2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 课时16 全等三角形
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 解题方法突破篇——全等模型
中考新突破 ·数学(贵阳)
第一部分 教材同步复习
14
【解答】在△AEC 和△BED 中，
AE＝BE，
∠AEC＝∠BED， CE＝DE，
∴△AEC≌△BED(SAS)．
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15
针对训练 3．如图，在△ABD 和△ACE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2. 求证：△ABD≌△ACE.
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18
例 4 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 E 在 AC 上，且 AE＝BC， ED⊥AB 于点 D，过点 A 作 AC 的垂线，交 ED 的延长线于点 F.求证： FE＝AB.
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19
【解答】∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠C＝90°， ∴∠DAE＋∠DEA＝∠DAE＋∠B＝90°， 即∠DEA＝∠B. ∵FA⊥AC，∴∠FAE＝∠C＝90°. 在△AFE 和△CAB 中，
BC＝FE， ∠ACB＝∠DEF，
∴△ABC≌△DFE(ASA)．
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6
模型 2 轴对称全等模型
公共角∠A，∠DOB＝∠EOC
公共边 BD
公共边 AC，∠AOD＝∠COB ∠AOC＝∠BOD
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第一部分 教材同步复习
7
【模型分析】所给图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全 重合，重合的点就是全等三角形的对应点，解题时要注意其隐含条件， 即公共边或公共角相等．
12
模型 3 旋转全等模型
等角∠ACB＝∠DCE
中考数学总复习第四章三角形第16讲全等三角形课件
【例1】 已知：
如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证：BE＋CF＞EF. 【分析】 利用中线加倍延长法结合全等三角形，把 BE，CF，EF 集中 在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来
证明：延长 ED 到 M，使 DM＝ED，连接 CM，FM，
BD＝DC， ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.在△EDB 与△MDC 中，∠EDB＝∠CDM，
解：如图，连接CD， ∵∠C＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AB＝BD， ∵AC＝BC， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠B＝45°， ∴∠CDF＋∠BDF＝90°， ∵BD⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EDC＋∠CDF＝90°， ∴∠EDC＝∠BDF， ∴△ECD≌△FBD， ∴DE＝DF
2．(2015·龙东地区)如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连 接AE.将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延 长交直线DC于点F. (1)当点F与点C重合时如图①，易证：DF＋BE＝AF(不需证明)； (2)当点F在DC的延长线上时如图②，当点F在CD的延长线上时如图③， 线段DF，BE，AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种 情况给予证明．(导学号 02052266)
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试题 如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC ，∠1＝∠2.求证：∠BAE＝∠CAE. 错解 证明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2， ∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE. 剖析 先看一个事实，如图，将等腰△ABC的底边BC延 长线上的任一点和顶点A相连，所得的△DAB和△DAC无疑是不全等的，由 此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”) 不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上 当哟． 正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2 ＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中，∵EB＝EC ，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)，∴∠BAE＝∠CAE
专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。
考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。
【必备】2020年数学中考复习讲解课件： 全等三角形
28
【思路点拨】 可证明△ ACF≌△ABD，再利用全等三角形的
性质，可得 CF，且 CF⊥BD.
证明：∵∠FAD＝∠CAB＝90°，∴∠FAC＝∠DAB.
23
【拓展】 点 D 在△ ABC 的边 BC 上，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分 别为 E，F，BE＝CF，请你判断 AD 是不是△ ABC 的中线，如果是，请给 出证明．
【思路点拨】 由△ BDE 和△ CDF 全等，可得 AD 是△ ABC 的中线．
24
证明：∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴BD＝DC. ∴AD 是△ ABC 的中线．
∠ABC＝∠DEF，
在△ ABC 和△ DEF 中，AB＝DE， ∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
，写出
15
重难点选讲
重难点 全等三角形的性质与判定 某产品的商标如图所示，O 是线段 AC，DB 的交点，且 AC＝
BD，AB＝DC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，她的思考过程是： ∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC， ∴△ABO≌△DCO. 你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全
33
11
三垂直模型
一线三等 角模型
证明过程中多用到“同(等)角 的余角相等”，从而可证得相 等的角. 三个角均相等为 α，则根据 外角的性质，一定可以推导 出图中∠1＝∠2.
