2016年七宝中学自招数学试卷

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上海市七宝中学2016届高三上学期期中考试数学理试题含答案

2015年七宝中学高三第一学期期中考试理科数学一、填空题1、设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤,则M N =_________。

[0,1]2、已知11(1,)P a 、22(2,)P a 、…(,)nn P n a …是直线上的一列点,且122, 1.2aa =-=-，则这个数列{}n a 的通项公式是___________。

*0.8 2.8()n a n n N =-∈3、设02πθ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，若//a b ,则tan θ=___ .124、函数12log (32)y x =-___________.2(,1]35、已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=,向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=__________。

226、函数213,(10)x y x -=-≤≤的反函数是___________。

131()log 1(1)3f x x x -=+≤≤7、方程lg(42)lg 2lg 3x x+=+的解是___________。

0x =或1x = 8、,a b 是不等的两正数，若11lim 2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是___________.(0,2)9、数列{}na 中，已知*111212,(),2n n a a a a a n N +==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈，则{}n a 的前n 项和n S =___________。

132()2n n S -=⋅10、若向量a 与b 夹角为3π，||4b =，(2)(3)72a b a b +-=-，则||a =________.611、若三数,1,a c 成等差,且22,1,a c 成等比，则22lim()nn a c a c →∞++值为___________.0或112、已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=,若1AE AF ⋅=，则λ的值为___________.213、已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，1()(2)3g x f x =-+，当[2,0)(0,2]x ∈-时，||1(),(0)021x g x g ==-，则方程12()log (1)g x x =+的解的个数为___________。

上海市七宝中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题含答案

七宝中学2016第一学期高一期中考试数学试卷（含参考答案)考生注意：1。

答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名和学号填写清楚，答题一律使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写．2.本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．3。

考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.如图,I是全集,,A B是I的子集,则阴影部分表示的集合是.A BI2.已知集合{}29,2,1A x x=-+,集合{}21,2B x =，若{}2A B =，则x 的值为___。

1-3.函数()f x =M ，则R M =。

10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4.已知(){}(){}2,1,A x y y xB x y x a ==+==，，则AB 的元素个数是。

15.已知,0x y >且1x y +=，则xy 的最大值是146.已知 R x y ∈、,命题“若5x y +≥,则3x ≥或2y ≥”是_ 真 __命题(填“真”或“假"）．7.已知函数()f x 的定义域是[]1,5，则(21)f x -的定义域是[]1,38.若关于x 的不等式(2)23a x x -<+的解集是()(),32,-∞--+∞，则实数a 的值是。

12-9.若关于m 的不等式350x m ++>在[]1,3m ∈上有解，则实数x 的取值范围是。

14x >-10.设2:8120x x α-+>，2:x m m β-≤，若β是α的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是 .21m -<<11.若0b a <<，则下列结果①a b ab +<;②||||a b >;③110b a>>；④表达式b a a b +最小值为2中,正确的结果的序号有 ① 。

七宝自招题

七宝自招数学试题基本由四个方向组成一、重视知识点的灵活运用。

比如这道分母有理化的计算题，同学可以尝试做一下。

大多数同学都会把分子、分母同时乘以，这样去做未尝不可，但是计算过程极其复杂。

在七宝自招数学共60分的试卷中，这道题占5分，换言之如果付出十多分钟的计算时间显然得不偿失。

那么，更好、更巧妙的方法是什么呢？二、重视知识面的考察。

二期课改之后，初中课本中大量知识点被删除，原先很多初中核心知识点被标上“星号”从而移除出考纲，但是自主招生考试对于这些“纲外”知识一并纳入，都会考到。

此外，包括部分高中知识点，如基本不等式、三角函数、等差数列求和公式，甚至“更难”的高斯方程，这些考点在近年七宝的自招中都出现过。

既然有过先例，那么对于上述知识，凡是想考七宝的同学，必须全力攻克。

三、重视数学思想方法考察。

毫无疑问，数学思想方法几乎是每一个高中生学好数学的必备钥匙。

那么，高中老师以它作为侧重点来考核初中学生就再自然不过了。

尤其是分类讨论、数形结合、函数与方程、换元化归，这四大思想几乎是所有学校的必考内容。

当然，七宝中学也有所谓个性存在。

比如，极限思想。

这是一道典型的极限思想考察题。

无数个根号三，根号里面套根号，初中学生几乎没有学过类似的解题工具。

如果同学真的很有能力，可以把上面这道题轻松解决的话，不妨来看看下面这道题。

例题6和例题5相比，虽然形式上有相似的地方，但是难度上提升了一大截。

初二同学可能觉得做起来很困难，其实都是正常的反应。

但是必须要明确的是，如果想考七宝，那么未来大半年时间内一定要在这些领域里下足功夫。

毕竟，机会青睐那些有准备的人。

四、重视能力的考察。

对于这一类型的要求，最明显的就是近年自招考场上出现了大量所谓“新概念题”，这是未来高考一个鲜明的特征，重视同学的能力迁移，以及对于新知识点所谓“现学现卖”的能力。

