广东揭阳市2011届高三数学上学期学业水平考试 文
广东省揭阳市高三学业水平考试数学试卷(文科)参考答案
2011-2012学年度广东省揭阳市高三学业水平考试数学试卷（文科）参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：1-10 B C B B C A D B C C 解析：1．∵{1,0,1}A =-,210i A +=∈，故选B ．4．由该函数的图象过原点且关于原点对称可排除A 、C ，由()f x 在[0,)+∞为增函数，可排除D ，故选B ． 5．依题意知：1tan 2α=，从而22tan 4tan 21tan 3ααα==-，选C ． 6．由22,13c b a ==⇒=233c e a ⇒===，选A ． 7．()BA BC AF ⋅+=()BA BC CD BA BD ⋅+=⋅=0，选D ．8．由三视图知，该几何体为圆锥，其底面的半径为1,r =高22h =，母线223l r h =+=，故24S rl r πππ=+=表，故选B ．9．∵a b ⊥ ∴2()02x z y z z x y -++=⇒=+，点(,)x y 的可行域如图示，当直线2z x y =+过点（1,1）时，Z 取得最大值，max 213z =+=，选C ． 10．依题意得：111213212223313233a a a a a a a a a ++++++++12223222333936a a a a =++==,选C ．二、填空题：11．{|12}x x x >≠且（或{|122}x x x <<>或；12．27；13．772． 14．82； 15．23．解析：11．由101211x x x x ->⎧⇒>≠⎨-≠⎩且．12．该市当月“pm2．5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333+++++⨯⨯=（天）; 13．====⋅⋅-+=72sin sin ,2160cos 54254022ac A bc B a 77214．把直线和圆的参数方程化为普通方程得,01=++y x 22(3)(1)25x y -++=，于是弦心距,223=d 弦长9225822l =-=．15．∵,PCB PAC CPB APC ∠=∠∠=∠ ∴PBC ∆∽PCA ∆∴1232PB BC BC AC PC AC AC =⇒=⇒= 三、解答题：16．解：（1）∵()sin cos 2),4f x x x x x R π=--∈------------------------------2分∴函数()f x 的最小正周期2T π=--------------------------------------3分（2）函数()f x 2,2-．----------------------------------5分（3）由1()4f α=得1sin cos 4αα-= ∴21(sin cos )16αα-=，------------------------------------------------------6分1151sin 2,sin 21616αα-==----------------------------------------------------7分∴21531(sin cos )1sin 211616ααα+=+=+=---------------------------------------9分 ∵(0,)2πα∈，∴sin cos 0αα+>∴31sin cos αα+=．------------------------------------------------------12分 17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；---4分 二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；---------------5分 三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．--------6分（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，-------------7分记等级系数为7的3件产品分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为8的3件产品分别为1P 、2P 、3P ．则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：121323(,),(,),(,),C C C C C C 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P ,11121321(,),(,),(,),(,),C P C P C P C P 2223(,),(,)C P C P ,3132(,),(,),C P C P 33(,)C P ．共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ，则A 包含的基本事件有 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P 共3种，-------------------------11分 故所求的概率31()155P A ==．-------------------------------------------------12分 18．（1）证明：依题意知图①折前,AD AE CD CF ⊥⊥,-------------------------------1分 ∴,PD PE PF PD ⊥⊥,-------------------------------------------------------2分 ∵PEPF P = ∴PD ⊥平面PEF -----------------------------------4分又∵EF ⊂平面PEF ∴PD EF ⊥----------------------------------------5分（2）解法1：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=12， 在△BEF 中22EF BE ==,-----6分 在PEF ∆中，222PE PF EF PE PF +=∴⊥∴8121212121=⋅⋅=⋅⋅=∆PF PE S PEF -------------------8分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅11113824=⨯⨯=．-----10分【（2）解法2：依题意知图①中AE=CF=12 ∴PE= PF=12，在△BEF 中222EF BE ==,-----------------------6分 取EF 的中点M ，连结PM则PM EF ⊥,∴222PM PE EM -=-------------7分 ∴11221228PEF S EF PM ∆=⋅==---------------8分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅11113824=⨯⨯=．------------------------------10分】 （3） 由（2）知PE PF ⊥,又PE PD ⊥ ∴⊥PE 平面PDF -----------------12分 ∴线段PE 的长就是点E 到平面PDF 的距离--------------------------------------13分 ∵12PE =, ∴点E 到平面PDF 的距离为12．-------------------------------------14分 19．解（1）解法1．依题意得点P 的坐标为(,0)m -．-------1分∵以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切与点P ， ∴MP l ⊥．0(1)112MP l k k m --⋅=⋅=---，解得1m =-．----3分∴点P 的坐标为()1,0．设所求圆的半径r ，则22||112r PM ==+=,------------------------------------5分 ∴所求圆的方程为()222(1)2x y -++=．--------------------------------------6分【解法2．设所求圆的方程为()2222(1)x y r -++=，--------------------------------1分依题意知点P 的坐标为(,0)m -．----------------------------------------------2分 ∵以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切于点(),0P m -，∴222(2)1,21.2m r m r ⎧++=⎪++⎨=⎪⎩解得1,2.m r =-⎧⎪⎨=⎪⎩-------------------------------------------5分∴所求的圆的方程为()222(1)2x y -++=．