2019届高二数学人教版选修2-1课后训练：2-3-1 双曲线及其标准方程
人教新课标版数学高二数学选修2-1练习2-3-1双曲线及其标准方程
技能演练基 础 强 化1．双曲线x 29－y 2m ＝1的焦距是10，则实数m 的值为( )A ．－16B ．4C ．16D ．81解析 2c ＝10，∴c ＝5，∴9＋m ＝25，∴m ＝16. 答案 C2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝6，观察选项知D 正确． 答案 D3．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 当k >3时，k －3>0，k ＋3>0，∴方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k －3)(k ＋3)>0，∴k >3，或k<－3.故k>3是方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案 A4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是() A．16 B．18C．21 D．26解析如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)|BF2|－|BF1|＝8，(2)又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.答案 D5．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析 由双曲线x 210－y 22＝1，知c 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，c a ＝53，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝－1 D.x 264－y 236＝－1 解析 令x ＝0，y ＝10，∴双曲线的焦点坐标F 1(0，－10)，F 2(0,10)，∴c ＝10，又c a ＝53，∴a ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝100－36＝64，故双曲线方程为y 236－x 264＝1，故选D.答案 D7．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是__________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9，b ＝3，c 2＝a 2＋b 2，得a ＝4，b ＝3，又焦点在y 轴上，∴所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.答案 y 216－x 29＝18．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是__________．解析依题意得⎩⎨⎧m ＋1<0，m 2－4<0，⇒⎩⎨⎧m <－1，－2<m <2，⇒－2<m <－1. 答案 (－2，－1)能 力 提 升9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设P 的坐标为(x ，y )． ∵圆P 与圆C 外切且过点A ， ∴|PC |－|PA |＝4.∵|AC |＝(3＋3)2＋0＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长为2a ＝4的双曲线的右支，∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．10．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同的焦点，且过点P (2,1)的双曲线的方程．解 方法1：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知，c 2＝4＋2＝6，又点P (2,1)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝3，b 2＝3.故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.方法2：∵所求的双曲线与x 24－y 22＝1有相同的焦点，∴可设双曲线方程为x 24－λ－y 22＋λ＝1(－2＜λ＜4)．∵双曲线过点P (2,1)， ∴44－λ－12＋λ＝1， 解得λ＝1，或λ＝－4(舍去)． 故所求的双曲线方程为x 23－y 23＝1.品 味 高 考11．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0)D ．(3，0)解析 双曲线x 2－2y 2＝1化为标准形式，得x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32.∴c ＝62.故右焦点坐标为(62，0)．答案 C12．(2010·全国Ⅰ)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32B.62C. 3D. 6解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn . ∴mn ＝4.由△F 1PF 2的面积相等，得 12×22×|y |＝12mn sin60°，即2|y|＝12×4×3 2.∴|y|＝62.即P到x轴的距离为62. 答案 B。
高中数学选修2-1课时作业19：2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫62，0C.⎝⎛⎭⎫52，0D ．(3，0) 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] B[解析] 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 23－y 22＝1C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] C[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4， 则该双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( ) A.32B ．5C ．7D.12考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] D[解析] 根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12. 4．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( )A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3. 5．“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 双曲线的标准方程题点 已知曲线方程判断曲线的形状[答案] C[解析] 因为mn <0，所以m ，n 均不为0且异号，方程mx 2＋ny 2＝1，可化为x 21m ＋y 21n＝1，因为1m 与1n 异号，所以方程x 21m ＋y 21n＝1表示双曲线，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，则其方程可化为x 21m ＋y 21n＝1，可知1m 与1n异号，则必有mn <0，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的必要条件．综上可得，“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．6．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 考点 求与双曲线有关的轨迹方程题点 双曲线的一支[答案] D[解析] 由|MA |－|MB |＝6，且6<|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16.故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 7．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．8．若双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B.12C ．2D ．4 考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] A[解析] 设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，已知|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2， 解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |PF 1|·|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝2n ＋1，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，∴12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1.二、填空题9．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] y 2－x 23＝1 [解析] 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 10．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________． 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] (2，＋∞)[解析] 由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1， 即有m >0，且m －2>0，解得m >2.11．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] x 216－y 29＝1 [解析] 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得1QF k ·2QF k ＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程． 解 已知双曲线x 216－y 29＝1， 则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0， 不合题意，舍去，∴a 2＝1，b 2＝24，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.14．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] D[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点， 所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点．(1)设6<m <46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)因为⎩⎨⎧ 12|OF→|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF→|·|FQ →|cos θ＝m ， 所以tan θ＝46m. 又6<m <46，所以1<tan θ<4，即tan θ的取值范围为(1,4)． (2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c. 又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2， 解得x 1＝64c ， 所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23，当且仅当c ＝4时，取等号，|OQ →|最小，这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 2－6b 2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12， 于是所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-3-1双曲线的标准方程
