证明与联想
对一个优美不等式的证明及联想
４ ４
—
—
釜
＋
≤
（２ 寿 （ ＋ 碍 ＋ ｘ 寿
３ ４
１ ＋ （ 寿
于南 是
一 ２ ＋ｖ ＋ ｘ 丝
＋ 赤
｝ ｙｚ （ ＋ ＋ ）
≥ ｝
十 Ｖ 十
问 题 ６ 已知 ，Ｙ 为 正 实 数 ， 求 证 ：— Ｌ ： ，
从 而 原 不 等 式 得 证
Ｊ 一 — — — ＿ ＋ ２ｙ＋
问题３ 已知 ， ∈ 求证： ： ， ｚ Ｒ ， 而
＋
ｘ
２＋ ＋ ＋ ＋ ≤４ ห้องสมุดไป่ตู้ 。 务 ＋ 、 ２
硼
卫 ：由于 一＋ｙ＋２ ２ ２ ｚ ｘ２
硼 － 于 ＋ ｔ ≤ 、 ｆ 自 焉ｖｚ ） ＋ ／ …、 ＋ ＋＋ ） ’ ． ＝ ＂ 一 鼎丽 ４ ２ ｆ －
２１ ０ ２年
第 ５期
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｈｎ ｓ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ． ２ １ ０５ ０２
摘要 ：从证 明一 个优 美不等式 出发 ，通过条件 与结论的适 当改变 ，联 想得到一 些类似的不等 式 问题 ，从 中我 们可 以感 悟
到 不 等 式 问题 的 奥妙 之 处 ．
关键词 ：优 美不等式 ；证明 ；联 想 安振平老师在文［ ］ １ 中提 出了二十六个优美不等式 ，下面证
明第 十 八 个 ．
硼 于 岫 南 ≤ 再 ’ 舳有 寿 ≤ 赢 ’ ≤
＿ １ ’
问题 ：设 ，Ｙ ，ｚ为正实 数 ，且 满足
Ｙ＋ｚ ，求证 ： ＝１
寺 ＋ 旁 ＋
≥ ｝
≤－ ｝
类比联想 猜想证明
（一 Ⅱ
广为以 Ａ 大 Ｊ Ｂ为 直径 的 圆经 过 椭 圆 的有 顶 点 ，
所 以 ＬＡＣ Ｂ：９ 。 ０， ｊ － ， ． ：０，
定（ 点
，） 之 若 线 经 定 （ 等，） ｏ 反 ， 直 ｆ过 点 兰 ０ ， ，
（ ２ ） ＋２ ｍ Ｚ ｂ ＋ａ ｋ ｋ ａ ｘ＋ａ ａｂ ：０ ２ 一２ ｍ ，⑧
点） ，且 以 Ａ 为直 径 的 圆经 过 椭 圆 的 右 顶 点 ， 则 直 线 Ｚ 过 定 Ｂ 经
点 （
，右顶 点为
一０． ，
没 ４、日两点 的坐标分别为 Ａ（
Ｃ（ ａ，０ ），
一
、
角 的 类 比
ｋ２２ ＋ ２ｋ ａ ＋ ａ ｋ ａｂ ｍ ３ ４ ＋ ｂｍ ２
圆周 角 定理 ：直 径 所 对 的 圆周 角为 直 角 ．
一
类 比猜 想 ：圆 经 过 压 缩 变 换 可 以得 到 椭 圆 ，我 们 可 以 把 圆 周 角 定 理 直 接 类 比到 椭 圆 中 ，即 “ 过 椭 圆对 称 中心 的 弦 （ 经 连 接 椭圆上任 意 两点的线段 ）所 对 的椭 圆周角 （ 点在 椭 圆上 ， 顶
反 ， 直 Ａ经 定 （ ，） 之 若 线 Ｂ 过 点等 ０ ，
则 ． ： 恒成立，即厶４ 口： ０． 商 ０ ｃ ９。
综 上所 述 ，我们 探 索 出定 理 １ 、定 理 ２ 、定 理 ３ ． 定理 １ ：若 直 线 ｚ ｈ ＋ｍ ：ｙ ∈Ｒ，ｍ ∈Ｒ） 与 椭 圆 ＋ ｌ（ 。＞６＞０ 相 交 于 Ａ、曰 两 点 ） 、日 不 在 左 、 右 顶
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
中点的联想
想中位线定理，得出 FG∥BC，FE∥AC，且 AC=2FE.
在 Rt△ADC 中，G 是斜边 AC 的中点，联想到直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，由此得出 AC=2DG，从而得出 FE=DG，
图7
最终求证四边形 EFGD 是等腰梯形 .
联想四：出现“两条平行线所截得的线段的中点”时，联想“八字形”全等三角形 .
3C 37
联想二：出现“直角三角形斜边上的中点”时，联想“斜边上的中线等于斜边的一半”.
联想三：出现“三角形两边的中点”时，联想“三角形的中位线定理”.
例 如图 7，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E，F，G 分别是
BC，AB，AC 的中点，求证：四边形 EFGD 是等腰梯形 .
