新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专题练习
人教A版高中数学必修2课件3.2.2直线的截距式方程课件
y0 x a b0 0a y x a x a x 1 b 0a a a a
化简得,x y 1 a 0, b 0 a b
直线的截距式方程
【典型例题】
设直线l 的倾斜角为 α =60 ° ,并且经过点 P(2,3). (1)写出直线 l的方程; (2)求直线 l在y 轴上的截距. 解:(1)由于直线l 的倾斜角为 α =60 ° , 故其斜率为 k tan tan600 3 . 又直线经过点 P(2,3),由直线的点斜式方程 y y0 k x x0 得直线的方程为: y 3 3 x 2 ,即 3 x y 3 2 3 0 .
知识点—— 直线的截距式方程
直线的截距式方程
【定义】
直线的截距式方程: x y 1 a 0, b 0 a b
直线的截距式方程
【公式推导】 已知直线 l与 x轴的交点为 A a, 0 ,与 y轴 的交点为 B 0, b ,其中 a ≠ 0,b ≠0 ,求 直线 l的方程. y y1 x x1 x1 x2 , y1 y2 根据直线的两点式方程: y2 y1 x2 x1 可求出该直线的方程:直线 Nhomakorabea截距式方程
【变式训练】 ∴ 该直线在x 轴上的截距a=-8, 直线在y 轴上的截距 b=-4, ∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为: 1 1 a b 8 4 16. 2 2 1 综上所述:该直线的斜率为 2 ,在 x轴 上的截距为 -8,在y 轴上的截距为 4,与 坐标轴围成的三角形的面积为16 .
直线的截距式方程
【典型例题】 ( 2)
3 x y 3 2 3 0, y 3 x 3 2 3
人教新课标A版高一数学《必修2》3.2.2 直线的两点式方程
直线方程的求法
新课引入
直线方程的求法
新课讲授
直线方程的求法
新课讲授
直线方程的求法
新课讲授
直线的两点式方程
答:因为当x1=x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义, 所以此时直线P1P2没有两点式方程.
两点式的适用条件:直线的两点式方程,
不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方
第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程
学习目标Biblioteka 三维目标及重难点分析1.知识与技能 (1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围;
(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 2.过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论, 并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特 点.
程.
新课讲授 不能用直线的两点式方程的情况 思考6 若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2,或y1= y2, 此时过这两点的直线方程是什么?
答:当x1=x2时,直线的斜率不存在,直线的方程为:x=
x1或x=x2; 当y1= y2时,直线的斜率为0,直线的方程为:y=y1或y=y2. 即也可以说两点式不能表示与两条坐标轴垂直的直线 (包括两条坐标轴).
学习目标 三维目标及重难点分析 3.情感、态度与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;
(2)培养学生用联系的观点看问题.
4 .重点与难点 重点 难点 直线方程的两点式和截距式. 关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k
=0时对两点式方程的讨论及变形.
复习回顾
直线方程的相关结论
新课引入
各类方程的适用范围
谢谢大家!
达标检测
高中数学人教A版必修2第三章3.2.2直线的两点式方程课件
x+y-1=0.
基础强化: 1.过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是( C)
A.x=5 B.y=2 C.x=2 D.x+y=2
2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是( A )
A. x y 1 B. x y 1 C. x y 1 D. x y 1
4 3
3 4
4 3
4 3
3.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是( C )
二、问题的提出:
思考:大家都知道:两点确定一条直线! 那么经过两个定点的直线的方程能否用 “公式”直接写出来呢?
例如:已知两个点的坐标 P(1,2),Q(3,5). (1)如何求出经过P,Q两点的直线的方程? (2)由此你还有直线方程的新发现吗?
三、直线的两点式方程
设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 其中 x1≠x2,y1≠y2, 则 (1)直线l的斜率是什么?
四、例题分析:
例4、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),
求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直
线的方程.
y
.C
.
A
. O
M
x.Leabharlann B四、例题分析:例3、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点 为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
y
lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0)的
∴ 6 3 1 ,解得b=1.
3b b
∴直线l的方程为
x +y=1.
3
即x+3y-3=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-
新课标高中数学人教A版必修二全册课件3.2.2直线的两点式方程
xy
4. 截距式方程:
1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程: Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)
特别的,l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, 则 l1 //l2 k1=k2,且b1≠b2;
l1⊥ l2k1·k2 =-1.
探究2: 如图,已知直线l与x轴的交点 为A(a, 0),与y轴的交点为B(0, b),其中 a≠0,b≠0,求直线l的方程.
y
B(0, b) l
O A(a, 0) x
第六页,编辑于星期日:十三点 十六分。
研读教材P.95-P.96:
1. 直线的两点式方程是什么?
第七页,编辑于星期日:十三点 十六分。
第十八页,编辑于星期日:十三点 十六分。
例1.求过下列两点的直线的两点式方程 (1) P1(2, 1),P2(0, -3); (2) A(0, 5),B(5, 0).
第十九页,编辑于星期日:十三点 十六分。
例2.根据下列条件求直线的方程: (1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距为3; (2)在x轴上的截距是-5,与y轴的交点为
3. 若l1: y=k1x+b1, l2 :y=k2x+b2, 则l1//l2与l1⊥l2应满足怎样的关系?
