2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题49椭圆

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2018高考数学一轮复习椭圆精选课件

y
动圆M和定圆A相内切, 与定圆B相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
M
Ao
B
x
变式3 圆A： x32y2100，
圆B（x-3） 2y24，
动圆M和定圆A相内切, 也与定圆B相内切，求动圆圆心M的轨迹方程。
M
A
B
练习：《新坐标》 P122.例1(1)
例2、（1）若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__x__2_y___5___0_;
|F1F2|=2c
(3)设∠F1PF2＝α，则 S△F1PF2＝c|y0|=b2tan
α 2.
(4)设∠PF1F2＝β，∠PF2F1＝γ，由正弦定理可得
|PF1|＝sin2γc＋β·sin γ，|PF2|＝sin2γc＋βsin β.
e＝ac＝sisninγ＋γ＋siβnβ
（一）焦点三角形的应用（1）：求轨迹
A.3
B. 21
C.2 2
D.2
2
练习：(2011 年湖北高考)过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为__1_或__1_1__．
7
例4、圆O1的方程为：x2 (y1)2 4,圆O2的圆心坐标为（2,1）. (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；（2）若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且AB=2 2，求圆O2的方程.
《新坐标》P22 例1（2）
32011年江西高考若椭圆ax22
+ y2 b2
=1的焦点在x轴上，
过点(1， 1)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线 2
AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆学案理

§9.5椭圆考纲展示► 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．考点1 椭圆的定义椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．答案：椭圆焦点焦距(1)a>c(2)a＝c(3)a<c[教材习题改编]已知甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；乙：P点的轨迹是椭圆．则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)答案：必要不充分解析：∵乙⇒甲，甲⇒/乙，∴甲是乙的必要不充分条件.椭圆的定义：关键在于理解．(1)动点P到两定点M(0，－2)，N(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是________．答案：线段解析：因为|PM|＋|PN|＝|MN|＝4，所以点P的轨迹是一条线段．(2)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 212＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案：8 3解析：由椭圆定义知，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC 的周长是43×2＝8 3.[典题1] (1)[2017·北京东城区期末]过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2 [答案] B[解析] 因为椭圆的方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义知，△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.(2)已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．4 2 [答案] A[解析] 由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立)．(3)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 [答案] A[解析] 由折叠过程可知，点M 与点F 关于直线CD 对称，故|PM |＝|PF |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝r .由椭圆的定义可知，点P 的轨迹为椭圆．[点石成金] 1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a ＞|F 1F 2|这一条件． 2．当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的5个常用结论(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ(θ＝∠F 1PF 2)． (3)当P 为短轴端点时，θ最大．(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ ＝sin θ1＋cos θ·b 2＝b 2tan θ2＝c ·|y 0|.当y 0＝±b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2有最大值为bc . (5)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．考点2 椭圆的方程(1)[教材习题改编]已知方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围为________．答案：(－3,1)∪(1,5)解析：方程表示椭圆的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得m ∈(－3,1)∪(1,5)．(2)[教材习题改编]椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________．答案：y 28＋x 24＝1解析：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得a ＝2b ，c ＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝b 2＝4，得b 2＝4，则a 2＝8，所以椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.椭圆的标准方程：关注焦点的位置．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于________．答案：4或8解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，得2<m <10.由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.[典题2] (1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．[答案]x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1[解析] 解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.解法二：设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3×2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．[答案]y 220＋x 24＝1 [解析] 解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知， 2a ＝3－2＋－5＋2＋3－2＋－5－2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 解法二：设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得－5225－k ＋329－k＝1，解得k ＝5或k ＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．[答案] x 2＋3y22＝1[解析] 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝x 0＋c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆的方程为x 2＋3y 22＝1.[点石成金] 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.1.一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1.2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，()3，5. 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，∵椭圆过点(2，－3)， ∴t 1＝224＋－323＝2或t 2＝－324＋223＝2512. 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，c 2＝52－32解得a ＝4，c ＝2， ∴b 2＝12.故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. (3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆的方程为y 210＋x 26＝1.考点3 椭圆的几何性质椭圆的标准方程和几何性质坐标轴 (0,0) (－a,0) (a,0) (0，－b ) (0，b ) (0，－a ) (0，a ) (－b,0) (b,0)2a2b 2c (0,1) a 2－b 2(1)[教材习题改编]椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．答案：22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22.(2)[教材习题改编]已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．答案： ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，所以点P 的坐标为 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.1.焦点三角形问题：定义法．若椭圆x 24＋y 23＝1上的点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△F 1PF 2的面积为________．答案：3解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .椭圆的长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，因为PF 1⊥PF 2，所以m ＋n ＝4且m 2＋n 2＝4，解得mn ＝6，所以△F 1PF 2的面积为12mn ＝3.2．直线与椭圆的位置关系：代数法．直线y ＝x ＋k 与椭圆x 2＋y 24＝1只有一个公共点，则k ＝________.答案：－5或 5解析：将y ＝x ＋k 代入x 2＋y 24＝1中，消去y ，得5x 2＋2kx ＋k 2－4＝0. 因为直线与椭圆只有一个公共点，所以Δ＝(2k )2－4×5(k 2－4)＝0，解得k ＝－5或 5.[典题3] (1)[2017·安徽淮南模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C的离心率为( )A.35B.57C.45D.67 [答案] B[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45，解得x ＝6，所以∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知，|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，所以c a ＝57.(2)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.33 B.36 C.13 D.16[答案] A[解析] 如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线．所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|. 由勾股定理，得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|，由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|，即a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|，即c ＝3|PF 2|2，则e ＝c a＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33. [题点发散1] [典题3](2)条件变为“若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35”，则椭圆的离心率为________．答案：57解析：∵cos α＝55⇒sin α＝255. sin(α＋β)＝35⇒cos(α＋β)＝－45.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝11525.设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.由正弦定理，得r 111525＝r 2255＝2c35，∴r 1＋r 221525＝2c35⇒e ＝c a ＝57.[题点发散2] [典题3](2)条件变为“P 到两焦点的距离之比为2∶1”，试求椭圆的离心率的取值范围．解：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ，根据椭圆定义可知3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ， ∴2a ≤6c ，即e ≥13.又0＜e ＜1，∴13≤e ＜1.故椭圆的离心率的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1. [题点发散3] [典题3](2)条件中方程变为“x 2＋2y 2＝2”，P 是该椭圆上的一个动点．求|PF 1→＋PF 2→|的最小值．解：将方程变形为x 22＋y 2＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2.[点石成金] 应用椭圆几何性质的两个技巧与一种方法 1．两个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．2．一种方法求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a ，c ，从而求解e ，通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e ，由已知条件得出a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率.1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案：33解析：由题意知，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：22解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A ，B 在椭圆上，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，则有x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，∴x1＋x 2x 1－x 2a2＋y1＋y 2y 1－y 2b2＝0，由题意知x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴2a 2＋－12×2b2＝0， ∴a 2＝2b 2，∴e ＝22.考点4 直线与椭圆的位置关系[考情聚焦] 直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题，主要以解答题的形式出现，考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力．主要有以下几个命题角度：角度一由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质[典题4] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求椭圆C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b 的值． [解] (1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca＝－2(舍去)．故椭圆C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.[点石成金] 解决此类问题的关键是依据条件寻找关于a ，b ，c 的关系式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆的几何性质．角度二由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质[典题5] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，短轴的下、上两个端点分别为 B 1，B 2，且FB 1→·FB 2→＝a .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km ＜0)与椭圆C 交于M ，N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且|AB |2|MN |＝4，问是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意可知，抛物线的焦点为(3，0)， ∴F (3，0)，FB 1→＝(－3，－b )，FB 2→＝(－3，b )， FB 1→·FB 2→＝3－b 2＝a ，又b 2＝a 2－3，解得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， ∴Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·Δ4k 2＋1＝41＋k 2·4k 2－m 2＋14k ＋1，令m ＝0，可得|AB |＝41＋k24k 2＋1. ∴|AB |2|MN |＝41＋k 24k 2－m 2＋1＝4，化简得 m ＝－3k 或 m ＝3k (舍去)， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3] ＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋3k 2＝1＋k 24m 2－44k 2＋1－24k 44k 2＋1＋3k 2 ＝11k 2－44k 2＋1＝2，解得 k ＝±2，故直线的方程为 y ＝2x －6或y ＝－2x ＋ 6.[点石成金] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).[方法技巧] 1.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[易错防范] 1.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案：A解析：设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋ym ＝1，由题意可知，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2和B (a,0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13.2．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案：63解析：由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63. 3．[2016·天津卷]设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a a －c，可得a 2－c 2＝3c 2，又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k ＋3，从而y B ＝－12k4k ＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k ＋3＋12ky H 4k ＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋9k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以，直线l 的斜率的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.课外拓展阅读利用转化与化归思想求圆锥曲线离心率的取值(范围)[典例] (1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，上顶点为B 2，右顶点为A 2，过点A 2作x 轴的垂线交直线F 1B 2于点P ，若|PA 2|＝3b ，则椭圆C 的离心率为________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．[审题视角] 求椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a ，b ，c 的一个关系式即可，若得到的关系式含b ，可利用a 2＝b 2＋c 2转化为只含a ，c 的关系式．[解析] (1)由题设知，|B 2O ||PA 2|＝|F 1O ||F 1A 2|＝b 3b ＝c a ＋c ＝13，则e ＝12.(2)依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝ac (注意到P 不与F 1F 2共线)，即|PF 2|2a －|PF 2|＝ac ，∴2a |PF 2|－1＝ca ， ∴2a|PF 2|＝c a ＋1>2aa ＋c，生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持即e ＋1>21＋e，∴(e ＋1)2>2. 又0<e <1，因此 2－1<e <1.[答案] (1)12(2)(2－1,1) 方法点睛离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．。

