2011中考热点16 与圆有关的基本概念(含答案)-
中考圆知识点总结复习
中考圆知识点总结复习圆是数学中重要的基本概念之一，也是我们日常生活中经常遇到的形状。
在中考数学中，圆的知识点是不可避免的，掌握好圆的相关知识对于中考数学的考试至关重要。
本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结复习，希望对同学们的复习有所帮助。
一、圆的基本概念1. 圆的定义：在平面上的所有到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定的点叫作圆心，这个相等的距离叫作圆的半径。
2. 直径、半径和周长的关系：圆的直径是通过圆心的两个相对的点之间的线段，它等于半径的两倍，周长等于直径的π倍或者半径的两倍π。
二、圆的性质1. 圆心角的性质：圆内切于同一弧上的两条弦所对圆心的两个角是相等的，当圆心角的度数是180°时，这两条弦构成的角是直角。
2. 圆周角的性质：位于圆的同一弧上的两条弦所对的圆周角相等。
3. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和等于180°。
4. 弦长定理：圆内一条弦和它所对的两个圆周角的性质。
5. 弦切定理和切割定理：切割定理：切线与过切点作直径的两个弧所对的圆周角等于90°。
三、圆的相关计算1. 圆的周长和面积的计算公式：周长C=2πr面积S=πr²2. 圆的内、外接正多边形的周长和面积的计算四、圆的位置关系1. 圆的位置关系的判定：“点和圆的位置关系”、“直线和圆的位置关系”、“圆和圆的位置关系”。
五、圆的几何变换1. 圆的平移、旋转、对称的基本概念。
2. 圆的平移、旋转、对称的性质。
六、圆的应用.1. 圆的应用在实际生活和工作中运用。
2. 圆在建筑、设计、制图中的应用。
3. 圆的运动的应用。
七、典型例题解析1. 利用圆的数学知识解决问题的方法。
2. 典型例题的解题思路和方法。
3. 典型例题的解题技巧和技巧。
八、练习题1. 适当安排时间，每天复习一定的题目，加深对知识点的理解和掌握。
2. 定期进行模拟考试，检测自己对圆的知识点的掌握情况。
3. 及时总结巩固，弥补知识点的不足。
圆知识梳理+题型归纳附答案-(详细知识点归纳+中考真题)
，那么这个圆柱的侧面积是
是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁
厘米，那么此圆锥的底面半径的
会议在重庆市的召开，小区管委会决定在这个米的扇形花台，花台都以多边形的顶点为圆心，比多边形的内角为圆心角，
元，则建造这些花台共需资金 （ ）
的距离
D，则图中阴影部分，那么圆的面积为 （ ）
的长为 （ ）
，顺次连结五个圆心得到五边
米，那么这个油桶的侧面积为 （ ）
平方米
厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所
旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为
长为
厘米，则这个圆锥的侧面积是 （ ）
平方厘米，则这个圆柱的底面半径是 （ ）
厘米的弦，则圆心到此弦的距离为 （
分别相切于点
的度数为 （
是优弧上
平方厘米
厘米，
，，，的度数
，＝，若
的大小关
分成两部分的线段长分别为2和6，那
________．
厘米，的长等于⊙，则的长是
的中点，延长
，则弦CD的长
厘米，那么这个扇形的面积为_________．
，是以长为半径的弧，是以
两
．
，交于点
厘米，则扇形的半径是
米的汤姆沿着
是⊙O的弦，且
，弦
13．C 14．D 15．D
，∴ ＝，。
中考复习讲义 圆的基本概念与性质(含参考答案)
圆的基本概念与性质内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作»AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径( )中考说明自检自查必考点中考必做题（3）半圆是弧( )（4）弧是半圆( )（5）长度相等的两条弧是等弧( )（6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( )（8）半径相等的两个圆是等圆( )（9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】如图，点A D G M、、、在半圆O上，四边形ABOC DEOF HMNO、、均为矩形，设BC a=，EF b=，NH c=则下列格式中正确的是( )A．a b c>>B．a b c==C．c a b>>D．b c a>>ONMHGFEDCB A【答案】B【例3】如图，直线12l l∥，点A在直线1l上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l、于B、C两点，连接AC BC、．若54ABC∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】如图，ABC∆内接于Oe，84AB AC D==，，是AB边上一点，P是优弧¼BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD=时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形．证明：∵P是优弧¼ABC的中点∴»»PBPC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PC PBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二 垂径定理及其应用【例6】 如图，AB 是O e 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O e 的半径．【答案】（1）不同类型的正确结论有：22290•ABC BE CE BD DC BED BOD A AC OD AC BC OE BE OB S BC OE BOD BOE BAC ==∠=︒∠=∠⊥+==⋯V P V V V ①；②弧弧；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨是等腰三角形；⑩∽（2）∵OD BC ⊥，∴12BE CE ==4BC =设O e 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-，在Rt OEB V中，由勾股定理得： 22222224OE BE OB R R +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O e 的半径为5．【例7】 如图，在O e 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【答案】23【例8】 如图，D 内接于O e ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O e 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤»¼12AB ACB =，正确结论的个数是( )DCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】 如图，AB 为O e 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）ODCAA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】 如图，AB 是O e 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O e 的直径为（ ）EO BDCAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】 如图，O e 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O e 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ） A ．1 B 3 C ．2 D ．23OCBA【答案】D【例12】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2B 5C ．22D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD ==，由勾股定理得半径2222125OA AD OD +=+ODCBA【例13】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）． （2）OE 22OD ED -2213125-=． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）OEC DABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米 【答案】B【例15】 如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______BEO DCA【答案】2【例16】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）OCBAA ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】 已知，如图，1O e 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O e 的半径。
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
圆的基本概念与常见问题
