湖北省武汉部分学校2015届高三毕业生二月调研考试文科数学试题 Word版含答案
【精品解析】湖北省部分高中2015届高三元月调考数学文试题
大冶一中 广水一中 天门中学 仙桃中学 浠水一中 潜江中学【精品解析】湖北省部分高中2015届高三元月调考数学文试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、抛物线、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合{1,2,3,4}M =，集合{3,4,6}N = ，全集{1,2,3,4,5,6}U =， 则集合()U M C N ⋂= （ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{1,2,4,5} 【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】由题意得{1,2,5}U C N =,则()U M C N ⋂={1,2} 【思路点拨】根据集合的运算得。
【题文】2．复数51iz i+=+的虚部为 （ ） A. 2 B ．2- C ．2i D ．2i - 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】B 【解析】51i z i +=+=(5)(1)(1)(1)i i i i +-+-=3-2i ，则虚部为-2 【思路点拨】对复数进行化简求出虚部。
【题文】3．要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案】A【解析】∵将函数y=cos2x 的图象向右平移6π个单位，得到y=cos2（x- 6π）=y=cos(2x-3π) 【思路点拨】根据左加右减，看出三角函数的图象平移的方向，再根据平移的大小确定函数式中平移的单湖北省 六校位，这里的平移的大小，是针对于x 的系数是1来说的．【题文】4．若y x ,满足约束条件020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2B ． 4C ． 2-D ．4- 【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案】C【解析】由020232x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤-⎩可行域知，2z x y =-在（0,2）处取得最小值，z=2⨯0-2=-2.【思路点拨】根据可行域及目标函数的单调性确定在（0,2）处取得最小值求出。
2015年湖北省八校高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年湖北省八校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，3，zi}（其中i为虚数单位），B＝{4}，A∪B＝A，则复数z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．3．（5分）从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为（）A．10B．20C．8D．164．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，且b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．5．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（）A．B．16πC．8πD．7．（5分）将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax+by＝0与圆（x ﹣2）2+y2＝2无公共点的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）下列命题为真命题的是（）A．已知a，b∈R，则“”是“a＞0且b＜0”的充分不必要条件B．已知数列{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥βD．∃x0∈（﹣∞，0），使成立9．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．f（x）＝sin（x）B．f（x）＝2x2﹣1C．f（x）＝2x+1D．f（x）＝log2（2x﹣2）10．（5分）（平）若二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．（5分）设向量，，则向量在向量上的投影为．12．（5分）已知α为钝角，且，则sin2α＝．13．（5分）设函数f（x）＝，则方程f（x）＝的解集为．14．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+3y+2＝0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k值是．16．（5分）在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，若f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一直线上，则c＝．17．（5分）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A；且x≠0时，，则称集合A是“完美集”．给出以下结论：①集合B＝{﹣1，0，1}是“完美集”；②有理数集Q是“完美集”；③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则必有．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．（Ⅰ）求函数y＝g（x）的表达式；（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，g（C）＝0．若向量与共线，求a，b的值．19．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{b n}满足，n∈N+．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求数列{b n}的前100项和S100；（Ⅱ）若数列{b n}是公差为2的等差数列，求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF＝BF＝BC＝1，，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合，点O为AC的中点，设面ABF与面CDE相交于直线l，（Ⅰ）求证：l∥CE；（Ⅱ）求证：OF⊥面ABE．21．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N+，n≥2）．22．（14分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），过P点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点T与点M关于x轴对称．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）证明：直线TN恒过某定点．2015年湖北省八校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，3，zi}（其中i为虚数单位），B＝{4}，A∪B＝A，则复数z的共轭复数为（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i【解答】解：由A∪B＝A，可得B⊆A，即得zi＝4，z＝﹣4i，z的共轭复数为4i，故选：D．2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z＝F（x，y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（，）＝故选：C．3．（5分）从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为（）A．10B．20C．8D．16【解答】解：根据题意，视力的要求在0.9以上为50×（0.2+0.75×0.2+0.25×0.2）＝20，故选：B．4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，且b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由b＝2a cos B，结合正弦定理可得sin B＝2sin A cos B，即tan B＝2sin A＝2sin＝，∴B＝，因此△ABC是一个正三角形．又c＝1，∴．故选：A．5．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×＝a1+（a1+d），解得a1＝，故选：C．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（）A．B．16πC．8πD．【解答】解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二∴AD＝×＝，在直角三角形OAD中，AD＝，OD＝＝1∴OA＝＝则这个几何体的外接球的表面积4π×OA2＝4π×＝故选：D．7．（5分）将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线ax+by＝0与圆（x ﹣2）2+y2＝2无公共点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，基本事件总数是36种，∵直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2无公共点，则有，∴满足该条件的基本事件有15种，故所求概率为P＝＝．故选：B．8．（5分）下列命题为真命题的是（）A．已知a，b∈R，则“”是“a＞0且b＜0”的充分不必要条件B．已知数列{a n}为等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“a4＜a5”的既不充分也不必要条件C．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥βD．∃x0∈（﹣∞，0），使成立【解答】解：对于A，由于，而ab＜0是a＞0且b＜0的必要不充分条件，所以A错；对于B，由a1＜a2＜a3，得或，可以推出a4＜a5，若a4＜a5，该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，此时推不出a1＜a2＜a3，所以B错；对于C，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于n'，由线面平行的性质定理可得n'∥n，再由线面平行的判断定理可得，n'∥β，由面面平行的判断定理可得α∥β，所以C正确；对于D，由x0＜0，，所以D错．故选：C．9．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．f（x）＝sin（x）B．f（x）＝2x2﹣1C．f（x）＝2x+1D．f（x）＝log2（2x﹣2）【解答】解：对于A，函数f（x）＝sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A ＝[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A＝[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．对于B，当A＝[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A＝[﹣1，1]一个．∴f（x）＝2x2﹣1满足题意．对于C，A＝[m，n]为函数f（x）＝2x+1的“可等域区间”，若f（x）＝2x+1满足条件，则由，即m，n是方程2x+1＝x的两个根，设f（x）＝2x+1﹣x，则f′（x）＝2x ln2﹣1，x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，方程无解，故不满足条件．对于D，∵f（x）＝log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2＝0的两个根，设f（x）＝2x﹣2x+2，f′（x）＝2x ln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＝2x﹣2x+2＝0不可能存在两个解，故f（x）＝log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．10．（5分）（平）若二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：由题意，以线段PQ为直径的圆的圆心坐标为C，则由|CM|＝|CQ|，可得∵二次函数y＝ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，∴∴b2﹣4ac＝1∴b2+64a2＝1，a＝∴∴c2+4b2＝4∴b2+＝1∴点（b，c）所在曲线为椭圆故选：B．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．（5分）设向量，，则向量在向量上的投影为．【解答】解：∵向量，，∴||＝＝，设、的夹角是θ，则cosθ＝＝＝，∴向量在向量上的投影为：||cosθ＝×＝；故答案为：．12．（5分）已知α为钝角，且，则sin2α＝﹣．【解答】解：∵cos（+α）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝，又α为钝角，∴cosα＝﹣＝﹣，则sin2α＝2sinαcosα＝﹣．故答案为：﹣13．（5分）设函数f（x）＝，则方程f（x）＝的解集为{﹣1，}．【解答】解：若x≤0，由f（x）＝得f（x）＝2x＝＝2﹣1，解得x＝﹣1．若x＞0，由f（x）＝得f（x）＝|log2x|＝，即log2x＝±，由log2x＝，解得x＝．由log2x＝﹣，解得x＝＝．故方程的解集为{﹣1，}．故答案为：{﹣1，}．14．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|＝．【解答】解：由抛物线y2＝4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l＝tan150°＝．∴直线EF的方程为：y＝﹣（x﹣1），联立，解得y＝．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P＝，代入抛物线的方程可得，解得x P＝．∴|PF|＝|PE|＝x P+1＝．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+3y+2＝0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k值是6．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣ax，∴f′（x）＝2x﹣a，∴根据导数的几何意义，y＝f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1）＝2﹣a，∵函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y＝0垂直，∴（2﹣a）×（﹣）＝﹣1，∴a＝﹣1，∴f（x）＝x2+x，从而模拟程序运行，可得S＝0，k＝0不满足条件S＞，k＝1，S＝不满足条件S＞，k＝2，S＝+不满足条件S＞，k＝3，S＝++不满足条件S＞，k＝4，S＝+++不满足条件S＞，k＝5，S＝++++不满足条件S＞，k＝6，S＝+++++＝满足条件S＞，退出循环，输出k的值为6．故答案为：6．16．（5分）在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，若f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一直线上，则c＝1或2．【解答】【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2当1≤x＜2时，则2≤2x＜4，则f（x）＝f（2x）＝[1﹣（2x﹣3）2]，此时当x＝时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，此时当x＝3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜x≤4，则f（x）＝cf（x）＝c（1﹣（x﹣3）2，此时当x＝6时，函数取极大值c；∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴＝，解得c＝1或2．故答案为：1或2．17．（5分）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A；且x≠0时，，则称集合A是“完美集”．给出以下结论：①集合B＝{﹣1，0，1}是“完美集”；②有理数集Q是“完美集”；③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则必有．其中正确结论的序号是②③④⑤．【解答】解：①﹣1，1∈A，而﹣1﹣1＝﹣2∉A，所以集合B不是“完美集”，∴①错误；②0∈Q，1∈Q，有理数的差还是有理数，有理数分整数和分数，所以x∈Q，x≠0时，，∴②正确；③A是完美集，∴x，y∈A时，x﹣y∈A，∴x﹣y﹣x＝﹣y∈A，∴x﹣（﹣y）＝x+y∈A，所以③正确；④A是完美集，∴x，y∈A时，（1）若x＝0，或1，则x2∈A；（2）若x≠0，且x≠1，则x﹣1，∈A，∴；∴x2﹣x∈A，x2﹣x+x＝x2∈A；∴x∈A得到x2∈A；∴y2∈A，x2+y2∈A，（x+y）2∈A；∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）∈A；若x，y有一个为0，则xy∈A，若x，y都不为0，则：，∴xy∈A；∴x∈A，y∈A，得到xy∈A，所以④正确；⑤A是完美集，x，y∈A，x≠0，所以由前面知，所以⑤正确．∴正确结论的序号为②③④⑤．故答案为：②③④⑤．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．（Ⅰ）求函数y＝g（x）的表达式；（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，g（C）＝0．若向量与共线，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）由函数的图象可得A＝1，＝＝，求得ω＝2．