------------------------------------6分】（2）解法1．将直线方程y x m =+中的y 换成y -，可得直线l '的方程为y x m =--．--------------------------------------------7分由21,.x y m y x m ⎧=⎪⎨⎪=--⎩得20mx x m ++=，(0)m ≠-----------------------------------9分 2Δ14m =-，--------------------------------------------------------------10分∵直线l '与抛物线21:C x y m=相切 ∴0∆=，解得12m =±．----------------------------------------------------12分 当12m =时，直线l 的方程为12y x =+，抛物线C 的方程为22x y =，-------------13分当12m =-时，直线l 的方程为12y x =-，抛物线C 的方程为22x y =-．--------14分【解法2．将直线方程y x m =+中的y 换成y -，可得直线l '的方程为y x m =--．-----7分设直线l '与抛物线21:C x y m=相切的切点为()00,x y ，---------------------------8分 由2y mx =得2y mx '=，则021mx =----①-----------------------------------10分00y x m =--------②200y mx =．---------③①②③联立得1142m m m =-21142m m ⇒=⇒=±，----------------------------12分 当12m =时，直线l 的方程为12y x =+，抛物线C 的方程为22x y =，-------------13分当12m =-时，直线l 的方程为12y x =-，抛物线C 的方程为22x y =-．---------14分】20．解：（1）解法1：∵1240a a +=，12256,a a =且1q >解得12832a a =⎧⎨=⎩---------------2分∴214a q a == ∴11211842n n n n a a q --+==⨯=---------------------------------4分 ∴ 2log n n b a ==212log 221n n +=+--------------------------------------------6分【解法2：由1240a a +=，12256,a a =且1q >得12832a a =⎧⎨=⎩ ∴214a q a ==---------------------------------------------------2分∴112122log log loglog 42,n n n n n na b b a a a +++-=-===----------------------------3分 又1212log log 83,b a ===-------------------------------------------------------4分 ∴{}n b 是以3为首项，2为公差的等差数列，----------------------------------------5分 ∴3(1)221n b n n =+-⨯=+；----------------------------------------------------6分】 （2）当2n ≥时，1121,n n n T T b n ---==- ∴()()()()11232211n n n n n T T T T T T T T T T ---=-+-+-+-+＝()()()()12132123532n n n n --+-+-+++=()()11;n n =-+-----------8分∵当2n ≥时，()()1111111211n T n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，----------------------------10分 ∴21ni i T =∑=2341111nT T T T ++++ 111111111111123243531211n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝111131111.221421n n n n ⎛⎫⎛⎫+--=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭--------------------------------------12分 ∵2n ≥，∴111151236n n +≤+=+ ∴31113151.4214263n n ⎛⎫-+≥-⋅= ⎪+⎝⎭ 又1101n n +>+ ∴311134214n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭ 即对,2n N n *∀∈≥，211334n i i T =≤<∑．----------------------------------------------14分21．解：（1）当1=a 时，32()2f x x x x =--+2'()321f x x x =--=(1)(31)x x -+，------------------------------------------2分 令'()0f x =，解得121,13x x =-=． 当'()0f x >时，得1x >或13x <-； 当'()0f x <时，得113x -<<． 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：------------------------------------4分∴当13x =-时，函数()f x 有极大值，15()=()2,327f x f -=极大-----------------------5分 当1x =时函数()f x 有极小值，()(1)1f x f ==极小---------------------------------6分 （2）∵2'()321f x x ax =--，∴对x R ∀∈，4'()||3f x x ≥-成立， 即24321||3x ax x --≥-对x R ∀∈成立，--------------------------------------7分 ①当0x >时，有213(21)03x a x -++≥，即12133a x x+≤+，对(0,)x ∀∈+∞恒成立，----------------------------------9分∵1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立， ∴212a +≤12a ⇒≤------------------------------------------------------11分 ②当0x <时，有213(12)03x a x +-+≥，即1123||3||a x x -≤+，对(,0)x ∀∈-∞恒成立，∵13||23||x x +≥=，当且仅当13x =-时等号成立，∴11222a a -≤⇒≥-----------------------------------------------------13分 ③当0x =时，a R ∈综上得实数a 的取值范围为11[,]22-．-------------------------------------------14分。
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n
α
4.已知f ( x )是定义在R上的奇函数,当x ≥ 0时f ( x ) = 3 x + m ( m为常数 )，则函数f ( x )的大致图像为( B )
f ( x )为奇函数，图像关于原点对称，f (0) = 0, 且在(0, +∞ )上为增函数 .
5.已知倾斜角为α的直线l 与直线x − 2 y + 2 = 0平行，则 tan 2α的值为( C ) 4 A. 5 3 B. 4 4 C. 3 2 D. 3
pm2.5(毫毫/立立立)
24小时平均浓度 小时平均浓度 (毫克 立方米 毫克/立方米 毫克 立方米)
13.在△ABC中，已知A = 60o , b = 4, c = 5, 则 sin B =
.
a = 4 + 5 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5cos 60 = 21,
2 2 0
bc sin A 2 2 7 ∴ sin B = = = ac 7 7
( A, D ),( A, E ),( A, F ),( B , C ),( B , D ),( B , E ),( B , F ),(C , D ),(C , E ), (C , F ),( D, E ),( D, F ),( E , F ).
