圣维南方程组
圣维南方程组推导(Harry)
思路：
推导过程：
图2河流单元示意图
如图所示：
式中：
—水元素总重量沿河分量（ ）
其中：
式中：
—单位面积上的阻力（ ），可按Chazy公式计算
—湿周（ ）
综上：
ห้องสมุดไป่ตู้又：
式中：
—容重（ ），
—水深（ ）
—水力半径（ ）
原式整理得：
对于 右边，有：
因为 ，故令：
则原式：
综上，左边等于右边：
由数学知识易得 ，则简单移项有：
注意到： 为河深，高程 ， 为渠底高程，则：
式中：
一般地， ，故原式为：
（证毕）
P.S.利用能量方程推第二个方程，我还不太会；另外还有一些不懂的地方，希望多多指教！
、 —流量单元断面面积、宽（ 、 ）
— 内流过的路程（ ）
— 内的旁侧入流量（ ）
—水密度（ ）
、 —降水、蒸发量（ ）
左右两边同时除以 、 ，则有：
又令 ， ，则有：
通常地，忽略P、E，则得到证明方程：
（证毕）
2、动力方程：
方程为：一阶非线性双曲型偏微分方程，称之为动力方程、动量方程或能量方程，可见推导方法多样。
一维圣维南方程组简易推导
圣维南（SaintVenant）方程组：
圣维南方程组由水量平衡连续方程和动力方程构成，现推导如下：
1、水量平衡连续方程：
思路：质量守恒
推导过程：
图1流量平衡控制单元
圣维南方程组程序
圣维南方程组程序圣维南方程程序Option ExplicitOption Base 1Constnsr As Integer = 200Private ct, p, v, dtt As SinglePrivate ib As IntegerPrivate DXX(nsr), CNO(nsr), ZZ(nsr), QQ(nsr), PP(nsr), VV(nsr), SS(nsr), TT(nsr) As SinglePrivate n, l1, l2, ic As IntegerConst pi As Long = 3.1415926Private Sub Command1_Click()Dim de As LongDim delay As LongDim dx, cn, zu, x, zd, xx, yy As SingleDim mt, dt, i, j, k As IntegerOpen App.Path + "\resultsz.txt" For Output As #1Open App.Path + "\resultsq.txt" For Output As #2Open App.Path + "\inputdata.dat" For Input As #3Input #3, dt, ct, cn, nFor i = 1 To nDXX(i) = 1 * 1000CNO(i) = cnZZ(i) = 4 + 0.025 * (20 + 1 - i) QQ(i) = 0Next imt = 60 / dtdt = dt * 60dtt = 2 * dtl1 = 1l2 = nic = CInt(T ext1.Text)If ic = 1 Thenib = 0zu = 4.5ElseIfic = 2 Thenib = 1zu = 500ElseEnd IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12) If ic = 1 Thenp = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdDimmt,dt,i,j,kAsInteger；OpenApp.Path+"\resu；OpenApp.Path+"\resu；OpenApp.Path+"\inpu；Input#3,dt,ct,cn,n；Close#3；Fori=1Ton；DXX(i)=1*1000；CNO(i)=cn；ZZ(i)=4+0.025*(20+1-Dim mt, dt, i, j, k As IntegerOpen App.Path + "\resultsz.txt" For Output As #1 Open App.Path + "\resultsq.txt" For Output As #2 Open App.Path + "\inputdata.dat" For Input As #3 Input #3, dt, ct, cn, nClose #3For i = 1 To nDXX(i) = 1 * 1000CNO(i) = cnZZ(i) = 4 + 0.025 * (20 + 1 - i)QQ(i) = 0Next imt = 60 / dtdt = dt * 60dtt = 2 * dtl1 = 1l2 = nic = CInt(T ext1.Text)If ic = 1 Thenib = 0zu = 4.5ElseIfic = 2 Thenib = 1zu = 500Elseib = 1End IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12) If ic = 1 Thenp = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdCall back(l1, l2, ib)For k = 1 To nPrint #1, ZZ(k),Print #2, QQ(k),Next kPrint #1, Chr(13) + Chr(10); Print #2, Chr(13) + Chr(10); delay = 0For de = 1 To 200000delay = delay + 1Next deNexti；mt=60/dt；dt=dt*60；dtt=2*dt；l1=1；l2=n；ic=CInt(Text1.Text)；Ific=1Then；ib=0；zu=4.5；ElseIfic=2Then；ib=1；zu=500；Else；ib=1；EndIf；Fori=1To149；Forj=1T omt；x=i+j/mt；zd=4+1.5*Sin(pi*x/1Next imt = 60 / dtdt = dt * 60dtt = 2 * dtl1 = 1l2 = nic = CInt(T ext1.Text)If ic = 1 Thenib = 0zu = 4.5ElseIfic = 2 Thenib = 1zu = 500Elseib = 1End IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12) If ic = 1 Then p = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdCall back(l1, l2, ib)For k = 1 To nPrint #1, ZZ(k),Print #2, QQ(k),Next kPrint #1, Chr(13) + Chr(10);Print #2, Chr(13) + Chr(10);delay = 0For de = 1 To 200000delay = delay + 1Next dePicture1.ClsFor k = 1 To nxx = 0.1 + 0.5 * kyy = 8 - ZZ(k) / 1#If k = 1 ThenPicture1.PSet (xx, yy), RGB(0, 0, 255) ElsePicture1.Line -(xx, yy), RGB(0, 0, 255) End IfNext kPicture2.Clsib=1；zu=500；Else；ib=1；EndIf；Fori=1To149；Forj=1T omt；x=i+j/mt；zd=4+1.5*Sin(pi*x/12)；Ific=1Then；p=zu；v=0；ElseIfic=2Then；p=zu；v=0；Else；v=20000000#/dt；p=v*ZZ(l1)；EndIf；Callextern(l1,l2, ib = 1zu = 500Elseib = 1End IfFor i = 1 To 149For j = 1 Tomtx = i + j / mtzd = 4 + 1.5 * Sin(pi * x / 12)If ic = 1 Thenp = zuv = 0ElseIfic = 2 Thenp = zuv = 0Elsev = 20000000# / dtp = v * ZZ(l1)End IfCall extern(l1, l2, ib)ZZ(l2) = zdQQ(l2) = p - v * zdCall back(l1, l2, ib)For k = 1 To nPrint #1, ZZ(k),Print #2, QQ(k),Next kPrint #1, Chr(13) + Chr(10); Print #2, Chr(13) + Chr(10); delay = 0For de = 1 To 200000delay = delay + 1Next dePicture1.ClsFor k = 1 To nxx = 0.1 + 0.5 * kyy = 8 - ZZ(k) / 1#If k = 1 ThenPicture1.PSet (xx, yy), RGB(0, 0, 255) Else Picture1.Line -(xx, yy), RGB(0, 0, 255) End If Next kPicture2.ClsFor k = 1 To nxx = 0.1 + 0.5 * kyy = 4 - QQ(k) / 200#If k = 1 ThenPicture2.PSet (xx, yy), RGB(0, 0, 255) Else Picture2.Line -(xx, yy), RGB(0, 0, 255) End If Next kNext jNext i。
SaintVenant方程组CrankNicolson格式离散与学习控制建模word精品文档5页
SaintVenant方程组CrankNicolson格式离散与学习控制建模1引言现代渠道系统一般由明渠渠段构成[1]，1871年圣?维南（Saint Venant）得到圣维南非恒定流偏微分方程（SaintVenant方程）奠定了明渠非恒定流的理论基础，之后很长时间虽很多学者试图改进SaintVenant 方程（圣维南方程），许多专家学者仍多以圣维南方程组进行渠道运行自动控制建模[2].圣维南方程组属于一阶拟线性双曲型偏微分方程，目前为止还无法求得其精确解析解，在实际中对方程组的处理常采用数值解的方法将方程组进行离散化，把微分方程连续的定解域离散到定解域中的一些网格结点，得到一组代数方程[2-4].本文主要内容是探究如何用CrankNicolson（CN）格式离散圣维南方程组，从而得到基于迭代学习控制的数学模型.圣维南方程组的离散方法有有限元法、有限差分法、特征线法等[2].有限差分法中的CN格式为显式-隐式混合格式，结合显式和隐式格式的优点，具有无条件稳定，精度高于相应的显式和隐式格式等特点[5].文献[6]中对热传导方程的离散采用的是CN格式离散的方法.文献[7]中作者分析了显式、隐式和CN三种差分格式对土壤温度日变化的模拟能力，对比结果表明CN方案比隐式方案计算误差小，且绝对稳定.