【分析】因为点 E，F，G 分别是 BC，AB，AC 的中点，可以由此联
学会了这六种关于中点的联想，当你再看到题目出现中点时，一定能快速找到证明的方法 .
1. 如图 a，点 E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AB，BC 的中点，连接 AF，CE，且两条线的交点为 G，
3C 39
图a 2. 如图 b，三角形 ABC，D 为 BC 的中点，BE⊥AF，CF⊥AF，求证：DE= DF.
图b 3. 如图 c，以△ABC 的边 AB，AC 为斜边向外作 Rt△ABD 和 Rt△ACE， 且∠ABD=∠ACE=α，点 P 是 BC 的中点，求证：DP=EP.
图c
唯美英语哲理 You never get a second chance to make a first impression. 永远没有第二次机会，给人留下第一
首先，我们先来看一道例题 . 例 如图 1，已知 E 点为中点，∠BAE=∠CDE，求证：AB=CD. 【分析】要想证明 AB=CD，可以联想到两个全等三角形，但是根据题目的条件可知，△ABE 与 △CDE 并不全等，因此我们必须构造出我们需要的全等三角形 . 方法一：如图 2，延长 DE 至 F，使 DE=EF，连接 BF，通过证明△BEF≌△CED，得到 BF=CD，又 因为∠F=∠CDE=∠BAE，得到△ABF 是等腰三角形，从而得出 AB=CD. 方法二：如图 3，延长 DE 至 F，使 EF=EA，连接 CF. 这个方法与方法一类似，只不过构造的全 等三角形是△ABE 和△CFE. 方法三：如图 4，过点 C 和点 B 分别作 DE 边上的垂线，垂足为 G，F，此时△BFE 和△CGE 全 等，得到 BF=CG，又因为∠BAE=∠CDE，所以△ABF≌△DCG，从而得出 AB=CD.
证明 联想 启示——对一道几何探究题的追溯
２ ２ 过程催生想法 ．
系不 变 ”的过 程 中 起 着 关 键 作 用 的是 ： 中点 Ｐ 等腰 、
ＺＢ Ｄ和等腰 ＡＢ Ｆ 那么能否再 利用 中点 Ｐ和两个等 ＸＣ Ｇ，
腰三角形性质构造 出新 的思路呢 ？
证法 ４ 如图 ７ 连 ，
对证法 １ 的解题过程进行分析 ， 线段 Ｐ， Ｐ Ｃ和 Ｃ的关 系是依赖于 中点 Ｐ的 ， 且线段 ｐ，Ｐ 而 Ｃ Ｃ的地位 是平 等 、
２ ３ 信息整合萌发新思路 ．
对 角线 Ｂ Ａ Ｄ、Ｃ互相垂直平分 ， Ｂ 且 Ｄ平分 ／Ａ Ｃ ＿Ｂ ；
中点 Ｐ起着“ 桥梁与纽带” 的作用 ， 由于 四边形 Ａ －
对角线 Ｂ 、 Ｅ互 相垂 直平分 ， Ｇ ＦＣ 且 Ｅ平分 ／Ｂ， ， ＿Ｃ Ｆ
・ 研究 ． 解题
‘ ．
．
◆－ ７ 擞 （０￣ ９ 初 版 ２９ 期・ 中 ） ０
’ ． ．
Ｇ ＢＣ ＝ １ ０。一 ／ ＢＥ ． ８ ＿Ａ
‘ Ｄ ｜ Ｆ Ｉ Ｅ．Ｄ｝ Ｂ ： Ｈ｝Ｇ Ｂ Ｃ ｌ ． Ａ
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故 ＺＤ Ｎｖ ＺＭ Ｆ， Ｄ Ｘ Ｂ ＂Ｘ Ｂ 又 曰上Ｂ Ｎ Ｍ， Ｂ上Ｂ Ｆ， 从 而得到 ＝
‘
曰ｌＣ ＝ Ｐ舭 Ｄ
＝ １ ０。一 ／ ＢＥ， ８ ＿Ａ
＝
， Ｎ￣Ｎ Ｄ Ｆ，
‘
．
．
△ Ｃ８Ｃ Ａ ＨＤＣ．
・
．
．
Ｃ ＝Ｃ ＤＣ ＝ ／ Ｈ Ｃ． 日 ＿ＢＣ 又 胛 ＝Ｃ Ｇ， ， Ｐ，
Ｃ ， ＝ ＢＣ ＝ １ ０。一２ａ． Ｐ 上 ＰＧ． ＣＨ Ｄ ８ Ｃ
．
．Ｒ删 中 ｔ（。 ， 在ｌ ， ａ９ △ 器＝ ｏ ｎ
联想在数学解题中的应用
联想在数学解题中的应用上蔡二中 夏东升联想是思维的一种形式，也是记忆的一种手段，是回忆旧知识发现新知识的重要手段，即所谓“举一反三”，“由此及彼”，“触类旁通”等。
探索数学问题过程中的联想，就是通过观察，抓住数学问题有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，回忆和搜索与之有关的知识和思想方法，把问题化归为熟悉的问题或想出新的方法。
联想是回忆旧知识，发现新知识的重要手段，是联系生疏问题和熟知问题的心理桥梁，是在解题过程中不可缺少的心理活动。
如果缺乏应有的联想能力，就不容易找到解题所需要的定义，定理，公式，法则以及思想方法，就难以建立条件和解题目标之间的逻辑联系，解题就会遇到困难，因此联想在解题中十分重要。
在数学发现和解题过程中，联想的方式主要有以下几种； 1.接近联想接近联想，又称为形似联想。
主要由概念，原理，法则的接近而产生的联想。
它是由命题的已知条件和结论的外表形态与结构特征想到相关的相似的定义，定理，公式和图形等。
它是一种由此及彼，由表及里的联想。
一般教材在学习定理，法则和公式之后的巩固和练习题中，大都借助于这种联想，使学生巩固知识，灵活地运用接近联想，从而提高解题技巧和创新能力。