2018届高考数学总复习教学案：椭圆

椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质条件2a ＞2c ，a 2＝b 2＋c 2，a ＞0，b ＞0，c ＞0图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b ) 长轴顶点(0，±a ) 短轴顶点(±b,0)焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2) 离心率 e ＝ca ∈(0,1)，其中c ＝a 2－b 2 通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b 2a[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．椭圆的定义及标准方程典题导入[例1] (·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2.又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．以题试法1．(·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则(－3)24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.椭圆的几何性质典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF ·2PF 的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF ·2PF＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF ·2PF 的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝ca 或e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM ,|＝1，且PM ,·AM ,＝0，则|PM,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|AM,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM ,·AM,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM,|＝ |PA |2－|AM |2＝ |PA |2－1，∴当|PA ,|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM,|min ＝ 3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c 2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c－c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1. 答案：(1)3 (2)⎣⎡⎭⎫33，1直线与椭圆的位置关系典题导入[例3] (·安徽高考)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得 (3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，1MF ,·2MF ,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15，当P ，M ，F 2三点共线时取等号．答案：1510．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.11．(·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，F 为椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF ,＝λFN,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN ,⊥AF,；(2)若当λ＝1时，有AM ,·AN ,＝1063，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF ,＝(c －x 1，－y 1)，FN,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF ,＝FN,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 22b 2，∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)，∴x 1＝x 2，∴MN ,＝(0,2y 2)，AF ,＝(c ＋4,0)，∴MN ,·AF,＝0， ∴MN ,⊥AF ,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ，∴M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， ∴AM ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，b 2a ，AN ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM ,·AN ,＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063.(*) ∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.12．(·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2.又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB ＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|1MF ,|＝2|MO ,|＝2|2MF,|，则该椭圆的离心率为( )A.33 B.23 C.63D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0，并设|1MF ,|＝2|MO ,|＝2|2MF ,|＝2t ，根据勾股定理可知，|1MF ,|2－|1NF ,|2＝|2MF ,|2－|2NF ,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.2．(·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k ＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k ＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.1．(·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ① 把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧(2－x 0)2－2≠0，Δ＝8[(2－x 0)2＋y 20－2]>0，① 且k 1k 2＝y 20－2(2－x 0)2－2＝12. 由⎩⎨⎧x 2016＋y 2012＝1，y 20－2(2－x 0)2－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝⎛⎭⎫185，575 或⎝⎛⎭⎫185，－575. 3．(·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎫ 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·(1＋k 2)(x 1－x 2)2·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 2(2－m 2)，又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。

专题49 椭圆教学案-2018年高考数学理一轮复习资料含

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质高频考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2C.2 2D. 3(2)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________.解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.【举一反三】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．解析 (1)由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R ＞|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． (2)由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF →1⊥PF →2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9. ∴b ＝3.答案 (1)A (2)3规律方法椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．【变式探究】 (1)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3(2)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8，两式相加得|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝16，即△AF 1B 周长为16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10，所以第三边长度为16－10＝6.选A.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3，0)，C 2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1高频考点二求椭圆的标准方程【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4. ∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.(3)法一若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3×2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.答案 (1)x 216＋y 28＝1 (2)x 2＋3y 22＝1 (3)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1【方法规律】根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法．定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b .【举一反三】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________. 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ). 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k ＋（3）29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1【变式探究】(1)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1(2)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________.解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.高频考点三椭圆的几何性质例3、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 (1)A (2)A【举一反三】(1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2(2)(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案 (1)C (2)22(2)设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bc x 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca ，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a . 由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0＋c 2，y 02，kFQ ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎨⎧x 0＝c 2c 2－a 2a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 22c 2－a 22a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝ca ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22.【感悟提升】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．【变式探究】已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C 1的方程．解 (1)由题意可知，直线l 的方程为bx ＋cy －(3－2)c ＝0，因为直线l 与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1相切，所以d ＝|3c －3c ＋2c |b 2＋c 2＝1，化简得c 2＝b 2，即a 2＝2c 2，从而e ＝22.①当c ≥3时，(PM →·PN →)max ＝17＋2c 2＝49，解得c ＝4，此时椭圆方程为x 232＋y 216＝1； ②当0＜c ＜3时，(PM →·PN →)max ＝－(－c ＋3)2＋17＋2c 2＝49，解得c ＝±52－3.但c ＝－52－3＜0，且c ＝52－3＞3，故舍去．综上所述，椭圆C 1的方程为x 232＋y 216＝1. 考点四直线与椭圆的位置关系【例4】(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(1)证明因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83).【举一反三】如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e . 解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±ac a 2－2b 2， y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b4c 2. ＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此 e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝2－22＋2－12＝9－62＝6－ 3.【变式探究】 (2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k x －1，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k x 1－1＋x 1－3－k x 2－1x 1－2－3－x 2x 1－23－x 2x 1－2＝k －1[－x 1x 2＋2x 1＋x 2－3]3－x 2x 1－2＝k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－33－x 2x 1－2＝0所以k BM ＝1＝k DE ，所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行．高频考点五椭圆的离心率问题例5、(1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 (2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析 (1)如图，设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.(2)直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a . ∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －－c ＝－b 2a2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a ，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c ＝3b 22ac . 由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1， ∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3－323＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.答案 (1)A (2)33【感悟提升】离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．【方法技巧】1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便． 3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca 求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．1.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A2.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则OBN FBM △∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c)k a ak a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ．3.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲ .【解析】由题意得,),C(,),22b b B ，因此22222)()0322b c c a e -+=⇒=⇒=4.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.5.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 6.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++.由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .7.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）22221a k a k +（II）0e <≤．【解析】（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k xa kx ++=，故10x =，222221a kx a k=-+．因此2122221a kAP x a k=-=+ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =，2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a ==0e <≤．8.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk -=+，故1AM x =+=由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <.因此k 的取值范围是).9.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>），(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.10.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.（II ）由已知可设直线l ' 的方程为1(0)2y x m m =+≠，有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（222,133m m-+ ），2289P T m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得m <<.由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅.1.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。