圆的基本概念与常见问题圆是几何学中常见的图形，具有多种特征和特性。
本文将介绍圆的基本概念，并讨论一些与圆相关的常见问题。
1. 圆的基本定义圆是由一条曲线组成的图形，该曲线上的所有点到曲线中心的距离都相等。
圆通常用字母“O”表示曲线中心，用字母“r”表示半径，表示从圆心到曲线上任意一点的距离。
2. 圆的性质圆具有一些独特的性质，包括：2.1 圆上任意两点与圆心的连线长度相等。
2.2 圆上相等弧所对应的圆心角相等。
2.3 圆上相等弧所对应的弦的长度相等。
2.4 圆心角是其对应的弧所对应的角的两倍。
3. 圆的周长和面积圆的周长是其边界的长度，可以通过公式C = 2πr计算，其中r为圆的半径，π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积是指圆内部的区域，可以通过公式A = πr²计算。
圆的面积是圆心到边界的距离恒定的图形中最大的。
4. 圆的常见问题在实际应用中，人们常常遇到与圆相关的问题。
以下是一些常见的问题及其解答：4.1 如何求圆的周长和面积？如前所述，圆的周长可以通过公式C = 2πr计算，面积可以通过公式A = πr²计算。
这些公式可用于计算任何圆的周长和面积。
4.2 如何确定一个点是否在圆的内部或外部？对于已知圆心和半径的圆，可以通过计算给定点与圆心的距离来确定该点在圆内部或外部。
如果距离小于圆的半径，则点在圆的内部；如果距离大于圆的半径，则点在圆的外部。
4.3 如何在平面上画一个圆？可以使用圆规和直尺来绘制一个圆。
首先，画一条直线，然后使用圆规将其一点放在直线上，并将另一点放在这个点的一侧。
接着，保持圆规的距离不变，绘制圆的边界。
4.4 圆与其他图形的关系是什么？圆与其他图形有许多关系。
例如，一个矩形的对角线也是一个圆的直径；一个五边形可以与一个圆外切，等等。
这些关系可以通过几何定理和性质进行证明。
总结圆是几何学中重要的一个概念，具有许多独特的性质和特征。
了解圆的基本定义、性质以及解决与圆相关的问题对于数学学习和实际应用都非常重要。
圆的基本概念初三知识总结
圆的基本概念初三知识总结
初三数学中，圆的基本概念包括以下几个方面：
1. 圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（或圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合）。
2. 圆心：定点称为圆心，线段OA称为圆的半径。
3. 圆的基本性质：
（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆的特殊性：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。
（3）圆的直径：通过圆心且两个端点都在圆周上的线段叫做圆的直径。
4. 圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，顶点在圆周上且两边与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
5. 弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
6. 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
7. 弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等。
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
8. 推论：直径是最大的弦。
9. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
10. 点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，则有点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d<r。
以上是初三数学中关于圆的基本概念的知识点总结。
希望可以帮助你更好地理解和学习这部分内容。
数学中考复习 圆的相关知识点及习题
圆专题一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．F EBA CDOr a 2d O CBA所对的两圆心角相等所对的两条弦相等 所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等EO D B A【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【例2】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例3】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例4】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ ∠的大小为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【例5】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例6】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于ON MHG FE DC BA（ ） A ．60°B ．100°C ．80°D ．130°【例7】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．【例8】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例9】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【例10】 如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．DCA BBA【例11】 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．【例12】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )B.4D.5【例13】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例14】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．2. 圆内接四边形【例15】 如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =PC 的长．【例16】 如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，BAPEC BAP DCBAAB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．【例17】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．一、点与圆的位置关系4. 确定圆的条件（5） 圆心(定点)，确定圆的位置； （6）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 5. 点与圆的位置关系（7） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （8） 设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.如下表所示：C二、过已知点的圆1. 过已知点的圆（1） 经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． （2） 经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个． （3） 过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． （4） 过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例18】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7二、过三点的圆【例19】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例20】 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．三、三角形的外接圆及外心【例21】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .【例22】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍． ABCD ．12【例23】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例24】 已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【例25】 已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ． ⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑴ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2+∆ABC 外接圆的面积．直线与圆的位置关系设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：6. 