 中，如果 b2 -4ac＜0，那么方程有实数根吗？为什么？
练一练
1用公式法解下列方程 (1)x2-3x-4=0 (2)2x2+x-1=0 （3）x2-2x=3 （4）x（x-6）=6
(5)4x2+4x-1=-10-8x （6）2x2-7x+7＝0
想一想
两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数
归纳总结
1、解一元二次方程一般有哪几种方法？
2.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程时要注意什么？ 3、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？
2
b b 2 4ac 即 x 2a
你能得出什么结论？
概括总结
一般地，对于一般形式的一元二次方程 2
ax bx c 0 (a 0)
b 4ac 0 时，它的根是
2
2
当
b b 4ac （ b2 4ac 0 ） x 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公 式解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所 确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程 中系数a、b、c的值，直接求得方程的解。
2
b 2 b 4ac ) 即 (x 2 2a 4a
2
想一想：即
b 2 b 4ac (x ) 2 2a 4a
2
能用直接开平方解吗？
不能
什么条件下就能用直接开平方解？
当
b 4ac 0,且a≠0时，可以开平方
2
b b 2 4ac 得 x 2a 2a
b b 4ac 所以 x 2a 2a