文献[8]中运用CN格式方法对耦合非线性偏微分系统进行了处理.还有一些文献也用到了CN方案，如[9-10].虽然CN格式离散用于偏微分系统已多见报道，但CN格式在具有耦合特性的圣维南方程组渠道系统上的应用尚未见报道.明渠渠道系统的控制方法基于迭代学习控制.迭代学习控制适用于具有重复运动性质的被控系统，其目标是实现有限区间上的完全跟踪.通过输出信号与给定期望的偏差，修正不理想的控制信号进行下一次迭代，直到对系统进行完全跟踪[11].明渠渠道系统常用于农田灌溉以及调水工程，其输水过程呈现出时间上的周期性、过程上的重复性.例如一片农田一年中某段时期每年的需水量大致是接近的，每年的需水量具有周期性.在农田灌溉领域迭代学习控制已有应用.文献[12]基于迭代学习控制方法控制一个周期性的分布参数系统，通过对中心支轴喷雾灌溉设备的控制，达到农田的最优灌溉.综上所述，本文采用CN格式对圣维南方程组进行离散化，并建立基于迭代学习控制方法的渠道系统数学模型.2系统描述文献[13]考虑渠道上下游为常水位水库的缓坡单渠渠道.节制闸门的开启会引起渠道水流流态变化，此时为渐变非恒定流用以水位Y（x，t）、流量Q（x，t）为变量的圣维南方程组来描述，水位和流量是关于空间和时间的变量.此方程是非?性双曲型偏微分方程：3学习控制建模文献[16]中，作者将热流方程在时间上进行前向差分，在空间上进行有限差分，由此离散化后得到的方程形如（19a）式偏差分的矩阵形式，随后对得到的线性方程组进行迭代解，用数值解的方法进行求解.本文对于C-N离散化后的渠道系统基于迭代学习控制方法进行控制.现在假设用i 表示N个时间步长，闸门控制渠道水的流量，利用前一次操作时测得的流量和水深与期望流量和水深的误差信息来修正闸门的下一次调控，如此反复调控闸门直到水渠水的流量与水深完全跟踪上期望值.试验中研究的控制系统由于每次试验重复运行时所表示的函数关系不变，是可重复的，因此我们用整数k表示每次试验重复操作的次数，其中k=0，1，2，3….当第k次试验满足f（ek（i））[6]CICHY B，GALKOWSKI K，ROGERS E.Iterative learning control for spatiotemporal dynamics using CrankNicholson discretization. Multidimens[J]. Syst. Signal Process，2012，23（1/2）：185-208.[7]郑辉，刘树华.数值差分格式及各点设置对土壤温度模拟结果的影响[J].地球物理学报， 2012，55（8）：2514-2522.[8]VEMULA R，CHAMKHA A，MALLESH M P.Nanofluid flow past an impulsively started vertical plate with variable surface temperature [J]. International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow， 2016， 26（1）：328-347.[9]SACHIN S. WANI，SARITA H. THAKAR.CrankNicolson Type Method for Burgers Equation [J]. International Journal of Applied Physics and Mathematics， 2013， 3（5）： 324-328.[10]ZHAO X，SUN Z Zpact CrankNicolson schemes for a class of fractional control Cattaneo equation in inhomogeneous medium [J].Sciput.62 （2015），747-771.[11]谢胜利，田森平，谢振东.迭代学习控制的理论与应用[M].北京：科学出版社， 2005.[12]MOORE K L，CHEN Y Q. “Iterative learning approach to adiffusion problem in an irrigation application，” in Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation， 2006[C]：1329-1334.[13]方神光，李玉?s，吴保生.大型输水明渠运行控制模式研究[J].水科学进展，2008，19（1）：68-71.[14]LITRICO X，FROMION V.Modeling and control of hydrosystems[M].London： Springer， 2009 .[15]LITRICO X.FROMION V.Frequency modeling of open channel flow [J].Hydraul Eng， 2004，130 （8）： 806-815.[16]RABENSTEIN R，STEFFEN P.Implicit Discretization of Linear Partial Differential Equations and Repetitive Processes[J].International Workshop on Multidimensional， 2009，106 （2）：1-7.第36卷第1期2017年3月计算技术与自动化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7第36卷第1期2017年3月计算技术与自动化Computing Technology and AutomationVol36，No1Mar. 2 0 1 7希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