切线的性质（9） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（10） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．7. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．AB CD El8. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．二、切线的性质及判定【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．lcb acbaO F ED CACBAB A【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C【例7】 如图，已知AB 为⑴O 的弦，C 为⑴O 上一点，⑴C =⑴BAD ，且BD ⑴AB 于B ．（1）求证：AD 是⑴O 的切线．（2）若⑴O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线； （2）求sin E ∠的值．一、切线长定理1.如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=︒，P ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．70︒2.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B ，两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．3.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．8C．D．P则OP =（ ）A ．50cm B．cm Ccm D．cm5.如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．146.等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．7.如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE ∆周长为16，求O ⊙的半径．8.如图，PA PB ，切O 于AB ，，MN 切O 于C ，交PA PB ，于M N ，两点，已知8PA =，求PMN ∆的周长．PB P于G，交AB AC、于MN，则BMN∆的周长为______________．10.如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA=，且6AD OC+=，求CD的长．补充讲义两圆的公切线（选讲自己了解）9.两圆的外公切线（11）求两圆外公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形．如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的外公切线长为：l=，sin2R rdα-=（12）求两圆内公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形．10.两圆的内公切线如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的内公切线长l=，sin2R r dα+ =CB AP圆与相似三角形经典证明题1.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3 点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系为．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．4．．Rt．ABC．．．ACB=90°．D．AB．．．．．．．BD．．．．．O．AC．．E．．．DE．．．．．BC．．．．．．．F．．BD=BF．．1．．．．AC．．O．．．．2．．BC=6．AB=12．．．O．．．．5．．．．AB．．O．．．．．．A．．O．．．．．．．．．．C．．．OC．．O．．D．BD．．．．．AC．E．．．AD．．1．．．．．CDE．．CAD．．2．．AB=2．AC=2．．AE．．．6. 已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB 于点E．．1．．．．AC•AD=AB•AE．．2．．．BD．⊙O．．．．D．．．．E．OB．．．．．BC=2．．．AC．．．7．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.8. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．9. 如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．10.．．．．．O．．AB．．．．OC．AB．．CD．OB．．．F．．AB．．．．．．．E．．EF=ED．．1．．．．DE．．O．．．．．2．．OF．OB=1．3．．O．．．R=3．．．．．11．．．．AB ．⊙O ．．．．．D ．．．．．．∠BDE =∠CBE ．BD ．AE ．．．F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DF •DB ；（3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长和⊙O 的半径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB ：PC =1：2． （1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD =3，求△ABC 的面积．13．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB =∠AEC . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求证：2CE EH EA =⋅； （3）若⊙O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.第13题图FH EOC B A。
圆的概念及相关定理(讲义及答案)
圆的概念及相关定理（讲义）➢知识点睛1.平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O记作_____．2.圆中概念：弧：_________________________，弧包括______和_______；弦：_______________________________________________；圆周角：___________________________________________；圆心角：___________________________________________；弦心距：___________________________________________．3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________；圆是中心对称图形，其对称中心为_______．4.圆中基本定理：*（1）垂径定理：_____________________________________ ______________________________________________；推论：_______________________________________________________________________________________；总结：知二推三①_______________________________，②_____________________，③____________________，④_____________________，⑤____________________．（2）四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：___________________________________．推论1：________________________________________．推论2：________________________________________，_______________________________________________．推论3：_______________________________________．注：四边形的四个顶点都在圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．➢精讲精练1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MB第1题 第2题2. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC，若AB ，求⊙O 的半径． 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm ．4. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O的半径为2，AB =，则∠BCD =_______．AD BO ECB第4题图 第5题图5. 如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD =50°，则∠ACD =________．6. 