上海市金山区2019年数学高一上学期期末试卷
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷 (2)
2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。
上海市金山区2019届高三数学上学期(一模)期末质量监控试题含答案
金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷一. 填空题。
1.已知集合，，则___【答案】对集合A和集合B取交集即可得到答案.【详解】，,则,故答案为：.本题考查集合的交集运算.2.抛物线的准线方程是______【答案】试题：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为3.计算：______【答案】分子分母同时除以n,计算可得极限.【详解】＝＝故答案为:.本题考查型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．4.不等式的解集为________【答案】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由，得，解得故答案为.本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.5.若复数（为虚数单位），________【答案】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.【详解】=7+i,则，故答案为:.本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.6.已知函数，则_______【答案】由反函数定义令f（x）＝5，求出x的值即可．【详解】由反函数定义，令，得＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题．7. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 【答案】答案：：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
8.在的二项展开式中，常数项的值是________（结果用数值表示）【答案】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，计算即可求出展开式的常数项．【详解】展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________【答案】由无穷等比数列{a n}的各项和为2且，解不等式可得a1范围．【详解】由题意可得，且，则a1＝2（1﹣q），由，可得2＜a1＜4故答案为：.本题考查无穷等比数列的各项和, 各项和是指当|q|＜1且q≠0时前n项和的极限,是基础题．10.在的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于、两点，则这两个点在球面上的距离是________【答案】设球心为O，由二面角的面与球相切的性质可得∠AOB＝60°，又半径为6，由弧长公式可求两切点在球面上的距离．【详解】设球心为O，由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为120°，故∠AOB＝60°，∵半径为6的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的距离是6×＝2π．故答案为：2π．本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题．11.设函数，则使成立的取值范围是_____【答案】由式知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则不等式可转为|2x|＜|3x﹣2|，解出即得答案．【详解】函数，∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．故答案为：．本题考查函数奇偶性与单调性的应用以及不等式的解法，考查推理能力与计算能力．12.已知平面向量、满足条件：，，，，若向，且，则的最小值为_______【答案】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设，由,求出C点的轨迹方程，结合圆的性质可求最值.【详解】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），设，∵＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵，则，即,∴C在以D为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为:．本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几何意义，平面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合题.二. 选择题。
上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷及答案
上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷一、填空题（本题共36分）1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合{}R x x x B ∈≤-=,012，则=B A _______． 2.已知扇形的圆心角为43π，半径为4，则扇形的面积=S ． 3. 函数12)(-+=x x x f 的定义域是___________. 4. 已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.5.已知31sin =α（α在第二象限），则=++)tan()2cos(απαπ. 6. 已知x x g x x x f -=-=1)(,1)(,则=⋅)()(x g x f . 7. 方程2)54(log 2+=-x x 的解=x . 8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是___________.9.若3132)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围 . 10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞，则b a += . 11. 设a 为正实数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，7)(++=xax x f ，若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ .12． 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合UB A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 . （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()U A A f x f x =-ð （3）()()()A B A B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅ 二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 （ ）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x fD. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 （ ）A. B. C. D.16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数x x x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ ）A.(0,1)B.C.),2[+∞D. ),2(+∞三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .18.已知不等式）R m mx x ∈<+-(022的解集为{}1,x x n n R <<∈，函数)(2)(2R a ax x x f ∈+-=. （1）求,m n 的值；（2）若()y f x =在]1,(-∞上单调递减，解关于x 的不等式0)23(log 2<-++m x nx a .19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件．，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80件时，21()103C x x x =+（万元）.当年产量不小于80件时，10000()511450C x x x=+-（万元）.每件．．商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件．）的函数解析式； （2）年产量为多少件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k ∈∈-=的图像过点)2,2(. (1)求a k ,的值;(2) 若函数()()21h x f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．21. 已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数. （1）已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围.参考答案一、填空题（本题共36分）1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合{}R x x x B ∈≤-=,012，则=B A _{}1,0,1-_． 2.已知扇形的圆心角为43π，半径为4，则扇形的面积Sπ16 ．8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_____.)3,0[9.若3132)(--=x x x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围 .)1,0(10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞，则b a += .10- 11. 设a 为正实数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，7)(++=xax x f ，若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________ .4≥a12． 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合UB A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 .（1）（2）（4） （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =+ （4）()()()A B A B f x f x f x =⋅二、选择题（本题共12分）13．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 （ B ）A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x f D. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f 14.已知11:<-x α，a x ≥:β，若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是( B ) A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是 （ A ）A. B. C. D. 16.定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数xx x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为 （ D ） A.(0,1) B.]2,1( C.),2[+∞ D. ),2(+∞ 三、解答题（本题共8+8+10+12+14分）17．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .解：解062≥--x x 得：2-≤x 或3≥x ；解221>-+x x 得52<<x ；即不等式组的解集为)5,3[。
上海市2019年数学高一上学期期末考试试题
上海市2019年数学高一上学期期末考试试题一、选择题1．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π2．对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是( )A ．f(x)在（4π，2π）上是递增的 B ．f(x)的图象关于原点对称 C ．f(x)的最小正周期为2π D ．f(x)的最大值为23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，3211242n n a a a a n -++++=，则8S =( ) A ．127 B ．129 C ．255D ．257 4．已知不同的两条直线m ，n 与不重合的两平面α，β，下列说法正确的是（ ）A.若m n ，m α，则n αB.若m α，αβ∥，则m βC.若m n ，m α⊥，则n α⊥D.若m n ⊥，m α⊥，则n α⊥5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B AC D --的大小为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90° 6．设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ） A.()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U B.[)0,+∞ C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.20B.10C.30D.608．已知当x θ=时函数()sin 2cos f x x x =-取得最小值，则sin 22cos 2sin 22cos 2θθθθ+=-（ ） A ．-5 B ．5 C ．15 D ．15- 9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．设12a =，数列{}1n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（ ）A ．80B ．81C ．54D ．5311．在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为( )A.8π6++B.6π6++C.8π4++D.6π4++12．下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭二、填空题 13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 成等比数列，且()1cos cos 2A CB -=+，则cos B =________.14．