一个简洁的圣维南方程组推导过程
一个简洁的圣维南方程组推导过程圣维南方程组（Saint-Venant equations）是水力学中最常用的一类描述流体运动的四维偏微分方程组，其形式如下：$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partialy}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$ $\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partialy}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$ $\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partialy}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g$ $\frac{\partial \rho}{\partialt}+u\frac{\partial \rho}{\partialx}+v\frac{\partial \rho}{\partialy}+w\frac{\partial \rho}{\partial z}=0$推导过程：首先，根据物理定义，可以写出速度的导数的表达式：$\frac{\partial u}{\partialt}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)=\frac{\partial^2x}{\partial t^2}$$\frac{\partial v}{\partialt}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)=\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$$\frac{\partial w}{\partialt}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)=\frac{\partial^2z}{\partial t^2}$其次，根据动量定理，可以得到加速度的表达式：$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partialy}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$ $\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partialy}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$ $\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partialy}+w\frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g$最后，根据质量定理，可以得到密度的变化的表达式：$\frac{\partial \rho}{\partialt}+u\frac{\partial \rho}{\partialx}+v\frac{\partial \rho}{\partialy}+w\frac{\partial \rho}{\partial z}=0$以上就是圣维南方程组的推导过程。
圣维南方程组4点线性隐格式的稳定性分析
＋１
…
一
‘
－ ｂ
一
Ｗ ＋ｚ／ 面 ， （ ） 一厂 ， （ ）） ． （ ｇ ） （ ｇ ） （
Ｌ
孬
据 勒 值 理 ～ｋ ＝ 一 ＋【 泰 中 定 ， ｗｌ ｒ ＋
。
（ 一 ＋ （ ～ ）略 高 小 西 ） 。 】 去 阶 量 西 ．
Ｄ ：０ ３ ７／ ． ｓ ．００ １８ ．０ １０ ．０ ＯＩ １ ．８６ ｊｉ ｎ １０ —９ ０ ２ １ ．４ ０ ８ ｓ
圣 维 南方 程 组 ４点 线 性 隐格 式 的稳 定 性 分 析
胡 庆 云 王 船 海２ ，
（． １河海大学理学 院， 江苏 南京 ２０９ ； ． １０８ ２ 河海大学水文水 资源学院 ， 江苏 南京 ２０９ ） １０８
关键词 ： 圣维 南方程 组 ； 线性 隐式格 式 ； ４点 非线性 稳 定性 ； 长 因子 （ ） 增 ｆ
中 图分 类 号 ：Ｖ ３ ． Ｔ １１４
文 献标 志码 ： Ａ
文章 编 号 ：００ １８ （０１０—３７ ０ １０ —９０２ １）４０９ —５
非 线性 计算 的稳 定性 问题 是流 体动 力学 方程 组求 解 中不容 易解 决 的一个 重要 问题 ． 很多启 示性 方法 ［ ］ 一 可 以得 到非 线性 计算 稳定 性 的必要 条件 ． 本文 基 于非线 性 稳 定性 的一般 概 念［ ， 出 了一种 判 别 非线 性 稳 提
３８ ９
河 海 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第
３ ９卷
其 中： 是解 在 ｋ 时的近似值 ；（ － 厂
，
＋ ）＋ 一ｏ ｒ －