再根据五点法作图，可得2×+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）＝sin[2（x﹣）+]﹣1＝sin（2x﹣）﹣1的图象，即g（x）＝sin（2x﹣）﹣1．（Ⅱ）已知△ABC中，c＝3，g（C）＝sin（2C﹣）﹣1＝0，∴sin（2C﹣）＝1．由0＜C＜π，可得﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，C＝．∵向量与共线，∴＝＝，∴b＝2a．再由余弦定理可得c2＝9＝a2+4a2﹣2•a•2a•cos，求得a＝，∴b＝2．19．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{b n}满足，n∈N+．（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求数列{b n}的前100项和S100；（Ⅱ）若数列{b n}是公差为2的等差数列，求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，∴a n＝n；当n为奇数时，b n＝a n+1﹣a n＝1，即b1＝b3＝b5＝…＝b2n﹣1＝1；当n为偶数时，b n＝a n+1+a n＝2n+1，则b2＝5，b4＝9，b6＝13，∴{b n}的前100项和为S100＝b1+b2+…+b100＝（b1+b3+…+b99）+（b2+b4+…+b100）＝1×50+（50×5+）＝5200；…（6分）（Ⅱ）∵{b n}是公差为2的等差数列，且b1＝a2﹣a1＝1，∴b n＝2n﹣1；当n为奇数时，b n＝a n+1﹣a n＝2n﹣1，当n为偶数时，b n＝a n+1+a n＝2n﹣1；即，∴a2n+1+a2n﹣1＝2∴a2n+1＝2﹣a2n﹣1；又∵a1＝1，∴a1＝a3＝a5＝ (1)∴a2n﹣1＝1，a2n＝4n﹣2；∴．…（12分）20．（13分）如图，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF＝BF＝BC＝1，，现将△ABF，△CDE分别沿BF与CE翻折，使点A与点D重合，点O为AC的中点，设面ABF与面CDE相交于直线l，（Ⅰ）求证：l∥CE；（Ⅱ）求证：OF⊥面ABE．【解答】证明：（Ⅰ）⇒⇒l∥CE．…（6分）（Ⅱ）∵AF＝BF＝1，并且AF⊥BF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AB＝AE＝；设正方形BCEF对角线交点为G，∴⇒⇒面ACF⊥面ABE，交线为AG①⇒⇒AF⊥面BCEF，在Rt△AFC中，连接OG，得OG∥AF且OG＝，且⇒∠FGA+∠OFG＝⇒OF⊥AG②结合①②得，即OF⊥面ABE．…（13分）21．（14分）已知函数，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N+，n≥2）．【解答】（Ⅰ）解：，（x＞0），，即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，在x＝1处取得极大值，极大值为f（1）＝1，无极小值．（Ⅱ）解：方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx，，k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max＝f（1）＝1，则有f（x﹣1）max＝1，∴k≥1．方法2：记g（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，，当k≤0时，g'（x）≥0；当k＞0时，由g'（x）＞0得，即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数；当k＞0时，上为增函数；在上为减函数．∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，即要求g（x）≤0恒成立，∴k＞0符合，且，得k≥1．（Ⅲ）证明：，由（Ⅰ）知，则（当且仅当x＝1取等号）．令x＝n2（n∈N*，n≥2），即，则有∴，∴．22．（14分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），过P点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点T与点M关于x轴对称．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）证明：直线TN恒过某定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得，故椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝k（x﹣4）．由得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4＝0．①设点M（x1，y1），N（x2，y2），△＝（﹣16k2）2﹣4（2k2+1）（32k2﹣4）＞0，∴，∴，，＝，，∵，即．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，T（x1，﹣y1），直线TN的方程为．令y＝0，得．将y1＝k（x1﹣4），y2＝k（x2﹣4）代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得x＝1．∴直线TN恒过定点Q（1，0）．。
20150401湖北省八校2015届高三第二次联考文科数学试卷+答案-推荐下载
≤1
表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高
校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该班学生中能报 A 专业的人数为
A．10
B．20
C． －4i
，则
5
C．
3
C．8
z
4．已知 ABC 中，内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c ，若 A ，且b 2a cos B ，c 1，则 3
=
1 2
的解集为
．
D．抛物线
．
．
2
D.
3
．
开始
S 0 k 0
S 5? 6
否 k k 1
SS 1 f (k)
是
输出 k
结束
15．已知函数 f (x) x 2 ax 的图象在点 A(1，f (1)) 处的切线与直线
x 3y 2 0 垂直，执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是
x
2
y
D． 4i
的最大值为
5
D．
2
D．16
3
D．
8
5
D．
6
D． 28 3
审题人：曾建民 试卷满分：150 分
2
正视图 11
俯视图
第 6 题图
3
侧视图
7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为 a ， b ，则直线 ax by 0 与圆 (x 2) 2 y 2 2
无公共点的概率为
八校 2015 届高三第二次联考文数试题 第 2 页 共 12 页
f
(x)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技写5卷术、重保交电要护底气设装。设备置管备高4动线调、中作敷试电资，设高气料并技中课试3且术资件、卷拒中料管试绝包试调路验动含卷试敷方作线技设案，槽术技以来、术及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2015届湖北八校高三第二次联考文科数学试卷word版
湖北省八校2015届高三第二次联考数学试题（文科）考试时间：2015年4月1日下午15:00—17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1 3 ,A zi=，（其中i为虚数单位），{4}B=，A B A=，则复数z的共轭复数为A．i2－B．i2C．i4－D．i42．若变量x，y满足约束条件211y xx yy⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y=+的最大值为A．52-B．0C．53D．523．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为A．10 B．20 C．8 D．164．已知ABC∆中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若3Aπ=，且2cosb a B=，1c=，则ABC∆的面积等于A B．C．D5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为A．52B．54C．53D．566．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于A．73πB．16πC．8πD．283π7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a，b，则直线0ax by+=与圆22(2)2x y-+=无公共点的概率为A.16B.512C.712D.23第6题图侧视图8．下列命题为真命题的是A ．已知R b a ∈，，则“222a b ab+-≤”是“00a b ><且”的充分不必要条件B ．已知数列{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．已知两个平面α，β，若两条异面直线n m ，满足βα⊂⊂n m ，且m ∥β，n ∥α，则α∥β D. )0(0，－∞∈∃x ，使0034x x <成立9．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 A ．()sin()2f x x π= B ．12)(2－x x f = C ．()21x f x =+D ．2()log (22)f x x =-10．已知二次函数()20y ax bx c ac =++≠图象的顶点坐标为)412(aa b ，－－，与x 轴的交点P ,Q 位于y 轴的两侧，以线段PQ 为直径的圆与y 轴交于)40(1，F 和)40(2，－F ，则点)(c b ，所在曲线为 A ． 圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．设向量(21)a =-，，(34)b =，，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ． 12．已知α为钝角，且3cos()25πα+=-，则sin 2α= ． 13．设函数22,(0)()log ,(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，则方程1()2f x =的解集为 ．14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o 150，则||PF = ．15．已知函数2()f x x ax =-的图象在点(1(1))A f ，处的切线与直线 320x y ++=垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ． 16．在(1)+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=1(3)f x x --，若函数()f x 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c 等于__________．17．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈；且0x ≠时，1A x∈， 则称集合A 是“完美集”．给出以下结论：①集合{}1,0,1B =-是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”； ③设集合A 是“完美集”，若x ,y A ∈，则x y A +∈； ④设集合A 是“完美集”，若x ,y A ∈，则必有xy A ∈； ⑤对任意的一个“完美集”A ，若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈． 其中正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （本小题满分12分）函数()sin()f x A x =ω+ϕ（其中0,0,2A π>ω>ϕ<）的图象如图所示， 把函数()f x 的图象向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得 到函数()y g x =的图象． （Ⅰ）求函数()y g x =的表达式；（Ⅱ）已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且0)(,3==C g c ．若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b ，的值．19.（本小题满分12分）数列{}n a 中，11=a ，22=a ，数列{}n b 满足1(1)n n n n b a a +=+-，n N +∈． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n b 的前100项和100S ； （Ⅱ）若数列{}n b 是公差为2的等差数列，求数列{}n a 的通项公式．20.（本小题满分13分）如图，梯形ABCD 中，CE AD ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1AF BF BC===，DE =，现将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ， （Ⅰ）求证：//l CE ；（Ⅱ）求证：OF ⊥面ABE ．21. （本小题满分14分）已知函数ln 1()x f x x+=， （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的1x >，恒有ln(1)1x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）证明：2222ln 2ln3ln 21.......234(1)n n n n n --+++<+（ 2n N n +∈，≥）．22．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，若椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2焦点到直线2a x c=的距离等于短半轴的长．已知点()4,0P ，过P 点的直线l 与椭圆C 交于M ,N两点，点T 与点M 关于x 轴对称． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OM ON 的取值范围； （Ⅲ）证明：直线TN 恒过某定点．湖北省八校2015届高三第二次联考数学试题（文科）参考答案一、选择题 1-5 DCBAC 6-10 DBCBB二．填空题11. 2512. 2425-13. { 1－ 14．43 15. 6 16. 12或 17 ②③④⑤1.【解析】选D ．由A =A B ，可得A ⊆B ，即得4zi =，4z i =-，z 的共轭复数为4i2.【解析】选C ．线性约束区域如下图，2z x y =+看作是122zy x =-+，当经过x 2=y 与1x y +=的交点12(,)33时，z 取最大值53．3.【解析】选B ．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A 专业的有(1+0.75+0.25)×0.2×50=20(人).4.【解析】选A .由正弦定理可得B A B cos sin 2=sin ，即3=sin 2=tan A B ，所以3=πB ，因此这是一个正三角形．5.【解析】选C ．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，根据题意，于是有[20+(d a 3+1)+(d a 4+1)]×+=711a (d a +1)，解得1a =35． 6.【解析】选D ．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为321，那么外接球的表面积为ππ328=37×4．7．【解析】B ．直线0a x b y +=与圆22(2)2x y -+=无公共点,则有a b >⇒>，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为512P =． 8.【解析】选C ．选项A 中，22222()2200a b a b a b ab ab ab ab+++≤-⇔+=≤⇔<是00a b ><且的必要不充分条件，所以A 错； 选项B 中，由321a a a ＜＜得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，可以推出54a a ＜；但若54a a ＜，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出321a a a ＜＜，所以B 错；选项D中，当00x <时，0000333()()1444x x x =>=0034x x⇔>，所以D 错．9.【解析】选B ．选项A 中，区间[1,0],[0,1],[1,1]--都可以是“等可域区间”；选项C ，D 中，函数均为增函数且与y x =不可能有两个交点；选项B 中，“等可域区间”为[1,1]-．10【解析】选B ．结合二次函数的顶点坐标为(24-24b ac b a a－，)，根据题意可得241b ac ∆=-=，①，二次函数图像和x 轴的两个交点分别为(+102b a －，)和(102b a－－，)，利用射影定理即得：11()1622b b a a-+---⨯=⇒22164b a -=，结合①先求出a 和c 之间的关系，代入①可得到，(c b ，)所在的曲线为2214c b +=，表示椭圆． 11.【解析】52．向量a在向量b 方向上的投影为2||cos==5a ba ab b ?>，． 12.【解析】2425-．3cos()25πα+=-，即3s i n 5α=，又α为钝角，4c o s 5α=-，24sin 22sin cos 25ααα==-．13．【解析】{12－，．令x2=21或x 2log =21或21=log 2－x ．14.【解析】43．P 点只能在抛物线上半部分，设P 点为(x ，EG PH ==2FG =，解得31=x ，14133PF =+=．15．【解析】6．因为a x x f －2=)('，即过A 点的切线斜率为a －2，与直线320x y ++=垂直，可得a =－1从而x x x f +=)(2，1111()(1)1f k k k k k ==-++，程序的算法中，1111115(1)()()1223116S k k k =-+-+-=->++，跳出循环时6k =．