2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破椭圆

考点四十二椭圆知识梳理1．椭圆的观点把平面内到两个定点 F 1， F 2的距离之和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的会合叫作椭圆．这两个定点 F 1， F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F 1， F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用会合语言表示以下：P＝ { M||MF 1|＋ |MF 2|＝ 2a} ， |F 1F 2|＝ 2c，此中 a>0， c>0，且 a， c 为常数．在椭圆定义中，特别重申到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F2|时，动点的轨迹是线段F1F 2；当到两定点的距离之和小于|F1 F2 |时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质x2y2y2x2标准方程a2＋b2＝ 1a2＋b2＝ 1( a>b>0)( a>b>0)图形范围－ a≤ x≤a－ b≤ x≤b－ b≤ y≤b－ a≤ y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点极点A1(－a,0)， A2(a,0)A1 (0，－ a)， A2(0， a)B1(0，－ b)， B2(0， b)B1(－b,0)， B2(b,0)性质轴长轴 A1A2的长为2a；短轴 B1B2的长为 2b焦距|F 1F2|＝ 2c离心率e＝c∈ (0,1)aa，b， cc2＝ a2－ b2的关系说明：当焦点的地点不可以确准时，椭圆方程可设成Ax2＋ By2＝1 的形式，此中A， B 是不相22等的正常数，或设成x2y22≠n2m＋n＝ 1(m) 的形式．3．点 P(x0， y0)和椭圆的关系22x0y0(1) 点 P(x0， y0)在椭圆内 ? a2＋b2<1.x 20y 20(2) 点 P(x 0， y0)在椭圆上 ? a 2＋b 2＝ 1.22 x 0 y 0(3) 点 P(x 0， y 0)在椭圆外 ? a 2＋b 2>1.3．椭圆的焦点三角形相关结论椭圆上一点与两焦点所组成的三角形称为焦点三角形，与之相关的常用结论有：(1)|PF 1 |＋ |PF 2|＝ 2a ；(2)4c 2＝ |PF 1|2 ＋ |PF 2|2－ 2|PF 1| ·|PF 2|cos θ； (此中， θ＝∠ F 1 PF 2)(3) 当 P 为短轴端点时， θ最大．(4) S △PF F1|PF 1||PF 2|sin θ＝ sin θ 22θ ＝ ·b＝ b tan ＝ c ·|y 0|.1 221＋ cos θ 2当 y 0＝ ±b ，即 P 为短轴端点时， S △ PF 1F2 有最大值为 bc.(5) 焦点三角形的周长为 2(a ＋c) ．4．椭圆中的弦长公式(1) 若直线 y ＝ kx ＋ b 与椭圆订交于两点A(x 1 ，y 1 )， B(x 2，y 2)，则21|AB|＝ 1＋ k |x 1－ x 2|＝1＋2|y 1－ y 2|.k(2) 焦点弦 (过焦点的弦 ) ：最短的焦点弦为通径长2b 2，最长为 2a.a5．椭圆中点弦相关的结论2 2xyAB 为椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的弦， A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，弦中点 M (x 0， y 0)． (1)b 2x 0斜率： k ＝－ 2 .a y 02b(2) 弦 AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值－a 2.典例分析题型一椭圆的定义和标准方程例 1(1) 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 1，则 C 的方程是 ________．222(2) 设 P 是椭圆 x ＋y＝1 上的点，若 F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点，则△ PF 1F 2 的周长为2516________．答案(1) x 2 ＋ y 2＝ 1(2) 164 3c 1222x 2 y 2分析 (1)由题意知 c ＝ 1，e ＝a ＝ 2，因此 a ＝ 2，b ＝ a － c ＝ 3.故所求椭圆方程为 4 ＋3＝1.(2) △ PF 1F 2 的周长为 |PF 1|＋ |PF 2|＋ |F 1F 2|＝ 2a ＋ 2c ＝ 10＋6＝ 16.变式训练已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1( 6， 1)，P 2( － 3，－ 2) ，则椭圆的方程为 ________．答案x 2 ＋ y 2＝ 19 3分析设椭圆方程为 mx 2＋ ny 2＝ 1(m>0， n>0，且 m ≠ n)．∵椭圆经过 P 1， P 2 两点，∴ P 1， P 2 点坐标合适椭圆方程，6m ＋ n ＝ 1， ①则3m ＋2n ＝ 1，②1m ＝ 9，22①②两式联立，解得1∴所求椭圆方程为 x ＋ y＝ 1.9 3n ＝3.解题重点1.求解椭圆标准方程一般用待定系数法，假如能确立焦点地点，则设标准方程为2 22 2xyyx22a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)或 a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)，若焦点地点不明确，可设椭圆的方程为Ax ＋ By＝ 1(A ＞ 0，B ＞ 0， A ≠ B)．2.若 P 是椭圆上一点，则由椭圆定义可知， |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ，从而△ PF 1F 2 的周长为 |PF 1|＋|PF 2|＋ |F 1F 2|＝ 2a ＋2c ．题型二二次方程表示椭圆的条件例 2“ 2<m<6”是“方程x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示椭圆”的 ________条件m － 2 6－ m答案必需不充足条件若 x 2y 2m － 2>0，分析＋＝ 1 表示椭圆．则有6－ m>0，m － 2 6－ mm － 2≠6－ m ，∴ 2< m<6 且 m ≠ 4.22故“ 2<m<6”是“x＋y＝ 1 表示椭圆”的必需不充足条件． m －2 6－m变式训练若方程x 2 ＋ y 2＝ 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 ________．5－ k k － 3答案 (3， 4)∪ (4，5)5－ k>0分析由已知得k － 3>0，解得 3<k<5 且 k ≠4.5－ k ≠ k － 3A＞ 0解题重点对于 x,y 的二次方程表示Ax2＋ By2＝1 表示椭圆，则需系数知足B＞ 0 ．A≠ B题型三椭圆的几何性质2 2例 3 已知椭圆xa2＋yb2＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰巧均分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案3－ 1分析设过左焦点 F1的正三角形的边交椭圆于A，则 |AF1|＝ c，|AF 2|＝3c，有 2a＝ (1＋3)c，∴e＝c＝2＝ 3－1.a1＋ 322＝ 1 的离心率为4，则 k 的值为 ________．变式训练椭圆x＋y94＋ k5答案－19或 21 25分析若 a2＝9， b2＝ 4＋ k，则 c＝5－ k，由c＝4，即5－ k4，得 k＝－19；＝a53525若 a2＝ 4＋ k， b2＝ 9，则 c＝ k－ 5，由c＝4，即k－54，解得 k＝ 21.＝a54＋ k5解题重点椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 (或离心率的取值范围 )有两种方法：c(1)求出 a， c 代入公式 e＝a；(2)只要要依据一个条件获得对于a，b，c 的齐次式，联合 b2＝ a2－ c2转变为 a，c 的齐次式，而后等式 (不等式 )两边分别除以 a 或 a2转变为对于 e 或 e2的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )．需要注意的是，若焦点地点未指明在x 轴仍是 y 轴，则应进行议论．题型四直线与椭圆的地点关系22例 4过椭圆x＋y＝1的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于A，B 两点， O 为坐标原5 4点，则△ OAB 的面积为 ________．5答案3分析由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为 (1， 0)，则直线 AB 的方程为 y ＝ 2x －2.22x＋ y＝ 1 联立54，解得交点A(0，－ 2)， B(5， 4)，3 3y ＝ 2x －2∴S △ OAB ＝ 1· |OF |· |y A － y B |＝ 1× 1×|－ 2－ 4|＝ 5 .2 23 3 变式训练已知椭圆 x2＋ y 2＝1 以及椭圆内一点 P(4,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率36 9为________．答案－ 12分析设弦的端点 A(x 1 ， y 1 )， B(x 2， y 2)，2 2x 1y 1则 x 1 ＋x 2＝ 8， y 1＋ y 2＝ 4，36＋ 9 ＝1，两式相减，x 22＋ y 22＝1， 36 91＋ x 2 x 1－ x 2 y 1＋ y 2 y 1－ y 2x ＝ 0，得 36 ＋ 92 x 1－ x 2 4 y 1－ y 2 y 1－ y 21.∴ 9 ＝－ 9，∴ k ＝＝－ x 1－ x 2 2说明：此题也能够直接利用结论：k ＝－ b 2x 09× 41a 2 ＝－＝－ .y 0 36× 2 2解题重点直线与圆锥曲线的地点关系问题，一般能够直接联立方程， “设而不求”，把方程组转变成对于 x 或 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．同时，还应记着一些常用结论：(1)中点弦斜率： k ＝－b 2x 02b 2 2 .； (2)最短的焦点弦为通径长，最长为 2a.a y 0 a21(3) 弦长公式 |AB|＝ 1＋ k |x 1－ x 2|＝1＋k 2|y 1－ y 2|.