空间向量计算-空间向量数量积运算律(分配律)的说明
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
空间向量数量积
A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面 内旳垂线、斜线， AO是PA在平面 内旳射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线， 如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能 不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量的数量积和向量积
空间向量的数量积和向量积空间向量是三维空间中的矢量，有数量积和向量积两种运算。
一、数量积数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个标量。
数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加。
设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的数量积表示为A·A。
计算公式如下：A·A = A1A1 + A2A2 + A3A3数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)，其中A为常数。
3. 分配律：A·(A + A) = A·A + A·A数量积可以用来计算向量之间的夹角和向量的投影。
夹角公式如下：cos A = A·A / (│A││A│)其中，A为A和A之间的夹角，│A│和│A│分别为向量A和A的模。
二、向量积向量积，也称为叉积或外积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个新的向量。
向量积的计算方法是利用行列式，将原向量和单位向量按照一定的顺序排列成矩阵，然后计算该矩阵的行列式。
设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的向量积表示为A×A。
计算公式如下：A×A = (A2A3 - A3A2, A3A1 - A1A3, A1A2 - A2A1)向量积有以下几个重要性质：1. 反交换律：A×A = -A×A2. 分配律：A×(A + A) = A×A + A×A向量积的模可以表示为：│A×A│ = │A││A│sinA其中，A为A和A之间的夹角，│A×A│为向量积的模。
向量积可以用来计算以两个向量为邻边所构成的平行四边形的面积，并且垂直于这两个向量的方向。
利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法
利用向量投影证明空间向量数量积分配律的
方法
要使用向量投影证明空间向量数量积的分配律，需要假设有三个向量a、b和c，现在我们要证明(a+b)·c = (a·c) + (b·c)。
首先，我们可以将向量a+b投影到向量c上，并计算它的数量积。
投影表示在c向量上找到一个与向量a+b直接连线的向量，使其与向量c成为垂直关系。
假设投影向量为p。
根据向量投影的定义，我们可以得到以下关系：p = ((a+b)·c)/|c| * c/|c|
其中，((a+b)·c)/|c|是向量(a+b)在向量c上的投影长度，c/|c|是向量c的单位向量。
现在，我们可以将投影向量p代入左侧的等式(a+b)·c进行计算，得到：
(a+b)·c = (p/|c| * |c|)·c = (p·c)/|c|
接下来，我们可以计算右侧的等式(a·c) + (b·c)：
(a·c) + (b·c) = (a/|c| * |c|)·c + (b/|c| * |c|)·c = (a·c)/|c| + (b·c)/|c|
从上述两个等式可以发现，左侧的表达式(a+b)·c 和右侧的表达式(a·c) + (b·c) 都可以通过投影来表示，且它们的投影长度相等。
因此，我们可以得出结论：(a+b)·c = (a·c) + (b·c)，证明了空间向量数量积的分配律。
利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法
文章标题：利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法正文：一、引言在线性代数中，向量数量积是一个重要的概念，它不仅在数学上有着重要的意义，还在物理学等其他领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨利用向量投影来证明空间向量数量积分配律的方法，并深入探讨这一方法背后的数学原理。
二、向量投影的概念在欧几里得空间中，向量的投影是一个重要的概念。
给定两个非零向量a和b，我们可以将b在a方向上的投影表示为proj_a(b) = (a · b) / |a| * a。
这个投影的长度正是b在a方向上的投影长度，方向与向量a相同。
利用向量投影，我们可以更好地理解空间向量的运算和关系。
三、空间向量数量积的定义空间中的向量数量积是向量的一种运算，它将两个向量映射为一个标量。
给定两个向量a和b，它们的数量积可以表示为a·b = |a| * |b| * cos(theta)，其中theta为a和b之间的夹角。
四、空间向量数量积分配律的表述空间向量数量积具有分配律的性质，即对于任意三个向量a、b和c，都有(a+b)·c = a·c + b·c。
这个性质在向量运算中非常重要，并且在许多数学推导和物理问题中都有着广泛的应用。
五、利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法我们将利用向量投影来证明空间向量数量积分配律。
给定三个向量a、b和c，我们将b投影到a上得到proj_a(b)，将c投影到a上得到proj_a(c)。
则有：(a+b)·c = (proj_a(b) + a)·c= proj_a(b)·c + a·c= (b·c) / |a| * a + a·c= (b·c) / |a| * a·c+ a·c= b·c + a·c= a·c + b·c六、总结通过以上的证明，我们证明了空间向量数量积具有分配律的性质。
空间向量及其运算知识总结
空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式aC'B'A'D'DA B CA 'pb aOPA B Myk iA(x,y,z)O jxz9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅． 14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点， 分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它 们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体：如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，一般选A A 'D BB 'D 'C C 'y zBC AD O z xy择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体：如图所示，正四面体A BCD -的棱长为a ，一般选择A 在BCD ∆上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥：如图所示，正四棱锥P ABCD -的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱：如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4 模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则22123||a a a a a a =⋅=++，21||b b b b =⋅=+5．