16．【解析】12或．先令12x ＃，那么224x ＃，c x f x f )2(=)(=])32(1[12－－x c；再令48x＃，那么242x＃，)21(=)(x cf x f =21[1(3]2c x －－）；分别算出它们的极值点为(c 123，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或．17.【解析】 ②③④⑤①－1B ∈，1B ∈，但是11=2B ---∉，B 不是“完美集”； ②有理数集肯定满足“完美集”的定义；③0A ∈，y x ，A ∈，0－y =－y ∈A ，那么A ∈+=)y (y x x －－；④对任意一个“完美集”A ，任取y x ，A ∈，若y x ，中有0或1时，显然xy A ∈；下设y x ，均不为0，1，而()()222222+1++1=21+21=1y x y x y x y x xy xy xy －－－－ 1－，x x A ∈，那么()11=111－－－x x x x A ∈，所以()A ∈1－x x ，进而()A ∈=+12x x x x －，结合前面的算式，A ∈xy ； ⑤y x ，A ∈，若0≠x ，那么A ∈1x ，那么由(4)得到：xyA ∈．三．解答题18（Ⅰ）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω， 又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f ． ……………………3分由图像变换，得1)2sin(1)()(--=--=ππx x f x g ．……………………6分∴627分∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=． 由正弦定理 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得 ②……………………11分……………………………………12分19. （Ⅰ）11=a ，22=a 且{}n a 是等差数列，n a n =，当n 为奇数时，11n n n b a a +=-=，即13521......1n b b b b -=====； 当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=+，则25b =，469,13b b ==，10012100139924100......+(....)(....)50494150(505)52002S b b b b b b b b b =++=+++++++⨯⨯=⨯+⨯+=………………6分（Ⅱ） {}n b 是公差为2的等差数列,1211b a a =-=，21n b n =-．当n 为奇数时，121n n n b a a n +=-=-；当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=-．即2122122124341n n n nn n b a a n b a a n --+=-=-⎧⎨=+=-⎩21212n n a a +-⇒+=且2321n n a a ++=，因为11,a =13521..... 1.1n a a a a -⇒====⇒=，242n a n =-，1 (n )2 2 (n )n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数∴，为偶数 ………………………………………12分20． 解析：（Ⅰ）//////CE BFCE ABFCE ABF CE ACE l CE BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭面面面面面面．……………6分（Ⅱ）1,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪⇒⇒⎬⎬⊥∴==⎪⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG CF BE BE ABE ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭面面面交线为面 ①1AF EF AF FE AF BCEF AF BF AE ==⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭面，在Rt AFC ∆中，连接OG ,得11//22OG AF OG AF ==且,且,tan 2tan 2OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫=⇒∠=∠=θθ=⎪⎪⎬π⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中，2FGA OFG OF AG π⇒∠+∠=⇒⊥② 结合①②得，即 OF ⊥面ABE ． ………………………………………………13分21．（Ⅰ）ln 1()x f x x +=，（0x >），2ln ()xf x x -'=， 即(0,1),()0x f x '∈>，当(1,)x ∈+∞，()0f x '<，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，在1x =处取得极大值，极大值为(1)1f =，无极小值．……………………………４分 （Ⅱ）方法1：因为ln(1)1x k kx -++≤，ln(1)1ln(1)1(1)1x x k x k x -+⇒-+-⇒-≤≤max (1)k f x -≥对任意的1x > 恒成立,由（1）知max ()(1)1f x f ==，则有max (1)1f x -=，所以1k ≥ ．……………………………………………9分 方法2：记()ln(1)(1)1g x x k x =---+，1(),(1)1g x k x x '=->-， 0k ≤当时,()0g x '≥， 0k >当时，由()0g x '>得11,x k <+即0k ≤当时()(1,)g x +∞在上为增函数；0k >当时1()(1,1+)g x k在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 因为对1,ln(1)(1)10,x x k x ∀>---+≤ 即要求()0g x ≤恒成立, 所以0k >符合且max 1()(1)ln g x g k k+=-=≤0得1k ≥． ………………………………………………………………9分（Ⅲ）1ln ()x f x x +=，由（Ⅰ）知max 1ln ()()(1)1xf x f x f x+=≤==， 则1ln ln 111x x x x x+≤⇒≤-（当且仅当1x =取等号）． 令2x n =（,2n N n *∈≥），即222ln 11n n n <-，则有 222222222222ln 2ln 3ln 111111......(1)(1)....(1)(1)(....)23232311111111131(1)(....)(1)(....)+2334(1)2334121n n n n n n n n n n n n n +++<-+-+-=--++<--++=---+-++-=-⨯⨯⨯+++222222222l n 2l n 3l n l n 2l n 3l n31......2(.......)+232321n n n nn n +++=+++<-+∴ ∴2222ln 2ln3ln 13121.......(+)232214(1)n n n n n n n --+++<-=++ 则得证 ……………………………………………………………… 14分22．解：（Ⅰ）由题意知22a c a c b c⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程22142x y +=．……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ① 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222212221222212122(16)4(21)(324)1696016213242112(4)(4)21k k k k kx x k k x x k k y y k x x k ⎧=--+-=->⎪⎪+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎪=--=⎪+⎩ 212122244426==222121k OM ON x x y y k k -+=-++，2106k <≤ 即5[4,)2OM ON ∈- ． …………………………………………………… 9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，11(,)T x y -，直线TN 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得21221621kx xk+=+，212232421kx xk-=+代入②整理，得1x=．所以直线TN恒过定点(1,0)Q．…………………………………………14分。
2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考文科数学试题(word典藏版)
2015届高三年级调研考试 文 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题。
满分150分，考试用时120分钟★祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。
答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为R ，集合}0|{£=x x A ，}21|{<<-=x x B ，则=B A IA ．}0|{£x xB ．}01|{£<-x xC ．}20|{<£x xD ．f2.如果复数)i 1)(i (-+a 的模为10，则实数a 的值为A ．2B ．22C ．2±D ．22± 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12B ．24C ．40D ．72 4. 根据如下样本数据x34567y4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 得到的回归方程为ˆybx a =+.若9.7=a ,则b 的值为 A ．4.1 B ．4.1- C ．2.1 D ．2.1-5.已知正方形ABCD 的边长为2,E为CD 的中点, F 为AD 的中点,则=×BF AEA ．0B ．1C ．2D ．4俯视图 正视图 侧视图6.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面a 上.用一平行于平面a 的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么A ．圆S >圆环SB ．圆S =圆环SC ．圆S <圆环SD ．不确定7. 函数ïîïíì³<<-=-)0( e ),01)(sin()(12x x x x f x p 满足2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为 A ．1或22-B ．22-C ．1D ．1或228.函数)0(sin 2)(>=w w x x f 在区间4,0[p上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么=w A ．32 B ．34C ．2D ．4 9.设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是A ．2B ．2C ．3D ．3 10.已知函数()f x 的图象如图所示，若函数a xx f y --=1)(在区间]10,10[-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 A ．]4,4[- B ．)4,4(- C ．1,1[- D ． 1,1(-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11. 已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：年级 人数 近视率 小学 3500 10% 初中 4500 30% 高中200050%为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为___________；（Ⅱ）抽取的高中生中，近视人数为___________． 12.化简oo 10cos 310sin 1-=_____________. 13．已知点M 的坐标),(y x 满足不等式组ïïîïïíì£+£+³³,123,62,0,0y x y x y x 则y x -的取值范围是_____________.14. 阅读如图所示的程序框S 的值为_______.15.以)3,1(为圆心，并且与直线0643=--y x 相切的圆的方程为 . 16.给出以下数对序列：(1，1)(1，2) (2，1)(1，3) (2，2) (3，1)(1，4) (2，3) (3，2) (4，1) ……记第i 行的第j 个数对．．为ij a ，如)2,3(43=a ，则（Ⅰ）=54a ________；（Ⅱ）=nm a ________． 17.已知函数x b x a x x f 223)1(31)(+--=，其中}4,3,2,1{Îa ，}3,2,1{Îb ，则函数)(x f 在R 上是增函数的概率为__________.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC D 三内角A ，B ，C 的对边，3p =B ，8=c ， 71cos -=C . （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求ABC D 的面积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11=a ，n n a a 21=+；数列{}n b 满足31=b ，62=b ，且{}n n a b -为等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面是边长为2的正方形，31=AA ，点E 在棱B B 1上运动.（Ⅰ）证明：E D AC 1^；（Ⅱ）若三棱锥E D A B 111-的体积为32时，求异面直线AD ，E D 1所成的角.21.（本小题满分14分）已知函数1ln )(-=xxx f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0>m ，求)(x f 在区间]2,[m m 上的最大值； （Ⅲ）证明：对*Î"N n ，不等式nnn n +<+1)1ln(e 成立.22．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0(122>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(¹Î=t t t x R 上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．12015届高三年级调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题：1. B2.C 3．C 4. B 5.A 6.B 7. A 8.B 9.A 10.C 二、填空题：11.（Ⅰ）200；（Ⅱ）20 12. 4 13． ]4,3[- 14. 5050- 15. 9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x 16.（Ⅰ） (4，2)；（Ⅱ）)1,(+-m n m 17. 43三、解答题：18.解：（Ⅰ）71cos -=C Q ，734cos 1sin 2=-=\C C . B b C c sin sin =Q，3p =B ，237348b=\，即7=b .…………………………（6分） （Ⅱ）方法一：)sin()sin(sin C B C B A +=--=p Q C B C B sin cos cos sin += 14337342171(23=´+-´=， 3614337821sin 21=´´´==\D A bc S ABC .………………………………………（12分）方法二：B ac c a b cos 2222-+=Q ，3cos 8287222pa a ´-+=\， 即01582=+-a a .3=\a 或5=a .当5=a 时，712cos 222=-+=ab c b a C ，不合题意.36238321sin 21=´´´==\D B ac S ABC .…………………………………………（12分） 19.解：（Ⅰ）由题意知数列{}n a 是首项11=a ，公比2=q 的等比数列， 所以12-=n n a ；因为211=-a b ，422=-a b ，所以数列{}n n a b -的公差为2=d .所以n n d n a b a b n n 2)1(22)1()(11=-+=-+-=-. 所以122-+=n n n b .…………………………………………………（6分）（Ⅱ）n n b b b b T ++++=L 321)2421()2642(1-+++++++++=n n L L21)21(12)22(--´++=n n n 12)1(-++=n n n .………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）连接BD .ABCD Q 是正方形，BD AC ^\.Q 四棱柱1111D C B A ABCD -是直棱柱，^\B B 1平面ABCD .ÌAC Q 平面ABCD ， AC B B ^\1. ^\AC 平面11BDD B .ÌE D 1Q 平面11BDD B ，\E D AC 1^.…………………………………………………（6分） （Ⅱ）111111D B A E E D A B V V --=Q ，^1EB 平面1111D C B A ，111111131EB S V D B A D B A E ×=\D -.1211111111=×=D D A B A S D B A Q ，32311111==\-EB V D B A E .21=\EB .11//D A AD Q ，111B D A Ð\为异面直线AD ，E D 1所成的角.在D Rt 11D EB 中，求得221=ED .^11A D Q 平面11ABB A ，E A A D 111^\.在D Rt 11D EB 中，求得21222cos 11==ÐE D A ，o 6011=ÐE D A . 所以，异面直线AD ，E D 1所成的角为o60.……………………………………………（13分） 21.解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+¥，2ln 1)(x xx f -=¢， 由0ln 1)(2=-=¢xxx f ，得e =x . 当e 0<<x 时，0ln 1)(2>-=¢x x x f ；当e >x 时，0ln 1)(2<-=¢x xx f .