比如七宝中学连续几年都考了“高斯方程”，这个知识点不仅初中没学过，就连高中课本里也没有，它是大学高等数学的内容。

上海市七宝中学2015-2016学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B=．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的条件．5．不等式≥1的解集是．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有个；请将该问题推广到一般情况：．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．1815．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．2015-2016学年上海市七宝中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．集合A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}，B={x|1≤x≤3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合B，再根据两个集合的交集的意义求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2=0，x∈R}={﹣1，2}，因为B={x|1≤x≤3}，∴A∩B={2}；故答案为{2}；【点评】本题属于以一元二次方程为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．3．命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【考点】四种命题．【专题】规律型；对应思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3【点评】本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．4．“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由|x|＞|y|，化为，或．即可判断出结论．【解答】解：由|x|＞|y|，化为，或．∴“|x|＞|y|”是“x＞y”的既非充分也非必要条件．故答案为：既非充分也非必要．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．不等式≥1的解集是{x|x＜﹣3或x≥4}．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项通分可化不等式为于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，整理可得≥0，等价于，解得x＜﹣3或x≥4，∴不等式≥1的解集为{x|x＜﹣3或x≥4}故答案为：{x|x＜﹣3或x≥4}【点评】本题考查分式不等式的解集，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．6．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．【解答】解：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）•（﹣2）=，∴a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0，∴6x2+5x+1＜0，∴（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题解题的关键是根据所给的不等式的解集得到对应的方程的解，根据根与系数的关系得到结果．7．不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】分x大于等于0和x小于0两种情况，根据绝对值的代数意义化简原不等式，得到（1+x）（1﹣x）大于0或（1+x）（1+x）大于0，求出相应的两解集的并集，即为原不等式的解集．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的题型．8．设集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据A∩B=∅，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，即可得到结论．【解答】解：集合A={（x，y）|y=1﹣3x}，B={（x，y）|y=（1﹣2m2）x+5}，其中x，y，m∈R，A∩B=∅，∴直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行，∴1﹣2m2=﹣3，解得m=±，故答案为：±【点评】本题主要集合的基本运算，直线y=1﹣3x与直线y=（1﹣2m2）x+5平行是解决本题的关键，比较基础9．已知﹣1＜a＜b＜2，则2a﹣b的范围是（﹣4，2）．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；判别式法；不等式．【分析】分别求出﹣4＜2a﹣b＜5和2a﹣b＜2，从而求出2a﹣b的范围即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜b＜2，∴﹣1＜a＜2，﹣1＜b＜2，a﹣b＜0，∴﹣2＜2a＜4，﹣2＜﹣b＜1，∴﹣4＜2a﹣b＜5①，而a＜2，a﹣b＜0，则2a﹣b＜2②，综合①②得2a﹣b的范围是（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题考查了不等式的性质问题，是一道基础题．10．已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠∅，设集合∁U（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是3≤x≤8且x为整数．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由集合B中有6个元素，考虑当A与B两集合的交集最少时，仅有一个元素时，得到两集合的并集有15个元素，根据全集有18个元素，得到两集合并集的补集有3个元素；当两集合的交集最多时，有6个元素时，两集合的并集有10个元素，得到两集合并集的补集有8个元素，所以得到两集合并集中元素x的取值范围．【解答】解：因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合∁U（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，∁U（A∪B）中有8个元素，则得到3≤x≤8且x为整数．故答案为：3≤x≤8且x为整数【点评】此题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，是一道综合题．11．对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；构造法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，由单调性可得f（）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：对于任意的，不等式t2+mt＞2m+4恒成立，即为m（t﹣2）+t2﹣4＞0，构造函数f（m）=m（t﹣2）+t2﹣4，m∈[，3]，即有f（）＞0，且f（3）＞0，即为（t﹣2）+t2﹣4＞0，且3（t﹣2）+t2﹣4＞0，即有t＞2或t＜﹣且t＞2或t＜﹣5，解得t＞2或t＜﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意构造函数运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．12．已知非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}满足：若a∈S，则必有7﹣a∈S，问这样的集合S有7个；请将该问题推广到一般情况：已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个．【考点】类比推理．【专题】综合题；集合思想；综合法；推理和证明．【分析】若a∈S，则必有7﹣a∈S，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可；针对n是否为奇数和偶数进行讨论，分为奇数和偶数，然后，根据集合之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵非空集合S⊆{1，2，3，4，5，6}，且若a∈S，则必有7﹣a∈S，那么满足上述条件的集合S可能为：{1，6}，{2，5}，{3，4}，{1，6，2，5}，{1，6，3，4}，{2，5，3，4}，{1，2，3，4，5，6}，共7个；若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n}的元素个数为奇数个，因为a∈A，则n+1﹣a∈A，所以从集合{1，2，3，…，n}中取出两数，使得其和为n+1，这样的数共有对，所以此时集合M的个数有个，若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为个．故答案为：7；已知非空集合A⊆{1，2，…，n}满足：若a∈A，则必有n+1﹣a∈A；当n为偶数时，这样的集合A有个；当n为奇数时，这样的集合A有个【点评】本题主要考查了子集的定义，以及集合的限制条件下求满足条件的集合，考查集合的元素特征，集合与集合之间的关系，元素与集合的关系等知识，属于中档题．二.选择题13．设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，若E满足A∪B∪E=N，则这样的集合E（）A．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【考点】并集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由题意E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，由此能求出结果．【解答】解：∵设A={x|x为合数}，B={x|x为质数}，N表示自然数集，∴A∪B中只比N中少两个元素：0和1，∵E满足A∪B∪E=N，∴E中的元素一定有0，1，并且还可以有其它自然数，∴这样的集合E有无数个．故选：D．【点评】本题考查满足条件的集合个数的判断，是基础题，解题时要熟练掌握并集的性质．14．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．18【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．15．四个条件：b＞0＞a；0＞a＞b；a＞0＞b；a＞b＞0中，能使成立的充分条件的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等关系与不等式．【专题】综合题．【分析】利用不等式的基本性质，分别进行变形，可以得到，即为使成立的充分条件．【解答】解：由题意，b＞0＞a时，，∴；0＞a＞b时，，∴；a＞0＞b时，，∴；a＞b＞0时，，∴从而能使成立的充分条件的个数是3个故选C．【点评】本题以不等式为载体，考查充分条件，解题的关键利用不等式的基本性质，分别进行变形．16．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c| B．C．D．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择支，才能得出正确的结论．可运用排除法．【解答】解：A：|a﹣b|=|a﹣c+c﹣b|≤|a﹣c|+|c﹣b|=|a﹣c|+|b﹣c|，故A恒成立；B：由于由于函数f（x）=x+在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即，a2+＞a+，当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即a2+＞a+，当a=1，a2+=a+．故B恒成立；C：由于．故C恒成立；D：若a﹣b=﹣1，则该不等式不成立，故D不恒成立故选D．【点评】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式a2+b2≥2ab成立的条件．三.解答题（8+10+10+12+12=52分）17．已知a＞b＞c，用比较法证明：a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，运用作差法，结合因式分解，可得左边﹣右边=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，即可得证．【解答】证明：由a＞b＞c，可得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，又a2b+b2c+c2a﹣ab2﹣bc2﹣ca2=（a2b﹣ab2）+（b2c﹣ca2）+（c2a﹣c2b）=ab（a﹣b）+c（b﹣a）（b+a）+c2（a﹣b）=（a﹣b）（ab﹣bc﹣ac+c2）=（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）＞0，所以a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，考查因式分解能力和推理能力，属于基础题．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，B={x|ax2﹣x+3＜0，x∈R}；（1）当a=2时，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，B，即可得出结论；（2）利用A∩B=B，可得B⊆A，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，a=2时，B={x|2x2﹣x+3＜0，x∈R}=∅；∴A∩B=∅；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，B=∅，，∴a≥；B≠∅，，∴0＜a≤综上，a＞0．【点评】本题考查集合的运算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知命题α：|a﹣1|＜2，β：方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，求实数a的取值范围，可得命题α，β有且只有一个是真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】命题α，β有且只有一个是真命题，知两个命题一真一假，故要分为两类求解，α真β假或α假β真，首先要将两个命题中的条件进行化简，再分类讨论．【解答】解：由命题α：|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2，∴﹣1＜a＜3；∵方程x2+（a+2）x+1=0没有正根，分为两类求解，一是方程无解，二是有两个非正实根，令f（x）=x2+（a+2）x+1，则f（0）=1，∴当无解时，△=（a+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜a＜0；当有两个非正根时，，解得a≥0．∴当方程x2+（a+2）x+1=0没有正根时，a的取值范围是：a＞﹣4．∵命题α，β有且只有一个是真命题，∴当α真β假时，得a∈∅；当α假β真时，得﹣4＜a≤﹣1或a≥3．∴命题α，β有且只有一个是真命题时，a的取值范围是（﹣4，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是化两个条件，尤其是命题β：方程x2+（a+2）x+1=0不存正实数根这个条件的转化，易因忘记方程无根时也满足无正根而导致错误，做题是要考虑完善，转化要注意验证是否等价，该题是中档题．20．（1）已知x，y∈R+，求的最大值；（2）求满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，并说明理由．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得（）2=1+≤2，由此能求出的最大值．（2）设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，由此利用均值定理能求出满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值．【解答】解：（1）∵x，y∈R+，∴（）2==1+≤2，当且仅当x=y时，对等号，∴当x=y时，的最大值为．（2）∵a，b∈R+，∴设=m＞0，=n＞0，a=m2，b=n2，∴2m+n≥=2，∵满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值，∴2m+n≥k≥k=2k，∴2k，解得k，∴满足2+≥k对a，b∈R+有解的实数k的最大值为．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，考查满足不等式的实数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．21．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=1，且；（3）当n=5时，若a2=2，求集合A．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】新定义；等差数列与等比数列；集合．【分析】（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（2）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又由于＜＜…＜，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；＜，=1，=a2，…，=a n﹣1（3）根据（2），只要证明====a2即可求得集合A．【解答】解：（1）由于3×4，与或均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，∴该数集具有性质P．（2）证明：∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，=1，=a2，…，=a n，﹣1从而++…++=a1+a2+…+a n，∴；（3）由（2）知，当n=5时，有=a2，=a3，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得=∈A，且1＜=a2，∴==a2，∴====a2即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列，即有集合A={1，2，4，8，16}．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。

七宝高二期末试卷(2016.01)

七宝中学高二期末数学试卷2016.01一. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）1. 线性方程组24100382x y x y +-=⎧⎨=+⎩的增广矩阵是； 2. 方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的范围是； 3. 行列式sin 016cos 2sin 540x x x ---()x R ∈中元素4的代数余子式的值记为()f x ，则()f x 的最小值是； 4. 直线l 的斜率k 为34-，则直线l 的倾斜角为； 5. 设抛物线2y mx =(0)m >的准线与直线1x =的距离为3，则该抛物线方程为； 6. 设曲线C 定义为到点(1,1)--和(1,1)距离之和为4的动点的轨迹，若将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45︒，则此时曲线的方程为；7. 已知点A 的坐标为(4,3)，F 为抛物线24y x =的焦点，若点P 在抛物线上移动，则当 ||||PA PF +取最小值时点P 的坐标为；8. 若直线1y kx =+(0)k >与双曲线2212y x -=有且只有一个交点，则k 的值是； 9. 设,m n R ∈，若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为；10. 若函数()log (31)1x a f x =-+(0,1)a a >≠图像过定点P ，点Q 在曲线220x y --= 上运动，则线段PQ 中点M 轨迹方程是；11. 已知椭圆22:124x y C +=，过椭圆C上一点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、 PB ，分别交椭圆C 于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为；12. 定义变换T 将平面内的点(,)P x y (0,0)x y ≥≥变换到平面内的点Q ；若曲线0:142x y C +=(0,0)x y ≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ，…，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ，某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：① 对任意的 *n N ∈，曲线n C 都关于原点对称；② 对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③ 对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ； ④ 记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=；其中所有正确结论的序号是；二. 选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13.方程||0x y +=对应的曲线是（）A. B. C. D.14. 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15. 设双曲线22(1)1nx n y -+=*()n N ∈上动点P到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →∞的值为（）A. B. 12C. 0D. 1 16. 设直线l 与抛物线24x y =相交于A 、B 两点，与圆222(5)x y r +-=(0)r >相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）A . (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4)三. 解答题（本大题共5题，共8+10+12+12+14=56分）17. 已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为q ，试就q 的不同取值情况，讨论二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩何时无解、何时有无穷多解？；18. 我边防局接到情报，在海礁AB 所在直线l 的一侧点M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕；如图，已知快艇出发位置在l 的另一侧码头P 处，8PA =公里，10PB =公里，60APB ︒∠=；（1）是否存在点M ，使快艇沿航线P A M →→或P B M →→的路程相等；如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由；（2）问走私船在怎样的区域上时，路线P A M →→比路线P B M →→的路程短，请说明理由；19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:1l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上；（1）若圆心C 也在直线5y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围；20. 如图，平面上定点F 到定直线l 的距离||2FM =，P 为该平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且()()0PF PQ PF PQ +⋅-=；（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求证：12λλ+为定值；21. 已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点，O 为坐标原点，点(P - 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=，O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ；（1）求椭圆的标准方程；（2）当OA OB λ⋅=，且满足2334λ≤≤时，求△AOB 的面积S 的取值范围；。