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==，或,A B d =空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)ABx x y y z z =---.平面法向量 如果a α⊥，那么向量a 叫做平面α的法向量.法向量的求解:______________________________________________________________________. 二、证明平行问题1．线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a a a b b b b ⇔==. x y2.线面平行：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则//a α.3.面面平行：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ. 三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2．线面垂直：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ=则a α⊥. 3. 面面垂直：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥即120n n ⋅=则αβ⊥. 四、求夹角1．线线夹角：设123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；21cos ,||||a a ba b a b a ⋅<>==⋅+；cos |cos ,|a b θ=<>.2．线面夹角：如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>|cos ,|OP AP =<>|cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||n PA n PA ⋅=.3． 面面夹角：设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>； 当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>. 五、距离1．点点距离：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，,A B d =||(AB AB AB x =⋅=2．点面距离：A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=. 3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=. 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.。
空间向量的数量积运算
（第一课时）
• 问题一
• 两个非零空间向量的夹角：
已知两个非零向量a,b, 在空间中任取一点O, 作OA a,OB b,
则AOB叫做向量a,b的夹角.
• 记作：a,b.
aA b
• 规定：0 a, b
α O.
B
a, b＝b, a
• 如果 a, b ，那么向量a,b
• 记作：a b.
即 a b a b cosa, b.
• 规定：零向量与任意向量的数量积都等于零. • 两个向量的数量积是数量还是向量？ 数量!
• 问题二Leabharlann • 空间向量的数量积的性质：
（1）0·a = 0 （选择0还是0）.
证明垂直关系
（2）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b ＝___0____.
b a
α O .c
• 投影向量c的长度？
c a cosa, b
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
a
α O .c
l
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
• 向量a向平面β投影：
B a A
A1 c B1
注：向量a与投影向量c的夹角 就是向量a所在的直线与平面β 所成的角
• 问题四 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？
（1）EF BA （2）EF BD （3）EF DC
【解】（2）EF BD= EF BD = 1 1= 1 22
（3）EF DC = EF DC cosEF , DC
= 1 1 cos120 = 1
2
4
• 问题三
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影：
B a A
b C A1 B1 D
向量的数量积运算律
03
向量数量积在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据向量加法的平行四边形法则，两个力可以合成一个合力。合力的方向和大小可以通过向量的加法 运算得出。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，分力的方向和大小可以通过向量的减法运算和数乘运算得出。
速度和加速度的研究
速度
速度是一个向量，表示物体在单位时间内移动的距离和方向。速度的大小表示物体运动的快慢，方向表示物体 运动的方向。
02
向量数量积的运算律
交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，则有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$，无论$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的顺序如何。
结合律
总结词
向量数量积的结合律是指三个向量的数量积的结合顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$，则有$(mathbf{a} cdot mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot (mathbf{b} cdot mathbf{c})$，无论$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的组合顺序 如何。
通过代数式展开，可以将复杂的 向量运算转化为简单的标量运算， 提高计算效率。
坐标系法
01
坐标系法是一种常用的向量运 算技巧，通过在坐标系中表示 向量，可以将向量运算转化为 坐标运算。
02
在二维坐标系中，任意向量 $vec{A}$可以表示为$(x, y)$， 在三维坐标系中可以表示为$(x, y, z)$。
向量积分配律的证明（完整版）
向量积分配律的证明（完整版）向量积分配律的证明向量积分配律的证明·sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。
2)内积的分配律：a·=a·b+a·,·=a·+b·.这由内积的定义a·b=s|osθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。
其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。
再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。
随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。
