高考数学最后冲刺必读题解析30讲(24)

高考数学最后冲刺必读题解析30讲（24）1. 德兴二模21．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．(1) 试求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．21．（1）∵a n >0，12+=n n a S ，∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，则当n ≥2时，,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，而a n >0，∴)2(21≥=--n a a n n又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 …………………6分(2)21)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=n T n n n n b n n …12分22．已知函数f (x )定义在区间（－1，1）上，f (12)＝－1，且当x ，y ∈(－1，1)时，恒有f (x )－f (y )＝f (x －y 1－xy )，又数列{a n }满足a 1＝12，a n +1＝2a n1+a n2，设b n ＝1f (a 1)＋1f (a 2)＋…＋1f (a n )．⑴证明：f (x )在（－1，1）上为奇函数；⑵求f (a n )的表达式；⑶是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N ，都有b n <m －84成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．22．（1）令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，再令x ＝0，得f (0)－f (y )＝f (－y )，∴f (－y )＝－f (y )，y ∈(－1，1)，∴f (x )在（－1，1）上为奇函数．…………………3分 （2）),1()()()1(,1)21()(1xyyx f y f x f f a f ++=+-==知由 )(2)()()1()12()(21n n n n n n n n n n a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)()(1=+n n a f a f ∴{f (a n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f (a n )＝－12n -．……………7分（3）112212211211)2121211(--+-=---=+⋯+++-=n n n n b ． 若48-<m b n 恒成立（n ∈N ＋），则.242421211-->-<+-n n m ，m 即∵n ∈N ＋，∴当n ＝1时，124-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ，∴存在m ＝5，使得对任意n ∈N ＋，有48-<m b n ． …………………………………………………14分2. 衢州二模20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列． （Ⅰ）记数列*1(N )n n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列． （Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足221117227n n T n T n ++<<++的所有n 的值． (20) 本题满分14分（Ⅰ）证明：n a S n n -=2， )1(211+-=++n a S n n 12122111+=⇒--=⇒+++n n n n n a a a a a ，11122211n n n n n n b a a b a a ++++===++ 又由11112 1 1S a a a ==-⇒=所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列…………………(7分)（Ⅱ）解：12n n n b a =+=，21n n a =- 122n n T n +=--，22111172227nn n T n T n ++⎛⎫<=< ⎪++⎝⎭ 所以n 的值为3，4……………………………………………………(14分)21．（本小题满分15分）已知函数3221()231(1)3f x x ax a x a =-+->．（Ⅰ）求函数()y f x =的极小值；（Ⅱ）若对任意x ∈[1,2]-, 恒有2()21f x a ≤-，求a 的取值范围． （21）本题满分15分(Ⅰ) 解:)3)((34)(22'a x a x a ax x x f --=+-=,因为1>a ，所以a a >3，)(x f 的极小值为1)3(-=a f ……………………………………………(6分) (Ⅱ) 解: 若21≤<a 时，当[]a x ,1-∈时)(,0)(/x f x f >在[]a ,1-上递增，当[]2,a x ∈时/()f x ＜0,()f x 在[]2,a 上递减，所以)(x f 的最大值为134)(2-=a a f ，令224121,12,123a a a R a a -≤-⇒∈<≤<≤又所以； 若2>a 时，当[]2,1-∈x 时)(,0)(/x f x f >在[]2,1-上递增，所以)(x f 的最大值为0263123586,3586)2(2222≤+-⇒-≤+-+-=a a a a a a a f 令361361+<<-⇒a ，又2>a ，所以无解。

