初三上册数学直升班培优讲义学生版第15讲 四点共圆(一)(学生)
四点共圆(知识讲解)
四点共圆（知识讲解）【学习目标】1. 理解四点共圆的定义；2. 掌握判断四点共圆的基本方法，并用于解决证明和计算问题。
【要点梳理】四点共圆常用的方法有：1、对角互补的四边形，四点共圆；2、外角等于内对角的四边形，四点共圆；3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。
【典型例题】类型一、四点共圆的判定1．如图，BD ，AH 分别是ABC 的高，求证：A 、B 、H 、D 四点共圆．【分析】取AB 的中点O ，连接DO 、HO ，根据BD ，AH 分别是△ABC 的高，可得△DAB和△HAB 都是直角三角形，斜边都是AB ，而点O 为斜边中点，则有DO ＝HO ＝12AB ＝AO ＝BO ，也就是说以O 为圆心、OA 为半径的圆，点D 、H 、B 也在这个圆上，即可证明A 、B 、H 、D 四点共圆．证明：如图，取AB 的中点O ，连接DO 、HO ，△BD ，AH 分别是ABC ∆的高，DAB ∴∆和HAB ∆都是直角三角形，且它们的斜边都是AB ，△点O 为斜边中点，12DO HO AB AO BO ∴====，也就是说，点D、H、B在以O为圆心、OA为半径的圆上，即点D、H、B、A都在以O为圆心、以OA为半径的圆上，故可得：A、B、H、D四点共圆．【点拨】本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．举一反三：【变式1】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见分析.【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，△四边形ABCD是菱形，△AB＝AD＝CD＝BC，AC△BD，△点E是AB的中点，△OE＝12AB，同理：OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12AD，△OE＝OF＝OG＝OH，△点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．【点拨】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.【变式2】如图，在Rt ABC中，△BAC＝90°，△ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求△BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见分析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得△C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出△ADC＝△C，最后由外角定理求得△BAD的度数；（2）由旋转的性质得到△ABC＝△AED，由四点共圆的判定得出结论．解：（1）△在Rt ABC中，△BAC＝90°，△ABC＝40°，△△C＝50°，△将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，△AC＝AD，△△ADC＝△C＝50°，△△ADC＝△ABC+△BAD＝50°，△△BAD＝50°－40°＝10°证明（2）△将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，△△ABC＝△AED，△A、D、B、E四点共圆．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．【变式3】如图，在□ABCD中，△BAD为钝角，且AE△BC，A F△CD．(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；(2) 设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．解：（1）△AE△BC，AF△CD，△△AEC=△AFC=90°，△△AEC+△AFC=180°，△A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，圆的直径是AC，连接AC交BD于O，△ABCD是平行四边形，△O为圆心，OB=OD，△OM=ON，△BM=ND.【点拨】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．类型二、利用四点共圆进行证明或求解2．如图，A 、B 、C 、D 四点共圆，且△ACB ＝△ACD ＝60°．求证：△ABD 是等边三角形．【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得出△ADB ＝60°＝△ABD ，再用三角形的内角和定理求出△BAD ，即可得出结论．证明：△△ACB ＝60°，△△ADB ＝△ACB ＝60°，△△ACD ＝60°，△△ABD ＝△ACD ＝60°，在△ABD 中，△BAD ＝180°﹣△ADB ﹣△ABD ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，△△ABD ＝△ADB ＝△BAD ＝60°，△△ABD 是等边三角形．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，圆周角定理，三角形的内角和定理 ，掌握圆周角定理是解答本题的关键；举一反三：【变式】 如图所示中，60NAM ∠=︒，B ，C 分别在边AM 和AN 上，且2BC =，CP AN ⊥，BP AM ⊥垂足分别为C ，B ，求PA 的长.【答案】433PA =【分析】本题关键要建立未知线段PA 和已知线段BC 的关系，由A ，B ，P ，C 共圆，PA 和CE 为直径，于是在Rt CEB △中便可以建立CE 和BC 的关系，求出CE 的长即求出PA 的长.解：连结CD ，BD ，△,CP AN BP AM ⊥⊥，△90PCA PBA ∠=∠=︒△AD BD PD CD ===，△由圆的定义知点A ，B ，C ，P 在以D 为圆心，DA 为半径的圆上，作出辅助圆，延长CD 交圆D 于E ，连结BE ，△60BAC CEB ∠=∠=︒ 30ECB ∠=︒在Rt BCE 中，2BC =，△433EC =△433PA =【点拨】双直角三角形是典型的共圆图，解题中注意灵活应用.类型三、四点共圆综合应用3．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，△E 是△ABC 中△A 的遥望角．△若△A ＝40°，直接写出△E 的度数是 ；△求△E 与△A 的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD 中，△ABC ＝△ADC ＝90°，点E 在BD 的延长线上，连CE ，若△BEC 是△ABC 中△BAC 的遥望角，求证：DA ＝DE ．【答案】（1）△20°；△12∠=∠E A ，理由见分析；（2）证明见分析 【分析】 （1）△根据题目定义推出△E ＝12△A ，从而得出结论；△直接根据求解△过程证明即可； （2）首先根据题意推出A 、B 、C 、D 四点共圆，然后作四边形ABCD 的外接圆交CE 于点F ，连接AF ，DF ，再根据圆的内接四边形的性质等推出△AFD ＝△DFE ，然后根据“遥望角”的定义推出△E＝△DAF，即可证△DAF△△DEF，从而得出结论．（1）解：△△△E是△ABC中△A的遥望角，△△EBC＝12△ABC，△ECD＝12△ACD，△△E＝△ECD﹣△EBD＝12（△ACD﹣△ABC）＝12△A，△△A＝40°，△△E＝20°．故答案为：20°；△12∠=∠E A，理由如下：△△E是△ABC中△A的遥望角，△△EBC＝12△ABC，△ECD＝12△ACD，△△E＝△ECD﹣△EBD＝12（△ACD﹣△ABC）＝12△A；（2）证明：△△ABC＝△ADC＝90°，△A、B、C、D四点共圆，作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，△四边形FBCD内接于△O，△△DFC+△DBC＝180°，△△DFC+△DFE＝180°，△△DFE＝△DBC，△BD平分△ABC，△△ABD＝△DBC，△△ABD＝△AFD，△△AFD＝△DFE，△△BEC 是△ABC 中△BAC 的遥望角，由（1）得△E ＝12△BAC ，△△BAC ＝△BDC ，△△E ＝12△BDC ，△△E +△DCE ＝△BAC ，△△E ＝△DCE ，△△DCE ＝△DAF ，△△E ＝△DAF ，△DF ＝DF ，△AFD ＝△DFE ，△△DAF △△DEF （AAS ），△DA ＝DE ．【点拨】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．举一反三：【变式】在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：ABC ∆是等边三角形，点D 是ABC ∆内一点，连接CD ，将线段CD 绕C 逆时针旋转60︒得到线段CE ，连接BE ，DE ，AD ，并延长AD 交BE 于点F ．当点D 在如图所示的位置时：（1）观察填空：△与ACD ∆全等的三角形是________；△AFB ∠的度数为（2）利用题干中的结论，证明：C ，D ，F ，E 四点共圆；（3）直接写出线段FD ，FE ，FC 之间的数量关系．