当堂练习x 2 y 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F 1、 F 2，离心率为3 1．已知椭圆 C ： 2＋ 2，过 F 2 的直线 l 交ab3C 于 A 、 B 两点．若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ________．x 2 y 2答案 3 ＋2 ＝ 1分析由 e ＝ 3，得 c ＝3① .又△ AF 1B 的周长为 4 3，由椭圆定义，得 4a ＝ 4 3，得 a ＝ 3，3a3代入①得 c ＝1，22∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ 2，故 C 的方程为 x＋ y＝ 1. 322． (2015 新课标Ⅰ文 )已知椭圆 E 的中心在座标原点，离心率为1， E 的右焦点与抛物线 C ：2y 2＝ 8x 的焦点重合， A ，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|等于 ________．答案 6分析c 1 2＝8x 的焦点为 (2,0) ，因此 c ＝2， a ＝ 4，故椭圆方程为 x 2 ＋ y 2因为 e ＝＝，y16 ＝ 1，a 212 将 x ＝－ 2 代入椭圆方程，解得y ＝ ±3，因此 |AB|＝ 6.x 2 y 23. 椭圆 Γ：a 2 ＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，焦距为 2c.若直线 y ＝ 3(x ＋ c)与椭圆 Γ的一个交点 M 知足∠ MF 1F 2＝2∠ MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 __________ ．答案3－ 1分析∵直线 y ＝3(x ＋ c)过左焦点 F 1，且其倾斜角为60°，∴∠ MF 1F 2＝ 60°，∠ MF 2F 1＝ 30°，∴∠ F 1MF 2＝ 90°，即 F 1M ⊥ F 2M.∵ |MF 1 |＝ c ， |MF 1|＋ |MF 2|＝2a ，∴ |MF 2 |＝ 2a － c.∵ |MF 1 |2＋ |MF 2 |2＝ |F 1 F 2 |2.∴ c 2＋ (2a － c)2＝ 4c 2，即 c 2＋2ac － 2a 2＝ 0.∴ e 2＋2e － 2＝ 0，解得 e ＝ 3－1.2 2m 的值为 ________．4．椭圆 x ＋ my ＝ 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则答案14分析将原方程变形为2 y 2 212x ＋＝ 1，由题意知a ＝， b ＝ 1，1 mm∴a ＝1， b ＝ 1.∴1＝ 1m 2，∴ m ＝ .m45．已知 △ABC 中， A 、 B 的坐标分别为 (2,0)和 (－ 2,0)，若三角形的周长为 10，则极点 C 的轨迹方程是 ________．答案x 2 ＋ y 2＝ 1(y ≠ 0)95分析点 C到两个定点A 、B 的距离之和为 6,6>4 ，故所求点C 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的22椭圆，此中2a ＝ 6,2c ＝ 4，则b 2 ＝ 5.因此极点C 的轨迹方程为 x ＋ y＝ 1，9 5又 A 、 B 、 C 三点不共线，即y ≠ 0.课后作业一、填空题22x ＋y21． (2015 广东文 )已知椭圆 25 m ＝ 1(m>0) 的左焦点为 F 1(－ 4,0)，则 m 等于 ________．答案 3分析由题意知 25－ m 2＝ 16，解得 m 2＝ 9，又 m>0，因此 m ＝ 3.22x ＋ y＝ 1 有同样焦点的椭圆的方程为________．2．过点 A(3，－ 2)且与椭圆 9422答案x＋ y＝ 11510分析由题意得 c 2＝ 9－ 4＝ 5，又已知椭圆的焦点在x 轴上，224＝ 1，故所求椭圆方程可设为x＋ y＝1( λ＞ 0)，代入点 A 的坐标得 9 ＋λ＋ 5λλ＋ 5 λ解得 λ＝ 10 或 λ＝－ 2(舍去 )．故所求椭圆的方程为x 2＋ y 2＝ 1.15 10x 2 ＋ y 2＝ 1 的离心率，且 e ∈ (1， 1)，则实数 k 的取值范围是 ________．3．设 e 是椭圆 4 k2答案(0,3)∪ (16，＋∞ )3当 k>4 时， c ＝k －4，由条件知 1k － 4 16分析4<k <1，解得 k> 3 ；当 0<k<4 时， c ＝ 4－ k ，由条件知 1<4－ k<1，解得 0< k<3. 4422x ＋ y＝ 1 的焦距等于 2，则 m 的值为 ________．4．椭圆 m 4 答案 5 或 3分析当 m ＞ 4 时， m － 4＝ 1，m ＝ 5；当 m ＜ 4 时， 4－ m ＝ 1， m ＝ 3.225．若椭圆 x ＋ y2＝ 1 过点 (－ 2，3)，则其焦距为 ________．16 b 答案4 34 322分析 ∵椭圆过 (－ 2，3)，则有 16＋ b 2＝ 1，b ＝4， c ＝ 16－4＝ 12， c ＝2 3， 2c ＝ 4 3.6．已知斜率为－1的直线 l 交椭圆x2y2P(2,1)是 AB 的2C：2＋ 2 ＝1(a>b>0)于A，B两点，若点a b中点，则 C 的离心率等于 ________．答案3 2分析k AB＝－11b211)＝－b2b21 2， k OP＝，由 k AB·k OP＝－2，得×(－a2.∴ 2＝ .2a22a4∴e＝c＝21－b23a a＝2.227．设F 1， F 分别是椭圆 C：x2y2P 在椭圆 C 上，线段 PF1 2a＋b＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，点的中点在 y 轴上，若∠ PF 1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案3 3分析设 PF 1的中点为 M，连结 PF2，因为 O 为 F1F 2的中点，则 OM 为△ PF 1F 2的中位线，因此 OM∥PF2.因此∠ PF2F 1＝∠ MOF 1＝ 90°.因为∠ PF1F 2＝ 30°，因此 |PF 1|＝ 2|PF2|.由勾股定理，得|F 1F2|＝ |PF 1|2－ |PF 2|2＝ 3|PF 2|.由椭圆定义，得 2a＝ |PF 1|＋ |PF2|＝3|PF 2|?3|PF2|3|PF 2| a＝2， 2c＝ |F1 F2|＝ 3|PF2|? c＝2.因此椭圆的离心率为 e＝c＝3|PF2|·2＝3. a23|PF2 |322x y8． (2015 福建文 )已知椭圆E：a2＋b2＝ 1(a＞b＞ 0)的右焦点为 F ，短轴的一个端点为M，直线 l ：3x－ 4y＝ 0 交椭圆 E 于 A，B 两点．若 |AF|＋ |BF |＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于4，5则椭圆 E 的离心率的取值范围是________．3答案0，2分析左焦点 F 0，连结 F 0A，F 0B，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF|＋ |BF|＝ 4，∴ |AF|＋ |AF0|＝ 4，∴ a＝ 2.设 M(0 ，b)，则4b≥4，∴ 1≤b＜ 2.5 5c c2a2－ b24－ b23离心率 e＝a＝a2＝a2＝4∈ 0， 2.x2119．椭圆2________．＋ y ＝ 1的弦被点 (， ) 均分，则这条弦所在的直线方程是222答案2x＋4y－ 3＝ 0分析设该弦与椭圆订交于点A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则由点 (1，1)均分弦 AB 可得 x1＋ x2＝ 1，22y1＋ y2＝ 1，再将点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程后作差可得k AB＝－1，而后依据点斜式2方程可求得直线AB 的方程为2x＋ 4y－ 3＝ 0.2x210．已知△ ABC 的极点 B、 C 在椭圆＋y＝1上，极点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ ABC 的周长是 ________．答案43分析如图，设椭圆的此外一个焦点为F，则△ ABC 的周长为 |AB|＋ |AC|＋ |BC|＝(|AB|＋ |BF|)＋ (|AC|＋ |CF |)＝ 4a＝ 4 3.11．设 F1、F2分别是椭圆x2＋ y2＝ 1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F1P 的中点， |OM| 2516＝3，则 P 点到椭圆左焦点距离为________．答案4分析∵ |OM|＝ 3，∴ |PF 2|＝ 6，又 |PF1|＋ |PF2 |＝ 10，∴ |PF1 |＝ 4.二、解答题12．(2015安徽文)设椭圆 E 的方程为x2y2a2＋ b2＝ 1(a>b>0) ，点O 为坐标原点，点 A 的坐标为5(a,0)，点 B 的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，知足 |BM|＝ 2|MA|，直线 OM 的斜率为10 .(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为 (0，－ b)，N 为线段 AC 的中点，证明： MN ⊥ AB.分析(1) 解由题设条件知，点M 的坐标为21b，又 k OM＝5，从而b＝5. a，33102a10从而 a＝ 5b， c＝ a2－ b2＝2b，故 e＝c＝2 5.a5a b→a5b(2) 证明由 N 是 AC 的中点知，点N 的坐标为2，－2，可得 NM ＝6， 6 ，→又AB ＝(－a， b)，→ →1 2 52122从而有 AB·NM ＝－ a ＋b＝ (5b－ a )．666由(1) 的计算结果可知a2＝ 5b2，→ →因此 AB·NM＝ 0，故 MN ⊥ AB.13．(2015 北京文节选 ) 已知椭圆 C：x2＋ 3y2＝ 3，过点 D (1,0)且可是点E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x＝ 3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；2x2分析(1)椭圆 C 的标准方程为＋y＝1，因此a＝3，b＝ 1， c＝ 2.因此椭圆 C 的离心率 e＝c＝6 a 3.(2) 因为 AB 过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴，因此可设A(1，y1)， B(1，－ y1)，直线 AE 的方程为 y－ 1＝ (1－y1 )(x－ 2)，令 x＝ 3，得 M (3,2－ y1) ，因此直线 BM 的斜率 k BM＝2－ y1＋ y1＝ 1.3－ 1。