例1若 0))((4)(2=----z y y x x z 证明：z x y +=2解此题一般是通过因式分解来证。
但是如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程根的判别式相似，于是联想到借助一元二次方程的知识来解。
当0≠-y x 时，我们把等式0))((4)(2=----z y y x x z 看作是关于t 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x 有二个等根的条件。
观察出这个方程的二等根zx y yx z y t t t +=∴=--=∴=21.121若0=-y x 由已知条件易知0=-x zz y x ==∴显然也有z x y +=22.类比联想类比联想又称为对比联想，主要是根据问题的具体情况，从具有类似和相似特点的数式，图形以及相近的内容和性质等进行联想。
“联想”在数学解题中的应用
命 题 的证 明 ” “ 学 归 纳 法 ” 间 的联 系． 与 数 之
联想三 通过审视感 知 ， 注意力集 中在 “ 合数 ｃ ， 若 组
（ 一１ ）！
这里， 联想因素： 左边的“ 组合数 ｃ ，：ｃ ， Ｃ” 联 ｃ ，：…，： ；
想效应 ： 二项式定理 ； 联想线路 ：组合数 ｃ ，：ｃ ， ｃ “ ｃ ， …，
与“ 二项 式 系 数 ” 间 的 联 系 ． 之
基 于 上 例 的分 析 ， 想 推 理 大 致 过 程 如 下 表 ： 联
但 这 样 的 形 式 并 不 能 解 决 问 题 ， 为 原 式 中有 ｋ 的 因 Ｃ
形 式． 果 我 们 想 象 力 再 丰 富 一 点 ， 否 把 ｃ 中 如 能 ： 的 指
数 搬” ｃ 到 的前而去得 ｃ ， ：知识加想 象义一条线路 ： 两
侈 求 证： ｎ∈Ｎ ０ 当 时， ＋２ ｊ＋３ ＋・ ＋ｎ ：＝ ｃ Ｃ Ｃ ・ Ｃ ・
ｃ～＋ ｋ １ Ｃ］ ： （ ＋ ）：
数 学 学 习与 研 究 ２ ０ ３ ０１ ２
点 ， 而 迅 速 把 握 解 题 的 方 向 ， 至 使 解 题 方 法 灵 活 多变 ． 从 甚 总 之 ， 想 是 一 种 知 识 飞 跃 性 的联 结． 想 要 有 扎 实 的 联 联 基 础 知 识 和 丰 富 经 验 的 支 撑 ， 有 敏 锐 的 洞 察 力 和 丰 富 的 要 想象力 ， 有执着追求的情感态度． 此 ， 数学教 学 巾， 要 冈 在 通 过 提 供 丰 富 的想 象 材 料 ， 设 良好 的 联 想 情 景 ， 角 度 、 创 多 全 方 位 地 引 导 、 发学 生产 生联 想 ， 而 培 养 学 生 思 维 的 深 刻 激 从 性 、 活性 、 阔 性 ， 养 学 生 的创 新 意识 和创 造 才 能 ． 灵 广 培
字母的联想
字母的联想A——奋进者脚下的阶梯；是座金字塔，辉煌在最高峰；意味着尖端向上。
A——成功者的证明；是一柱火把，照亮前进之路；意味着永远的追求。
B——执着者的耳朵；是人类的驼峰，渊博者在此储存精神能量。
意味着睿智。
C——弯弯的月牙儿；是一把镰刀，等待着勤劳者使用；是即将形成的圆。
D——竞争者的起点；是张强弓，追求者引而待发，寻找目标；意味着努力。
G——是终点前的那一断；是夏天的农田，勤劳者才有收获；意味着诸多努力。
H——奋斗者的阶梯；是一个信念，勤奋者才能攀登；意味着永远的挑战。
H——成功者的工具；是一座桥梁，通过它才能抵达胜利彼岸；意味着奋斗。
O——成功者的起点；是一片空白，勤奋者为它增添光彩。
意味着新起点开始。
M——征服者的目标；是座高山，攀登者在上面收获喜悦；意味者成功的到达。
I——人生的起跑线；是失败后的另一个新起点；意味着奋斗不止。
I——冠军的位置；是个新起点，勇敢者从这里开创未来；意味不断前进。
S——勤劳者的起点；是条曲折的路，勇敢者方能通过；意味着成功的艰辛。
V——人生的低谷；是一道关卡，勇敢者才能通过它；代表着最后的胜利。
人生----------------事物----------------警示1落叶——无私奉献自己的生命，去创造别人的幸福。
而经不起严寒的考验，决定了它短暂的一生。
2落叶——奉献和无私的先驱，使来年更显繁荣。
匆匆离去，使秋天更显孤独。
3落叶——为花儿更美丽，牺牲了自己全部的能量。
只是满足于配角，注定了它一生的碌碌无为。
4粉笔——粉碎了自己，为了人们播种知识。
却又用它的粉末污染了环境。
5雪花——以自身的洁白成为冬天的骄子。
却华而不实，溶化后是一滩污水。
6雪——纯洁与晶莹的完美结合，使你冰清玉洁；有见风使舵的习性，又有见不得太阳的胆怯。
7气球——为了让别人高兴，付出自己美丽的人生；——只务轻不务重，决定了它只能随风而去。
8黑板——为了让学生学到知识，承受全身涂黑的痛苦；——每天载满了知识，却没有一条是自己的。
如何在数学中培养逻辑思维