____________________．【答案】（1）△BCE ∆：△60︒；（2）见分析；（3）FD FE FC +=．【分析】（1）△根据旋转的性质和等边三角形的性质可证△ACD△△BCE ；△根据已推导出的全等三角形和三角形内角和进行角度转化，可得△AFB 的大小； （2）根据△ACD△△BCE 得ADC BEC ∠∠=，推导得出四边形CDFE 中180BEC FDC ∠+∠=︒，从而证共圆；（3）先推导出△BDF 是等边三角形，可证△ABD△△CBP ，得出AD=FC ，从而得出数量关系．解：（1）△△△ABC 是等边三角形△AB=AC=BC ，△BAC=△ACB=△ABC=60°△将线段CD 绕C 逆时针旋转60︒得到线段CE△CE=CD ，△DCE=60°△△DCE 是等边三角形△△DCE=60°△△ACD+△DCB=60°，△BCE+△DCB=60°△△ACD=△BCE△△ACD△△BCE(SAS)△△△ACD△△BCE△△EBC=△DAC△△DAC+△BAD=△BAC=60°△△FBC+△BAD=60°△△AFB=180°－△ABC －△FBC －△BAF=180°－60°－60°=60°（2）△()ACD BCE SAS ∆∆≌．△ADC BEC ∠∠=，△180ADC FDC ∠+∠=︒，△180BEC FDC ∠+∠=︒．△C ，D ，F ，E 四点共圆； （证明不唯一）（3）结论：FD FE FC +=,如下图,连接BD△△ACD△△BCE△△CBE=△CAD ，AD=BE△△CAD+△BAD=60°，△BAD+△FBC=60° △△BAD+△ABD=△BDF=60° △△AFB=60°△△BDF 是等边三角形 △DF=BF,△FD+FE=BE△△ABD△△CBF(SAS)△AD=FC△FD+FE=FC【点拨】本题属于几何综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件说课稿
五、板书设计与教学反思
本节课通过引导学生探究四点共圆的条件，让学生掌握四点共圆的基本性质和判定方法，培养学生运用几何知识分析和解决问题的能力。同时，为学生进一步学习圆的性质、圆周角定理等知识奠定基础。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生了解四点共圆的定义和性质，掌握四点共圆的判定方法，能运用四点共圆的知识解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何推理能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备的基本前置知识有：平面几何的基本概念，如点、线、面的关系；四边形的性质；圆的基本性质等。在技能方面，学生需要具备一定的作图能力和逻辑推理能力。
在学习本节课时，学生可能存在的障碍主要包括：对四点共圆的概念理解不清，难以把握其本质特征；对圆的性质和圆周角定理的运用不熟练，难以证明四点共圆。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：首先，让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对四点共圆的理解和应用能力；然后，组织学生进行小组合作探究，让他们运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，培养他们的合作能力和解决问题的能力；最后，让学生结合自己的生活实际，设计一些关于四点共圆的应用问题，提升他们的数学应用能力。
4.设置具有挑战性的练习题，激发学生的好奇心和求知欲，如引导学生运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，提高他们的逻辑推理能力。
初三上册数学直升班培优讲义学生版第15讲四点共圆(一)(学生)
四点共圆（一）模块一辅助圆思想模块二四点共圆的判定（一）模块一：辅助圆思想平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．则 OC __________（2）如图 2-2，在 △ ABC 中， ?ACB 90?， AC= BC ，点 P 为△ABC 外一点（ P 与 C 在直线 AB 异侧），且 ?APB 45?．设点 P 关于 AB 的对称点为 E ，连接 PE 、CE ，试判定线段 AB 与 CE 的数 量关系，并给予证明．1）如图 1-1，四边形 ABCD 中， AB AC BAC ___________ ．AD ，若 CAD 76 ， BDC 13 ，则 CBD2）如图 1-2，已知四边形 ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ， BC b ，且 2a b ，求 BD 的值．1）如图 2-1，平面上有四个点 A 、O 、B 、C ，其中 AOB 120 ， ACB 60 ，AO BO ，AB 2 3 ，D图 1-1图 2-1E例题3如图，E，B，A，F 四点共线，点 D 是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB 上异于A，B 的一个动点，且满足CPD 30 ，则( A．点B．点P 一定在射线P一定在线段BE 上AB 上例题4如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD 线于F．求证：E、F、B、K 四点共AB于K．E为劣弧AC 上的一点，连接AE交DC延长AB 上AB 上例题 5（1）如图 5-1，四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，P 、Q 、R 分别是 AB 、BC 、AD 的中点．连接 PQ 与 DA 的延长线交于 S ，连接 PR 与 CB 延长线交于 T ．求证： S 、T 、Q 、R 四点共圆．例题 6证：B 、G 、E 、H 四点共圆．（2）如图 5-2， △ABC 中， 于 K ，以 AB 为直径作圆，交 BC 于 H ，交 K 、H 四点共圆．BAC 的平分线于 D ，作 CK AD1）如图 6-1，BC AE ，ED AB ，且 BC 、DE 相交于 G ．H 为 AE 延长线上的一点， CH AC ．求P 为 △ABC 内一点， D 、E 、 （ 2）如图 6-2， 共圆， P 、E 、 A 、F 四点共圆，求证：B 、D、 F 分别在 BC 、CA 、 AB 边上，已知 P 、D 、C 、 E 四点 P 、 F 也四点共圆．C图 5-2在△ABC 中， BA BC ， BAC ，M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ ．线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，猜想 CDB 的大小（用含 的AD 、BE 、CF 是 △ABC 的三条高，相交于垂心 H ，在 A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、 H 七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？DC代数式表示），并加以证明演练2平面上有四个点A、O、B、C，其中AOB 120 ，ACB 60 ，AO BO 2 ，则满足题意的OC 长度的整数的值可以是___________________ ．C演练3点，下列说法：①当AC BD 时，M、E、N、 F 四点共圆．②当AC BD时，M、E、N、F四点共圆．③ _____________________ 当AC BD ，且AC BD时，M、E、N、F 四点共圆．其中正确的是 ___ ．演练4如图，PA、PB 切⊙O于A、B 两点，过于M，求证：A、M、O、P 四点共圆．D，过 B 作BE//CD ，连接AE 交PD如图，在四边形ABCD 中，AC、BD 为对角线，点M、E、N、 F 分别为AD 、AB 、BC、CD 边的中P 作割线交⊙O 于C、C'AFE演练5过两圆交点A、B 之一的点A，引两条直线CAD 、PAQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP 与DQ 的交点为R，求证：B、C、R、 D 四点共圆．。
初三上册数学直升班培优讲义学生版第11讲圆(一)(学生版)