所以函数)(x f 在e],0(上单调递增，在),e [+¥上单调递减. ………………………（4分）1（Ⅱ）（1）当e 20£<m ，即2e0£<m 时，)(x f 在]2,[m m 上单调递增，所以 12)2ln()2()(max -==mm m f x f . （2）当e ³m 时，)(x f 在]2,[m m 上单调递减，所以1ln )()(max -==mmm f x f . （3）当2m e <<m ，即e 2e<<m 时，)(x f 在]e ,[m 上单调递增，在]2,e [m 上单调递减，所以1e1)e ()(max -==f x f .…………………………………………………（10分） （Ⅲ）由（Ⅰ）知，当),0(+¥Îx 时，1e1)e ()(max -==f x f ，所以在),0(+¥上，恒有 1e 11ln )(-£-=x x x f ，即e1ln £x x 且当e =x 时等号成立. 因此，对),0(+¥Î"x ，恒有x x e1ln £. 因为01>+n n ，e 1¹+n n ，所以n n n n +×£+1e 11ln ，即n nn n +£+11ln e ， 所以nnn n +£+1)1ln(e . 即对*Î"N n ，不等式nnn n +<+1)1ln(e 成立. …………………………………（14分） 22．解：（Ⅰ）由已知可得ïîïíì==-=,3,42222b a b a c解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标为(2，0).由题意知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +2. 将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得îïíïìx ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则34221+-=+m m y y ，32221+-=m y y . 于是3124)(22121+=++=+m y y m x x . 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(+-+m mm . 因为PQ TF ^，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=.将M 点的坐标为32,36(22+-+m mm 代入x t t m y )2(-=， 得36)2(32+×-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-= ]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++×=++×+=m m m m m PQ TF14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++×=++×=m m m m m414124122++++×=m m 33442241=+׳.当且仅当14122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值33． 故当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是)1,3(或)1,3(-．…………………………………（14分）。
2015年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i = （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1；当29 / 121011 / 1212。
湖北省武汉市2015届高三下学期二月调研测试数学(文)试题 Word版含答案
武汉市2015届高中毕业生二月调研测试文 科 数 学武汉市教育科学研究所命制 2015.3.3 本试卷共4页，三大题22小题。
全卷共150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸无效。
3. 非选择题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={}1,2,3,4,5,6,7,8，A={}1,2,3，B={}3,4,5,6，则()U AB ð=A. {}1,2,3B. {}1,2C.{}1,3D. {}12.复数121ii +-= A.1322i -- B.1322i +C.1322i -+D. 1322i -3.若函数()f x =A.[)0,1B.()0,1C.(](),01,-∞+∞ D. ()(),01,-∞+∞4.已知m ，n 为异面直线，,,m n l αβαβ⊂⊂=平面平面，则直线lA.与m ，n 都相交B.至多与m ，n 中的一条相交C.与m ，n 都不相交D.与m ，n 至少一条相交5.投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于 A.118 B.19 C.16 D.5366.若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.6πB.3πC.23πD.π7.已知a ,b 是实数，则“22a b ab >”是“11a b<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.过原点O 的直线MN 与双曲线C ：22221x y a b-=交于M 、N 两点，P 是双曲线C 上异于M 、N 的点，若直线PM ，PN 的斜率之积54PM PN k k =，则双曲线C 的离心率e= A.32 B.94 C.54D.2 9.函数()2cos()4f x x πω=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则ω的最大值为 A.13B.1C.2D.310.已知P 是曲线1xy x y --=上任意一点，O 为坐标原点，则OP 的最小值为A.6-B.2 D.1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a 的值为____．72m +≥+恒成立，则实数m 的范围为_________．13.若变量x,y 满足约束条件400x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则43z x y =-的最大值为_________．14.已知向量(2,7),(2,4)=-=--a b ，若存在实数λ，使得()λ-⊥a b b ，则实数λ为_________．15．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos a C c b +=，则角A=________． 16.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径作扇形ABD ，在该正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 17.若函数()ln kf x x x=-在区间()2,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 之间满足1(1)n n S a n +=≥： （ Ⅰ）求数列{}n a 的通项;（ Ⅱ）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos()sin(2)(33f x x x x x R ππ=-++∈)（ Ⅰ）求()12f π的值; （ Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和最小值。
湖北省八校2015届高三第二次联考数学(文)试题(扫描版)
湖北省 八校2015届高三第二次联考数学试题（文科）参考答案 鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中一、选择题1-5 DCBAC 6-10 DBCBB二．填空题 11. 2512. 2425- 13. { 12－， 14．43 15. 6 16. 12或 17 ②③④⑤1.【解析】选D ．由A =A B ，可得A ⊆B ，即得4zi =，4z i =-，z 的共轭复数为4i2.【解析】选C ．线性约束区域如下图，2z x y =+看作是122z y x =-+，当经过x 2=y 与1x y +=的交点12(,)33时，z 取最大值53．3.【解析】选B ．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A 专业的有(1+0.75+0.25)×0.2×50=20(人).4.【解析】选A .由正弦定理可得B A B cos sin 2=sin ，即3=sin 2=tan A B ，所以3=πB ，因此这是一个正三角形． 5.【解析】选C ．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，根据题意，于是有[20+(d a 3+1)+(d a 4+1)]×+=711a (d a +1)，解得1a =35． 6.【解析】选D ．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为321，那么外接球的表面积为ππ328=37×4． 7．【解析】B ．直线0a x b y +=与圆22(2)2x y -+=无公共点,则有a b >⇒>，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为512P =．8.【解析】选C ．选项A 中，22222()2200a b a b a b ab ab ab ab+++≤-⇔+=≤⇔<是00a b ><且的必要不充分条件，所以A 错；选项B 中，由321a a a ＜＜得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，可以推出54a a ＜；但若54a a ＜，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出321a a a ＜＜，所以B 错；选项D 中，当00x <时，0000333()()1444x x x =>=0034x x ⇔>，所以D 错． 9.【解析】选B ．选项A 中，区间[1,0],[0,1],[1,1]--都可以是“等可域区间”；选项C ，D 中，函数均为增函数且与y x =不可能有两个交点；选项B 中，“等可域区间”为[1,1]-．10【解析】选B ．结合二次函数的顶点坐标为(24-24b ac b a a－，)，根据题意可得241b ac ∆=-=，①，二次函数图像和x 轴的两个交点分别为(+102b a －，)和(102b a －－，)，利用射影定理即得：11()1622b b a a-+---⨯=⇒22164b a -=，结合①先求出a 和c 之间的关系，代入①可得到，(c b ，)所在的曲线为2214c b +=，表示椭圆． 11.【解析】52．向量a 在向量b 方向上的投影为2||cos ==5a b a a b b ?>，． 12.【解析】2425-．3cos()25πα+=-，即3sin 5α=，又α为钝角，4cos 5α=-，24sin 22sin cos 25ααα==-．13．【解析】{12－，．令x 2=21或x 2log =21或21=log 2－x ．14.【解析】43．P 点只能在抛物线上半部分，设P 点为(x ，EG PH ==2FG =，解得31=x ，14133PF =+=．15．【解析】6．因为a x x f －2=)('，即过A 点的切线斜率为a －2，与直线320x y ++=垂直，可得a =－1从而x x x f +=)(2，1111()(1)1f k k k k k ==-++，程序的算法中，1111115(1)()()1223116S k k k =-+-+-=->++，跳出循环时6k =． 16．【解析】12或．先令12x ＃，那么224x ＃，c x f x f )2(=)(=])32(1[12－－x c；再令48x ＃，那么242x＃，)21(=)(x cf x f =21[1(3]2c x －－）；分别算出它们的极值点为(c 123，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或．17.【解析】 ②③④⑤①－1B ∈，1B ∈，但是11=2B ---∉，B 不是“完美集”；②有理数集肯定满足“完美集”的定义；③0A ∈，y x ，A ∈，0－y =－y ∈A ，那么A ∈+=)y (y x x －－；④对任意一个“完美集”A ，任取y x ，A ∈，若y x ，中有0或1时，显然xy A ∈；下设y x ，均不为0，1，而()()222222+1++1=21+21=1y x y x y x y x xy xy xy －－－－ 1－，x x A ∈，那么()11=111－－－x x x x A ∈，所以()A ∈1－x x ，进而()A ∈=+12x x x x －，结合前面的算式，A ∈xy ；⑤y x ，A ∈，若0≠x ，那么A ∈1x ，那么由(4)得到：x y A ∈．三．解答题18（Ⅰ）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω，又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f ． ……………………3分 由图像变换，得1)2sin(1)()(--=--=ππx x f x g ．……………………6分∴ 627分∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得 ②……………………11分……………………………………12分 19. （Ⅰ）11=a ，22=a 且{}n a 是等差数列，n a n =，当n 为奇数时，11n n n b a a +=-=，即13521......1n b b b b -=====；当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=+，则25b =，469,13b b ==，10012100139924100......+(....)(....)50494150(505)52002S b b b b b b b b b =++=+++++++⨯⨯=⨯+⨯+=………………6分（Ⅱ） {}n b 是公差为2的等差数列,1211b a a =-=，21n b n =-．当n 为奇数时，121n n n b a a n +=-=-；当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=-．即2122122124341n n n nn n b a a n b a a n --+=-=-⎧⎨=+=-⎩21212n n a a +-⇒+=且2321n n a a ++=，因为11,a = 13521..... 1.1n a a a a -⇒====⇒=，242n a n =-，1 (n )2 2 (n )n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数∴，为偶数 ………………………………………12分20． 解析：（Ⅰ）//////CE BFCE ABF CE ABF CE ACE l CE BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭面面面面面面．……………6分（Ⅱ）1,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪⇒⇒⎬⎬⊥∴==⎪⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG CF BE BE ABE ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭面面面交线为面 ①1AF EF AF FE AF BCEF AF BF AE ==⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭面， 在Rt AFC ∆中，连接OG ,得11//22OG AF OG AF ==且,且,tan 2tan 22OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫=⇒∠=∠=θθ=⎪⎪⎬π⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中， 2FGA OFG OF AG π⇒∠+∠=⇒⊥② 结合①②得，即 OF ⊥面ABE ． ………………………………………………13分21．（Ⅰ）ln 1()x f x x +=，（0x >），2ln ()x f x x -'=， 即(0,1),()0x f x '∈>，当(1,)x ∈+∞，()0f x '<，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，在1x =处取得极大值，极大值为(1)1f =，无极小值．……………………………４分 （Ⅱ）方法1：因为ln(1)1x k kx -++≤，ln(1)1ln(1)1(1)1x x k x k x -+⇒-+-⇒-≤≤ max (1)k f x -≥对任意的1x > 恒成立,由（1）知max ()(1)1f x f ==，则有max (1)1f x -=，所以1k ≥ ．……………………………………………9分 方法2：记()ln(1)(1)1g x x k x =---+，1(),(1)1g x k x x '=->-， 0k ≤当时,()0g x '≥， 0k >当时，由()0g x '>得11,x k <+即0k ≤当时()(1,)g x +∞在上为增函数；0k >当时1()(1,1+)g x k 在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 因为对1,ln(1)(1)10,x x k x ∀>---+≤ 即要求()0g x ≤恒成立,所以0k >符合且max 1()(1)ln g x g k k+=-=≤0得1k ≥． ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）1ln ()x f x x +=，由（Ⅰ）知max 1ln ()()(1)1x f x f x f x+=≤==， 则1ln ln 111x x x x x +≤⇒≤-（当且仅当1x =取等号）． 令2x n =（,2n N n *∈≥），即222ln 11n n n <-，则有 222222222222ln 2ln 3ln 111111......(1)(1)....(1)(1)(....)23232311111111131(1)(....)(1)(....)+2334(1)2334121n n n n nn n n n n n n n +++<-+-+-=--++<--++=---+-++-=-⨯⨯⨯+++ 222222222l n 2l n 3l n l n 2l n 3l n 31......2(.......)+232321n n n n n n +++=+++<-+∴ ∴2222ln 2ln 3ln 13121.......(+)232214(1)n n n n n n n --+++<-=++ 则得证 ……………………………………………………………… 14分22．解：（Ⅰ）由题意知22a c a c b c⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程22142x y +=．……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ① 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222212221222212122(16)4(21)(324)1696016213242112(4)(4)21k k k k kx x k k x x k k y y k x x k ⎧=--+-=->⎪⎪+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎪=--=⎪+⎩ 212122244426==222121k OM ON x x y y k k -+=-++，2106k <≤ 即5[4,)2OM ON ∈- ． …………………………………………………… 9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，11(,)T x y -，直线TN 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =． 所以直线TN 恒过定点(1,0)Q ． …………………………………………14分。