在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。
在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。
结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，学生容易忽略；书写中符号“?”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。
最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。
四、教法及教学反思教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。
向量的数量积与向量积的计算
向量的数量积与向量积的计算向量是数学中一个重要的概念，它可以用来描述有大小和方向的物理量。
在向量的运算中，数量积和向量积是两个常见的计算方法。
本文将介绍向量的数量积和向量积的计算方法，以及它们在实际应用中的意义。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的一种运算。
它的计算方法如下：设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b（读作a点b），则有a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示夹角的大小。
数量积的计算结果是一个实数，它表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模的乘积。
数量积还具有以下几个性质：1. a·b = b·a（数量积满足交换律）2. a·a = |a|^2（一个向量与自身的数量积等于向量的模的平方）3. 若两个向量的数量积为0，则它们垂直。
通过数量积的计算，我们可以得到向量之间夹角的大小，判断两个向量之间的关系，并在几何和物理问题中应用得到。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为外积或叉积，是两个向量之间的另一种运算。
它的计算方法如下：设有两个向量a和b，它们的向量积记作a × b（读作a叉b），则有a ×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示夹角的大小，n表示垂直于平面的单位向量。
向量积的计算结果是一个向量，它的方向垂直于原来的两个向量所在的平面，并满足右手定则。
向量积还具有以下几个性质：1. a × b = -b × a（向量积满足反交换律）2. a × a = 0（一个向量与自身的向量积等于零向量）3. a × (b + c) = a × b + a × c（向量积满足分配律）向量积在几何和物理问题中有着广泛的应用，比如计算力矩、磁场等。
向量积分配律的证明(精选多篇)
向量积分配律的证明(精选多篇)第一篇：向量积分配律的证明向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：a×b=|a|·|b|·sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：ii)(a×b)·c=a·(b×c)所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)我们还有下面的一条显然的结论：iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b+c))=(r×a)·(b+c)=(r×a)·b+(r×a)·c=r·(a×b)+r·(a×c)=r·(a×b+a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。
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• a· (b+c)=a·b+a·c，对于平面向量 因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2
B E θ2
c
C
|a||b+c|cosθ =|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2 所以： a· (b+c)=a·b+a·c
a×b b
a
用向量语言（符号语言）描述空间线面关系： 空间线面关系的判定
平行 l1与l2 l1与α1 e1∥e2 e1⊥n1 n1∥n2 垂直 e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2
α1与α2
其中e1 ，e2 分别为直线l1 ，l2 的方向向量，n1 ，n2 分 别为平面α1，α2的法向量。
空间线面关系的判定： 三垂线定理，线面平行的判定定理， 线面垂直的判定定理，面面平行的判 定定理，面面垂直的判定定理。
• 平面的法向量的计算： • （1）待定系数法 • 例如：在棱长为a的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别是AB与BC的中点，求 A1 平面B1EF的法向量。
D1
C1
B1
D F A E B
C
z
D1 A1 B1
C1
D A x
C a F( ,a,0) 2 y
a E(a, ,0) 2
B
立体几何中的向量方法
直线的方向向量与平面的法向量
如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？ • 直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向 量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以 用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与 垂直关系． • 平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量； 两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面 的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关 系．
空间角的计算
1．线线角
l2 e2 l1
设e1 ，e2分别为直线l1 ，l2的方 向向量，直线 l1 ， l2 所成的 角为θ，则 cosθ =
e1
e1 ⋅ e2 e1 e2
b
θ1 O
θ D
a
A
• a· (b+c)=a·b+a·c，对于空间向量
因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2 |a|·|b+c|cosθ
B
c
C
=|a|·|b|cosθ1+|a|·|c|cosθ2
E
b
θ2
O
θ1θ
D
所以 a· (b+c)=a·b+a·c
a
D
A
• 代数证明（运算的坐标表示）： • 设a=x1i+y1j+z1k， b=x2i+y2j+z2k， c=x3i+y3j+z3k • 则b+c=(x2+x3)i+(y2+y3)j+(z2+z3)k， • a· (b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3) =x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 • 又因为：a·b=x1x2+y1y2+z1z2， • a·c=x1x3+y1y3+z1z3 • a·b+a·c=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 • 所以： a· (b+c)=a·b+a·c