一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m ，测得圆周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径AD 为________．7. 如图，E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，经过A ，B ，E 三点的⊙O 与边BC 交于点F ，P 为AB ︵上任意一点．若正方形ABCD 的边长为4，则sin P 的值为__________．8. 如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD =DO ．以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于F ，G 两点，连接EF ．若∠BAC =22°，求∠EFG 的度数．ADF ECO G B9. 如图，已知四边形A B CD 内接于⊙O ，如果它的一个外角∠DCE =64°，那么∠BOD 的度数为__________．10. 如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A =55°，∠E =30°，则∠F =___________．与圆有关的位置关系➢ 知识点睛与圆有关的位置关系，关键是找d ．和r ．． 1. 点与圆的位置关系d 表示__________的距离，r 表示___________． ①点在圆外：_____________； ②点在圆上：_____________； ③点在圆内：_____________． 2. 直线与圆的位置关系d 表示__________________的距离，r 表示__________． ①直线与圆相交：____________； ②直线与圆相切：____________； ③直线与圆相离：____________．切线的性质定理：__________________________________； 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________． 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的__________，内切圆的圆心是_____________________，叫做三角形的_______．➢ 精讲精练1. 矩形ABCD 中，AB =8，BC=P 在AB 边上，且BP =3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A ．点B ，C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内 C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B ，C 均在圆P 内2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__________．CBA3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有且只有一个公共点，则R 的取值范围是_________________． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O的切线，交AB 的延长线于点E ，求∠E 的度数．A5.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB=_______．E第5题图第6题图6.如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A=______．7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为___________．圆中计算及综合➢知识点睛1.圆中的计算公式弧长公式：____________________．扇形面积公式：①________________；②________________．圆锥的侧面积公式：_________________________________．圆锥的全面积公式：__________=__________+__________．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①________________________________________________；②________________________________________________．➢精讲精练1.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是___________．2.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路径长为______．（结果保留π）l 3.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是________．【参考答案】圆的概念及相关定理➢知识点睛1.定点；定长；定点；定长；⊙O2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心到弦的距离叫做弦心距3.任意一条过圆心的直线；圆心4.（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；过圆心的直线；垂直于弦；平分弦；平分优弧；平分劣弧（2）同圆或等圆；两个圆心角；两条弧；两条弦；两个弦心距（3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形对角互补➢精讲精练1. D2.⊙O3.84.30°5.40°6.7.3 58.∠EFG的度数为33°．9.128°10.40°与圆有关的位置关系及圆内接正多边形➢知识点睛1.点到圆心；圆的半径；d＞r；d=r；d＜r2.圆心O到直线l；圆的半径；d＜r；d=r；d＞r圆的切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 内切圆；三角形三条角平分线的交点；内心➢ 精讲精练1. C2. 相交3. 3＜R ≤4或125R =4. ∠E 的度数为50°．5. 110°6. 99°7. 68°圆中计算及综合➢ 知识点睛1. 180n r l π=；2360n r S π=；2lRS =（l 为弧长）；S =πlr （l 为母线长，r 为底面半径）；全面积；侧面积；底面积；圆锥的底面周长等于扇形的弧长；圆锥的侧面积等于扇形面积➢ 精讲精练1.25π2. (4π3. 6π。
中考圆知识点归纳总结
中考圆知识点归纳总结中考圆是初中数学中非常重要的一个知识点，也是数学的基础。
掌握了中考圆的相关知识，不仅对于进一步学习数学有很大的帮助，也对于解决实际问题有很大的应用价值。
下面将对中考圆的知识点进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分内容。
1. 圆的基本概念圆是平面上距离一个固定点一定距离的点的集合，这个固定点叫做圆心，这个固定距离叫做半径。
圆通常用字母 O 表示圆心，用字母 r 表示圆的半径。
圆上的任一点到圆心的距离都等于半径，这一点是圆的重要性质之一。
2. 圆的相关线段在圆周上取两点 A、B，连接这两点和圆心 O，得到三条线段，分别是弧 AB、弦 AB 和半径 OB。
弧 AB 是连通 A、B 两点的曲线部分，弦 AB 是圆上连接 A、B 两点的线段，半径OB 是以 O 为端点的一段线段。
圆有很多重要的线段长度关系定理，比如：弦长定理、弦切定理、弦心定理等。
3. 圆的面积和周长圆的周长和面积是圆的重要特征。
圆的周长又叫做圆周长或者圆的周长，通常用字母 C 或者 P 表示，圆周长的计算公式是C=2πr，其中 r 表示圆的半径，π 是一个数学常数，约等于3.14。
圆的面积通常用 S 表示，圆的面积计算公式是S=πr²。
4. 圆中角的度量圆上的角分为圆心角、弧对应角和弦对应角。
圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，弧对应角和弦对应角的度数相等。
圆心角、弧对应角和弦对应角之间有很多重要的关系，比如角度的计算，叠加与相交的等。
5. 圆的切线和切点在圆上一个点处的切线是与这个点的切线有且只有一个交点的直线。
圆上的切线长相等。
切点是与切线有且只有一个公共点的圆上的点。
圆的切线和切点有很多重要的定理，比如切线与半径垂直定理等。
中考圆的知识点比较基础但非常重要，掌握了这些知识对于学生进一步学习数学有很大的帮助。
希望同学们多加练习和实践，加强对中考圆知识点的理解和掌握，提高数学的应用能力。
中考圆知识点总结
中考圆知识点总结中考的数学试题覆盖了诸多数学知识点，其中圆相关的内容占了重要地位，是中考数学考试中的难点之一。
掌握了圆的相关知识点，不仅可以在考试中取得好成绩，同时也对日常生活中的数学问题有所帮助。
下面将对中考圆的知识点进行总结和归纳。
一、圆的基本概念圆是平面上到定点距离小于等于定长的点的集合，这个定点叫做圆心，这个定长叫做圆的半径。
圆的直径是圆上任意两点的最长距离，圆的直径恰好是圆的半径的二倍。
圆的面积公式为S=πr²，其中r表示圆的半径。
圆的周长公式为L=2πr，同样r表示圆的半径。
二、圆相关的几何定理1. 直径定理：在同一个圆或等圆的两个弦等长，则它们所对的圆心角相等，且所对圆弧的长度相等。
2. 圆心角定理：同弧的两个内角相等，同弦的两个角相等。
3. 弧长定理：同弧的弧长与所对圆心角的大小成正比。
4. 弧的关系定理：弧长和圆心角的关系，相等角对的弧相等，圆心角相等的弧相等。
5. 弧与弦的关系：相等的圆心角所对的弦相等，弦等于半径的弦、垂直与直径的弦等于相等弦。
6. 正弦定理、余弦定理：一般所涉及到的较少，不是本考纲的重点内容。
