第7练 基本不等式+39份
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对 x y ＋y x 说法正确的是( )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定答案：B2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( )A ．400B ．100C ．40D ．20答案：A3．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．答案：2 44．已知f (x )＝12x＋4x . (1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x·?－4x ?＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号． ∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x ) 答案：C2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．200B ．100C ．50D ．20 解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x ?＝－2.其中正确的推导过程为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b ∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． 答案：18．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大 1169．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值； (2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值． 解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5 ≥2 ?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9， 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号． ∴x ＝1时，函数的最小值是9. (2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1 ＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8. 当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立， ∴y 有最小值8.11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x ＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x (x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥C ．2xy ≥D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 345 6 7 8 9 10答案 A B C D C A B C C C 二．填空题11. 1212.3600 13.212-14.对三、解答题15．ab16.略17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c=。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
基本不等式50练(答案)
基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ． 【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 .【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ） A. 47B. 2233C. 2D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________.【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa， 则ba 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
(完整word版)基本不等式练习题(含答案)
基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．44．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．45．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。
基本不等式各种题型归纳附加练习题与答案
基本不等式方法: 1． 凑系数当40<<x 时，求的最大值)28(x x y -=。
[练一练]若,20<<x 求)36(x x y -=的最大值。
2． 凑项。
当,45<x 求54124)(-+-=x x x f 的最大值 [练一练]求)3(,31>+-=x x x y 的最小值。
3． 拆项。
求)1(,11072-≠+++=x x x x y 的值域。
[练一练]求函数)1(,182>-+=x x x y 的最小值。
4． 整体代换（遇到1了）a>0, b>0, ba tb a 11,12+==+求的最小值。
[练一练]y x y x y x +=+>>求且,911,0,0最小值。
5． 换元法求函数522++=x x y 的最大值 [练一练]求函数)1(,182>-+=x x x y 的最小值。
6． 试着取平方看看：求函数)2521(,2512<<-+-=x x x y 的最大值。
【练习】1．若a 、b ∈+R ，1)(=+-b a ab ，则b a +的最小值是（ ）A.222+B.25+C.222-D.22 2．函数2249cos sin y x x=+的最小值是（ ）A.24B.13C.25D.26 3. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） A ．4y x x =+ B ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< C ．e 4e x x y -=+ D ．3log 4log 3x y x =+4．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R )6．设OA →＝(1，－2)， OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．107．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b29．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 10．已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是________．11．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________． 12．当x 2－2x ＜8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________．13.若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围是 .14.x,y,z ∈R +，x-2y+3z=0,xzy 2的最小值为 .15.若直线2ax +by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是 . 16.函数y=log 2x+log x (2x)的值域是 .17.若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a ＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为 . 18.已知x 、y ∈+R ，则使y x t y x +≤+恒成立的实数t 的取值范围是____________.19.已知关于x 的方程043)4(9=+⋅++xxa 有实数根，则实数a 的取值范围是____________.20.已知0,0>>b a 且2213b a +=，求________. 