模块一模块二模块三圆的基本概念垂径定理圆周角定理模块一圆的基本概念定义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径. 圆0•由圆的定义可知：\(1)圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在冋一个圆上•因此，圆(是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的n\圆心,—才、半径图形.(2 )要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位表示为“ O 0 ”置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；or\ /圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；‘ \◎能够重合的两个圆叫做等圆. 等圆丄同心圆弦和弧：1 .连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径，并且直径是冋一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍. 优弧、弦2 .圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 7弦以A、B为端点的弧记作A B，读作弧AB . 2J^7B在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 劣弧3.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条表示：劣弧A B弧都叫做半圆.优弧ACB或AmB4.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.圆心角和圆周角：1.顶点在圆心的角叫做圆心角.2 .顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周A 圆心角司角扇形和弓形1 .一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫\厂扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：0)S r , l r . 扇形\丿)\ 360 180B弓B2 .由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.模块二垂径定理1.圆的对称性圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心.2 .垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.注意：垂径定理中的五个元素一一“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三•模块三圆周角定理定理示例定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半.推论1 :半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）.推论2:圆内接四边形的对角互补.模块圆的基本概念如图,判断下列正误.(1)(2)(3)(4) 半径相等的两个圆是等圆过圆心的线段是直径半圆所对的弦是直径直径是圆中最大的弦ACB如图，A B90如图，四边形ABCt® 4是O O的内接四边形，则A BCD 180，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即DCE A .(((())))(5) 半圆是弧( ) (6) 长度相等的弧是等弧 ( ) (7) 两个端点能够重合的弧是等弧( ) (8) 圆中任意一条弦所对的弧有两条，其中一条优弧，一条劣弧()(9) 圆的半径是 R ,则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )(1) 如图2-1, AB 为O O 的直径，CD 是O O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点 E ,若AB 2DE , E 18 , AOC _______________ . (2)如图2-2,两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm 2,则该半圆的半径为(1) ________________________________________________________________________________________ 如图 3-1, CD 为 O O 的直径，AB CD 于 E , DE 8cm , CE 2cm ，则 AB ____________________________ (2) ____________ 如图3-2，矩形ABCD 与圆心在 AB 上的O O 交于点G 、B 、F , GB 8cm , AG 1cm , DE 2cm , 则 EF ________ .(3) ______________ (安徽芜湖中考) 如图3-3，在O O 内有折线 OABC ，其中OA 8 , AB 12 , 则BC 的长为 ______________.模块二垂径定理IIB 60 , 图2-1 图3-1(1) _____________________________________________________________________________________ 如图4-1,过O O 内一点M 的最长弦长为12cm ,最短弦长为8cm ,则0M 长为 ___________________________________ .(2) 如图4-2,点P 是半径为5的O 0内一点，且0P 3，在过点P 的所有O 0的弦中，弦的长度为整数的条数有 _______________ .(1)直径为50cm 的O 0中，弦AB//弦CD ，又AB 40cm , CD 48cm ，则AB 和CD 两弦的距离 为 .例题4(2)(郴州中考) 已知在O 0中，半径r 5 , AB、CD是两条平行弦，且AB 8 , CD 6，则AC 的长为.如图，P为O O外一点，过点P引两条割线FAB和PCD，点M , N分别是A B , C D的中点，连接MN 交AB, CD 与E, F .(1)求证：△ PEF为等腰三角形;模块三圆周角定理根据上面的推理，可以发现 ___________________________________________________ .(2) 若点D 是优弧A B 上任意一点，试判断 ADB 与 ACB 的大小关系•根据上面的推理，可以发 现： _________________________________________ .(3) 如果点D 在劣弧A B 上，此时 ADB 和 ACB 的大小关系还一样吗？可以得到什么结论？(1) 一条弦分圆为1:5两部分，则这条弦所对圆周角的度数为例题8(2)如图8-1 , A 、B 、C 、D 是O O 上的点，直径CEB .AB 交CD 于点E ,已知 C 57 , D 45，则(3) 如图8-2, AB 为e O 的弦，△ ABC 的两边 EDC 70，贝U C ____________ .BC 、AC 分别交e O 于D 、E 两点， B 60 ,(4) ________ 如图8-3, △ ABC 内接于e O , AB 是直径, 长为 _____ .BC 4 , AC 3 , CD 平分 ACB ，则弦 BD 的(1)已知A B 为O O 圆周上任意两点，C 是优弧A B 上一点，请你判断 ACB 与 AOB 的大小关系.D图8-1 图8-2 图8-3例题9如图，△ ABC是O0的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A, B重合），设OABC •猜想与之间的关系，并给予证明.模块一圆的基本概念CD是O O 的直径，EOD 87 , AE 交O O 于B ,且AB OC ，求 A 的度数.（1）如图2-1，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a , EF b , NH c ,则下列选项中正确的是（）.A . abcB . a b cC . cabD . b c a（2）（河南中考）如图2-2，在半径为 5，圆心角等于45的扇形AOB 内部作一个正方形 CDEF ,使点C 在OA 上，点D 、E 在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留n ） ________________如图,11o 模块二垂径定理 G H OFC 图2-1 A D E 图2-212 (2)已知O 0的直径是10cm , O 0的两条平行弦 AB 6cm , CD 8cm ，则弦AB 与CD 间的距离 为 .(湖北中考)如图，AB 是O 0的直径，且 AB 10,弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动 时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1 , b ，则|h 1 h 2|等于 _________________________________________.(1)如图3-1，是一条水平铺设的直径为中此时水最深为 _______________ 米. 2米的通水管道横截面，其水面宽为 1.6米，则这条管道(2)如图3-2 ,已知C 是弧AB 的中点，半径0C 与弦AB 相交于点D ,如果 那么CD . 0AB 60 , AB 3 , (3)(安徽中考)如图3-3, O 0过点B C .圆心O 在等腰直角△ ABC 的内部, BC 6，则O 0的半径为 ___________________ .BAC 90 , 0A 1 ,6cm ，最短的弦长为 4cm ，贝U 0M 的长等于 _____________最长的弦长为Fh 2 A Nh 1 E OB模块三圆周角定理，（四川成都中考）如图7-1, △ ABC内接于O0 , AB BC , ABC 120 , AD为O0的直径,6，那么BD __________ .(2)贝U A0DA. 70（四川南充中考）（）.如图7-2, AB 是O0 的直径，点C、D 在O 0 上, B0C 110 , AD//0C ,60 C. 50 D. 40 （3）（山东泰安中考）圆周角的度数为如图7-3, O0的半径为1, AB是O 0的一条弦，且AB , 3，则弦AB所对图7-1如图，已知AB是半圆0的直径，C为半圆周上一点, 与AC的数量关系并证明.M是A C的中点，MN AB于N,试判断MN(1)AD13。