第四页,编辑于星期日:十三点 十六分。
讲授新课
探究1:已知两点P1(x1, y1),P2(x2, y2) (其中x1≠x2,y1≠y2),如何求出通过这两 个点的直线方程呢?
第五页,编辑于星期日:十三点 十六分。
(3)高AE所在直线的方程.
y
C A
O Mx B
第二十五页,编辑于星期日:十三点 十六分。
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的两点式方程、直线的一般式方程》典型例题
拓展延伸应用点一 两点式方程【例1】求经过点A (2,1)与B (6,-2)的直线的方程.思路分析:利用直线的两点式方程求解.解:因为直线过点A (2,1),B (6,-2),所以直线的两点式方程为y -1-2-1=x -26-2,即3x +4y -10=0.已知三角形的三个顶点A (-5,0),B (3,-3),C (0,2).求BC 边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.应用点二 截距式方程【例2】已知直线l 过点P (-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线的方程.思路分析:关键是求出斜率k 或求出直线在两坐标轴上的截距,即寻找关于k 的方程或两截距的方程组.解:方法一:显然,直线l 与两坐标轴不垂直,设直线的方程为y -3=k (x +2).令x =0,得y =2k +3;令y =0,得x =-3k-2, 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12|2k +3|·⎪⎪⎪⎪3k +2=4,即(2k +3)⎝⎛⎭⎫3k +2=±8. 若(2k +3)⎝⎛⎭⎫3k +2=8,则整理得4k 2+4k +9=0,无解;若(2k +3)⎝⎛⎭⎫3k +2=-8,则整理得4k 2+20k +9=0,解之,得k =-12,k =-92. ∴所求直线的方程为y -3=-12(x +2)或y -3=-92(x +2), 即x +2y -4=0或9x +2y +12=0.方法二:显然,直线在两坐标轴上的截距均不为零.设所求直线的方程为x a +y b=1. ∵点P (-2,3)在直线上,∴-2a +3b =1.① 又∵直线与坐标轴围成的面积为4,∴12|a |·|b |=4,即|a |·|b |=8.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 3a -2b =8,ab =8,或(2)⎩⎪⎨⎪⎧3a -2b =-8,ab =-8. 解(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =2或⎩⎪⎨⎪⎧ a =-43,b =-6,且方程组(2)无解.∴所求直线的方程为x 4+y 2=1或x -43+y -6=1, 即x +2y -4=0或9x +2y +12=0.直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l 的横截距与纵截距之和为6,求直线l 的方程.应用点三 一般式方程【例3】已知直线Ax +By +C =0的斜率为5,且A -2B +3C =0,求直线的方程.思路分析:利用斜率-A B=5和已知式子求出B ,C 的关系,代入直线方程消去未知系数.解:方法一:∵直线Ax +By +C =0的斜率为5,∴B ≠0,且-A B=5,即A =-5B .① 又∵A -2B +3C =0,②由①②得,-5B -2B +3C =0,∴C =73B .③ 把①③代入直线方程,得-5Bx +By +73B =0. 又∵B ≠0,∴-5x +y +73=0. 故所求直线方程为15x -3y -7=0.方法二:∵A -2B +3C =0,∴A ·13+B ·⎝⎛⎭⎫-23+C =0, ∴直线经过点⎝⎛⎭⎫13,-23. 又∵斜率为5,∴所求直线方程为y +23=5⎝⎛⎭⎫x -13, 即15x -3y -7=0.设直线l 的方程为(m 2-2m -3)x +(2m 2+m -1)y =2m -6,根据下列条件分别确定m 的值.(1)l 在x 轴上的截距是-3;(2)l 的斜率是-1.迁移1.解:过B (3,-3),C (0,2)的直线的两点式方程为y -2-3-2=x -03-0.整理得5x +3y -6=0.这就是BC 边所在直线的方程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段,由中点坐标公式可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3+02,-3+22,即⎝⎛⎭⎫32,-12.过A (-5,0),M ⎝⎛⎭⎫32,-12的直线的方程为y -0-12-0=x +532+5.整理得12x +132y +52=0,即x +13y +5=0.这就是BC 边上的中线所在直线的方程.迁移2.解:由题意可知,直线l 在x 轴,y 轴上的截距都不为0,设直线l 的横截距为a ,由题意可得纵截距为6-a ,所以设直线l 的方程为x a +y 6-a=1.因为点(1,2)在直线l 上,所以1a +26-a =1.即a 2-5a +6=0,解得a 1=2,a 2=3.当a =2时,直线方程为x 2+y 4=1,直线经过第一、二、四象限;当a =3时,直线方程为x 3+y 3=1,直线经过第一、二、四象限.综上所述,所求直线方程为2x +y -4=0或x +y -3=0.迁移3.解:(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2-2m -3≠0,①2m -6m 2-2m -3=-3.② 由②解得m =3或m =-53. 分别代入①检验可知m =-53. (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2+m -1≠0,③-m 2-2m -32m 2+m -1=-1.④ 由④解得m =-1或m =-2.分别代入③检验得m =-2.。
人教版数学必修二3.《直线的两点式与截距式方程》上课PPT课件
人教版数学必修二3.《直线的两点式 与截距 式方程 》上课P PT课件
题型二:利用截距式求直线方程
例4:求过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距 互为相反数的直线方程.
分类讨论的思想
分析:1、当直线过原点时,设方程为y=kx
2、当直线不过原点,设方程为
x a
y a
1
y 5 x或x y 8 0 3
题型二:利用截距式求直线方程 人教版数学必修二3.《直线的两点式与截距式方程》上课PPT课件
你有几种方法?