21．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为__________．22. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.23．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．基本不等式训练题答案：1. A2. C3. C 4．C 5．C 6．C7．B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x 8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 8．A 设甲乙两地相距为s ，则v ＝2s s a ＋s b＝21a ＋1b . 由于a ＜b ，∴1a ＋1b ＜2a ，∴v ＞a ，又1a ＋1b ＞21ab，∴v ＜ab .故a ＜v ＜ab ，故选A. 9．3. 10． 4.11．解析： 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.12．解析： 由x 2－2x ＜8得x 2－2x －8＜0，即(x －4)(x ＋2)＜0，得－2＜x ＜4，∴x ＋2＞0， 而y ＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋22－5x ＋2＋1x ＋2＝(x ＋2)＋1x ＋2－5≥2－5＝－3.等号当且仅当x ＝－1时取得．13. a ≥-5 14. 3 15. 3+22 16. （-∞，-1］∪［3，+∞） 17. 27 18.2t ≥19.（-∞，-8］ 2321．解析： ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a ＞0且Δ＝4－4ac ＝0，∴c ＝1a ，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a ＋1a ＋1a＝⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)，∴a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为4. 22. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦ (2)17423．解析： (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．.。
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高中数学基本不等式的巧用a ＋b1．基本不等式： ab ≤ 2(1)基本不等式成立的条件： a ＞ 0， b ＞ 0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时取等号．2． 几个重要的不等式22≥2ab(a ，b ∈R)；(2) b a a ＋ b 2， ∈；(1)a ＋ b＋ ≥ 2(a ，b 同号 )；(3)ab ≤R)a b 2 (a b(4) a 2＋ b 2 ≥ a ＋b 2 (a ， b ∈R)．2 23． 算术平均数与几何平均数a ＋ b设 a ＞0，b ＞0，则 a ，b 的算术平均数为2，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4． 利用基本不等式求最值问题已知 x ＞0，y ＞0，则(1)如果积 xy 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝y 时， x ＋ y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小 )p 2(2)如果和 x ＋y 是定值 p ，那么当且仅当x ＝ y 时， xy 有最大值是 4 .(简记：和定积最大 )一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 2 ；a ＋b ≥ ab(a ， b ＞ 0)逆用就是 ab ≤ a ＋ b 2(a ， b ＞ 0)等．还要注意 “ 添、拆项 ” 2 2 2 技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形(1) a 2＋ b 2 ≥a ＋b 2≥ab(a ，b ∈R ，当且仅当 a ＝b 时取等号 )；222 ＋b 2 2 ＞ ， ＞ ，当且仅当 ＝ 时取等号．a ≥ a ＋b ≥ ab ≥(2)221 1(a 0 b 0 a b )a ＋b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等” 的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“ 拆”“ 拼”“ 凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“ 定”“ 等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值例 1：求下列函数的值域2 1 1（ 1）y＝3x ＋2x 2 （ 2）y＝x＋x解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知x 5，求函数 y 4x 21的最大值。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高中数学基本不等式训练题(含答案)
高中数学基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：2 44．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.12x＋4x212x4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－x D．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3 B．－3C．62 D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100C．50 D．20解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy －yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a＋a24aa＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22C．4 D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值164C．最小值64 D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．xy64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.答案：大1169．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋52 x＋14x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，y有最小值8.11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b －1)(1c－1)8.证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，同理1b－12acb，1c－12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200＝800(x＋225x)＋120191600x225x＋12019＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
基本不等式专题练习(含参考答案)
数学 基本不等式[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥22．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．165．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18D ．242．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．【参考答案】[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式练习题带答案