12
3.判定两个三角形全等的思路：
判 两 三 形定 个 角 全已已知知两一边边找 找 找边另 两 直为一 边 角角边 的→的夹H→邻L角S或边S→SS找找ASAS角另S的外另两一对邻角边中→任S意AS
人教版中考数学一轮复习课件第4章 第15讲 全等三角形
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
2.三角形全等的判定定理 (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；(AAS)
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(HL)
2.(2)如图，点E，F在BC上，且AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AB＝DC，BF＝CE， 求证：∠A＝∠D. 证明：∵AE⊥BC于点E， DF⊥BC于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. ∵BF＝CE， ∴BF＋EF＝CE＋EF， 即BE＝CF. 在Rt△ABE和Rt△DCF中，
(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA)
2.(1)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，且BF＝CE，∠B＝∠E. 请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≌△DEF.你添加 的条件是__∠__A_＝__∠__D__(答__案__不__唯__一__)__，并证明． 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.
A.70°
B.80°
C.90°
D.无法确定
图1
图2
(2)(2022六盘水)如图2，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝
90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝___2___.
2.三角形全等的判定定理 (1)三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)
OP＝OP，
∴△OPD≌△OPE(AAS)．
2.(2022兰州改编)如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝ AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝35°，求∠D的大小． 解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD. 在△BAC与△EAD中， AB＝AE， ∠BAC＝∠EAD， AC＝AD， ∴△BAC≌△EAD(SAS)． ∴∠D＝∠C＝35°.
2020年中考数学一轮复习 课时17 全等三角形课件(23张)
考点点拨： 本考点的题型不固定，难度中等. 解此类题的关键在于掌握全等三角形的概念及性质定
理.
考点2 全等三角形的判定 【例2】 (2015广东)如图1-4-17-6，在边长为6的正方形 ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE， 延长EF交边BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG； (2)求BG的长.
考点精讲
考点1 全等三角形的概念和性质
【例1】(2016厦门)如图1-4-17-4，点E，F在线段BC上，
△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点,
AF与DE交于点M，则∠DCE=
( A)
A. ∠B
B. ∠A
C. ∠EMF D. ∠AFB
1. (2016成都)如图1-4-17-5，△ABC≌△A′B′C′，其中 ∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___1_2_0_°.
1. (2019广州)如图1-4-17-7，D是AB上一点，DF交AC于 点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE. 证明：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F. 在△ADE与△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
考点点拨： 本考点的题型一般为解答题，难度中等. 解此类题的关键在于掌握全等三角形的判定方法与
5. 线段垂直平分线： (1)定义：经过某一条线段的__中__点__，并且__垂_直___于这条 线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“_中_垂__线__”. (2)性质定理：线段垂直平分线上的点到_线_段__两__端__点__的_距__离_ 相等；反之，到__线__段__两__端__点_的__距__离___相等的点在线段的 垂直平分线上.
第一部分 知 识 梳 理
中考数学一轮复习第4单元第17讲全等三角形课件(共34张)
CD＝ CA ，
证明：在△DEC 和△ABC 中， ∠DCE＝∠ACB
，
CE＝ CB ，
∴△DEC≌△ABC(SAS)，
∴ DE＝AB .
13．(2021·常州)如图，B，F，C，E 是直线 l 上的四点，AB∥DE，AB＝DE，
BF＝CE.
(1)求证：△ABC≌△DEF； 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝CE＋FC，即 BC＝EF. ∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF.