如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm15．已知对数函数()f x 的图象过点()4,2-，则不等式()()f x 1f x 13--+>的解集______．16．设02x π≤<sin cos x x =-，则x 的取值范围是________.三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且满足cos sin 3a b C c B =+. （Ⅰ)求角B ；（Ⅱ)若ABC △，a c +=b . 18．已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n ++++=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*1n n b n na =∈N ，n T 为数列{}1n n b b +的前n 项和，求证：12n T < 19．某家具厂有方木料903m ，五合板6002m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l 3m ，五合板22m ，生产每个书橱而要方木料0.22m ，五合板12m ，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）怎样安排生产可使所得利润最大？20．已知tan()7,cos 5αβα-=-=-,其中(0,),(0,)απβπ∈∈. （1）求tan β的值；（2）求αβ+的值.21．已知A ，B 均为锐角，3sin 5A =，5cos()13A B +=. （1）求cos2A 的值；（2）求sin()A B -的值.22．设向量(3sin ,sin )a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若||||a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．12 14．125π 15．9(1,)716．5[,]44ππ三、解答题17．（Ⅰ)3B π=；（Ⅱ)b =18．（1）21n n a n-=．（2）证明略 19．(1) 只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2) 生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大20．（1）13（2）34π 21．(1) 725 (2) 3632522．（1）6π；（2）32.。
2019-2020学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数f（x）＝的定义域是．2．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈N*}，则用列举法表示集合A＝．3．（3分）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为．4．（3分）函数y＝a x+2019+2020（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．5．（3分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．6．（3分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为．7．（3分）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是．8．（3分）已知函数f（x）的对应关系如表：x﹣2﹣1012 f（x）3﹣215m 若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为．9．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式x•f（x）≤0的解集为．10．（3分）已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围是．11．（3分）已知函数，若函数y＝f（4x﹣3）﹣a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．12．（3分）将函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象绕原点顺时针方向旋转角θ（）得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则θ的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A．y＝20与y＝B．y＝±1与y＝C．y＝与y＝D．y＝x+1与y＝14．（5分）设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知集合A＝{y|y＝﹣2x，x∈[2，3]}，B＝{x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（8分）已知不等式x2﹣3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，函数f（x）＝﹣x2+ax+1．（1）求出m，n的值；（2）若y＝f（x）在（﹣∞，1]上递增，解关于x的不等式．19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C （x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）＝51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（6分）设为奇函数，a为常数．（1）求a的值（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．21．（8分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数f（x）＝的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1}．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．2．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈N*}，则用列举法表示集合A＝{1，2}．【分析】通过列举法表示即可．【解答】解：由集合A＝{x|x2﹣3x＜0，x∈N*}可得，条件等价于集合A＝{x|0＜x＜3，x∈N*}＝{1，2}．故填：{1，2}．【点评】本题主要考查了集合的表示法，考查了学生灵活转化题目条件的能力，是基础题．3．（3分）已知x，y∈R+，且满足，则xy的最大值为3．【分析】本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解．【解答】解：因为x＞0，y＞0，所以（当且仅当，即x＝，y＝2时取等号），于是，，xy≤3．故答案为：3【点评】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题．4．（3分）函数y＝a x+2019+2020（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2019，2021）．【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数y＝a x+2019+2020（a＞0，a≠1），令x+2019＝0，求得x＝﹣2019，y＝2021，可得它的图象恒过定点（﹣2019，2021），故答案为：（﹣2019，2021）．【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．5．（3分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【分析】由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6＝0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．6．（3分）幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为4．【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（）的值．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R；其图象过点（4，），所以4α＝，解得α＝﹣；所以f（x）＝，所以f（）＝＝＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的定义与计算问题，是基础题．7．（3分）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是[0，4）．【分析】当集合A为空集时，关于x的方程ax2﹣ax+1＝0无解．【解答】解：由题意知，△＝a2﹣4a＜0或a＝0．解得0≤a＜4．即实数a的取值范围是[0，4）．故答案是：[0，4）．【点评】此题考查了空集的定义、性质及运算，利用△＜0或a＝0求出实数a的取值范围是解题的关键．8．（3分）已知函数f（x）的对应关系如表：x﹣2﹣1012 f（x）3﹣215m 若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．【分析】由已知可得：f（﹣2）＝3，f（﹣1）＝﹣2，f（0）＝1，f（1）＝5，f（2）＝m，利用反函数的定义及其性质即可得出．【解答】解：由已知可得：f（﹣2）＝3，f（﹣1）＝﹣2，f（0）＝1，f（1）＝5，f（2）＝m，∵函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．故答案为：{﹣2，1，3，5}．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（3分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式x•f（x）≤0的解集为{x|x≥2或x≤﹣2或x＝0}．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，所以函数在（0，+∞）上单调递减且f（﹣2）＝0，f（0）＝0，由不等式x•f（x）≤0可得，或或x＝0，解可得，x≥2或x≤﹣2或x＝0．故不等的解集为{x|x≥2或x≤﹣2或x＝0}，故答案为：{x|x≥2或x≤﹣2或x＝0}．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．10．（3分）已知函数f（x）＝2x+a，g（x）＝x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6]．【分析】由函数f（x）＝2x+a，知x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，由g （x）＝x2﹣6x+1，知要使上述范围内总能找到x2满足g（x2）＝f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝2x+a，g（x）＝x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]要使上述范围内总能找到x2满足g（x2）＝f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．【点评】本题考查函数的值域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．（3分）已知函数，若函数y＝f（4x﹣3）﹣a恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（2，3]．【分析】首先考查函数的单调性，求得f（x）的最值，然后结合题意，运用换元法，将零点问题转化为方程有解，再转化为函数图象的交点个数，即可求得所求范围．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x+，由对勾函数的性质可得函数在（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，当x＝1时，函数取到极小值f（1）＝2；当x≤0时，f（x）＝4﹣（）x，函数f（x）单调递增，则f（x）≤f（0）＝3，令t＝4x﹣3，结合一次函数的性质，满足题意时，y＝f（t）﹣a恰好有三个不同的零点，原问题可转化为函数y＝f（t）与函数y＝a的图象有3个不同的交点，据此可得实数a 的取值范围是2＜a≤3．故答案为：2＜a≤3．【点评】本题考查了分段函数的性质，函数的单调性、函数的值域，以及转化的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．12．（3分）将函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象绕原点顺时针方向旋转角θ（）得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则θ的取值范围是[0，）．【分析】先画出函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象，然后结合图象观察何时，曲线C不是一个函数的图象，即可求出角的范围．【解答】解：先画出函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+1的图象由图可知当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，曲线C都不是一个函数的图象故答案为：[0，）．【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A．y＝20与y＝B．y＝±1与y＝C．y＝与y＝D．y＝x+1与y＝【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：A．y＝20＝1，定义域为R，y＝＝1，（x≠0），两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B．y＝＝|x|，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；C．由x2+x≥0得x≥0或x≤﹣1，即定义域为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），由得，得x≥0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D．y＝＝t+1，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；故选：D．【点评】本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．比较基础．14．（5分）设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b＝﹣1，a＝1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【解答】解：y′＝＝，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，而x＝0时，函数值y＝0，x→﹣∞时，y→﹣∞，x→+∞时，y→0，故选：A．【点评】本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．16．