初三上册数学直升班培优讲义学生版补充讲义《与圆有关的角的计算》(学生版)
课程名称：与圆有关的角的计算学生姓名年级九年级校区上课时间月日任课教师学管师: :学科数学课次第次课课时教学主题与圆有关的角的计算圆是重要的平面图形，与圆有关的角（圆心角，圆周角，圆内接四边形的内角，与切线有关的夹角，扇形的圆心角等）是圆中最基础最重要的内容之一纵观近年来各地的中考数学试卷，与圆有关的角相关的考题都占有一定的比重，有的直接单一考查圆周角、圆心角的有关知识点，这类问题多以选择题和填空题的形式出现；有的则与其他知识点或生活实际相结合，成为综合解答类试题，以考查学生综合运用有关知识分析问题与解决问题的能力•其考点则主要聚焦在以下几个方面考点1求圆心角的度数例1如图1, 一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在圆上，边AB,AC分别与O O考点2 求圆周角的大小例2 （2017?重庆）如图3, BC是O O的直径，点A在圆上，连接AO,AC, AOB 64，则ACB交于点D, E，则DOE的度数为=(同步练习1（2017?兰州）如图2•在O O中，AB BC ,点D在O O上，CDB 25 ，则AOB)A.45°B.50C.55°D.60°考点4圆内接四边形的内角例4 （2017?南京）如图8,四边形ABCD 是菱形，O O 经过点A,C,D ，与BC 相交于点E ，连接AC,AE ，若 D 78，贝U EAC = _________________同步练习4 如图9,在圆内接四边形ABCD 中，若 A, B, C 的度数之比为 4:3:5，则 D 的度数是 _______________同步练习2 （2017?自贡）如图4, AB 是O O 的直径，PA 切O O 于点A,PO 交O O 于点C ，连接BC , 若 P 40，贝UB =() A.20°B.25°0.30°D.40考点3求与圆心角和圆周角相关的其它角的度数例 3 （2017? 泰安 ）如图5, ABC 内接于O O ，若 A，贝U OBC =()A. 1802图5图6B. 2C. 90D. 90同步练习3（2017?扬州）如图7,已知O O 是 ABC 的外接圆，连接AO ，若40，则OAC考点5弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例5 （2017?湖州）如图10,已知，在ABC中，AB AC，以AB为直径作半圆O，交BC于D.若BAC 40，则A D的度数是度.同步练习5如图12, AB为o O的直径，C,D为o O上的点，A D C D，若CAB 40，则CAD =图12考点6与圆心角有关的弧长计算例6如图13,已知等边ABC的边长为6，以AB为直径的O O与边AC,BC分别交于D,E两点，贝y D E的长为.同步练习6如图15,在YABCD 中，AB 为O O 的直径，O O 与DC 相切于点E ，与AD 相交 于点F ,已知AB 12, C 60，则?E 的长为考点7与切线有关的夹角问题求证:直线DM 是O O 的切线.图16 图17同步练习7 (2017?福建)如图18,四边形ABCD 内接于O O , AB 是O O 的直径，点P 在CA的延长线上，例7如图16,点E 是 ABC 的内心, AE 的延长线交BC 于点F ，交ABC 的外接圆O O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使 BDM DAC .CAD 45 .(1)若AB=4, 求CD 的长;(2)若BC A D , AD AP，求证:PD是O O的切线.图18考点8与其他知识结合的综合性问题例8 （2017?台州）如图19，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B,C重合）,PE是ABP的外接圆O O的直径.图19AT 是O O 的切线， ABT 50 , BT 交O（1）如图20,求 T 和 CDB 的大小； ⑵如图21,当BE BC 时，求 CDO 的大小.同步练习8（2017?天津）已知AB 是O O 的直径,。
中考复习四点共圆
四点共圆四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
ADCC6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
15直线与圆的位置关系一 16直线与圆的位置关系二 17与圆相关的比例线段
18圆与圆的位置关系 19平面几何的定值问题 20平面几何的最值问题
21分而治之 22数形结合 23顺思逆想
内容截图：
15直线与圆的位置关系一16直线与圆的位置关系二17与圆相关的比例线段
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
1、转化与化归一般
5、最优化 6、是偶然还是必然 7、三角函数 8、旋转变换
9、平行线分线段成比例 10、从全等到相似 11、相似三角形的性质
初三数学联赛辅导 四点共圆
四点共圆四点共圆的判定方法：（1）先证三点共圆，再证第四点也在此圆上 （2）若干个点到某定点距离相等，则这些点共圆 （3）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。
（5）若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PD PB PC PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（6）若四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 相交于P ，且PD PC PB PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（7）（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD 中，BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ 则A 、B 、C 、D 四点共圆 （8）（西姆松定理的逆定理）从ABC ∆外一点D 引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足为L 、M 、N ，若L 、M 、N 共线，则A 、B 、C 、D 四点共圆例1 如图，ABC ∆三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角ABC ∆，以AB 为直径的圆与AB 边的高1CC 及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高1BB 及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆NCQPMC1B1BA例3 在等腰ABC ∆中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 作两腰的平行线分别与AB 、AC 交于点Q 、R ，又点1P 是点P 关于QR 的对称点，求证：点1P 在ABC ∆的外接圆上例4 A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，1O 、2O 、3O 分别为OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的外心，求证：O 、1O 、2O 、3O 四点共圆例 5 在梯形A B C D 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，C B K DA M ∠=∠，求证：CKB DMA ∠=∠oBCAC M K DABCQP P1ARCB例6 如图，ABC ∆中，高BE 、CF 交于H ，且︒=∠135BHC ，G 为ABC ∆内的一点， 且GC GB =，A BGC ∠=∠3,连结HG ，求证：HG 平分BHF ∠例7 如图，ABC ∆内接于圆O ，AD 、BD 是圆O 的切线，作DE ∥BC 交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：FC BF =例8 正方形ABCD 的中心为O ，面积为21989cm ，P 为正方形内一点，︒=∠45OPB ， 14:5:=PB PA ，求PBCBOPDAB 例9 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ，求MN 的长度例10 如图，已知直线AB 、AC 切圆O 于点B 、C ， P 圆O 上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4厘米和6厘米，求P 到BC 的距离例11 在ABC ∆的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得A QCB PBC ∠=∠=∠21， 求证：CP BQ =CBQPAA例12在梯形A B C D 中，AD ‖BC ，1==BD BC ，AC AB =，1<CD ，︒=∠+∠180BDC BAC ，求CD 的长例13 在锐角ABC ∆中，AC AB ≠，H 是高AD 上一点，连结BH 并延长交AC 于点E ，连结CH 并延长交AB 于点F ，已知B 、C 、E 、F 四点共圆，求证：H 为ABC ∆的垂心例14 如图，P 圆O 外一点，PA 切圆O 于A ，PBC 是割线，PO AD ⊥于D ，求证：CDPCPB =CB D A BCBD例15 如图，已知，在凸五边形ABCDE 中，α3=∠B A E ，DE CD BC ==，且α2180-︒=∠=∠C DE B C D ，，求证：DAE CAD BAC ∠=∠=∠例16 如图，AD 为ABC ∆的一条高，l 是过D 的一条直线，E 、F 都是l 上的点，满足BE AE ⊥，CF AF ⊥，设M 、N 分别为BC 、EF 的中点，证明：MN AN ⊥例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明（托勒密定理)凸四边形A B C D 的四个顶点共圆的充要条件是BD AC BC AD CD AB ∙=∙+∙例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为AB ，求A 引出的三条对角线的长度之和例20 证明（西姆松定理）从ABC ∆外一点D ，引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件（点D 在ACB ∠内时）是L 、M 、N 共线，亦即MN LM LN +=。
中考数学圆中的重要模型四点共圆模型
圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。
相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。
本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。
这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在R t A B C中，90∠A C B∠=︒，O为A B的中点，O D平分A O COF例4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形A B C D 中，D A D B D C==，72BD C ∠=︒，则B A C∠的度数为______．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90A B DA C D ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。
二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。
2. 四点共圆的性质及其应用。
3. 运用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。
2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。
2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。
3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。
4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。
5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。
2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。
b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。
c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。
d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。
七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。
b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。
c. 教学内容的难易程度是否适合学生。
d. 课堂管理和学生提问的处理情况。
2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。
初三上册数学直升班培优讲义学生版补充讲义《树状图分析》(学生版)
课程名称：树状图、列表解决概率问题学生姓名年级九年级 校区上课时间 月日• _ •任课教师学管师学科 数学课次第 次课 课时教学主题树状图、列表专题训练学习目标:1. 要求熟练掌握树状图画法。
2. 要求熟练运用树状图去解决问题考点分析：通过画树状图去分析题目中的问题，提高分析问题，解决问题的能力. 【典型例题】1. （2017苏州）初一（1）班针对你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选 个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.（第23题）根据以上信息解决下列问题： （1） m， n（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为（3）从选航模项目的 4名学生中随机选取 2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状 图或列表）求所选取的 2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.学生所选项口人数期形统计圏顶冃 男生（人蛙＞ 女粧（人融》机器人7 93卩打卬m4航模士其他5男、女生所选项口人数统讣表2. （2015苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字1、0、2,它们除了数字不同外，其他都完全相同.（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 2的小球的概率为 ;（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的横坐标，再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的纵坐.请用树状图或表格列出点 M 所有可能的坐标，并求出点 M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率•4. （2017苏州一模）甲、乙、丙三人准备玩传球游戏.规则是：第1次传球从甲开始，甲先将球随机传给乙、丙两人中的一个人，再由接到球的人随机传给其他两人中的一个人……如此反复（1）若传球1次，球在乙手中的概率为 ________ ；（2）若传球3次，求球在甲手中的概率 （用树状图或列表法求解）.3. （2014苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对 A , B, C 三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A , C 两个区域所涂颜色不相同的概率.课后练习:1. （2016苏州一模）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5:2，请结合图中相关数据回答下列问题：(1) 则出样本容量，并补全直方图； (2)该年级共有学生 500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；(3) 已知A 、E 组发言的学生中都恰有 1位女生，现从A 组与E 组中分别抽一位学生写报告，请用列表 法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)
BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。
初三数学培优：第十五讲：中心对称“带上路”,以美启真助突破
第十五讲：中心对称“带上路”，以美启真助突破
特殊图形（“好形”）的对称性研究一直是中考中容易做文章的题材，解题过程中注意对中心对称的积累和感悟……
如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1。
（1）求证：∠APE=∠CFP ；
（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，2
1S S y 。
①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范
围，并求出y 的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称
时，求y 的值。
问题探究
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.