2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对 [答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0. 2．双曲线x 216－y29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5) [答案] C[解析] 16＋9＝c 2＝25，∴c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72D ．5[答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C.4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m[答案] B[解析] 由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a . 又|AF 1|＋|BF 1|＝AB ＝m ，∴△ABF 1周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m .5．设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×60.∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12.6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A. 7．方程x 24－t ＋y2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则2<t <4； ②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2； ③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4. 以上命题正确的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④D ．①②④[答案] C[解析] 若C 为圆，则4－t ＝t －2>0，∴t ＝3. 当t ＝3，C 表示圆，∴③不正确． 若C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －2>0，4－t ≠t －2.∴2<t <4，且t ≠3， 故①不正确，故选C.8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 [答案] C[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示长轴在y 轴上的椭圆，故答案为C.9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2D ．4[答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.10．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→. 又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2.11．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________． [答案] k ＝－1[解析] 方程为x 21k －y 28k ＝1，∵焦点为(0,3)，∴k <0且(－8k )＋(－1k )＝9，∴k ＝－1.12．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. [答案] 12[解析] p (a ，b )点到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∵P (a ，b )在y ＝x 下方，∴a >b ∴a －b ＝2，又a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝12.13．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]163[解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79，∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 14．双曲线x 216－y 291的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P到x 轴的距离为______．[答案] 94[解析] ∵F 1(－5,0)，PF 1⊥F 1F 2.设P (－5，y P ) ∴2516－y 2P 91，即y 2P ＝8116，∴|y P |＝94， ∴点P 到x 轴的距离为94.15．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．[解析] 当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线．当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆． 当k <0时，方程y 24＋x24k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．当0<k <1时，方程x 24k ＋y 241，表示焦点在x 轴上的椭圆．当k >1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．16．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．[解析] 以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－4,0)，C (4,0)．设A (x ，y )，则由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，代入|sin C－sin B |＝12sin A ，得|c －b |＝12a ＝4，且|BC |＝8>4，故由双曲线定义知，A 点在以B ，C 为焦点的双曲线上，2a 0＝4，∴a 0＝2,2c 0＝8，c 0＝4，∴b 20＝c 20－a 20＝16－4＝12，即点A 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(y ≠0)．17．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°时，△F 1MF 2的面积又是多少？[解析] (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4.两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16，因为∠F 1MF 2＝90°，所以r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝52，所以r 1r 2＝18，所以S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，得r 1r 2＝36， 所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin60°＝9 3.同理，当∠F 1MF 2＝120°，S △F 1MF 2＝3 3.18．如图所示，某村在P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路P A 或PB 送到成矩形的一块田ABCD 中去，已知PA ＝100m ，BP ＝150m ，BC ＝60m ，∠APB ＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥较近而另一侧的点则沿PB 送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析] 田地ABCD 中的点可分为三类：第一类沿P A 送肥近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿P A 或PB 送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M 是界线上的任一点，则 |PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝50(定值)故所求界线是以A 、B 为焦点的双曲线一支．若以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x 2a 2－y2b2＝1，其中a ＝25，2c ＝|AB |＝1002＋1502－2·100·150·cos60° ＝507.∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750. 因此，双曲线方程为x2 625－y23750＝1(25≤x≤35，y≥0)，即为所求界线的方程．。
高二数学人教A版选修2-1(第2.3.1 双曲线及其标准方程) Word版含答案
绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =， 故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义， 得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ， 在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故 选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切． 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ． 考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=， 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。
人教A版数学选修2-1《2.3.1双曲线及其标准方程》练习及答案
双曲线(1)1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )．A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )． A ．3 2 B ．4 2 C ．3 3 D ．4 33．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )．A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 4．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k 的值为________．5．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________． 6．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( )．A ．－1<k <1B ．k >1C ．k <－1D ．k >1或k <－17．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )． A ．24 B ．36 C ．48 D ．968．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________. 9．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________. 10．(创新拓展)已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，求|MA |＋|MB |的最小值为 ．双曲线(1)答案1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是 ( D )．A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( D )． A ．3 2 B ．4 2 C ．3 3 D ．4 33．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( C )．A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 4．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k 的值为________． －15．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．336．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( A )．A ．－1<k <1B ．k >1C ．k <－1D ．k >1或k <－17．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )．A ．24B ．36C ．48D ．968．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________.7或－2 9．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.1 10．(创新拓展)已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，求|MA |＋|MB |的最小值为 ．10＋1.。