如何在数学中培养逻辑思维在数学中，培养逻辑思维是至关重要的。
逻辑思维可以帮助解决各种数学问题，并培养我们的推理能力和分析能力。
本文将介绍一些在数学中培养逻辑思维的方法和技巧。
一、学习证明方法在数学中，证明是非常重要的一部分。
通过学习和理解不同的证明方法，我们可以培养逻辑思维。
首先是直接证明，即通过逐步推导和逻辑推理来证明一个命题的正确性。
其次是间接证明，即通过反证法来证明一个命题的正确性。
再次是数学归纳法，通过寻找一个基本情况和递推关系，来证明一个命题对于所有情况都成立。
通过学习不同的证明方法，我们可以锻炼我们的逻辑思维能力。
二、解决数学问题的方法解决数学问题的过程也是培养逻辑思维的过程。
在解决问题时，我们需要将问题拆解成小的部分，并逐步进行分析和求解。
这需要我们具备整体观念和逻辑思考的能力。
首先，我们要明确问题的条件和要求，然后根据问题的特点选择合适的解决方法。
在解决问题的过程中，我们要善于运用已学的数学知识和技巧，进行推理和计算。
通过不断解决各种数学问题，我们可以培养我们的逻辑思维能力。
三、发散思维与联想在数学学习中，我们还可以通过发散思维和联想来培养逻辑思维。
发散思维是指从一个问题或概念出发，将思维进行扩展和延伸。
我们可以通过思考一些类似但稍微不同的问题，来拓宽我们的思维空间。
联想是指通过不同的概念或者知识之间的联系来进行思考。
我们可以将数学知识与其他学科联系起来，寻找相似之处和不同之处，从而培养我们的逻辑思维。
通过发散思维和联想，我们可以培养创造力和创新思维。
四、分析和解释数学概念数学中存在着许多抽象和复杂的概念，通过分析和解释这些概念，我们可以培养逻辑思维。
首先，我们要学会分析数学概念的内在关系和逻辑结构。
通过将数学概念进行分类和归纳，我们可以更好地理解它们的含义和性质。
其次，我们要学会解释数学概念，将其用简单明了的语言表达出来。
通过解释数学概念，我们可以加深对其内涵的理解，并培养我们的逻辑思维。
联想思维在数学解题中的妙用
联想思维在数学解题中的妙用标签：数学教学;联想思维; 解题数学解题的过程其实质就是联想与题目条件、结论相关的内容并建立关系的过程，难点就是联想到与数学问题有关的定义、公式、定理、法则、性质、解题思想、解题方法、解题技巧、解题规律等.因此，数学解题教学的任务之一，就是帮助学生如何联想相关内容、如何把联想到的内容与题目结论建立联系，从而达到培养学生联想思维的能力.下面，笔者结合自己的教学体会，举例说明联想思维在数学解题中的妙用.一、相似联想相似联想，就是根据问题条件或结论的结构特征及表形而联想到应用相似知识点解决问题.例1 若a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证-1≤ac+bd≤1.分析：由于已知条件a2+b2=1，c2+d2=1，与三角函数恒等式sin=1结构特征相似，因此联想到情形.设从而使本题得到解决.在解题中，对于形如a2+b2=u（u≥0）的情形，可以联想sin2？琢+cos2？琢=1，对二次函数的问题可以联想到二次方程或二次不等式等.二、接近联想接近联想，就是问题的意义或形式相近的一种联想方法，即由问题或问题中的某一部分联想到用与其相同或相近的知识去解决问题的思维方式.例2 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，证明：2y=x+z.分析：解此题一般是通过因式分解来证，但是如果注意观察已知条件的特点，会发现它与一元二次方程根的判别式相似，于是联想到用一元二次方程的知识来解.当x-y≠0时，我们把等式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0看作是关于t的一元二次方程（x-y）t2-（z-x）t+（y-z）=0有两个等根的条件.观察出这个方程的两个等根为t1=t2=-1.∴2y=x+z若x-y=0，易知x=y=z，显然也有2y=x+z.在解题中，圆锥曲线上的点到焦点的距离问题就要联想到圆锥曲线第二定义，关于曲线相交的问题就要联想到解方程组的问题.三、对立联想对立联想，就是当问题不易直接求解时，联想到其反面情形，就其反面进行分析探索，使问题得以解决.例3 若正实数a，b满足ab=ba，且a分析本题如果由条件找结论或由结论找条件都难以下手，所以联想结论的反面，假如a≠b，出现什么情形？若a≠b，则a>b或a（1）当a>b时，由1>a>b>0，利用幂函数y=xb的单调性，ab>bb利用指数函数y=bx的单调性bb>ba，故ab>ba，与已知ab=ba矛盾;（2）当a>b时，b>a>0，1>a，利用幂函数y=xa的单调性，aa>ba利用指数函数y=xa的单调性，aa>ab，故aa综合（1）（2）知，a=b.对否定性、限定性、无穷性、存在性、肯定性、不等（相等）关系的问题，用对立联想常可获得解题的思路.四、连锁联想连锁联想，就是由数学问题已知条件或结论中涉及的知识点，联想其特有的性质，并将相关性质适当推广解决问题.例4 设f（x）的值.分析：观察自变量的值，就能发现：是等差数列，联想到等差数列的性质“与首末两端等距离的项和相等”，于是又可联想到f（x）、f（1-x）是否也有f（x）+f（1-x）为某一常数呢？每个数学概念都有其特定的规定，故具有特定的性质，因而，抓住题中各个概念，合理地充分联想其特定的性质，常能获取解题途径.。