2015年高考文科数学湖北卷-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
⊕中元素的个数为45故选C.心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B
【考点】集合的基本定义及运算.
第Ⅱ卷【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：
【提示】将函数进行化简，由()0f x =，转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 【考点】函数和方程之间的关系. 14.【答案】（Ⅰ）3 （Ⅱ）6000
【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，解得3a =. （Ⅱ）消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为()100003 2.00.80.20.16000⨯+++⨯=.
【提示】（Ⅰ）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a 的值.
（Ⅱ）先求出消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的频率，再求频数. 【考点】频率分布直方图 15.【答案】1006
【解析】依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得
sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600
sin30sin 45BC =︒︒
，所以3002BC =.在BCD △中，30CBD ∠=︒，
tan 3002tan301006CD BC CBD =∠=︒=g .
【提示】设此山高h m （）
，在BCD △中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC △中利用正弦定理求得
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2015年高考真题——文科数学试卷及答案(湖北卷)--Word版含解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A . 【解析】 试题分析：因为6072303()ii i i =⋅=-，所以应选A .考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B .考点：1、简单的随机抽样；3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C . 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【解析】试题分析：因为变量x和y满足关系0.11y x=-+，其中0.10-<，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z ky b=+(0)k>，则将0.11y x=-+代入即可得到：(0.11)0.1()z k x b kx k b=-++=-++，所以0.10k-<，所以x与z负相关，综上可知，应选A. 考点：1、线性回归方程；5.12,l l表示空间中的两条直线，若p：12,l l是异面直线；q：12,l l不相交，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A.考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()4||lg3x xf x xx-+=--的定义域为A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)(3,4]D．(1,3)(3,6]-【答案】C.【解析】试题分析：由函数()y f x=的表达式可知，函数()f x的定义域应满足条件：2564||0,03x xxx-+-≥>-，解之得22,2,3x x x-≤≤>≠，即函数()f x的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C.考点：1、函数的定义域求法；7.设x∈R，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩则A．|||sgn|x x x=B．||sgn||x x x=C．||||sgnx x x=D．||sgnx x x=【答案】D.考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≤”的概率，2p为事件“12xy≤”的概率，则A．1212p p<<B．1212p p<<C．2112p p<<D．2112p p<<【答案】B.【解析】试题分析：由题意知，事件“12x y+≤”的概率为11111222118p⨯⨯==⨯，事件“12xy≤”的概率02SpS=，其中1121111(1ln2)222S dxx=⨯+=+⎰，111S=⨯=，所以21(1ln2)112(1ln2)1122SpS+===+>⨯，故应选B.考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【解析】试题分析：由题意知，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，所以由新定义集合A B ⊕可知，111,0x y =±=或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时，123,2,1,0,1,2,3x x +=---，122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有：7535⨯=个；当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=，由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个，故应选C . 考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB⊥，||3OA=，则OA OB⋅=_________．【答案】9.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y=+过点(3,1)B取得最大值，即max33110z=⨯+=，故应填10.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x x x=+-的零点个数为_________.【答案】2.【解析】试题分析：函数2π()2sin sin()2f x x x x=+-的零点个数等价于方程2π2sin sin()02x x x+-=的根的个数，即函数π()2sin sin()2sinxcosx sin2x2g x x x=+==与2h(x)x=的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数()g x与h(x)的图像有2个交点.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a=_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_________m.【答案】1006.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）12--【解析】试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即02y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -+-=，令0x =得：(0,21)B +.设圆C 在点B 处的切线方程为(21)kx y -+=，则圆心C 到其距离为：222121k d k -++==+，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x (21)y =++，于是令0y =可得x 21=--，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为12--，故应填22(1)(2)2x y -+-=和12--.考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.【答案】222-.②：10≤<a ：⎪⎩⎪⎨⎧-<<-=≤<-==)2220(1)1()1222(4)2()(2a a f a a a f a g ， ③：21<<a ：4)2()(2a a f a g ==④：2≥a ：1)1()(-==a f a g ，综上，当222-=a 时，)(a g 取到最小值223-考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A xωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x的解析式；（Ⅱ）将()y f x=图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x=图象，求()y g x=的图象离原点O最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6Aωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x=-；（Ⅱ）离原点O最近的对称中心为π(,0)12-.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知表格中的数据可得方程组5325362Aππωϕππωϕ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解之可得函数()f x的表达式，进而可补全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并结合函数图像平移的性质可得，函数()g x 的表达式，进而求出其图像的对称中心坐标，取出其距离原点O最近的对称中心即可.试题解析：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 考点：1、函数()sin()f x A x ωϕ=+的图像及其性质；2、三角函数的图像及其性质； 19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =， 10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可列出方程组111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解之得即可得出所求的结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21n a n =-，12n n b -=，于是1212n n n c --=，易发现：n c 的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.试题解析：（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩. （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-. 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、错位相减法； 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【解析】试题分析：（Ⅰ）由侧棱PD ⊥底面ABCD 易知，PD BC ⊥；而底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，由线面垂直的判定定理知BC ⊥平面PCD ，进而由线面垂直的性质定理可得BC DE ⊥；在PCD ∆中，易得DE PC ⊥，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，进一步可得四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出12,V V ，即可得出所求结果.试题解析：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE CE ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面垂直的性质定理；3、简单几何体的体积；21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将等式()()e x f x g x +=中x 用x -来替换，并结合已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数可得()()e .x f x g x --+=于是联立方程组即可求出(),()f x g x 的表达式；当0x >时，由指数与指数函数的性质知e 1x >，0e 1x -<<，进而可得到()0.f x >然后再由基本不等式即可得出() 1.g x >（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()f x g x '=，()()g x f x '=.于是要证明()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-，即证()()(1)f x axg x a x >+-，也就是证明()()(1)f x bg x b x<+-，即证()()(1).f x bxg x b x <+-于是构造函数()()()(1)h x f x cxg x c x =---，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.试题解析：（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=,①得：()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数()()()(1)h x f x cxg x c x=---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =---当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 考点：1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2、函数的基本性质； 22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，||||||||||MN NO OM MN NO -≤≤+，即2||4OM ≤≤，这表明椭圆C 的长半轴长为4，短半轴长为2，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）首先讨论直线l 的斜率存在与不存在两种情况，当直线l 的斜率不存在时，易知直线l 的方程为4x =或4x =-，即可求出OPQ ∆的面积的值；当直线l 的斜率存在时，设出直线l的方程1:()2l y kx m k =+≠±，然后联立直线l 与椭圆的方程并整理得到一元二次方程222(14)84160k x kmx m +++-=，然后根据题意直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点知，0∆=即可得到22164m k =+.再分别联立直线l 与直线1:20l x y -=和2:20l x y +=可解得点P 和点Q 的坐标，并根据原点O 到直线PQ 的距离公式可求得21d k=+，于是OPQ ∆的面积可表示为1||2OPQS PQ d ∆=⋅消去参数m 可得222241281441OPQ k m S k k ∆+==--，于是分两种情况进行讨论：①当214k >时；②当2104k ≤<时，分别求出OPQ ∆的面积的最小值，并比较即可求出OPQ ∆的面积取得最小值.试题解析：（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k +和2||1|P Q PQ k x x +-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQk S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以 228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交综合问题；。
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考点：1、简单的随机抽样；
3.命题“ x0 (0, ) ， ln x0 x0 1 ”的否定是
A． x0 (0, ) ， ln x0 x0 1
C． x (0, ) ， ln x x 1
【答案】 C .