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）＝x2（x≥0）存在“和谐区间”B．函数f（x）＝e x（x∈R）不存在“和谐区间”C．函数（x≥0）存在“和谐区间”D．函数（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”【分析】根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②0或，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”即可．【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②或．A．若f（x）＝x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，∴，∴f（x）＝x2（x≥0）存在“倍值区间”[0，2]，∴A正确．B若f（x）＝e x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，则此时函数单调递增，则由，得，即a，b是方程e x＝2x的两个不等的实根，构建函数g（x）＝e x﹣2x，∴g′（x）＝e x﹣2，∴函数在（﹣∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，∴函数在x＝ln2处取得极小值，且为最小值．∵g（ln2）＝2﹣ln2＞0，∴g（x）＞0，∴e x﹣2x＝0无解，故函数不存在“倍值区间”，∴B正确．C．若函数（x≥0），f′（x）＝，若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，则由，得，∴a＝0，b＝1，即存在“倍值区间”[0，1]，∴C正确．D．若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“倍值区间”[m，n]，则由，得，即m，n是方程log a（a x﹣）＝2x的两个根，即m，n是方程a2x﹣a x+＝0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]，∴D结论错误．故选：D．【点评】本题主要考查与函数性质有点的新定义，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知集合A＝{y|y＝﹣2x，x∈[2，3]}，B＝{x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）可以求出A＝{y|﹣8≤y≤﹣4}，a＝4时可求出集合B，然后进行交集的运算即可；（2）得出B＝{x|（x﹣a）[x﹣（﹣a﹣3）]＞0}，然后讨论a与﹣a﹣3的关系，得出集合B，根据A⊆B即可得出每种情况的a的范围，最后即可得出a的范围．【解答】解：（1）A＝{y|﹣8≤y≤﹣4}，a＝4时，B＝{x|（x﹣4）（x+7）＞0}＝{x|x＜﹣7或x＞4}，∴A∩B＝[﹣8，﹣7）；（2）B＝{x|（x﹣a）[x﹣（﹣a﹣3）]＞0}，且A⊆B，①a＝﹣a﹣3，即a＝时，，满足A⊆B；②a＞﹣a﹣3，即时，B＝{x|x＜﹣a﹣3或x＞a}，∴，解得；③a＜﹣a﹣3，即时，B＝{x|x＜a或x＞﹣a﹣3}，∴，解得，∴综上得，实数a的取值范围为（﹣4，1）．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，减函数的定义，一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（8分）已知不等式x2﹣3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，函数f（x）＝﹣x2+ax+1．（1）求出m，n的值；（2）若y＝f（x）在（﹣∞，1]上递增，解关于x的不等式．【分析】（1）根据不等式x2﹣3x+m＜0的解集得出对应方程的两根，由此列方程组求m、n的值；（2）根据二次函数f（x）的单调性球场a的取值范围，把不等式化为0＜﹣2x2+3x+2﹣2＜1，求出解集即可．【解答】解：（1）不等式x2﹣3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，所以1和n是方程x2﹣3x+m＝0的两根，所以，解得m＝2，n＝2；（2）若y＝f（x）＝﹣x2+ax+1在（﹣∞，1]上递增，所以≥1，解得a≥2；所以关于x的不等式可化为0＜﹣2x2+3x+2﹣2＜1，等价于，解得；所以不等式的解集是．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了对数函数的性质与应用问题，是中档题．19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C （x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）＝51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，投入成本为，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．20．（6分）设为奇函数，a为常数．（1）求a的值（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝0，结合对数的运算性质，解方程可求得a值；（2）根据合函数单调性：同增异减，可判断f（x）的单调性；（3）不等式恒成立，等价于m＜f（x）+x﹣（）x在[2，4]恒成立，可令g（x）＝log+x﹣（）x，x∈[3，4]，转化为求函数g（x）在[3，4]上的最小值问题即可解决．【解答】解：（1）由为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）＝0，即log+log＝log•＝0，即•＝1，即有1﹣a2x2＝1﹣x2，则a2＝1，可得a＝±1，当a＝1时，f（x）＝log不存在，舍去a＝1，故a＝﹣1；（2）函数f（x）＝log在x∈（1，+∞）上为增函数，理由：由f（x）＝log（1+），可令t＝1+，f（x）＝log t，由于t＝1+在（1，+∞）上递减，而f（x）＝log t在t＞0递减，则f（x）＝log在x∈（1，+∞）上为增函数；（3）对于区间[2，4]上的每一个x值，不等式恒成立，即为m＜f（x）+x﹣（）x在[2，4]恒成立，可令g（x）＝log+x﹣（）x，由f（x）＝log在x∈[2，4]上为增函数，y＝x﹣（）x在x∈[2，4]上为增函数，故y＝g（x）在x∈[2，4]上为增函数，可得g（x）的最小值为g（2）＝log3+2﹣（）2＝﹣1+2﹣＝，则m＜．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．21．（8分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【分析】（1）由函数g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故g（2）＝1，g（3）＝4，由此解得a、b的值；（2）不等式可化为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围；（3）原方程化为|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|＝t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），构造函数h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过二次方程实根分布，可得k的不等式组，即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b+1＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得；（2）由（1）可得f（x）＝＝x+﹣2，不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，等价为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，令t＝，则2k≤t2﹣2t+1，∵x∈[2，4]，∴t∈[，1]，则函数m（t）＝t2﹣2t+1在t∈[，1]递减，可得m（t）的最大值为m（）＝，则2k≤，即k≤；（3）原方程可化为|2x﹣1|2﹣（3k+2）|2x﹣1|+（2k+1）＝0，可令t＝|2x﹣1|，则t＞0，由题意可得t2﹣（3k+2）t+（2k+1）＝0有两个不等实根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2＝1，设h（t）＝t2﹣（3k+2）t+（2k+1），则或，解得k＞0或k∈∅，则k的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查方程有解的条件以及不等式成立问题的解法，考查等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于中档题．。
2018-2019学年上海市金山区金山中学高一上学期期末考试数学试题
上海市金山区金山中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题1.已知幂函数()y f x =的图像过点1,22⎛⎝⎭，则2log (2)f =__________.2.设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B =∈∉且，{}22x x y x A -==，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==-41x y y B ，则=*B A ________________.3.关于x 的不等式（）的解集为_____________. 4.函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是_______________________.5.已知集合{}2,A x x x =>∈R ，{}1,B x x x =≥-∈R ，那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”.则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为_______________________.6.已知关于x 的方程ax-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1121有一个正根，则实数a 的取值范围是______________.7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数，且2(1)(1)0f t f t -++<，则实数t 的取值 范围为_____________.8.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是____________.9.作为对数运算法则：lg()lg lg a b a b +=+（0,0a b >>）是不正确的.但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+.那么，对于所有使lg()lg lg a b a b +=+ （0,0a b >>）成立的b a 、应满足函数()a f b =的表达式为_______________________.10.已知函数1y x=的图像与函数()1xy a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若 2201a xx a ->--1a ≠AB =，则实数a 为____________. 11.若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_____________. 12.求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设函数34()()()55x x f x =+，则函数()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，方程623(23)23x x x x +=+++的解集为____________.二、选择题13.设P 和Q 是两个集合，定义集合{}Q x P x x Q P ∉∈=-且，如果{}1log 2<=xx P ，{}12<-=x x Q ，那么=-Q P （）A.)1,0(B.]1,0(C.)2,1[D.)3,2[ 14.已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ，若P ∉1，则实数a 的取值范围为（） A.),0[]1,(+∞--∞B.]0,1(-C.]0,1[-D.),0()1,(+∞--∞15.已知函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，(){}(){}0|,),(|,=≤≤=x y x b x a x f y y x 只 有一个子集，则（）A.0>abB.0≥abC.0<abD.0≤ab16.已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的 不动点与稳定点.则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 三、解答题17.已知函数，有反函数，且函数的最大值为，求实数的值.()221f x x tx =-+[]2,5x ∈()f x 8t18．已知集合{}0)1(2>--+=a x a x x A ，{}0))((>++=b x a x x B ，其中b a ≠，全 集=U R .（1）若1->>b a ，求B A ； （2）若∈+412a U C A ，求实数a 的取值范围.19．已知.（1）写出()H x 的解析式与定义域； （2）画出函数的图像； （3）试讨论方程的根的个数.20．某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⋅<<+=--)1(142)10(1112x a x x ax y x x ，其对应曲线（如图所示）过点16(2,)5.（1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该 药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）()()f x g x ==()()()H x f x g x =⋅(1)2y H x =-+(1)2H x m -+=21．已知()21x f x =+（a ∈R ）的图像关于坐标原点对称.（1）求a 的值，并求出函数的零点； （2）若函数()()221x x bh x f x =+-+在[0,1]内存在零点，求实数b 的取值范围； （3）设4()l o g 1k x g x x +=-，若不等式1()()f x g x -≤在12[,]23x ∈上恒成立，求满足条件的 最小整数k 的值.【参考答案】11242)()(-+-+=xxx f x F一、填空题 1.122.{}0(2,)+∞3.4.1,,13y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦5.C B C A ⊆R R6.()0,∞-7.(1,0)-8.3231<<x 9.(1)1ba b b =>- 10.411.),3(+∞ 12.{1,3}- 二、选择题 13.B 14.C 15.A 16.B 三、解答题17.解：函数的对称轴为，所以或.若，在上单调递增，，得，符合； 若，在上单调递减，，得，舍. 