上海市七宝中学2016年高三模拟考试数学理试题含答案

数学试题（理答）一、填空题（本大题满分56分）1.函数0.5log y x =的定义域为_________.2.已知2{|,}M y y x x R ==∈，22{|2,,}N x x y x y R =+=∈，则M N =_________.3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为__________.4.已知地球的半径为R ，在北纬45东经30有一座城市A ，在北纬45西经60有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是__________.（飞机的飞行高度忽略不计）5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=__________.6.在极坐标系中，点(2,)A π，(2,)2B π，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________.7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是________.（结果用最简分数表示） 8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则||α=___________. 9.将3()1xf x x =的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为________.10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称.若实数,x y 满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是_________.11.函数()f x 对任意12[,]x x m n ∈，都有1212|()()|||f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间是___________.12.椭圆22221(0)43x y a a a+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A B ，，当FAB∆的周长最大时，FAB ∆的面积是_________.13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3π=，(1,2]2-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{(]}n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y =的概率为29P =.则所有正确命题的序号是________. 14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数.若存在一公差大于0的等差数列*{}()n x n N ∈，使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c的值（答案不唯一，一组即可）二、选择题（本大题满分20分）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（） A ．(1,3)d = ，arctan3α= B ．(1,3)d =-，arctan(3)α=- C ．(1,3)d =，arctan3απ=- D ．(1,3)d =-，arctan3απ=- 16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C <”是“ABC ∆为钝角三角形”的（） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分又不必要条件 17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”.有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60，设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有A B 、两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处.经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A B 、所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的标准方程；（2）某日，研究人员在A B 、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A B 、两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5:3.问你能否确定P 处的位置（即点P 的坐标）?21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）设函数*()(,,)n n f x x bx c n N b c R =++∈∈.（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点；（2）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围. 22. （本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）一青蛙从点000(,)A x y （开始依次水平向右和竖直向上跳动），其落点坐标依次是111(,)A x y （如图所示，）000(,)A x y 坐标以已知条件为准），n S 表示青蛙从点0A 到点n A 所经过的路程.（1）若点000(,)A x y 为抛物线22(0)y px p =>准线上一点，点12A A ，均在该抛物线上，并且直线12A A ，经过该抛物线的焦点，证明23S p =.（2）若点(,)n n n A x y 要么落在y x =所表示的曲线上，要么落在2y x =所表示的曲线上，并且011(,)22A ，试写出lim n n S →+∞（不需证明）；（3）若点(,)n n n A x y 要么落在1812x y +-=所标示的曲线上，要么落在182x y +=所表示的曲线上，并且0(0,4)A ，求n S 的表达式.23. （本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知{}{}n n a b ，为两非零有理数列（即对任意的*i N ∈，i i a b ，均为有理数），{}n d 为一无理数列（即对任意的*i N ∈，i d 为无理数）.（1）已知2n n b a =-，并且22()(1)0n n n n n n a b d a d d +-+=，对任意的*n N ∈恒成立，试求{}n d 的通项公式；（2）若2{}n d 为有理数列，试证明：对任意的*n N ∈，22()(1)1n n n n n n na b d a d d d +-+=+恒成立的充要条件为421111n nn n ad b d ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪+⎩.（3）已知24sin 2(0)252πθθ=<<，3tan((1))2n n d n πθ=+-，对任意的*n N ∈，22()(1)1n n n n n n a b d a d d +-+=恒成立，试计算n b .试卷答案一、填空题1. (0,1]；2.[0,2] ；3.10；4.3R π ； 5.11 6.3； 7.3135； 8.350； 9.56π； 10.[16,36] ； 11.1[,0]2-； 12.23a ； 13.①②④ 14.00,0a b c ≠=>，二、选择题 15-18：DAAB 三、解答题19.解：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，由1AB AC ==，90BAC BC ∠=⇒=∴11A B a =⇒==.………………6分（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离.………………8分设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积2'(2)S ==，………………10分又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以11'33S AC S d d =⇒=，即11B C 到平面1A BC .………………12分20.解：（1）由题意知曲线C 是以A B 、为焦点且长轴长为8的椭圆，又24c =，则2c =，4a =，故b =，所以曲线C 的方程是2211612x y +=. （2）由于A B 、两岛收到鱼群发射信号的时间比为5:3，因此设此时距A B 、两岛的距离分别比为5:3，即鱼群分别距A B 、两岛的距离为5海里和3海里.设(,)P xy ，(2,0)B ，由||3PB =3=，2222(2)91161244x y xy x ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩，解得2x =，3y =±，∴点P 的坐标为(2,3)或(2,3)-. 21.解：（1）证明：因为1()02n f <，(1)0n f >，所以1()(1)02n n f f <，所以()n f x 在1(,1)2内存在零点.任取121,(,1)2x x ∈，且12x x <，则121212()()()()0n nn n f x f x x x x x -=-+-<，所以()n f x 在1(,1)2内单调递增，所以()n f x 在1(,1)2内存在唯一零点.（2）当2n =时，2()n f x x bx c =++.对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值之差，4M ≤，据此分类讨论如下：①当||12b>，即||2b >时，22|(1(1)|2||4M f f b =--=>），与题设矛盾； ②当102b -≤-<，即02b <≤时，222(1()(1)422b bM f f =--=+≤）恒成立；③当012b ≤-≤，即20b -≤≤时，222(1)()(1)422b b M f f =--=-≤恒成立.综上可知22b -≤≤.注：②，③也可合并证明如下：用max{,}a b 表示,a b 中的较大者. 当112b -≤-≤，即22b -≤≤时，222max{(1),(1)()}2b M f f f =--- 222222(1)(1)|(1)(1)|()1||()2224f f f f b b f c b c -+--=+--=++--+2||(1)42b =+≤恒成立. 22.解：（1）设00(,)2pA y -，由于青蛙依次向右向上跳动，所以10(,)2p A y ，20(,)2pA y -，由抛物线定义知：23S p =.………………4分（2）依题意，21n x +=221n n x x -=，*22121()n n n y y x n N +-==∈.011223342221212lim ||||||||||||n n n n n n S A A A A A A A A A A A A ---→+∞=+++++++1021324354212221()()()()()()()n n n n x x y y x x y y x x x x y y --=-+-+-+-+-++-+-+1032542122()2()2()2()n n x x x x x x x x -=-+-+-++-+．随着n 的增大，点n A 无限接近点(1,1)，………………6分横向路程之和无限接近11122-=，纵向路程之和无限接近11122-=.………………8分所以11lim 122n n S →+∞=+=.………………10分（3）由题意知21(1,2)A ，42(1,2)A ，43(3,2)A ，64(3,2)A ，65(6,2)A ，86(6,2)A ，… 其中21(1,2)A ，43(3,2)A ，65(6,2)A ，87(10,2)A …42(1,2)A ，64(3,2)A ，86(6,2)A ，108(10,2)A观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为22，公比为4的等比数列.相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列.下标为偶数的点也有此规律.并由数学归纳法可以证明.………………12分所以当n 为偶数时，284n n nx =+，22n n y +=，当n 为奇数时，2438n n n x ++=，12n n y +=，当n 为偶数时，220()()(2)484n n n n o n n S x y x y +=+-+=++-，当n 为奇数时，21043()()(2)48n n n n o n n S x y x y +++=+-+=+-，………………16分所以，212243(2)4()8(2)4()84n n n n n n S n n n ++⎧+++-⎪⎪=⎨⎪++-⎪⎩为奇数为偶数.………………18分23.解：（1）∵210n d +≠，∴20n n n n n a b d a d +-=，即20n n n n n a d b d a --=， ∴220n n n n n a d a d a +-=，∵0n a ≠，∴2210n n d d +-=，∴1n d =-. （2）∵22()(1)1n n n n n n n a b d a d d d +-+=+，∴341n n n n n n n n a b d b d a d d ++-=+， ∴431n n n n n n n n a a d b d b d d -++=+，∴42(1)(1)1n n n n n n a d b d d d -++=+，∵2{}n d 为有理数列，∴42(1)1(1)1n n n n a d b d ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，∴421111n n nn a d b d ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪+⎩，以上每一步可逆.（3）22tan 24sin 21tan 25θθθ===+， ∴225tan 1212tan θθ=+，∴3tan 4θ=或4tan 3θ=.∵(1)2n n d nθ=+-3tan((1))2n n d nπθ=+-，当*2()n k k N =∈时，∴3tan(2)tan 2n d kπθθ=+=，当*21()n k k N =-∈时，∴3tan((21))cot 2n d k πθθ=--=，∴3{}n d 为有理数列，∵22()(1)1n n n n n n a b d a d d +-+=，∴23421n n n n n n n n n n n a d a b d b d a d a d +++--=， ∴33()1n n n n n n n a b d d b a d ++-=，∵{}n a ，{}n b ，3{}n d 为有理数列，{}n d 为无理数列，∴3310n n n n n n a b d b a d ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，∴361n n n d b d =+， ∴362tan((1))12sin(2(1))121tan ((1))2n n n n n n nd b n d n πθπθπθ+-===+-+++-，当*2()n k k N =∈时，∴1112sin(22)sin 22225n b k πθθ=+==，当*21()n k k N =-∈时，∴1112sin((21)2)sin 22225n b k πθθ=--==，∴1225n b =.。

