河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题(扫描版)

中原名校2015-2016学年 学期第一次联考
高 数学试题 理 答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
DDDAC BBAAA DC
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分
(13) {}1,0,1−
(14) (令5) 2
23 (16) 三、解答题： 本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤
(17) (本题满 10 )
解 由题意 若命题p 为真 则21016
ax x a −+>对任意实数x 恒成立. 若0,a =显然 成立 (2)
若0,a ≠则20110,4
a a > ∆=−< 解得2,a >.....................................4 故命题p 为真命题时 a 的取值范围为()2,.+∞. (5)
若命题q 为真 则39x x a −<对一 实数x 恒成立. 而21139(3).24x x x −=−−+
因为0x > 所 31x > 所 ()(39),0x x −∈−∞ 因 0a ≥
故命题q 为真命题时 0a ≥ (7)
又因为命题p 或q 为真命题 命题p 且q 为假命题 即命题p q 一真一假.
若p 真q 假 则20
a a > < 解得a ∈Φ……………………………….9 若p 假q 真 则20a a ≤
≥ 解得02a ≤≤.....................................11 综 所述 满足题意得实数a 的取值范围为[]0,2. (12)
(18) (本题满 12 )
解 依题意可设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠则'()2f x ax b =+
'2()62,3,2,()32.f x x a b f x x x =−==−∴=−Q (2)
点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图
232n S n n ∴=− (3)
当2n ≥时 221323(1)2(1)65n n n a S S n n n n n − =−=−−−−−=− (5)
当1n =时11a =也适合 *6 5.()n a n n N ∴=−∈ (6)
由 知[]133111((65)6(1)526561
n n n b a a n n n n +===−−+−−+………7 故11111111(1)()()(1277136561261
n T n n n =
−+−++−=− −++ L …………………9 因 要使*11(1()2612016m n N n −<∈+成立 m 必须且仅需满足122016
m ≤......令令 即1008,1008m m ≥∴满足要求的最小 整数为 (12)
(19) (本题满 12 )
解： 因为//m n u r r 所 a cos B (2c b )cos A ＝0 由 弦定理得sin A cos B (2sin C sin B )cos A ＝
0 ……… 2分
所 sin A cos B 2sin C cos A sin B cos A ＝0
即sin A cos B sin B cos A ＝2sin C cos A
所 sin(A B )＝2sin C cos A .
又A B C ＝π 所 sin C ＝2sin C cos A ……… 4分
因为0<C <π 所 sin C >0
所 cos A ＝120<A <π 所 A ＝π3
……… 6分
由余弦定理得a 2＝b 2 c 2 2bc cos A ……… 8分
所 16＝b 2 c 2 bc bc 所 bc 16
当且仅当b ＝c ＝4时 上式取 ＝ ……… 10分
所 ABC ∆面 为S ＝12
bc sin A 43 所 ABC ∆面 的最大值为4 3.……… 12分
(20) (本题满 12 )
解 蓄水池的侧面积的建造成本为1002200rh rh ππ×=元
底面积成本为2
160r π元 蓄水池的总建造成本为2(200160)rh r ππ+
即2
200160rh r ππ+12000π= h=21(3004)5h r r
=− 2()V r r h π= 2r π=•21(3004)5r r −=5
π3(3004)r r − (4)
又由0r > 0h >可得0r <<
故函数()V r 的定义域为 (6)
由 中()5V r π=
3(3004)r r − 0r <<
可得'()V r =
5π2(30012)r − 0r << '()V r =5
π
2(30012)0r −= 则5r =………………………8 当(0,5)r ∈时 '()0V r > 函数()V r 为增函数.
当r ∈时 '()0V r < 函数()V r 为 函数
且当5,8r h ==时该蓄水池的体积最大. . (12)
(21) (本题满 12 )
解 ()f x 在[]1,1− 为增函数 证明如
设任意12,x x []1,1∈− 且12x x < 在()()0f a f b a b
+>+中 1a x = 2b x =− 可得1212()()0()f x f x x x +−>+− 又 ()f x 是奇函数 得22()()f x f x −=− 1212
()()0f x f x x x −>− 12x x < 120x x −< 12()()0f x f x −< 即12()()f x f x <
故()f x 在[]1,1− 为增函数 (4)
()f x 在[]1,1− 为增函数
等式11(()21
f x f x +<− 即 111121
x x −≤+<≤− 解之得3,12x ∈−−
即为原 等式的解集 ……………8 由 I 得()f x 在[]1,1− 为增函数 且最大值为(1)1f =
因 若2
()21f x m am ≤−+对所有的[]1,1a ∈−恒成立 2211m am −+≥对所有的[]1,1a ∈−恒成立,
设2()20g a ma m =−+≥对所有的[]1,1a ∈−恒成立 (10)
1 若0m =则()00g a =≥对[]1,1a ∈−恒成立
2 若0m ≠若()0g a ≥对所有的[]1,1a ∈−恒成立必须
(1)0g −≥且(1)0g ≥ 2m ≤−或2m ≥
综 m 的取值范围是02m m =≤−或或2m ≥ (12)
(22) (本题满 12 )
解： '()f x =2a
2ax 1 x 2 2x 2a ＝x [2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2)]2ax 1
. 因为x ＝2为()f x 的极值点 所 f ′(2)＝0
即2a
4a 1 2a ＝0 解得a ＝0. ……… 2分 因为函 ()f x 在区间[3 ∞)上为增函
所 '()f x =x [2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2)]2ax 1
0在区间[3 ∞)上恒成立 ……… 3分 当a ＝0时 '()f x =x (x 2) 0在[3 ∞)上恒成立 所 ()f x 在[3 ∞)上为增函 故a ＝0符合题意 ……… 5分
当a ≠0时 由函 ()f x 的定义域可知 必须有2ax 1>0对x 3恒成立 故只能a >0 所 2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2) 0在[3 ∞)上恒成立
函 g (x )＝2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2) 其对 轴为x ＝1 14a
因为a >0 所 1 14a
要使g (x ) 0在[3 ∞)上恒成立 只要g (3) 0即可 即g (3)＝ 4a 2 6a 1 0
所 3 134 a 3 134
. 因为a >0 所 0<a 3 134
. 综上所述 a 的取值范围为
0 3 134 ……… 7分 当a ＝ 12时 函 3(1)(1)3x b y f x x −=−−−有零点等价于方程f (1 x )＝(1 x )3
3 b x 有实根 f (1 x )＝(1 x )33 b x 可化为ln x (1 x )2 (1 x )＝b x
. 问题转化为b ＝x ln x x (1 x )2 x (1 x )＝x ln x x 2 x 3在(0 ∞)上有解 即求函 g (x )＝x ln x x 2 x 3
的值域 ……… 8分
因为函 g (x )＝x (ln x x x 2) 函 h (x )＝ln x x x 2(x >0)
则'()h x = 1x
1 2x ＝(2x 1)(1 x )x 所 当0<x <1时 '()h x >0 从而函 h (x )在(0,1)上为增函 当x >1时 '()h x <0 从而函 h (x )在(1 ∞)上为减函
因此h (x ) h (1)＝0.
……… 10分 而x >0 所 b ＝x ·h (x ) 0
因此当x ＝1时 b 取得最大值0.
……… 12分。