在△ABE 和△DCF 中，∠ABE＝∠DCF， BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
6．(2021·新疆)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在 BC 的延 长线上，且 BE＝CF. 求证：(2)四边形 AEFD 是平行四边形． 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC. ∴BC＝EF＝AD. 又 AD∥BC， ∴四边形 AEFD 是平行四边形．
5.(2021·永州)如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上，AD＝BC，AE
＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD；
证明：∵AD＝BC， ∴AD＋DC＝BC＋DC，即 AC＝BD. ∵AE∥BF，∴∠A＝∠B.
AC＝BD， 在△AEC 和△BFD 中，∠A＝∠B，
AE＝BF， ∴△AEC≌△BFD(SAS)．
6．(2021·新疆)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在 BC 的延
长线上，且 BE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△DCF； 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC. ∴∠ABE＝∠DCF＝90°.
AB＝DC，
中考数学一轮复习课件-第十六讲全等三角形
【证明】(1)在△ABC与△ADC中,
AB AD， AC AC， BC DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
即AC平分∠BAD.
(2)由(1)得∠BAE=∠DAE.
在△BAE与△DAE中,
BA DA， BAE DAE， AE AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS),
边AB,BC相切;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若BM= 5 ,BC=2,则☉O的半径为
.
3
【自主解答】(1)如图1直线l,☉O即为所求.
(2)过点O作OE⊥AB于E.设OE=ON=r, ∵BM=5 ,BC=2,MN垂直平分线段BC,
3
∴BN=CN=1,
∴MN= BM2 BN2＝ (5)2 12＝4，
3
3
∵S△BNM=S△BNO+S△BOM,
1 1 4＝1 1 r 1 5 r，
2 32
23
解得r= 1.
2
答案: 1
2
【答题关键指点】利用“尺规”作三角形的“五种类型” 1.已知三角形的三边,求作三角形. 2.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形. 3.已知三角形的两角及其夹边,求作三角形. 4.已知三角形的两角及其中一角的对边,求作三角形. 5.已知直角三角形的一直角边和斜边,求作三角形.
4.(202X·贵港中考)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法): 如图,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.
【解析】如图, △DEF即为所求.
∴BE=DE.
考点二 角平分线的性质与判定
【示范题2】(202X·湖州中考)如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 课时14 相交线与平行线
【注意】 对顶角是成对出现的，是具有特殊位置关系的两个角．
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2．垂线的性质和垂直平分线 (1)垂线的性质 a．在同一平面内，过一点⑯__有__且__只__有__一__条____直线与已知直线垂直； b．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑰___垂__线__段___最短； c．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
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夯实基础 9．下列命题中，是真命题的是( B ) A．同位角相等 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．有且只有一条直线与已知直线垂直 10 ． 命 题 “ 相 等 的 两 个 角 是 内 错 角 ” 是 ___假___ 命 题 ( 填 “ 真 ” 或
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夯实基础
5．如图，直线 AB，CD 相交于点 O.若∠1＝26°，则∠2＝_____2_6_°___.
6．如图，直线 AB，CD 相交于点 O.若 OE⊥AB，垂足为 O，∠BOC ＝140°，则∠DOE＝______5_0_°__.
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2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—全等三角形
∴ = ，∠ = ∠，
∵∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠，
∴ ∥ ．
考点一 全等三角形及其性质
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【对点训练1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，、相交于点，且△ ≌△ ，在上，在
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
考点一 全等三角形及其性质
题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△ ≌△ ，若∠ = 50°, ∠ = 40°，则∠1的度数为
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【小技巧】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素
（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有
（
）
A．40°
Hale Waihona Puke B．25°C．15°D．无法确定
【对点训练1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ ≌△ ，∠ = 75°，∠ = 30°，则∠的
度数为（
A．105°
）
B．80°
C．75°
D．45°
考点一 全等三角形及其性质
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ ≅△ ，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若 =
2024年中考第一轮复习直角三角形 课件
[解析] 设AB=x,则AC=x-2.由勾股定理,
.