上海七宝中学自招数学试题

上海七宝中学自招数学试题今天分享几道能够比肩上海四大名校的七宝中学的自招数学试题。

题目一：计算 \frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}【详解】\frac{\sqrt{6}+4 \sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{3}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\boxed{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.\square一般我们看到分式化简第一时间想到的就是分母有理话，比如针对这道题应该分子、分母同时乘以 (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})。

这样做也是可以的，毕竟分母变成整数，肯定是能够做出来的。

不过，这样做分子的计算量比较大，且很容易就会算错了。

上海市七宝中学20162017学年高二下学期期中考试数学试卷含答案bybao 精品

2016学年七宝中学高二第二学期期中数学试卷2017.4一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与AD 所成角的大小为 . 2. 已知向量()()23,2,3,4,2,a x b x x =+=- ，若a b ⊥ ，则实数x 的值是 .3.球的表面积为216cm π，则球的体积为 .4.一条直线上的3个点A,B,C 到平面M 的距离为1，这条直线和平面的关系是 .5．正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值为 . 6.圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为 . 7.如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆则平面图形是 .8.把地球看作半径为R 到额球，A 点位于北纬30 ，东经20 ，B 点位于北纬30 ，东经80 ，则A,B 两点的球面距离是 .9.下面命题：（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a,b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a//b ；（3）与同一平面所成角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成角为θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ.其中正确的命题序号为 .10.由曲线222,2,2,2x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为1V ，满足()()2222224,11,11x y x y x y +≤+-≥++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式 .11.如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN上，分MN 所成的比为2，OG xOA yOB zOC =++,则,,x y z 的值分别为 .12.如图，1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围是为 .（用集合表示）二、选择题：13．已知,m n 是异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ= ，则l 与 A.与,m n 相交 B.至少与,m n 中的一条相交C. 与,m n 都不相交D. 至多与,m n 中的一条相交 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 83πB. 3πC. 103πD. 6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分别等于M,N 分别为AB,CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动.下列四个命题：①弦AB,CD 可能相交于点M ；②弦AB,CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1.其中真命题的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个16．四棱锥P ABCD -底面是正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在平面ABCD 内的轨迹一定是三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，190,2,BAC AB AC AA ∠==== ,E F 分别是1,BC AA 的中点，求：（1）FE 与底面所成角的大小；（2）异面直线FE 和1A B 所成角的大小.18.（本题满分14分）图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠= ，且,AD CD DE CG FG FE ====，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱.（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =求制作该储蓄罐所需材料的总面积S ，（精确到整数位，材料厚度，按键及投币口的面积忽略不计）.19.（本题满分14分）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，14,8AB AA ==（1）求异面直线1B C 与11AC 所成角的大小；（2）若E 是线段1DD 上（不含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题.20.（本题满分16分）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60,,.ABC PA AC a PB PD ∠===== 点E 在PD 上，且:2:1PE ED =. （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使得三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小.21.（本题满分16分）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆..（1）求圆锥的母线与底面所成角的大小；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积公式为S ab π=）.。

上海八校自招---3-七宝2016年数学试题

DE2016 年七宝中学综合素养调研测试一、填空题（每题5 分，共 40 分）1. 若 125 的立方根是 A ， 25 的算术平方根为 B ，则 A + B = .2. 设 x ，y 为实数，则代数式 2x 2 + 4xy + 5 y 2 - 4x + 2 y + 5 的最小值为 .3. 方程： 3x + 4x + 5x = 6x 的解有个.4. 已知两质数 p ，q 之和为 2019 ，则( p -1)q -1 ( p > q ) 的值为 .5. 在直角三角形 ABC 中，CD ，CE 分别是斜边 AB 上的高，中线，BC = a ，AC = 3(a > 3) ，若 tan ∠DCE = 1 ，则 a = .36. 在平面直角坐标系内，已知四个定点 A (-3，0) ，B (1，-1) ，C (0 ，3) ，D (-1，3) 及一个动点 P ，则∣P A ∣+∣P B ∣+∣P C ∣+∣P D ∣的最小值为 .7. 已知函数 f ( x ) = x 2 - 2(a + 2) x + a 2 ，g (x ) = -x 2 + 2(a - 2) x - a 2 + 8.设 H 1 ( x ) = max{ f ( x ) ，g ( x )}， H 2 ( x ) = min{ f ( x ) ，g ( x )}，max{ p ，q } 表示 p ，q 中的较大值， min{p ，q } 表示 p ，q 中的较小值，记 H 1 ( x ) 得最小值 A ，H 2 ( x ) 得最大值为 B ，则 A - B = .8. 不等式( x + 1)(x 2 - 4x + 3) > 0 有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出 y 1 = x + 1 和 y 2 = x 2- 4x + 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设 a ，b 为整数，若对任意 x ≤ 0 ，都有(ax + 2)(x 2 + 2b )≤ 0 成立，则 a + b = .二、解答题：（共 20 分）9. （ 10 分）已知关于 x 的方程 4x 2 - 8nx - 3n - 2 = 0 ①和 x 2 - (n + 3) x - 2n 2 + 2 = 0 ②问是否存在这样的 n 值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出这样的 n 值；若不存在，请说明理由.10. （ 10 分）对于数对序列 P (a 1 ，b 1 ) ，(a 2 ，b 2 ) ，，(a n ，b n )，记T 1 ( P ) = a 1 + b 1 ， T k ( P ) = b k + max{T k -1 (P ) ，a 1 + a 2 + + a k }(2 ≤ k ≤ n ) ，其中max{T k -1 ( P ) ，a 1 + a 2 + 表示T k -1 ( P ) 和 a 1 + a 2 + + a k 两个数中最大的数.(1) 对于数对序列 P : (2 ，5) ，(4 ，1) ，求T 1 ( P )，T 2 (P ) 的值；(2) 记 m 为 a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于有两个数对(a ，b ) ，(c ，d ) 组成的数对序列 P : (a ，b ) ，(c ，d ) 和 P ': (c ，d ) ，(a ，b )，试分别对m = a 的m = d 时两种情况比较 T 2 ( P ) 和T 2 ( P ') 的大小.+ a k }。

2016-2017年上海市七宝重点中学高一数学分班考试卷

2016学年第一学期七宝中学高一新生入学摸底考试数学试卷一、选择题（每小题有仅一个正确答案，每题3分）1. 已知0a b >>，则下列不等式不一定成立的是（）A. 2ab b >B. a c b c +>+C. 11a b <D. ac bc >2. 若不等式组2113x x a-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则a 的取值范围是（）A. 2a >B. 2a ≥C. 2a <D. 2a ≤3. 若123111(,),(,),(,)242M y N y P y --三点都在函数(0)k y k x=<的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（） A. 213y y y >> B. 231y y y >>C. 312y y y >>D. 321y y y >> 4. 已知22y x =的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A ． 22(2)2y x =-+B ． 22(2)2y x =+- C ． 22(2)2y x =-- D ． 22(2)2y x =++ 5．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A. 14B. 16C. 15D. 3206. 将水匀速注入一个容器，时间（t ）与容器水位（h ）的关系如图所示，则容器的形状是（）A.B.C.D.二、填空题（每题3分）7. 2(3)0n -=，则2009(3)m n +-=_________．8. 已知::4:5:7a b c =，240a b c ++=，则2b a c -+=_________．9．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（﹣2，0）重合，则点1(,0)2-与点_________重10．对于整数,,,a b c d ，符号a b d c 表示运算ac bd -，已知1134b d <<，则b d +的值为 _________．11．定义“*”：*()(1)(1)X Y A B A B A B =++++．已知1*23,2*34==，则3*4的值为 _________． 12．分式方程133x m x x +=--有增根，则m =_________． 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数：_________．14．已知2223,15a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++的值等于_________． 15．若2610x x -+=，则2211x x +-=_________． 16．如图，//,60,45,30AB CD BAP APC PCD ααα∠=︒-∠=︒+∠=︒-，则α=_________．17．关于x 的一元二次方程210mx x -+=有实根，则m 的取值范围是_________．18．如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B 的最短路程长度是_________．19．二次函数223y x x =--与x 轴两交点之间的距离为_________．20 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-的值为_________．21．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,3C A AC ∠=︒∠=︒=，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与,AB AC 分别相交于点E 和点D ，则折痕DE 的长22．已知,,x y z 为实数，满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么222x y z ++的最小值是_________三、解答题（共34分）23 .（5分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．24.（14分)如图，线段5AB =，点E 在线段AB 上，且3AE =，B 与以AE 为半径的A 相交于点C ，CE 的延长线交B 于点F ，(1) 当直线AC 是B 的切线时，求证：BF AB ⊥；(2) 求EF CE的值； (3) 设,EF y BF x ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域24．(15分)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1,AB OB ==ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点,,A E D ．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线2y ax bx c =++的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P 、Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形OBPQ 的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上？若存在，请求出点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一.选择题（仅一个正确答案，每题3分，共18分）1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C二.填空题（每题3分，共48分）7．﹣1 8．195 9. 1(0,)2 10. 3± 11. 10635-12. 3 13. 21n n -+ 14. 225- 15. 33 16. 15° 17. 14m ≤且0m ≠ 18. 4 19. 4 20. 0 21. 1 22. 14三.解答题（共34分）23. 这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．24. （1）证明略；（2）53；（3）8)y x =<<25. （1）点E 是否在y 轴上；（2）2829y x x =--+；（3）当点1P 的坐标为(0,2)时，点Q 的坐标分别为12(Q Q ；当点2P 的坐标为(2)-时，点Q 的坐标分别为34(2),2)Q Q -。

