第2章(784)教材配套课件

第2章 点、直线、平面的投影
从以上分析可以得到点的两面投影规律如下： (1) 点的两投影连线垂直于投影轴，即a'a⊥OX轴； (2) 点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面 的距离，即a'aX＝Aa，aaX＝Aa'。 实际上，点的两面投影反映了空间点的X、X、Z三个坐 标，因此点的两面投影即可唯一确定空间一个点的位置。
第2章 点、直线、平面的投影
在工程中，我国常采用第一分角的投影，本书也主要介 绍第一分角投影。
第2章 点、直线、平面的投影 图2-5 三投影面体系
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.2 点在两投影面体系中的投影 如图2-6(a)所示，将点A置于两投影面体系第一分角中，
过点A分别向V面和H面作垂线(投射线)，得垂足a' 和a。a' 为 点A的正面投影；a为点A的水平投影(在投影法中规定：用 大写字母表示空间的点，用对应的小写字母加一撇和小写字 母表示该点的正面投影和水平投影)。实际作图时需要将互 相垂直的V面和H面展开，方法是：V面保持不动，将H面绕 OX轴向下旋转90°，使H面与V面共面，如图2-6(b)所示。 点的投影只取决于点在投影面中的位置，与投影面的大小无 关。在实际作图时，可只画出投影轴，不画投影面边框，也 不必标出aX。点A的两面投影图如图2-6(c)所示。
第2章 点、直线、平面的投影 图2-3 点的一个投影不能唯一确定空间点的位置
第2章 点、直线、平面的投影
因此，常将立体放在相互垂直的两个或更多的投影面之 间，向这些投影面作投影，形成它的多面正投影。
由两个互相垂直的投影面构成的两投影面体系，可以反 映空间点的三个坐标，即可用两投影面体系来确定空间立体 的位置。如图2-4(a)所示，其中正立投影面(简称正面)用V表 示；水平投影面(简称水平面)用H表示。V面和H面相互垂直 构成了两投影面体系，这个两投影面体系将空间分成了四个 分角。V面与H面的交线为OX轴，也称为投影轴。图2-4(b) 是两投影面体系中的第一分角。
第2章 点、直线、平面的投影 图2-2 平行投影法
第2章 点、直线、平面的投影
2.2 点 的 投 影
点、直线和平面是构成立体的基本几何要素。因此，要 能够正确而迅速地绘制和阅读立体的投影图，必须先掌握这 些基本几何要素的投影规律和投影特性。
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2.2.1 投影面体系 如图2-3所示，作空间点A的正投影，只要作投影面P的
第2章 点、直线、平面的投影
2.1.2 平行投影法 若将投射中心S按指定的方向移到无穷远处，则所有的
投射线可看做是互相平行的，这种投射线互相平行的投影法 称为平行投影法(如图2-2所示)。在平行投影法中，如果投射 线倾斜于投影面，则称为斜投影法(图2-2(a))；如果投射线 垂直于投影面，则称为正投影法(图2-2(b))。机械图样主要 是用正投影法绘制的，而斜投影法仅用于绘制斜轴测图(一 种立体图)。
第2章 点、直线、平面的投影
【解】 该题可以根据所给的A点到三个投影面的距离直 接作图，也可将A点到三个投影面的距离转换为A点的三个 坐标A(10，12，13)来求解。具体作图步骤如下：
(1) 在OX、OY、OZ轴上分别量取X＝10、Y＝12、Z＝ 13。
(2) 过量取的各点作相应轴线的垂线。 (3) 各垂线的交点即为所求的点A的三面投影a、a' 和a"。
第2章 点、直线、平面的投影
由于正六面体的每组对边平行且相等，因此可以得到空 间点A到三个投影面的距离与坐标的关系如下：
A点到W面的距离Aa"＝a'aZ＝aaY＝XA(A点的X坐标)； A点到V面的距离Aa'＝aaX＝a"aZ＝YA(A点的Y坐标)； A点到H面的距离Aa＝a'aX＝a"aY＝ZA(A点的Z坐标)。
第2章 点、直线、平面的Байду номын сангаас影
(a) 立体图
(b) 投影面展开图 图2-6 点的两面投影
(c) 投影图
第2章 点、直线、平面的投影
为了快速、正确作出如图2-6(c)所示的点的两面投影图， 应首先分析其投影规律。
因为相交的两条投射线Aa' 和Aa所组成的平面分别垂直 于V面和H面，所以必垂直于它们的交线OX轴，且与OX轴的 交点是aX。因为OX轴垂直于Aa' 和Aa所组成的平面，所以 必垂直于Aa' 和Aa所组成的平面内的所有直线，即OX轴也垂 直于直线a'aX和aaX。因此，在投影面展开后，a' 和a的连线 必垂直于OX轴，此连线与OX轴的交点即aX，如图2-6(b)所 示。
第2章 点、直线、平面的投影
这种使空间形体在平面上产生投影的方法称为投影法。 工程中常用的投影法为中心投影法和平行投影法。 2.1.1 中心投影法