得x2-(x-2)2=82.解得x=17.
■ 知识梳理
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于⑥ 斜边的平方
勾股定理
如果三角形中两边的平方和等于第三边的⑦ 平方 ,那么这个三角形
的逆定理 是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数
∴AD=BC,∠A=∠B=∠CFE=90°,AB∥CD,∴∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,
AD=CF,∴△ADE≌△FCD,∴ED=CD=x,∴FD=x-1,
在Rt△CFD中,FD2+CF2=CD2,∴(x-1)2+32=x2,解得x=5,∴CD=5.故选B.
考向三
勾股定理与拼图
例 3 [2020·孝感]如图 19-11①,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个
图19-6
∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,
1
2
∵G 是 BC 的中点,∴EG=FG= BC=5,
∵D 是
1
EF 的中点,∴ED= EF=3,GD⊥EF,
2
∴∠EDG=90°.在 Rt△ EDG 中,
由勾股定理得,DG= 2 - 2 =4,故答案为 4.
考向二
利用勾股定理进行计算
例2 [2020·宜宾]如图19-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE平分
∠ABC交AC于点E,连结CD交BE于点O.若AC=8,BC=6,则OE的长是
.
图19-7
【方法点析】勾股定理是求线段长的重要工具,主要应用:(1)已知直角三角形的
两边长求第三边长;(2)已知直角三角形的一边长求另两边的关系;(3)用于证明平
2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章 解题方法突破篇——相似模型
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11
【解答】∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP＋∠APB＝180°－60°＝120°. ∵∠APD＝60°，∴∠APB＋∠DPC＝180°－60°＝120°， ∴∠BAP＝∠DPC.
∴△ABP∽△PCD，∴APCB＝CBDP. ∵BP＝3，CD＝2，∴ABA－B 3＝32，解得 AB＝9， ∴△ABC 的边长为 9.
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5
模型 2 共边共角型
已知：∠1＝∠2.结论：△ACD∽△ABC. 【模型分析】如图，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时 候题目中会给出三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的 相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC，进而可以得到 AC2＝AD·AB.
对△EAD∽△EBA 进行证明：
∵△BAC，△AGF 为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，∠GAF＝45°，
∴∠EAD＝∠EBA，而∠AED＝∠BEA，
∴△EAD∽△EBA．
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16
针对训练
4．如图，在△ABC 和△AED 中，AB·AD＝AC·AE，∠BAD＝∠CAE. 求证：△ABC∽△AED．
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8
针对训练 2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝80°，∠A＝40°，AB 的垂直平分 线分别与 AC，AB 相交于点 D，E，连接 BD.求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD. ∵∠A＝40°，∴∠ABD＝40°. ∵∠ABC＝80°，∴∠DBC＝40°， ∴∠DBC＝∠A. ∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形
第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角 。
(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角 形的周长 _________ ，面积 _________ 。
2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。
微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。
二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。
2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。
3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。
2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。
注意分清题设和结论。
高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。
(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。
《中考大一轮数学复习》课件 三角形与全等三角形
中考大一轮复习讲义◆ 数学
2
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
知识结构梳理
三角形的概念及表示 素及基本性质三边的关系，三内角的关系 三角形的高、中线、角平分线 三角形 三角形全等的表示及特征 三角形的全等探索三角形全等的条件 三角形全等的应用
三角形的基本要
1 2
3
3
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 三角形的概念与分类 (1) 由三条线段 ________________________ 所围成的平面图形，叫做三角 形． (2) 三角形按边可分为： ________ 三角形和 ________ 三角形；按角可分为 ________三角形、________三角形和________三角形． 2. 三角形的性质 (1)三角形的内角和是 ________，三角形的外角等于与它 ________的两个内 角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角． (2)三角形的两边之和________第三边，两边之差________第三边． 3. 三角形中的重要线段 (1)角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶 点和交点之间的______．三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的 内心，它到三角形各边的距离相等． (2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边 ________的线段．三角形的三条 中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画 ________，顶点和垂足 间的线段．三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心． (4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形 的外心，外心到三角形三个顶点距离相等． 4
2024年贵州省中考数学一轮知识点复习课件+++第21讲+全等三角形+
解：添加的条件为BC＝DE.