七宝建平南模曹二进才自主招生之数学真题与解答

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2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一上学期期中数学试卷和解析

2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）如图，I是全集，A，B是I的子集，则阴影部分表示的集合是．2．（4分）已知集合A={9，2﹣x，x2+1}，集合B={1，2x2}，若A∩B={2}，则x 的值为．3．（4分）函数f（x）=的定义域是M，则∁R M．4．（4分）已知A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|x+y=1}，则A∩B的元素个数是．5．（4分）已知x，y＞0且x+y=1，则xy的最大值是．6．（4分）已知x，y∈R，命题“若x+y≥5，则x≥3或y≥2”是命题（填“真”或“假”）．7．（4分）已知函数f（x）的定义域是[1，5]，则f（2x﹣1）的定义域是．8．（4分）若关于x的不等式＜2的解集是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞），则实数a的值是．9．（4分）若关于m的不等式x+3m+5＞0在m∈[1，3]上有解，则实数x的取值范围是．10．（4分）设α：x2﹣8x+12＞0，β：|x﹣m|≤m2，若β是α的充分非必要条件，则实数m的取值范围是．11．（4分）若b＜a＜0，则下列结果①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③＞0；④表达式最小值为2中，正确的结果的序号有．12．（4分）定义实数运算x*y=，则|m﹣1|*m=|m﹣1|，则实数m的取值范围是．13．（4分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是．14．（4分）对于任意两个正实数a，b，定义a*b=λ×．其中常数λ∈（，1），“×”是通常的实数乘法运算，若a≥b＞0，a*b与b*a都是集合{x|x=，n∈Z}中的元素，则a*b=．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.请在答题纸的相应位置上填写正确答案的编号，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知x，y∈R，则命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是（）A．若x2+y2≠0，则x，y都不为0． B．若x2+y2≠0，则x，y不都为0．C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0 D．若x2+y2≠0，则x=0且y=016．（5分）已知x，y＞0，那么的最大值为（）A．2 B．C．3 D．17．（5分）已知a，b，c∈R，则“b2﹣4ac＜0”是“关于x的不等式ax2+bx+c＜0在R上恒成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件18．（5分）已知f（n）=2n+1（n∈N*），集合A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，记f（A）={n|f（n）∈A}，f（B）={m|f（m）∈B}，f（A）∩f（B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{3，5}D．{3，5，7}三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）设集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}（1）用列举法表示集合A（2）若B⊆A，求实数m的值．20．（14分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期待电价为0.4元/kW•h，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K），该地区的电力成本为0.3元/kW•h．（注：收益=实际用电量×（实际电价﹣成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW•h，则下调电价后新增加的用电量为元/kW•h）（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系；（2）设K=0.2a，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？21．（14分）已知a，b，c都是正数，（1）若a+c=1，试比较a3+a2c+ab2+b2c与a2b+abc的大小；（2）若a2+b2+c2=1，求证：﹣≥3．22．（16分）已知函数f（x）=3x2﹣2ax﹣b，其中a，b是实数．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a b的值；（2）若b=3a，对任意x∈R，都有f（x）≥0，且存在实数x，使得f（x）≤2﹣a，求实数a的取值范围；（3）若方程有一个根是1，且a，b＞0，求的最小值，及此时a，b 的值．23．（18分）已知数集A={a1，a2…a n}（0≤a1＜a2…＜a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=0，且na n=2（a1+a2+a+..+a n）（3）当n=5时若a2=2，求集合A．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，请在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）如图，I是全集，A，B是I的子集，则阴影部分表示的集合是A∩（∁B）．I【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B中的元素构成的部分，即在A中且在B的补集中，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩（∁I B），故答案为：A∩（∁I B）2．（4分）已知集合A={9，2﹣x，x2+1}，集合B={1，2x2}，若A∩B={2}，则x 的值为﹣1．【解答】解：集合A={9，2﹣x，x2+1}，集合B={1，2x2}，A∩B={2}，∴2∈A，且2∈B，∴2x2=2，解得x=±1，当x=1时，A={9，1，2}，B={1，2}，不满足A∩B={2}，∴x=﹣1，故答案为：﹣13．（4分）函数f（x）=的定义域是M，则∁R M=（0，）．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域是M，∴M={x|x（2x﹣1）≥0，x∈R}；∴∁R M={x|x（2x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜，x∈R}=（0，）．故答案为：（0，）．4．（4分）已知A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|x+y=1}，则A∩B的元素个数是2．【解答】解：由，解得或，∴A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|x+y=1}，则A∩B的元素个数是2个，故答案为：25．（4分）已知x，y＞0且x+y=1，则xy的最大值是．【解答】解：x，y＞0且x+y=1，则xy≤（）2=，当且仅当x=y=时取等号，故答案为：．6．（4分）已知x，y∈R，命题“若x+y≥5，则x≥3或y≥2”是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：∵命题“若x+y≥5，则x≥3或y≥2”的逆否命题是：“若x＜2且y ＜3，x+y＜5”，且为真命题‘又因为原命题与其逆否命题同真假，所以原命题为真命题．故答案为：真．7．（4分）已知函数f（x）的定义域是[1，5]，则f（2x﹣1）的定义域是[1，3] ．【解答】解：∵函数f（x）的定义域是[1，5]，∴由1≤2x﹣1≤5，得1≤x≤3．∴f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故答案为：[1，3]．8．（4分）若关于x的不等式＜2的解集是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞），则实数a的值是．【解答】解：不等式＜2，整理得：，即：由不等式的解集判断a≠2，可化为[（a﹣2）x﹣（2a+6）]（x+3）＜0，关于x的不等式＜2的解集是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞），由解集特点可知：a﹣2＜0，且，解得：a=．故答案为：．9．（4分）若关于m的不等式x+3m+5＞0在m∈[1，3]上有解，则实数x的取值范围是x＞﹣14．【解答】解：关于m的不等式x+3m+5＞0在m∈[1，3]上有解，可得x＞﹣5﹣3m，m∈[1，3]，﹣5﹣3m的最小值为：﹣14．可得x＞﹣14．故答案为：x＞﹣14．10．（4分）设α：x2﹣8x+12＞0，β：|x﹣m|≤m2，若β是α的充分非必要条件，则实数m的取值范围是﹣2＜m＜1．【解答】记A={x|x2﹣8x+12＞0}={x|x＜2或x＞6}．记B={x||x﹣m|≤m2}={x|m﹣m2≤x≤m2+m}．∵β是α的充分非必要条件．∴B⊊A∴m2+m＜2或m﹣m2＞6解不等式，得﹣2＜m＜1．∴实数m的取值范围为﹣2＜m＜1．故填﹣2＜m＜1．11．（4分）若b＜a＜0，则下列结果①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③＞0；④表达式最小值为2中，正确的结果的序号有①．【解答】解：对于①a+b＜ab，正确，对于②∵b＜a＜0，∴|b|＞|a|，故②错误，对于③∵b＜a＜0，∴＜＜0，故③错误，对于④∵b＜a＜0，∴＞2，故④错误，故答案为：①12．（4分）定义实数运算x*y=，则|m﹣1|*m=|m﹣1|，则实数m 的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：定义实数运算x*y=，则|m﹣1|*m=|m﹣1|，即2|m﹣1|﹣1≥3m，解得m≤故答案为：（﹣∞，]，13．（4分）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S．给出如下四个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤l≤1；③若l=，则﹣≤m≤0．④若l=1，则﹣1≤m≤0或m=1．其中正确命题的是①②③④．【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x2∈S可知：符合定义的参数m的值一定大于等于﹣1，符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，如此才能保证l∈S时，有l2∈S即l2≤l，再对各个命题进行判断：对于①m=1，m2=1∈S故必有，可得l=1，S={1}，故正确；②m=﹣，则，解得≤l≤1，故正确；③若l=，则，可解得﹣≤m≤0，故正确；④若l=1，则可解得﹣1≤m≤0或m=1，故正确．故答案为：①②③④14．（4分）对于任意两个正实数a，b，定义a*b=λ×．其中常数λ∈（，1），“×”是通常的实数乘法运算，若a≥b＞0，a*b与b*a都是集合{x|x=，n∈Z}中的元素，则a*b=．【解答】解：；∵a≥b＞0，；∴；∴；又a*b，b*a都是集合的元素；∴；∴；∴a*b=2λ2，且1＜2λ2＜2；∴．故答案为：．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.请在答题纸的相应位置上填写正确答案的编号，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知x，y∈R，则命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是（）A．若x2+y2≠0，则x，y都不为0． B．若x2+y2≠0，则x，y不都为0．C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0 D．若x2+y2≠0，则x=0且y=0【解答】解：x，y∈R，则命题“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的否命题是：x2+y2≠0，则x，y不都为0．故选：B．16．（5分）已知x，y＞0，那么的最大值为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：x，y＞0，（）2==1+≤1+1=2，当且仅当x=y 时取等号，∴的最大值为故选：B．17．（5分）已知a，b，c∈R，则“b2﹣4ac＜0”是“关于x的不等式ax2+bx+c＜0在R上恒成立”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由b2﹣4ac＜0不一定能推出ax2+bx+c＜0恒成立，比如a＞0的时候，ax2+bx+c＞0恒成立，不是充分条件，若关于x的不等式ax2+bx+c＜0在R上恒成立，则a＜0且b2﹣4ac＜0，不是必要条件，故选：D．18．（5分）已知f（n）=2n+1（n∈N*），集合A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，记f（A）={n|f（n）∈A}，f（B）={m|f（m）∈B}，f（A）∩f（B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{3，5}D．{3，5，7}【解答】解：∵f（n）=2n+1（n∈N*），集合A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，记f（A）={n|f（n）∈A}，f（B）={m|f（m）∈B}，∴f（A）∩f（B）={1，2}∩{1，2，3}={1，2}．故选：A．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）设集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}（1）用列举法表示集合A（2）若B⊆A，求实数m的值．【解答】解：（1）集合A={x|x2+3x+2=0}，∵x2+3x+2=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣2，∴集合A={x|x2+3x+2=0}={﹣1，﹣2}．（2）B={x|x2+（m+1）x+m=0}∵B⊆A，方程x2+（m+1）x+m=0，此时判别式△=（m+1）2﹣4m＜0，解得：m无解，∴B≠∅．当方程只有一个解：x1=﹣1，此时判别式△=（m+1）2﹣4m=0且1﹣（m+1）+m=0，解得：m=1；当方程只有一个解：x2=﹣2，此时判别式△=（m+1）2﹣4m=0且4﹣2（m+1）+m=0，解得：m无解；当方程有两个解：x1=﹣1，x2=﹣2，解得：m=2；经检验，m=1或m=2符合条件．故得实数m的值为m=1或m=2．20．（14分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期待电价为0.4元/kW•h，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K），该地区的电力成本为0.3元/kW•h．（注：收益=实际用电量×（实际电价﹣成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW•h，则下调电价后新增加的用电量为元/kW•h）（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系；（2）设K=0.2a，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？【解答】解：（1）设下调后的电价为x元/kW•h，依题意知用电量增至，电力部门的收益为y=（）（x﹣0.3），x∈[0.55，0.75]．…6分（2）依题意有整理得，解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低为0.60时仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20% (14)分．21．（14分）已知a，b，c都是正数，（1）若a+c=1，试比较a3+a2c+ab2+b2c与a2b+abc的大小；（2）若a2+b2+c2=1，求证：﹣≥3．【解答】解：（1）∵a，b，c都是正数，且a+c=1，∴a3+a2c+ab2+b2c﹣a2b﹣abc=（a2+b2﹣ab）（a+c）=＞0，所以a3+a2c+ab2+b2c＞a2b+abc；…6分证明：（2）∵a，b，c都是正数，且a2+b2+c2=1，∴﹣=3+≥3当且仅当a=b=c=取得等号，即﹣≥3…14分．22．（16分）已知函数f（x）=3x2﹣2ax﹣b，其中a，b是实数．（1）若不等式f（x）≤0的解集是[0，6]，求a b的值；（2）若b=3a，对任意x∈R，都有f（x）≥0，且存在实数x，使得f（x）≤2﹣a，求实数a的取值范围；（3）若方程有一个根是1，且a，b＞0，求的最小值，及此时a，b 的值．【解答】解：（1）依题意，0+6=，0×6=，解得a=9，b=0，∴a b=1…4分（2）若b=3a，则f（x）=3x2﹣2ax﹣3a．依题意，，由①得，﹣9≤a≤0，由②得，a≥﹣1或a≤﹣6，所以，﹣9≤a≤﹣6或﹣1≤a≤0为所求．…10分（3）∵方程有一个根是1，且a、b＞0，∴3﹣2a﹣b=0，即2a+b=3，∵2a+b=3可得（2a+1）（b+2）=6，设u=2a+1，v=b+2，可得u，v＞0，u+v=6，==≥，当且仅当u=v=3，即a=b=1时取等号．…16分．23．（18分）已知数集A={a1，a2…a n}（0≤a1＜a2…＜a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1=0，且na n=2（a1+a2+a+..+a n）（3）当n=5时若a2=2，求集合A．【解答】解：（1）由于0+1，0+2，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3，都属于数集{0，1，3，4}，∴该数集具有性质P．由于2+3与3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，∴该数集不具有性质P．（2）证明：令j=n，i＞1，则∵“a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A”，∴a i+a j不属于A，∴a n﹣a i属于A．令i=n﹣1，那么a n﹣a n是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．﹣1如果是a3或者a4，那么可知a n﹣a3=a n ﹣1，那么a n﹣a2＞a n﹣a3=a n﹣1，只能是等于a n了，矛盾．所以令i=n﹣1可以得到a n=a2+a n﹣1，同理，令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到a n=a i+a n+1﹣i，∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+a n=a n．即na n=2（a1+a2+a+..+a n）．（3）当n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5﹣a i∈A，又i=1时，a5﹣a1∈A，∴a5﹣a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，则a5﹣a1=a5，a5﹣a2=a4，a5﹣a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4﹣a3=a3﹣a2＜a3，又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4∉A，则a4﹣a3∈A，则有a4﹣a3=a2=a2﹣a1．又∵a5﹣a4=a2=a2﹣a1，∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1=a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2=2等差数列，∴A={0，2，4，6，8}．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2016-2017年上海市七宝重点中学高一数学分班考试题答卷