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基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式(含答案)
3.4 基本不等式一、选择题（共10小题；共50分）1. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=( )A. 3B. 32C. 23D. 132. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A. v1+v2+v33B.1v1+1v2+1v33C. √v1v2v33 D. 31v1+1v2+1v33. 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√344. 若a,b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√345. 设0<a<b，a+b=1，则12，b，2ab，a2+b2中最大的是( )A. 12B. bC. 2abD. a2+b26. 已知正实数a，b满足1a +2b=√ab，则ab的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是( )A. 5.2mB. 5mC. 4.8mD. 4.6m8. 设正实数a，b，c满足a2−3ab+4b2−c=0，则当abc 取得最大值时，2a+1b−2c最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 39. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件10. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A. y=x+1x B. y=cosx+1cosx(0<x<π2)C. y=2√x2+2D. y=e x+4e x−2二、填空题（共5小题；共25分）11. 设a,b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为．12. 将一根长10米的铁丝围成一个矩形，当矩形的宽为米时，所围成矩形的面积最大．13. 给出下列不等式的证明过程：①若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2；②若x>0，则cosx+1cosx ≥2√cosx⋅1cosx=2；③若x<0，则x+4x ≤2√x⋅4x=4；④若a,b∈R，且ab<0，则ba +ab=−[(−ba)+(−ab)]≤−2√(−ba)⋅(−ab)=−2．其中证明过程错误的是（填序号）．14. 已知x>0，y>−1，且x+y=1，则x2+3x +y2y+1最小值为．15. 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(V20)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要小时（不计货车的车身长）．三、解答题（共3小题；共39分）16. 已知0<x<13，求函数y=x(1−3x)的最大值．17. 回答下列问题：（1）已知x<3，求4x−3+x的最大值；（2）已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x +3y的最小值．18. 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）答案第一部分 1. D【解析】由题意得 ab =1λ×a ×(λb )≤1λ×(a+λb 2)2=1λ，当且仅当 a =λb =1 时，等号成立，所以 1λ=3，即 λ=13． 2. D【解析】设三个连续时间段的时长分别为 t 1，t 2，t 3，依题意有 v 1t 1=v 2t 2=v 3t 3=l ，总的增长量为 3l ，则 t 1+t 2+t 3=l (1v 1+1v 2+1v 3)．故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为3l t 1+t 2+t 3=31v 1+1v 2+1v 3．3. B 【解析】3a +3b ≥2√3a ⋅3b =2√3a+b =6，当且仅当 3a =3b ，即 a =b =1 时，3a +3b 取得最小值 6．4. B5. B【解析】取 a =14，b =34，得 b >a 2+b 2>12>2ab ．6. C7. B8. B9. B 【解析】设平均每件产品的生产准备费用和仓储费用之和为 y ，则 y =800x+x 8≥2√800x⋅x 8=20，当且仅当 800x=x8，即 x =80 时取得最小值．10. D【解析】对于选项A ：当 x <0 时，A 显然不满足条件； 选项B ：y =cosx +1cosx≥2，当 cosx =1 时取等号，当 0<x <π2 时，cosx ≠1，B 显然不满足条件； 对于C ：不能保证 √x 2+2=√x 2+2，故错；对于D ：因为 e x >0，所以 e x +4e x −2≥2√e x ⋅4e x −2=2， 故只有D 满足条件． 第二部分 11. 3√2【解析】(√a +1+√b +3)2=a +b +4+2√a +1⋅√b +3≤9+2×(√a+1)2+(√b+3)22=9+a +b +4=18,所以 √a +1+√b +3≤3√2，当且仅当 a +1=b +3 且 a +b =5，即 a =72，b =32 时等号成立． 12. 5213. ①②③14. 2+√315. 8【解析】提示：物资全部运到B市需要的时间为：400V +16×(V20)2V=400V+V25≥2√400V⋅V25=8，当且仅当400V =V25，即V=100时，等号成立．第三部分16. 因为0<x<13，所以1−3x>0．y=x(1−3x)=13[3x⋅(1−3x)]≤13[3x+(1−3x)2]2=112．当且仅当3x=1−3x，即x=16时，取等号．所以当x=16时，函数取得最大值112．17. （1）因为x<3，所以x−3<0，所以4 x−3+x=4x−3+(x−3)+3=−[43−x+(3+x)]+3≤−2√43−x(3−x)+3 =−1.当且仅当43−x=3−x，即x=1时，等号成立，所以43−x+x的最大值为−1．（2）因为x，y是正实数，x+y=4，所以1 x +3y=(1x+3y)x+y4=14(4+yx+3xy)≥1+2√34=1+√32,当且仅当yx =3xy，即x=2(√3−1)，y=2(3−√3)时等号成立．故1x +3y的最小值为1+√32．18. 由于＂年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元＂，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年总维修费用为0.2+0.2x2⋅x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y =10+0.9x +0.2+0.2x2⋅x x=1+10x +x 10≥1+2√10x ⋅x10=3当10x=x10，即 x =10（负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用 10 年报废，年平均费用 y 最小．答：这种汽车使用 10 年报废最合算．。
(完整版)基本不等式练习题(带答案)
Ａ． 1 Ｂ． a2 b2 Ｃ．2ab Ｄ．a 2
3. 设 x>0,则 y 3 3x 1 的最大值为 x
（ ）
Ａ．3 Ｂ． 3 3 2 Ｃ． 3 2 3 Ｄ．－1
4. 设 x, y R, 且x则 y 5, 3x 3y 的最小值是(
2
2
2
2
10. 下列函数中，最小值为 4 的是
（ ）
Ａ． y x 4 x
Ｂ． y sin x 4 (0 x ) sin x
Ｃ． y ex 4ex
Ｄ． y log3 x 4 logx 3
11. 函数 y x 1 x2 的最大值为
.
The shortest way to do many things is
（）
A． a2 b2 c2 2
B． (a b c)2 3
111 C． 2 3
abc
D． a b c 3
7. 若 x>0, y>0,且 x+y 4,则下列不等式中恒成立的是
（）
A．
x
1
y
1 4
B． 1 1 1 xy
C． xy 2
D． 1 1 xy
8. a,b 是正数，则 a b , ab, 2ab 三个数的大小顺序是 （ ）
12. 建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每 m2 的造价为
200 元和 150 元，那么池的最低造价为
元.
13. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是
.
14.