例3、完成下列问题:
(1)已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的
截距分别是-3和4,则m=_4__,n=__3_.
法1:将直线方程化为截距式.
x 12
y 12
1
m
n
法2:由已知可知直线截距式方程为
已知直线经过两点 P1(1,2), P2 (3,5),则直线的斜率
3
k= 2 ;直线的方程为 3x 2y 1 0 。
讨?
一、直线的两点式方程
已知直线经过两点 , P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 , y1 y2 )
y (1) 4 (1)
x2 32
化简为: x y 1 0
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将 P(3, m) 代入方程得m=-2
题型一:利用两点式求直线方程 人教版数学必修二3.《直线的两点式与截距式方程》上课PPT课件
例2、已知三角形的三个顶点分别为A(6,-7),
题型二:利用截距式求直线方程
题后反思: 1、熟练掌握两点式与截距式方程,谨防用错 2、注意一题多解. 3、选择合适的形式设直线方程. 4、注意分类讨论的数学思想.
高中数学必修2-3.2.2直线的两点式和截距式方程教案 新人教A版必修2
课题:2.3.2.2直线的两点式和截距式方程课 型:新授课 教学目标: 1、知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。
教学重点:直线方程两点式。
教学难点:两点式推导过程的理解 教学过程: 问 题 设计意图 师生活动1、利用点斜式解答如下问题: (1)已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程.(2)已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠,求通过这两点的直线方程。
遵循由浅及深,由特殊到一般的认知规律。
使学生在已有的知识基础上获得新结论,达到温故知新的目的。
教师引导学生:根据已有的知识,要求直线方程,应知道什么条件?能不能把问题转化为已经解决的问题呢?在此基础上,学生根据已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程:(1))1(232-=-x y(2))(112121x x x x y y y y ---=- 教师指出:当21y y ≠时,方程可以写成 ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式(two-point form ).2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =,或21y y =,此时这两点的直线方程是什么?使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。
教师引导学生通过画图、观察和分析,发现当21x x =时,直线与x 轴垂直,所以直线方程为:1x x=;当21y y =时,直线与y 轴垂直,直线方程为:1y y =。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b
6, 6,
或
a b
2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b
4, 3
或
a b
12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2
高中数学人教A版必修二 课件:3.2.2直线的两点式方程
探究点一 直线的两点式方程 1. 两点式方程的应用前提是x1≠x2,且y1≠y2即斜率不存
在及斜率为0时不能用两点式方程,当x1=x2时,方程
为x=x1;当y1=y2时,方程为y=y1. 对于两点式中的两点,只要直线上的两点即可,与点 的先后顺序没有什么关系. 2.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要
[错因]
错解一忽视了截距的意义,截距不是距离,它可
正可负,也可以为0.当k=1时,直线x-y-5=0在两坐标
轴上的截距分别为5和-5,它们是不相等的.另外,这种 解法还漏掉了直线在两坐标轴上的截距均为0时的特殊情 形;错解二中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样 也产生了漏解.
[正解一] 设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a. (1)若 a=0,则直线 l 过原点, 此时 l 的方程为 2x+3y=0; x y (2)若 a≠0,则 l 的方程可设为a+a=1. 3 -2 ∵l 过点(3,-2),∴a+ a =1,即 a=1. ∴直线 l 的方程为 x+y=1,即 x+y-1=0. 综上所述,直线 l 的方程为 2x+3y=0 或 x+y-1=0.
方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)能表示所有的直线吗?
y-y1 x-x1 提示:能.在方程 = 中,不能表示垂直于坐标轴 y2-y1 x2-x1 的直线,而在(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)中,因为是整式 方程,又没有限制条件,所以能表示所有的直线.
2.线段 P1P2 的中点坐标公式 若 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)且线段 P1P2 的 x=x1+x2, 2 中点 M 的坐标为(x,y),则 y1+y2 y= . 2
高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
() A.2,3
B.-2,-3
C.-2,3
D.2,-3
解析:-x2+-y3=1 为直线的截距式,在 x 轴,y 轴
上的截距分别为-2,-3.
答案:B
4.直线 l 过点(-1,2)和点(2,5),则直线 l 的方程 为______________.
解析:由题意直线过两点,由直线的两点式方程可得:
y-2 x-(-1)
[典例 1] 已知 A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2), 在△ABC 中,求:
(1)BC 边的方程; (2)BC 边上的中线所在直线的方程.
பைடு நூலகம்
[自主解答] (1)BC 边过两点 B(5,-4),C(0,-2),
y-(-4) x-5
由两点式得,
= ,即 2x+5y+10=0,
-2-(-4) 0-5
2.直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系. ①在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都可 以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示. ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线. (2)直线的一般方程的定义. 我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax+Bx+C=0(其 中 A、B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
(1)求边 BC 所在直线的方程; (2)求边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程. 解:(1)直线 BC 过点 B(3,-3),C(0,2),由两点式, 得2y++33=x0--33,整理得 5x+3y-6=0,所以边 BC 所在 的直线方程为 5x+3y-6=0.
(2)因为 B(3,-3),C(0,2),所以由中点坐标公式 可得边 BC 上的中点 M 的坐标为3+2 0,-32+2,即 32,-12,可得直线 AM 的方程为-y-12-00=x32--((--55)), 整理得直线 AM 的方程为 x+13y+5=0.