2016学年第一学期七宝中学高一新生入学摸底考试数学试卷一、选择题（每小题有仅一个正确答案，每题3分） 1. 已知0a b >>，则下列不等式不一定成立的是（）A. 2ab b >B. a c b c +>+C.11a b<D. ac bc >3的大520A.B.C. D.二、填空题（每题3分）7.2(3)0n -=，则2009(3)m n +-=_________．8. 已知::4:5:7a b c =，240a b c ++=，则2b a c -+=_________．9．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（﹣2，0）重合，则点1(,0)2-与点_________重10．对于整数,,,a b c d ，符号a b d c 表示运算ac bd -，已知1134bd <<，则b d +的值为 _________．11．定义“*”：*()(1)(1)X YA B A B A B =++++．已知1*23,2*34==，则3*4的值为_________．12．分式方程133x mx x +=--有增根，则m =_________． 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的3沿其表面爬到点的最短路程长度是_________．19．二次函数223y x x =--与x 轴两交点之间的距离为_________．20 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-的值为_________．21．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,3C A AC ∠=︒∠=︒=，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与,AB AC 分别相交于点E 和点D ，则折痕DE 的长22．已知,,x y z 为实数，满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么222x y z ++的最小值是_________三、解答题（共34分）23 .（5分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．上，且3AE =，B 与以AE 相交的延长线交B 于点F ，是B 的切线时，求证：BF AB ⊥；(2) 求EFCE的值；，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域24．(15分)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1,AB OB ==ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点,,A E D ．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线2y ax bx c =++的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P 、Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形OBPQ 的面参考答案一.选择题（仅一个正确答案，每题3分，共18分）1．D 2．D 3．A 4．B5．B 6．C二.填空题（每题3分，共48分）7．﹣18．195 9.1(0,210. 3±11.10635-12. 3 13. 21n n-+14.225-15. 33 16. 15°17.14m≤且0m≠18. 419. 420. 0。

七宝中学2016学年第一学期高一数学期中试卷

七宝中学2016学年第一学期高一数学期中试卷一. 填空题．1.如图，I 是全集，,A B 是I 的子集，则阴影部分表示的集合是 .2.已知集合{}29,2,1A x x =-+，集合{}21,2B x=，若{}2A B =，则x 的值为 ___.3.函数()f x =M ，则R M =ð . 4.已知(){}(){}2,1,A x y y x B x y x a ==+==，，则AB 的元素个数是 . 5.已知,0x y >且1x y +=，则xy 的最大值是6.已知 R x y ∈、，命题“若5x y +≥，则3x ≥或2y ≥”是_ __命题(填“真”或“假”)．7.已知函数()f x 的定义域是[]1,5，则(21)f x -的定义域是8.若关于x 的不等式(2)23a x x -<+的解集是()(),32,-∞--+∞，则实数a 的值是 . 9.若关于m 的不等式350x m ++>在[]1,3m ∈上有解，则实数x 的取值范围是 . 10.设2:8120x x α-+>，2:x m m β-≤，若β是α的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是 .11.若0b a <<，则下列结果①a b ab +<；②||||a b >；③110b a >>；④表达式b a a b +最小值为2中，正确的结果的序号有。