(D 其中2件等级系数都是 8的事件有： , E ),( D, F ),( E , F )故所 3 1 求的概率P = = 15 5
频频/组组 160/3 120/3 100/0 160 120 60 20 ( + + + + + ) × 0.005 × 30 = 27 3 3 3 3 3 3
20/3 0 0.065 0.070 0.075 0.0800.0850.0900.0950.1000.105
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绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈+==,2，则（A ）N M =（B ）N M ⊂（C ）M N ⊂（D ）φ=⋂N M（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32 （B ）12 （C ）12- （D ）12i - （3）设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6（5）已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-=（A ）10 （B ）10-（C ）10（D ）10-（6）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（7）对于任意的非零实数m ，直线2y x m =+与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有且只有一个MM M F F F E E E D D D 交点，则双曲线的离心率为（A（B（C ） 2 （D（8）已知曲线ax x x f 2ln )(+=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则a 的值为（A ）1 （B ）－4 （C ）21-（D ）－1 （9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）242 （B ）274（C ）275 （D ）338 图1（10） 函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）在ABC ∆中，有正弦定理：sin sin sin a b cA B C===定值，这个定值就是ABC ∆的外接圆的直径．如图2所示，DEF ∆中，已知DE DF =，点M 在直线EF 上从左到右运动（点M 不与E 、F 重合），对于M 的每一个位置，记DEM ∆的外接圆面积与DMF∆的外接圆面积的比值为λ，那么（A ）λ先变小再变大 （B ）仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值（C ）λ先变大再变小 （D ）λ是一个定值图2 （12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件0,.y x y M x y M ⎧≤≤⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）9（B ）13（C ）16 （D ）18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量)1,1(-=a，)2,(n b = ，若53a b ⋅=，则n = ．（14）偶函数()f x 的图象关于直线3x =对称，(4)4f =，则(2)f -= ．（15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构） 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图3 经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计） （16）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（小题满分12分）已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+． （I ）求n a ；（II ）设12n n n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． （18）（本小题满分12分）如图4，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ， AO=AB=BC=1，3=PC ．（I ）证明：平面POC ⊥平面P AD ；（II ）若P-ABD 与C-PBD 的体积分别为1V 、2V ，求证122V V =． 图4 （19）（本小题满分12分）某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如下表数据：(单位：人)（I 97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？（II ）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为区间[5,7]内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间[6,8]内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（20）（本小题满分12分）已知圆Ｃ过点)0,43(A ，且与直线43:-=x l 相切， （I ）求圆心C 的轨迹方程；（II ） O 为原点，圆心C 的轨迹上两点M 、N （不同于点O ）满足0=⋅，已知13OP OM =，13OQ ON =，证明直线PQ 过定点，并求出该定点坐标和△APQ 面积的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
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绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}23B x x =≤，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}1,0,1- （C ）{}3,2,1,0,1,2--- （D ）[]0,2（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32（B ）12（C ）12-（D ）12i -（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）6（4）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + （5）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（6）若命题：“20,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则a 的取值范围是（A ）(,8][0,)-∞-+∞ （B ）(8,0)-（C ）(,0]-∞（D ）[8,0]-（7）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（8）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（A ）3-（B ）2-（C ）3（D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是 （A ）1234 （B ）2017 （C ）2258 （D ）722（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（A ）5204（B ）4568（C ）1568（D ）568（11）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= 图1 （A ）1817 （B ）1217- （C ）417-（D ）417（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）29（B ）25（C ）18 （D ）16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）在8)1(xx -的展开式中，常数项是 ．（14）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为,a b 为实半轴长和 虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 . （15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知正项数列{}n a 的首项11a =，且对一切的正整数n ，均有:211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=，则数 图2列{}n a 的通项公式n a = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2c o s 20C a c --=．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离． （18）（本小题满分12分）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，3=PC ．(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(Ⅱ）若AD=2，P A=PD ，求CD 与平面P AB 所成角的余弦值． 图3（19）（本小题满分12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金． （Ⅰ）经统计，消费额X 服从正态分布)625,150(N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大． （20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1, 0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ．(Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．（21）（本小题满分12分）设a >0，已知函数)ln()(a x x x f +-=(x >0)．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(0,)+∞上是否有两个零点，并说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． (Ⅰ)若1m =，求函数)(x f 的值域； (Ⅱ)若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．B ,y 1)x揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（9） 输出结果为：2921211122221121-+++++=+=-（10）31363318()4568C C P C ==； （11）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+，由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174x x --则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=.