人教版高中数学必修2第三章第2节《直线的两点式方程》ppt参考课件2
整理得:5x+3y-6=0
中点坐标公式:
若P1 ,P2坐标分别为( x1 ,y1 ), (x2 ,y2) 且中点M的坐标为(x,y).
x x1 x2
则
2
y y1 y2 2
∵B(3,-3),C(0,2)
∴
M
30, 2
3 2
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
y2 y1 x2 x1
不是!当x1 =x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点
式方程.( 因为x1 =x2或y1= y2时,两点式的分母为 零,没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的 方程呢?
注意: 两点式不能表示平行于坐标轴
或与坐标轴重合的直线.
若点P1 ( x1 , y1 ),P2( x2 , y2) 中有x1 =x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么?
2
思考题:
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的 直线l 1的方程。
解:当x=0时,y=3.
(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7). 当x=-2时,y=1.
(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).
高中数学人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 课件(42张)
(2)求过点 M(m,0)和点 N(2,1)的直线方程.
【解析】 ①当 m=2 时,过点 M(m,0)和点 N(2,1)的直线斜 率不存在,其方程为 x=2.
②当 m≠2 时, 方法一:直线的斜率为 k=m0--12=-m-1 2, 又∵直线过点 N(2,1), ∴直线方程的点斜式为 y-1=-m-1 2(x-2). 即 x+(m-2)y-m=0.
D.4
3.直线 3x-2y=4 的截距式方程是( )
A.34x-y2=1
B.x1-y1=4 32
C.34x--y2=1 答案 D
D.x4+-y2=1 3
4.已知△ABC 的顶点 A(0,5),B(1,-2),C(-6,4),则 BC 边上的中线所在直线方程为________.
答案 8x-5y+25=0 解析 设 BC 的中点为 D(x,y),则x=-52,
则可设 l 的方程为xa+ya=1, 由已知 l 过点 A(4,1),∴4a+1a=1,得 a=5. l 的方程为x5+y5=1,即 x+y-5=0.
(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0(或者说直线 l 过原点), 则可设 l 的方程为 y=kx.
代入点 A 的坐标,得 k=14. l 的方程为 y=14x,即 x-4y=0. ∴所求直线 l 的方程为 x+y-5=0 或 x-4y=0.
y=1. ∴D(-52,1),∴kAD=45=85,∴y=85x+5.
2 即 8x-5y+25=0.
请做:课时作业(二十)
思考题 1 (1)求满足下列条件的直线方程:
①经过点 A(-3,-3),斜率是 4; ②斜率是 3,在 y 轴上的截距是-3; ③斜率是-3=4(x+3),得 4x-y+9=0. ②由斜截式,得 y=3x-3,即 3x-y-3=0. ③在 x 轴上的截距是 3,即过点(3,0),由点斜式,得 y-0 =-3(x-3),即 3x+y-9=0.
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
.
A(a,0)
二、直线的截距式方程
x y 1 a b
(a 0, b 0)
上面方程由直线在坐标轴上的截距a与b确定,所 截距式 以此方程叫做直线的 截距式方程 简称: 适用范围:与x轴、y轴都不垂直并且不过原点的 直线
即截距式方程不能表示: 斜率为0、斜率不存在、过原点的直线
x y 1 a b
y y 2 1 代入点斜式,得: y y1 ( x x1 ) x2 x1
当 y1 y2 时,方程可以写成:
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( x1 x2 , y1 y2 )
一、直线的两点式方程 y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 ( x1 x2 , y1 y2 )
解决求三角形的面积问题很简便
例3:已知直线l过点P( ,4),且与两坐标轴正 半轴围成的三角形的面积为5,求直线l的方程。
练习:已知直线l过点P(2,3),并且在两坐标 轴上截距相等,求直线l的方程。
例4:为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一 个矩形草坪,另外,△AEF内部有一文物保护区 不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m, AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?
典例解析
例1:已知三角形的三个顶点A(-5,0), B(3,-3),C(0,2), (1)求BC边所在直线的方程; y (2)求AC边的方程; (3)求BA边上
. B
x
例2:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0 , b≠0 ,求直线l的方程 B(0,b) .
(a 0, b 0)
思考1:直线的截距式方程有什么特征? x项 分母对应的是横截距,y项 分母对应的是纵截 距,中间以“+”连接,等式右边为1
新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专题练习(含精品解析)
由截距式可得:
,将
所以代入直线方程化简可得,
代入直线方程,解得:
或
.
或 3,
【点睛】本题考查直线方程的截距式,根据题意假设参数,最后代入已知点解出即可,
注意截距式的标准形式与限制条件.
14. 过点 P(3,-1),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程是___
【答案】
【答案】
【解析】
设直线 l 的方程为:
令 x=0 得:纵截距为 b
令 y=0 得:横截距为
又截距之和为 10,即 b
,
∴
∴此直线 l 的方程为
故答案为:
18. 如右图所示,直线 l 的截距式方程是 + =1,则有 ( )
A. a>0,b>0 B. a>0,b<0 C. a<0,b>0 D. a<0,b<0
【详解】由截距式的标准方程:
,其中 a、b 为截距,可直接得出截距分别为:-2、-3.
【点睛】本题考查截距式的标准形式,注意截距有正负即可.