D B
P
D B C
A
①
②③。
九年级奥数培优 四点共圆
4.如图，AB是半圆O的直径，∠E＝20°，∠CBD＝40°，则∠BDC的度数是。
5.AD、BC是过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E.若AB=10，则AE·AC＋BE·BD的值是。
3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P.若AB= ，AP=1，则BD的长是。
4.如图，AD为△ABC中BC边上的高，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F点。若∠C=40°，则∠AEF的度数是。
5.五边形ABCDE中，AE∥BD，AB=DE，AC、BD相交于F.若AF=8，FC=2，BF=4，FD=4，∠AED= 100°，则∠ACD的度数是。
8.如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且BD：DC=1：2，CH⊥AD于H.若BC=6，则DH·DA的值是。
9.如图，AB、CD为⊙O的二条弦，且AB平分CD于M，过C、D分别作⊙O的切线交于P.若∠POA=n°，则∠PBA的度数是。
10.如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、CD的延长线交于P点，另一组对边BC、AD的延长线交于Q点，从P、Q分别引圆的二条切线E，F为切点。若PQ=6，则 的值是。
14.如图，在凸四边形ABCD的BC边上取E和F（点E比F更靠近点B）.已知∠BAE=∠CDF及∠FAF=∠FDE，证明：∠FAC=∠EDB.
B卷
一、填空题
1.如图，正方形ABCD的面积为2 cm ，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，则AP的长是cm.
2.如图， ，且∠P= 40°，则∠ACD的度数是。
初三数学寒假培优提高班讲义——圆(1).docx
初三数学寒假培优提高班讲义（1） -------- 圆（1）1、如图，。
0的半径是1 Ocm,弦AB的长是12cm, OC是00的半径HOC丄AB ,垂足为D, CD= __________________ c m.2、RtAABC, ZA二90° , AB二6, AC二8,以A为圆心，AB为半径的鬪交BC于D ,求弦BD的长。
3、在半径为5cm的圆内，冇两条平行弦长分別为6cm, 8cm,则这两条平行弦Z间的距离是多少？4、矩形&BCD中，AB=5, BC=12f如果分别以&、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆人的半径厂的取值范围是____________5、已知半径分别是27cm和10cm, 00丄与0。
2相交于久B两点，如果公共眩AB的长是16cm,求圆心距0i02的长.6、（2005年上海中考）已知：如图6,圆0是AABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD 上,E、F分别是边AC和BC的中点,求证：四边形CEDF是菱形.7、（2006年上海中考）木市新建的滴水湖是闘形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A , B, C三根木柱，使得A, BZI'可的距离与A , C之间的距离相等，并测得长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.8、（2008年上海屮考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其屮部分图形和数据看不清楚（如图7所示）.己知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图, 它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点.勾7（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；根据上述信息（图纸中/ =1:0.75是坡面（2）由于图纸中圆O的半径厂的值已看不清楚,CE的坡度），求厂的值.备用图9、（2004年上海中考）在厶ABC 中,Z BAC=90°z AB=AC=2^2，圆A 的半径为1,如图5所示, 若点0在BC 边上运动（与点B 、C 不重合），设BO=x,AAOC 的面积为y, （1）求y 关于x 的函 数解析式，并写出函数的定义域；（2）以点0为圆心,B0氏为半径作圆0,求当圆0与圆A 相切时,AA0C 的面积.B O C压轴题练习1、（2008 年上海中考）已知 AB = 2, AD = 4, ZDAB = 90\ AD// BC （如图 13）. E 是射线BC ±的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点.（1） 设BE = x, ^ABM 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域;（2） 如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3） 联结BD,交线段AM 于点N,如杲以A, N, D 为顶点的三和形与ABME 相似, 求线段BE 的长.2.已知:在厶ABC 中,AB=AC f ZB=305, BC=6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC ±, DE=3, △DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N.图13（1）求证：HBDMs/\CEN；（2）当点M、/V分别在边助、CA上时,设BD二兀，△ABCMADEF重叠部分的面积为y , 求y 关于兀的函数解析式，并写出定义域.（3）是否存在点D,使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切，如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由. 匚。
初三几何综合(二)之四点共圆(学生版)(1)
初三几何综合（二）之四点共圆一、等线段共端点1.如图，在四边形中，，，求的度数．2.如图，、分别切于、两点，满足，且，，求的度数．（1）（2）（3）3.在中，斜边的中点关于的对称点为点，将绕点顺时针旋转至，连接，，如图所示．在①，②，③中，等于旋转角的是 （填出满足条件的角的序号）．若，求的大小（用含的式子表示）．点是的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．（1）（2）4.已知：，.将线段绕点逆时针旋转（）得到线段点关于直线的对称点为，连接，．①补全图形．②求的度数．若，，请写出求度数的思路．（可以不写出计算结果）（1）（2）（3）5.如图，在和中，，，，点在上，是线段的中点，连接、．图请你探究线段与之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）．将图中的绕点顺时针旋转，使的一边恰好与的边在同一条直线上（如图），连接，取的中点，问（）中的结论是否仍然成立，并说明理由．图将图中的绕点顺时针旋转任意的角度（如图），连接，取的中点，问（）中的结论是否仍然成立，并说明理由．图（1）12（2）6.在锐角中，，为边上的高，为中点．如图，过点作于点，连接．若，求的度数．图若为线段上的动点（点与点不重合），过点作于点，射线，交于点．依题意将图补全．