若 x, y 为非x2
8( x y
y ) 15 的值恒为正，对吗？答 x
)
A. 10
B. 6 3
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。
$a^2+1>a$B。
$\frac{1}{2}<a<1$C。
$a^2+9>6a$D。
$\log_{a+1}。
\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。
$1$B。
$2$C。
$a^2+b^2$D。
$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。
$3$B。
$\frac{3}{2}$C。
$\frac{3}{4}$D。
$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。
$10$B。
$6\sqrt{3}$C。
$4\sqrt{10}$D。
$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。
最小值 $\frac{1}{36}$B。
最大值 $\frac{1}{36}$C。
最小值 $\frac{16}{9}$D。
最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。
$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。
$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。
$xy\ge 2$D。
$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。
3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。
因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时，总造价最低。
去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。
今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。
基本不等式Word版含答案
基本不等式【课前回顾】1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【课前快练】1．若x >0，y >0，且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36D ．81解析：选A 由2(x ＋y )＝36，得x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．2．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2解析：选D 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B ∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，“＝”成立．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 当且仅当x ＝2y 且xy ＝1时等号成立． 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 25．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：25考点一 利用基本不等式求最值方法(一) 拼凑法求最值 1．拼凑法求最值拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．1．设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92，当且仅当“2x ＝3－2x ，即x ＝34”时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. 答案：922．(2018·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________．解析：∵x ＞－4，∴x ＋4＞0， ∴f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2(x ＋4)·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 故f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为2.答案：2方法(二) 常数代换法求最值 1．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 2．常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； (3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．3．若直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，则1m ＋2n 的最小值为( ) A ．2 B ．6 C ．12D ．3＋2 2解析：选D 因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)， 所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋22， 当且仅当“n m ＝2mn ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n 的最小值为3＋22，故选D.方法(三) 消元法求最值 通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．4．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B.23C.33D.233解析：选A 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0， 所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x ＝223， 当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.考点二 基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【典型例题】经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [构建模型]∴1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1，每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)， ∴2017年的利润y ＝x ⎝⎛⎭⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m＝28－16m ＋1－m (m ≥0)．