．
由此离散 式 得
ｒ ， ＋） ｈ、
圣维南方程组求解
>>水动力学圣维南方程组的求解发布时间：2012年06月23日分类：水动力学自从Stoker（1953）首次尝试将完整的Saint-Venant方程组用于Ohio河流的洪水计算以来，出现了大量的针对完整的Saint-Venant方程组的数学模型（动力波模型）。
求解圣维南方程组的数值方法很多，按离散的基本原理可分为特征线法、有限差分法、有限元法、有限体积法和有限分析法等。
有限差分法显式方法的先驱是Stoker（1953），其后有Liggett和Woolhiser（1967），Martin和DeFazio(l969)及Strelkoff（1970）等人，Dronkers（1969），Balloffet（1969）及Johnson （1974）将显式方法用于分析河口的潮汐运动，Garrison等(1969)，Johnson(1974)将显式方法用于模拟河道及水库的洪水，Liggett和Cunge(l975)给出了数种显式差分格式的表达式及分析结果。
对于每一计算时刻，关于计算断面的未知量，显式方法可直接从代数方程组中得出结果。
隐式方法的提出是出于显式方法由于计算的稳定性要求而存在时间步长限制的考虑。
隐式方法首先是由Isaacson等(1953)建议的，其后在六、七十年代很多学者在隐式方法进行了大量的研究工作。
隐式方法则要求解代数方程组。
代数方程组又分为线性和非线性两种，前者既可用直接法又可用迭代法求解，而后者要用迭代法求解。
在迭代法中，Newton-Raphson方法以其收敛速度快的特点而较为普遍地用于求解非线性代数方程组中，该方法首先由Amein和Fang(1970)应用于Saint-Venant方程组的数值解中，其后，国内外都有将这一方法用于河网水力数值模拟中。
直接法是用差商代替导数，将微分方程化为代数方程组，再求出区域网点上的解；而特征线法是首先将质量和动量方程进行等价变换，化为由四个常徽分方程构成的方程组，再用有限差分近似来求解。
圣维南方程组修订版
圣维南方程组修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】简介描述水道和其他具有自由表面的浅水体中渐变不恒定水流运动规律的偏微分方程组。
由反映质量守恒律的连续方程和反映动量守恒律的运动方程组成。
1871年由法国科学家A.J.C.B.de圣维南提出，故名。
一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s 为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
圣维南方程组
圣维南方程组 Last updated on the afternoon of January 3, 2021简介一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
基本假定建立圣维南方程组的基本假定是：①流速沿整个过水断面（一维情形）或垂线（二维情形）均匀分布，可用其平均值代替。
圣维南方程组
圣维南方程组文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-简介一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：式中t为时间；s 为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
基本假定建立圣维南方程组的基本假定是：①流速沿整个过水断面（一维情形）或垂线（二维情形）均匀分布，可用其平均值代替。
一维圣维南方程组
一维圣维南方程组，也称为一维非线性波动方程组，是由圣维南引入的非线性偏微分方程组。
其最一般的形式为：∂u/∂t + f(u) ∂u/∂x = 0
其中，u(x,t) 是未知函数，f(u) 是一定的实数函数。
这个方程可以用来描述各种波动现象，如扰动在弹性媒介中的传播、电磁波的行为等。
它是一种描述非线性波动现象的基础模型，我们可以利用它来分析一些基础的波动现象，特别是在空间非线性效应和波动阻尼、耗散现象的情况下。
然而，这个方程是一个十分复杂的方程，解析性的解难以求取。
因此，人们通常会利用数值计算的手段来研究它的演化行为，并且在数值方法上不断地进行改进，以求得更为准确的结果。
总之，一维圣维南方程组是描述非线性波动现象的一种基础模型，它的研究对于物理学和数学的发展都有着重要的影响，同时也对于许多工程技术的研究具有重要的指导意义。
圣维南方程组的物理意义
圣维南方程组的物理意义1.波动方程：∂²u/∂t²=v²(∂²u/∂x²)2.材料特性方程：μ∂²u/∂t²=T∂²u/∂x²其中，u(x,t)是介质的振动位移函数，t是时间，x是空间。
v是波在介质中传播的速度，μ是介质的质量线密度，T是介质的张力。
首先，让我们考虑一个绝端简化的情况，即一维弦的振动。
在这种情况下，圣维南方程组变为：∂²u/∂t²=v²(∂²u/∂x²)这个方程描述了弦的横向振动。
它告诉我们，弦上的任意一点在其中一时刻的加速度等于弦上相邻两点之间的位移的二阶空间导数的负数乘以传播速度的平方。
换句话说，弦上的一点的加速度正比于它与相邻点之间的距离的变化率，而速度正比于它与相邻点之间的位移差。
在有限维弦乐器的研究中，圣维南方程组的解决方案提供了弦上各个位置的振动模式。
这些模式可以是纵波（上下行波，在一端固定）或横波（左右行波，在两端固定）。
在二维或三维情况下，圣维南方程组描述了薄膜的振动。
例如，一块固定在边缘的薄膜在受到激励后会形成波纹。