图小宇通过观察、实验，提出猜想：在点运动的过程中，始终有．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：连接，要证，只需证．想法：设，，只需用，表示出，通过角度计算得．想法：在上取点，使，要证，只需证．请你参考上面的想法，帮助小宇证明．（一种方法即可）12（1）（2）7.是等边三角形，以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得到线段，连接交于点．如图：求证：垂直平分．点在的延长线上，点在线段上，且，连接，判断的形状，并加以证明．如图，点在的延长线上，点在线段上，且，补全图．求证：．（1）（2）12（3）8.在等边外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，，其中交直线于点．设，，．图图依题意补全图．若，直接写出和的度数．如图，若．判断，的数量关系并加以证明．请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）（1）（2）9.在正方形中，是一条对角线．点在射线上（与点、不重合），连接，平移，使点移动到点，得到，过点作于点，连接，．若点在线段上，如图，①依题意补全图；②判断与的数量关系与位置关系并加以证明．A DCBP图A DCB备用图若点在线段的延长线上，且，正方形的边长为，请写出求长的思路．（1）（2）（3）10.在中，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接，．如图，当，时，的大小为 ．图如图，当，时，求的大小．图已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，请直接写出的大小．二、直角三角形共斜边11.如图，、为的两条高，求证：、、、四点在同一圆上．12.如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为 度．13.如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒，点在量角器上对应的读数是 度．（1）（2）14.如图，为等腰直角三角形，点为动点，．如图(1)，为点在第一象限时，求．图如图(2)，为点在第四象限时，求．图（1）（2）15.小明遇到这样一个问题：如图，在锐角中，、、分别为的高，求证：．小明是这样思考问题的：如图，以为直径做半⊙，则点、在⊙上，，所以．图图请回答：若，则的度数是 ．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在锐角中，、、分别为的高，求证：．图A.B.C.D.16.如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为⊙上一动点，于．当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为（ ）．xyO17.如图，、分别是正方形的边、的中点，、相交于，求证：．（1）（2）（3）18.在中，，，将绕点顺时针旋转（），得到，其中点的对应点是点，点的对应点是点，、相交于点，连接．如图，若，线段绕点旋转得到线段．请补全，并直接写出的度数．图如图，若，求的度数和的长．图如图，若旋转（），请直接写出的度数及的长（用含的代数式表示）．图12（1）（2）19.在边长为的正方形中，点是边上一点（点不与点，点重合），点关于直线的对称点为．如图，如果落在线段的延长线上，图求的度数．求线段的长度．如图，设直线与的交点为，求证：．图图（1）（2）（3）20.已知：点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合），连接．如图，当点在线段上时，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：，．如图，当点在线段延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由．图若，直接写出的度数．（1）12（2）（3）21.如图，正方形与正方形的边、（）在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其它顶点均不重合，连接、．当正方形旋转至如图所示的位置时，直接写出与的数量关系为： ．如图，如果，，，请你补全图形．求点到的距离．当点在直线上时，连接，直接写出的度数 ．（1）（2）22.在中，，，于点，于点．如图，连接，点与点关于直线对称，连接、．依题意将图补全．小明通过观察、实验，提出猜想：．小明把这猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由且，联想到旋转，过点作交于点，要证，需证和．想法2：由，可知，联想到平移，在上取一点，使得， 连接，要证，需证≌．想法3：延长到点，使得，连接．要证，可以通过证明和相似，从而证得．请你参考上面的想法，帮助小明证明他的猜想．图一（1）图二（2）图三（3）23.如图一，在中，分别以，为直径在外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心．是边的中点，点和点分别为两个半圆圆弧的中点．连结，，，，，．证明：≌．如图二，过点分别作半圆和半圆的切线，交的延长线和的延长线于点和点，连结，若，，，求线段的长．如图三，过点作半圆的切线，交的延长线于点，过点作直线的垂线，交的延长线于点，连结．证明：是半圆的切线．（1）（2）（3）24.如图，，，，，连接，为的中点．如图，若、、三点共线，求的度数．图如图，若、、三点不共线，求证：．图如图，若点线段上，，，请直接写出的长度．图三、两等角在同侧25.如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，，则的长 ．ABCDOP（1）（2）（3）26.如图，正方形的对角线相交于点，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于点，，且始终保持不变．求证：．求证：．请探索：在的旋转过程中，当等于多少度时，？写出你的探索结论，并加以证明．（1）（2）（3）27.回答下列问题：已知，为等边三角形，点是射线上一动点（不与、重合），将射线绕点顺时针方向旋转后，与的平分线交于点，连接，如图①、②，试判断的形状，并证明．（请选择其中一个图形证明）已知，四边形是正方形，点是射线上一动点（不与、重合），将射线绕点顺时针方向旋转后，与的平分线交于点，连接，如图③、④，试判断的形状，并证明．（请选择其中一个图形证明）已知，六边形是边长为的正六边形，点是射线上一动点（不与、重合），将射线绕点顺时针方向旋转后，与的平分线交于点，连接，如图⑤、⑥，设，，请直接写出与函数关系式，并写出的取值范围．（1）（2）（3）28.如图，是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，将等边三角形绕点旋转，与所在的直线交于点．求证：≌．当绕点逆时针旋转过程中，若的度数是否会发生变化？若不变则求出的度数；若变化，请说明理由．若为直角三角形，求线段的长．A.点一定在射线上B.点一定在线段上C.点可以在射线上，也可以在线段上D.点可以在射线上，也可以在线段上29.如图，，，，四点共线，点是正三角形的边的中点，点是直线上异于，的一个动点，且满足，则（ ）．四、对角互补30.如图，已知在五边形中，，，且．求证：．A. B. C. D.31.如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点，连接与相交于点．