联想思维在生活中的例子
联想思维在生活中的例子联想思维是指人们将一件事的形象与另一件事的形象联系起来，探索它们之间共同或相似的规律来解决问题的思维方式。
其主要表现形式包括连锁联想、类似联想、相关联想、比较联想、即时联想等。
联想的美在于，我们可以从一个到三个。
利用联想思维和速度的概念，呼啸而过的飞机、梅赛德斯-奔驰列车、自由落体重物等将在我们的脑海中闪现。
联想是心理活动的基本形式之一。
联想不同于一般的自由想象，它是通过外观概念之间的联系来实现的。
因此，联想的过程是合乎逻辑的。
据说在古代，有些人经营着一家酒店，由于管理不善，濒临破产。
碰巧遇到一个智者经过这里，向酒店老板提出建议：重新装饰酒店周围。
在夏天，墙壁被涂成绿色；在冬天，墙壁被装饰成粉红色。
在酒店老板按照智者所说的去做之后，他真的吸引了顾客，生意也逐渐兴隆起来。
秘密在哪里？事实证明，智者使用人们的联想思维。
让一种感觉引起另一种感觉。
这种心理现象实际上是感觉相互作用的结果。
上述例子是通过改变颜色，使不同的颜色产生不同的心理效果，从而吸引顾客。
一般认为绿色、蓝色和蓝色可以让人想起蓝天和大海，让人感到凉爽，这些颜色被称为冷色。
红色、橙色和黄色可以让人想起阳光和火焰，产生温暖的感觉，这被称为暖色。
联想是创造力的基础。
它在创意设计中起着催化剂和导火索的作用。
联想越广泛，越丰富，创造力就越强。
许多发明都是在联想思维的作用下产生的。
春秋时期，鲁班是一位熟练的工匠。
有一次，当他上山伐木时，他的手被路边的一棵杂草划伤，鲜血直流。
为什么杂草能划破肉？在仔细观察了杂草后，他发现它的叶子两侧有许多小牙齿。
他想，如果用铁条做一个带小牙齿的工具，树也能被划破吗？按照这个想法，锯子被发明了。
鲁班将砍伐工具与草叶上的小细齿联系起来，为建筑工程提供了便利。
巧合的是，小提琴的产生也来自于一个人的联想思维。
1000多年前，埃及的一位音乐家名叫莫可里。
一个仲夏的早晨，他在尼罗河边悠闲地散步。
不小心，他踢了踢什么东西，发出了一声悦耳的声音。
例谈高中数学教学中的联想记忆
、
理在 于首先证 明起始值在表达式 中是成立的 ， 然后证明一个值 到下一个值 的证 明过程是有效的。如果这两步都被证 明了 ， 那 么任何 一个值 的证 明都可 以被包含在重复不 断的进行过程 中。 以学生现有 的认 知水平 ， 肯定很难理解 ， 但 如果让学 生把数学
归 纳法 的证 明过程联想成多米诺效应 ， 则理解就容易多 了。 归纳法第一 步的证 明， 教师可创设这 样的情境 ： 如 果你有 排很长 的直立着 的多米诺骨牌 ，想知道能不能完全倒下 ， 那 肯定先要验证多米诺骨牌 的第一张能不能倒下 ， 因为如果第一 张不倒 ， 那么第二张 ， 第三张就不会倒 ， 后面的就更不会倒。归 纳 法 证 明 的第 二 个 步 骤 ， 则 可对应成某一 个骨牌倒 了 ， 则 与 他
Ｏ ＜ ａ ＜ｌ ａ ＞ｌ
三、 类 比联 想 记 忆 把 新 的 知 识 点 和 已 学 的 知识 点 通 过 类 比来 记 忆 ， 可 以 收 到 举一反三 、 触类旁通 的效果 。 如在学完等差 数列 和等比数列 时 ， 就 可 进 行 类 比联 想 （ 见表 １ ） 。 表 １ ： 等差数列与等 比数列 比较
将记忆 的材 料编成奇特 的故 事或者是 学生 已有 的生活经
验， 从而进行记忆 。
比如在学 习求 函数 ｆ ｉ ｘ ） ＝
一 ＋ ｌ ｏ ｇ ａ （ ｘ ＋ １ ） 的定义域 时 ， 可把
数学是门抽象的学科 ， 很多 的概念 、 公式 需要学生去记忆 。 靠死记硬背记住大量的概 念 、 定理 、 公式绝 非易事 ， 而且 如此 记 住的知识也不牢周 ， 易混淆 出错 ， 甚 至在解题 、 考试 中无 法再 现 和迁移。如何实现有效 、 高效 、 长效记忆 ， 也就成 了学好数学 的 关键 。 《 普通高 中数学课 程标 准（ 实验 ） 》 明确指 出： “ 要注重培养 学 生 良好 的 数 学 学 习 习惯 ， 使 学 生 掌 握 恰 当的 数 学 学 习 方 法 。 ” 在数学学 习中学会学 习 ， 学会记忆 ， 对学生的终身 发展有重 要 意义 。 因此 ， 笔 者 在 数 学 新课 程教 学 实 践 中 ， 加 强 对 学 生 学 习 方 法的指导和记忆方法的引导 ， 联想记忆就是其 中之一 。