专题38椭圆-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍（原卷版）

专题38椭圆-2018年⾼考数学（理）热点题型和提分秘籍（原卷版）专题38 椭圆2018年⾼考数学（理）热点题型和提分秘籍1．掌握椭圆的定义、⼏何图形、标准⽅程及简单⼏何性质(范围、对称性、顶点、离⼼率)。

2．了解椭圆的简单应⽤。

3．理解数形结合的思想。

热点题型⼀椭圆的定义及其标准⽅程例1、 (1)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的⾯积为( ) A ．30 B ．25 C ．24 D ．40(2)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆⼼M 的轨迹⽅程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 【提分秘籍】椭圆定义的应⽤技巧(1)椭圆定义的应⽤主要有：求椭圆的标准⽅程，求焦点三⾓形的周长、⾯积及弦长、最值和离⼼率等。

(2)通常定义和余弦定理结合使⽤，求解关于焦点三⾓形的周长和⾯积问题。

学@科⽹(3)当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )。

【举⼀反三】椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，⼀个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3 D ．4热点题型⼆椭圆的⼏何性质例2、 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离⼼率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的⽅程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离⼼率的取值范围是________。

2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第10章

第十章圆锥曲线考点1 椭圆及其性质1.(2016·新课标全国Ⅰ，5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.341.解析如图,由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt△OFB 中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb ＝a·12b,代入解得a2＝4c2,故椭圆离心率e ＝c a ＝12，故选B. 答案 B2.(2016·新课标全国Ⅲ，12)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.342.解析设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.答案 A3.(2015·广东，8)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A.2B.3C.4D.9 3.解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3. 答案 B4.(2015·福建，11)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，14.解析左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A. 答案 A5.(2014·大纲全国，9)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝15.解析由已知e ＝ca ＝33，又△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝2a ＋2a ＝43，解得a ＝3，故c ＝1，b ＝a 2－c 2＝2，故所求的椭圆方程为x 23＋y 22＝1，故选A.答案 A6.(2015·浙江，15)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________.6.解析设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ ＝y 0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c·bc＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c （2c 2－a 2）a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2（2c 2－a 2）2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝ca，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 答案 227.(2014·江西，14)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________. 7.解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －（－c ）＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去). 答案 338.(2015·新课标全国Ⅱ,20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.8.解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.9.(2015·安徽，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 9.(1)解由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6，又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .10.(2015·陕西，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，-1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.10.(1)解由题设知c a ＝22,b ＝1,结合a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝2,所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.11.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围.11.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ，于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ＜43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13.进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.12.(2014·新课标全国Ⅱ，20)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .12.解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28,故a ＝7,b ＝ 2 7.13.(2014·四川，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.13.解 (1)由已知可得，ca ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6. 又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m .解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3.14.(2014·安徽，21)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |. (1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率.14.解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k ).化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形.从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.考点2 双曲线1.(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝11.解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.答案 A2.(2015·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D.x 2－y 23＝12.解析双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.答案 D3.(2015·湖南，6)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.533.解析由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3b a＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2，∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.答案D4.(2015·四川，7)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B.2 3C.6D.4 34.解析右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2，23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3. 答案 D5.(2015·重庆，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.±12B.±22C.±1D.± 25.解析双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则2A C k ＝b 2ac ＋a ，1A B k ＝b 2aa －c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有1A B k ·2A C k ＝－1，即b 2ac ＋a ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1. 答案 C6.(2015·湖北，9)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A.对任意的a ，b ，e 1<e 2B.当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C.对任意的a ，b ，e 1>e 2D.当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 6.解析e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m a ＋m，即e 1<e 2.故选B. 答案 B7.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A.2B.62 C.52D.1 7.解析由双曲线方程知b 2＝3，从而c 2＝a 2＋3，又e ＝2，因此c 2a 2＝a 2＋3a 2＝4，又a >0，所以a ＝1，故选D.答案 D8.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B.15 C.4 D.178.解析根据双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a .又(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，所以4a2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0，又a ＋b ≠0，所以b ＝4a ，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋42＝17.答案 D9.(2014·广东，8)若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9.解析若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等.故选D. 答案D10.(2014·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝110.解析由题意可得b a＝2，c ＝5，所以c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，则所求双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案 A11.(2014·江西，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝111.解析设双曲线的右焦点为F ，则F (c ，0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝bax ，得y ＝b ，则A (a ，b ).由|FA |＝r ＝4，得（a －4）2＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案 A12.(2016·北京，12)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.12.解析由2x ＋y ＝0得y ＝－2x ，所以b a＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2. 答案 1 213.(2016·山东，14)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________. 13.解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2=c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0,两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2-3c a-2=0,即2e 2-3e -2＝0,解得e =2.答案 214.(2016·浙江，13)设双曲线x 2－y 23＝1的左、焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.14.解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)15.(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为______________.15.解析由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案 x 24－y 2＝116.(2015·北京，12)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.16.解析由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3. 答案 317.(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________. 17. 解析设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.答案 12 618.(2015·山东，15)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________.18.解析把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b ).又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c ，0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b a.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca＝2＋ 3. 答案 2＋ 3考点3 抛物线1.(2016·新课标全国Ⅱ，5)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32D.21.解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF ⊥x 轴知,|PF |＝2,所以P 点的坐标为(1,2),代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2,故选D. 答案D2.(2016·四川，3)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A.(0，2)B.(0，1)C.(2，0)D.(1，0)2.解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴y 2＝4x ，则为(1，0).答案 D3.(2015·陕西，3)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A.(－1,0)B.(1,0)C.(0，－1)D.(0,1)3.解析由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0，故选B. 答案 B4.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A.3 B.6 C.9 D.124.解析因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6. 答案 B5.(2014·新课标全国Ⅱ，10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B.6C.12D.7 3 5.解析抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，故选C.答案 C6.(2014·安徽，3)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A.y ＝－1B.y ＝－2C.x ＝－1D.x ＝－26.解析由y =14x 2得x 2=4y ,焦点在y 轴正半轴上,且2p ＝4,即p ＝2,因此准线方程为y =-p 2=-1.故选A. 答案 A7.(2014·四川，10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728D.107.解析如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2，0).S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 B8.(2014·辽宁，8)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.－43B.－1C.－34D.－128.解析由点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2，0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 答案 C9.(2014·新课标全国Ⅰ，10)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A.1 B.2 C.4 D.89.解析由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.答案 A10.(2014·上海，4)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________.10.解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0)，∴p2＝2，即抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案 x ＝－211.(2014·湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等.若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________.11.解析设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0. 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)12.(2016·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.12.解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.13.(2016·浙江，19)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1. (1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.13.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0.故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).14.(2015·浙江，19)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.14.解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t ，因此，点A 的坐标为(2t ，t 2).设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2.因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0，点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2，设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t32.15.(2015·福建，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.15.方法一(1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22).由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 法二 (1)同法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2,m )在抛物线E ：y 2＝4x 上,所以m ＝±22,由抛物线的对称性,不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.16.(2014·浙江，22)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →. (1)若|PF →|＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值.16.解 (1)由题意知焦点F (0,1),准线方程为y ＝-1.设P (x 0,y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1,得到y 0＝2,所以P (22，2)或P (－22，2).由PF →＝3FM →，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 中点M 的坐标为(2k ，2k 2＋m ).由PF →＝3FM →，得(－x 0，1－y 0)＝3(2k ，2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415.由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43.又因为|AB |＝41＋k2k 2＋m ，点F (0，1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2.所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜m ≤43.令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.17.(2014·福建，21)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.17.解方法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等. 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0，3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3.半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变. 方法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1，化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一.考点4 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2015·四川，10)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)1.解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积. (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.2.解 (1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0,由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0,解得y＝0或y ＝127,所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8,则k 是f (t )的零点,f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0,所以f (t )在(0,＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.3.(1)证明由题设F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF ＝12|b -a |·|FD |＝12|b -a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12,S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y .所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.4.(2016·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.4.(1)解由椭圆过点A (2，0)，B (0，1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝32.(2)证明设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB 方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2，0)得直线PA 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 即四边形ABNM 的面积为定值2.5.(2016·山东，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值.5.(1)解设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0).由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).直线PA 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62.6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.6.解 (1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1,解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2). 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.7.(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.。