人教A版2019高中数学选修2 1习题第二章23 231双曲线及其标准方程 含答案
第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程A级基础巩固一、选择题MNPMPNP的轨迹是( ＝3，则动点0)，||－|1．已知) (－2，0)、|(2，A．双曲线 B．双曲线左边一支D．双曲线右边一支．一条射线 C P的轨迹是双曲线右支．解析：由双曲线的定义知动点答案：C22yxPFFPFPF＝1∶3，且|||2．设点∶在双曲线－＝1上，若、|为双曲线的两个焦点，2121169PFF)( 的周长等于则△2116 ．BA．2212．14C．D PFPF|＝6，||－| 解析：由双曲线定义知12PFPFPF|＝3，|＝1∶3，由两式得|又|∶|| 121PF|＝9，进而易得周长为|22. 2答案：A1PxyABP的轨迹两点连线的斜率之积为，动点(2，(－2，3．平面内动点0)(，，)与0)4方程为( )22xx22yy1 B.－＝A.＋＝1 4422xx22xyyx≠±2) D.－＝1(C.＋1(＝≠±2)44yy11kkx≠±2)，( ＝，即·＝解析：依题意有·PBPA xx244－＋22x2xy 1(整理得－＝≠±2)．4D答案：22xym)的取值范围是( ＝4．若方程－1表示双曲线，则实数m14＋mm1 A．－1<><3 B．－mm1>3<D．－C．mm1. ＋1>0，即－解析：依题意应有>B答案：2222yyxxPnabFFm是两曲和双曲线－＝1(，>0，，＋5．若椭圆＝1(>0)>有相同的焦点>0) 21bmnaPFPF)|的值是( 线的一个交点，则||·| 211amma) －－ A．B.(222amma D.．－－C mPFPF＝.解析：由椭圆定义知|2|＋|①|21aPFPF.②＝由双曲线的定义知||||－2||2122amPFPF－|，|＝4()①－②得4||·21aPFPFm. |·|－||所以＝21A 答案：二、填空题FFPFF的距，5)，双曲线上一点6．已知双曲线两个焦点的坐标为到(0，－5)，，(02211________．离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为y轴上，解析：因为双曲线的焦点在22xyab>0)．＝1(，>0所以设它的标准方程为－22baacac＝，5. ＝3＝6，2＝10因为2，所以222b16.－3所以＝＝522xy1.＝所以所求双曲线标准方程为－16922xy1－＝答案：16922yxxxOyk的＋表示焦点在．在平面直角坐标系7中，方程轴上的双曲线，则＝1kk3－1－取值范围为________．22yxxkk，>0－3且1>0－则有轴上的双曲线，若表示焦点在，1将方程化为解析：＝－kk－31－k<3.即1<3)，(1答案：22yx的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的8．若双曲线以椭圆＝1＋916 ．标准方程为________22yxcabx，＝70)，所以焦点为(±＝3，1解析：椭圆＋＝的焦点在7轴上，且，＝4，916ca′＝，′＝±4，0)，则7左右顶点为(±4，0)(．于是双曲线经过点(±7，0)，焦点为22yx2b1.＝9，所以双曲线的标准方程为－＝4，所以′9722yx1＝答案：－97 三、解答题22yxC 4)．双曲线有相同焦点，且经过点与椭圆＋＝1．(15，93627C(1)求双曲线的方程；PFPFFPFFCCF°，求△(2)，上，且∠是双曲线若的两个焦点，点120在双曲线＝211122的面积．FF (0，3)解：(1)椭圆的焦点为，－(03)，，2122xy222ba＝－＝1，则3＋＝9.①设双曲线的方程为22ba1516 ＝115，4)，所以，②又双曲线经过点－(22ba2222bbaa )，，＝－解①②得27(＝4，＝5或舍去＝3622xyC1.－＝所以所求双曲线的方程为54CCab3. ＝5＝2，由双曲线(2)，的方程，知＝aPFmnnmPF 4|设＝|＝2，||＝，，则|－＝|2122nmnm平方得＋－2＝16.①22222mnmnmcFPFnmn＋在△中，由余弦定理得(2＝)＋＋－2°＝cos 120＝36.②2120mn＝，由①②得3351mnFPFS.的面积为°＝＝sin 120所以△21322222yyCxxCM内切，求4)(：外切，与圆2＋4)(：与圆．如图，已知动圆10＋＝－＝2＋21M的轨迹方程．动圆圆心．rMCMCrMr|＝，－＋2，则由已知得，|，|2|解：设动圆＝的半径为21MCMC＝，|所以2|－|2|21CC，(4，又0)(－4，0)，21CCCC|.|所以2＜|＝8.所以|22211CMC为焦点的双曲线的右支．(4根据双曲线定义知，点，的轨迹是以0)(－4，0)、21222abacc14. ＝＝4，所以＝2，－因为＝22yxxM．≥的轨迹方程是－＝1(2)所以点142 能力提升B级22kxxkky) )－(1－ )的取值范围为＝11．已知方程(1＋表示焦点在( 轴上的双曲线，则kk＞1A．－1＜B＜1 ．kkk＜－或11．C．D＜－1 ＞A答案：22PFyFFFPx°，＝1的两个焦点分别为、＝，602．已知曲线为双曲线上一点，且∠－2121PFPF |则．|＋||＝________21PFPF ||＝，|－|2解析：由双曲线的定义知||2122PFPFPFPF4. ＋||||－2||||所以＝2211PFF在△中，由余弦定理得21222PFFFPFPFPF ||－2||·|cos 60＝||＋|°||221121222PFPFPFPF，2)＝8|即||＋－|||·||＝(22121PFPF4.|所以||·＝|21222PFPFPFPFPFPFPFPFPFPF|＋|||＋|＋2|·＝|(42||·|＋|)2||·||＝||所以(|＋|)|221211112220.＝PFPF5 |2＝|＋||所以215答案：22y222yxxAB5)－(是圆，，5(的坐标为如图，，1－已知双曲线的方程为3．＝点－0)＋4MBMMA的最小值．||＋||在双曲线的右支上，求上的点，点1＝DAD (5，0)，则点是双曲线的焦点，解：设点，的坐标为aMDMA2. |＝－|2|由双曲线的定义，得＝|BDMBMAMBMD，|≥2＋＋||||＝2＋||＋|所以||22CxyB1＝1上的点，圆的圆心为(0，，5)又是圆(＋，半径为5)－CDBD1－，＝10－故||≥|1|BDMAMB＋1从而|＋||||≥2＋，10|≥MBMABMCD1. ＋||当点，在线段上时取等号，即|＋|的最小值为10。
高中数学人教版选修2-1课后训练：2-3-1 双曲线及其标
04课后课时精练一、选择题1．在方程mx 2＋ny 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解析：方程可化为x 2n m ＋y 2＝1，∵mn <0，∴nm <0.∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线． 答案：D2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B. 10C. 4D. 34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C3．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23 B ．1 C ．20D ．4解析：NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.答案：D4．若椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)和双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．a －m B.14(a －m ) C ．a 2－m 2D.a －m解析：由椭圆和双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，||PF 1|－|PF 2||＝2m ，两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|＝4(a －m )， ∴|PF 1|·|PF 2|＝a －m . 答案：A5．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )解析：方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从选项B ，D 中的两个椭圆看，a 、b ∈(0，＋∞)，但由B 中直线可知a <0，b <0，矛盾，应排除B ；由D 中直线可知a <0，b >0，矛盾，应排除D ；再由A 中双曲线可知a <0，b >0，但直线中a >0，b >0，也矛盾，应排除A ；由C 中的双曲线可知a >0，b <0，和直线中a >0，b <0一致．应选C.答案：C6．[2014·江西高考]过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A. x 24－y 212＝1 B. x 27－y 29＝1 C. x 28－y 28＝1D. x 212－y 24＝1解析：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为F ，则F (c,0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝ba x ，得y ＝b ，则A (a ，b )．由|F A |＝r ＝4，得(a －4)2＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：A 二、填空题7. [2014·北京高考]设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．解析：本题考查双曲线的基本性质以及标准方程．根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以a ＝1，c ＝2，于是b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 2－y 2＝1.答案：x 2－y 2＝18．与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程是________．解析：解法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点(32，2)，所以(32)2a 2－22b 2＝1， ①通过计算可知c ＝25，所以a 2＋b 2＝(25)2. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入，得(32)216－k －224＋k＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.答案：x 212－y 28＝19．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为________．解析：∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1，∴c ＝144＋25＝13，F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，∴y 225＝132144－1＝25144.∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， ∴|AF 2|＝24＋2512＝31312. 故所求距离分别为：2512、31312. 答案：2512、31312 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．解：解法一：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为15，于是有⎩⎨⎧42a2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.解法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)、F 2(0，－3)．所以2a ＝(15－0)2＋(4＋3)2－ (15－0)2＋(4－3)2＝8－4＝4，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.解法三：由题意设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，将A (15，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.11．已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y 216＝1，得|F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点， 2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12， 故其方程x 24－y 212＝1(x ≥2)．12．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方向角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5，23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上． 设敌炮阵地的坐标为(x ，y )，因为k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)，所以直线l PD ：y －3＝13(x ＋4)．①又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上． 则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x >0)．② 联立①②式，得x ＝8，y ＝53， 所以P 的坐标为(8,53)．因此k P A ＝538－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。