12.定义实数运算{ 213* 213x x y x y y x y-≥=-<，则|1|*|1|m m m -=-，则实数m 的取值范围是 . 13.设非空集合{}l x m x S ≤≤=满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下四个命题： ① 若1m =，则{}1=S ； ②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤； ④若1l =，则101m m -≤≤=或其中正确命题的是 .14.对于任意两个正实数a b 、，定义a a b b λ*=⨯. 其中常数 1)2λ∈，“⨯”是通常的实数乘法运算，若0a b ≥>，a b *与b a *都是集合{|,}2n x x n Z =∈中的元素，则a b *= ．二. 选择题．15.已知 R x y ∈、，则命题“若220x y +=，则0x =且0y =”的否命题是 ( )A. 若220x y +≠，则,x y 都不为0.B. 若220x y +≠，则,x y 不都为0.C. 若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠.D. 若220x y +≠，则0x =且0y =.16.已知,0x y >，的最大值为 ( )A.2B.C.3D.17.已知 a b c R ∈、、，则“240b ac -<”是“关于x 的不等式20ax bx c ++<在R 上恒成立”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件18.已知*()21()f n n n N =+∈，集合{1 2 3 4 5} {3 4 5 6 7}A B ==，，，，，，，，，，记(){|()} (){|()}f A n f n A f B m f m B =∈=∈，，()()f A f B = ( ).A.{1 2}，B.{1 2 3}，，C.{3 5}，D.{3 5 7}，，三. 解答题．19.设集合{}{}22320(1)0A x x x B x x m x m =++==+++=，(1)用列举法表示集合A ；(2)若B A ⊆，求实数m 的值.20. 某地区上年度电价为0.8元/kW h ⋅，年用电量为 a kW h ⋅，本年度计划将电价降到0.55 元/kW h ⋅至0.75元/kW h ⋅之间，而用户期待电价为0.4元/kW h ⋅，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K )，该地区的电力成本为0.3元/kW h ⋅.(注：收益=实际用电量⨯（实际电价-成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW h ⋅，则下调电价后新增加的用电量为0.60.4K -元/kW h ⋅) (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系； (2)设0.2K a =，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？21.已知 a b c ，，都是正数，(1)若1a c +=，试比较3222a a c ab b c +++与2a b abc +的大小； (2)若2221a b c ++=，求证：3332221112()3a b c a b c abc++++-≥ 22.已知函数2()32f x x ax b =--，其中 a b 、是实数. (1)若不等式()0f x ≤的解集是[0 6]，，求b a 的值；(2)若3b a =，对任意R x ∈，都有()0f x ≥，且存在实数x ，使得2()23f x a ≤-，求实数a 的取值范围； (3)若方程有一个根是1，且 0a b >、，求11212a b +++的最小值，及此时 a b 、的值 23.已知数集{}1212,,...,...,(02)n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：10a =，且12...2()n n na a a a =+++；（3）当5n =时若 22a =,求集合A.。

七宝中学2016-2017高二上开学摸底考数学卷

d 为多少时， α - β 最大？
1
H H = tan β ⇒ AD = ，同理 tan β AD
AB =
H h ， BD = 。 tan α tan β H= h tan α 4 × 1.24 = = 124 。 tan β − tan α 1.24 − 1.20
AD—AB=DB，故得
H H h − = ，解得 tan β tanα tan β
g ( x ) 至少一个为数，则
π
4
<x<
π
2
，则函数 y = tan 2 x tan x 的最大值为
2
14. 知函数 f ( x ) = sin x + tan x .项数为 27 的等差数列 {a n } 满足 a n ∈ −
π π ，，且公差 d ≠ 0 .若 2 2
∗
(1)若 d k = 2k ，证明 a2 k ， a2 k +1 ， a2 k + 2 成等比数列 k ∈ N
∗
(
∗
)
(2)若对任意 k ∈ N ， a2 k ， a2 k +1 ， a2 k + 2 成等比数列，其公比为 qk
23. 本题 18 分知数列 {an }中， a1 = 1, an +1 = c −
f (a1 ) + f (a 2 ) + … + f (a 27 ) = 0 ，则当 k =____________是， f (a k ) = 0 .
二选择题题 5 分，共 20 分
15.等差数列 {an }满足 an =
na ，其中 a, b, c 均为数，那么 an nb + c C . an > an −1 D.

2016-2017学年上海市七宝中学高一(下)期中数学试卷(带参考答案)