（12）由2222290ab a b ++-=结合222aba b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在 区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点 有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.二、填空题：解析：（15）==522=30222V V V V =+⨯⨯⨯长方体长方体长方体.（16）由211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=1(1)(1)(1)0n n n n n a a na a +⇒++-+=，1(1)[(1)]0n n n a n a na +⇒++-=11n n a na n +⇒=+，则1212112112n n n n a a a n n a a a n n -----⋅=⋅-，1n a n⇒=. 三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2cos 20C a c --=，=1b 结合余弦定理得：22120a c a c a+---=，-------------------------------------------------------------------------------2分221a c ac ⇒+-=-，----------------------------------------------------------------------------------3分则2222211cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-，-----------------------------------------------------5分∵0B π<< ∴23B π=.---------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ) 设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理知122sin sin 3b R B π===-------------------------------------------------------------------9分故R =,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 则△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离6d ==.---------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分 （Ⅱ）解法1：由O 是AD 中点，P A=PD ，得PO ⊥AD ； 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O -xyz ， ---------- 7分 得)0,1,0(-A ，)0,1,1(-B ，)2,0,0(P ，)0,0,1(C ，)0,1,0(D ， 得)0,1,1(-=CD ，)2,1,0(--=PA ，)0,0,1(=AB ，E设),,(z y x m =是平面P AB 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m PA m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=--=⋅002x m z y m ，取z =1，得)1,2,0(-=m，----------------------------------------------------------------------------------10分 设CD 与平面P AB 所成角为θ，则|||||,cos |sin m CD m⋅=><=θ33322=⋅=， ∴36cos =θ，即CD 与平面PAB------------------------------12分【解法2：连结OB ，∵OD//BC ，且OD=BC ∴BCDO 为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分由（Ⅰ）知OC ⊥平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，----------------------------------------------------8分过点O 作OE ⊥PA 于E ，连结BE ，则OE ⊥平面PAB ， ∴∠OBE 为CD 与平面PAB 所成的角，----------------------10分 在Rt △OEB中，∵PO AO OE PA ⋅==,OB =,∴cos BEOBE OB∠=== 即CD 与平面P AB--------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）依题意得150=μ，6252=σ，得25=σ，σμ2100-=， ------------ 1分消费额X 在区间（100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分人数约为)2(1000μσμ≤<-⨯X P 29544.01000⨯==477人，------------------------3分其中中奖的人数约为477×0.6=286人； -------------------------------------------------------- 4分（Ⅱ）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布)6.0,3(B ，k k kC k P -⋅==334.06.0)(ξ，（k=0, 1, 2, 3） ----------------------------------------------------6分故ξ的分布列为-----------8分（Ⅲ）A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35， 所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ，∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+，---------------------------2分 由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-， ∴所求曲线T 的方程为21y x =-------------------- 4（Ⅱ）解法1：设000(,)(0)P x y x ≠， 由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===---------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为20041(8x x -设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①-----------8分在①中，令001,0x y =±=得35(1)()()084x x y y ++++=，------------------------②35(1)()()084x x y y --++=， -----------------------------------------------------------③由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或 0,1.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩--------------------------------------------------------------10分将30,4x y ==-代入①式，左边=20041335()()8444x y -+---+0011022y y =-==右边， 即以PQ 为直径的圆过点3(0,)4-，--------------------------------------------------------------------11分将10,2x y ==-代入①式，左边≠右边，∴以PQ 为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4---------------------------------------------12分【解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x === -----------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x ---------------------------------------------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()08x x x x y y y x ---+-+=------①------------8分假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ， 则0)45)(()8121)((0000=+-++--b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， )45)(1()45(81823212000202++++--+-+b b x b x a ax x a 0)45)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ，令43,0-==b a ，上式恒成立， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-----------------------------------------------12分】【解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===------------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --------------------------------------------6分假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ， 则由0PH QH ⋅=得20000415()()084x x t y t x -⋅+-+=------① --------------------------------------8分001355()()02844y t t y t +++-+=，031()()042t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4---------------------------12分】（21）解：（Ⅰ）ax xx f +-=121)('，----------------------------------------------------------------1分0)2(220)('22>+-+⇔>+⇔>a x a x x a x x f ，0)2(20)('22<+-+⇔<a x a x x f ，设22)2(2)(a x a x x g +-+=，则)1(16a -=∆， ①当1≥a 时，0≤∆，0)(≥x g ，即0)('≥x f ， ∴)(x f 在),0(∞+上单调递增；-----------------------------------------------------------------3分②当10<<a 时，0>∆， 由0)(=x g 得a a aa x ---=---=122214241，aa x -+-=1222，-----------------------------------------------------------------------------4分可知210x x <<，由)(x g 的图象得：)(x f 在)122,0(a a ---和),122(∞+-+-a a 上单调递增；--------------------5分)(x f 在,122(a a ---)122a a -+-上单调递减． ---------------------------------6分（Ⅱ）解法1：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分假设函数)(x f 有两个零点，由（Ⅰ）知，10<<a ， 因为0ln )0(>-=a f ，则0)(2<x f ，即)ln(22a x x +<， 由0)('2=x f 知222x a x =+，所以）（222ln x x <，设t x =2，则)2l n(t t <（＊）， -----------------------------------------------------------------9分 由)4,1(1222∈-+-=a a x ，得)2,1(∈t ，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ， -------------------------------------------------10分所以)(t h 在)2,1(递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即)2ln(t t >，这与（＊）式矛盾， ---------------------------------------------------------------------------------11分所以上假设不成立，即函数)(x f 没有两个零点． ------------------------------------------12分【解法2：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分由（Ⅰ）知当1≥a 时，函数)(x f 在),0(∞+上单调递增，∴函数)(x f 在),0(∞+上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分当10<<a 时，∵0ln )0(>-=a f ，由（Ⅰ）知当2x x =时，()f x 有极小值，22()=()ln()f x f x x a =+极小11)]=-，---------------------9分1,t =则12t <<，()ln(2)f x t t =-极小，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ，------------------------------------------------------10分∴)(t h 在)2,1(单调递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即()0f x >极小，可知当10<<a 时，函数)(x f 在(0,)+∞不存在零点；综上可得函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分（23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，-------------------------------------------------3分 3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；------------------------------ 5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++，------------------------------- -6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ； --------------------- 7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ； --------------- 8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解； ------------------------9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． -----------------------------------------------------10分。
揭阳市20102011学年度高中三年级学业水平考试
揭阳市2010-2011学年度高中三年级学业水平考试文科综合本试卷分选择题和非选择题两部分，共41题，共10页，满分300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷和答题卡上。
用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各小题指定的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡和答题卷的整洁。
考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回。
第一部分选择题（共140分）一、选择题：每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
本大题共35小题，每小题4分，满分140分。
24．2010年1月13日国务院决定加快推进电信网、广播电视网和互联网三网融合，到2015年全面实现三网融合发展。
推进三网融合①就要打破行业和部门垄断，发挥政府在资源配置中的基础性作用②是市场经济开放性的要求③发挥了新兴经济对国民经济的拉动作用，但增加了消费者的负担④有利于优化资源配置，节约成本A．①②B．③④C．②④D．①③25．财政投资乘数效应是指政府财政投资支出的每1元，通过市场可以形成大于1元的对物品和劳务的总需求。
右图是财政投资乘数效应的过程示意图。
根据所学经济生活知识，图中a、b、c处依次应该填入①经济增长，财政收入增加②企业增加投资，居民消费增长③企业生产扩大，就业增加A．①→③→②B．③→②→①C．③→①→②D．②→③→①26．甲商品价格（P甲）与乙商品需求量（Q乙）之间存在如图1所示关系。
在其他条件不变的情况下，下列判断正确的是①甲商品价格上升会使乙商品价格下降②甲商品的需求量受乙商品价格的影响③甲商品价值量降低时，人们对乙商品的需求增加④人们的某一特定需要，甲乙两种商品都可以满足A．①②B．①④C．②③D．②④27．佛山市拟在五个城区主要路段禁行电动自行车方案公示后，很多市民通过打电话、报纸留言、网络评议等方式积极参与讨论，方案经过适当调整修改，最后获得了大多数市民的认同。
广东省揭阳市2011届高三化学上学期学业水平考试
2009—2010学年度揭阳市高三级学业水平考试理科综合本试卷分单项选择题、双项选择题和非选择题三个部分。
满分300分。
考试时间150分钟。
注意事项：1．本次考试选择题用答题卡作答，非选择题用答题卷作答。
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上。
用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名和考生号，用2B型铅笔把答题卡上考生号、科目对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 O 16 C 12 N 14 Na 40一、单项选择题（本题包括16小题，每小题4分，共64分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）7．下列说法正确的是A．醋酸纤维、橡胶、腈纶都属于合成高分子化合物B．加新制的Cu(OH)2悬浊液并加热可检验尿液中的葡萄糖C．油脂在酸的催化作用下可发生水解，工业上利用该反应生产肥皂D．向蛋白质溶液中加入浓的Na2SO4或CuSO4溶液均可使蛋白质盐析而分离提纯8．亚硝酸钠（NaNO2）可将人体血红蛋白中的Fe2+离子转化为Fe3+离子，生成高铁血红蛋白而丧失与氧气结合的能力，误食亚硝酸钠中毒，可服维生素C缓解。
下列叙述中表现亚硝酸钠和维生素C的性质正确的是A．氧化性和还原性B．还原性和氧化性C．氧化性和酸性D．还原性和碱性9．N A表示阿伏加德罗常数，下列说法中正确的是A．1 mol FeCl3跟水完全反应转化为氢氧化铁胶体后，其中胶体粒子的数目为N AC．由2H和18O所组成的水11g，其中所含的中子数为4N AC．2.3 g Na和足量的O2完全反应，在常温或燃烧时，转移电子数均为0.1N AD．500mL0.1mol•L－1盐酸溶液中，含有HCl分子数目为0.05 N A10．下图所示为实验室中完成不同的化学实验所选用的装置或进行的操作，其中没有明显错误的是A．实验Ⅰ：测定中和热B．实验Ⅱ：用石灰石和稀盐酸制CO2C．实验Ⅲ：蒸馏石油D．实验Ⅳ：配制溶液中转移溶液11．常温下，一定量的醋酸与氢氧化钠溶液发生中和反应，当溶液中A．c（CH3COO－）= c（Na+）时，醋酸与氢氧化钠恰好完全中和B．c（CH3COO－）> c（Na+）> c（H+）> c（OH－）时，不一定是醋酸过量C．c（Na+）> c（CH3COO－）> c（OH－）> c（H+）时，一定是氢氧化钠过量D．c（CH3COO－）= c（Na+）时，该溶液一定呈中性12．X、Y、Z是3种短周期元素，其中X、Y位于同一族，Y、Z处于同一周期。
广东省揭阳市高三数学上学期学业水平考试试题文
1揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则AB =(A) {12}， (B) {012}，， (C) {1} (D) {123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i --(B) 12i -+ (C) 12i --(D)12i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-，则()a b a -⋅=(A) 8 (B)5 (C) 4 (D) 4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为 (A)31 (B)3 (C) 12(D) 16 6．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是2(A)12(B)23(C)31 (D)147．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是 (A) 12 (B)32 (C) 1 (D) 38．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+的最大值和最小正周期分别为(A)1,2π (B) 1,π (C) 1,22π (D)1,2π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为 (A)9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.9152 10．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为(A)(B)(C)(D) 11．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=，则||QF =(A)3 (B)4 (C)6 (D)812．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为(A) 4m >或4m <- (B)45m << (C)48m << (D)5m >或4m =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13． 已知121(),(,1);4()log ,[1,).xx f x x x ⎧∈-∞⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩，则((2))f f -= ．14．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为 ．i =1输入S =15否i =i +1开始结束输出Si >n ？S ＝S (1-20%)是图131Bx时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图415．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截 去部分的几何体的表面积为 ． 16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n n n a n n π=-⋅+⋅，其前n 项和为n S ，则10S 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C sin cos A a C =. （I ）求C 的值；（II ）若c ，b =ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”， 若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”； （Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率. 19．（本小题满分12分）如图4，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的 等边三角形，D 为AB 中点．(Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且1A D =求多面体11CAC BD 的体积. 20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4. 图34图4OEBD CPA （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln ,b x f x a x x+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1x xf x x +>-22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图5，四边形ABCD 内接于，过点A 作的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知025PAB ∠=．（I ）若BC 是⊙O 的直径，求D ∠的大小；(II ）若025DAE ∠=，求证：2DA DC BP =⋅． 23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值. 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|2|f x x =-.（Ⅰ）解不等式()(1)2f x f x ++≤；（Ⅱ）若0a <,求证：()()(2).f ax af x f a -≥图55揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：BCADAC DBCACD 解析：9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)x S =-，结合程序 框图易得当4n =时，415(120%) 6.144S =-=．10. 设半球的半径为r ，依题意可得2222r +=，解得r =所以此半球的体积为323r π=.11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：|'|||2|'|||3FF PF QQ PQ ==|'|6QQ ⇒=.12. 令sin ,x u =则(0,1]u ∈，关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解等价于方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解2160,0.8m m ⎧∆=-=⎪⇔⎨>⎪⎩或(1)50f m =-<，解得4m =或5m >.[或方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解等价于直线y m =与关于u 的函数14y u u=+，(0,1]u ∈图象有唯一交点，结合图象易得．二、填空题：13.4-；14. -8；15.54+16.687．解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为22365424⨯+=+16.21010(2)(2)(2)S =-+-++-cos 2cos 210cos10πππ++++102[1(2)]5687.1(2)---=+=--三、解答题： 17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，x=-2y 2=8xyxOF 'Q 'F (2,0)QP6sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：sin sin a Ac C==------------------------------------------------------------3分⇒tan C =,-----------------------------------------------------------------4分 ∵0C π<< ∴6C π=.--------------------------------------------------------5分（II ）解法1：∵c =，b =由余弦定理得：227122a a =+-⨯----------------------------------------7分 整理得： 220a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）--------------------------9分 ∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=得 ABC ∆的面积111222ABC S ∆=⨯⨯=．--------------------------------------12分【解法2：由c结合正弦定理得：sin 14A C ==，---------------------6分 ∵a c <， ∴A C <, ∴cos 14A ==,-----------------------------7分∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+12=----------------------------9分 由正弦定理得：sin 1sin b Aa B==，-------------------------------------------------10分 ∴ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=------------------------------------12分】 18.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------------------2分7D 1B 1C 1A 1DCBAEB 1C 1A 1DCBAEHB 1C 1A 1DCBA（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，--------------------3分 不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ；------6分 成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .---------------------------7分若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；-------------------------------------------8分 若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分 事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P（||20m n ->）=63.105=----------------------------------------------------12分 19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD ∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD ------------------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】 (Ⅱ) 222115AD +A A =A D = 1,A A AD \^-------------------------------------7分又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^， 又ADBC B = 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分111111133ABCACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯8112ABC AA S ∆=⋅⨯2112222=⋅⋅=即所求多面体11CAC BD分 【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C 平面111A B C 11B C =∴1A H ⊥平面11BB C C ,----------------------------------------------------------10分 ∴所求多面体的体积V =1111A ACD A ACC V V --+1111133BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅11114243232=⨯⨯+⨯⨯分】 20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>--------------------------------1分由题意22224a b c a c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,a b =-----------------------------------------4分所以，椭圆的方程为22142y x +=．