必修4-平面向量总复习ppt课件

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高中数学必修四《平面向量》PPT

B、e1和3e2 D、e1和e1 e2
2、指出下列两个向量的夹角。
120
0
1200
600
思维拓展
1、如图所示，在平行四边形ABCD中，
AD =a，AB=b，E、M分别是AD、DC的中
点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为
基底分别表示向量 AM
B
和
F
EF
.
C
M
A ED
思维拓展 2、如图在平行四边形ABCD中， AC =a，BD =b，以a，b为基底分别表示向量 AB 和 BC 。
AB 1 a- 1 b 22
BC 1 a+ 1 b 22
DF
C
M
AEB
思维拓展
3、设 e1, e2 是平面的一组基底，如果 AB 3e1 2e2, BC 4e1 e2,CD=8e1 9e2 求证：A、B、D 三点共线．
2.3.1 平面向量基本定理
复习回顾
1.两向量的加法和减法有哪些几何法则？
2.怎样理解向量的数乘运算 a？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时，λa与 a方向相同；
λ<0时，λa与 a方向相反； λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
b与非零a共线
存在唯一实数λ，使b＝λa.
思维引领
问题1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思维引领
问题2：已知 e1 :
e2 ：
分别用 e1，e2 表示下列向量：

人教版高中数学必修4《平面向量》课件共15页

44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
人教版高中数学必修4《平面向量》课件
1、纪律是管理关系的形式。——阿法纳西耶夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响，而是让儿童练习良好道德行为，克服懒惰、轻率、不守纪律、颓废等不良行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸美纽斯
• 围绕类比、数形结合、等价转化的数学思想方法这一主题来展开教学环节； • 着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的能力是设计这堂课的出发点；
• 教学中采用多媒体的手段，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构，让学生感受到数学变化的美； • 在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。
5、教导儿童服从真理、服从集体，养成儿童自觉的纪律性，这是儿童道德教育最重要的部分。—— 陈鹤琴
教学方法的选择
1.教学方法---启发探究式的教学方法
•由教材的特点确立类比思维为教学的主线 •由学生的特点确立自主探索式的学习方法
2.教学手段
•多媒体投影仪、计算机辅助教学
教学过程的设计
B
A
O
C
F
D
E
教学过程的设计
4.学习，小结阶段
通过学习小结进行课堂教学反馈，组织和指导学生归纳知识，技能，方法的一般规律，为后续学习打好基础。
板书设计
一.向量的概念
［练习1］评析
二.向量的几个表示
［练习2］评析例题评析
三.相等向量与共线向量
自我教学评价
• 这节课安排了知识引入、知识探索、知识应用、总结和作业等几个教学环节。既讲授了新知识, 又训练了学生的解题技能;

高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件

[解析] 解法一：2a－3b＝2(5,4)－3(3,2)＝(1,2)．设与 2a－3b 平行的单位向量为(x，y)，则xy2－＋2yx2＝＝01 ，
解得 x1＝
5 5
，或 x2＝－
5 5
.
y1＝2 5 5
y2＝－2 5 5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
解法二：与 2a－3b 平行的单位向量是
±|22aa－－33bb|＝±1，52＝±
55，2
5
5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
▪ [例3] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a ＋b|的值．
▪ [分[解析析]] 解本法题一：考因查为|向3a－量2b的|＝模3，的求法及有关数所量以积9a的2－运12a算·b＋．4b2＝9.
章末归纳总结
▪ 1．向量运算 ▪ (1)加法运算 ▪ 加法法则：
▪ 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)，a＋0＝0＋a＝a.
▪ 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
▪ (2)减法运算： ▪ 减法法则：
▪ 坐标运算：
▪ 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
▪ ▪
a设－Ab、A→＝B＝B(两x(x12－－点xx1的，2，y坐2－y标1y－1)分．y2别)．为(x1，y1)，(x2，y2)，
▪ (3)实数与向量的积
▪ 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0.
▪ 其中正确命题的序号为___a·b＝0，故①不正确；
▪ ②由向量加减法的平行四边形法则知， a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝ |a－b|；

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件

2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|；（2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

必修4 平面向量总复习课件

3、数量积的坐标运算
B
a ?b ? x1 x2 ? y1 y2
4、运算律: （1） a ?b ? b?a
Oθ
B
A
（2）（? a）?b ? ?（a ?b）? a（? ?b）1
（3）（a ? b）?c ? a ?c ? b ?c
.
5、数量积的主要性质及其坐标表示：
?1?a ? b ? a ?b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
必修四平面向量
专题复习
.
知识
向量的概念
零向量、单位向量、共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
平面
加法、减法
向量平行的充要条件
的平行和比例
向量
数乘向量
ห้องสมุดไป่ตู้
平面向量基本定理
问题的
初
向量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决步图形应
的垂用
两向量数量积
向量垂直的充要条件直和角度,
两点. 的距离公式
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
.
一、平面向量概念
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
?5?a ?b ? a ?b
.
例1.设非零向量a , b不共线，c ? ka ? b, d ? a ? kb (k ? R), 若c // d ,试求 k.