综上，. ()22,1a a +()221f x x tx =-+x t =2t ≤5t ≥2t ≤[]2,5()()max 5251018f x f t ==-+=95t =5t ≥[]2,5()()max 24418f x f t ==-+=34t =-95t =18．解：（1）因为1->>b a ，所以1<-<-b a ，故=A {}|1x x a x <->或，{}b x a x x B ->-<=或，因此{}1>-<=x a x x B A 或 .（2）U A ð＝{xx －1)(x ＋a )≤0}，由a 2＋41∈U A ð得(a 2－43)( a 2＋41＋a )≤0， 解得21-=a 或2323≤≤-a ，所以a 的取值范围是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-2323a a .19．解：（1）的定义域为，()()22220()2220x xx H x x x x xx ⎧+≥⎪=+=⎨--<<⎪⎩（2）=，图像略. （3）{}[)∞+∈，102 m 时，方程有一解； ()10,2∈m 时，方程有两解；()2,∞-∈m 时，方程无解.20．解：8a =，2218,011()2,141x x xx x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+（1）当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x==++ ∵12x x+>，∴0()4f x <<. 当[1,)x ∈+∞时，221242424()1142412114244x x x x x x x x f x +-⋅⋅====+⨯+++， ∵22x ≥，∴112142x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤， ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==.（2）∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4， ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解. 当(0,1)x ∈时，28()11xf x x ==+，解得4x = ()H x {}2x x >-(1)2y H x =-+()()()2221112124511x x x x x x x ⎧+≥⎪-+-+=⎨-+-<<⎪⎩当[1,)x ∈+∞时，212()141x x f x +-==+，解得2log (8x =+.∴当2[4(8x ∈-+时，为有效时间区间.∴有效的持续时间为2log (8(4 3.85+--≈小时.21．解：（1）由题意知()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，得1a =.21()21x xf x -=+，)(x F ＝2121x x -+＋42121xx --+＝2(2)2621x x x+-+， 由2(2)26x x+-＝0，可得2x ＝2，所以，1x =，即)(x F 的零点为1x =.（2）2121(2)21()2212121x x x x x x x b bh x +-+--=+-=+++， 有题设知()0h x =在[0,1]内有解，即方程21(2)210x x b ++--=在[0,1]内有解.212(2)21(21)2x x x b +=+-=+-在[0,1]内递增，得27b ≤≤.所以当27b ≤≤时，函数()()221xxbh x f x =+-+在[0,1]内存在零点. （3）由1()()f x g x -≤，得241log log 11x k x x x++≤--， 2(1)1x k x x ++≥-，显然12[,]23x ∈时0k x +>，即22+11x x k x +≥-.设12111,[,][,]2332m x x m =-∈∈由于所以，于是222+125442325[4,]13x x m m m x m m +-+==+-∈-，所以23k 3≥.满足条件的最小整数k 的值是8k =.。
2019-2020学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数()f x =的定义域是 ． 2．（3分）已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = ． 3．（3分）已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ． 4．（3分）函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点 ． 5．（3分）方程4260x x --=的解为 ．6．（3分）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 ．7．（3分）若集合2{|10}A x ax ax =-+==∅，则实数a 的取值范围是 ． 8．（3分）已知函数()f x 的对应关系如表：若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为 ．9．（3分）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=，则不等式()0x f x g …的解集为 ．10．（3分）已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的[]11,1x ∈-都能找到[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是 ．11．（3分）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-⎩…，若函数(43)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．12．（3分）将函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象绕原点顺时针方向旋转角(0)2πθθ剟得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．02y =与x y x=B ．1y =±与||x x y x=C ．2y x x =+与1y x x =+D ．1y x =+与33(1)y t =+14．（5分）设a 、b 均为非零实数，则“1b a <”是“1ab>”的什么条件？( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象( ) A ． B ．C ．D ．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，]b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②()f x 在[a ，]b 上的值域是[2a ，2]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是( ) A ．函数2()(0)f x x x =…存在“和谐区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在“和谐区间” C ．函数24()(0)1xf x x x =+…存在“和谐区间” D ．函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠不存在“和谐区间”三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（8分）已知集合{|2x A y y ==-，[2x ∈，3]}，{|()(3)0}B x x a x a =-++>， （1）当4a =时，求A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18．（8分）已知不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，函数2()1f x x ax =-++．（1）求出m ，n 的值；（2）若()y f x =在(-∞，1]上递增，解关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<． 19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x 的图象是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（6分）设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值（2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立，求实数m 的取值范围．21．（8分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x=． （1）求a ，b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解，求实数k 的取值范围； （3）若2(|21|)30|21|x x f k k -+-=-g 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．2019-2020学年上海市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，1-6题每空填对得4分，7-12题每空填对得5分，否则一律得0分．1．（3分）函数()f x =的定义域是 {|2x x -…且1}x ≠ ． 【解答】解：由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+⎩…，解得，1x ≠且2x -…；故函数的定义域为：{|2x x -…且1}x ≠， 故答案为：{|2x x -…且1}x ≠．2．（3分）已知集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈，则用列举法表示集合A = {1，2} ． 【解答】解：由集合2{|30A x x x =-<，*}x N ∈可得， 条件等价于集合{|03A x x =<<，*}{1x N ∈=，2}． 故填：{1，2}．3．（3分）已知x ，y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 3 ．【解答】解：因为0x >，0y >，所以1234x y =+厖34x y =，即32x =，2y =时取等号），1，3xy …． 故答案为：34．（3分）函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点 (2019,2021)- ． 【解答】解：对于函数20192020(0,1)x y a a a +=+>≠， 令20190x +=，求得2019x =-，2020y =， 可得它的图象恒过定点(2019,2020)-， 故答案为：(2019,2020)-．5．（3分）方程4260x x --=的解为 2log 3x = ． 【解答】解：由4260x x --=，得2(2)260x x --=，解得23x =，或22x =-（舍去）， 2log 3x ∴=．故答案为：2log 3x =．6．（3分）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 4 ．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈； 其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．7．（3分）若集合2{|10}A x ax ax =-+==∅，则实数a 的取值范围是 [0，4) ． 【解答】解：由题意知，△240a a =-<或0a =． 解得04a <…．即实数a 的取值范围是[0，4)． 故答案是：[0，4)．8．（3分）已知函数()f x 的对应关系如表：若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为 {2-，1，3，5} ．【解答】解：由已知可得：(2)3f -=，(1)2f -=-，(0)1f =，f （1）5=，f （2）m =，Q 函数()f x 不存在反函数，则m 的值只可以为：2-，1，3，5，否则存在反函数． ∴实数m 的取值集合为{2-，1，3，5}．故答案为：{2-，1，3，5}．9．（3分）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=，则不等式()0x f x g …的解集为 {|2x x …或2x -…或0}x = ．【解答】解：因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞为减函数，且f （2）0=， 所以函数在(0,)+∞上单调递减且(2)0f -=，(0)0f =， 由不等式()0x f x g …可得，0()0x f x >⎧⎨⎩…或0()0x f x <⎧⎨⎩…或0x =，解可得，2x …或2x -…或0x =．故不等的解集为{|2x x …或2x -…或0}x =， 故答案为：{|2x x …或2x -…或0}x =．10．（3分）已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的[]11,1x ∈-都能找到[]21,1x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围是 [2-，6] ． 【解答】解：Q 函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+， 1[1x ∴∈-，1]时，()f x 的值域就是[2a -，2]a +要使上述范围内总能找到2x 满足21()()g x f x =， 即()g x 的值域要包含[2a -，2]a +，()g x Q 是一个二次函数，在[1-，1]上单调递减，∴值域为[4-，8]，因此2428a a --⎧⎨+⎩……，解得26a -剟． 故答案为：[2-，6]．11．（3分）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-⎩…，若函数(43)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 (2，3] ． 【解答】解：当0x >时，1()f x x x=+，由对勾函数的性质可得函数在(0,1)上单调递减， 在区间(1,)+∞上单调递增，当1x =时，函数取到极小值f （1）2=；当0x …时，1()4()2x f x =-，函数()f x 单调递增，则()(0)3f x f =…，令43t x =-，结合一次函数的性质，满足题意时，()y f t a =-恰好有三个不同的零点，原问题可转化为函数()y f t =与函数y a =的图象有3个不同的交点，据此可得实数a 的取值范围是23a <…． 故答案为：23a <…．12．（3分）将函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象绕原点顺时针方向旋转角(0)2πθθ剟得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是 [0，)4π．【解答】解：先画出函数11|1||2|122y x x =-+-+的图象由图可知当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于4π时， 曲线C 都不是一个函数的图象 故答案为：[0，)4π．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．02y =与xy x=B ．1y =±与||x x y x=C ．