9. 直线
在 y 轴上的截距是_____
【答案】 【解析】 【分析】 将直线方程化为截距式的标准形式,即可得到 y 轴上截距.
【详解】将直线方程化为截距式标准形式:
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与坐标轴交点的位置及截距式中参数的几何意义直接得出参数的符号.
【详解】直线与 x 轴交于正半轴,与 y 轴交于负半轴,所以横截距与纵截距符号一正一负,根据截距式参
数的意义可知:
.
故选 B.
【点睛】本题考查直线的图像与解析式的关系,根据直线方程中参数的几何意义解题,只需要观察图像以
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2的直
线l的方程为:
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
(x1≠x2,y1≠y2)
记忆特点:
1.左边全为y,右边全为x.
2.两边的分母全为常数. 3.两边分子,分母中的减数分别相同.
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思考2:是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出 直线方程 y y1 x x1 呢?
y2 y1 x2 x1
不是当x1=x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程. (因为x1=x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有意义)
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已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程.
解:设直线方程为:y=kx+b(k≠0)
由已知得:43
k b, 2k b,
k 1, 解方程组得:b 2,
待定系数 法
方程思想
所以,直线方程为: y=x+2.
思考:还有其他做法吗?
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法二: 已知直线上两点,由斜率公式得:k 4 3 2 1
再由直线的点斜式方程可得: y 3 4 3 x 1,
5
当截距均不为0时,设直线方程为
x
5y
1,
aa
把P(-5,4)代入上式得 a 1.
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版
3.2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围;2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围;3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中x 1≠x 2,y 1≠y 2,求通过这两点的直线方程. 答案 y -y 1=y 2-y 1x 2-x 1(x -x 1), 即y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗?为什么?过点(2,3),(5,3)的直线呢? 答案 不能,因为1-1=0,而0不能做分母.过点(2,3),(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中x 1≠x 2,y 1≠y 2y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5+y7=1表示吗?答案 能.由直线方程的两点式得y -07-0=x -50-5,即x 5+y7=1. 思考2 已知两点P 1(a,0),P 2(0,b ),其中a ≠0,b ≠0,求通过这两点的直线方程. 答案 由直线方程的两点式得y -0b -0=x -a 0-a 得x a +yb=1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式 在x ,y 轴上的截距分别为a ,b 且a ≠0,b ≠0x a +yb =1 斜率存在且不为0,不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),设P (x ,y )是线段P 1P 2的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1+x22,y =y 1+y22.类型一 直线的两点式方程例1 (1)若点P (3,m )在过点A (2,-1),B (-3,4)的直线上,则m =________. 答案 -2解析 由直线方程的两点式得y --14--1=x -2-3-2,即y +15=x -2-5.∴直线AB 的方程为y +1=-x +2, ∵点P (3,m )在直线AB 上, 则m +1=-3+2,得m =-2.(2)△ABC 的三个顶点为A (-3,0),B (2,1),C (-2,3),求: ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程.解 ①由直线方程的两点式得y -03-0=x --3-2--3,所以AC 所在直线的方程是3x -y +9=0.②因为B (2,1),C (-2,3),所以k BC =3-1-2-2=-12,线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2-22,1+32,即(0,2),所以BC 边的垂直平分线方程是y -2=2(x -0),整理得2x -y +2=0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (-1,-1),B (3,1),C (1,6).求与CB 平行的中位线的直线方程.解 方法一 由A (-1,-1),C (1,6),则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,52. 又因为A (-1,-1),B (3,1),则AB 的中点为N (1,0).故过MN 的直线为y -052-0=x -10-1(两点式),即平行于CB 的中位线方程为5x +2y -5=0.方法二 由B (3,1),C (1,6)得k BC =6-11-3=-52,故中位线的斜率为k =-52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,52,故中位线方程为y =-52x +52(斜截式),即5x +2y -5=0.类型二 直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程. 解 设直线的两截距都是a ,则有①当a =0时,直线设为y =kx ,将P (2,3)代入得k =32,∴直线l 的方程为3x -2y =0;②当a ≠0时,直线设为x a +y a=1,即x +y =a , 把P (2,3)代入得a =5,∴直线l 的方程为x +y =5. ∴直线l 的方程为3x -2y =0或x +y -5=0.反思与感悟 如果直线与两坐标轴都相交,则可考虑选用截距式方程,用待定系数法确定其系数即可.选用截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,则直线l 的方程为____________.(2)直线l 过点P (43,2),且与两坐标轴围成的三角形周长为12,则直线l 的方程为_____________.答案 (1)x +2y -4=0或9x +2y +12=0; (2)3x +4y -12=0或15x +8y -36=0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a +yb=1(ab ≠0),则有⎩⎪⎨⎪⎧-2a +3b =1,12|ab |=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =-43,b =-6.