【解析】
试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为 x (0, ) ，
C． 1
B． x0 (0, ) ， ln x0 x0 1
D． x (0, ) ， ln x x 1
B． x 与 y 正相关， x 与 z 正相关 D． x 与 y 负相关， x 与 z 正相关
D．1
【解析】
试题分析：因为变量 x 和 y 满足关系 y 0.1x 1 ，其中 0.1 0 ，所以 x 与 y 成负相关；
ln x x 1 ，故应选 C .
考点：1、特称命题；2、全称命题； 4.已知变量 x 和 y 满足关系 y 0.1x 1 ，变量 y 与 z 正相关. 下列结论中正确的是
A． x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 C． x 与 y 正相关， x 与 z 负相关
【答案】 A .
A B {(x1 x2 , y1 y2 ) (x1, y1) A, (x2 , y2 ) B} ，则 A B 中元素的个数为
又因为变量 y 与 z 正相关，不妨设 z ky b (k 0) ，则将 y 0.1x 1 代入即可得到： z k( 0.1x 1) b 0.1kx (k b) ，所以 0.1k 0 ，所以 x 与 z 负相关，综上可知，应选
A.
考点：1、线性回归方程； 5. l1,l2 表示空间中的两条直线，若 p： l1,l2 是异面直线；q： l1,l2 不相交，则
2015年高考文科数学湖北卷及答案解析
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i= （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()4||lg 3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77B ．49C ．45D ．30第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m .16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅰ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选所示：S S1S【提示】由题意可得：()()()()(){}0001011,01,0A -=-，，，，，，，()()()()()()()(){()()0,00,10,201021,11,21112,B =----，，，，，，，1，0，，，，，，()()()()()()()()()()2,02,12,22122-1-21,11,01112-------，，，，，，，，，，，，，，()()()()}22212,02,1------，，，，，根据定义可求【考点】集合的基本定义及运算.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】9【解析】由OA AB ⊥，得0OA AB = .所以()2OA OB OA OA AB OA OA AB=+=+22039OA =+==.【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【考点】平面向量的数量积运算，向量模的求法. 12.【答案】10【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当直线过点(3,1)时3x y +取最大值10.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值.【考点】简单线性规划.13.【答案】2【解析】()2222sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x =，则2sin2x x =，则函数()f x 的零点个数即为函数sin 2y x =与函数2y x =图像的交点个数，作出函数图像知，两函数图像的交点有2个，即函数()f x 的零点个数为2.【提示】将函数进行化简，由()0f x =，转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 【考点】函数和方程之间的关系. 14.【答案】（Ⅰ）3 （Ⅱ）6000【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，解得3a =. （Ⅱ）消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为()100003 2.00.80.20.16000⨯+++⨯=.【提示】（Ⅰ）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a 的值.（Ⅱ）先求出消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的频率，再求频数.【考点】频率分布直方图 15.【答案】1006【解析】依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600sin30sin 45BC =︒︒，所以3002BC =.在BCD △中，30CBD ∠=︒，tan 3002tan301006CD BC CBD =∠=︒=.【提示】设此山高h m （），在BCD △中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC △中利用正弦定理求得h .【考点】正弦、余弦定理.16.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-= （Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）由题意设圆心()1,C r （r 为圆C 的半径），则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得2r =，所以圆C 的方程为()()22122x y -+-=.（Ⅱ）令0x =，得21y =±，所以点()0,21B +，又点()1,2C ，所以直线BC 的斜率为1BCk =-，所以圆C 在点B 处的切线方程为()210y x -+=-，即()21y x =++，令0y =，得切线在x 轴上的截距为21--.【提示】（Ⅰ）确定圆心与半径，即可求出圆C 的标准方程.a ⎡⎤a ⎡⎤12a a a =-()12a f ⎫<⎪⎭；当(12a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ()1a f ⎛⎫= ⎪129()9n - 1299n -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 112n n --，于是PD BC ⊥，PD CD D =，所以，又因为PD CD =PC 的中点，PC BC C =，故平面PBC .DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD ∠是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD ==； 是鳖臑D BCE -1136BCE S DE BC CE DE ∆=. 22DE CE CD ==，2 4.BC CD PD CD PDCE DE BC CE DE == 证明BC ⊥平面PCD DE ，角三角形，即可得出结论.由已知，是棱锥P ABCD ﹣的高，所以13ABCD PD BC CD PD =，由（Ⅰ）16BCE DE BC CE DE =，即可求)x -，证明见解析.1122|||||||221212P Q m m d m x x m k k =-=+-+将①代入②得，222241281441OPQk m S k k +==--△， 2224128()8(1)84141OPQ k S k k +==+>--△；2412k +【提示】（Ⅰ）根据条件求出a b ，即可求椭圆C 的方程.（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】椭圆方程的求解，直线和圆锥曲线的位置关系.。
湖北省武汉部分学校2015届高三毕业生二月调研考试文科数学试题及答案
湖北省部分学校2015届高三毕业生（二）月调研考试数 学（文 科）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）A ．2y x =和2x y =B ．sin y x =和tan y x =C ．3y x =和2log y x =D ．2y x =和y x =2、定义{},x y x y A +B =+∈A ∈B ，设集合{}0,1i M =+，130,2i i --⎧⎫N =⎨⎬+⎩⎭，则集合M +N 中元素的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 3、从区间()3,3-中任取两个整数a ，b ，设点(),a b 在圆223x y +=内的概率为1P ，从区间()3,3-中任取两个实数a ，b ，直线30ax by ++=和圆223x y +=相离的概率为2P ，则（ ）A ．12P >PB ．12P <PC ．12P =PD ．1P 和2P 的大小关系无法确定4、设抛物线1C :22y x =与双曲线2C :22221x y a b-=的焦点重合，且双曲线2C 的渐近线为y =，则双曲线2C 的实轴长为（ ） A ．1 B ．12 C ．14 D ．1165、把函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 为（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．2 B C D ．3 7、设0x >，则“1a ≥”是“2ax x+≥恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8、某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（ ）A ．年龄数据的中位数是40，众数是38B ．年龄数据的中位数和众数一定相等C ．年龄数据的平均数()39,40x ∈D ．年龄数据的平均数一定大于中位数 9、在三角形C AB 中，C 60∠= ，C C 6A +B =，4AB =，则AB 边上的高为（ ） AB ．203CD ．4310、如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ） A ．45 B ．110C ．90D ．55二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．）11、已知公比为负值的等比数列{}n a 中，154a a =，41a =-，则数列{}n a 的通项公式为 ．12、在三角形C AB 中，A ，B ，C 是三角形C AB 的内角，设函数()22C 2sinsin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f A 的最大值为 ． 13、已知矩形CD AB 中，2AB =，C 1B =，点P 是D B 上任意一点，则()C BP⋅PA +P的取值范围是 ．14、设x ，y 满足约束条件()2log 221x y x y +≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则z x y =+的最大值为 ．15、若函数()2sin f x x απ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（02απ<<）是奇函数，则方程()lg f x x =解的个数为 ．16、已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a >时，若120x x <，120x x +>，则()()12F F 0x x +>成立；④当0a <时，函数()2F 23y x x =--存在最大值，不存在最小值，其中所有正确命题的序号是 ．17、已知矩形CD AB 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18、（本小题满分13分）设函数()()2cos cos cos 2f x x x x a x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的一个零点是12x π=．()1求函数()f x 的周期；()2求函数()f x 单调增区间．19、（本小题满分12分）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下： 甲种作物的产量数据：111 111 122 107 113 114 乙种作物的产量数据：109 110 124 108 112 115()1计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定；()2作出两组数据的茎叶图．20、（本小题满分12分）如图所示，在矩形CD AB 中，D 1A =，2AB =，点E 是线段AB 的中点，把三角形D AE 沿D E 折起，设折起后点A 的位置为P ，F 是D P 的中点． ()1求证：无论P 在什么位置，都有F//A 平面C PE ；()2当点P 在平面CD AB 上的射影落在线段D E 上时，若三棱锥CD P -E 的四个顶点都在一个球上，求这个球的体积．21、（本小题满分14分）已知椭圆1C :2241x y +=，焦点在x 轴上的椭圆2C 的短轴长与1C()1求椭圆2C 的方程；()2若点T 满足：2OT =MN +OM +ON，其中M ，N 是2C 上的点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点A ，B ，使TA +TB 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分14分）已知函数()ln 2f x x ax =-+，R a ∈是常数．()1若函数()y f x =的图象在点()(),a f a （0a >）与直线y b =相切，求a 和b 的值； ()2若函数()y f x =有两个零点，求实数a 的取值范围．。
2015年高考文数真题试卷(湖北卷)及解析
第1页，总11页2015年高考文数真题试卷（湖北卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.i 为虚数单位，i 607=（ ） A.-i B.i C.-1 D.12.(2015·湖北）命题“，∃x 0∈(0,+∞),Inx 0=x 0−1”的否定是（ ） A.∃x 0(0,+∞),Inx 0≠x 0−1 B.∃x 0∉(0,+∞),Inx 0=x 0−1 C.∀x ∈(0,+∞),Inx ≠x −1? D.∀x ∉(0,+∞),Inx =x −13.l 1,l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1,l 2是异面直线；q ：l 1,l 2不相交，则（ ） A.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C.p 是q 的充分必要条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4.函数f (x )=√4−|x |+1g x 2−5x+6x−3的定义域为（ ）A.(2,3)B.(2,4)C.(2,3)∪(3,4]D.(−1,3)∪(3,6]5.设x ∈R ,定义符号函数sgnx ={1,x >00,x =0−1,x <0,则（ ）A.|x |=x |sgnx |B.|x |=xsgn |x |C.|x |=|x |sgnxD.|x |=xsgnx答案第2页，总11页…………外…………○………※※请※※…………内…………○………6.在区间的概率，p 2为事件“x +y ≤12”的概率，则（ ）A.matℎ><12B.p 1<12<p 2C.p 2<12<p 1? D.12<p 2<P 17.已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1,x,y ∈Z}，B ={(x,y)||x |≤2,|y |≤2,x,y ∈Z}，定义集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A,(x 2y 2)∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（ ）A.77B.49C.45D.30第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.(2015·湖北）已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3，则OA →·OB →= ．9.·.若变量x,y 满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤23x −y ≥0,则3x +y 的最大值是 ．10.(2015·湖北）函数f (x )=2sinxsin (x +π2)−x 2的零点个数为 .11.·某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a = ；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .第3页，总11页…………装…………○…………订…○…………线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考号____…………装…………○…………订…○…………线…………○…12.(2015·湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD = m.13.(2015·湖北）a 为实数，函数f (x )=|x 2−ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a ). 当a = 时，g (a )的值最小.14.