-------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由椭圆的方程22142y x +=，得(1,P ．-------------------------------------6分 由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PA 的斜率为k ，则PA的直线方程为(1)y k x =-．--------------------------------------------7分由22(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得：222(2)2))40k x k k x k ++-+--=．-------------8分 设A (x A , y A )，B (x B , y B )，则22212A A k x x k--=⋅=+，-------------------------------9分同理可得B x =分9(1)ln ()1x xf x x +>-则22B A x x k -=+，28(1)(1)2B A B Ak y y k x k x k -=----=+． 所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-为定值．----------------------------------12分21.解：（Ⅰ）∵2(),a bf x x x'=-----------------------------------------------------1分由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)得(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩------------------------------------------------------3分 解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x+>⇔-->---------------------------6分当01x <<时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x+>⇔--<------------------------------7分令22211221()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x -+'=--=+-=∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1x xf x x +>-成立------------------------------10分当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1x xf x x +>-也成立-------------------------11分所以当0x >且1x ≠时，不等式 总成立----------------------------12分 22.解：（I ）EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分又BC 是⊙O 的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分 四边形ABCD 内接一于⊙O，0180ABC D ∴∠+∠=0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分10（II ）025,DAE ∠=,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠.ADC PBA ∴∆∆---------------------------------------------------------------7分 .DA DC BP BA∴=-------------------------------------------------------------------8分 又,DA BA =2.DA DC BP ∴=⋅--------------------------------------------------10分 23.解：（I ）直线l40y +-=，------------------------------------2分曲线C 的直角坐标系方程为2216.x y +=--------------------------------------------4分 （II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离2,d ==------------------------------------------------------------6分∴121cos,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠<1,23AOB π∴∠=故23AOB π∠=．-----------------------------------------------10分 24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤ ---------------------------------------------1分 当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即112x ≤≤；------------------------------------2分当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；------------------------------------3分当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即522x <≤.--------------------------------------4分综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. -------------------------------------------5 分11 （II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分 =2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分 22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分 所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分。
2011届揭阳市一模(理)
揭阳市2011年高中毕业班高考第一次模拟考数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k knn P P C k P --=)1()(．锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高．一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()lg(1)2x f x x x=---的定义域是A . (0, 2)B . (1,2)C . (2,)+∞D . (,1)-∞oyxoy xoy xoxy 侧视图正视图D C B A 2.已知复数(tan 3)1i z i θ--=,则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知(2,1,3)a =- ，(1,2,1)b =- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为A . －2B .143-C .145D . 24.已知函数(),0(),0.f x x yg x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =的图象过点(2,1)，则()y g x =对应的图象大致是A B C D5. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为6. 已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π， 则为得到函数()y f x =的图象可以把函数sin y x ω=的图象上所有的点A . 向右平移6π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;B . 向右平移3π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;C . 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的12倍;开始i ＝1S ＝0D . 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.7. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B 、C 、D 中选择，其他四个号码可以从09 这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有．A ．180种B ．360种C ．720种D ．960种 8. 已知直线:60l x y +-=和M ：222220x y x y +---=，点A 在直线l 上，若直线AC 与M 至少有一个公共点Ｃ，且30MAC ∠= ，则点A 的横坐标的取值范围是. A .(0,5) B .[1,5] C .[1,3] D .(0,3] 二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知1{1,,1,2}2α∈-，则使函数y x α=在[0,)+∞上单调递增的所有α值为 .10.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0, b ＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .11.已知α为锐角，且4cos(),45πα+=则cos α= .12.记函数2()2f x x x =-+的图象与x 轴围成的区域为M ,满足0,,2.y y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩的区域为N ，若向区域M 上随机投一点P ，则点P 落入区域N 的概率为 .13. 某市新年第一个月前10天监测到空气污染指数如下表（主要污染物为可吸入颗粒物）：（第i 天监测得到的数据记为i a ）i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.080.09(重量/克)0.050.045155105055004954900.020.030.06频率/组距0.010.07产品重量（克）频数（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]（510,515]481486D EACB在对上述数据的分析中，一部分计算见右图所示的算法流程图 (其中a 是这10个数据的平均数)，则输出的S 值是 ，S 表示的样本的数字特征是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选做题）如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E,连结AE ，已知ED=3, BD=6 ,则线段AE 的长＝ .15.