∴直线l 的方程为x 4+y2=1或x -43+y-6=1, 即x +2y -4=0或9x +2y +12=0. (2)设直线l 的方程为x a +yb=1(a >0,b >0), 由题意知,a +b +a 2+b 2=12. 又因为直线l 过点P (43,2),所以43a +2b =1,即5a 2-32a +48=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,b 1=3,⎩⎪⎨⎪⎧a 2=125,b 2=92,所以直线l 的方程为3x +4y -12=0 或15x +8y -36=0.类型三 直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),求BC 边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.解 如图,过B (3,-3),C (0,2)的两点式方程为y -2-3-2=x -03-0,整理得5x +3y -6=0. 这就是BC 边所在直线的方程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段,由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3+02,-3+22),即(32,-12).过A (-5,0),M (32,-12)的直线的方程为y -0-12-0=x +532+5, 即x +13y +5=0.这就是BC 边上中线所在直线的方程. 反思与感悟 直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率. (2)若已知直线的斜率,一般选用直线的斜截式,再由其他条件确定直线的一个点或者截距. (3)若已知两点坐标,一般选用直线的两点式方程,若两点是与坐标轴的交点,就用截距式方程. (4)不论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 跟踪训练3 如图,已知正方形ABCD 的边长是4,它的中心在原点,对角线在坐标轴上,则正方形边AB ,BC 所在的直线方程分别为__________________________________. 对称轴所在直线的方程为__________________.答案 x +y -22=0,x -y +22=0y =±x ,x =0,y =0解析 ∵AB =4,在Rt△OAB 中,|OA |2+|OB |2=|AB |2, ∴|OA |=|OB |=22,由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22+y22=1,即x +y -22=0.由上面可得:B (0,22),C (-22,0), ∴BC 的直线方程为x -22+y22=1,即x -y +22=0,易得对称轴所在直线的方程为y =±x ,x =0,y =0.1.过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A .y =x +3 B .y =-x +1 C .y =x +2 D .y =-x -2答案 A解析 代入两点式得直线方程y -14-1=x +21+2,整理得y =x +3.2.经过P (4,0),Q (0,-3)两点的直线方程是( ) A.x 4+y 3=1 B.x 3+y 4=1 C.x 4-y3=1 D.x 3-y4=1 答案 C解析 由点坐标知直线在x 轴,y 轴上的截距分别为4,-3,所以直线方程为x 4+y -3=1,即x 4-y3=1.3.经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A .x =2 B .y =2 C .x =3 D .x =6 答案 B解析 由M ,N 两点的坐标可知,直线MN 与x 轴平行,所以直线方程为y =2,故选B. 4.过点M (3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________. 答案 4x +3y =0或x +y +1=0 解析 ①若直线过原点,则k =-43,∴y =-43x ,即4x +3y =0.②若直线不过原点,设x a +y a=1,即x +y =a . ∴a =3+(-4)=-1,∴x +y +1=0.5.已知△ABC 的三个顶点坐标为A (-3,0),B (2,1),C (-2,3),求:(1)BC 边所在直线的方程;(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程; (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程.解 (1)直线BC 的方程为y -13-1=x -2-2-2,即x +2y -4=0.(2)由(1)知k BC =-12,则k AD =2,又AD 过A (-3,0),故直线AD 的方程为y =2(x +3),即2x -y +6=0. (3)BC 边中点为E (0,2), 故AE 所在直线方程为x -3+y2=1,即2x -3y +6=0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点: (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离,距离是非负值,而截距可正可负,可为零,在与截距有关的问题中,要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应注意分类讨论,即应对斜率是否存在加以讨论.一、选择题1.下列说法正确的是( ) A .方程y -y 1x -x 1=k 表示过点P 1(x 1,y 1)且斜率为k 的直线 B .直线y =kx +b 与y 轴的交点为B (0,b ),其中截距b =|OB | C .在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a +y b=1D .方程(x 2-x 1)(y -y 1)=(y 2-y 1)(x -x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线方程答案 D 解析 方程y -y 1x -x 1=k 表示过P 1(x 1,y 1)且斜率为k 的直线,但不包括点P 1(x 1,y 1),故A 错;对于B ,截距可正、可负、可为零,从而错误;对于截距式方程x a +y b=1中要求ab ≠0. 2.直线x a 2-y b2=1在y 轴上的截距是( ) A .|b | B .-b 2C .b 2D .±b 答案 B解析 令x =0得,y =-b 2.3.以A (1,3),B (-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A .3x -y -8=0 B .3x +y +4=0 C .3x -y +6=0 D .3x +y +2=0答案 B解析 因为k AB =1-3-5-1=13,AB 的中点坐标为(-2,2),所以所求直线方程为y -2=-3(x +2),化简为3x +y +4=0. 4.若直线x a +y b=1过第一、二、三象限,则( ) A .a >0,b >0 B .a >0,b <0 C .a <0,b >0 D .a <0,b <0 答案 C解析 因为直线l 在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,且经过第一、二、三象限,故a <0,b >0.5.两条直线l 1:x a -y b =1和l 2:x b -y a=1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a +y -b =1,x b +y-a=1. 假定l 1,判断a ,b ,确定l 2的位置,知A 项符合.6.