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT

栏目导引
第二章平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目导引
第二章平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目导引
第二章平面向量
【名师点评】两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
栏目导引
第二章平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目导引
第二章平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹角为________．
答案：60°
栏目导引
第二章平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一对基底概念的理解例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

高中数学必修四人教版第二章：平面向量4ppt课件

一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
(5)0 a a 0 a
(6)0 0
(7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0
|a|
一.基本概念
区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量
运算律
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
ab |a|
可正可负可为零
二.基本运算（坐标途径）
若a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ), 则
1)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
2)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
五.应用举例
向量加减法则
例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,
设OA a, OB b, 试用a, b表示MN
五.应用举例
向量的长度与夹角问题

例2.
已知两单位向量a与b的夹角为120 ，若 c 2a b, d 3b a, 试求c与d的夹角的余弦值.
练习1、、若a (4,2),求与a垂直的单位向量. 变、若a (4,2),求与a平行的单位向量.
谢谢观看！
今日作业 1.系统复习平面向量一章的基础知识 2.完成《非常学案》中平面向量一章的习题周二单元检测
| a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2 )
二.基本运算（向量途径）
3.实数与向量的积

人教版必修四第二单元平面向量的复习课件

变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的

人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)

解：设c→=x→a+→yb，即（4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标。（2）位置不同的向量其坐标可能相同。（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。（4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出：向已量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2，吗？y2)，你能
r rrr rr 解： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已知 R ，向量 a (x ， y )，那么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j

人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt

D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
知识梳理经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

人教A版数学必修4 课件平面向量

始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件平面向量（精品课件）
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3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
A
D
F
人教A版数学必修4 课件平面向量（精品课件）
B
C E
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A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度）
(2)字母表示法： a , b , AB
人教A版数学必修4 课件平面向量（精品课件）
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【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
人教A版数学必修4 课件平面向量（精品课件）
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【易错点拨】两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向

高中数学人教B版必修四第2章《平面向量》ppt总结课件

平面向量的坐标运算
(1) 向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． (2)通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．
例2 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)， c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n； (2)(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d.
例1 如图，▱OADB 中，O→A＝a，O→B＝b，B→M＝13B→C，C→N
＝13C→D，若M→N＝xa＋yb，求实数 x、y 的值．
【分析】先看清有关的比例关系，再把M→N用 a，b 表示出来，待定系数法求 x，y.
【解】 B→M＝13B→C＝16B→A＝16(O→A－O→B)＝16(a－b)， O→M＝O→B＋B→M＝b＋16a－16b＝16a＋56b， C→N＝13C→D＝16O→D， ∴O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1， ∴4x－x－442＋－2y－y－112＝＝10 ，
x＝4＋
5 5
x＝4－
5 5
解得
，或
，
y＝1＋25 5
y＝1－25 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
【解】设 M(x，y)是轨迹上任一点，设 A(0，b)， Q(a,0)(a>0)，则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)， ∵A→M＝－32M→Q， ∴a＝13x，b＝－2y， ∴A(0，－2y)，Q(x3，0)， ∴P→A＝(3，－2y)，A→M＝(x，32y)．

人教A版数学必修-课件ppt-平面向量4-【完整版】

不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
已知两个非零向量 a和b .如图，
作OA a,OB b,则AOB (0 180 ) B
叫做向量 a 与 b 的夹角.
显然，当 0 时，a与b同向； b
当 180 时,a与b反向.
如果a与b的夹角是90 ， O
m－1＝－λ
∴n＝12λ
，消去 λ 得 m＋2n＝1. ①
而C→M＝O→M－O→C＝m－14a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b，
∵C, M, B 三点共线，∴C→M＝μC→B，
∴m－14＝－14μ ，消去 μ 即 4m＋n＝1. ② n＝μ
人教 A 版数学必修4 课件平面向量 4 -精品课件 ppt(实用版)
其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
人教 A 版数学必修4 课件平面向量 4 -精品课件 ppt(实用版)
C．①③
D．②
人教 A 版数学必修4 课件平面向量 4 -精品课件 ppt(实用版)
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选 B.
P
B
O
A
l
【解析】根据平面向量基本定理，同一平面内任意向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得
OP OA AP OA t AB
OA t (OB OA)，
即 OP (1 t )OA tOB.
【变式练习】
已知 a , b 不共线，且 c 1 a 2 b ( 1 , 2 R ) ，

人教A版数学必修4PPT课件平面向量4

数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量4
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝－2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．（难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）.
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量4