2y x x =+与1y x x =+D ．1y x =+与33(1)y t =+【解答】解：A ．021y ==，定义域为R ，1xy x==，(0)x ≠，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B ．||||x x y x x==，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数； C ．由20x x +…得0x …或1x -…，即定义域为(-∞，1][0-U ，)+∞， 由010x x ⎧⎨+⎩……得01x x ⎧⎨-⎩……，得0x …，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D ．33(1)1y t t =+=+，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；故选：D ．14．（5分）设a 、b 均为非零实数，则“1b a <”是“1ab>”的什么条件？( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当1b =-，1a =时，满足1b a <，但1ab>不成立． 若1ab>，则0a b >，∴01ba<<， ∴1ba<成立． ∴ “1b a <”是“1ab>”成立的必要不充分条件． 故选：B ．15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：22221222x x x x x ln xln y --'==， 令0y '>，解得：12x ln <，令0y '<，解得：12x ln >，故函数在1(,)2ln -∞递增，在1(2ln ，)+∞递减， 而0x =时，函数值0y =，x →-∞时，y →-∞，x →+∞时，0y →，故选：A ．16．（5分）设函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，]b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②()f x 在[a ，]b 上的值域是[2a ，2]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是( ) A ．函数2()(0)f x x x =…存在“和谐区间” B ．函数()()x f x e x R =∈不存在“和谐区间” C ．函数24()(0)1xf x x x =+…存在“和谐区间” D ．函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠不存在“和谐区间”【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①()f x 在[a ，]b 内是单调函数；②()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩或()2()2f a b f b a=⎧⎨=⎩． A ．若2()(0)f x x x =…，若存在“倍值区间” [a ，]b ， 则此时函数单调递增，则由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩，得2222a a b b ⎧=⎨=⎩，∴02a b =⎧⎨=⎩，2()(0)f x x x ∴=…存在“倍值区间” [0，2]，A ∴正确．B 若()()x f x e x R =∈，若存在“倍值区间” [a ，]b ，则此时函数单调递增，则由()2()2f a af b b =⎧⎨=⎩，得22a b e a e b ⎧=⎨=⎩，即a ，b 是方程2x e x =的两个不等的实根， 构建函数()2x g x e x =-，()2x g x e ∴'=-，∴函数在(,2)ln -∞上单调减，在(2,)ln +∞上单调增， ∴函数在2x ln =处取得极小值，且为最小值．(2)220g ln ln =->Q ， ()0g x ∴>，20x e x ∴-=无解，故函数不存在“倍值区间”， B ∴正确． C ．若函数24()(0)1xf x x x =+…， 222224(1)424(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-+-'==++g ， 若存在“倍值区间” [a ，][0b ⊆，1]， 则由()2()2f a a f b b =⎧⎨=⎩，得22421421aa ab b b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，0a ∴=，1b =，即存在“倍值区间” [0，1]，C ∴正确．D ．若函数1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠．不妨设1a >，则函数在定义域内为单调增函数， 若存在“倍值区间” [m ，]n ，则由()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩，得1()281()28ma n alog a m log a n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即m ，n 是方程1log ()28x a a x -=的两个根，即m ，n 是方程2108x x a a -+=的两个根， 由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间” [m ，]n ，D ∴结论错误． 故选：D ．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）已知集合{|2x A y y ==-，[2x ∈，3]}，{|()(3)0}B x x a x a =-++>，（1）当4a =时，求A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）{|84}A y y =--剟，4a =时，{|(4)(7)0}{|7B x x x x x =-+>=<-或4}x >， [8A B ∴=-I ，7)-；（2）{|()[(3)]0}B x x a x a =---->，且A B ⊆，①3a a =--，即32a =-时，3{|}2B x x =≠-，满足A B ⊆； ②3a a >--，即32a >-时，{|3B x x a =<--或}x a >， ∴3237a a ⎧>-⎪⎨⎪---⎩…，解得342a -<…， ③3a a <--，即32a <-时，{|B x x a =<或3}x a >--， ∴32738a a a ⎧<-⎪⎨⎪---<-⎩或…，解得372a -<-…， ∴综上得，实数a 的取值范围为[7-，4]．18．（8分）已知不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，函数2()1f x x ax =-++． （1）求出m ，n 的值；（2）若()y f x =在(-∞，1]上递增，解关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<．【解答】解：（1）不等式230x x m -+<的解集为{|1x x n <<，}n R ∈，所以1和n 是方程230x x m -+=的两根，所以13013m n -+=⎧⎨+=⎩， 解得2m =，2n =；（2）若2()1y f x x ax ==-++在(-∞，1]上递增， 所以12a …，解得2a …； 所以关于x 的不等式2log (32)0a nx x m -++-<可化为2023221x x<-++-<，等价于22230 2310x xx x⎧-<⎨-+>⎩，解得3 02112xx x⎧<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩或；所以不等式的解集是13(0,)(1,)22U．19．（8分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x的图象是如图的抛物线，此时()0C x<的解集为(30,0)-，且()C x的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x xx=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润()L x（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）Q每件商品售价为0.005万元，x∴千件商品销售额为0.0051000x⨯万元，①当080x<<时，根据年利润=销售收入-成本，2211()(0.051000)102504025033L x x x x x x∴=⨯---=-+-；②当80x…时，根据年利润=销售收入-成本，1000010000()(0.051000)5114502501200()L x x x xx x∴=⨯--+-=-+．综合①②可得，2140250,0803()100001200(),80x x xL xx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩…；（2）由（1）可知，2140250,0803()100001200(),80x x xL xx xx⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩…；①当080x <<时，2211()40250(60)95033L x x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，()L x 取得最大值(60)950L =万元；②当80x …时，10000()1200()120012002001000L x x x =-+--=…， 当且仅当，即100x =时，()L x 取得最大值(100)1000L =万元．综合①②，由于9501000<，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．20．（6分）设131()log 1ax f x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值 （2）判断函数()f x 在(1,)x ∈+∞上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由131()log 1ax f x x -=-为奇函数，可得()()0f x f x -+=， 即1113331111log log log 01111ax ax ax ax x x x x +-+-+==------g ， 即11111ax ax x x +-=---g ，即有22211a x x -=-， 则21a =，可得1a =±，当1a =时，131()log 1x f x x -=-不存在，舍去1a =， 故1a =-；（2）函数131()log 1x f x x +=-在(1,)x ∈+∞上为增函数， 理由：由132()log (1)1f x x =+-，可令211t x =+-，13()log f x t =， 由于211t x =+-在(1,)+∞上递减，而13()log f x t =在0t >递减， 则131()log 1x f x x +=-在(1,)x ∈+∞上为增函数； （3）对于区间[2，4]上的每一个x 值，不等式1()()3x f x x m +>+恒成立， 即为1()()3x m f x x <+-在[2，4]恒成立， 可令1311()log ()13x x g x x x +=+--，由131()log 1x f x x +=-在[2x ∈，4]上为增函数，1()3x y x =-在[2x ∈，4]上为增函数， 故()y g x =在[2x ∈，4]上为增函数，可得()g x 的最小值为g （2）213118log 32()12399=+-=-+-=， 则89m <． 21．（8分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x=． （1）求a ，b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解，求实数k 的取值范围；（3）若2(|21|)30|21|x x f k k -+-=-g 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）函数22()21(1)1g x ax ax b a x b a =-++=-++-，因为0a >，所以()g x 在区间[2，3]上是增函数，故(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩，即11314b a b +=⎧⎨++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩； （2）由（1）可得2211()2x x f x x x x-+==+-， 不等式22(log )2log 0f x k x -…在[2x ∈，4]上有解， 等价为2221log 22log x k x log x +-…在[2x ∈，4]上有解， 即2221221()k log x log x -+…在[2x ∈，4]上有解， 令21t log x =，则2221k t t -+…，[2x ∈Q ，4]，1[2t ∴∈，1]， 则函数2()21m t t t =-+在1[2t ∈，1]递减，可得()m t 的最大值为11()24m =， 则124k …，即18k …； （3）原方程可化为2|21|(32)|21|(21)0x x k k --+-++=，可令|21|x t =-，则0t >，由题意可得2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不等实根1t ，2t ， 其中101t <<，21t >或101t <<，21t =，设2()(32)(21)h t t k t k =-+++，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩， 解得0k >或k ∈∅，则k 的取值范围是(0,)+∞．。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。
上海市金山中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
当 x 0 时,要保证 x f (x) 0 ,需 f (x) 0 根据图像可知, x 2 故答案为: (, 2] [2, ) {0}
【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合 单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
10.已知函数 f (x) 2x a ， g(x) x2 6x 1，对于任意的 x1 [1,1] 都能找到
y f (t) a 恰有三个不同的零点，函数 f (t) 的图像与直线 y a 有三个交点．由图像
可知 2 a 3．
【点睛】函数 y f (3x 2) a 恰有三个不同的零点，令 t 3x 2 ，可以看成函数
y f (t) a 恰有三个不同的零点，函数 f (t) 的图像与直线 y a 有三个交点．根据函
.
【点睛】本题考查了根据函数不存在反函数求函数值,解题关键是掌握反函数的定义,考查了
分析能力,属于基础题.
9.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 , 0为减函数,且 f (2) 0 ,则不等式 x f (x) 0 的
解集为__________.
【答案】 (, 2] [2, ) {0}
b 1
a 1
14.设 a、b 均为非零实数,则“ a ”是“ b ”的什么条件 ? ( )
A. 必要不充分
B. 充分不必要
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.