三、圆的位置关系1. 两圆相交的位置关系：相离、内切、相交、外切2. 圆内接四边形：矩形、菱形、平行四边形、正方形3. 角平分线与弦的关系四、圆的相交与切线关系1. 圆的切线：圆上任何一点的切线只有一条2. 切线定理：切线与半径的夹角是直角3. 切线长度定理：切线外的弦等于切线两条线段的和4. 弦上的圆角：弦上的两个圆角是相等的五、圆的证明题1. 利用圆的性质证明几何定理2. 利用等角、相似证明题3. 利用直线、圆的位置关系证明题4. 利用圆与三角形的关系证明题以上是中考圆的知识点总结，掌握了这些知识，可以更好地应对中考数学试题中的圆相关问题。
希望同学们能够认真学习，多练习，相信在考试中一定能取得好成绩。
最新中考热点16 与圆有关的基本概念含答案-.doc
热点16 与圆有关的基本概念（时间：100分钟 总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．在同圆或等圆中，如果AB CD ，则AB 和CD 的关系（ ）A ．AB=CDB ．AB>CDC ．AB<CD D ．AB=2CD2．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，两圆的圆心距是6cm ，•则两圆的位置关系是（ ）A ．内含B ．外离C ．内切D ．相交3．下列命题中，不正确的是（ ）A ．圆是轴对称图形；B ．圆是中心对称图形C ．过三点一定确定一个圆；D ．一个三角形只有一个外接圆4．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A ．三条中线的交点；B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点；D ．三条边的垂直平分线的交点5．下列命题中是假命题的是（ ）A ．直径是弦；B ．等弧所在的圆是同圆或等圆C ．弦的垂直平分线经过圆心；D ．平分弦的直径垂直于弦6．若圆的半径是5cm ，圆心的坐标是（0，0），点P 的坐标是（4，2），则点P 与⊙O •的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上 D．点P 在⊙O 外或⊙O 上7．已知等边△ABC 的边长为23cm ，如图所示，以A 为圆心的各圆中，•半径是3cm 的圆是（ ）8．一个点与圆上最近点的距离是4cm ，最远点的距离是为9cm ，则此圆的半径为（• ）A ．2.5cm 或6.5cmB ．2.5cmC ．6.5cmD ．13cm 或5cm9．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 、r ，O 1O 2=d ，且R 2-r 2+d 2=2Rd ，则两圆的位置关系是（• ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．相切10．如图1，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，•则经过A、B两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个lB(1) (2) (3)二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．半径为2，圆心角为120°的扇形的面积为_________．12．已知⊙O 1和⊙O 2外切，且圆心距为10cm ，若⊙O 1•的半径为3cm ，⊙O 2•的半径为_____．13．圆的半径为3，则弦长x的取值范围是________．14．如图2，圆周角∠ACB=34°，则圆心角∠AOB的度数为________．15．已知一弧的半径为3，弧长为2 ，则此弧所对的圆心角为________．16．•若一个圆锥的母线长是5cm，•底面半径是3cm，•则它的侧面展开图的面积是_______．17．已知⊙O的半径为6.5cm，点P为直线L上一点，且OP=6.5cm，则直线与⊙O•的位置关系是________．18．已知⊙O1、⊙O2的半径都等于1，有下列命题：①若O1O2=1，则⊙O1和⊙O2•有两个公共点；②若O1O2=2，则⊙O1与⊙O2外切；③若O1O2≤3，则⊙O1和⊙O2必有公共点．其中正确的命题的序号是_________．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．求证：直径是圆中最长的弦．20．某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育中心，•在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图3中作出体育中心的位置（不写作法，只保留作图痕迹）．21．已知直线L：y=x-2，点A（0，-2），点B（2，0），设点P为L上一点，试判断过P、A、•B三点能否作一个圆．22．如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=8，BC=5，以直线AB为轴将△ABC旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的表面积．23．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，BC=AB+CD，BC是⊙O的直径，•求证：⊙O与AD相切．24．相交两圆的公共弦为6，两圆的半径分别为和5，则这两圆的圆心距为多少？25．如图，BC 为⊙O 的直径，G 是半圆上任一点，点A 为BG 的中点，AD ⊥BC ，求证：（1）BE=AE ；（2）AB 是BE 、BG 的比例中项．答案:一、选择题1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．A 9．D 10．B二、填空题11．43π 12．7cm 13．0<x ≤6 14．68° 15．120°16．15πcm 2 17．相交或相切 •18．①②三、解答题19．解：已知：如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是任意的一条非直径弦．求证：AB>CD ．证明：连结OC 、OD ，则AB=OA+OB=OC+OD ．在△OCD 中，OC+OD>CD ，所以AB>CD ．20．解：有四种情况（图略）．21．解：点A （0，-2），点B （2，0）均在直线y=x-2上，而点P 也为L 上一点，故过P 、A 、B 三点不能作一个圆．22．解：过点C 作CD ⊥AB ，则由∠A=30°，知CD=4，则旋转一周的周长为8π， 设旋转体上半部分与下半部分的侧面展开图中的圆心角分别为θ1与θ2， 则1360θ︒·2π·AC=8π，2360θ︒·2π·BC=8π， ∴θ1=180°，θ2=288°． 则全面积为180360·π·AC 2+288360·π·BC 2=52π． 23．证明：过点O 作OE ⊥AD 于E ，则：//////90AB CD CD OE BA A OB OC OE AD ⎫⎫⎪∠=︒⇒⇒⎬⎬=⎭⎪⊥⎭OE 是梯形的中位线 ⇒OE=12（BA+CD ）=12BC ． ∴OE 是半径，∴AD 与⊙O 相切．24．解：当两圆的圆心在公共弦同侧时，圆心距为1，•当两圆的圆心在公共弦异侧圆心距为7．25．证明：（1）BC 是直径 ∠BAC=90°，9090ABC C AD BC ABC BAD ⇒∠+∠=︒⎫⎬⊥⇒∠+∠=︒⎭C BAD A BG C ABG ⇒∠=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭点是的中点⇒∠BAD=∠ABG ⇒BE=AE ． （2）连结CG ，则在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴AB 2=BD·BC．又∵∠BDE=∠BGC=90°，∠GBC=∠GBC ， ∴△GBC ∽△DBE ，BD BE BG BC=． ∴BD·BC=BE·BG． ∴AB 2=BE·BG．∴AB 是BE 、BG 的比例中项．。
圆的概念与性质(含答案)
BD B． BC
C． ∠BAC ∠BAD
D． AC AD
C
A
E O
B
D
【答案】D 13. 【易】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题)如图，在平面直角坐标系中，点
A ，B 的坐标分别为 6 ， 0 、 0 ， 8 ．以点 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交 x 正
1 AB 的长为半径做弧，两弧相交于点 P 和 Q ． 2
②作直线 PQ 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，连接 AE ． 若 CE 4 ，则 AE ________．
C E P A Q D B
【答案】8
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的度数小于 180 ，且 ，那么弦 AB 和弦 CD 的大小关 23. 【中】在同圆中， CD AB 2CD
半轴于点 C ，则点 C 的坐标为_____．
0 【答案】 4 ，
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14. 【中】（2013 年玉林市防城港市初中毕业数学暨升学考试）如图， △ ABC 是 O 内接 正三角形，将 △ ABC 绕 O 点顺时针旋转 30 得到 △ DEF ， DE 分别交 AB ， AC 于点 M ， N ， DF 交 AC 于点 Q ，则有以下结论： ① DQN 30 ； ② △DNQ ≌△ANM ； ③ △DNQ 的周长等于 AC 的长； ④ NQ QC ． 其中正确的结论是_____________．（把所有正确的结论的序号都填上）
1/101
A．0 【答案】B 6.