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠CED，
在△ABC≌△CDE中，
AC CE ACB CED , BC DE
∴△ABC≌△CDE(SAS)．(答案不唯一)
第2题图
3. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠CDE＝60°，点D为AB边上的
动点，CD＝ED，连接BE，EC.
SSS(边边边) SAS(边角边 ASA(角边角 AAS(角角边) HL(斜边、直角边
)
)
)
判定 方法
三边对应相 两边及其夹 两角及其夹 两角分别相等 斜边和一条直角边
_等__的__两__个__三_ _角__对__应__相__等__ _边__对__应__相__等__ _且__其__中__一__组__等 _分__别__相__等__的__两__个__直_
△ABE≌△CDF，并证明． 证明：方法一：添加BE＝DF(或DE＝BF)，
证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)．(10分)
第6题图
方法二：添加∠E＝∠F(或AE∥CF)，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠E＝∠F， ∴△ABE≌△CDF(AAS)．(10分)
重难点分层练
提升关键能力
例1 如图，将△ABC和△DEF按下图摆放，点A、B、D、E在同一 直线上，AC∥DF，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则还需添加的 一个条件是__A__B_＝__D_E__(答__案__不__唯__一__)___． 【判定依据】_两__角__及__其__夹__边__对__应__相__等__的__两__个__三__角__形__全__等___．
2020届九年级贵阳中考数学复习第1部分 第4章 课时16 全等三角形(1)
1．已知两边找夹角SAS 找是否有直角HL
4
2.一已边知已它知的一邻边角和找找找这这这边个边的角的另的对一另角个一A邻条AS角边 ASASAS 一角已知一边和找一角AAS 它的对角 已知角是直角，找一边HL
2
夯实基础
1．已知△ABC≌△DEF，且△ABC 的周长为 12 cm，面积为 6 cm2， 则△DEF 的周长为__1_2_____cm，面积为___6___cm2.
2．如图，△ABC≌△A′B′C′，AB＝2，BC＝2.5，CA＝5，则 C′A′ ＝___5___.
3
知识点二 全等三角形的判定 证明三角形全等的一般思路
6
贵阳真 题 ·精练
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7
重难点 ·突 重难点 全等三角形的破判定
例 1 (2020·原创)在△ABC 与△DEF 中，∠B＝∠E＝90°，点 B， F，C，E 在同一条直线上，AB＝DE.请你只添加一个条件，使△ABC≌ △DEF，并写出求证过程．(图形中不得添加任何字母)
第一部 分教材同步复习
第四章 三角形
课时16 全等三角形
知识要 点 ·归纳
知识点一 全等三角形的性质 1．全等三角形的对应边①__相__等____，对应角②___相__等___. 2．全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高、中位线)相等． 3．全等三角形的周长③___相__等___，面积④___相_等____.
3．已知两角找找两除角夹的边夹外边的任A意SA边 AAS
5
夯实基础
3．如图，已知点 A，D，B，F 在一条直线上，∠A＝∠F，AD＝FB， 要 使 △ ABC ≌ △ FDE ， 还 需 添 加 一 个 条 件 ， 这 个 条 件 可 以 是 ___∠_C_＝__∠__E_(_答_案__不__唯_一__)_______.