由上可在知12a <≤……………………………………………(15分)22．（本小题满分15分）已知圆P 过点1(0,)4F , 且与直线14y =-相切． （Ⅰ）求圆心P 的轨迹M 的方程；（Ⅱ）若直角三角形ABC 的三个顶点在轨迹M 上，且点B 的横坐标为1，过点A C 、分别作轨迹M 的切线，两切线相交于点D ，直线AC 与y 轴交于点E ，当直线BC 的斜率在[34]，上变化时，直线DE 斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC 的方程；若不存在，请说明理由？(22) 本题满分15分(Ⅰ) 解：（1）py x 22=，y x p ==2,21所以(Ⅱ) 解: B )1,1(，设()211,x x A ，()222,x x C ，21212221x x x x x x kAC+=--=设BC 的斜率为k,则,01)1(122=-+-⇒⎩⎨⎧=-=-k kx x yx x k y0442≥+-=∆k k ，又1,1-=⇒=+k x k x c c ，C ),)1(,1(2--k k A ),)11(,11(2+--kk 2121--=+=kk x x k AC ， 直线AC 的方程为[])1()21()1(2----=--k x kk k y ， 令⎪⎭⎫ ⎝⎛--==k k k k y x 10,E ,1,0所以 AD:21111212)(2x x x y x x x x y -=⇒-=- 同理CD:2222x x x y -=，联立两方程得D ⎪⎭⎫⎝⎛---k k k k 1),21(21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-=++---=-+-=-+-+-=k k k k k k k k k k k k k k k k ED122141214)12(2112)12(211122 令[]上在则4,3,1u k ku -=递减，所以，当3=k 时，ED k 最大为8 所以，BC 的方程为(),131-=-x y 即023=--y x ……………………………(15分)3. 大同一模22、(本题满分16分)如图，P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的投影是D ，点M 满足12DM DP =.（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点,A B ，求以,OA OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.（3）若存在点(,0)Q a ，使得四边形QAFB 为菱形（,A B 意义同（2）），求实数a 的取值范围.解：（1）动点M 的轨迹C 的方程：2214x y +=（2）顶点E 的轨迹方程：22460(0x y x +-=<（3）实数a 的取值范围：()0,123、（本题满分18分）若无穷等差数列}{n a 中，11=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，其中c S S nn=2（c 为常数） （1）求d 的值；（2）若0>d ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且n a n b 2=，若对于任意的正整数n 总有221n n n T T m T ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）20d ord == （2）79m ≤19、（本题满分14分）如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23. (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2AT AF AF ＝ 。

19解：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为12xy += 因为由题意得22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩有惟一解。

即2222221()04b a x a x a b +-+=有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠， 故22(44)0a b +-=又因为2c =,即22234a b a -= ， 所以224a b = 从而得2212,,2a b ==故所求的椭圆方程为22212x y +=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得2c =, 所以12(F F 由 22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩解得 121,x x ==,因此1(1,)2T =. 从而 254AT=, 因为1252AF AF ⋅=, 所以21212AT AF AF =⋅ ……12分 20．（本小题满分14分）已知数列}{),,2(2,43,41:}{*1121n n n n n b N n n a a a a a a 数列满足∈≥+===-+满足：.}{),,2(3,0*11n n n n S n b N n n n b b b 项和为的前数列∈≥=-<-（I ）求证：数列}{n n a b -为等比数列； （II ）求证：数列}{n b 为递增数列；（III ）若当且仅当1,,3b S n n 求取得最小值时=的取值范围。

20．解：（I ）),2(2*11N n n a a a n n n ∈≥+=-+ }{n a ∴是等差数列又43,4121==a a 41221)1(41-=⋅-+=∴n n a n 2分 ),2(331*1N n n nb b n n ∈≥+=-)412(31121231412313111--=--=+-++=-∴++n b n b n n b a b n n n n n)(31n n a b -= 5分又041111≠-=-b a b41}{1--∴b a b n n 是为首项，以31为公比的等比数列 6分（II ）412,)31()41(11-=⋅-=--n a b a b n n n n412)31()41(11-+⋅-=∴-n b b n n 当211)31)(41(3221,2----=-≥n n n b b b n 时又01<b01>-∴-n n b b}{n b ∴是单调递增数列 9分（III ）3=n 当且仅当 时,取最小值n S⎩⎨⎧><∴0043b b即,0)31)(41(470)31)(41(453121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+b b)11,47(1--∈∴b 12分21．（本小题满分14分）已知函数).0(31)(,12)(232≠-=+=a x a ax x g x x x f （I ）当)(,]3,0[x f x 求时∈的值域；（II ）对于任意)(61)(],3,0[],3,0[2121x g x f x x =∈∈使总存在成立，求实数a 的取值范围。