圣维南方程组可以帮助我们理解这些波纹的行为。
这个方程组的解决方案描述了薄膜上不同位置的振动模式，类似于弦乐器中的振动模式。
这些模式可以是用于描述声波、光波、电磁波等的频率和振动特性。
除了简单的弦和薄膜振动之外，圣维南方程组还有其他应用。
例如，在材料科学中，它可以用于研究各种材料的振动行为，包括固体的声子传播、导波管中的电磁波传播等。
此外，圣维南方程组也可以用于研究流体中的波动现象，如海浪、声波传播等。
总而言之，圣维南方程组是描述薄膜或弦振动行为的重要方程组。
它在声学、光学、电磁学等领域具有广泛的应用，可以帮助我们理解和解释自然界中的波动现象。
通过解决方程组得到的振动模式和频率信息，可以应用于设计乐器、计算机图形学、声音合成等领域。
圣维南方程组的简化形式
圣维南方程组的简化形式圣维南方程组，又称为圣维南方程组或斯托克斯方程，是描述流体运动的基本方程之一。
它由质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成，是研究流体力学问题的重要工具。
而圣维南方程组的简化形式则是将其进行一定的假设和近似后得到的，以简化问题的复杂性，便于求解和分析。
圣维南方程组的简化形式包括三个方程：连续性方程、纳维-斯托克斯方程和能量方程。
其中连续性方程是由质量守恒原理得到的，用于描述流体的质量守恒情况。
纳维-斯托克斯方程则是由动量守恒原理得到的，用于描述流体的动量守恒情况。
能量方程则是由能量守恒原理得到的，用于描述流体的能量守恒情况。
简化形式的连续性方程可以表达为：流体的质量流入和流出相等。
这个方程描述了流体在空间中的流动情况，可以用于求解流体的速度场和流量分布等问题。
简化形式的纳维-斯托克斯方程可以表达为：流体受到的压力和黏性力的合力等于流体的质量加速度。
这个方程描述了流体在受力作用下的运动情况，可以用于求解流体的速度分布、压力分布和阻力等问题。
简化形式的能量方程可以表达为：流体的内能和动能的变化等于流体受到的外界力所做的功。
这个方程描述了流体在受力作用下的能量变化情况，可以用于求解流体的温度分布和热传导等问题。
圣维南方程组的简化形式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在工程领域中，可以用于分析流体在管道中的流动情况，以及设计和优化各类流体设备。
在天文学和大气科学中，可以用于研究大气和海洋的运动规律，以及预测和模拟天气和气候变化。
在生物医学工程中，可以用于研究血液和气体在人体内的流动情况，以及设计和优化医疗器械。
然而，圣维南方程组的简化形式也存在一定的局限性。
由于其是在一定的假设和近似下得到的，因此只适用于特定情况和问题。
在某些特殊的流体运动情况下，简化形式可能会失效，需要采用更加复杂和精确的方程来描述。
此外，简化形式还可能忽略一些细节和效应，导致结果的偏差和误差。
圣维南方程组的简化形式是研究流体运动问题的重要工具，可以简化问题的复杂性，便于求解和分析。
圣维南微分方程组
圣维南微分方程组（Saint-Venant equations）是流体力学中的一组偏微分方程组，用于描述不可压缩流体在流动过程中的运动规律。
该方程组由法国数学家皮埃尔-西蒙·圣维南于1872年提出，因此得名为圣维南微分方程组。
圣维南微分方程组包括两个方程组，分别是质量守恒方程和动量守恒方程。
质量守恒方程描述了流体的质量守恒规律，即在没有外力作用下，流体的质量应该保持不变。
动量守恒方程描述了流体的动量守恒规律，即在流体流动过程中，流体的动量应该保持不变。
圣维南微分方程组的数学表达式比较复杂，需要使用偏微分方程的方法进行描述。
在实际应用中，通常采用数值方法进行求解，例如有限元法、有限差分法等。
圣维南微分方程组的研究对于理解流体力学的基本规律和掌握流体力学的应用具有重要意义，例如在水利工程、土木工程、环境工程等领域中都有广泛的应用。
圣维南方程组的物理意义
圣维南方程组的物理意义圣维南方程组的物理意义圣维南方程组，也称连续方程组，是描述流体运动的基本方程。
该方程组涉及到的物理参数包括速度、密度、压强等，其可以用来描述流体在空间中的运动状态和相互作用。
圣维南方程组的物理意义是非常重要的，下面我们将分别从宏观和微观两个方面来讲述其物理意义。
宏观物理意义圣维南方程组的宏观物理意义是描述宏观流体力学中的基本定律，包括质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。
在此过程中，涉及到的物理量包括密度、速度及压强，方程的解析形式则是通过对流体力学中各项力学量的求导而得到的。
首先是质量守恒定律，其实就是圣维南方程组中的连续性方程。
该方程是描述质量守恒的基本定律，即在任意时刻和任意位置，流体的质量都是不变的。
这个定律在非常广泛的物理问题中都有应用，例如城市供水、流量、交通等等，也包括电力冶炼、飞船维修、环境保护等各类工程。
其次是动量守恒定律，其在圣维南方程组中是通过牛顿第二定律得出的。
该定律描述的是物体在受到外力作用下运动状态的变化，因此在研究质点或流体运动中非常重要。
比如在水力学中，流体的动量变化会形成水力能，通过水力轮机转化成机械能，再转化成电能。
最后是能量守恒定律，该定律在圣维南方程组中是通过热力学第一定律得出的。
该定律描述了能量在流体运动中的守恒和转化规律，例如在温度和压强的变化过程中，能量的守恒规律会影响物质运动的方式以及相互作用方式。
微观物理意义圣维南方程组的微观物理意义较为复杂，涉及到了统计力学中的分子运动角度。
根据分子运动理论，流体的各项物理量都可以通过粒子分布函数在三维空间中的变化，来描述分子之间的相互作用。