2016-2017学年上海市七宝中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：（本题一共12小题，前6小题4分，后6小题5分，共计54分）1．（4分）已知﹣，求sinθ的范围．2．（4分）方程log2（x+4）+log2（x+2）=3+log2（x+6）的解是．3．（4分）满足等式sinx+cosx=1，x∈[0，2π]的x的集合是．4．（4分）已知sinx=﹣，且﹣＜x＜，则tan（+x）=．5．（4分）满足tanx＜且x∈（0，π）的x的集合为．6．（4分）已知函数y=cosx+2|cosx|，x∈[0，2π]与函数y=k的图象有四个交点，则k∈．7．（5分）若α的终边在第一、三象限的角平分线上，则+=．8．（5分）已知＜α＜π，﹣π＜β＜0，tanα=﹣，tanβ=﹣，则2α+β=．9．（5分）锐角△ABC中，，则=．10．（5分）已知△ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是．11．（5分）已知0＜θ＜，若cos2θ+2msinθ﹣2m﹣2＜0对任意实数θ恒成立，则实数m应满足的条件是．12．（5分）已知α，β∈（0，），sinα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ=．二、选择题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知θ∈（0，2π），且sinθ＜tanθ＜cotθ，那么θ的取值范围是（）A．B．C．D．14．（5分）角α终边上一点P（2sin5，﹣2cos5），α∈（0，2π），则α=（）A．5﹣B．3π﹣5 C．5 D．5+15．（5分）在锐角△ABC中，A=2B，则的取值范围是（）A．B．C．D．16．（5分）已知，则cosβ的值为（）A．﹣1 B．﹣1或C．D．三、解答题：（本题共5小题，共计76分）17．（14分）已知f（α）=（1）求f（﹣）（2）若2f（π+α）=f（+α），求+cos2α（3）若f（α）=，求sinα，cosα18．（14分）一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．19．（16分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．20．（16分）就实数a的取值范围，讨论关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x ∈[0，2π]与x轴的交点个数．21．（16分）如图1所示，一条直角走廊宽为am，（a＞0）（1）若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且∠PEF=θ，试求铁棒的长l；（2）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；（3）现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽AD为b m（0＜b ＜a）如图2．平板车若想顺利通过直角走廊，其长度l不能超过多少米？2016-2017学年上海市七宝中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本题一共12小题，前6小题4分，后6小题5分，共计54分）1．（4分）已知﹣，求sinθ的范围．【解答】解：y=sinx的图象，得出在区间[]上单调递减，[，]单调递增；最小值为f（﹣）=﹣1，f（）=，f（﹣）=，故：﹣1≤sinθ2．（4分）方程log2（x+4）+log2（x+2）=3+log2（x+6）的解是1+．【解答】解：由对数的运算性质可得：log2[（x+4）（x+2）]=log2[8（x+6）]，∴（x+4）（x+2）=8（x+6），解得x=1±．由方程有意义得，∴x＞﹣2．∴x=1+．故答案为：1+．3．（4分）满足等式sinx+cosx=1，x∈[0，2π]的x的集合是{2π，，0} ．【解答】解：∵sinx+cosx=1，∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，∴sinxcosx=0，∴sinx=0或cosx=0，∵x∈[0，2π]，∴x=2π或或0．故答案为：{2π，，0}．4．（4分）已知sinx=﹣，且﹣＜x＜，则tan（+x）=．【解答】解：∵sinx=﹣，且﹣＜x＜，∴cosx=．则tan（+x）=﹣cotx=﹣=．故答案为：．5．（4分）满足tanx＜且x∈（0，π）的x的集合为{x|0＜x＜，或＜x＜π} ．【解答】解：满足tanx＜且x∈（0，π）x范围，如下图所示：由图可得：满足tanx＜且x∈（0，π）的x集合为：{x|0＜x＜，或＜x ＜π}，故答案为：{x|0＜x＜，或＜x＜π}6．（4分）已知函数y=cosx+2|cosx|，x∈[0，2π]与函数y=k的图象有四个交点，则k∈（0，1）．【解答】解：画出函数y=cosx+2|cosx|=以及直线y=k 的图象，如图所示；由f（x）的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点，可得0＜k＜1．故答案为：（0，1）．7．（5分）若α的终边在第一、三象限的角平分线上，则+=±2tanα．【解答】解：+==．若α为第一象限角，则sinα＞0，cosα＞0，=；若α为第三象限角，则sinα＜0，cosα＜0，=．故答案为：±2tanα．8．（5分）已知＜α＜π，﹣π＜β＜0，tanα=﹣，tanβ=﹣，则2α+β=．【解答】解：∵tanα=﹣，tanβ=﹣，＜α＜π，﹣π＜β＜0，∴tan2α==﹣，tan（2α+β）===﹣1，又∵＜2α＜2π，﹣＜β＜0，可得：2α+β∈（π，2π），∴2α+β=．故答案为：．9．（5分）锐角△ABC中，，则=4．【解答】解：∵+==6cosC，由余弦定理得：a2+b2﹣2abcosC=c2，∴4ab•cosC=c2，则原式=tanC•=tanC•=，由正弦定理得：=，∴上式===4．故答案为：410．（5分）已知△ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（0，] ．【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得，即，解得sinC= sinA∈（0，]．再由AB不是最大边，可得C为锐角，故C∈（0，]，故答案为：（0，]．11．（5分）已知0＜θ＜，若cos2θ+2msinθ﹣2m﹣2＜0对任意实数θ恒成立，则实数m应满足的条件是（，+∞）．【解答】解：设f（θ）=cos2θ+2msinθ﹣2m﹣2，要使f（θ）＜0对任意的θ总成立，当且仅当函数y=f（θ）的最大值小于零．f（θ）=cos2θ+2msinθ﹣2m﹣2=1﹣sin2θ+2msinθ﹣2m﹣2=﹣（sinθ﹣m）2+m2﹣2m ﹣1∴当0≤m＜1时，0＜θ＜，函数的最大值为：m2﹣2m﹣1＜0，解得0≤m＜1；当m≥1时，函数的最大值小于f（）=﹣2＜0，∴m≥1时均成立；当m＜0时，函数的最大值小于f（0）=﹣2m﹣1＜0，m＞﹣，解得﹣．综上得m的取值范围是：（，+∞）．12．（5分）已知α，β∈（0，），sinα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ=．【解答】解：∵α，β∈（0，），sinα=，cos（α+β）=﹣，∴cosα==，sin（α+β）==∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣=故答案为：二、选择题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知θ∈（0，2π），且sinθ＜tanθ＜cotθ，那么θ的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ∈（0，2π），sinθ＜tanθ，∴θ∈（0，）∪（π，）．∵tanθ＜cotθ，∴θ∈（0，）∪（π，），综上可得，θ∈（，），故选：C14．（5分）角α终边上一点P（2sin5，﹣2cos5），α∈（0，2π），则α=（）A．5﹣B．3π﹣5 C．5 D．5+【解答】解：r2=（2sin5）2+（﹣2cos5）2=4，∴sinα==﹣cos5，cosα=sin5，∵α∈（0，2π），∴α=5﹣，故选：A15．（5分）在锐角△ABC中，A=2B，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故选：B．16．（5分）已知，则cosβ的值为（）A．﹣1 B．﹣1或C．D．【解答】解：∵，∴，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]==故选C．三、解答题：（本题共5小题，共计76分）17．（14分）已知f（α）=（1）求f（﹣）（2）若2f（π+α）=f（+α），求+cos2α（3）若f（α）=，求sinα，cosα【解答】解：由f（α）===．（1）当x=﹣时，即f（﹣）=﹣cos（）=﹣cos（10π+）=﹣．（2）2f（π+α）=f（+α），即﹣2cos（π+α）=﹣cos（），可得：2cosα=sinα，∴tanα=2．那么：+cos2α===．（3）∵f（α）=，即﹣cosα=，∴cosα=．那么：sinα==．18．（14分）一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．【解答】解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，…（2分）则有AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°．∴（14x）2=122+（10x）2﹣240xcos120°…（8分）∴x=2，AB=28，BC=20，…（10分）∴．所以所需时间2小时，．…（14分）19．（16分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）即f（﹣x）﹣f（x）=0∴[log2（4﹣x+1）﹣a（﹣x）]﹣[log2（4x+1）﹣ax]=0﹣2x+2ax=0即a=1（2）若a=4，f（x）=log2（4x+1）﹣4x令f（x）=0，log2（4x+1）=4x4x+1=24x（4x）2﹣4x﹣1=0或（舍）∴20．（16分）就实数a的取值范围，讨论关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x ∈[0，2π]与x轴的交点个数．【解答】解：y=cos2x+2sinx+2a﹣3=﹣2sin2x+2sinx+2a﹣2，令t=sinx（﹣1≤t≤1），则函数化为f（t）=﹣2t2+2t+2a﹣2．对称轴方程为t=．若△=4+8（2a﹣2）＜0，即a，函数f（t）无零点，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴无交点；若△=4+8（2a﹣2）=0，即a=，函数f（t）=，零点为．由sinx=，可得x=，或x=，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；若△=4+8（2a﹣2）＞0，且f（0）=2a﹣2＜0，即＜a＜1，函数f（t）有两个大于0小于1的零点，即sinx有两个不等正根，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有四个交点；若△=4+8（2a﹣2）＞0，且f（0）=2a﹣2=0，即a=1，函数f（t）的两个零点为0，1．由sinx=0，sinx=1，可得关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有三个交点；若f（0）=2a﹣2＞0，且f（﹣1）=2a﹣6＜0，即1＜a＜3，f（t）有一零点为负数，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；若f（﹣1）=0，即a=3，f（t）有一零点﹣1，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有一个交点；若f（﹣1）＞0，即a＞3，f（t）在[﹣1，1]内无零点，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a ﹣3，x∈[0，2π]与x轴无交点．综上，当a＜或a＞3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x 轴无交点；当a=3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有一个交点；当a=或1＜a＜3时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有两个交点；当a=1时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有三个交点；当＜a＜1时，关于x的函数y=cos2x+2sinx+2a﹣3，x∈[0，2π]与x轴有四个交点．21．（16分）如图1所示，一条直角走廊宽为am，（a＞0）（1）若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内，且∠PEF=θ，试求铁棒的长l；（2）若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，求此铁棒的最大长度；（3）现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽AD为b m（0＜b ＜a）如图2．平板车若想顺利通过直角走廊，其长度l不能超过多少米？【解答】解：（1）由图形可得：l=+米，（a＞0）．（2）令t=sinθ+cosθ=，又∵θ∈，∴t∈（1，]．则sinθcosθ=．则l=a•==f（t），f′（t）=＜0，∴函数f（t）在t∈（1，]上单调递减．∴t=时，f（t）取得最小值，f（）==2a，故当t=，即θ=时，l取得最小值，即能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为2a米．（3）AB=f（t）=l﹣﹣btanθ=a•﹣==+（0＜b＜a），则f（t）在t∈（1，]上单调递减．∴AB的最小值=+2a﹣2b=2a﹣2b．故平板车的长度不能超过2a﹣2b米．。

七宝中学自招试题

七宝中学自招试题
集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
七宝中学自招试题 4月2日首轮自招考试大概内容：
数学：填空+简答，总共14题左右，基本都是竞赛内容。

函数和几何比重大，有考到数列。

物理：选择+填空，14题左右，部分是竞赛内容。

语文：常识选择+古诗文赏析+现代文阅读+150字的小点评量挺大。

化学：初中内容，最后一题有点麻烦。

七宝中学自招部分试题：
语文：
1.白居易提倡了____运动。

2.《倾城之恋》是___写的。

3.某大学教授上课，发现35个人没来，才知道他们是去维持梁朝伟活动的秩序，然后写了论文，非常生气，请你对此事发表250字评论（给了480个空）
英语：
1.作文：如果你进了七宝，你对七宝的英语老师有什么要求和希望？请写100字左右的作文。

物理：
如图，开关闭合，电源电压为3V，R1=5欧，R2最大电阻为25欧，电流表示数为__A。

还有弹簧丝的长度与拉力的关系（就是拉弹簧丝，等于移动那个滑片），弹簧丝伸长1cm拉力为100牛，正比例函数以此类推。

当电流表示数为0.3A时，拉力为___N？。

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2016年七宝中学综合素养调研测试
一. 填空题
1. 若125的立方根是A ，25的算术平方根为B ，则A B +=
2. 设x 、y 为实数，则代数式22245425x xy y x y ++-++的最小值为
3. 方程：3456x x x x ++=的解有个
4. 已知两质数p 、q 之和为2019，则1(1)q p --（p q >）的值为
5. 在直角三角形ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高、
中线，BC a =，3AC =（3a >），若1tan 3
DCE ∠=，则 a =
6. 在平面直角坐标系内，已知四个定点(3,0)A -，(1,1)B -，(0,3)C ，(1,3)D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为
7. 已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+，设1()max{(),()}H x f x g x =，2()min{(),()}H x f x g x =，max{,}p q 表示p 、q 中的较大值，
min{,}p q 表示p 、q 中的较小值，
记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -= 8. 不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a 、b 为整数，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤成立，则a b +=
二. 解答题
9. 已知关于x 的方程248320x nx n ---=①和22(3)220x n x n -+-+=②，问是否存在这样的n 值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出这样的n 值，若不存在，请说明理由.
10. 对于数对序列11(,)P a b ，22(,)a b ，⋅⋅⋅，(,)n n a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=+++⋅⋅⋅+（2k n ≤≤），其中
112max{(),}k k T P a a a -++⋅⋅⋅+表示1()k T P -和12k a a a ++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.
（1）对于数对序列:(2,5)P ，(4,1)，求1()T P 、2()T P 的值；
（2）记m 为a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于由两个数对(,)a b 、(,)c d 组成的数对序列:(,)P a b ，(,)c d 和:(,)P c d '，(,)a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较2()T P 和2()T P '的大小.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 0 3. 1 4. 2016
5. 3
6.
7. 12-
8. 3
二. 解答题
9. 0n =.
10.（1）1()7T P =，2()8T P =；（2）22()()T P T P '≤.。