∴利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． (2)由(1)知y ＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216m ＋1·(m ＋1)＝8， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号．∴y ≤－8＋29＝21，即当m ＝3时，y 取得最大值21.∴当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．【针对训练】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)．(2)S (x )＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.【课后演练】1．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a ＞b ＞0得，a 2＋b 2＞2ab ；但由a 2＋b 2＞2ab 不能得到a ＞b ＞0，故“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.2．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12解析：选C 因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2， 所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0， 由ab ＝1a ＋2b≥21a × 2b＝2 2ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4解析：选A f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2，因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4.5．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.6．已知lg a ＋lg b ＝2，则lg(a ＋b )的最小值为( ) A ．1＋lg 2 B ．2 2 C ．1－lg 2D ．2解析：选A 由lg a ＋lg b ＝2，可知a >0，b >0， 则lg(ab )＝2，即ab ＝100. 所以a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 所以lg(a ＋b )≥lg 20＝1＋lg 2. 故lg(a ＋b )的最小值为1＋lg 2. 7．当3＜x ＜12时，函数y ＝(x －3)(12－x )x的最大值为________． 解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x ＋15＝3，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时，y max ＝3.答案：38．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：∵x ＞0，a ＞0， ∴f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值． 又∵f (x )在x ＝3时取得最小值， ∴a ＝4×32＝36. 答案：369．(2017·山东高考)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． 解析：∵直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1， ∵a ＞0，b ＞0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时等号成立， ∴2a ＋b 的最小值为8.答案：810．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8 900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：3011．设a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1. 所以3a ＋81b ＝3a ＋34b ≥23a ·34b ＝23a＋4b≥232a ·4b＝232×2＝2×32＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时等号成立，故选C.12．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( ) A.43 B.53 C.54D ．2解析：选D 30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ， 即30≥15xy ，所以xy ≤2， 当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝233时等号成立． 故xy 的最大值为2.13．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞) 解析：选D 因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，当且仅当b a ＝9ab ，即a ＝4，b ＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立， 令f (x )＝x 2－4x －2，则f (x )＝x 2－4x －2＝(x －2)2－6， 所以f (x )的最小值为－6， 所以－6≥－m ，即m ≥6.14．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________． 解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1.又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3. 答案：315．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18×(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：1216．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1. 