【详解】
当
b
1,
a
1
,满足
b a
1
,但
a b
1
不成立
上海市高一数学上学期期末试卷及答案(共3套)
{} 5.已知sinα=（α在第二象限），则⎩0,x∈ðU AUA B (x)=f(x)+f(x)（4）fA B(x)=f(x)⋅f(x)B.f(x)=,g(x)=上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷一、填空题（本题共36分）1.已知集合A={-2,-1,0,1}，集合B=x x2-1≤0,x∈R，则A B=_______．2.已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S=．3.函数f(x)=x+2x-1的定义域是___________.4.已知log x+log y=1，则x+y的最小值为_____________.221 3cos(π+α)2tan(π+α)=.6.已知f(x)=x1-x,g(x)=1-x,则f(x)⋅g(x)=.7.方程log(4x-5)=x+2的解x=.28.若函数y=1kx2+2kx+3的定义域为R，则实数k的取值范围是___________.219.若f(x)=x3-x-3，则满足f(x)>0的x的取值范围.10.若函数y=x-b在(a,a+6)(b<-2)上的值域为(2,+∞)，则a+b=. x+211.设a为正实数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x+ax+7，若f(x)≥1-a对一切x≥0成立，则a的取值范围为________.⎧1,x∈A12．定义全集U的子集A的特征函数为f(x)=⎨，这里ðA表示A在全集U中的补A U集，那么对于集合A、B⊆U，下列所有正确说法的序号是.（1）A⊆B⇒f(x)≤f(x)（2）f(x)=1-f(x)A BðA A（3）fA B A B二、选择题（本题共12分）13．设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是（）A.f(x)=x2,g(x)=x2(x)2x x(x)2C.f(x)=1,g(x)=(x-1)0D.f(x)=x2-9x+3,g(x)=x-3⎩b , (a < b )17．解不等式组 ⎨ x + 1 . > 2 ⎩ x - 219. 某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为C ( x ) ，当年14. 已 知 α : x - 1 < 1 ， β : x ≥ a ， 若 α 是 β 的 充 分 非 必 要 条 件 ， 则实 数 a 的 取 值 范 围 是()A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a ≥ 2D. a ≤ 215 ． 若 函 数 f ( x ) = (k - 1)a x - a - x (a > 0, a ≠ 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 ， 又 是 减 函 数 ， 则g ( x ) = log ( x + k ) 的图像是（ ） aA.B. C. D.⎧a , (a ≥ b ) 216.定义一种新运算： a ⊗ b = ⎨ ，已知函数 f ( x ) = ⊗ 2 x ，若函数 g ( x ) = f ( x ) - k 恰有x 两个零点，则实数 k 的取值范围为 （ ）A.(0,1)B. C. [2,+∞) D. (2,+∞)三、解答题（本题共 8+8+10+12+14 分）⎧x 2 - x - 6 ≥ 0 ⎪⎪18. 已 知 不 等 式 x 2 - mx + 2 < 0(m ∈ R ） 的 解 集 为{x 1 < x < n , n ∈ R } ， 函 数f ( x ) = x 2 - ax + 2(a ∈ R ) .（1）求 m , n 的值；（2）若 y = f (x ) 在 (-∞,1] 上单调递减，解关于 x 的不等式 log (nx 2 + 3x + m - 2) < 0 .a．2 x - 1450 （万元）.每件商品售价为 50 万元.通过市场分析，该厂生产的商 （1）写出年利润 L ( x ) （万元）关于年产量 x （件）的函数解析式；．产 量 不 足 80 件 时 ， C ( x )= 1 3x + 1 0（ 万 元 ） . 当 年 产 量 不 小 于 80 件 时 ，C ( x ) = 51x + 10000x ．．品能全部售完.． （2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. 设幂函数 f ( x ) = (a - 1) x k (a ∈ R , k ∈ Q ) 的图像过点 ( 2,2) . (1)求 k , a 的值;(2) 若函数 h ( x ) = - f ( x ) + 2b f ( x ) + 1 - b 在 [0,2] 上的最大值为 3 ，求实数 b 的值．21. 已知函数 f (x ) = log x - 1 a x + 1（其中 a > 0 且 a ≠ 1 ）， g (x )是 f (x + 2)的反函数.（1）已知关于 x 的方程 logma (x + 1)(7 - x )= f (x )在 x ∈ [2,6 ]上有实数解，求实数 m 的取值范围；（2）当 0 < a < 1 时，讨论函数 f (x )的奇偶性和单调性；（3）当 0 < a < 1 ， x > 0 时，关于 x 的方程 g (x ) 2 + m g ( x ) + 2 m + 3 = 0 有三个不同的实数解，求 m 的取值范围.{ }-3 ，则满足f ( x ) > 0 的 x 的取值范围 . (0,1)11. 设 a 为正实数，y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x < 0 时， f ( x ) = x + + 7 ，若 f ( x ) ≥ 1 - a 对0, x ∈ ð A⎩ UA B ( x ) = f ( x ) + f ( x )（4） fA B ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ), g ( x ) =x B. a ≤ 0参考答案一、填空题（本题共 36 分）1. 已知集合 A = {-2 , - 1 , 0 , 1} ，集合 B = x x 2 - 1 ≤ 0, x ∈ R ，则 AB = _ { 1,0,1}_．2.已知扇形的圆心角为 3π 4，半径为 4 ，则扇形的面积 S = 16π ．8. 若函数 y =1kx 2 + 2kx + 3的定义域为 R ，则实数 k 的取值范围是_____.[0,3)2 9.若 f ( x ) = x 3- x- 110. 若函数 y = x - b x + 2在 (a , a + 6)(b < -2) 上的值域为 (2, +∞) ，则 a + b = . - 10ax一切 x ≥ 0 成立，则 a 的取值范围为________ . a ≥ 4⎧1, x ∈ A12． 定义全集U 的子集 A 的特征函数为 f ( x ) = ⎨ ，这里 ð A 表示 A 在全集U 中的补集，那么A U U对于集合 A 、B ⊆ U ，下列所有正确说法的序号是 .（1）（2）（4） （1） A ⊆ B ⇒ f ( x ) ≤ f ( x ) （2） f ( x ) = 1 - f ( x )A Bð A A（3） f A B A B 二、选择题（本题共 12 分） 13．设 x 取实数，则 f (x ) 与 g (x ) 表示同一个函数的是（ B ）A. f ( x ) = x 2 2( x ) 2 xB. f ( x ) = , g ( x ) =x ( x ) 2C. f ( x ) = 1, g ( x ) = ( x - 1) 0D. f ( x ) =x 2 - 9 x + 3, g ( x ) = x - 3 14. 已 知 α : x - 1 < 1 ， β : x ≥ a ， 若 α 是 β 的 充 分 非 必 要 条 件 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是( B ) A. a ≥ 0 C. a ≥ 2 D. a ≤ 2 15．若函数 f ( x ) = (k - 1)a x - a - x (a > 0, a ≠ 1) 在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g ( x ) = log ( x + k ) 的a图像是（ A ）⎧ > 2 ⎩ x - 2x < -1或x > - ⎧⎪2 x 2 + 3x + 1 > 0 ⎪⎪ 2 2 + 3x + 1) < 0 ，∴ ⎨ ⇒⎨ ⎪⎩2 x ⎪- ∴- < x < -1或 - < x < 0 ,即不等式的解集为 (- < x < -1) (- < x < 0) .19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为 C ( x ) ，当年产量不足 80 件时， C ( x ) = 1x 2+ 10 x （万元）.当年产量不小于 80 件时， C ( x ) = 51x +- 1450 （万元）.每3x 件商品售价为 50 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润 L ( x ) （万元）关于年产量 x （件）的函数解析式； ．A.B. C. D.16.定义一种新运算：a ⊗ b = ⎨a , (a ≥ b ) ⎩b , (a < b ) 2 ，已知函数 f ( x ) = ⊗ 2 x ，若函数 g ( x ) = f ( x ) - k 恰有两个零 x点，则实数 k 的取值范围为（ D ）A.(0,1)B. (1,2]C.[2,+∞)D. (2,+∞)三、解答题（本题共 8+8+10+12+14 分）⎧x 2 - x - 6 ≥ 0 ⎪17．解不等式组 ⎨ x + 1 .⎪解：解 x 2 - x - 6 ≥ 0 得： x ≤ -2 或 x ≥ 3 ；x + 1 解 > 2 得 2 < x < 5 ；即不等式组的解集为[3,5) 。
2018-2019学年上海市金山区金山中学高一上学期期末考试数学试题