所谓 联 想记忆就是把新信息和 自己已知信 息或 已有 生活经验相联系 ， 通过促进新旧信息的联系来有效构建和记忆新信息 的过程 。 教 学效果证实联想记忆 在数学有效教学 中有显著 的作用 。 谐 音联想记忆 圆周 率 ， 很多人 都知道是 ３ ． １ ４ ， 再往 下背能 到 ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ 。 再 往 后 就 比较 困 难 了 ， 这 就 是 机 械 式 记 忆 的痛 苦 。但 如 运用 谐 音联想 的记忆方法 ，将 ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ ５ ３ ５ ８ ９ ７ ９ ３ ２ ３ ８ ４ ６ ２ ６根据谐 音 编译成 ： 山巅一 寺一壶酒 ， 而乐苦 煞吾 ， 把 酒吃 ， 酒 杀尔 ， 杀 不
浅谈联想在数学教学中的作用
浅谈联想在数学教学中的作用所谓“联想”,是由一事物想到另一事物的心理过程，由当前的事物回忆起有关的另一件事物，或由想起的一件事物又想到另一事物，这都是联想。
一切智力活动都离不开联想,许多重大的发明创造要归功于联想。
教学中通过联想，可以唤起学生对旧知识的回忆，沟通新旧知识的联系，促进知识的迁移、发展；可以从一个数学问题想到相关的许多数学问题，使学生在思维的发散过程中产生创新的灵感，迸发出创新的火花。
许多教育心理学家都在研究如何将联想引入学习过程,以促进学生的智力发展。
应该说,联想在我们的数学教育中有它不容忽视的教育功能。
一、联想能沟通知识间的联系，培养学生思维的多向性教学中给足学生思维的时间和空间，倡导自主联想，让学生多角度思维，把所学知识进行串线并联，从而完善学生的知识结构。
例如，“甲数是乙数的3.5 倍，甲数和乙数的比是多少？”学生通过联想，得出以下解题方法：1.把3.5 化成假分数7/2，求出甲数和乙数的比是7:2。
2.根据甲数是乙数的3.5 倍，很容易想到除法算式：3.5÷1=3.5 或35÷10=3.5，从而得到甲数和乙数的比是3.5:1 或35:10，再化简成最简单的整数比是7:2。
3.把乙数看作任何一个不为0 的整数如：1、2、3……，先求出甲数是1×3.5=3.5，2×3.5=7，3×3.5=10.5，再求出甲乙两数的比是3.5:1 或7:2 或10.5:3，再化成最简单的整数比。
4.还有的学生先把甲数看作任何一个不为0 的数，求出乙数后，再求出甲乙两数的比是7:2。
单此一道题，学生就联想到了分数、除法、倍数等有关知识，在做题的具体过程中沟通了比与分数、除法的联系，从而培养了学生一题多解的能力，发展了学生思维的多向性。
二、联想能突破思维定势，创造性地找到解题策略联想不仅能够巩固学生已学过的数学知识，沟通联系，而且当学生在解题过程中思维受阻时，还可以通过联想使他们灵活交换角度思考，从而创造性地找到解题策略。
推理与证明
推理
1、合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
（由部分到整体，由个别到一般）（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。
（由特殊到特殊）
2、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。
证明
1、直接证明：
（1）综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。
（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。
2、间接证明：
（1）反证法（归谬法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。
3、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）：(归纳奠基)证明当n取第一个n0（n0为正整数）时命题成立；
（2）：(归纳递推）假设n=k（k≥n0，k为正整数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
从椭圆的光学性质产生的联想
第 1 页共2 页1.椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线过椭圆的另一个焦点。
如图，直线MN为椭圆的切线，P为切点，F1P为入射光线证明：作F1关于切线MN的对称点R，只需证F2、P、R三点共线。
反证法：假设F2、P、R三点不共线，设F2R的连线交切线MN于点则RF2 =RQ+QF2=QF1+ QF2 >2a又RF2 <RP +PF2 =PF1 + PF2 =2a，产生矛盾，所以F2、P、R即反射光线过焦点F2.2，双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点射出的光线，经双曲线反射，其反射光线的延长线过双曲线的另一个焦点。