高中数学人教A版选修2-1课时作业：2.3.1 双曲线及其标准方程
课时作业10 双曲线及其标准方程 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线解析：F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．答案：D 2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) 解析：将双曲线方程化为标准方程，即x 21－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.答案：A4．下面各选项中的双曲线，与x212－y224＝1共焦点的双曲线是()A.x212＋y214＝1 B.y224－x212＝1C.x210－y226＝1 D.x210＋y226＝1解析：方法一因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线x212－y224＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B，综上可知，选C.方法二与x212－y224＝1共焦点的双曲线系方程为x212＋λ－y224－λ＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．答案：C5．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|P A|－|PB|＝3，则|P A|的最小值为()A.12 B.32C.72D．5解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|P A|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|＝________.解析：由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.答案：338．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．解析：如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝|BM|2＋|MN|2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝52－32＝1，即a2＝14.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝34. 所以双曲线E的标准方程是x214－y234＝1.答案：x214－y234＝1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知x21－k－y2|k|－3＝－1，当k为何值时，(1)方程表示双曲线？|能力提升|(20分钟，40分)11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：如图，设过M ，N 的直线与圆C 相切于R ，S ，则|PR |＝|PS |，|MR |＝|MB |，|SN |＝|NB |， 所以|PM |＝|PR |＋|RM | ＝|PR |＋|MB |， |PN |＝|PS |＋|SN | ＝|PS |＋|NB |，所以|PM |－|PN |＝|MB |－|NB | ＝2<|MN |，所以由双曲线定义知，P 点的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，因为2a ＝2，所以a ＝1，c ＝3， 所以b 2＝c 2－a 2＝8，所以点P 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x >1)． 故选A. 答案：A12．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为______________．解析：由题意可设双曲线方程为由Ruize收集整理。
高中数学选修2-1第二章第7课时同步练习§2.3.1双曲线及其标准方程(B)
§2.3.1 双曲线及其标准方程（B ）1、过点（1，1）且b a=的双曲线的标准方程为（ ） A 、22112x y -= B 、22112y x -= C 、22112y x -= D 、22112x y -=或22112y x -= 2、双曲线2288mx my -=的焦距为6，则m 的值是（ ）A 、1±B 、1-C 、1D 、83、方程221105x y k k+=--表示双曲线，则k ∈（ ） A 、(5,10) B 、(,5)-∞ C 、(10,)+∞ D 、(,5)(10,)-∞+∞4、双曲线的焦距为26，22513a c =，则双曲线的标准方程（ ） A 、22125169x y -= B 、22125169y x -= C 、22125144x y -= D 、22125144x y -=或22125144y x -= 5、1F 、2F 是双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且01290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A 、2B 、4C 、8D 、166、双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线52200x y -+=上，两焦点关于原点对称，53c a =，则此双曲线的方程是（ ） A 、2213664x y -= B 、2216436x y -= C 、2213664x y -=- D 、2216436x y -=- 7、在双曲线中c a =224936x y +=有公共焦点，则双曲线的方程 是 ；8、P 是双曲线2216x y -=的左支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则12||||PF PF -= ；9、已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为 ；10、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为 ；11、已知双曲线过M （3，2），(2,1)N --两点，则双曲线的标准方程是 ；12、求与双曲线221164x y -=共焦点，且过点的双曲线方程。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-1课件：2.3.1 双曲线及其标准方程
2
∴所求双曲线方程是 12 − 8
= 1.
-21-
第二十一页，编辑于星期日：点 十七分。
目标导航
2.3.1 双曲线及其标准方程
题型一
题型二
题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
双曲线定义的应用
【例 3】
2
已知双曲线
9
2
−
16
= 1 的左、右焦点分别是1 , 2 ,
若双曲线上一点使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2 的面积.
因此,确定一个双曲线的标准方程需要三个条件:两个定量条件:a,b,
一个定位条件:焦点位置.
第九页，编辑于星期日：点 十七分。
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2.3.1 双曲线及其标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.椭圆和双曲线的比较
剖析:
定义
方程
椭圆
双曲线
|PF1|+|PF2|=
2a(2a>|F1F2|)
y2 x 2
-12-
第十二页，编辑于星期日：点 十七分。
目标导航
2.3.1 双曲线及其标准方程
题型一
题型三
题型二
解:若方程
2
2-
+
2
||-3
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
= 1 表示双曲线,
2- > 0,
2- < 0,
则(2-m)(|m|-3)<0.故
①或
②
||-3 < 0
||-3 > 0,
由①,解得-3<m<2;由②,解得m>3.
高中人教B版数学选修2-1练习：2.3.1 双曲线的标准方程 Word版含解析
2.3.1双曲线的标准方程课时过关·能力提升1.若双曲线的方程A.(±2,0)B.(±4,0)C.(0,±2)D.(0,±4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.若方A.-1<k<1B.k>0C.k≤0D.k>1或k<-1解析:因为方,所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1<k<1.答案:A3.若椭A. 1B.1或3C.1或3或-2D.3解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.圆C.焦点在y轴上的双曲线D.椭圆解析:原方程可变形y轴上的双曲线.答案:C★5.与双曲AC.解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程a2+b2=20,a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程答案:7.已知F是双曲解析:设右焦点为F1,依题意,有|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|P A|=|PF1|+4+|P A|=|PF1|+|P A|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.答案:9★8.已知双曲∠F1PF2△F1PF2的面积是.解析:不妨设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,②-①2,得r1r2=2.所答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程故所求的双曲线的标准方程,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:此题由于不知道焦点在哪个坐标轴上,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.解法一当焦点在x轴上时,设所求的双曲线的标准方程M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所解得当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程同理,解得.故所求的双曲线的标准方程解法二设所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程解得故所求的双曲线的标准方程。
高中数学人教版选修2-1课堂练习2-3-1 双曲线及其标准方程 Word版含解析