(2015·湖北）如图，已知圆c 与x 轴相切于点T (1,0) ， 与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |=2（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 .三、解答题（题型注释）15.设等差数列{a π}的公差为d ，前n 项和为s π，等比数列{b π}的公比为q ．已知b 1=a 1，b 2=2，q =d ， s 10=100．（Ⅰ）求数列{a π}，{b π}的通项公式；（Ⅱ）当d >1时，记c π=aπb π，求数列{c π}的前n 项和T π．16.(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD,且PD=CD,点E 是BC 的中点，连接DE,BD,BE答案第4页，总11页…………○…………线…………○答※※题※※…………○…………线…………○(I)证明：DE ⊥底面PBC ，试判断四面体EBCD 是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P −ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V1V 2的值．17.(2015·湖北）设函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (x )+g (x )=e z ，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求f (x )，g (x )的解析式，并证明：当x >0时，f (x )>0，f (x )>1； （Ⅱ）设a ≤0，b ≥1，证明：当x >0时，ag (x )+(1−a )<f (x )x<bg (x )+(1−b ).第5页，总11页装…………○…………订………○…………线……名：___________班级：___________考号：_______装…………○…………订………○…………线……参数答案1.A【解析】1.因为i 607=(i 2)308·i =−i ,所以应选A.【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的定义的相关知识，掌握形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部，以及对复数的乘法与除法的理解，了解设则；．2.C【解析】2.由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∉(0,+∞),Inx =x −1，故应选C.【考点精析】本题主要考查了全称命题和特称命题的相关知识点，需要掌握全称命题：，，它的否定：，;全称命题的否定是特称命题；特称命题：，，它的否定：，;特称命题的否定是全称命题才能正确解答此题． 3.A【解析】3.若p ：l 1,l 2是异面直线，由异面直线的定义知，l 1,l 2不相交，所以命题q:l 1,l 2不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q:l 1,l 2不相交,则l 1,l 2可能平行，也可能异面，所以不能推出l 1,l 2是异面直线，既p 不是q 的必要条件，故应选A.【考点精析】认真审题，首先需要了解异面直线(不同在任何一个平面内，没有公共点)． 4.C【解析】4.由函数y =f (x )的表达式可知，函数f (x )的定义或应满足条件：4−|x |≥0,x 2−5x+6x−3>0，解之得−2≤x ≤2,x >2,x ≠3,JI 既函数f (x )的定义或为(2,3)∪(3,4]，故应选C.答案第6页，总11页○…………外…………○…………装………………线…………○※※请※※不※※要※※在※※○…………内…………○…………装………………线…………○【考点精析】利用函数的定义域及其求法和函数的值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法． 5.D【解析】5.对于选项A ，右边=x|sgnx|={x,x ≠00,x =0 ,而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0,显然不正确；对于选择B ，右边=xsgn|x|={x,x ≠00,x =0，而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0，显然不正确；对于选项C ，右边 =|x|sgnx ={x,x >00,x =0x,x <0 ，而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0，显然不正确；对于选项D ，右边=xsgnx ={x,x >00,x =0−x,x <0，而左边=|x |={x,x ≥0−x,x <0，显然正确；故应选D. 6.B 【解析】6.由题意知，事件“≤12”的概率为p 1=12×12×121×1=18,事件“xy≤12”的概率p 2=s 0s ,其中s 0=12×1+∫11212xdx =121+1n 2,s =1×1=1,所以p 2=s 0s=12(1+1n2)1+1=12(1+1n2)>12,故应选B.第7页，总11页………外…………○………装…………○……学校:_______姓名：___________班级：__………内…………○………装…………○……7.C【解析】7.由题意知，A ={(x,y)|x 2+y 2≤1,x,y ∈Z}={(1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1),B ={(x,y)||x |≤2,|y |≤2,x,y ∈Z},所以由新定义集合A ⊕B 可知，x 1=⊃±1,y 1=0或x 1=0,y 1=±1.当，x 1+x 2=−3,−2,−1,0,1,2,3,y 1+y 2=−2,−1,0,1,2,所以此时A ⊕B 中元素的个数有;7×5=35个；当x 1=0,y 1=±1时，x 1+x 2=−2,−1,0,1,2,y 1+y 2=−3,−2,−1,0,1,2,3,这种情形下和第一种情况下除y 1+y 2的值取−3或3外均相同，既此时有5×2=10，由分类计数原理知，A ⊕B 中元素的个数为35+10=45个，故应选C.【考点精析】解答此题的关键在于理解二元一次不等式（组）所表示的平面区域的相关知识，掌握不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部． 8.9【解析】8.因为向量OA →⊥AB →,所以OA →·AB →=0,既OA →·(OB →−OA →)=0,所以OA →·OB →−OA →2=0，既OA →·OB →=OA →2=9，故应填9.【考点精析】利用空间向量的数量积运算对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等于的长度与在的方向上的投影的乘积．9.10【解析】9.首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得：目标函数z =3x +y 过点B (3,1)取得最大值，既z max =3×3+1=10,故应填10.10.2答案第8页，总11页……………○……订…………○…………线…………○※※请※内※※答※※题※※……………○……订…………○…………线…………○【解析】10.函数f (x )=2sinxsin (x +π2)−x 2的零点个数等价于方程2sinxsin (x +π2)−x 2=0的根的个数，既函数g (x )=2sinxsin (x +π2)=2sinxsin =sin2x 与ℎ(x )=x 2的图像交点个数。
2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔文科〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． 〔1〕[2015年##,文1,5分]i 为虚数单位,607i =〔〕〔A 〕i -〔B 〕i 〔C 〕1-〔D 〕1 [答案]A[解析]60741513i i i i ⨯=⋅=-,故选A ．〔2〕[2015年##,文2,5分]我国古代数学名著《数书九章》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为〔〕 〔A 〕134石〔B 〕169石〔C 〕338石〔D 〕1365石 [答案]B[解析]依题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯=石,故选B ．〔3〕[2015年##,文3,5分]命题"0(0,)x ∃∈+∞,00ln 1x x =-"的否定是〔〕〔A 〕0(0,)x ∃∈+∞,00ln 1x x ≠-〔B 〕0(0,)x ∃∉+∞,00ln 1x x =- 〔C 〕(0,)x ∀∈+∞,ln 1x x ≠-〔D 〕(0,)x ∀∉+∞,ln 1x x =- [答案]C[解析]由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为()0,x ∀∈+∞,ln 1x x ≠-,故选C ．〔4〕[2015年##,文4,5分]已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是〔〕〔A 〕x 与y 负相关,x 与z 负相关〔B 〕x 与y 正相关,x 与z 正相关 〔C 〕x 与y 正相关,x 与z 负相关〔D 〕x 与y 负相关,x 与z 正相关 [答案]A[解析]因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,其中0.10-<,所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关,不妨设()0z ky b k =+>,则将0.11y x =-+代入即可得到：()()0.110.1z k x b kx k b =-++=-++,所以x 与z 负相关,综上可知,故选A ．〔5〕[2015年##,文5,5分]12,l l 表示空间中的两条直线,若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交,则〔〕〔A 〕p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件〔B 〕p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 〔C 〕p 是q 的充分必要条件〔D 〕p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 [答案]A[解析]若p ：12,l l 是异面直线,由异面直线的定义知,12,l l 不相交,所以q ：12,l l 不相交成立,即p 是q 的充分 条件；反过来,若q ：12,l l 不相交,则12,l l 可能平行,也可能异面,所以不能推出12,l l 是异面直线,即p 不是q 的必要条件,故选A ．〔6〕[2015年##,文6,5分]函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为〔〕〔A 〕(2,3)〔B 〕(2,4]〔C 〕(2,3)(3,4]〔D 〕(1,3)(3,6]- [答案]C[解析]由函数()y f x =的表达式可知,函数()f x 的定义域应满足条件：40x -≥,25603x x x -+>-,解之得22x -≤≤,2x >,3x ≠,即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4],故选C ． 〔7〕[2015年##,文7,5分]设x ∈R ,定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则〔〕〔A 〕|||sgn |x x x =〔B 〕||sgn ||x x x =〔C 〕||||sgn x x x =〔D 〕||sgn x x x = [答案]D(2,3)(3,4][解析]对于选项A,右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩,而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,显然不正确；对于选项B,右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩,而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,显然不正确；对于选项C,右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪<⎩,而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,显然不正确；对于选项D,右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩,而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,显然正确,故选D ．〔8〕[2015年##,文8,5分]在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件"12x y +≤"的概率,2p 为事件"12xy ≤"的概率,则〔〕〔A 〕1212p p <<〔B 〕1212p p <<〔C 〕2112p p <<〔D 〕2112p p <<[答案]B[解析]由题意知,事件"12x y +≤"的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯,事件"12xy ≤"的概率 02S p S =,其中()110211111ln 2222S dx x=⨯+=+⎰,111S =⨯=,所以()()0211ln 21121ln 21122S p S +===+>⨯,故选B ．〔9〕[2015年##,文9,5分]将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则〔〕〔A 〕对任意的,a b ,12e e >〔B 〕当a b >时,12e e >；当a b <时,12e e < 〔C 〕对任意的,a b ,12e e <〔D 〕当a b >时,12e e <；当a b <时,12e e > [答案]D[解析]依题意,22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >,当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <；当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >．所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D ．〔10〕[2015年##,文10,5分]已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为〔〕〔A 〕77〔B 〕49〔C 〕45〔D 〕30 [答案]C[解析]因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素〔即9个点〕,即、图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素〔即25个点〕： 即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈ 的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点〔除去四个顶点〕,即77445⨯-=个,故选C ．二、填空题：共7小题,每小题5分,共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置,书写不清,模棱两可均不得分．〔11〕[2015年##,文11,5分]已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅=． [答案]9[解析]因为OA AB ⊥,3OA =,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===． 〔12〕[2015年##,文12,5分]若变量满足约束条件则的最大值是． [答案]10[解析]首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示,然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点()3,1B 取得最大值,即max 33110z =⨯+=,故应填10．〔13〕[2015年##,文13,5分]函数的零点个数为．[答案]2[解析]函数()22sin sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点个数等价于方程22sin sin 02x x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的根的个数,即函数()2sin sin 2sin cos sin 22g x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭与()2h x x =的图像交点个数．于是,分别画出其函数图像如下图所示,由图可知,函数()g x 与()h x 的图像有2个交点．〔14〕[2015年##,文14,5分]某电子商务公司对10000名网络购物者20##度的消费情况进行统计,发现消费金额〔单位：万元〕都在区间内,其频率分布直方图如图所示． 〔Ⅰ〕直方图中的_________；〔Ⅱ〕在这些购物者中,消费金额在区间内的购物者的人数为_________． [答案]〔Ⅰ〕3；〔Ⅱ〕6000[解析]由频率分布直方图与频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=,解之的3a =．于是消费金额在区间[]0.5,0.9内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯-⨯+⨯+⨯=,所以消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=．〔15〕[2015年##,文15,5分]如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =m ．