过点(4,-3),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 答案 C解析 当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时, 设直线方程为x a +y a=1, ∵(4,-3)在直线上, ∴4a -3a=1得a =1,∴直线方程为x +y -1=0; 当a ≠0,且截距互为相反数时, 设直线方程x a -y a=1,∵(4,-3)在直线上,即4a +3a=1,解得:a =7,∴直线方程为x -y -7=0,当与两坐标轴上截距都为零时,可设直线方程为y =kx , 由-3=4k ,得k =-34,∴y =-34x ,∴所求直线方程为x +y -1=0或x -y -7=0或y =-34x ,故共3条.二、填空题7.过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点,若P 为AB 的中点,则直线l 的截距式方程是_____________. 答案 x 2+y6=1解析 设A (m,0),B (0,n ),由P (1,3)是AB 的中点可得m =2,n =6, 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6). 则l 的方程为x 2+y6=1.8.过点(-2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________. 答案 3x +2y =0或x -y +5=0 解析 该直线过原点时, 设直线方程为y =kx ,将x =-2,y =3代入得:k =-32,∴直线方程为3x +2y =0. 当与两坐标轴截距不为零时, 设直线方程为x a -y a=1, ∵直线过点(-2,3), 即-2a -3a=1,得a =-5,∴直线方程为x -y +5=0,故所求直线方程为3x +2y =0或x -y +5=0.9.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________. 答案 3x +2y -6=0解析 由题意知,直线在y 轴上的截距为3, 则在x 轴上的截距为2,∴该直线截距式方程为x 2+y3=1即3x +2y -6=0.三、解答题10.求经过点P (-5,-4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程.解 设所求直线方程为x a +y b =1.∵直线过点P (-5,-4),∴-5a +-4b=1,① 于是得4a +5b =-ab ,又由已知,得12|a |·|b |=5, 即|ab |=10.②由①②,得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a +5b =-ab ,|ab |=10,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-52,b =4,或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-2. 故所求直线方程为x -52+y 4=1或x 5+y -2=1. 即8x -5y +20=0或2x -5y -10=0.11.在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,求:(1)顶点C 的坐标;(2)直线MN 的方程.解 (1)设C (x 0,y 0),则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+52,y 0-22, BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+72,y 0+32, 因为M 在y 轴上,所以x 0+52=0得x 0=-5. 又因为N 在x 轴上,所以y 0+32=0,所以y 0=-3.即C (-5,-3).(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0,-52,N (1,0), 所以直线MN 的方程为x 1+y-52=1.12.已知三角形的顶点是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2).(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积;(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y -0-3-0=x --53--5, 整理得3x +8y +15=0.直线AB 在x 轴上的截距为-5,在y 轴上的截距为-158,所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S =12×5×158=7516. (2)因为k AC =2-00--5=25, k BC =2--30-3=-53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交,结合图形知k ≥25或k ≤-53.。
新课标人教A版高一必修二数学3.2.2直线的两点式方程课件(共13张ppt)
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3.2.2直线的两点式方程
问题提出
1.直线的点斜式方程和斜截式方程 分别是什么?平行于坐标轴的直线 方程是什么?
点斜式:y-y0=k(x-x0)
斜截式:y=kx+b
2.在不同条件下有不同形式的直线 方程,对此我们再作些探究.
探究(一):直线的两点式方程
思考1:由一个点和斜率可以确定一 条直线,还有别的条件可以确定一 条直线吗?
思考2:设直线l经过两点P1(x什么?结合点斜式直线l 的方程如何?
思考3:方程写y 成 y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
比例式可化为,y 此y方1 程x叫 x1
y2 y1 x2 x1
做直线的两点式方程,该方程在结构形
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
理论迁移
例1已知三角形的三个顶点A(-5, 0),B(3,-3),C(0,2),求 BC边所在直线的方程,以及该边上 中线所在直线的方程.
y
C
A
o
Mx
B
例2求经过点P(-5,4),且在两坐标 轴上的截距相等的直线方程.
y P
o x
例3求经过点P(0,5),且在两坐标 轴上的截距之和为2的直线方程.
例4已知直线l经过点P(1,2),并且 点A(2,3)和点B(4,-5)到直线l的距 离相等,求直线l的方程.
y
A
P
o
x
B
作业: P97练习:1,2.(做书上) P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.
思考3:方程叫ax 做by直 1线的截距式方程, 过原点的直线方程能用截距式表示吗?
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直线的两点式方程与截距式方程
一、知识梳理
知识点一:直线方程的两点式
思考1:已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中x 1≠x 2,y 1≠y 2,求通过这两点的直线方程. 答案:y -y 1=y 2-y 1x 2-x 1(x -x 1),即y -y 1y 2-y 1=x -x 1
x 2-x 1
.
思考2:过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗?为什么?过点(2,3),(5,3)的直线呢? 答案:不能,因为1-1=0,而0不能做分母.过点(2,3),(5,3)的直线也不能用两点式表示. 结论梳理:
思考1:过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5+y
7=1表示吗?
答案:能.由直线方程的两点式得y -07-0=x -50-5
,即x 5+y
7=1.
思考2:已知两点P 1(a,0),P 2(0,b ),其中a ≠0,b ≠0,求通过这两点的直线方程. 答案:由直线方程的两点式,得y -
0b -0=x -a 0-a ,即x a +y
b =1.