B．1
C．2
D．3
【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）下列命题中，正确 的是（ ） ① 顶点在圆周上的角是圆周角；② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 90 的圆周角所对的弦是直径；④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤ 同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ 【答案】B C．①②⑤ D．②④⑤
热点与圆有关的基本概念含答案
热点16与圆有关的基本概念（时间：loo 分钟 总分：loo 分）、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的）i •在同圆或等圆中，如果 A B C D ，贝y AB 和CD 的关系（） A • AB=CD B • AB>CD C • AB<CD D • AB=2CD2•已知O O 和O O 2的半径分别为3cm 和5cm,两圆的圆心距是 6cm, ?则两圆的位置关系是 （） A .内含 B .外离 C . 内切 D .相交 3.卜列命题中，不止确的是（ )A .圆是轴对称图形；B .圆是中心对称图形C .过三点一定确定一个圆； D.一个三角形只有一个外接圆 4.到厶ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（）A •三条中线的交点；B •三条角平分线的交点C •三条高的交点；D •三条边的垂直平分线的交点5•下列命题中是假命题的是（ ） A •直径是弦；B•等弧所在的圆是同圆或等圆 C •弦的垂直平分线经过圆心； D •平分弦的直径垂直于弦6 •若圆的半径是 5cm,圆心的坐标是（0, 0）,点P 的坐标是（4, 2）,则点P 与O O?勺位 置关系是（）A .点P 在O O 外B .点P 在O O 内C .点P 在O O 上D .点P 在O O 外或O O 上A •内含B •内切C •相交D •相切10. 如图1 ,已知直线L 和直线L 外两定点A B ,且A B 到直线L 的距离相等，？则经过A B 两点且圆心在 L 上的圆有（）A. 0个 B . 1个 C .无数个 D . 0个或1个或无数个7 .已知等边△ ABC 的边长为 2.3 cm,如图所示，以 A 为圆心的各圆中,?半径是3cm 的圆ACD4cm,最远点的距离是为 9cm,则此圆的半径为（.2.5cm C . 6.5cmD. 13cm 或 B C B&一个点与圆上最近点的距离是 A . 2.5cm 或 6.5cm B9•已知O O i 和O O 2的半径分别为 R 、r , O i O 2=d ，且R 2-r 2+d 2=2Rd,则两圆的位置关系是 （?）?)5cm是（'B_______________ l⑴⑵二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. ______________________________________________ 半径为2，圆心角为120°的扇形的面积为_________________________________________________ .12. __________________________________________________________________________ 已知O O i和O 02外切，且圆心距为10cm若。
中考复习讲义 圆的基本概念与性质(含答案)
圆的基本概念与性质1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )中考说明自检自查必考点中考必做题（7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHGFE DC B A【答案】B【例3】 如图，直线12l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】 如图，ABC ∆内接于O ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．证明：∵P 是优弧ABC 的中点 ∴PB PC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PCPBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二 垂径定理及其应用【例6】 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O 的半径．22ABCAC OD BC BE OB SBOD BOE BAC ⊥+==⋯；；⑨是等腰三角形；⑩∽2）∵OD BC ⊥，1BE CE ==设O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-， 在Rt OEB 中，由勾股定理得：22222224OE BE OB RR +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O 的半径为5．【例7】 如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______【答案】23【例8】 如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =，正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）AA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】 如图，AB 是O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（ ）BAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1B C ．2D ．【答案】D【例12】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2BC ．D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD==，由勾股定理得半径OA =ODCBA【例13】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）． （2）OE5． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米 D．米 【答案】B【例15】 如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8O C C D ==,则AE =_______OBA【答案】2【例16】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】 已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O 的半径。
圆的概念大全及解释
圆的概念大全及解释圆是一种基础的几何图形，其概念涵盖了多个方面。
以下是对圆的概念的全面解释：1.定义：圆是在一个平面内，围绕一个点（称为圆心）并以一定长度为距离（称为半径）旋转一周所形成的封闭曲线。
在平面内，圆也可以定义为到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆心和半径：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个相等的距离就是半径。
圆心一般用字母O表示，半径一般用字母r表示。
3.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
在同一个圆内，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即d=2r。
4.圆的性质：圆具有旋转不变性，即无论圆如何旋转，其形状都不会改变。
此外，圆是轴对称和中心对称的图形，其对称轴是直径所在的直线。
5.圆的周长：圆形一周的长度，就是圆的周长。
圆的周长与直径的比值是一个固定的数，称为圆周率，用字母π表示。
在计算时，通常取π≈3.14。
因此，圆的周长C可以通过公式C=πd或C=2πr来计算。
6.圆的面积：圆所占平面的大小称为圆的面积。
圆的面积可以通过公式S=πr²来计算。
7.圆的方程：在平面直角坐标系中，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心，r是半径。
8.圆的应用：圆在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
例如，衣服上的扣子、吃饭的盘子、车轮、方向盘等都是圆形的。
此外，圆还象征着团圆、圆满等美好寓意，在体育赛事中也经常可以看到圆形的元素，如奥林匹克五环标志等。
总之，圆是一种基础且重要的几何图形，具有独特的性质和广泛的应用。
九年级数学圆的基本概念(含答案)
圆的基本概念中考要求重难点1．揭示圆有关的基本属性；2．能够利用垂径定理解决相关问题．课前预习从前，有一个圆，她每天不停地滚动。
有一天，她失掉了一小片，使自己不完整了，这对她来说是个天大的打击，她为了寻找那一小块碎片，用自己残缺的身子继续滚动，由于缺了一小片，她的滚动力比以前慢了好多，她开始憎恶自己的无能；然而她却慢慢发现，自己滚动的慢了，却正好可以领略沿路的风光：向花儿问好，与虫儿聊天，度过了一般美好的时光。
当然，她最终找到了自己的那一小块碎片。
当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时，却因为太快，再也看不到那些花儿、虫儿。
尽管现在，她又完美了，可实际呢？有人认为，失去完美是世界最大的挫折。
由此，我想到维纳斯。
她失去双臂，这是一个巨大的挫折，可她，却被誉为“美神”、“完美之神”，或许在她丧失双臂，遭受挫折，失去所谓“完美”的同时，又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。
由此，我想到贝多芬。
对于一位音乐巨匠，失去听力和死亡几乎可以划等号。
