特征值与特征向量

n 是它的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵
是 A. 又设 0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的 一个特征向量， 在基 1 , 2 , … , n 下的坐标是 x01 , x02 , … , x0n . 则 A 的坐标是
x01 x02 A . x 0n
个非零解，那么非零向量
= x011 + x022 + … + x0nn
满足 A = 0 ，即 0 是线性变换 A 的一个特征值
就是属于特征值 0 的一个特征向量. 于是可得求
线性变换 A 的特征值与特征向量的步骤如下：
Step 1 ：在线性空间 V 中取一组基1 , 2 , …,
当
1 5
时, 解方程组
(5E A) X 0 ,
4 2 2 x1 2 4 2 x2 0, 2 2 4 x 3
即
4 2 2 x1 2 4 2 x2 0, 2 2 4 x 3
特征向量 是非零向量. 显然，零向量对任意的0
都满足 A = 0 ，因此这不具有“特征”意义.
二、几何意义
在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的
特征值与特征向量的几何意义是：特征向量 ( 起 点在坐标原点) 与其像 A 同向(或反向)，同向时，
特征值 0 > 0，反向时， 0 < 0，且 0 的绝对值等
它的特征多项式为
sin . cos
cos sin 2 2 cos 1 . sin cos
当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当
k 时， S 没有特征值.
五、特征子空间
容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值
的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则
(1) 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ; (2) 12 …n = |A|.
证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多
项式
a11
a21 E A an1
a12 an 2
零，即齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 有非零解. 我们
知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 它的系数行列式等于零，即
0 a11 a12 a1n a21 0 a22 a22 | 0 E A | 0. an1 an 2 0 ann
上式可进一步变形成
x01 x02 (0 E A) 0. x 0n
这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , … , x0n ) 满足 齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 . 由于 0，所以它的坐标 x01 , x02 , … , x0n 不全为
即
2 2 2
2 2 2
2 x1 2 x2 0, x 2 3
解之得基础解系为
单击这里开始求解
(1 , 1 , 0)T , (0 , 1 , 1)T , 2 3 1 所以属于 的一个线性无关的特征
1 2 2 A 2 1 2 , 2 2 1
求 A 的特征值与特征向量.
解
单击这里求特征值 A 的特征多项式为
1 E A 2
2
2
2 2 1
1
2
( 1) ( 5) .
2
所以，A 的特征值为
1 5 , 2 3 1,
四、举例
例 1 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任
意一组基下的矩阵都是 kE，它的特征多项式是
| E - kE | = ( - k)n . 因此，数乘变换 K 的特征值只有 k . 由定义可知,
每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.
例 2 设线性变换 A 在基1 , 2 , 3下的矩阵是
于 | A | 与 | | 之比值； 如果特征值 0 = 0，则特
征向量被线性变换变成 0 .
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例如：在 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转
角的旋转变换 S ，当 0 < < 时，对任意非零
向量 R2 ， S ( ) 与 都不共线 ( 图 7-8所示 )
S ( )
于 0 的特征向量 . 因为从 A = 0 可以推出
A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的. 相反， 特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特 征向量只能属于一个特征值.
三、求法
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , … ,
…,s ), 求解齐次线性方程组 (i E - A ) X = 0，该
方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部
特征向量在基 1 , 2 , …, n 下的坐标.
矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为 A 的
特征值，而相应的线性方程组 (i E - A ) X = 0 的
解也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量.
7.3 特征值与特征向量
主要内容
定义 几何意义 求法 举例 特征子空间 性质
一、定义
我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基 之后，线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩 阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我 们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形 式. 从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择 基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简 单形式. 为了这个目的，先介绍特征值和特征向量
1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ; 12 …n = |A|.
称
证毕
a
i 1
n
ii
为矩阵 A 的迹, 记作 trA.
性质7.3.2 相似的矩阵有相同的特征多项式.
特征值自然是被线性变换所决定的. 但是在有 限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变
0 0 D 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
D 的特征多项式是
0 | E D | 0 0
1

0 0
0 1 0 n . 0 1 0 0
我们引入以下定义.
定义 7.3.3
设 A 是数域 P 上一 n 级矩阵， 是
一个数字. 矩阵 E - A 的行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a22 | E A | an1 an 2 ann
称为 A 的特征多项式， 这是数域 P 上的一个 n
因此，D 的特征值只有 0 . 通过解相应的齐次线性
方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量
组只能是任一非零常数. 这表明微商为零的多项式
只能是零或非零的常数.
例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维
线性空间，第一节 下的矩阵为 中旋转 S 在直角坐标系
cos sin

O 图 7-8
此时， S 没有实特征值；

当 = 时，R2 中任何非零向量 都与 S ( ) 共线，且S ( ) = - (图 7-9所示)， 量. 所以，- 1 是
S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向
2
O
1
S (1)
图 7-9
S (2)
如果 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征 向量，那么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属
令 = 0 可得其常数项为 |A| .
| E - A | = n
故
- (a11 + a22 + … + ann)n-1 + … + (-1)n |A| .
由于 1 , 2 , … , n 是 A 的 n 个特征值, 所以
| E - A | = ( - 1)( - 2) … ( - n) . 比较上述两式可得

a1n a2 n
a22
ann
中, 有一项是主对角线上 n 个元素的乘积
( - a11) ( - a22) ( - ann) 而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素. 因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项
确定. 不难看出, n 的系数为 1 , n-1 的系数为 -(a11 + a22 + … + ann). 另外, 在特征多项式中
向量就是
2 1 2 , 3 2 3 ,
k2 2 k33 (k2 , k3 P).
全部特征向量就是
例 3 在空间 P[x]n 中，线性变换
D f (x) = f (x)
x2 x n1 在基 1 , x , 下的矩阵是 ,, 2! (n 1)!
的概念.
定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个
线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一
个非零向量 ，使得
A = 0 .
那么 0 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的属 于特征值 0 的一个特征向量.
这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,
0 的坐标是
x01 x02 0 . x 0n
因此 A = 0 相当于坐标之间的等式
x01 x01 x02 x02 A 0 . x x 0n 0n
0 ，全部适合条件
的向量 所成的集合， 也就是 A 的属于 0 的全 部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一
A = 0
个子空间，称为 A 的一个特征子空间，记为 V . 0
显然， V0 的维数就是属于 0 的线性无关的特征向
的最大个数.
六、性质
性质 1 性质7.3.1 设 1 , 2 , … n 是 n 阶矩阵 A = (aij)
单击这里开始求解 解之得基础解系为
T
1 5 所以属于 的一个线性无关的特征向量就是
(1 , 1 , 1) ,
1 = 1 + 2 + 3，
全部特征向量就是
k11 (k1 P) .
当
2 3 1
时, 解方程组
( E A) X 0 ,
2 2 2 x1 2 2 2 x2 0, 2 2 2 x 3
次多项式.
上面的分析说明，如果 0 是线性变换 A 的特
征值，那么 0 一定是矩阵 A 的特征多项式的一个 根； 反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数
域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性
方程组 ( 0E - A ) X = 0 就有非零解. 这时，如果 (x01 , x02 , … , x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一
n ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ；
Step 2 ：计算 A 的特征多项式，并求出特征
方程在数域 P 中的所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同 的特征值 1 , 2 , …, s ，它们也就是线性变换 A 的全部特征值.
Step 3 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2,
换在这组基下矩阵的特征多项式的根. 随着基的不 同，线性变换的矩阵一般是不同的. 但是这些矩阵 是相似的。