粒子分布函数的从解析式可以得出圣维南方程组的微观形式。
具体来说，连续性方程中的质量守恒可以表示为流体中单个粒子的动量守恒，动量和能量守恒方程也可以转化为粒子之间相互作用和运动变化的守恒规律。
此外，通过粒子分布函数的统计分布特性，可以得到圣维南方程的物理意义,以更符合统计力学的描述方式来解析流体力学问题，这也是目前一些流体力学研究重点。
一个简洁的圣维南方程组推导过程
作者： 李占松;师冰雪
作者机构： 郑州大学水利与环境学院,河南郑州450001
出版物刊名： 高教学刊
页码： 97-98页
年卷期： 2016年 第18期
主题词： 水力学 明渠流 非恒定流 圣维南方程组
摘要：圣维南方程组是明渠非恒定渐变流基本微分方程组。
它是由连续性微分方程式和运动（能量）微分方程式所构成。
由于渐变流又是非恒定流,运动要素既随流程变化也随时间变化,推导连续性微分方程式时只考虑一阶微量项,直接忽略二阶微量项。
明渠流是水位变化产生的重力流。
运动（能量）微分方程式推导时,把水位看成是由底部高程和水深所构成,两者独立分析,分别得出重力和压力对流动的影响。
这样的推导过程简洁明了且概念清楚,易于教学。
圣维南方程 伯努利方程
圣维南方程和伯努利方程都是描述流体运动的偏微分方程组。
它们在流体力学中具有重要的地位，被广泛应用于各种工程领域，如水利工程、航空航天、汽车工程等。
1. 圣维南方程：也被称为圣维南方程组，是描述水道和其他具有自由表面的浅水体中非恒定渐变水流运动规律的偏微分方程组。
它是由法国科学家维南在19世纪提出的，因此得名。
圣维南方程组通常包括质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律等方程，这些方程可以用来描述流体的运动状态和特性。
2. 伯努利方程：也称为伯努利定律，描述的是在理想流体（不可压缩、无摩擦、无粘性的流体）中，沿着流体运动路径的压力、动能和势能之间的关系。
具体来说，伯努利方程指出：在理想流体沿流线方向的压力和动能之和等于势能。
这个方程在工程和物理学中有着广泛的应用，如在流体动力学、声学、气象学等领域。
总的来说，圣维南方程和伯努利方程都是描述流体运动的偏微分方程组，但它们的应用范围和侧重点略有不同。
圣维南方程主要用于描述浅水区域的非恒定渐变水流运动规律，而伯努利方程则主要用于描述理想流体沿流线方向的压力、动能和势能之间的关系。
一维圣维南方程
一维圣维南方程一维圣维南方程又称一维非线性双曲方程，是一种描述物理，化学和生物学现象的重要方程式，常常出现在微分方程中。
它是20世纪30年代由拉丁美洲物理学家何塞·圣·维·南提出的。
圣·维·南方程在有关非线性反应特性方面也有着广泛的应用，因此受到越来越多学者的关注。
一维圣维南方程是一种常微分方程，可以用以下方程表达：u（t）=u''t^2+u'u^3，其中t为时间，u（t）为某一维度的变量，u''和u'分别表示某一维度变量的二阶导数和一阶导数。
为了增强圣·维·南方程的便捷性，通常把它的形式改写为：u'' +u+u^3=0。
从形式上来看，本方程可以把时间留出来，以方便在应用中使用。
既然一维圣·维·南方程是一种常微分方程，它就可以用拉普拉斯方法求解。
根据拉普拉斯方法，解一维圣·维·南方程，首先，定义一个表示一维物理量的函数U（t），它的时间变化应当满足上述方程。
然后，引入一个新的变量τ（t），它是时间的函数，其满足：τ（t）=u'（t）+c/2,因此，一维圣·维·南方程可以转换为：τ（t）+c/2u（t）+u^3（t）=一（t）。
其中，一（t）是一个已知函数。
最后，通过积分，可以求得一维圣·维·南方程的解u（t）。
一维圣·维·南方程在物理，化学和生物学上有着广泛的应用。
在物理领域，圣·维·南方程可以应用于波谱学，非线性声学以及力学等问题。
在化学领域，它可以应用于一般反应物理学，热力学和动力学等方面。
在生物学领域，一维圣·维·南方程能够用来描述一些生物的复杂的动态变化，比如糖尿病患者每天的血糖浓度变化，植物的光合作用以及药物的药效动力学等。
pinn 圣维南方程
pinn 圣维南方程
圣维南方程（Pinna-Santos equation）是一种描述声波传播的方程，由Pinna和Santos于2001年提出。
该方程是一维非线性声波方程的改进，能够更准确地描述声波在非均匀介质中的传播。
圣维南方程考虑了介质的非线性效应和空间的变化，相比传统的一维非线性声波方程，它能够更好地模拟声波在复杂介质中的传播行为。
该方程的形式如下：
∂²p/∂t² = c²(x) ∂²p/∂x² - ∂/∂x [c²(x) (∂p/∂x)²] - ∂/∂t [c²(x) (∂p/∂t)²]
其中p是声波的压力变化，t是时间，x是空间坐标，c(x)是介质的声速。
方程右侧的各项分别代表声波的传播、非线性效应和空间变化对声波行为的影响。
该方程可以通过数值方法求解，得到声波在非均匀介质中的传播情况。
圣维南方程在声波传播的数值模拟和声学研究中具有重要的应用价值，能够更准确地描述复杂介质中的声波传播行为，对于地震勘探、医学超声成像等领域有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简介
一百多年来，虽然为了考虑更多的因素和实际应用方便对它的基本假定作了某些简化或改进，产生出多种不同的表达形式，但其实质没有变化。
主要进展表现在求解方法的改进和创新。
1877年法国工程师克莱茨提出了瞬态法。
1938年苏联С.А.赫里斯季安诺维奇提出另一类解法──特征线法。
但均因计算量较大，不得不进行各种简化处理,使实际应用受到限制。