给出如下几个结论：①≌；②；③若，则；④与一定不垂直；⑤的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）．四边形A.个 B.个 C.个 D.个32.如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点、，交于点，连接，．下列结论：①≌；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（ ）．（1）（2）（3）33.操作与探究我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．分别测量下面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．图 图图如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合下面的两个图说明其中的道理．（提示：考虑与之间的关系）图图由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．五、四点共圆求最值34.已知如图，平面直角坐标系中，，在轴上，，，点为轴上一动点，当最大时，点坐标为 ．A.B.C. D.35.如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，于点，于点，则线段的最小值为（ ）．36.如图，矩形中，，，点是边上一动点，为的中点，是上一点，且满足，连接，当点在上运动的过程中，长的最小值为 ．六、四点共圆与相似37.如图，和分别为的高，，则．A.B. C.D.38.如图，在中，，点是边上一动点，过点作的延长线于．若，，则的最大值为（ ）．39.如图，是等腰底边上一点，若，，求的值．A. B. C. D.40.在中，，为的中点，于，交于，已知，，则（ ）．（1）（2）（3）41.如图，在中，，为中点，为线段上的一个动点，于点．图求证：．如图，若平分，求的值．图如图，延长线交于点，若，，，直接写出的值．图图（1）图（2）42.如图，在中，点、、分别在、、上，且，．如图，当时，图中是否存在与相等的线段？若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．如图，当（其中）时，若，，求的长（用含，的式子表示）．。
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模块一：辅助圆思想
平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．
模块二：四点共圆的判定（一）
（
1）如图1-1，
四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ∠=︒，13BDC ∠=︒，则CBD ∠=_____，BAC ∠=__________．
（2）如图1-2，已知四边形ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ===，BC b =，且2a b >，求BD 的值．
图1-1 图1-2
（1）如图2-1，平面上有四个点A 、O 、B 、C ，其中120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，AO BO =，23AB =，则OC =__________．
（2）如图2-2，在ABC △中，90ACB ，AC BC ，点P 为ABC △外一点（P 与C 在直线AB 异侧），且45APB ．设点P 关于AB 的对称点为E ，连接PE 、CE ，试判定线段AB 与CE 的数量关系，并给予证明．
图2-1 图2-2
A
O
C B
A
B
C
D
D
C
A B
A
E C
B
P
如图，E ，B ，
A ，F 四点共线，点D 是等边三角形ABC 的边AC 的中点，点P 是直线A
B 上异于A ，B 的一个动点，且满足30CPD ∠=︒，则（ ） A ．点P 一定在射线BE 上 B ．点P 一定在线段AB 上
C ．点P 可以在射线AF 上，也可以在线段AB 上
D ．点P 可以在射线B
E 上，也可以在线段AB 上
如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦，且CD AB ⊥于K ．E 为劣弧AC 上的一点，连接AE 交DC 延长线于F ．求证：E 、F 、B 、K 四点共圆．
P
O'
O F
E
D C
B (P )
A O K F
E D
C
B
A
A
B
C
D
E F
K O 0
D
A
B
E F
（1）如图5-1，四边形ABCD 内接于O ⊙，
P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、AD 的中点．连接PQ 与DA 的延长线交于S ，连接PR 与CB 延长线交于T ．求证：S 、T 、Q 、R 四点共圆．
（2）如图5-2，ABC △中，以AB 为直径作圆，交BC 于H ，交BAC ∠的平分线于D ，作CK AD ⊥于K ，M 为BC 中点．求证：D 、M 、K 、H 四点共圆．
图5-1 图5-2
（1）如图6-1，BC AE ⊥，ED AB ⊥，且BC 、DE 相交于G ．H 为AE 延长线上的一点，CH AC =．求证：B 、G 、E 、H 四点共圆．
（2）如图6-2，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 边上，已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 也四点共圆．
图6-1 图6-2
O
T
S P
Q
R
D
C
B
A O
H
K
M
D C
B
A
E H G
D
C B A
P
F
E
D C
B A
H
F
E
D C
B
A AD、BE、CF是ABC
△的三条高，相交于垂心H，在A、B、C、D、E、F、H七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？
在ABC
△中，BA BC
=，BAC
∠=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ．线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB
∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明.
M
Q
P
D
C
B
A A
B
C
D
P
Q
M
例题 7
模块一辅助圆思想
演练 1
C'
C
B
A
O 平面上有四个点A、O、B、C，其中120
AOB
∠=︒，60
ACB
∠=︒，2
AO BO
==，则满足题意的OC 长度的整数的值可以是____________．
如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：
①当AC BD
=时，M、E、N、F四点共圆．
②当AC BD
⊥时，M、E、N、F四点共圆．
③当AC BD
=，且AC BD
⊥时，M、E、N、F四点共圆．
其中正确的是_____________．
如图，P A、PB切O
⊙于A、B两点，过P作割线交O
⊙于C、D，过B作BE//CD，连接AE交PD 于M，求证：A、M、O、P四点共圆．
M
E
O
P
D
C
B
A A
B
C
D
P
O
E
M
B
D
A
M
F
N C
E
过两圆交点A、B之一的点A，引两条直线CAD、P AQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP与DQ的交点为R，求证：B、C、R、D四点共圆．R
C P
A Q
D B。