但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。
我想：如果贝多芬没有失聪，没有遭受挫折，他的交响是否还会如此的意味深远呢？其实相较之下，我更喜欢另一个有关圆的故事——一个圆，不小心掉了一小片，这一小片是她最美丽的部分。
她对于这个打击，自然是悲痛欲绝，穷其全部精力寻找。
她边找边努力让现在的自己具有那一小片的色泽。
她实现了。
尽管由于缺了一小片滚动的不快，却滚出了比原先更绚丽的色彩。
这个故事是我编的。
我给它起了个名字：挫折洗礼后的完美。
追求完美，有人认为完美的人生应为“零挫折”。
大错特错。
没有经过挫折洗礼的完美是肤浅的，浮燥的，不真实的。
“不经历风雨，怎能见彩虹”，其实挫折的洗礼有时是一种不可多得的动力；关键在于对挫折与完美的领悟。
不是吗？例题精讲模块一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( ) （7）两个劣弧之和等于半圆( )（8）半径相等的两个圆是等圆 ( )（9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【难度】1星【解析】这些概念容易混，希望学生能够很好地掌握哦！【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【巩固】在同圆或等圆中，如果AB CD =，则AB 和CD 的关系是（ ）A ．AB CD = B ．AB CD >C ．AB CD < D ． 2AB CD = 【难度】1星【解析】在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，反之也成立。
中考数学考点总动员：专题(16)与圆有关的概念(含答案)
考点十六：与圆有关的概念聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径。
（如图中的CD）直径等于半径的2倍。
4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
名师点睛☆典例分类考点典例一、垂径定理【例1】如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B．考点：1.垂径定理；2.勾股定理.【点睛】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．【举一反三】（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．考点典例二、求边心距【例2】（2015达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，则正六边形的半径为cm．【答案】2．【解析】试题分析：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OAD=60°，∴OD=OA•sin∠OAB=3AO=3，解得：AO=2．故答案为：2．考点：正多边形和圆．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径． 【举一反三】如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A.241 B. 234C. 4D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理. 【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF.在△ADE 和△ABF 中，∵AD ABDAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ABF （SAS ）.∴DE=BF=6. ∵AH ⊥BC ，∴CH=BH.又∵CA=AF ，∴AH 为△CBF 的中位线. ∴AH=12BF=3． 故选D ．考点典例三、最短路线问题【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A． B．1 C． 2 D．2【答案】A.故选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．【举一反三】如图，AB 、CD 是⊙O 两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于E,CD ⊥MN 于点F,P 为EF 上任意一点,，则PA+PC 的最小值为 ▲ ．【答案】72.【解析】由于A 、B 两点关于MN 对称，因而PA+PC=PB+PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即BC 的值就是PA+PC 的最小值．因此， 如答图，连接BC ，OB ，OC ，过点C 作CH 垂直于AB 于H ． ∵AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ， ∴BE=12AB=4，CF=12CD=3. ∴22222222OE OB BE 543OF OC CF 534=-=-==-=-=，. ∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.在Rt △BCH 中根据勾股定理得到2222BC BH CH 7772=+=+=，即PA+PC 的最小值为72．课时作业☆能力提升 一．选择题1．（2015广元）如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ．则下列结论一定错误的是（ ） A ．CE =DE B ．AE =OE C ．BC BD = D ．△OCE ≌△ODE【答案】B．【解析】，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=试题分析：∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，BC BDDO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B．考点：垂径定理．2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A．考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理．3. 已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为【】A. 25cmB. 45cmC. 25cm或45cmD.523cm或43cm【答案】C．【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB⊥CD，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm ，OD=OC=5cm. 当C 点位置如答图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm ，CD⊥AB，∴2222OM OA AM 543=-=-=cm.∴CM=OC+OM=5+3=8cm . ∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4845=+=+=cm. 当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm.∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4225=+=+=cm ． 综上所述，AC 的长为25cm 或45cm . 故选C ．考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4.已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为【 】A ．33B ．36C ．332D ．362【答案】C ．5. 如图，一个边长为4cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等，⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为A ．4cm B.3cm C.2cm D.1.5cm 【答案】 【解析】试题分析：如图作AD ⊥BC ，垂足为点D ，OF ⊥AC ，垂足为点F ，连接OC ，因为△ABC 为等腰三角形，所以∠DAC=30°，所以AD=cos ∠DAC ×AC=cos30°×4=23，因为圆的半径与△ABC 的高相等，所以OC=3，BC 且圆O 于点C ，所以∠BCO=90°，又因为∠ACB=60°，所以∠OCE=30°，CF=cos ∠OCF ×OC=cos30°×3=12，根据垂径定理所以CE=2CF=2.考点：等腰三角形的性质；圆的性质6.（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）A ．2，3πB ．23，πC 3，23π D ．2343π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．二．填空题7.(2015.上海市，第6题，3分)如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是…………………………………………（ ）.A 、AD BD =；B 、OD CD =；C 、CAD CBD ∠=∠； D 、OCA OCB ∠=∠．D CBAO【答案】B 【解析】试题分析：根据垂径定理，可知AD DB =，若再加上OD CD =，则四边形OACB 满足对角线互相平分，可判定为平行四边形；再结合已知条件OC AB ⊥，则满足对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B 符合题意. 考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.8.（2015甘孜州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分半径OA ，则∠ABC 的大小为 度．【答案】30．