[答案]1006[解析]依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m,在Rt BCD ∆中, 因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD CDBC ︒==,所以1006CD =m ． 〔16〕[2015年##,文16,5分]如图,已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点A ,B 〔B 在A 的上方〕,且2AB =． 〔Ⅰ〕圆C 的标准．．方程为_________； 〔Ⅱ〕圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________． [答案]〔Ⅰ〕()()22122x y -+-=；〔Ⅱ〕12-- ,x y 4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩3x y +2π()2sin sin()2f x x x x =+-[0.3,0.9]a =[0.5,0.9][解析]〔Ⅰ〕设点的坐标为,则由圆与轴相切于点知,点的横坐标为,即,半径．又因为,所以,即,所以圆的标准方程为．〔Ⅱ〕令得：．设圆在点处的切线方程为,则圆心到其距离为：解之得．即圆在点处的切线方程为,于是令0y=可得,即圆在点处的切线在轴上的截距为〔17〕[2015年##,文17,5分]a为实数,函数在区间上的最大值记为．当_________时,的值最小．[答案]2[解析]解法一：因为函数()2f x x ax=-,所以分以下几种情况进行讨论：①当0a≤时,函数()22f x x ax x ax=-=-在区间[]0,1上单调递增,所以()()max1f xg a a==-；②当02a<≤时,此时222224a a a af a⎛⎫⎛⎫=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()11f a=-,而()()22212044aaa---=-<,所以()()max1f xg a a==-；③当2a>时,()()2max4af xg a==．综上可知,()21224a ag a aa⎧-≤⎪=⎨>-⎪⎩,所以()g a在(2⎤-∞⎦上单调递减,在(2,⎤+∞⎦上单调递增,所以()()max2g a g=,所以当2a=时,()g a的值最小．解法二：①0a≤,()()11g a f a==-；②01a<≤,()()()()221241102a af ag af a a⎧⎛⎫=<≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=-<<⎪⎩；③12a<<,()224a ag a f⎛⎫==⎪⎝⎭；④2a≥,()()11g a f a==-；综上所述,当2a=时,()g a取到最小值3-三、解答题：共5题,共65分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．〔18〕[2015年##,文18,12分]某同学用"五点法"画函数()sin()f x A xωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期．．．．．．．．．．．〔Ⅱ〕将()y f x=图象上所有点向左平行移动π6个单位长度,得到()y g x=的图象．求()y g x=的图象离原点O最近的对称中心．解：〔Ⅰ〕根据表中已知数据,解得π5,2,Aωϕ===-．数据补全如下表：C00(,)x y C x(1,0)T C11x=r y=2AB=22211y+=y r==C22(1)(2x y-+-=x=1)B C B1)kxy-=Cd=1k=C B x1)y=+x1=C B x1--2()||f x x ax=-[0,1]()g a a=()g axπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知π()5sin(2)6f x x =-,因此πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z ．令π2π6x k +=,解得ππ212k x =-,k ∈Z ．即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，）,k ∈Z ,其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-． 〔19〕[2015年##,文19,12分]设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =,22b =,q d =,10100S =．〔Ⅰ〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔Ⅰ〕由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． 〔Ⅱ〕由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是2341357921122222n n n T --=+++++①2345113579212222222n n n T -=+++++② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-,故12362nn n T -+=-． 〔20〕[2015年##,文20,13分]《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图,在阳马P ABCD - 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,点E 是PC 的中点,连接,,DE BD BE ．〔Ⅰ〕证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角〔只需写出结论〕；若不是,请说明理由；〔Ⅱ〕记阳马P ABCD -的体积为1V ,四面体EBCD 的体积为2V ,求12VV 的值．解：〔Ⅰ〕因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥．由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC ⊥平面PCD ．DE ⊂平面PCD ,所以BC DE ⊥．又因为PD CD =,点E 是PC 的中点, 所以DE PC ⊥．而PC BC C =,所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ,DE ⊥平面PBC ,可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠〔Ⅱ〕由已知,PD 是阳马P ABCD -的高,所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由〔Ⅰ〕知,DE 是鳖臑D BCE -的高,BC CE ⊥,所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅．在Rt △PDC 中,因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以22DE CE CD ==,于是12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅〔21〕[2015年##,文21,14分]设函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,()()e x f x g x +=,其中e 为自然对数的底数．〔Ⅰ〕求()f x ,()g x 的解析式,并证明：当0x >时,()0f x >,()1g x >；〔Ⅱ〕设0a ≤,1b ≥,证明：当0x >时,()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-．解：〔Ⅰ〕由()f x , ()g x 的奇偶性与()()e x f x g x +=, ① ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-,1()(e e )2x x g x -=+．当0x >时,e 1x >,0e 1x -<<,故()0.f x >③又由基本不等式,有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=,即() 1.g x > ④〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=, ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=, ⑥当0x >时,()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-,⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+-⑧ 设函数()()()(1)h x f x cxg x c x =---,由⑤⑥,有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时,〔1〕若0c ≤,由③④,得()0h x '>,故()h x 在[0,)+∞上为增函数,从而()(0)0h x h >=,即()()(1)f x cxg x c x >+-,故⑦成立．〔2〕若1c ≥,由③④,得()0h x '<,故()h x 在[0,)+∞上为减函数,从而()(0)0h x h <=,即()()(1)f x cxg x c x <+-,故⑧成立．综合⑦⑧,得()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-．〔22〕[2015年##,文22,14分]一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动．．N 绕O 转动一周〔D 不动时,N 也不动〕,M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． 〔Ⅰ〕求曲线C 的方程；〔Ⅱ〕设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究： △OPQ 的面积是否存在最小值？若存在,求出该最小值；若 不存在,说明理由．解：〔Ⅰ〕设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=〔Ⅱ〕〔1〕当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．〔2〕当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+．①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为d 和|||P Q PQ x x -,可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-．②将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8．综合〔1〕〔2〕可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8．。
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湖北省部分学校2015届高三毕业生（二）月调研考
试
数 学（文 科）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A ．2y x =和2x y =
B ．sin y x =和tan y x =
C ．3y x =和2log y x =
D ．2y x =和
y x =
2、定义{},x y x y A +B =+∈A ∈B ，设集合{}0,1i M =+，130,2i i --⎧⎫N =⎨⎬+⎩⎭，则集
合M +N 中元素的个数为（ ）
A ．
4 B ．3 C ．2 D ．1 3、从区间()3,3-中任取两个整数a ，b ，设点(),a b 在圆223x y +=内的概率为1P ，
从区间()3,3-中任取两个实数a ，b ，直线30ax by ++=和圆223x y +=相离的概率为2P ，则（ ）
A ．12P >P
B ．12P <P
C ．12P =P
D ．1P 和2P 的大小关系无法确定
4、设抛物线1C :2
2y x =与双曲线2C :22
221x y a b
-=的焦点重合，且双曲线2C 的渐
近线为y =，则双曲线2C 的实轴长为（ ）
A ．1
B ．12
C ．14
D ．1
16
5、把函数cos 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π，得到函数()f x 的图象，则函数
()f x 为（ ）
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数 6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）
A ．
2 B C D ．
3 7、设0x >，则“1a ≥”是“2a
x x
+
≥恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
8、某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（ ）
A ．年龄数据的中位数是40，众数是38
B ．年龄数据的中位数和众数一定相等
C ．年龄数据的平均数()39,40x ∈
D ．年龄数据的平均数一定大于中位
数
9、在三角形C AB 中，C 60∠=，C C 6A +B =，4AB =，则AB 边上的高为（ ）
A B ．203
C D ．43
10、如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ） A ．45 B ．110
C ．90
D ．55
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．）
11、已知公比为负值的等比数列{}n a 中，154a a =，41a =-，则数列{}n a 的通项公式为 ．
12、在三角形C AB 中，A ，B ，C 是三角形C AB 的内角，设函数
()22
C 2sin
sin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛
⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则()f A 的最大值为 ．
13、已知矩形CD AB 中，2AB =，C 1B =，点P 是D B 上任意一点，则()
C
BP⋅PA +P
的取值范围是 ．
14、设x ，y 满足约束条件()2log 22
1x y x y +≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩
，则z x y =+的最大值为 ．
15、若函数()2sin f x x απ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
（02απ<<）是奇函数，则方程()lg f x x =解
的个数为 ．
16、已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0
F ,0
f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出
下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a >时，若120x x <，
120x x +>，则()()12F F 0x x +>成立；④当0a <时，函数()2F 23y x x =--存在最大值，不存在最小值，其中所有正确命题的序号是 ．
17、已知矩形CD AB 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
18、（本小题满分13分）设函数(
)()
2cos cos cos 2f x x x x a x π⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭
的
一个零点是12
x π
=．
()1求函数()f x 的周期；
()2求函数()f x 单调增区间．
19、（本小题满分12分）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6
颗该种作物果实，测得籽重（单位：
克）数据如下：
甲种作物的产量数据：
111 111 122 107 113 114 乙种作物的产量数据：
109 110 124 108 112 115
()1计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定；
()2作出两组数据的茎叶图．
20、（本小题满分12分）如图所示，在矩形CD AB 中，D 1A =，2AB =，点E 是线段AB 的中点，把三角形D AE 沿D E 折起，设折起后点A 的位置为P ，F 是D P 的中点．
()1求证：无论P 在什么位置，都有F//A 平面C PE ；
()2当点P 在平面CD AB 上的射影落在线段D E 上时，若三棱锥CD P -E 的四个顶点都在一个球上，求这个球的体积．
21、（本小题满分14分）已知椭圆1C :2241x y +=，焦点在x 轴上的椭圆2C 的短
轴长与1C 的长轴长相等，且其离心率为
．
()1求椭圆2C 的方程；
()2若点T 满足：2OT =MN +OM +ON ，其中M ，N 是2C 上的点，且直线OM ，
ON 的斜率之积等于14
-
，是否存在两定点A ，B ，使T A+T B 为定值？若存在，
求出这个定值；若不存在，请说明理由．
22、（本小题满分14分）已知函数()ln 2f x x ax =-+，R a ∈是常数．
()1若函数()y f x =的图象在点()(),a f a （0a >）与直线y b =相切，求a 和b 的
值；
()2若函数()y f x =有两个零点，求实数a 的取值范围．。