上海市金山区金山中学 2018-2019 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题1 2 , f (x) f __________. log (2) 1.已知幂函数 y 的图像过点 ，则 2 2 2x y 2x x 2 ，*B x|x A B,且xA B 2.设 A 、 B 是非空集合，定义 A ，A1 4 y y x B，则 A B________________.2a x0 （a 1）的解集为_____________.3.关于 x 的不等式x a 2 1 3 2 (1 x 0) 4.函数 y 1 的反函数是_______________________. xx x 2, xR B x x 1,x R2 ，那么命题 “若实数 xp5.已知集合 A ，，则A, B”.则命题 的逆否命题可以用关于 的集合语x 1”可以用集合语言表述为“ A Bp言表述为_______________________.1 x 16.已知关于 的方程 有一个正根，则实数a 的取值范围是______________.x 21 a 7.定义在(1,1)上的奇函数f (x) 也是减函数，且 f (1 2) ( 1) 0 f t ，则实数 的取值tt范围为_____________.1- ，0 8.若偶函数 ( ) 在 f x单调递减，则满足 (2 1) ( ) 的 取值范围是____________.f xf x 3 9.作为对数运算法则：lg( a b ) lg a l g b（ a ）是不正确的.但对一些特 0,b 0 殊值是成立的，例如：lg(2 2) l g2 l g2.那么，对于所有使lg( ) lg lg a ba ba f (b)）成立的a b 应满足函数 0,b 0 、（ a 的表达式为_______________________.1的图像与函数 y a x a1 10.已知函数 y 及其反函数的图像分别交于 A 、B 两点，若x3 2 AB ，则实数 为____________.a 2f (x) 2|x3|l og x 1 11.若函数 无零点，则a 的取值范围为_____________.a3 4 3 4( ) ( ) 1 f (x) ( ) ( ) f (x) ，则函数12.求“方程 的解”有如下解题思路：设函数 xx x x 5 5 5 5 R 在 上单调递减，且 f (2) 1，所以原方程有唯一解 x 2.类比上述解题思路，方程x x (2x 3) 2x 3的解集为____________.6 2 3 二、选择题13.设 P 和Q 是两个集合，定义集合PQ x x P 且xQ P x log 1 ，如果 ， x2Q x x 2 1 ，那么 P Q （）( 0,1) ( 0,1] [1, 2) [2,3) A. B. C. D. x 1x a2 的解集为 P ，若1 P 14.已知关于 x 的不等式，则实数a 的取值范围为（） (, 1] [0 , )B.(1, 0]A. [1, 0] ( , 1) (0 ,)C. D. f (x)的定义域为 a,b ， x , y | y f (x),a x b x , y | x 0 只15.已知函数 y有一个子集，则（）0 ab 0 ab 0 ab 0A. abB.C.D. 16.已知 ( ) 是单调减函数，若将方程 ( ) 与 ( ) f x f x x f xf 1 xf x ( ) 的解分别称为函数 ( ) 的 不动点与稳定点.则“ 是 ( ) 的不动点”是“ 是 ( ) 的稳定点”的（） x f x x f x A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件三、解答题x 2 2tx 1 x2,5 ，8 17.已知函数 f x 有反函数，且函数 f x 的最大值为 ，求实数的值.t高一上学期期末考试数学试题 x x 2 (a 1)x a 0， B x (x a)(x b ) 0，其中 a b ，全18．已知集合 A集UR .b 1，求 A B ；（1）若a12（2）若a C A ，求实数 的取值范围. a 4 Ux 2 2 x19．已知 f x, g(x) x 2H xf xg (x)，.x 2 (x) （1）写出 H 的解析式与定义域； H(x 1) 2 （2）画出函数 y （3）试讨论方程 H 的图像； (x 1) 2 m 的根的个数.20．某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药ax(0 x 1) (x 1) x 12后每毫升血液中的含药量 y （微克）与时间 x （小时）之间满足 y， a 2 x 1 4 1 x 1 16(2, ) 其对应曲线（如图所示）过点 .5（1）试求药量峰值（ y 的最大值）与达峰时间（ y 取最大值时对应的 x 值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该 药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01 小时）2 ax (x)（ a R）的图像关于坐标原点对称.21．已知 f 2 1x4(x) f (x) 21的零点；（1）求a 的值，并求出函数F x 2 1x b(x) f (x) 2 （2）若函数h在[0,1]内存在零点，求实数 的取值范围； b x 2 1 xk x 1 2 （3）设 g (x ) l o g最小整数k 的值.( ) ( ) x [ , ] ，若不等式 f 1 x g x 在 上恒成立，求满足条件的1 x23 4【参考答案】一、填空题1 1. 20 (2,)2. 3.2a,a1 2 1log x 1 , x ,1 4. y 3 3 C A5.C B R R,06.7.(1,0)1 2 3 x 8. 9. 3 ba(b 1) b 110. 411.( 3,)12.{1,3}二、选择题 13.B 14.C 15.A 16.B 三、解答题f x x 2tx 1 t t 2 t 5 或17.解：函数 2 的对称轴为 x ，所以 .95 2,5 f x f 5 251 0t 18 2 5 若t若t ，在 ，在上单调递增， ，得t ，符合；max2,534f x f2 44t 18 上单调递减， ，得t ，舍.max9综上，t .5x | x a 或x 118．解：（1）因为a b 1，所以a b 1，故A，Bx xa 或xb A B x xa 或x 1 ，因此 .1 3 1ð A U ð A U （2） ＝{x x －1)(x ＋a )≤0}，由 a 2＋ ∈ 得(a 2－ )( a 2＋ ＋a )≤0，4 4 43 3 331a 或 a aa 解得 ，所以a 的取值范围是 . 22 2 2 2x 2x x 0 2 H (x) H (x) x 2 x x x2 19．解：（1） 的定义域为 ， 2x2x2x 0 2 x1 x 12 y H(x 1) 2 x1 2 x 1 2 （2） （3） = 2 ，图像略. x 4x 5 1 x 1 2 m 2 1 0， 时，方程有一解；m 2,10 m,2 时，方程有两解； 时，方程无解.8x,0 x 1 x 12 a 8 f (x) ， 20．解：2x 2 , x 14 1 x 1 8x 8 x (0,1)时， f(x) （1）当 1 x 1 2x x1 x2 ，∴0 f (x) 4∵ 当 . x2x 2 42x 42x 4x [1,) f (x) 时， ，1 4 1 4 1 4 22xx 1 x 2 1 1 x 2x 4 41 12 2 ∵ x2 1，∴0 f (x) 4，∴ x ，4 2 x ∴当x 1时，有最大值为 yf (1) 4.maxf(x) (0,1)上单调增，在[1,)在上单调减，最大值为4 ，（2）∵ f (x ) 1 (0,1) [1,)各有一解. ∴ 当在 和 8x x (0,1)时， f (x)1，解得 x 4 15 ； x 122x 2当 x[1,)时， f (x)1，解得 x log (8 2 15) .41x 12[4 15,log (8 2 15)] ∴当 x 时，为有效时间区间. 2log (8 2 15) (4 15) 3.85 ∴有效的持续时间为 21．解：（1）由题意知 f 小时.2(x ) f (0) 0，得a1.是 R 上的奇函数，所以2 1 2 1 4 (2 ) 2 6x x x 2 x F (x) 2 x 1＝ f (x )， ＝ ＋ ， 2 1 x2 1 x2 1 2 1x x (2) 2 6 x 1，即 ( )F x x 1. 的零点为由 2 ＝0，可得2 ＝2，所以， x x x 2 1 b(2 ) 2 1b x x 2 x 1 h(x)2 （2） ， x 2 1 x2 1 x21 x (x ) 0 [0,1] 在 b 在 内有解. (2 ) 2 1 0 [0,1]有题设知h 内有解，即方程 2x 1x b (2 ) 2 1 (2 1) 2在 [0,1]内递增，得2 7 b .x 2 x 1 x 2 b2 b 7时，函数h(x)f (x) 2在[0,1]内存在零点.所以当x 2 1x 1 xl og 1 x k x 1(x) g (x) ，得log（3）由 f ， 1 x2 4 (1 x)2 1 2[ , ] 2 3 2x x+1 2 k x 时 k x 0 ，即 k，显然 x .1 x 1 x 1 21 1 1 x ,由于x [ , ] 所以m[ , ] 设 m ， 2 3 3 22x x+1 2m 5m 4 4 23 233 2 2 2m 5[4, ] k 于是 ，所以 .1 x m m3 满足条件的最小整数k 的值是k8.x | x a 或x 118．解：（1）因为a b 1，所以a b 1，故A，Bx xa 或xb A B x xa 或x 1 ，因此 .1 3 1ð A U ð A U （2） ＝{x x －1)(x ＋a )≤0}，由 a 2＋ ∈ 得(a 2－ )( a 2＋ ＋a )≤0，4 4 43 3 331a 或 a aa 解得 ，所以a 的取值范围是 . 22 2 2 2x 2x x 0 2 H (x) H (x) x 2 x x x2 19．解：（1） 的定义域为 ， 2x2x2x 0 2 x1 x 12 y H(x 1) 2 x1 2 x 1 2 （2） （3） = 2 ，图像略. x 4x 5 1 x 1 2 m 2 1 0， 时，方程有一解；m 2,10 m,2 时，方程有两解； 时，方程无解.8x,0 x 1 x 12 a 8 f (x) ， 20．解：2x 2 , x 14 1 x 1 8x 8 x (0,1)时， f(x) （1）当 1 x 1 2x x1 x2 ，∴0 f (x) 4∵ 当 . x2x 2 42x 42x 4x [1,) f (x) 时， ，1 4 1 4 1 4 22xx 1 x 2 1 1 x 2x 4 41 12 2 ∵ x2 1，∴0 f (x) 4，∴ x ，4 2 x ∴当x 1时，有最大值为 yf (1) 4.maxf(x) (0,1)上单调增，在[1,)在上单调减，最大值为4 ，（2）∵ f (x ) 1 (0,1) [1,)各有一解. ∴ 当在 和 8x x (0,1)时， f (x)1，解得 x 4 15 ； x 122x 2当 x[1,)时， f (x)1，解得 x log (8 2 15) .41x 12[4 15,log (8 2 15)] ∴当 x 时，为有效时间区间. 2log (8 2 15) (4 15) 3.85 ∴有效的持续时间为 21．解：（1）由题意知 f 小时.2(x ) f (0) 0，得a1.是 R 上的奇函数，所以2 1 2 1 4 (2 ) 2 6x x x 2 x F (x) 2 x 1＝ f (x )， ＝ ＋ ， 2 1 x2 1 x2 1 2 1x x (2) 2 6 x 1，即 ( )F x x 1. 的零点为由 2 ＝0，可得2 ＝2，所以， x x x 2 1 b(2 ) 2 1b x x 2 x 1 h(x)2 （2） ， x 2 1 x2 1 x21 x (x ) 0 [0,1] 在 b 在 内有解. (2 ) 2 1 0 [0,1]有题设知h 内有解，即方程 2x 1x b (2 ) 2 1 (2 1) 2在 [0,1]内递增，得2 7 b .x 2 x 1 x 2 b2 b 7时，函数h(x)f (x) 2在[0,1]内存在零点.所以当x 2 1x 1 xl og 1 x k x 1(x) g (x) ，得log（3）由 f ， 1 x2 4 (1 x)2 1 2[ , ] 2 3 2x x+1 2 k x 时 k x 0 ，即 k，显然 x .1 x 1 x 1 21 1 1 x ,由于x [ , ] 所以m[ , ] 设 m ， 2 3 3 22x x+1 2m 5m 4 4 23 233 2 2 2m 5[4, ] k 于是 ，所以 .1 x m m3 满足条件的最小整数k 的值是k8.。