又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当8x ＝2y，即x ＝16且y ＝4时等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋2 2x y ·8y x＝18. 当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.17．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤ 2·x ＋2－x 2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.18.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，所以x 千件商品销售额为0.05×1 000x ＝50x 万元，依题意得，当0＜x ＜80时，L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000. 当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。
基本不等式Word版含答案
第四节 基本不等式1． 基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小 )值问题．2． 不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点 基本不等式a ＋ b1． 基本不等式 ab ≤ 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞ 0，b ＞ 0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时等号成立．(3)其中 a ＋ b称为正数 a ， b 的算术平均数， ab 称为正数 a ， b 的几何平均数．22． 利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果 x ， y ∈ (0，＋∞ )，且 xy ＝P(定值 )．那么当 x ＝ y 时， x ＋y 有最小值 2P.(简记：“积定和最小” )(2)如果 x ， y ∈ (0，＋∞ )，且 x ＋y ＝ S(定值 )．2那么当 x ＝ y 时， xy 有最大值S4 .(简记：“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． (2) 多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论活用几个重要的不等式 ：(1)a 2 ＋b 2≥2ab(a ， b ∈R )．ba(2) ＋ ≥ 2(a ， b 同号 )．(3)ab ≤a ＋b 2(a ，b ∈ R )．2(4)a ＋b 2 ≤ a 2＋ b 2(a ， b ∈R )． 2 222 a ＋ b 2a ＋ b(5)2≥ 2 ≥ ab ≥ 1 1(a>0， b>0，当且仅当 a ＝ b 时取等号 )．a ＋b [ 自测练习 ]1． 下列不等式中正确的是 ( )A ．若 a ∈ R ，则 a 2＋9>6aB ．若 a ， b ∈R ，则 a ＋ b ≥2aba ＋ b≥ lg a ＋ lg b C ．若 a ， b>0，则 2lg2D ．若 x ∈ R ，则 x 2＋ 2 1 >1x ＋ 1a ＋ b解析： ∵ a>0， b>0，∴ 2 ≥ ab.∴ 2lg a ＋ b ≥ 2lg ab ＝ lg ( ab) ＝lg a ＋ lgB.2 答案： C2．已知 f(x)＝ x ＋ 1－ 2(x<0) ，则 f(x)有 ()xA ．最大值为 0B ．最小值为 0C ．最大值为－ 4D ．最小值为－ 4解析 ：∵ x<0 ，∴－ x>0 ，∴ x ＋1－ 2＝－1－ x · 1－ 2＝－ 4，－ x ＋ －2≤－2x－ x－ x1当且仅当－ x ＝－ x ，即 x ＝－ 1 时等号成立．答案： C3．下列函数中，最小值为4的是()4A ． y ＝ x ＋ x4B ．y ＝ sin x ＋sin x (0<x<π)C ．y ＝ e x ＋ 4e －xD ． y ＝ x 2＋ 1＋ 2x 2＋ 1解析 ：∵ y ＝ x ＋4中 x 可取负值，x∴其最小值不可能为4；由于 0<x<π，∴ 0<sin x ≤ 1，∴ y ＝ sin x ＋4>2sin x · 4＝4，sin xsin x其最小值大于 4；由于 e x >0，∴ y ＝ e x ＋ 4e － x ≥ 2 e x ·4e －x ＝ 4，当且仅当 e x ＝ 2 时取等号，∴其最小值为 4；∵ x 2＋ 1≥ 1，∴ y ＝ x 2＋ 1＋2≥ 2 2，当且仅当 x ＝±1 时取等号，∴其最小值为 2 2，故选 C.x 2 ＋ 1答案： C4．已知 x>1 ，则 x ＋4的最小值为 ________．x － 1解析： ∵ x>1，∴ x － 1>0 ，∴ x ＋ 4 ＝ (x － 1)＋ 4＋ 1≥ 4＋ 1＝ 5，x －1 x － 14当且仅当 x － 1＝即 x ＝ 3 时等号成立．答案： 5考点一利用基本不等式证明简单不等式 |(1)已知 a>0， b>0， a ＋ b ＝ 1，求证：1＋ 1a 1＋ 1b ≥ 9.1 1(2)设 a ， b 均为正实数，求证： a 2＋ b 2＋ ab ≥ 2 2.[证明 ] (1)法一：∵ a>0， b>0， a ＋ b ＝1， ∴ 1 a ＋ b b 1a1＋＝ 1＋＝ 2＋ .同理， 1＋＝2＋ .a a abb∴11 ＝ba ＝ 5＋ 2b ＋ a≥ 5＋ 4＝ 9.当且仅当 b ＝ a，即 a ＝ b ＝ 1时取1＋a 1＋ b 2＋ a 2＋ba b a b 2“＝ ”．∴11 ≥9，当且仅当 a ＝ b ＝1时等号成立．1＋a 1＋ b21 1 1 1 1a ＋b 1 2法二：1＋ a 1＋ b ＝ 1＋a ＋ b ＋ ab ＝1＋ ab ＋ab ＝ 1＋ ab ，∵ a ， b 为正数， a ＋ b ＝1，∴ ab ≤ a ＋ b 2＝ 1，当且仅当 a ＝ b ＝ 1时取 “ ＝ ”．2 4 2于是 ab 1≥ 4， ab 2≥ 8，当且仅当 a ＝ b ＝12时取 “ ＝”．11∴ 1＋a 1＋ b ≥1＋ 8＝ 9，当且仅当 a ＝ b ＝ 12时等号成立．(2)由于 a ， b 均为正实数，11≥21 12 ，所以 2 ＋ 2 a 2 ·2＝ab b ab1 1当且仅当 a 2＝ b 2，即 a ＝ b 时等号成立，2 2 又因为 ab ＋ ab ≥ 2ab ·ab ＝ 2 2，当且仅当 2＝ ab 时等号成立， ab 1 1 2＋ ab ≥ 2 2，所以 2 ＋ 2＋ab ≥aba b11当且仅当a 2＝b 2，即 a ＝b ＝ 42时取等号．2ab ＝ ab ，考点二 利用基本不等式求最值 |(1)已知 x>0， y>0， lg 2 x ＋ lg 8y ＝ lg 2 ，则 1＋ 1 的最小值是 ()x 3y A ． 2 B ． 2 3 C ．2 2D ．