课堂效果落实.[·四川宜宾测试]已知点(－，)，(，)，动点满足－＝，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是( ). .. .解析：由已知可得＝，＝，∴＝.∴双曲线方程为－＝(≤－)．将＝代入，可得点的横坐标为＝－.∴点到原点的距离为＝.答案：．已知方程－＝表示的图形是双曲线，那么的取值范围是( )．> ．>或－<<．>或<－．－<<解析：由于方程－＝只需满足(－)与(－)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(－)(－)>，即(\\(－>，－>，))或(\\(－<，－<，))解得>或－<<.答案：．已知双曲线的方程为－＝，点、在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，＝，为另一焦点，则△的周长为( )．＋．＋．＋．＋解析：∵、在双曲线的右支上，∴－＝，－＝，∴＋－(＋)＝.∴＋＝＋.∴△的周长为＋＋＝＋.答案：．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为()，则双曲线的标准方程为( ) . －＝ . －＝. －＝ . －＝解析：依题意，＋＝·.即＋＝，∴＋＋＝(＋)．∴(－)＝，即＝.∵一个顶点坐标为()，∴＝＝，∴双曲线方程为－＝.答案：．已知双曲线的两个焦点、之间的距离为，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为，求双曲线的方程．解：若以线段所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得＝＝.∴＝，＝，＝－＝.当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程为－＝.若以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为－＝.。
2019-2020年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程课后习题 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升1.已知方程=1表示双曲线,则实数k的取值范围是()A.-4<k<4B.k>0C.k≥0D.k>4或k<-4解析:依题意应有(4+k)(4-k)>0,解得-4<k<4.答案:A2.双曲线=1的焦距是()A.3B.6C.8D.12解析:方程表示双曲线,且m2+12>0,所以4-m2>0,即方程表示焦点在x轴上的双曲线,从而a2=m2+12,b2=4-m2,因此c==4,故焦距2c=8.答案:C3.若点M在双曲线=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于()A.2B.4C.8D.12解析:双曲线中a2=16,a=4,2a=8,由双曲线定义知||MF1|-|MF2||=8,又|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.答案:B4.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在直线y=x上,则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:若点P(2,1)在直线y=x上,则1=,∴a=2b.①∵双曲线的焦距为10,∴a2+b2=52.将①代入上式,得b2=5,从而a2=20,故双曲线C的方程为=1.答案:A5.已知动圆M过定点B(-4,0),且和定圆(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.=1(x>0)B.=1(x<0)C.=1D.=1解析:设动圆M的半径为r,依题意有|MB|=r,另设A(4,0),则有|MA|=r±4,即|MA|-|MB|=±4.亦即动圆圆心M到两定点A,B的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB|,因此动点M的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,所以a=2,a2=4,b2=c2-a2=12.故轨迹方程是=1.答案:C6.已知P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=. 解析:双曲线方程可化为=1,所以a2=16,a=4.因为点P在左支上,所以|PF1|-|PF2|=-2a=-8.答案:-87.F1,F2是双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|=32,则∠F1PF2=. 解析:设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>0,r2>0),则r1r2=32,|r1-r2|=2a=6.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos α====0.故α=90°.答案:90°8.对于曲线C:=1,给出下面四个命题:①曲线C不可能表示椭圆;②当1<k<4时,曲线C表示椭圆;③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4;④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k<.其中命题正确的序号为.解析:由解得1<k<<k<4,此时方程表示椭圆,且当1<k<时,方程表示焦点在x轴上的椭圆,所以①②错误,④正确;由(4-k)(k-1)<0,得k<1或k>4,此时方程表示双曲线,故③正确.所以应填③④.答案:③④9.设双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.解:由椭圆方程=1,得椭圆的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3).因为椭圆与双曲线在第一象限的交点A的纵坐标为4,所以这个交点为A(,4).方法一:设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由题意得解得故所求双曲线方程为=1.方法二:∵2a=||AF1|-|AF2||=||=4,∴a=2.又∵c=3,∴b2=c2-a2=5.∵双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的方程为=1.10.设P为双曲线=1上一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.解:由方程=1,得a=4,b=3,故c==5,所以|F1F2|=2c=10.又由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=8,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=64.①在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100.②①-②,得|PF1||PF2|=36,所以|PF1||PF2|sin 60°=×36×=9.B组1.已知点P(x,y)的坐标满足=±4,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对解析:依题意,动点P到两定点(1,1)和(-3,-3)的距离之差的绝对值等于4,且两定点间距离为4,4<4,故动点P的轨迹是双曲线.答案:B2.椭圆=1与双曲线-x2=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为()A.4B.5C.5D.3解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0,-4),又由椭圆与双曲线的定义,得所以|PF1|=5+,|PF2|=5-,或|PF1|=5-,|PF2|=5+.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==,所以sin ∠F1PF2=.因此△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2=×(5+)×(5-)×=3.答案:D3.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).由=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20,又根据双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=±2a,两边平方代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=14.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判别△MF1F2的形状.解:(1)椭圆方程可化为=1,焦点在x轴上,且c=,故设双曲线方程为=1,则有解得a2=3,b2=2,所以双曲线的标准方程为=1.(2)不妨设点M在右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,又|MF1|+|MF2|=6,故解得|MF1|=4,|MF2|=2.又|F1F2|=2,因此在△MF1F2中,边MF1最长,因为cos∠MF2F1=<0,所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.5.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.解:设点P为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).∵PF1⊥PF2,∴=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,整理,得=25.①∵P(x0,y0)在双曲线上,∴=1.②联立①②,得,即|y0|=.因此点P到x轴的距离为.6.如图,某农场在M处有一堆肥料,现要把这堆肥料沿道路MA或MB送到四边形田地ABCD中去,已知MA=60 m,MB=80 m,BC=30 m,∠AMB=90°,能否在田地ABCD中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近,另一侧的点沿MB送肥料较近?若能,请指出界线是何曲线,并建立坐标系求出其方程.解:如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.由|MA|=60,|MB|=80,∠AMB=90°,得|AB|=100.设点P(x,y)是界线上的点.由题意,得|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|PA|-|PB|=|MB|-|MA|=20<|AB|.所以由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为20的双曲线的右支上.对应方程为=1(x≥10,0≤y≤30).。
2019年高中数学 2-3-1 双曲线及其标准方程课时作业 新人教A版选修2-1
2019年高中数学 2-3-1 双曲线及其标准方程课时作业 新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题6分，共36分)1．(xx·安徽高考)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A .⎝⎛⎭⎫22，0 B .⎝⎛⎭⎫52，0C .⎝⎛⎭⎫62，0 D .()3，0解析：∵双曲线方程为x 2－2y 2＝1，∴a ＝1，b ＝22，得c ＝a 2＋b 2＝12＋222＝62，∴它的右焦点坐标为(62，0)，故C 正确．答案：C2．k>1，则关于x 、y 的方程(1－k)x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线解析：原方程化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1，∵k>1，∴k 2－1>0,1＋k>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．答案：C3．若双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(－1,2)解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4<0m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<m<2m<－1.即－2<m<－1.答案：B4．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是() A ．±5 B ．±3C ．5D ．9解析：由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.答案：B5．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝1 解析：∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)，∴P 的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，∴另一个焦点为F 2(5，0)．