证明：如图，直线MN为双曲线的切线，P为切点，F1P为入射光线作F1关于切线MN的对称点R，只需证F2、R、P三点共线。
反证法：假设F2、R、P三点不共线，设F2R的连线交切线MN于点Q。
则RF2 = QF2 -RQ=QF2+ QF1 <2a又RF2 > PF2 - RP =PF2+ PF1 =2a，产生矛盾，所以F2、R、P三点共线，即反射光线过焦点F2.反射光线平行于抛物线的对称轴。
证法一：如图，作P点在准线上的射影N，作NF的中垂线l，由得l过点P，即N是F关于l的对称点；在l上任取一点Q点除外），易证FQ=QN>QQ’，所以l是抛物线过P上，入射光线FP经抛物线P点处的反射光线为PN与对称轴平行。
证法二：如图，设PM平行于x轴，作M关于l的对称点M'，如果M'、P、F三点共线，则PM为FP的反射光线。
假设M'、P、F三点不共线，连结M’F交l于点Q，作P、Q在准线上的射影P’、Q’。
M’F=M’Q+QF>QM+QQ’>MP’又M’F< M’P+PF=PM+PP’=MP’所以假设不成立，命题得证。
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供货证明
篇一：原厂产品供货证明
原厂产品供货证明尊敬的客户：
达电脑维修中心的联想启天m4380台式电脑，参加gJcg20XXhx16办公设备询价采购中标供货的机型为正品原厂产品（或配件）。
质保期内，有任何产品质量问题（认为除外），按联想公司的服务流程进行质保，用户可以拨打联想售后热线4008008888，获得联想公司提供的全天24小时的连线产品故障排除支持。
北京联慧恒业科技有限公司20XX-10-30
篇二：产品供货证明
供货证明
我公司与*********双方签订供销合同，为贵司********************项目提供****产品。
详见下表：
我单位对所提******产品质量负责。
特此证明！
单位（盖章）：*****
xxxx年xx月xx日
篇三：产品供货证明
产品供货证明
编号：。
在一起企业上班的证明
在一起企业上班的证明“在一起企业上班的证明”说白了就是证明你和某个公司有过关联，干过一段时间的活，拿过工资的证据。
你想想，要是没点这种证明，别人怎么知道你曾经在这家公司拼过命？别的不说，光是领导那天对你的背叛（哈哈），也是没法不提的吧！话说回来，这个证明，听起来简单，拿起来可没那么容易。
一开始你可能想，没啥大不了的，弄个纸就好了嘛。
可是，谁知道这证件背后藏着多少心机。
你要去人事部找，记得带上你的身份证、工号、入职和离职的日期、然后还要脸上带点笑容，别露出太多的“我要证明我来过”的强烈欲望。
毕竟，谁都知道，证据到手了，才算“真香”。
他们那边一般都不急着办，啥事儿都要慢慢来，毕竟你离开了，人事部的某些同事也好过一点，是不是？你得等，等到别人忘了你是谁，等到你从他们的脑袋里消失，才会发现，哎呀，原来你这个人曾经在公司待过，而且还做得不差。
公司有那么多员工，领导也有那么多事，谁会记得你这个小小的齿轮呢？你得蹲点，提醒他们：嘿，我来过！说不定能让你快点拿到证明。
你知道，那个证明上写着你的名字、职位，还有入职和离职的日期。
没错，就是那张能让你走遍大江南北、简历上必不可少的“黄金证明”。
拿到证明的时候，那感觉就像是站在山巅，看着风景一样。
哦，真是历经千辛万苦，终于拿到了！不过，别以为有了这张纸，你就万事大吉了。
因为这个证明其实有时候比你想象的还要“重要”。
拿它去办事的时候，第一眼见到它的人也许都得把它捧在手心里，生怕弄坏了。
“哦，原来你是XX公司的人啊，哈哈，真牛！”这种话听着很舒服对吧？可是你也知道，谁不是为了一个生计活着。
就算你在公司里做了三年五年的工作，也不代表你的能力就能有多强。
证明啥？证明你曾经有一段时间在这儿，或许有一些成绩，也许大部分时间都在拼命加班，才换来的一纸证明。
但别小看这证明，特别是遇到一些眼光独到的HR，他们看到这个名字，心里大概已经有了数。
有些人对这个证明的看法可不一样了。
有的人觉得，哎呀，这个证明根本没用，你过得好不好，谁会关心你在公司待过多久？不过，现实总是有点“扎心”，很多时候，真的得依靠这些看得见摸得着的东西。
关系联想的例子
关系联想的例子
1. 你知道吗，看到那个红色就想到热情！就像我一看到我朋友小红，就感觉她全身洋溢着热情，仿佛那红色就是她的代表色。
2. 哎呀，提到蓝色就会立刻和冷静联系起来呀！好比我遇到困难时，我总会想到我那个特别冷静的同学小明，就像蓝色一样让人安心。
3. 嘿，听到笑声我就会自然和快乐产生关系联想！像我每次和家人一起玩耍，那阵阵笑声不就是快乐的最好证明吗？
4. 哇哦，看到书本不就想到知识嘛！就如同我每次走进图书馆，看到那满架子的书，就觉得那是知识的宝库在向我招手。