4(2)(2015 高·考重庆卷 )设 a ， b>0， a ＋ b ＝5，则 a ＋ 1＋ b ＋ 3的最大值为 ________．[解析 ] (1)由 lg 2x yx 3y 2 x ＋3y 1 1 ＝ 1 1＋ lg 8 ＝ lg 2得，2 × 2 ＝＝ 2，即 x ＋ 3y ＝ 1， ＋＋× (xx 3y x 3y3y ＝ x ，＋3y)＝2＋3y ＋ x≥ 2＋ 23y × x＝ 4，当且仅当 x 3y即最小值为4.故选 D.x 3y x 3yx ＋ 3y ＝1，x>0 ， y>0，(2)( a ＋ 1＋a ＋ 1 2＋b ＋ 3 2b ＋ 3)2＝ a ＋ b ＋ 4 ＋ 2 a ＋ 1· b ＋ 3≤ 9＋ 2·＝ 9＋ a ＋ b2＋4＝ 18，所以 a ＋ 1＋b ＋ 3≤ 3 2，当且仅当 a ＋1＝ b ＋ 3 且 a ＋b ＝ 5，即 a ＝ 7，b ＝3时2 2等号成立．所以a ＋ 1＋b ＋ 3的最大值为 3 2.[答案 ] (1)D(2)3 22 121．若两个正实数 x ， y 满足 x ＋ y ＝ 1，并且 x ＋ 2y>m ＋ 2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ． (－∞，－ 2)∪[4 ，＋∞ ) B．( －∞，－ 4]∪ [2，＋∞ ) C．( －2,4)D． (－ 4,2)解析： x＋2y＝ (x＋ 2y) 2＋1＝ 2＋4y＋x＋ 2≥ 8，当且仅当4y＝ x，即4y2＝ x2时等号成x y x y x y立．由 x＋ 2y>m2＋ 2m 恒成立，可知m2＋ 2m<8 ，m2＋ 2m－ 8<0，解得－ 4<m<2，故选 D.答案： D2．(2016 洛·阳统考 )若正实数 x， y，z 满足 x2＋ 4y2＝ z＋3xy，则当xy取最大值时，1＋ 1z x 2y 1－z的最大值为 ()3A ． 2 B.21C．1 D.222xy＝ 2xy＝1≤ 1(当解析：∵ z＝ x＋ 4y － 3xy， x， y， z∈ (0，＋∞ )，∴2z x ＋ 4y － 3xy x＋ 4y－3y x1111－11111121且仅当 x＝ 2y 时等号成立 )，此时＋－＝2，令＝ t>0，则＋－＝ t－t ≤(当且x 2y z y 2y y x 2y z22仅当 t＝ 1 时等号成立 )．故选 D.答案： D考点三基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100 万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y(单位：万元 )．(1)用 x 表示 y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解 ] (1)由题意得，y＝ 100＋ 0.5x＋ 2＋ 4＋ 6＋⋯＋ 2x ，x100*即 y＝ x＋x＋ 1.5(x∈N )．(2)由基本不等式得：100100＝21.5，＋ 1.5≥2x·＋ 1.5y＝ x＋x x100当且仅当 x＝x，即 x＝ 10 时取等号．故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备．3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4，沿 AC 将△ ABC 翻折，使点 B 落到点 B′的位置， AB′交DC 于点 P.研究发现当△ADP 的面积最大时最节能，则最节能时△ADP的面积为 ()A．2 2－2B．3－ 22C．2－2 D ．2解析：设 AB ＝x， DP＝ y，则 BC＝2－ x，PC＝ x－ y.因为 x>2 － x，故 1<x<2. 因为△ ADP≌△ CB′ P，故 PA＝ PC＝x－ y.由 PA2＝ AD 2＋ DP 2，得 ( x－y)2＝ (2－ x)2＋ y2，即 y＝ 2 1－1 x，12≤ 3－ 2 2，当且仅当 x＝2，即1<x<2. 记△ ADP 的面积为 S，则 S＝ 1－x (2－ x)＝3－ x＋x x x＝2时， S 取得最大值 3－2 2.答案： B11.忽视等号成立条件致误【典例】(1) 已知 x>0， y>0，且1＋2＝ 1，则 x＋ y 的最小值是 ________．x y3(2)函数 y＝ 1－2x－x(x<0)的最小值为 ________．[解析 ](1)∵ x>0， y>0，1 2y 2x∴ x＋ y＝(x＋y) x＋y＝ 3＋x＋y≥ 3＋2 2(当且仅当 y＝ 2x时取等号 )∴当 x＝2＋ 1， y＝ 2＋2时， (x＋ y)min＝ 3＋ 2 2.(2)∵ x<0，∴ y＝ 1－ 2x－3＝1＋ (－ 2x)＋－3≥1＋2－ 2x·3＝ 1＋26，当且仅当x x－ x6x＝－2时取等号，故 y 的最小值为 1＋2 6.[答案 ](1)3＋ 2 2 (2)1＋ 2 6122 [易误点评 ](1) 多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝x＋y≥ 2xy，∴ xy≥ 22，∴ x＋y≥ 2xy≥ 4 2，得 (x＋ y)min＝ 4 2.(2)没有注意到 x<0 这个条件误用基本不等式得2x＋3≥ 2 6.x[防范措施](1) 利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[跟踪练习 ]已知 x ， y 为正实数，且满足 4x ＋ 3y ＝ 12，则解析： ∵ 12＝ 4x ＋ 3y ≥ 2 4x × 3y ，xy 的最大值为________．4x ＝ 3y ，∴ xy ≤ 3.当且仅当4x ＋ 3y ＝12，3，时 xy 取得最大值 3.即x ＝2 y ＝ 2 答案： 31．“ a ≥ 0， b ≥0”是“a ＋ b≥ ab ”的 ()2A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件a ＋b a ＋ b解析： 由 a ≥0，b ≥ 0 可得2 ≥ ab ，当且仅当 a ＝b 时取等号．反之，若2 ≥ ab ，则 ab ≥ 0，可得 a ≥ 0， b ≥ 0，故选 C.答案： C1 12． (2016 杭·州一模 )设 a>0， b>0. 若 a ＋ b ＝ 1，则 a ＋ b 的最小值是 ()1 A ． 2B.4 C ．4D ．8解析： 由题意 1＋ 1＝a ＋b ＋a ＋ b＝ 2＋ b ＋ a ≥ 2＋ 2b ×a＝ 4.当且仅当 b ＝ a，即 a ＝ ba bab aba ba b＝1时取等号，所以最小值为4.2答案： C4＋ 1的最小值为 ()3．若 a>0 ， b>0 且 a ＋ b ＝7，则 a b ＋ 28 A. 9 B ． 19 102 C.8D. 77解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b＝ 7－ a，所以4＋1＝4＋1＝1(aa b＋2 a 9－ a94＋114＋ 1＋4 9－ a a1 4 9－ a＝a时取＋9－ a) ·＝＋9－ a ≥ (4＋ 1＋4)＝1，当且仅当aa9－ a 9a99－ a 得等号，故选 B.答案： B4．