∴2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝|5＋52＋16－5－52＋42|＝2.∴a ＝1. 又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4.∴双曲线方程为x 2－y 24＝1. 答案：B6．双曲线x 2n－y 2＝1(n>1)的两焦点分别为F 1、F 2.P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A .12B ．1C ．2D ．4解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n.由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ，|F 1F 2|＝2n ＋1.所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∠F 1PF 2＝90°.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知双曲线x 216－y 220＝1上一点M 到它的一个焦点的距离等于6，则点M 到另一个焦点的距离为________．解析：由题意可知，a＝4，b＝20，设焦点为F1，F2且|MF 1|＝6，则|MF 2|－|MF 1|＝±2a ＝±8，∴|MF 2|＝6＋8＝14或|MF 2|＝6－8＝－2(舍去)．答案：148．双曲线x 2－y 2k ＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k 的值为________． 解析：由已知c ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2即1＋k ＝4，∴k ＝3.答案：39．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m>n>0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F 1、F 2，P 为椭圆与双曲线的公共点，则|PF 1|·|PF 2|等于________．解析：椭圆的焦点为(±m －n ，0)，双曲线的焦点为(±a ＋b ，0)，∴m －n ＝a ＋b.∴|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，①||PF 1|－|PF 2||＝2a ②①2－②2有|PF 1|·|PF 2|＝m －a.答案：m －a三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y 216＝1得 |F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8.∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点，2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，故其方程x 24－y 212＝1(x≥2)．图111．(15分)如图1，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x≤－32)．12．(15分)已知曲线C ：x 2t 2＋y 2t 2－1＝1(t≠0，t≠±1)． (1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．解：(1)当|t|>1时，t 2>0，t 2－1>0，曲线C 为椭圆； 当0<|t|<1时，t 2－1<0，曲线C 为双曲线．(2)当|t|>1时，t 2－1>0，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1， 因而c 2＝t 2－(t 2－1)＝1.∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)当0<|t|<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y 21－t 2＝1. ∵c 2＝t 2＋(1－t 2)＝1，∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)． 综上所述，无论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．.。
人教版数学高二-人教B版选修2-1练习 2-3-1双曲线及其标准方程a
03课堂效果落实1.已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A. 62B. 32C. 3D. 2解析：由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的距离为 (－52)2＋(12)2＝62.答案：A2．已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1表示的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．k >5B ．k >5或－2<k <2C ．k >2或k <－2D ．－2<k <2 解析：由于方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1只需满足(k －5)与(|k |－2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)>0，即⎩⎨⎧ k －5>0，|k |－2>0，或⎩⎨⎧ k －5<0，|k |－2<0，解得k >5或－2<k <2.答案：B3．已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2m B．4a＋2mC．a＋m D．2a＋4m解析：∵A、B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a.∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.答案：B4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A. y24－x24＝1 B.x24－y24＝1C. y24－y29＝1 D.x28－y24＝1解析：依题意，2a＋2b＝2·2c.即a＋b＝2c，∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)．∴(a－b)2＝0，即a＝b.∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a2＝b2＝4，∴双曲线方程为y 2－x 2＝4.答案：A5．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得2a ＝24,2c ＝26.∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25.此时双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为x 2144－y 225＝1.若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．此时双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。
人教版高中数学选修2-1练习：第二章2.32.3.1双曲线及其标准的方程
[课时作业 ][A 组基础稳固 ]x 221．与椭圆 4 ＋ y ＝1 共焦点且过点 Q(2,1)的双曲线方程是 ()x 2 x 2A. 2 －y 2＝1B. 4 －y 2＝ 1x 2 y 2 2y 2C. 3－ 3 ＝1D ．x －2 ＝1分析：椭圆的焦点 F 1(－ 3，0)，F 2( 3，0)．与椭圆x 2＋ y 2＝1 共焦点的只有 A 、4D 两项，2x2又因为 Q 点在 2 －y ＝1 上．故应选 A. 答案： A2．已知双曲线中心在座标原点且一个焦点为F 1(－ 5，0)，点 P 位于该双曲线上，线段 PF 1 的中点坐标为 (0,2)，则该双曲线的方程是 ()x 222y 2A. 4 －y ＝1B ．x － 4＝ 1x 2 y 2x 2 y 2 C. 2－ 3 ＝1D. 3－2＝1分析：由题意可设双曲线方程为 x2y2a 2－ － 2＝1，5 a又由中点坐标公式可得 P( 5，4)，5162∴ a 2－5 － 2＝1，解得 a＝ 1.a答案： B．若双曲线22F 1，F 2，点 P 在双曲线 E 上，E ：x－ y＝1 的左、右焦点分别为39 16且 |PF 1 ＝ ，则 2 等于)| 3 |PF | ( A ．11 B ．9 C ． 5D ．3分析：由题意知 a ＝3，b ＝4， c ＝ 5，由双曲线定义知， ||PF 1|－ |PF 2||＝ |3－|PF 2||＝ 2a ＝6，∴ |PF 2|＝9答案： B ．已知 F 1、F 2 为双曲线 C ：x 2－y 2＝ 2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF 1 ＝ 2|PF 2 ， 4 | | 则 cos ∠F 1 2 等于 ( )PF1 3 3 4A. 4B ．5C.4D. 5x 2 y 2分析：双曲线的方程为 2 －2 ＝1，因此 a ＝b ＝ 2，c ＝2，因为 |PF 1|＝ 2|PF 2|，因此点 P 在双曲线的右支上，则有 |PF 1|－ |PF 2|＝ 2a ＝2 2，因此解得 |PF 2|＝2 2，|PF 1|＝4 2，因此依据余弦定理得2 2＋22－163cos ∠F 1 PF 2＝2×2 2×4 2＝ .4答案： C．已知 F 1、F 2 为双曲线 C ：x 2－ y 2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F 1 PF 25＝ 60°，则 P 到 x 轴的距离为 ()36A. 2B. 2C. 3D. 6分析： ∵ ||PF 1|－ |PF 2||＝ 2，∴ |PF 1|2 －2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4，∴ |PF 1|2 ＋|PF 2|2＝4＋2|PF 1||PF 2|， 由余弦定理知|PF 1|2＋ |PF 2|2－|F 1F 2|2＝ 2|PF 1||PF 2|cos 60 ，°又∵ a ＝1，b ＝1，∴ c ＝ a 2＋b 2＝ 2，∴ |F 1F 2|＝2c ＝2 2，∴ 4＋ 2|PF 1||PF 2|－ 8＝ |PF 1||PF 2|，设 P 到 x 轴的距离为 |y 0|，1S △PF 1F 2＝2|PF 1||PF 2|sin 60°1＝ 2|F 1F 2||y 0|，13 1∴ 2×4×2 ＝2×2 2|y 0|，∴ y 0 ＝3＝26 2 .应选 B.答案： B6．双曲线8kx 2－ky 2＝8 的一个焦点为 (0,3)，则实数 k 的值为 ________．2 2分析：方程化为标准形式是y 8－－k x1＝1， － k8 1因此－ k －k ＝9，即 k ＝－ 1.答案： －1x22 y2＝1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数m 的取值＋7．若方程5－m m －2m －3范围是 ________．分析：依据焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为y2x2a 2－b 2＝ 1(a ＞0，b ＞0)，得知足题意的 m 需知足不等式组 5－ m ＜0， m ＞5，2－2m －3＞0， 即 ＞或＜－， m m 3 m1∴ m ＞5，∴ m 的取值范围为 (5，＋ ∞)． 答案： (5，＋ ∞)x2y 28．已知双曲线 C ： 9 － 16＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，P 为双曲线 C 的右 支上一点，且 |PF 2 ＝ 1 2 ，则△ 1 2 的面积等于 ________．| |F F |PF F分析：由x 2－y 2＝ 1 知 c ＝5，9 16由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴ |PF 1|＝6＋|PF 2|＝16，1 2 ＋|PF 2 2－|F 1 2 2cos ∠F 1 PF 2＝|PF ||F |2|PF 1||PF 2|256＋100－100 4 ＝2×16×10 ＝5.3∴ sin ∠F 1PF 2＝5.∴S PF 1F 211 3 ＝ |PF 1||PF 2|sin ∠ F 1PF 2＝ ×16×10×＝ 48.22 5 答案： 48．动圆 M 与两定圆 F 1：x 2＋y 2＋10x ＋ 24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x －24＝0 都外切， 9求动圆圆心 M 的轨迹方程．分析：将圆的方程化成标准式：F 1：(x ＋5)2 ＋y 2＝1，圆心 F 1(－5,0)，半径 r 1＝1，F 2：(x －5)2 ＋y 2＝72，圆心 F 2(5,0)，半径 r 2＝7.