2018高考数学一轮复习椭圆精品优选公开课件

儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.
例1、（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，
考点2 椭圆的焦点三角形
椭圆的第一定义（焦点三角形）
P F 1P F 22a(2a2c)
应用
P
(1)求轨迹； (2)求方程； (3)求e.
F1
F2
椭圆焦点三角形中的规律：
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)三角形的三个边长是|PF1|= a+ex0, |PF2|= a-ex0,
《新坐标》P22 例1（2）
32011年江西高考若椭圆ax22
+ y2 b2
=1的焦点在x轴上，
过点(1， 1)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线 2
AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
__x 2__ _y_2__． 1 54

2018高考数学文科一轮复习讲义 13.1 第一节椭圆

第十三板块选修1-1 第二章圆锥曲线与方程【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:本节主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，在新课标高考中，客观题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用, 以圆锥曲线与二次方程的关系及其几何性质的探究作为命题源，展示圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，从而考查考生对解析几何的基本思想──运用代数方法研究几何问题的思想的掌握程度，增强数学应用的意识，提高数学建模的能力. 解答题常作为把关题或压轴题综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,考查考生独立钻研的习惯，克服困难的意志和毅力，以及对数学问题锲而不舍的钻研精神和科学态度，培养考生的运动变化和相互联系的辩证唯物主义观点.命题趋向:圆锥曲线问题的几大热点如下：1互化问题.曲线的参数方程与普通方程的互化解题,关键是抓住互化的等价性，预测新高考中不会出大题及难题.2圆维曲线基础题.主要是指考查下述问题：①圆锥曲线的两种定义、标准方程、焦点、常见距离及其a、b、c、e、p五个参数的求解；②讨论圆锥曲线的几何性质；③曲线的交点问题，即直线与二次曲线和两圆的交点问题；④圆锥曲线的对称性，一是曲线自身的对称性；二是曲线间的对称性.3.轨迹问题.曲线轨迹问题的探求在高考中出现频率极高，主要有三种类型：①曲线形状未定其方程如何求？②曲线形状已知，其方程如何求?③由曲线方程如何讨论形状,此类问题解题步骤通常是通过建立坐标系，设动点的坐标，依题意设条件，列出等式、代人化简整理即得曲线的轨迹方程．基本方法有：直译法、定义法、代人法、交轨法、几何法、参数法、极坐标法.4.范围问题.解析几何问题中参数范围是近年高考又一个命题热点．其解法通常依据题设条件建立含有参变量的函数关系式或不等式．然后确定参数的取值范围基本方法：定义法、函数法、方程法、不等式法及几何法等.5.位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容常涉及直线与曲线交点的判定、弦长、对称、共线等问题其解法为充分利用解析几何知识以及韦达定理、方程思想等.6.最值问题.解析几何中的最值问题，是从动态角度去研究数学问题的主要内容，因而倍受高考命题组的青睐.其解法通常是依题设条件，建立目标函数，然后再用最值方法来处理.状元心得:学好本节的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题，在复习过程中要做到：(1)搞清概念（新概念定义应“咬文嚼字”）；(2)熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；(3)熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；(4)处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.学科知识体系结构图:第一节椭圆【考点点知】知己知彼，百战不殆椭圆是圆锥曲线中最重要、最基本的曲线．文科要求：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．理科要求：掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．从以上要求可以看出：新课标淡化了双曲线与抛物线部分的要求，实际上是间接加强了对椭圆部分的要求，所以复习时应加强对椭圆的定义、性质等基础知识的复习，并在此基础上作适当的深化训练．考点一: 椭圆的的概念 1.平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于｜F 1F 2｜）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点；两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.2.方程12222=+b y a x (a ＞b ＞0)和12222=+bx a y (a ＞b ＞0)叫做椭圆的标准方程.3.椭圆的标准方程中a 、b 、c 之间的关系是a 2=b 2+c 2.4.动点M 与定点F （c ,0）的距离和它到定直线l ：x =c a 2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则动点M 的轨迹是椭圆，定直线l 叫做椭圆的准线.准线与长轴所在的直线所夹的角为90°.考点二: 椭圆的几何性质1.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上的点中，横坐标x 的取值范围是－a ≤x ≤a ,纵坐标y 的取值范围是－b ≤y ≤b .2.椭圆关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.椭圆2222b y a x +=1的四个顶点坐标是(±a ,0),(0,±b ).4.在椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)中，A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)、B 1(0,－b )、B 2(0,b )，线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴、短轴，在Rt △OB 2F 2中，｜OF 2｜2=｜B 2F 2｜2－｜OB 2｜2,这就是c 2=a 2－b 2的几何意义.△OB 2F 2叫做椭圆的特征三角形，并且cos OF 2B 2是椭圆的离心率.5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E , r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex7.椭圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （a >b >0,θ为参数）中，椭圆的长轴长是2a ,椭圆的短轴长是2b .8.在方程2222b y a x +=1中，令ax=cos θ,即x =a cos θ,则y =±b sin θ.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础²2007西城区抽样)椭圆θθθ(sin 4cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数）的标准方程是，它的一个焦点到其相应准线的距离是 .xy思路透析:由椭圆参数方程可得椭圆的标准方程为2212516x y +=. 取其右焦点(3,0) ,则其对应的右准线为253x =,右焦点到右准线的距离为2516333-=. 点评:本题考查了椭圆的参数方程与椭圆的标准方程间的互化,椭圆基本量的公式应用.参数思想方法是新大纲加强的一个方向,椭圆的参数方程及其深入的研究是圆锥曲线问题考查的一个方向.例2.(基础²2006连云港二模)我国发射的“神州六号”的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m 千米，远地点距地面为n 千米，地球半径为R 千米，关于此椭圆轨道，有以下三种说法：①长轴长为R m n 2-+千米；②焦距为m n -千米；③ 短轴长为))((2R n R m ++千米．其中正确的说法有 ( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．② 思路透析:由已知可得m R a c +=-, n R a c +=+,则长轴长为2n m R ++千米;焦距为m n -千米, 短轴长为))((2R n R m ++千米．故应选C.点评:作出“神州六号”的运行轨道是以地球的模拟图,根据椭圆的定义一一判断其正确性.近地点与远地点的概念需要找准确,根据其关系式求出椭圆的基本量,再由基本量去加以求解椭圆的各个几何参量的值,这是椭圆基本概念题的通法.例3.(综合²2007上海春季)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为21F F 、．过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C相交，其中一个交点为()1M．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积．思路透析:（Ⅰ）解法一：x l ⊥ 轴，∴2F的坐标为)0．由题意可知 2222211,2,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 得224,2.a b ⎧=⎨=⎩∴所求椭圆方程为22142x y +=．解法二：由椭圆定义可知122MF MF a +=．由题意21MF =，∴121MF a =-．又由Rt △21F MF可知(22(21)1a -=+，0a >，∴2a =，又222a b -=，得22b =．∴椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）直线2BF的方程为y x =由221,42y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得点N的纵坐标为3.又12F F =11823F BNS ∆=⨯⨯=⎭. 点评:通过基本量的关系可以直接求椭圆的方程,也可以通过椭圆的定义及其几何特征求解椭圆的方程.三角形的面积可以利用底乘以高(点的纵坐标)求解.本题以椭圆标准方程基本量的求解为起点,以直线与椭圆位置关系为命题方向,考查了考生对圆锥曲线问题解析法的思想掌握情况及分析问题与解决问题的能力.例4.(综合²2007山东卷理科21文科22)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．思路透析:（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，．联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，，又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x =--- ．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点评:考生多求得了两个定点坐标(20)，、207⎛⎫ ⎪⎝⎭，,忽视了直线与椭圆相交的位置关系为前提,失去了检验最佳机会.要直线与圆锥曲线的位置关系的判断中,要注意直线方程与椭圆方程联立,通过判别式来确定参数的取值范围,对解题中间过程中所得的结论要能够及时的反思与检验.例5.(创新探究²2007广东卷理科18文科19)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．思路透析:(Ⅰ) 设圆C 的圆心为 (m, n)则,m n n =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为22(2)(2)8x y ++-= (Ⅱ) 由已知可得 210a =,解之得5a =椭圆的方程为221259x y +=,右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q点()2,2θθ-++使QF OF =,4=整理得 sin 3cos θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+=得: 210cos70θθ++=,cos 1θ==<-因此不存在符合题意的Q 点.点评:不少考生忽视了余弦值的最后判断,解得了余弦值即下结论“点Q 存在”.部分考选择了直接设圆上的点坐标,运算时较大,过程较复杂,平时解题训练中,对解题策略选择上要能够在解题前进行优化,使解题过程少走弯路.例6.(创新探究²2007黄冈3月模)设椭圆的方程为2222ny m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，（Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ；（Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最大值u ；（Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围.思路透析:（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 2222n ym x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜2π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝θθ22222tan tan 4m n n m +．（Ⅱ）S ＝θθtan tan 42222m nn m +．（1）当m >n ，即mn ＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22m n 时等号成立，所以mn mnn m m n n m S224tan tan 4222222=≤+=θθ．由于0＜θ≤4π，0＜tan θ≤1，故tan θ＝mn得u ＝2mn ．（2）当m <n ，即mn >1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4π，由于)tan tan ()tan tan (12122222θθθθn m n m +-+21221212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．因为0＜tan θ1＜tan θ2≤1，m 2tan θ1tan θ2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2tan θ2＋22tan θn ）－（m 2tan θ1＋12tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθtan tan 42222m n n m +是θ的增函数，故取θ＝4π，即tan θ＝1得u ＝22224nm n m +．所以u ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<+<<)0( 4)0( 22222n m n m n m m n mn（Ⅲ）（1）当nm>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m）+1<0，所以3232+<<-n m ，又由n m <1，得132<<-nm. 综上，当u >mn 时，nm的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）．点评:本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.椭圆学习是圆锥曲线的第一道门槛,椭圆学习的成功对后续学习双曲线、抛物线均有莫大的益处. 学习椭圆要具备以下四个观点,①常规审题思维观;②科学的估算观;③灵活的转化观;④不懈的探索观.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.(2)要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.(3)椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如右图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac =e . (4)椭圆参数的几何意义，如右图所示： ①|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；②|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； ③|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；④|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=c a 22.2.学以致用:(1)椭圆1422=-y x 的离心率为A.23 B.43 C.22 D.32(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（） A．13B C．12D (3)设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP DF =+ ，则||OM= ．(4)设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|,|FP 2|, |FP 3|,…组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .答案:(1)A 解析:由已知可得2241x y +=, 即得22114y x +=,该椭圆的离心率2c e a===, 故应选A. (2)D 解析:由已知条件可得2a b =, 又22222243c a b bb b =-=-=,可得c =.∴c e a ===,故应选D. (3)2解析: 如右图所示, 由于椭圆的第二定义可得设P 到左准线的距离为d ,则35PF e d ==, 又由10d =可得6PF =, ∴221064PF a PF =-=-=,∵1()2OM OP OF =+, ∴点M 是线段PF ∴2//OM PF ,且2114222OM PF ==⨯=.(4)11[,0)(0,1010-解析:a =,c =1,1,最大距1,当d>0时,|FP 1|＝1,|FP n |＝＋1,∴d=1||||1n FP FP n --＝21n -,∵n ≥21,∴1010d <≤,同理,当d ＜0时,1010d -≤<．故d ∈11[,0)(0,]1010- ． 3.易错分析:(1)解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.(2)椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.(3)椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.(4)使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A. B. 6 C. D.122.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（） A ．3 B ．23 C ．38 D ．323.已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．944.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 5.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（）A B ．12C D ．26.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题:7.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.8.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．9.若焦点在x 轴上的椭圆145222=+b y x 上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范围是_______________.10.若椭圆11:22=++y m x C 的一条准线方程为2-=x ，则=m ；此时，定点)0,21(与椭圆C 上动点距离的最小值为 . 三、解答题:11.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.12.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.13.设1F ，2F 分别是椭圆C ：2222162x y m m +=(0)m >的左，右焦点．（Ⅰ）当P C ∈，且210PF PF =，12||||8PF PF ⋅=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．（Ⅱ）1F 、2F 是（Ⅰ）中的椭圆的左，右焦点，已知2F 的半径是1，过动点Q 的作2F 切线QM，使得1QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．14.已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. B3. D4. A5. D6. D 二、填空题:7. 452x ＋202y ＝1 8. 221164x y += 9. 0b b ≤≤≠ 10. 23,1 三、解答题:11.解析:设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1. ② ①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43²2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0. 12.解析:按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG=k （0≤k ≤1），由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(a a y -=1.当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2. 当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .13.解析:（Ⅰ）∵222c a b =-，∴224c m =．又∵021=⋅PF PF ∴12PF PF ⊥， ∴()222212216PF PF c m +==．由椭圆定义可知122PF PF a +==，()2221216824PF PF m m +=+=，从而得21m =，2244c m ==，2c =． ∴()120F -，、()220F ，．（Ⅱ）∵F 1（-2，0），F 2（2，0），由已知：1QF ，即2212QF QM =，所以有：()221221QF QF =-，设P （x ，y ），则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦，即()22632x y -+=（或221240x y x +-+=）, 综上所述，所求轨迹方程为：()22632x y -+=．14.解析:（Ⅰ）由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59．方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2³59．由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4．方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2³59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12），所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++-＝21)545(x -＝51（25－4x 1）. ② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518．所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4．（3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得9x 12＋25y 12＝9³25， ④9x 22＋25y 22＝9³25． ⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0，即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9³4＋25y 0（－k1）＝0（k ≠0）．由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516．评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以.解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得（9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25³9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8．解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。

2018高三数学(理)一轮复习课件：第8章第5节椭圆

解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30° ，所以|PF1|＝2，|F1F2| 2c |F1F2| 3 ＝ 3.故e＝2a＝＝ .故选D. |PF1|＋|PF2| 3
x2 y2 5．已知点P是椭圆 5 ＋ 4 ＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的 15 15 ，1或，－1 三角形的面积等于1，则点P的坐标为 2 2 ．
解析：依题意有25－m2＝16，∵m＞0，∴m＝3.选B.
x2 y2 3 3．已知椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为 3 ，过 F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4 3，则C的方程为( A ) x2 y2 A. 3 ＋ 2 ＝1 x2 y2 C.12＋ 8 ＝1 x2 2 B． 3 ＋y ＝1 x2 y2 D．12＋ 4 ＝1
考点一
椭圆的定义及标准方程
1．(1)(2017· 西安质检)已知中心在原点的椭
即时应用
依题意，所求椭圆的焦点位于x 1 圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 2 ，则C c 1 轴上，且c＝1，e＝ a ＝ 2 ⇒a＝的方程是( C )
x y A. 3 ＋ 4 ＝1 x2 y2 C. 4 ＋ 3 ＝1
解析：由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝4 3，故a＝ 3，又
2 2 c 3 x y 由e＝a＝ 3 ，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为 3 ＋ 2 ＝1，故选A.
x2 y2 4．(2017· 临沂一中模拟)设椭圆C： a2 ＋ b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30° ，则C的离心率为( D ) 3 A. 6 1 C.2 1 B．3 3 D． 3

2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆理

第九章解析几何 9.5 椭圆理1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y2a2＋x2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)与y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )1．(教材改编)椭圆x210－m ＋y2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12 答案 C 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－m>m －2>0，－－－＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m>0，－－－＝4，解得m ＝4或m ＝8.2．(2015·广东)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 B解析由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.3．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )。

2018-2019年高考理科数学一轮二轮专题复习：9.5椭圆

解析
关闭
答案
-9知识梳理双基自测
1
2
3
4
5
5.已知点 P
��2 是椭圆 5
��2 + =1 4
上的点,且点 P 的横坐标大于 0,以
点 P 及焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标为 .
设 P(x,y),由题意知 c =a -b =5-4=1, 所以 c=1,则 F1(-1,0),F2(1,0),由题意可得点 P 到 x 轴的距离为
椭圆的定义及其标准方程
��2 C:��2
例 1(1)已知 F1,F2 是椭圆
+
��2 ��
2 =1(a>b>0)的两个焦点,P
为
椭圆 C 上的一点,且��1 ⊥ ��2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b= . (2)(2016 山西孝义模拟)已知椭圆
-3知识梳理双基自测
1
2
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
图
形
-4知识梳理双基自测
1
x2 a2
2
y2 a2
标准方程范围对称性性质顶点轴焦距离心率
+
y2 b2
=1(a>b>0)
+
x2 b2
=1(a>b>0)
直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0). D.以上答案都不对由题意知,当焦点在 x 轴上时,c=2,b=1, 则a