北师大版(贵阳专版)九年级数学教学课件：第四章相似三角形复习 (共19张PPT)
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解： 设正方形EFHG为加工成的正方形零件，边GH在 BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，△ABC的高 AD与边EF相交于点M，设正方形的边长为xmm
第四章 图形的相似 复习
一、本章知识结构图
相似图形
相似多边形
位似图形
相似三角形
对应角相等 对应边的比相等
周长比等于相似比 面积比等于相似比平方
应 用
相似三角形的判定
回顾与反思
一、相似的图形 相似三角形的性质
二、相似三角形 相似三角形的识别
三、位似三角形
对应边成比例，对应角相等
对应高，对应中线，对应角平 分线的比等于相似比 对应周长的比等于相似 比 对应面积的比等于相似比的平方
C
解： ∠ABO=∠CDO=90°
∠AOB=∠COD
A
∴△AOB∽△COD
AB BO CD DO
1.8 2 CD 6
∴ CD=5.4m
1.8m
B 2m O
6m
D
答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方．
本节课主要是复习相似三角形的性质 判定及其运用。在解题中要熟悉基本图 形。并能从条件和结论两方面同时考虑问 题。灵活应用。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
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方法三：添加条件为∠ACB＝∠DFE.证明如下： 在△ABC 和△DEF 中，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠ACB＝∠DFE，
∠B＝∠E， AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
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【解答】方法一：添加条件为 AC＝DF.证明如下： ∵∠B＝∠E＝90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AC＝DF， AB＝DE， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
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方法四：添加条件为∠BFD＝∠ECA.证明如下：∵∠BFD＝∠ECA， ∴∠ACB＝∠DFE.
∠ACB＝∠DFE，
在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E， AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
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＝___5___.
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知识点二 全等三角形的判定 证明三角形全等的一般思路
找第三边SSS
1．已知两边找夹角SAS 找是否有直角HL
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2.一已边知已 它知的一邻边角和找 找 找这 这 这边 个 边的 角 的另 的 对一 另 角个 一A邻 条AS角 边 ASASAS 一角已知一边和找一角AAS 它的对角 已知角是直角，找一边HL
BA＝DA，
∠BAE＝∠DAE， AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)， ∴BE＝DE.
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第四章 三角形
课时16 全等三角形
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1
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知识点一 全等三角形的性质 1．全等三角形的对应边①__相__等____，对应角②___相__等___. 2．全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高、中位线)相等． 3．全等三角形的周长③___相__等___，面积④__相___等___.
重难点 全等三角形的判定 例 1 (2020·原创)在△ABC 与△DEF 中，∠B＝∠E＝90°，点 B， F，C，E 在同一条直线上，AB＝DE.请你只添加一个条件，使△ABC≌ △DEF，并写出求证过程．(图形中不得添加任何字母)
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夯实基础 1．已知△ABC≌△DEF，且△ABC 的周长为 12 cm，面积为 6 cm2，
则△DEF 的周长为__1_2_____cm，面积为___6___cm2. 2．如图，△ABC≌△A′B′C′，AB＝2，BC＝2.5，CA＝5，则 C′A′
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方法二：添加条件为∠A＝∠D.证明如下： 在△ABC 和△DEF 中，
∠A＝∠D，
AB＝DE， ∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
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针对训练 (2019·桂林)如图，AB＝AD，BC＝DC，点 E 在 AC 上．
(1)求证：AC 平分∠BAD； (2)求证：BE＝DE.
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证明：(1)在△ABC 和△ADC 中，
3．已知两角找 找两 除角 夹的 边夹 外边 的任A意SA边 AAS
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夯实基础
3．如图，已知点 A，D，B，F 在一条直线上，∠A＝∠F，AD＝FB， 要 使 △ ABC ≌ △ FDE ， 还 需 添 加 一 个 条 件 ， 这 个 条 件 可 以 是 __∠__C__＝__∠__E_(_答__案__不__唯__一__) ____.
AB＝AD，
AC＝AC， BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠BAC＝∠DAC， 即 AC 平分∠BAD.
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(2)由(1)得∠BAE＝∠DAE， 在△BAE 和△DAE 中，