因为动圆 M 与定圆 F 1，F 2 都外切，因此 |MF 1|＝r ＋1，|MF 2|＝r ＋7，∴ |MF 2|－ |MF 1|＝6，∴点 M 的轨迹是双曲线的左支，且焦点F 1(－5,0)， F 2(5，0)，∴ c ＝5，且 a ＝3，∴ b 2＝ c 2－a 2＝52－32＝16.x 2y 2∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 9 －16＝1(x<0)．x2y 210．设双曲线 4 － 9 ＝1，F 1，F 2 是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠ F 1 MF 2＝90°，求△ F 1MF 2 的面积；(2)若∠ F 1 MF 2＝60°时，△ F 1MF 2 的面积是多少？分析： (1)由双曲线方程知 a ＝2，b ＝3，c ＝ 13.设 |MF 1|＝ r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)．由双曲线定义，有 r1－r 2＝2a＝4，两边平方得 r 21＋r 22－ 2r 1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF 2，求得 S△F1MF2＝9.(2)若∠ F1 MF2＝60°.在△ MF 1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r 21＋r22－ 2r 1r 2cos 60 ，°|F1F2|2＝(r 1－ r2)2＋r1r2，解得 r 1r 2＝36.1求得 S△F1MF 2＝2r1r2sin 60 ＝°9 3.[B 组能力提高]1．“mn<0”是“方程 mx2＋ ny2＝ 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件分析：由 mn<0? m<0， n>0 或 m>0，n<0，因此 mx2＋ ny2＝ 1 表示焦点可能在 x 轴上也可能在 y 轴上的双曲线；而 mx2＋ny2＝1 表示焦点在 x 轴的双曲线则有 m>0，n<0，故 mn<0.故应选 B.答案： B2．已知双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与双曲线的左支交于A，B 两点，线段 AB 的长为 5，若 2a＝ 8，那么△ ABF2 的周长是()A．16B．18C．21D．26分析：由题意联合双曲线定义得 |AF2＝＋ 1 ， 2 ＝＋1|.|2a|AF ||BF |2a|BF又 |AF1＋ 1 ＝＝＝，||BF ||AB|5,2a 8∴△ ABF2的周长为 |AB|＋ |AF2 |＋ |BF2|＝|AB|＋ 4a＋ |AB|＝16＋2|AB|＝ 26.答案： D22223．若椭圆x＋ y＝1(m>n>0)和双曲线x－y＝1(a>0，b>0)有共同的焦点 F 1， F 2，m na bP 是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF | |PF · |＝ ________.1 2 分析：如图，由椭圆定义知，1 2m ，|PF |＋|PF |＝2∴(|PF 1 ＋2 2＝ 4m.①| |PF |)由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2 a ，∴ (|PF 1|－|PF 2|)2＝ 4a ， ② ①－②得， |PF 1| ·|PF 2|＝ m －a.答案： m －a224．已知双曲线 x－y＝ 1 的两焦点为 F 1，F 2164.→ →(1)若点 M 在双曲线上，且 MF 1 ·MF 2＝ 0，求 M 点到 x 轴的距离； (2)若双曲线 C 与已知双曲线有同样焦点，且过点 (3 2，2)，求双曲线 C 的方程．分析： (1)不如设→ → M 在双曲线的右支上， M 点到 x 轴的距离为 h ，MF1· 2＝0，MF则 MF 1⊥MF 2， 设|MF 1 ＝ ， 2 ＝ ，| m |MF | n由双曲线定义知， m －n ＝2a ＝ 8， ① 又 m 2＋ n 2＝(2c)2＝80，②由①②得 m ·n ＝8，11∵ 2mn ＝4＝2|F 1F 2| ·h ，2 5∴ h ＝ 5 .(2)设所求双曲线 C 的方程为22xy－＝ 1(－4<λ<16)，16－λ 4＋ λ因为双曲线 C 过点 (3 2，2)，∴ 18－4＝1， 16－λ 4＋λ解得λ＝4 或λ＝－ 14(舍去 )．x2y2∴所求双曲线 C 的方程为12－8＝1.35．在周长为 48 的 Rt△ MPN 中，∠MPN＝ 90°，tan∠ PMN＝4，求以 M 、N 为焦点，且过点 P 的双曲线方程．3分析：∵△ MPN 的周长为 48，且 tan∠PMN＝4，∴设 |PN|＝3k，|PM|＝ 4k，则 |MN|＝5k.由 3k＋4k＋5k＝ 48 得 k＝ 4.∴|PN|＝12， |PM|＝16，|MN|＝20.以 MN 所在直线为 x 轴，以 MN 的中点为原点成立直角坐标系，如下图．设所求双曲线方程为x2y2a2－b2＝1(a>0， b>0)．由 |PM|－ |PN|＝4 得 2a＝4，a＝2，a2＝4.由 |MN|＝20 得 2c＝ 20，c＝ 10，∴ b2＝c2－a2＝96.x2y2∴所求双曲线方程为 4 －96＝1(x≠±2).。
人教A版2019高中数学选修2-1习题：第二章 第2课时双曲线方程及性质的应用_含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时 双曲线方程及性质的应用A 级 基础巩固一、选择题1．已知双曲线x 22－y 2a＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则实数a 的值为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．4 解析：由题意，得2＝a 2，所以a ＝4.答案：D 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )A. 6B.233C.10D. 3 答案：C3．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.12B.22C ．1 D. 2 答案：B 4．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知，F (4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x ，当过F 点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知应选C.答案：C5．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( ) A.x 252－y 2122＝1 B.y 2122－x 252＝1 C.x 2122－y 252＝1 D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135， 所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D二、填空题6．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若A (1，4)，则|PF |＋|PA |的最小值是________．解析：因为A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4.而|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5.两式相加得|PF |＋|PA |≥9，当且仅当A ，P ，F ′三点共线时，等号成立．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，易求得最小值为|AF 1|＝5，故所求最小值为9.答案：9 7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率的最大值为________．解析：依据双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＋|PF 2|＝10a 3≥2c ， 所以e ＝c a ≤53，e max ＝53. 答案：538．若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．则k 的取值范围为________．答案：(1，2)三、解答题9．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．解：(1)由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，所以c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x －3）x 23－y 26＝1，得5x 2＋6x －27＝0 所以x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275， 所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 43×3625＋1085＝1635. (2)直线AB 方程变形为3x －3y －33＝0所以原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|（3）2＋（－3）2＝32 所以S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝1235. 10．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F (－2，0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则有e ＝c a ＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2，0)，所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)，令x ＝0，得M (0，2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M ，Q ，F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ， 所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， 所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212， 所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)． 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )，代入双曲线方程得，16－4k 23＝1，所以k ＝±352， 所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)， 综上，所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)． B 级 能力提升 1．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值(a ＞0，b ＞0)等于( )A ．4B ．7C ．6D ．5答案：B2．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为OA ＝AF ，F (c ，0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处， 所以c 2>a ，所以e ＝c a>2. 答案：(2，＋∞)3．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)因为e ＝ 2.所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为过点(4，－10)，所以λ＝16－10＝6，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．所以MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )．所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.因为M 在双曲线上，所以9－m 2＝6，所以－3＋m 2＝0.所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。
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04课后课时精练
一、选择题
1．在方程mx 2＋ny 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线
解析：方程可化为＋y 2＝1，
x 2n
m ∵mn <0，∴<0.