5. 呀，提起温柔就会想到妈妈的怀抱！就像小时候在妈妈怀里那种温暖又舒服的感觉，温柔可不就和妈妈划等号嘛。
6. 哟，闻到花香不就和美好关联起来啦！比如春天走在花园里，那阵阵花香，难道不是美好在散发气息吗？
7. 咦，看到太阳不就想到光明和希望嘛！跟我每次遇到挫折，一想到未来还有无限可能，就像看到太阳一样充满希望。
8. 哈，说到勇敢我就立刻想到那些英雄们！就像电影里的超级英雄，勇敢地面对一切困难，他们不就是勇敢的代言人嘛。
我觉得关系联想真的很奇妙，能让我们从一个事物自然地想到另一个，丰富我们的认知和感受。
始于联想_终于思维——中点证明问题的解法探究与思考
2023年第18期教育教学SCIENCE FANS始于联想 终于思维——中点证明问题的解法探究与思考雷 红，阳彦兰，苏叶苹（北京第二外国语学院成都附属中学，四川 成都 610043）【摘 要】文章从不同角度对一道初中几何中点问题进行剖析和联想，并顺着关联点探究多种解法。
由此发现，在初中数学课堂教学中，教师要引导学生抓住中点的本质属性，鼓励学生从联想开始，引导学生在直觉联想的基础上进行想象、推理、演算和论证等，发展学生的数学学科核心素养，最终形成数学学科思维。
【关键词】初中数学；中点问题；核心素养；一题多解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）18-0118-07动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
在初中数学教学过程中，教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。
利用一题多解的方式，可以引导学生从多角度思考问题，锻炼学生的发散思维，培养学生的核心素养。
1 原题呈现例：已知直线y =2x +2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰RtΔABC 。
（1）如图1，求点C 的坐标，并求出直线AC 的解析式。
（2）如图2，直线CB 交y 轴于E ，在直线CB 上取一点D ，连接AD ，若AD =AC ，求证：BE =DE 。
图1图2 2 解法探究2.1 第（1）问解析通过分析可知，求直线AC 的解析式，需要确定两个点的坐标。
根据题目条件可知点A 的坐标，所以求出点C 的坐标即可。
求一个点的坐标一般有两种方法：方法一，已知该点所在的函数解析式，代入点的横坐标或纵坐标，求另一坐标，或者将横纵坐标用参数表示出来后代入函数解析式，求出参数进而确定点的坐标；方法二，求出该点到两坐标轴的距离，然后根据象限确定点的坐标。
圆锥曲线的切线方程总结附证明
运用联想探究圆锥曲线的切线方程现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2,给出了经过圆x2 + y2=r~上一点M（x0 ,儿）的切线方程为x o x+y o y = r2 ;当M（%,儿）在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为V +.y0y = r2o 那么，在圆锥曲线中，又将如何我们不妨进行儿个联想。
联想一：（1）过椭圆^ + ―= 1 （">“>0）上一点M（ x0 , y Q）切线方a~b~程为卑+犁=i ；（2）当M（x°,儿）在椭圆4 + 4 = 1的外部时，过M cr b l cr 『引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：暂+辱=1cr /r证明：⑴卓黒I的两边对兀求导，得莹+攀工0,得）/cr b- cr lr由点斜式得切线方程为）,一儿一经（―无），即孚+卑=琴+墾=1。
cry^ cfD cr D（2 ）设过椭圆亠+亠=1 （«>/?> 0 ）外一点M （心，儿）引两条切线，a~ b~切点分别为A（“，儿）、B（X2 , y2）o由（1）可知过A、3两点的切线方程分别为：孚+卑=1、卑+孚=1。
又因M（x°,y。
）是两条切线的交点，X cC b~所以有工1+学=1、兽+孚1=1。
观察以上两个等式，发现（广Zr cr ZrA（“，戸）、Bg, yj满足直线卑+罟=1 ,所以过两切点A、3两点的tr b直线方程为v+）v=1 ocr lr评注：因Mg」。
）在椭圆二+二=1 （“>方>0）上的位置（在椭圆cr 『上或椭圆外）的不同，同一方程尊+卑=1表示直线的儿何意义亦不同。
2 2联想二：（1）过双曲线二-二=1（4>0">0）上一点M（ x（） , V（））切cr 线方程为辔一卑=1 ；（2）当在双曲线M-£ = l的外部时, / cr b-过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：卑-卑=1。