高三数学一轮复习椭圆知识点总结

高三数学一轮复习椭圆部分知识点总结一、定义平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122a F F >）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距()122F F c =.（1）()222210x y a b a b+=>>中,a x a b y b -≤≤-≤≤.（2）()222210y x a b a b+=>>中,b x b a y a -≤≤-≤≤.2.对称性()222210x y a b a b +=>>和()222210y x a b a b+=>>都关于x 轴对称、y 轴对称、原点对称.其中原点也成为椭圆的对称中心.3.顶点椭圆()222210x y a b a b+=>>中，顶点为长轴的左右端点()1,0A a -、()2,0A a 和短轴的两个端点()10,B b -和()20,B b .其中12A A 叫做椭圆的长轴、12B B 叫做椭圆的短轴.椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b .4.离心率椭圆的离心率c e a=,01e <<.并且0e →时椭圆越圆，1e →时椭圆越扁.圆的离心率0e =.（3）椭圆焦点三角形中，利用椭圆定义和余弦定理求12PF PF ⋅，进而求焦点三角形的面积.六、.椭圆第二定义（课外知识补充）平面内到定点距离与定直线距离比值等于常数()01e e <<的点的轨迹为椭圆.其中定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的一条准线，常数e 为椭圆的离心率.由椭圆第二定义可推出以下结论：（1）椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -（在长轴端点处取得）.（2）椭圆上的点到原点距离的最大值为a ，最小值为b （在长轴与短轴端点处取得）.（3）椭圆短轴的一个端点与长轴的两端点所成角，是椭圆上所有点与长轴两端点所成角中的最大角.（4）椭圆短轴的一个端点与椭圆两焦点所成角，是椭圆上所有点与两焦点所成角中的最大角.七、.直线与椭圆位置关系的常规解决方法联立直线与椭圆方程构成的方程组，消元化简，然后利用韦达定理解决相关问题.八、弦长公式.1212线有两焦点，否则此等式无意义.2.联立方程组法通过联立直线与椭圆（双曲线）的方程组得到一元二次方程后，利用韦达定理（即根与系数关系）求解。

2018高考数学考点突破课件——解析几何：椭圆

＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值
范围是( )
A.0，
3 2
B.0，34
C. 23，1
D.34，1
【解析】(1)设 M(－c，m)，则 E0，aa－mc，OE 的中点为 D，则 D0，2（aa－m c），又 B，D，M 三点共线，所以2（am－c）＝a＋m c，所以 a＝3c，所以 e＝13. (2)设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0 为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，
法二设所求椭圆方程为25y－2 k＋9－x2 k＝1(k<9)，将点 ( 3，－ 5)的坐标代入可得（－25－5k）2＋（9－3）k 2＝1，解得 k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1. 【解析】 (1)1y02 ＋x62＝1 (2)2y02 ＋x42＝1
【解析】(1)证明因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆 A 的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设得 A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：x42＋y32＝1(y≠0).
考点二椭圆的标准方程
【例 2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且
经过两点－32，52，( 3， 5)，则椭圆方程为________.
(2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的椭圆标准方程为________.
【解析】(1)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).

高考一轮复习椭圆

＝1 时，椭圆的焦点在
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2| ＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数：
x 轴上⇔m>n>0，椭圆的焦点在 y 轴上⇔
(1)若 a>c ，则集合 P 为椭圆；
0<m<n.
(2)若 a＝c ，则集合 P 为线段；
(3)若 a<c ，则集合 P 为空集．
数学（理）
椭圆
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本疑点清源
1．椭圆的概念在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
1．椭圆焦点位置与 x2，
y2 系数间的关系：
给
出
椭
圆
方
程
x2 m
＋
y2 n
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(4)(2011·课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为
________________．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
了求解过程．利用椭圆定义解题，关键是看能否将题设条件通过推理、转化，变成符合椭圆定义的问题．如下面的变式题：
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1
ay22＋xb22＝
(a>b>0)

高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)椭圆理北师大版

第五节椭圆【考纲下载】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1，F2的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝ca越接近1，a与c就越接近，从而b＝a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：选D 在椭圆x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，所以c 2＝a 2－b 2＝8，即c ＝22，因此，椭圆的离心率e ＝c a ＝224＝22.3．椭圆x 24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：选B 在椭圆x 24＋y 23＝1中，a 2＝4，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因此，其右焦点为(1,0)．该点到直线y ＝3x 的距离d ＝|3－0|32＋－12＝32. 4．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________．解析：椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)可化为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，因此e 2＝c 2a 2＝m6m 2＝13，即e ＝33. 答案：33 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.解析：椭圆x 2＋my 2＝1可化为x 2＋y 21m＝1，因为其焦点在y 轴上，∴a 2＝1m ，b 2＝1，依题意知 1m ＝2，解得m ＝14. 答案：14考点一椭圆的定义和标准方程[例1] (1)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 (2)(2014·安康模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．[自主解答] (1)由右焦点为F (1,0)，可知c ＝1，因为离心率为12，即c a ＝12，故a ＝2，由a 2＝b 2＋c 2，知b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由△ABF 2的周长为4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，c ＝22a ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. [答案] (1)D (2)x 216＋y 28＝1【互动探究】在本例(2)中若将条件“焦点在x 轴上”去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)或mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0).1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.2．(2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选D ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.考点二椭圆的几何性质及应用[例2] (1)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|1PF u u u v ＋2PF u u u u v|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2(2)(2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[自主解答] (1)设P (x 0，y 0)，则1PF u u u v ＝(－1－x 0，－y 0)，2PF u u u u v＝(1－x 0，－y 0)， ∴1PF u u u v ＋2PF u u u u v ＝(－2x 0，－2y 0)，∴|1PF u u u v ＋2PF u u u u v |＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|1PF u u u v ＋2PF u u u u v|取最小值为2.(2)如图，设右焦点为F 1，|BF |＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x ＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠FAF 1＝90°，△FAF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，e ＝c a ＝57.答案：(1)C (2)57【方法规律】1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .又A (0，3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－335c －3c 2＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，c ＝5，则b 2＝75，即b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin∠F 1AB ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，则c ＝5，b ＝5 3.高频考点考点三直线与椭圆的综合问题1．直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较高，多为中档题．2．高考对直线与椭圆的综合问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知某条件，求直线的方程；(2)求三角形(或其他几何图形)的面积； (3)判断几何图形的形状； (4)弦长问题；(5)中点弦或弦的中点问题．[例3] (2013·浙江高考)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.设△ABD 的面积为S ， ①当k ＝0时，则D (0,1)，A (－3，－1)，B (3，－1)，此时，|AB |＝23，|PD |＝2，所以S ＝12|AB |·|PD |＝12×23×2＝2 3.②当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3×134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．而当k ＝0时，S ＝23<161313，故当k ＝±102时△ABD 面积取得最大值．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程．可依题条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．(2)求面积．先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值． (3)判断图形的形状．可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系．(4)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．(5)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交．(2013·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c 2a2＋22b2＝1.从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2 8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝2× 4－x 20x 20 ＝2× －x 20－22＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6. ————————————[课堂归纳——通法领悟]—————————————1个规律——椭圆焦点位置与x 2，y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔a >b >0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0<a <b .1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0<e <1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.压轴大题巧突破(三)与椭圆有关的综合问题求解[典例] (2013·天津高考)(13分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1) 求椭圆的方程； (2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC u u u v ·DB u u u v ＋AD u u u v ·CB uu uv ＝8，求k 的值．[化整为零破难题](1)基础问题1：如何得到a 与c 的关系？利用椭圆的离心率．基础问题2：如何求过F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长？直线x ＝－c 与椭圆相交，两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长． (2)基础问题1：如何求A ，B 两点的坐标？ A ，B 分别为左右顶点即为(－a,0)，(a,0)．基础问题2：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，如何寻找x 1＋x 2，x 1x 2呢？将直线方程与椭圆方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程．利用根与系数关系即可得到．基础问题3：如何表示AC u u u v ·DB u u u v ＋AD u u u v ·CB uu uv ？利用向量的坐标运算即可． [规范解答不失分](1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c ，过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c2a 2＋y 2b2＝1，解得y ＝±63b ，① 于是26b 3＝433，解得b ＝2，则b 2＝2. 2分又因为a 2－c 2＝b 2，从而a 2＝3，c 2＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 4分(2)设点C x 1，y 1，D x 2，y 2，②由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1，消去y 得2＋3k2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.③6分根据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2. 8分因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC u u u v ·DB u u u v ＋AD u u u v ·CB uu u v=()()()()112222113,3,3,3,x y x y x y x y +⋅--++⋅--④＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2. 11分由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2. 13分易错点一①处易用a ，b ，c 三个量来表示y ，造成运算大而出现错误，原因是忽略a ，b ，c 三者的关系易错点二 ②处易忽略设点，而后面直接用根与系数的关系，造成不严谨，出现错误易错点三 ③方程整理错误易错点四 ④处公式记忆不准，向量坐标运算错误[全盘巩固]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12 B.5－12 C.1＋54 D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33解析：选D 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.3．(2014·汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．(2014·榆林模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能解析：选A 因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x1x2＝－12，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝34＋1＝74<2，即点(x1，x2)在x2＋y2＝2内．5．椭圆x24＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝( )A.72B.32C. 3 D．4解析：选A 因为椭圆x24＋y2＝1的一个焦点F1的坐标为F1(－3，0)．过该点作垂直于x轴的直线，其方程为x＝－3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y2＝1，x＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－3，y＝±12，即P⎝⎛⎭⎪⎫－3，±12，所以|PF1|＝12，又因|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4－12＝72.6．(2014·嘉兴模拟)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝⎛⎭⎪⎫43，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，43解析：选C 在椭圆x2＋my2＝1中，当0<m<1时，a2＝1m，b2＝1，c2＝a2－b2＝1m－1，∴e2＝c2a2＝1m－11m＝1－m，又12<e<1，∴14<1－m<1，解得0<m<34，当m>1时，a2＝1，b2＝1m，c2＝1－1m，e2＝c2a2＝1－1m1＝1－1m，又12<e<1，∴14<1－1m<1，解得m>43，综上可知实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝⎛⎭⎪⎫43，＋∞.7．(2013·福建高考)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：如图，△MF1F2中，∵∠MF1F2＝60°，∴∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，|MF2|＝3c，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋3c，得e ＝c a＝23＋1＝3－1. 答案：3－18．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：159．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________. 解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23m 2＋4，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cmm 2＋4，－3y 22＝－c 23m 2＋4，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝± 2.又k >0，故k ＝ 2. 答案： 210．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，且y 0≠0.由题意有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，又0<e <1，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意知，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入③，得(1＋k 2)4a 21＋k22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.12．(2013·安徽高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程； (2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点 D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4.从而椭圆C 的方程为x28＋y24＝1.(2)由题意，点E 坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE u u u v ＝(x 0，－22)，AD u u u v＝(x D ，－22)．再由AD ⊥AE 知，AE u u u v ·AD u u u v ＝0，即x D x 0＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ⎝⎛⎭⎪⎫8x，0. 故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8x 0.②将②代入椭圆C 的方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点． [冲击名校]已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ u u u v ＝QB u u u v ，且NQ u u u v ·AB u u uv ＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解：(1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2.此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3. 当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k2.由AQ u u u v ＝QB u u u v ，得Q 为线段AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2.∵NQ u u u v ·AB u u uv ＝0，∴直线l 的斜率k 与直线QN 的斜率k 乘积为－1，即k QN ·k ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k2·k ＝－1，化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. [高频滚动]已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程； (2)若OP u u u v ·OQ u u u v＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．解：(1)设圆心C (a ，a )，半径为r .因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP u u u v ·OQ u u u v ＝2×2×cos 〈OP u u u v ，OQ u u u v 〉＝－2，且OP u u u v 与OQ u u u v 的夹角为∠POQ (0°≤∠POQ ≤180°)，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0. (3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1. 又易知|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12·|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4d 21＋d 2＋d 21·d 2＝212＋d 21·d 2 ≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝2 12＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7. .。