考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．9.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC=5cm ，CD=6cm ，则OE= cm ．【答案】4.【解析】试题分析：∵CD ⊥AB∴CE=12CD=12×6=3cm ， ∵在Rt △OCE 中，2222534OC CE --=cm ．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．10.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为 ．【答案】3.【解析】连接OC ，由AB=10得出OC 的长，再根据垂径定理求出CE 的长，根据勾股定理求出OE 即可．试题解析：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，AB=10，∴OC=5，∵CD⊥AB ，CD=8，∴CE=4，∴OE=2222543OC CE -=-=．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．11.(2015.宁夏，第13题，3分)如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ．若AB ＝22，∠BCD ＝30°，则⊙O 的半径为_______．【答案】263.【解析】考点：垂径定理；勾股定理.12.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3【解析】试题分析：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=23，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=3，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（3）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．考点：1、垂径定理；2、勾股定理．三、解答题.13.(2015.安徽省，第20题，10分)在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ ．(1)如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．【答案】(1) 6PQ =；（2）332PQ =.试题解析：解：（1）∵OP ⊥PQ,PQ ∥AB,∴OP ⊥AB.在Rt △O PB 中,OP=OB ·tan ∠ABC=3·tan30°=3.连接OQ,在Rt △OPQ 中, PQ ===(2) ∵22229,PQ OQ OP OP =-=- ∴当OP 最小时，PQ 最大，此时OP ⊥BC. OP=OB ·sin ∠ABC=3·sin30°=32.∴PQ =.考点：解直角三角形；勾股定理.。
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热点16 与圆有关的基本概念
（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．在同圆或等圆中，如果
AB CD ，则AB 和CD 的关系（ ） A ．AB=CD B ．AB>CD C ．AB<CD D ．AB=2CD
2．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，两圆的圆心距是6cm ，•则两圆的位置关系是（ ）
A ．内含
B ．外离
C ．内切
D ．相交
3．下列命题中，不正确的是（ ）
A ．圆是轴对称图形；
B ．圆是中心对称图形
C ．过三点一定确定一个圆；
D ．一个三角形只有一个外接圆
4．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）
A ．三条中线的交点；
B ．三条角平分线的交点
C ．三条高的交点；
D ．三条边的垂直平分线的交点
5．下列命题中是假命题的是（ ）
A ．直径是弦；
B ．等弧所在的圆是同圆或等圆
C ．弦的垂直平分线经过圆心；
D ．平分弦的直径垂直于弦
6．若圆的半径是5cm ，圆心的坐标是（0，0），点P 的坐标是（4，2），则点P 与⊙O•的位置关系是（ ）
A ．点P 在⊙O 外
B ．点P 在⊙O 内
C ．点P 在⊙O 上
D ．点P 在⊙O 外或⊙O 上
7．已知等边△ABC 的边长为，如图所示，以A 为圆心的各圆中，•半径是3cm 的圆是（ ）
8．一个点与圆上最近点的距离是4cm ，最远点的距离是为9cm ，则此圆的半径为（• ）
A ．2.5cm 或6.5cm
B ．2.5cm
C ．6.5cm
D ．13cm 或5cm
9．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 、r ，O 1O 2=d ，且R 2-r 2+d 2=2Rd ，则两圆的位置关系是（• ）
A ．内含
B ．内切
C ．相交
D ．相切
10．如图1，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，•则经过
A 、
B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．0个或1个或无数个
l B
(1) (2) (3)
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．半径为2，圆心角为120°的扇形的面积为_________．
12．已知⊙O1和⊙O2外切，且圆心距为10cm，若⊙O1•的半径为3cm，⊙O2•的半径为_____．13．圆的半径为3，则弦长x的取值范围是________．
14．如图2，圆周角∠ACB=34°，则圆心角∠AOB的度数为________．
15．已知一弧的半径为3，弧长为2 ，则此弧所对的圆心角为________．
16．•若一个圆锥的母线长是5cm，•底面半径是3cm，•则它的侧面展开图的面积是_______．17．已知⊙O的半径为6.5cm，点P为直线L上一点，且OP=6.5cm，则直线与⊙O•的位置关系是________．
18．已知⊙O1、⊙O2的半径都等于1，有下列命题：①若O1O2=1，则⊙O1和⊙O2•有两个公共点；②若O1O2=2，则⊙O1与⊙O2外切；③若O1O2≤3，则⊙O1和⊙O2必有公共点．其中正确的命题的序号是_________．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．求证：直径是圆中最长的弦．
20．某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育中心，•在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图3中作出体育中心的位置（不写作法，只保留作图痕迹）．
21．已知直线L：y=x-2，点A（0，-2），点B（2，0），设点P为L上一点，试判断过P、A、•B三点能否作一个圆．
22．如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=8，BC=5，以直线AB为轴将△ABC旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的表面积．
23．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，BC=AB+CD，BC是⊙O的直径，•求证：⊙O与AD相切．
24．相交两圆的公共弦为6，两圆的半径分别为和5，则这两圆的圆心距为多少？
25．如图，BC为⊙O的直径，G是半圆上任一点，点A为 BG的中点，AD⊥BC，求证：（1）BE=AE；（2）AB是BE、BG的比例中项．
答案:
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空题
11．43π 12．7cm 13．0<x ≤6 14．68° 15．120°
16．15πcm 2 17．相交或相切 •18．①②
三、解答题
19．解：已知：如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是任意的一条非直径弦． 求证：AB>CD ．
证明：连结OC 、OD ，则AB=OA+OB=OC+OD ．
在△OCD 中，OC+OD>CD ，所以AB>CD ．
20．解：有四种情况（图略）． 21．解：点A （0，-2），点B （2，0）均在直线y=x-2上，而
点P 也为L 上一点，故过P 、A 、B 三点不能作一个圆．
22．解：过点C 作CD ⊥AB ，则由∠A=30°，知CD=4，则旋转一周的周长为8π，
设旋转体上半部分与下半部分的侧面展开图中的圆心角分别为θ1与θ2， 则1
360θ︒·2π·AC=8π，2
360θ︒·2π·BC=8π，
∴θ1=180°，θ2=288°．
则全面积为180360·π·AC 2+288360
·π·BC 2=52π． 23．证明：过点O 作OE ⊥AD 于E ，则：
//////90AB CD CD OE BA A OB OC OE AD ⎫⎫⎪∠=︒⇒⇒⎬⎬=⎭⎪⊥⎭
OE 是梯形的中位线 ⇒OE=12（BA+CD ）=12
BC ． ∴OE 是半径，∴AD 与⊙O 相切．
24．解：当两圆的圆心在公共弦同侧时，圆心距为1，•
当两圆的圆心在公共弦异侧圆心距为7．
25．证明：（1）BC 是直径 ∠BAC=90°，
9090ABC C AD BC ABC BAD ⇒∠+∠=︒⎫⎬⊥⇒∠+∠=︒⎭
C BAD
A BG C ABG ⇒∠=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭
点是的中点⇒∠BAD=∠ABG ⇒BE=AE ．
（2）连结CG，则在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AB2=BD·BC．
又∵∠BDE=∠BGC=90°，∠GBC=∠GBC，
∴△GBC∽△DBE，BD BE BG BC
．
∴BD·BC=BE·BG．∴AB2=BE·BG．∴AB是BE、BG的比例中项．。