结论梳理: 类型一:直线的两点式方程
1、过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为x-y +3=0
2、经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为y =2
3、已知点A (3,2),B (-1,4),则过点C (2,5)且过线段AB 的中点的直线方程为2x -y +1=0
4、过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是-3
2
5、已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2),M 为AB 中点,N 为AC 中点,则中位线MN
所在直线方程为2x +y -8=0
6、已知点P (-1,2m -1)在经过M (2,-1)、N (-3,4)两点的直线上,则m =__3
2
7、若点P (3,m )在过点A (2,-1),B (-3,4)的直线上,则m =-2 8、在△ABC 中,已知A (-3,2),B (5,-4),C (0,-2), (1)求BC 边的方程;(2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 答案:(1) 2x +5y +10=0(0≤x ≤5).(2) 10x +11y +8=0. 类型二:直线方程的截距式
1、直线x -2+y
-3=1在x 轴,y 轴上的截距分别为-2,-3
2、直线x a 2-y
b 2=1在y 轴上的截距是-b 2
3、过P 1(2,0),P 2(0,3)两点的直线方程是x 2+y
3=1
4、直线x 3-y
4
=1在两坐标轴上的截距之和为-1
5、过点P (2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是x -y +1=0或3x -2y =0
6、已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,且过点(6,-2),则直线l 的方程为 答案:0632022=-+=-+y x y x 或
7、过点P (3,-1),且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是___ 答案:x +2y -1=0或x +3y =0
8、过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为x =3,纵截距为-2且与y 轴垂直的直线方程为___
答案:y =-2
9、已知直线l 的斜率是直线2x -3y +12=0的斜率的1
2,l 在y 轴上的截距是直线2x -3y +
12=0在y 轴上的截距的2倍,则直线l 的方程为x -3y +24=0
10、已知直线l 的斜率为6,且在两坐标轴上的截距之和为10,则此直线l 的方程为___
答案: 6x -y +12=0 类型三:直线图像识别
1、如右图所示,直线l 的截距式方程是x a +y
b =1,则有 ( B )
A .a >0,b >0
B .a >0,b <0
C .a <0,b >0
D .a <0,b <0
2、两条直线l 1:x a -y b =1和l 2:x b -y
a
=1在同一直角坐标系中的图象可以是( A )
3、两直线x m -y n =1与x n -y
m =1的图象可能是图中的哪一个 ( B )
4、已知直线ax +by +c =0的图象如图,则( D )
A .若c >0,则a >0,b >0
B .若c >0,则a <0,b >0
C .若c <0,则a >0,b <0
D .若c <0,则a >0,b >0 5、直线x a +y
b
=1过第一、二、三象限,则( C )
A .a >0,b >0
B .a >0,b <0
C .a <0,b >0
D .a <0,b <0 类型四:判断直线的条数
1、过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条,方程为:023=-y x 、05-=+y x
2、过P (4,-3)且在坐标轴上截距相等的直线有2条方程为:043=+y x 、01-=+y x
3、过点A (3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3条,方程为:03=+y x 、
02-=+y x 、04--=y x 、
4、经过点A (-5,2),且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为 答案:x +2y +1=0或2x +5y =0 类型五:与三角形有关的直线方程
1、已知直线x a +y
6
=1与坐标轴围成的图形面积为6,则a 的值为±2
2、过点P (1,3)且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是3x +y -6=0
3、斜率与直线4x +3y =0相等,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的
截距是3或-3
4、直线ax +by -1=0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( D )
A .12ab
B .12|ab |
C .12ab
D .12|ab |
5、求经过点P (-5,-4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程. 答案: 8x -5y +20=0或2x -5y -10=0. 类型六:直线方程的简单应用
1、平面直角坐标系中,直线x +3y +2=03
2、已知直线l 的倾斜角为60°,在y 轴上的截距为-4,则直线l 的点斜式方程为________;截距式方程为________;斜截式方程为________;一般式方程为________. 答案:点斜式方程:y +4=3(x -0), 截距式方程:x 433
+y -4=1,
斜截式方程:y =3x -4, 一般式方程:3x -y -4=0.
3、若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限,则系数A ,B ,C 需满足条件( A )
A .A ,
B ,
C 同号 B .AC <0,BC <0 C .C =0,AB <0
D .A =0,BC <0 4、直线Ax +By +C =0的斜率为5,且A -2B +3C =0,则直线的方程是15x -3y -7=0 5、光线从A (-3,4)点射出,到x 轴上的B 点后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点 C (1,6),则BC 所在直线的方程为5x -2y +7=0 6、求分别满足下列条件的直线l 的方程:
(1)斜率是3
4,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过两点A (1,0)、B (m,1);
(3)经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等. 答案:(1)y =4
3
x ±3;
(2)当m ≠1时,直线l 的方程是y =1
m -1(x -1);当m =1时,直线l 的方程是x =1.
(3) x +y =1或x 7+y -7=1或y =-3
4x .
7、设直线l 的方程为y =(-a -1)x +a -2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程; (2)若l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围. 答案:(1) 3x +y =0或x +y +2=0.
(2)由l 的方程为y =-(a +1)x +a -2,欲使l 不经过第二象限,
当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧
-(a +1)≥0,
a -2≤0,解得a ≤-1,故所求的a 的取值范围为(-∞,-1].
8、(选做题)如图所示,已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,求△AOB 面积最小时l 的方程. 解:设A (a ,0),B (0,b ),显然a >3,b >2, 则直线l 的方程为x a +y
b
=1,
因为P (3,2)在直线l 上,所以3a +2b =1,于是b =2a
a -3,
所以S △AOB =12ab =a 2
a -3
,整理得a 2-S △AOB ·a +3S △AOB =0(*).
因为此方程有解,所以Δ=S 2
△AOB -12S △AOB ≥0,
又因为S △AOB >0,所以S △AOB ≥12,S △AOB 最小值=12.
将S △AOB =12代入(*)式,得a 2-12a +36=0,解得a =6,b =4. 此时直线l 的方程为x 6+y
4
=1,即2x +3y -12=0.。