上海市2019高一数学上学期期末考试
上海市2019高一数学上学期期末考试（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题；满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果；每个空格填对得3分；否则一律得零分.1.已知幂函数()y f x =的图像过点1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；则2log (2)f =__________。
2.设A 、B 是非空集合；定义{}*|,A B x x A B x A B =∈∉且；{}22x x y x A -==；⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==-41x y y B ；则=*B A ________________。
3.关于x 的不等式2201a xx a ->--（1a ≠）的解集为_____________。
4.函数)01(312<≤-=-x y x的反函数是_______________________。
5.已知集合{}2,A x x x R =>∈；{}1,B x x x R =≥-∈；那么命题p “若实数2x >；则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ⊆”。
则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为_______________________。
6.已知关于x 的方程ax-=⎪⎭⎫⎝⎛1121有一个正根；则实数a 的取值范围是______________。
7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数；且2(1)(1)0f t f t -++<；则实数t 的取值范围为_____________。
8.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减；则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是____________。
9.作为对数运算法则：lg()lg lg a b a b +=+（0,0a b >>）是不正确的。
但对一些特殊值是成立的；例如：lg(22)lg 2lg 2+=+。
那么；对于所有使lg()lg lg a b a b +=+ （0,0a b >>）成立的b a 、应满足函数()a f b =的表达式为_______________________。
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上海市金山区2019年数学高一上学期期末试卷
一、选择题
1．已知ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，则MC MD ⋅的最小值是（ ） A.32
-
B.1-
C.2-
D.54
-
2．等差数列的公差
，且
，则数列
的前项和取得最大值时的项数是（ ）
A.9
B.10
C.10和11
D.11和12
3
．已知函数2()2cos 2f x x x =，在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-
，若a =ABC △的周长的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
4．已知定义在R 上的函数()y f x =在[1,)+∞上单调递减，且(1)y f x =+是偶函数，不等式
(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A.[3,1]-
B.(,3][1,)-∞-+∞
C.[4,2]-
D.(,4)
[2,)-∞-+∞
5．已知函数()f x 为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数()f x 中，分别具有性质()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+、()()()f x y f x f y +=、
()()()f xy f x f y =的函数序号依次为( )
A ．③，①，②，④
B ．④，①，②，③
C ．③，②，①，④
D ．④，②，①，③
6．已知函数的图象关于直线
对称，则
A
．
B
．
C ．
D ．
7．数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++，则
1299
111a a a ++⋯⋯+=（ ） A ．
99
98
B ．2
C ．
9950
D ．
99100
8．若圆C ：2
2
4240x y x y +-+-=上有四个不同的点到直线l ：340x y c ++=的距离为2，则c 的取值范围是（ ） A.(12,8)-
B.(8,12)-
C.(7,3)-
D.(3,7)-
9．过直线2y x =上一点P 作圆2
2
8
:(3)(2)5
M x y -+-=
的两条切线1l 、2l ，切点为A ，B ，若直线1l ，2l 关于直线2y x =对称，则APB ∠等于( )
A.30°
B.45︒
C.60︒
D.90︒
10．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则开始输入的x 值为
A.
34
B.
1516
C.
78
D.
3132
11．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）
A.
1233π+ B.
13+
C.
13 D.1 12．为了得到函数y=sin 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点
A ．向左平行移动个单位长度
B ．向右平行移动个单位长度
C ．向上平行移动个单位长度
D ．向下平行移动个单位长度 二、填空题
13．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法—
—“三斜求积术”，即ABC ∆
的S =,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边.
若b =
tan C =
则ABC ∆的面积S 的最大值为____．
14．已知函数(
)002
x f x x
sin x ⎧⎪=⎨≤⎪⎩＞，，则()
2
[]f f π=______． 15．已知向量 OA 与OB 满足2OA =，1OB =．又OM tOA =，(1)ON t OB =-，且MN 在
2
7
t =
时取到最小值，则向量 OA 与 OB 的夹角的值为____ 16．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有3am 水，当侧面11AA B B 水平放置时，液面高为hm （如图1）； 当转动容器至截面1A BC 水平放置时，盛水恰好充满三棱锥1A A BC -（如图2），则
a =___；h =
_____．
三、解答题
17．已知函数()2
()sin 22cos 16y f x x x π⎛⎫
==+
+- ⎪⎝
⎭
. （1）求函数()y f x =的值域和单调减区间； （2）已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角，且1cos 3B =
，1
()22
C f =，求sin A 的值. 18．如图，在四边形OBC
D 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD =
=.
（Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；
（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值. 19．已知函数()2sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><的部分图像如下所示，其中2(
,2)3A π，7(,0)3
B π-. （1）求,ωϕ的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()f x 在[,3]ππ上的值域
.
20．某市从高二年级随机选取1000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程（前3门为理科课程，后3门为文科课程）的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
科目
（Ⅱ）在这1000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率；
（Ⅲ）利用表中数据估计该市选课偏文（即选修至少两门文科课程）的学生人数多还是偏理（即选修至少两门理科课程）的学生人数多，并说明理由. 21．设()4
f x x x
=-
（1）讨论()f x 的奇偶性;
（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.
22．某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.
（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；
（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：
51
25,
i i
i x
===∑51
5.36,i i
i y
===∑51
()()0.64;i i i i x x y y ==--=∑参考公式：
51
52
1
()()
ˆ,()
i i i
i i i
i x x y
y b
x x ====--=-∑∑ˆˆa y bx
=-. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
13
14．1- 15．π3
1612
三、解答题
17．（1
）()[1]f x ∈，7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦；（2）sin 6
A =.
18．（Ⅰ）CB 32
OA OB =--（Ⅱ）cos PCB ∠= 19．（1）1,2ω=6π=ϕ（2）42[4,4],33
k k k Z ππππ-++∈（3）[- 20．（Ⅰ）
1130；（Ⅱ）11
15
；（Ⅲ）该市选课偏理的学生人数多 21．(1)奇函数(2)()f x 在()0,+∞上是增函数，证明略.
22．(1) 0.0640.752y x =+ (2) 销售均价约为1.52万元/平方米。