设 x， y∈R， a>1，b>1.若 a x＝ b y＝ 2， a2＋ b＝4，则2＋1的最大值为 () x yA ． 1B ． 2 C．3 D ．4解析：由 a x＝ b y＝2 得 x＝ log a 2＝1，y＝ log b 2＝1，2＋1＝ 2log2 a＋log2b＝ log2log 2 a log 2 b x y a2＋ b2＝ 2(当且仅当 a2＝ b＝ 2时取等号 )．(a2·b)≤ log 22答案： B5．若直线 ax＋ by－ 1＝0(a>0， b>0)过曲线 y＝1＋ sinπx(0< x<2)的对称中心，则1＋ 2的a b最小值为 ()A. 2＋1 B ． 42C．3＋ 2 2 D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线 y＝ 1＋sinπx(0<x<2)的对称1 21＋2b＋2a2，当且仅当b＝2a中心是点 (1,1)，于是有 a＋ b＝ 1，＋＝≥3＋ 2，a b a b·(a＋ b)＝ 3＋a b a b即 b＝ 2a＝ 2(2－ 1) 时取等号，因此1＋2的最小值是3＋ 22，故选 C.a b答案： C6． (2016 济·南一模 )若实数 x， y满足x y＝2x＋12y＋1x y的取值范围是4 ＋ 4＋，则 t＝ 2＋ 2________．解析：设 a＝ 2x， b＝ 2y，则 a>0， b>0 ，由条件得a2＋b2＝2(a＋ b)，∵ (a＋ b)2＝ a2＋ b2＋2ab≤ 2(a2＋ b2)，当且仅当a＝ b 时取等号，∴(a＋ b)2≤ 4(a＋ b) ，∴ a＋ b≤ 4，又 (a＋ b)2－2(a＋b)＝2ab>0.∴a＋ b>2，∴ 2<a＋b≤ 4，即 2<t≤ 4.答案： (2,4]7． (2015 郑·州二模 )已知 a，b 均为正数，且 2 是 2a， b 的等差中项，则1 的最小值为ab________．解析：由于 2 是 2a，b 的等差中项，故 2a＋ b＝4，又 a，b 均为正数，故 2ab≤2a＋ b22＝ 4，当且仅当2a＝ b＝2，即 a＝1， b＝ 2 时取等号，所以 1 的最小值为1ab2.答案：1 28．已知函数 y＝ log a x＋ 1(a>0 且 a≠ 1) 的图象恒过定点x＋y－ 4＝A，若点 A 在直线m n0(m>0， n>0)上，则 m＋ n 的最小值为 ________．解析：由题意可知函数y＝ log a x＋ 1 的图象恒过定点A(1,1)，∵点 A 在直线x＋y－ 4＝ 0 m n上，∴111(m＋n)1＋1＝1n＋m≥12＋2n m ＋＝ 4，∵ m>0， n>0，∴ m＋ n＝42＋4· ＝m n m n4m n m n 1时等号成立，∴ m＋ n 的最小值为 1.1，当且仅当 m＝n＝2答案： 19．已知 x， y， z 是互不相等的正数，且x＋ y＋ z＝ 1，求证：1－ 11－11－ 1>8. x y z证明：因为 x， y，z 是互不相等的正数，且 x＋ y＋ z＝1，所以1－ 1＝1－x＝y＋z2 yz，x x x>x①1－1＝1－ y＝ x＋z 2xz，②y y y>y1－1＝1－ z＝ x＋ y 2xy，③z z z>z111又 x， y，z 为正数，由①× ②× ③，得x－ 1y－ 1z－ 1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A1B1C1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分 )组成．已知休闲区A1 B1 C1D 1的面积为 4 000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如图所示 )．(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1|＝ x(x>1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x) |B1 C1|的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D 1的长和宽该如何设计？解： (1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，由 a2x＝ 4 000，得 a＝2010.x22010则 S(x)＝ (a＋ 8)(ax＋ 20)＝ a x＋(8x＋ 20)a＋ 160＝ 4 000＋(8x＋20) ·x＋ 160＝ 8010 2x＋5＋ 4 160(x>1)．x(2)80 10 2 x ＋ 5＋ 4 160≥ 8010× 22 x × 5＋4 160＝ 1 600＋ 4 160＝5 760，当xx且仅当 2 x ＝5，即 x ＝2.5 时，等号成立，此时a ＝40， ax ＝ 100.x所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1 应设计为长 100 米，宽 40 米．B 组 高考题型专练1＋2＝ ab ，则 ab 的最小值为 ()1．若实数 a ， b 满足 a bA. 2B ． 2C ．2 2D ．412b ＋ 2a解析： 由已知得 ＋ ＝＝ ab ，且 a>0， b>0，∴ ab ab ＝ b ＋ 2a ≥ 2 2 ab ，∴ ab ≥ 2 2.答案： C2．若 log 4(3a ＋ 4b) ＝log 2 ab ，则 a ＋ b 的最小值是 ( )A ．6＋2 3B ．7＋ 2 3C ．6＋ 4 3D ．7＋4 3解析：由 log 4(3a ＋ 4b)＝ log 2 ab ，得1log 2 (3a ＋ 4b)＝ 1log 2(ab) ，所以 3a ＋ 4b ＝ ab ，即3＋2 2b4＝ 1.a34 3a 4b3a 4b所以 a ＋b ＝ (a ＋ b) b ＋ a ＝ b ＋ a ＋ 7≥ 4 3＋ 7，当且仅当 b ＝a ，即 a ＝23＋4， b＝ 3＋ 2 3时取等号，故选 D.答案： D3．设 f(x)＝ ln x,0< a<b ，若 p ＝ f( ab)，q ＝ fa ＋b 1 2，r ＝ (f(a)＋ f(b))，则下列关系式中正2确的是()A ． q ＝ r <pB ． p ＝ r<qC ．q ＝ r >pD ．p ＝ r>p解析： ∵ 0<a<b ，∴a ＋bab ，又 f(x)＝ ln x 在 (0，＋∞ )上单调递增， 故 f( ab)<fa ＋b ，2 > 2即 q>p ，∵ r ＝1(f(a)＋ f( b)) ＝ 1 (ln a ＋ ln b)＝ lnab ＝ f(ab)＝ p ，∴ p ＝ r<q.故选 B.2 2x 2－ y 2答案： 定义运算“ ?”： x?y ＝xy (x ， y ∈R ，xy ≠ 0)．当 x>0， y>0 时， x?y ＋ (2y)?x 的最小值为 ________．解析：因为 x>0 ， y>0 ，所以 x?y＋ (2y)?x＝x2－ y24y2－ x2x2＋ 2y21x 2y≥ 2，xy＋2xy＝2xy＝2＋y x当且仅当x＝2y，即 x＝2y 时取等号．故x?y＋ (2y)?x 的最小值为 2. y x答案：2。