n
m ∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D
2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆＋＝1(a >0)与双曲线－
x 2
a 2y 2
9x 2
4＝1有相同的焦点，则a 的值为( )
y 2
3 A. B. 210C. 4
D. 34
解析：因为椭圆＋＝1(a >0)与双曲线－＝1有相同的焦x 2
a 2y 2
9x 2
4y 2
3点(±，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.
7答案：C
3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲x 225y 2
9线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )
A. B ．123C ．20
D ．4
解析：NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝|MF 1|，又由双曲线1
2的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.
答案：D
4．若椭圆＋＝1(a >b >0)和双曲线－＝1(m >0，n >0)有相x 2
a y 2
b x 2
m y 2
n 同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )
A ．a －m B.(a －m )1
4C ．a 2－m 2
D.－a m
解析：由椭圆和双曲线的定义可得Error!
两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|＝4(a －m )，∴|PF 1|·|PF 2|＝a －m .答案：A
5．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只
可能是下图中的(
)
解析：方程可化为y ＝ax ＋b 和＋＝1.从选项B ，D 中的两x 2a y 2
b 个椭圆看，a 、b ∈(0，＋∞)，但由B 中直线可知a <0，b <0，矛盾，应排除B ；由D 中直线可知a <0，b >0，矛盾，应排除D ；再由A 中双曲线可知a <0，b >0，但直线中a >0，b >0，也矛盾，应排除A ；由C 中的双曲线可知a >0，b <0，和直线中a >0，b <0一致．应选C.
答案：C
6．[2014·江西高考]过双曲线C ：－＝1的右顶点作x 轴的x 2
a 2y 2
b 2垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A. －＝1
B. －＝1x 24y 212x 27y 29
C. －＝1
D. －＝1
x 2
8y 2
8x 2
12y 2
4解析：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，意在考查考生
灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为F ，则F (c,0)(其中c ＝)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线
a 2＋
b 2x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝x ，得y ＝b ，则A (a ，b )．由b
a |FA |＝r ＝4，得＝4，即a 2－8a ＋16＋
b 2＝16，所以(a －4)2＋b 2
c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以
b 2＝
c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1.
x 2
4y 2
12答案：A 二、填空题
7. [2014·北京高考]设双曲线C 的两个焦点为(－，0)，(，0)，22一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．
解析：本题考查双曲线的基本性质以及标准方程．根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以a ＝1，c ＝，于是b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 2－y 2＝1.2答案：x 2－y 2＝1
8．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线x 2
16y 2
42的标准方程是________．
解析：解法一：设双曲线的标准方程为－＝1(a >0，b >0)，x 2
a 2y 2
b 2因为双曲线过点(3，2)，所以
2
－＝1， ①
(32)2a 222
b 2通过计算可知
c ＝2，所以a 2＋b 2＝(2)2. ②55由①②得Error!
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
x 2
12y 2
8解法二：设双曲线方程为－＝1(－4<k <16)，将点
x 2
16－k y 2
4＋k (3，2)代入，得－＝1，
2(32)2
16－k 22
4＋k 解得k ＝4或k ＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.
x 2
12y 2
8答案：－＝1
x 2
12y 289．过双曲线－＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与x 2
144y 2
25双曲线的交点到两焦点的距离分别为________．
解析：∵双曲线方程为－＝1，∴c ＝＝13，F 1(－13,0)，F 2(13,0)．
x 2
144y 2
25144＋25设过F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，∴＝－1＝.
y 2
25132
14425
144
∴y ＝，即|AF 1|＝.251225
12又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，
∴|AF 2|＝24＋＝.
25
12313
12故所求距离分别为：、.
25
12313
12答案：、25
12313
12三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，x 2
27y 2
36一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：解法一：设双曲线的方程为－＝1(a >0，b >0)，由题意y 2
a 2x 2
b 2知
c 2＝36－27＝9，c ＝3.
又点A 的纵坐标为4，则横坐标为，于是有15Error!解得Error!
所以双曲线方程为－＝1.
y 2
4x 2
5解法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (，4)，又两焦15点分别为F 1(0,3)、F 2(0，－3)．
所以2a ＝－
(15－0)2＋(4＋3)2
＝8－4＝4，a ＝2，(15－0)2＋(4－3)2∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，
所以双曲线方程为－＝1.
y 2
4x 2
5解法三：由题意设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，将
x 2
27－λy 2
36－λA (，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为－15y 2
4＝1.
x 2511．已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．
解：由椭圆的方程可化为＋＝1，x 2
32y 2
16得|F 1F 2|＝2c ＝2＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8.32－16∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点，2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，
由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，
故其方程－＝1(x ≥2)．
x 2
4y 2
1212．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C
才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方向角．
解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平
面直角坐标系，则
B (－3,0)，A (3,0)，
C (－5，2)．
3因为|PB |＝|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为(x ，y )，
因为k BC ＝－，BC 中点D (－4，)，所以直线l PD ：y －＝333(x ＋4)．①
1
3又|PB |－|PA |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．
则双曲线方程为－＝1(x >0)．②x 2
4y 2
5联立①②式，得x ＝8，y ＝5，3所以P 的坐标为(8,5)．
3
53
因此k PA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.
8－33。