空间向量计算-空间向量数量积运算律(分配律)的说明

空间角的计算
1．线线角
l2 e2 l1
设e1 ，e2分别为直线l1 ，l2的方 向向量，直线 l1 ， l2 所成的 角为θ，则 cosθ =
e1
e1 ⋅ e2 e1 e2
• 空间向量数量积运算律（分配律）的说明 空间向量数量积运算律（分配律）
• a· (b+c)=a·b+a·c，对于平面向量 因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2
B E θ2
c
C
|a||b+c|cosθ =|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2 所以： a· (b+c)=a·b+a·c
立体几何中的向量方法
直线的方向向量与平面的法向量
如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？ • 直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向 量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以 用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与 垂直关系． • 平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量； 两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面 的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关 系．
• 平面的法向量的计算： • （1）待定系数法 • 例如：在棱长为a的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别是AB与BC的中点，求 A1 平面B1EF的法向量。
D1
C1
B1
D F A E B
C
z
D1 A1 B1
C1
D A x
C a F( ,a,0) 2 y
a E(a, ,0) 2
B
b
θ1 O
θ D
a
A
• a· (b+c)=a·b+a·c，对于空间向量
因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2 |a|·|b+c|cosθ
B
c
C
=|a|·|b|cosθ1+|a|·|c|cosθ2
E
b
θ2Leabharlann Baidu
O
θ1θ
D
所以 a· (b+c)=a·b+a·c
a
D
A
• 代数证明（运算的坐标表示）： • 设a=x1i+y1j+z1k， b=x2i+y2j+z2k， c=x3i+y3j+z3k • 则b+c=(x2+x3)i+(y2+y3)j+(z2+z3)k， • a· (b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3) =x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 • 又因为：a·b=x1x2+y1y2+z1z2， • a·c=x1x3+y1y3+z1z3 • a·b+a·c=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 • 所以： a· (b+c)=a·b+a·c
a×b b
a
用向量语言（符号语言）描述空间线面关系： 空间线面关系的判定
平行 l1与l2 l1与α1 e1∥e2 e1⊥n1 n1∥n2 垂直 e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2
α1与α2
其中e1 ，e2 分别为直线l1 ，l2 的方向向量，n1 ，n2 分 别为平面α1，α2的法向量。
空间线面关系的判定： 三垂线定理，线面平行的判定定理， 线面垂直的判定定理，面面平行的判 定定理，面面垂直的判定定理。