自50年代以来,随着电子计算机的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干个通用性较强的应用软件(即程序系统)，促进了圣维南方程组在水文和其他工程领域中的应用。
方程组的形式
一维单宽水流情况下，圣维南方程组的典型形式为：
式中t为时间；s 为距水道某固定断面沿流程的距离；h、v、Z0分别为相应于s 处过水断面的水深、断面平均流速和水底高程;Hf为由于摩阻损失而引起的能量比降；g为重力加速度；t和s为自变量；h和v为因变量；Z0、Hf可由s、h和v确定。
(1)式为连续方程，反映了水道中的水量平衡，即蓄量的变化率(第一项)应等于沿程流量的变化率(第二项)。
(2)式为运动方程。
其中第一项反映某固定点的局地加速度，第二项反映由于流速的空间分布不均匀所引起的对流加速度。
以上两项称为惯性项。
第三项反映由于底坡引起的重力作用，称为重力项。
第四项反映了水深的影响，称为压力项。
第三、四项可合并为一项，即水面比降。
第五项为水流内部及边界的摩阻损失。
该式表达了重力与压力的联合作用使水流克服惯性力和摩阻引起的能量损失而获得加速度。
圣维南方程组还有许多其他形式。
例如：以断面流量代替流速，以面积代替水深作为因变量；也可考虑河道两侧的沿程入流、地转力和水面风力的影响；还可把垂线平均流速作为因变量，写出二维水体渐变不恒定明流的运动方程。
基本假定
建立圣维南方程组的基本假定是：
①流速沿整个过水断面（一维情形）或垂线（二维情形）均匀分布，可用其平均值代替。
不考虑水流垂直方向的交换和垂直加速度,从而可假设水压力呈静水压力分布,即与水深成正比；
②河床比降小，其倾角的正切与正弦值近似相等；
③水流为渐变流动，水面曲线近似水平。
此外，在计算不恒定的摩阻损失Hf时，常假设可近似采用恒定流的有关公式，如曼宁公式（见河水运动）。
圣维南方程组描述的不恒定水流运动是一种浅水中的长波传播现象，通常称为动力波。
因为水流运动的主要作用力是重力，属于重力波的范畴。
如忽略运动方程中的惯性项和压力项，只考虑摩阻和底坡的影响，简化后方程组所描述的运动称为运动波。
如只忽略惯性项的影响，所得到的波称为扩散波。
运动波、扩散波及其他简化形式可以较好地近似某些情况的流动，同时简化计算便于实际应用。
求解方法
圣维南方程组在数学上属于一阶拟线性双曲型偏微分方程组。
联解方程组并使其符合给定的初始条件和边界条件，就可得出不恒定水流的流速和水深(或其他因变量)
随流程和时间的变化，即v＝v(s，t)和h＝h(s，t)。
初始条件为某一起始时刻的水流状态，如水道沿程各断面的水深和流速。
边界条件为所计算的水体的边界水流状态，如某一河段上、下游边界断面处的水位过程、流量过程或水位流量关系等。
给定的初始条件和边界条件的数目和形式必须恰当，符合水流的性质，才能保证方程组的解存在和唯一，保证不致因数据的微小变化而使方程的解发生很大的变化。
此时，问题称为是适定的，求解才有意义。
除特殊情况外，很难用解析方法求得圣维南方程组的解析解。
一般只能通过数值计算获得个别情况的近似解。
常用的数值计算方法主要有以下三类：①有限差分法。
将所计算的水体按照一定的网格划分，每个网格点处的微分形式的圣维南方程组，用某种形式的差分方程组来逼近。
边界条件也写成差分形成。
然后逐时段地求解差分方程组，得出各网格点（如断面）处的水深及流速。
根据所采用的差分计算方法的不同，对每一计算时段来说，或可逐个算出各网格点处的水力要素，或是必须联立求解各网点处的水力要素。
前者称为显式差分法，后者称为隐式差分法。
克莱茨提出的瞬态法就属于一种简化的显式差分法。
②特征法。
把圣维南方程组由偏微分方程组变换为在所谓“特征”上成立的常微分方程组，通常称为特征方程组。
在空间为一维的情况下，“特征”的几何表示称为特征线，而在二维则为特征面。
不恒定水流中的波动和干扰是沿“特征”传播的。
用有限差分法联立求解表达“特征”几何位置的方程和特征方程组，即可求得所需的数值解。
③有限单元法。
把水体划分成几何形状简单的单元(如一维的直线段,二维的矩形、直边或曲边三角形等),在每一单元内，解用数学处理比较简单的内插函数来逼近。
把圣维南方程组应用于每个单元，变换为积分形式，并根据某种准则（如逼近的残差最小）来确定内插函数中的待定系数便可定解。
常用的是伽辽金半离散有限单元法。
除了求解完全或简化形式的圣维南方程组的上述解法，在水文学中多年来还对一维流动发展出许多简化计算方法。
例如，把运动方程简化为计算时段内计算河段的蓄水量与出流量之间关系的方程，然后联立求解。
同时，已对水文学中常用的方法与求解圣维南方程组的关系进行了研究。
如应用广泛的马斯金格姆（曾译“马斯京根”）流量演算法，可列为扩散波中的特殊情形。
水文学方法简单，而且能较好地适用于某些情况，今后仍将长期广泛地被应用。
对于非渐变的流动，水流通过激波把两部分渐变流连接起来。
如通过水跃实现由急流（超临界流）到缓流（次临界流）的过渡。
在涨潮和溃坝波中也常出现近乎垂直的波前。
此时，两边的渐变流仍可用圣维南方程组来描述。
只要补充激波处的跳跃条件和用以判别物理上是否许可的某种准则（如熵条件等）即可求解。
圣维南方程组所描述的具有自由表面的水体的渐变不恒定流动的计算具有重要的实际意义。
洪流演进计算是洪水预报、堤防设计和防洪系统运用的重要依据。
水电厂引水渠、下游尾水、灌溉和通航水道中的不恒定流计算，是确定堤岸、尾水管出口高程，论证发电、航运、给水等工程设施的安全和效益的根据。
此外，潮汐河口的潮流计算、溃坝决堤造成的洪水灾害的估计等也都具有十分重要的经济意义。