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|F 1F 2|＝ 2 c e＝ac∈ (0， 1) c2＝ a2－ b2
高频考点一椭圆的定义及其应用
【例 1】 (1) 已知椭圆 x2＋y2＝1 的两个焦点是 42
F1 ，F2 ，点 P 在该椭圆上，若 |PF 1|－ |PF2|＝ 2，则△ PF1F 2 的
面积是 ( )
专题 49 椭圆
A. 2 B.2
P→F 2|的最小值是 (
)
A ． 0 B ． 1 C． 2 D． 2 2
x2 y2
b
(2)(2015 浙·江 ) 椭圆 a2＋ b2＝ 1(a＞ b＞0)的右焦点 F (c，0)关于直线 y＝ cx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离
心率是 ________．
答案
(1)C (2) 2 2
专题 49 椭圆
1
12
3
A. 3
B. 2 C.3
D.4
x2 y2 (2) 已知椭圆 E：a2＋b2＝1( a>b>0)的右焦点为 F ，短轴的一个端点为
M，直线 l ： 3x－ 4y＝ 0 交椭圆 E 于 A，
B 两点 .若|AF |＋ |BF|＝ 4，点 M 到直线
l 的距离不小于
4，则椭圆 5
E 的离心率的取值范围是
∵ |AF |＋ |BF |＝ 4，
∴ |AF |＋ |AF 0|＝ 4，∴ a＝2.
设 M (0 ，b)，则 45b≥45，∴ 1≤b<2.
离心率 e＝ac＝
c2 a2＝
a2－ b2 a2 ＝
4－ b2 4∈
0，
3 2
.
答案 (1)A (2)A
【举一反三】 (1)已知点 F 1，F2 是椭圆 x2＋ 2y2＝ 2 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 |P→F 1＋
F 1， F 2 在 x 轴上，离心率为
2 2 .过 F 1
的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ ABF 2的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为 ________．
(2) 设 F1，F2 分别是椭圆
E：x2＋
y2 b2＝
1(0<
b<1)
的左、
右焦点，
过点
F 1 的直线交椭圆
E 于 A，B 两点．若 |AF 1|
（ 3－ 0） 2＋（－ 5－ 4） 2，解得 a＝ 2 5.
由 c2＝a2－ b2 可得 b2＝ 4.
所以所求椭圆的标准方程为 y2 ＋x2＝ 1. 20 4
法二设所求椭圆方程为
y2 ＋ x2 ＝ 1(k<9) ，将点 ( 3，－ 5)的坐标代入可得（－
5） 2 （ 3） 2
＋
＝ 1，
25－ k 9－ k
由题意得
2a＝ 3×2b， 90 a2＋ b2＝ 1，
a＝3，
解得
所以椭圆的标准方程为
b＝1.
x92＋ y2＝ 1.
若焦点在
y 轴上，设方程为
y2 x2 a2＋ b2＝ 1(a＞b＞ 0)．
由题意得
2a＝ 3×2b，
a＝ 9，
09
解得
a2＋ b2＝ 1，
b＝ 3.
2
2
所以椭圆的标准方程为 y ＋ x ＝ 1.
9
81 9
答案
(1)
x2 16
＋
y82＝
1
(2)x2＋ 32y2＝ 1
(3) x92＋ y2＝ 1 或 8y12 ＋ x92＝ 1
【方法规律】根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法．定义法的要点是根据题目所给
条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数
(1) 若 a＞c，则集合 P 为椭圆；
(2) 若 a＝c，则集合 P 为线段；
(3) 若 a＜c，则集合 P 为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程
x2 y2 a2＋ b2＝ 1 (a>b>0)
y2 x2 a2＋ b2＝ 1 (a>b>0)
图形
范围
对称性性
顶点质
轴焦距离心率 a， b，c 的关系
专题 49 椭圆
【变式探究】
2
2
(1)已知
F1， F 2
是椭圆
x ＋y 16 9
＝1
的两焦点，过点
F2 的直线交椭圆于 A， B 两点，在△ AF1B
中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为 ( )
A．6 B．5
C． 4 D ． 3 (2) 与圆 C1： (x＋ 3)2＋ y2＝ 1 外切，且与圆 C2： (x－ 3)2＋ y2＝ 81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 ________．
－ a≤x≤a － b≤y≤b
－ b≤x≤b － a≤y≤a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1 (－ a，0)， A2(a， 0)
A1(0，－ a)，A2(0 ，a)
B1 (0，－ b)， B2(0， b)
B1(－ b， 0)，B2( b，0)
长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b
25－ k
9－ k
解得 k＝ 5(k＝ 21 舍去 )，所以所求椭圆的标准方程为
y2 ＋ x2＝ 1. 20 4
2
2
22
答案 (1) y ＋ x ＝ 1 (2) y ＋x ＝ 1
10 6
20 4
【变式探究】 (1) 已知椭圆的中心在原点，离心率
e＝ 12，且它的一个焦点与抛物线
y2＝－ 4x 的焦点重合，
解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为
x2 y2 a2＋b2＝ 1( a＞ b＞ 0)，由已知可得抛物线的焦点为
(－ 1，0) ，所以
c＝ 1，又离心率
e＝ ca＝ 12，解得 a＝ 2， b2＝ a2－ c2＝3，所以椭圆方程为
x2＋y2＝1，故选 A. 43
高频考点三椭圆的几何性质
例 3、 (1)(2016 ·全国Ⅲ卷
∴
S△
PF
1F
2＝
1 2|PF
1||PF
2|＝
1 2×2
b2＝
b2＝
9.
∴ b＝ 3.
答案 (1)A (2)3
规律方法椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当
P
在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为 “焦点三角形 ”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求 |PF1| |·PF 2|；通过整体代入可求其面积等．
)已知
O 为坐标原点，
F 是椭圆
C
：
x2 a2＋
y2 b2＝
1(
a
>
b>0)
的左焦点，
A， B 分别为
C
专题 49 椭圆
的左、右顶点 .P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E.若直线
BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 ( )
由于△ ABF 2 的周长为 |AB|＋ |BF2|＋ |AF 2|＝ (|AF 1|＋ |AF 2|)＋ (|BF 1|＋ |BF 2|)＝ 4a＝ 16，故 a＝ 4. ∴ b2＝ 8，∴椭圆 C 的方程为 x2 ＋ y2＝ 1.
16 8
专题 49 椭圆
(3) 法一若椭圆的焦点在
22
x 轴上，设方程为 ax2＋by2＝ 1(a＞ b＞ 0)．
专题 49 椭圆
专题 49 椭圆
1．椭圆的定义在平面内与两定点 F 1，F 2 的距离的和等于常数 (大于 |F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合 P＝ { M ||MF 1|＋ |MF 2|＝2a} ， |F1F 2|＝ 2c，其中 a＞ 0， c＞0，且 a，c 为常数：
＝ 1.
又 |F 1F 2|＝ 2c＝ 2 2，所以有 |PF1|2＝ |PF 2|2＋ |F 1F 2|2 ，即△ PF 1F2 为直角三角形，且∠ PF2F 为直角，
所以
S△
PF
1F
2＝
1 2
|F
1F
2||PF
2|＝
1× 2
2
2× 1＝
2.
【举一反三】 (1)( 如图所示，一圆形纸片的圆心为 O， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD ，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是 ( )
(
)
3 A. 0， 2
3 B. 0，4
C. 23， 1
D. 34，1
解析
(1)设
M (－ c， m)，则
E
am 0， a－ c
， OE 的中点为
D，
am 则 D 0，2（ a－ c），又 B， D， M 三点共线，
所以
2（
m a－
c）
＝
a＋m c，所以
a＝3c，所以
e＝
1 3.
(2) 设左焦点为 F0，连接 F0A， F0B，则四边形 AFBF 0 为平行四边形 .
∴ P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆．
→→ (2) 由椭圆的定义知 |PF 1|＋ |PF2|＝ 2a， PF1⊥ PF2 ， ∴ |PF 1|2＋ |PF2 |2＝ |F1F2|2＝ 4c2， ∴ (|PF 1|＋ |PF2 |)2－ 2|PF1||PF2|＝ 4c2， ∴ 2|PF 1||PF2 |＝ 4a2－ 4c2＝ 4b2. ∴ |PF 1||PF 2|＝ 2b2，

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