如图2-1所示，中心投影法是由投射中心、物体和投影 面组成的投影方法。在中心投影法中，投射线相交于投射中 心S。用中心投影法得到的投影与物体距离投影面的远近有 关，投影不能反映物体表面的真实形状和大小，但立体感强。 该投影法常用于绘制建筑物和富有逼真感的立体图，称为透 视图。
第2章 点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法基础 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 直线与平面、平面与平面之间的相对位置
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投 影 法 基 础
机械图样的绘制是以投影法为依据的。而投影法的产生， 则是人们在长期的实践中，根据“空间物体在光线的照射下， 会在地面或墙面上产生影子”这一众所周知的自然现象，经 过科学抽象总结出来的。
【例2-1】 如图2-8所示，已知点A的两面投影a' 和a"， 求a。
第2章 点、直线、平面的投影 图2-8 由点的两面投影求第三投影
第2章 点、直线、平面的投影
【解】 分析：由点的投影规律(1)可知，a应位于过a' 的 垂线上；由点的投影规律(3)及其推论可知，点a应位于过a" 的垂线与斜线的交点所作的水平线上，这条水平线与过a' 的 垂线的交点即为所求a。
(c) 投影图
第2章 点、直线、平面的投影
1．点的投影与坐标的关系 如图2-7(a)所示，过空间点A分别向三个投影面V、H、 W作垂线，所得到的三个垂足分别称为：点A的正面投影， 用a' 表示，也称V面投影；点A的水平投影，用a表示，也称 H面投影；点A的侧面投影，用a" 表示，也称W面投影。投 射线Aa"、Aa'、Aa分别为点A到W、V、H三个投影面的距离， 也等于A点的三个坐标：X坐标(XA)、Y坐标(YA)、Z坐标(ZA)。 过点A的三个投影a、a' 和a" 分别向它们所在投影面的投影 轴作垂线，在三根轴上得到三个交点aX、aY和aZ。如图2-7(a) 所示，A点和三面投影与aX、aY、aZ可构成一个正六面体的 框架。
第2章 点、直线、平面的投影 图2-11 两点的相对位置
第2章 点、直线、平面的投影
【例2-3】 如图2-12(a)所示，已知点A的三面投影a、a'、 a"，B点在A之左10 mm、之前5 mm、之上8 mm，作出B点 的三面投影。
作图步骤如下： (1) 过a' 作垂线。 (2) 作过a" 的垂线与斜线的交点，并过交点作水平线。 (3) 过a' 的垂线与水平线的交点为所求a。 【例2-2】 如图2-9所示，已知点A距离H、V、W面分别 为13、12、10，画出其三面投影。
第2章 点、直线、平面的投影 图2-9 已知点到投影面的距离求点的投影
第2章 点、直线、平面的投影 图2-10 投影面和投影轴上的点
第2章 点、直线、平面的投影
2.2.5 两点的相对位置 我们作如下约定：OX轴为左右方向，OY轴为前后方向，
OZ轴为上下方向。如图2-11(a)所示，相对于A点而言，B点 在A点之右、之后、之下。它们之间在三个方向的相对位置 应为它们的坐标差：左右方向为XA－XB，前后方向为YA－YB； 上下方向为ZA－ZB，即A、B两点与W面、V面和H面的距离 差，这样就确定了两点的相对位置，如图2-11(b)所示。因此， 若已知两点的相对位置及其中一点的投影，即可作出另一点 的投影。
(1) 投影面上的点有一个坐标为零，在此投影面上点的 投影与该点重合，其它投影在相应的投影轴上。例如，在V 面上的B点和在H面上的C点，其投影符合此特点，如图210(b)所示。注意，C点的侧面投影应在YW轴上，而不在YH上。
(2) 投影轴上的点有两个坐标为零，在共轴的两个投影 面上的点的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与 原点O重合。例如，在X轴上的D点，其投影符合此特点， 如图2-10(b)所示。
垂线，得到垂足a即为点A在投影面P上的正投影。因为过空 间点A作一个平面的垂线只能作一条，所以A点在投影面P上 的投影是唯一的。反之，若已知A点在投影面P上的投影a， 却不能唯一确定空间点A的位置，因为过点A所作的P平面的 垂线上所有点的投影(如点A、B、C等)，都重合在a上。由 此可得到一个结论：一般情况下，点的一个投影不能唯一确 定空间点的位置。
第2章 点、直线、平面的投影
2．点的投影规律 为了方便作图，将互相垂直的三个投影面展开，如图27(a)、(b)所示：V面保持不动，沿OY轴将H面和W面分开，H 面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向后旋转90°，使三 个投影面展开在一个平面中。这时，OY轴分成H面上的OYH
和W面上的OYW，水平投影aY成为H面上的aYH 和W面上的aYW。
第2章 点、直线、平面的投影
投影面展开后，点A的三面投影之间有如下的投影规律 (图2-7(c))：
(1) a'a⊥OX(因为同反映X坐标)。 (2) a'a"⊥OZ(因为同反映Z坐标)。