广东省2014届高三数学理二轮专题复习：数列

2014高三数学（理）专题复习--数列一、选择题:1．（湛江2014高考一模）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11221,2,a b a b ====则55a b =A ．5B ．16C ．80D ．160 2．（2014茂名一模）设}{n a 是等差数列,若,13,372==a a 则数列}{n a 前8项和为（ ）A ．128 B.80 C.64 D.56 3．（中山一中等七校2014高三第二次联考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．74．（珠海一中等六校2014高三第三次联考）若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（ ） A.9项 B.12项 C.15项 D.18项5．（惠州市2014届高三第三次调研考）．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则=24a S （ ）A .2B .4C .152 D . 1726．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…， 则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）A ．11260 B ．1840 C ．1504D ．1360二、填空题:7. （2013广东高考）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.8. （2012广东高考）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.9．（2011广东高考）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．10．（肇庆2014高三上期末）若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则3a =三、解答题11、（2013广东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.12、（2012广东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列.（Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<.13、（2014江门一模）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，n nn a a a +=+221．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵求证：*∈∀N n ，312<∑=ni ia．14、（广州市2014届高三1月调研测试）已知数列{an}满足135a =，1321nn n a a a +=+，*n ∈N ． （1）求证：数列1 1 na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．15. （2014湛江一模）已知正数数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，lg n S 、lg n 、1lgn a 成等差数列。

(1) 求n a 和n S ； (2) 设nn S b n =！，数列{}n b 的前n 项和为n T ，当2n ≥时，证明：2nn S T <<。

16、（2014深圳一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．答案1、C2、C3、B4、D5、C6、B7、208、21n a n =-9、10 10、811、(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n+=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a -=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---此时22121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭114nn=++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.12、解析：（Ⅰ）由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩，解得11a =.（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（2n ≥），两式相减，可得122nn n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即()11232n n n n a a +++=+，所以数列{}2n na+（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以2293n n n a -+=⨯，即32n nn a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}n a 的通项公式是32n nn a =-.（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=，所以1323n nn--≥，所以1113n n a -≤，于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.下面给出其它证法.当1n =时，11312a =<；当2n =时，121113152a a +=+<；当3n =时，12311111315192a a a ++=++<.当4n ≥时，1n nb a <，所以312311322*********11151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<-.综上所述，命题获证.下面再给出1211132n a a a +++<的两个证法.法1：（数学归纳法）①当1n =时，左边111a ==，右边32=，命题成立.②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：1111132332i i i i ++<⋅--（1i ≥，i ∈N ）. 要证1111132332i i i i ++<⋅--，只需证1111132332i i i i+++<--⋅，只需证11132332i i i i +++->-⋅，只需证1232i i +->-⋅，只需证23->-，该式子明显成立，所以1111132332i i i i ++<⋅--.于是当1n k =+时，111211111113311323232332322k k k i i i i i ii i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<.备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识.法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）当1n =时，11312a =<显然成立.当2n =时，121113152a a +=+<显然成立.当3n ≥时，()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=-，又因为()252221a =>⨯⨯-，所以()21n a n n >-（2n ≥），所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭（2n ≥），所以123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.综上所述，命题获证.13、⑴由n n n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ……1分，21111=-+n n a a ……2分所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列……3分 212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n……5分⑵（方法一）n n n n n a n 24124)1(42222+<++=+=……6分，222+-=n n ……7分4>n 时，由以上不等式得222()1212(5232()4222(3212(12+-++--++-+-+-<∑=n n n n a ni i……9分22122212+-+-+=n n ……10分，3<……11分因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……12分．14、解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 因为135a =，则11213a -=．所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．（2）由（1）知，112121333n n na -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332n n n a =+．假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩由332n n na =+与()()()2111s m t a a a -=--， 得2333111323232s m t s m t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．因为2m t s +=，所以3323m t s +=⨯．因为3323m t s +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．15、解：（1）依题意：1lg lg2lg n n S n a +=， 即2n n S n a = ，∴2n n S a n =.∴21n n n a S a n -+=①. 当2n ≥时，211(1)n n S a n --=-② ②代入①并整理得:111n n a n a n --=+∴2113a a =，3224a a =，4335a a =，5446a a =…3242n n a n a n ---=-，2131n n a n a n ---=-，122n n a n a n ---= 111n n a n a n --=+把以上n 个式子相乘得：12(1)n a a n n =+ ， 又∵11a = ∴2(1)n a n n =+ ∵当1n =时，11a =也满足上式，所以2(1)n a n n =+∵2112()(1)1n a n n n n ==-++∴11111112[(1)(((223341n T n n =-+-+-++-+122(1)11nn n =-=++（2）221112[]!!(1)!!(1)!n n n S n n b n n n n n n +====-++∴1111111112[]2[1]1!2!2!3!3!4!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+-++-=-++∵2n ≥ ， ∴10(1)!n >+，∴12[1]2(1)!n T n =-<+又12(1)!1!22[1]2[][(1)!1!](1)!1(1)!(1)!(1)!n n n n n n T S n n n n n n n n +-⋅-=--=-=+--⋅+++++22[(1)!1!](!1)0(1)!(1)!n n n n n n n =+--⋅=->++∴2n n S T <<。