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数，2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数），若1l //2l ，则k = ；若12l l ⊥，则k = .三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为２，公比为12的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项n a 及n S ；（2）设数列{}n n b a +是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17.(本小题满分12分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．i a 61 59 60 57 60 63 60 6257 61第13题图第14题图HGDE FABC表１：（甲流水线样本频数分布表） 图1：（乙流水线样本频率分布直方图） （1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” ．甲流水线乙流水线合计 合格品 a = b = 不合格品 c =d =合 计n =附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)18.(本小题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD 中，2BC =， BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（1）求证：GH ∥平面CDE ； （2）记CD x =，()V x 表示四棱锥F-ABCD 体积，求()V x 的表达式；（3）当()V x 取得最大值时，求平面ECF 与平面ABCD所成的二面角的正弦值．19.(本小题满分1４分)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南 偏西60°的方向以每小时６千米的速度步行了１分钟以后，在点D 处 望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的 最大值为60．（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； （2）求塔的高AB. 20.(本小题满分14分）2()p K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.（1）求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；（2）已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点，E,F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.21.(本小题满分14分）已知函数()||,()f x x x a a R =-∈（1）若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；（2）若对(0,1]x ∀∈都有()(,f x m m R m <∈是常数）,求a 的取值范围．揭阳市2011年高中毕业班高考第一次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．一．选择题：BCDB CADB 解析： 2. ∵(tan 3)1(tan 3)i z i i θθ--==-+，当3πθ=时，z i =是纯虚数，反之当z 是纯虚数时，θ未必为3π，故选C.66y=6-xy xOCBAM 3. (2,12,3)a b λλλλ-=--- ，由()a a b λ⊥-得2(2)12930λλλ--+-+-=2λ⇒=，选D.4. 依题意易得2()log f x x =（0x >）因函数的图象关于y 轴对 称，可得2()log ()g x x =-（0x <）,选B.5. 依题意可知该几何体的直观图如右，其俯视图应选C.6. 依题意知2ω=，故()2sin(2)3f x x π=-2sin 2()6x π=-，故选A.7. 共有1111153444960A A A A A ⋅⋅⋅⋅=种，选D.8. 如右图，设点A 的坐标为00(,6)x x -，圆心M 到直线AC 的距离为ｄ，则||sin 30d AM = ，因直线AC 与M 有交点，所以||sin 302d AM =≤2200(1)(5)16x x ⇒-+-≤015x ⇒≤≤，故选B.二．填空题： 9. 1,1,22；10.（－4,0），（4,0）、3y x =±； 11. 7210； 12.34；13. 3.4、样本的方差；14. 33；15. 4、－１. 解析：10. 依题意得双曲线的焦点坐标为（－４，０），（４，０），由22ce a a==⇒=∴2223b c a =-=，∵双曲线的焦点在x 轴，∴双曲线的渐近线方程为3y x =±.11. cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1027(1,1)2y=2-xy=x oyxD EACB12. 如图由定积分的几何意可得区域M 的面积，22(2)M S x x dx =-+=⎰1(3-32204)|3x x +=，区域N 的面积12112N S =⨯⨯=,由几何概型的概率计算公式可得所求的概率34N M S P S ==.14. ∵,E E EAD EBA ∠=∠∠=∠∴EDA ∆∽EAB ∆AE EDBE AE⇒=2AE ED BE ⇒=⋅39=⨯33AE ⇒=.15. 将1l 、2l 的方程化为直角坐标方程得：1:240l kx y k +--=，2:210l x y +-=，由1l //2l 得24211k k +=≠⇒4k =,由12l l ⊥得220k +=1k ⇒=-三、解答题：16. 解：（1）∵数列{}n a 是首项12a =，公比12q =的等比数列∴1212()22n n n a --=⋅=，--------------------------------3分12(1)124(1)1212n n nS -==--.------------------------------6分（2）依题意得数列{}n n b a +的公差2(2)22d --==----------------- -7分∴22(1)24n n b a n n +=-+-=- ∴2242nn b n -=----------------------------------------------9分设数列{}n n b a +的前ｎ项和为n PH G EFA则(224)(3)2n n n P n n -+-==---------------------------------10分∴221(3)4(1)3422nn n n nT P S n n n n -=-=---=--+.--------- -12分（其他解法请参照给分） 17. 解：（１）甲流水线样本的频率分布直方图如下：-----------------------------------------------4分（２）由图１知，乙样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故合格品的频率为360.940=，据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率0.9P =,----------------------------------------------------------------------------6分 设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则(5,0.9)ξ ∴3325(3)(0.9)(0.1)0.0729P C ξ===．即从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率为0.0729．------8分 （3）22⨯列联表如下：-------10分∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝280(120360) 3.11766144040⨯-≈⨯⨯⨯ 2.706>∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．-------------12分 18、（1）证法１：∵//EF AD ,//AD BC ∴//EF BC 且EF AD BC == ∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点-------------2分 又∵G 是FD 的中点 ∴//HG CD ---------------------------------------3分甲流水线乙流水线合计合格品 a =30 b =36 66 不合格品c =10d =414 合 计40 40 n =80HGDEFABCMz HGEF∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE ---------------------------------4分 证法２：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点 -------1分∴在⊿EAB 中，//GH AB ------------------------------------------------------------------2分 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD ，-----------------------------------------------------------------3分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE ---------------------------------------------------4分 （2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD且F A ⊥AD ， ∴F A ⊥平面ABCD .----------------------------------- ---------------6分∵BD ⊥CD, 2BC =，CD x = ∴F A =2,24BD x =-（02x <<）∴ ABCD S CD BD =⋅ ＝24x x - ∴212()433ABCD V x S FA x x =⋅=- （02x <<）---------------------8分（3）要使()V x 取得最大值，只须24x x -＝22(4)x x -（02x <<）取得最大值，∵222224(4)()42x x x x +--≤=，当且仅当224,x x =-即2x =时()V x 取得最大值-----------------------------------------------------------------------------10分解法１：在平面DBC 内过点D 作DM BC ⊥于M ，连结EM ∵BC ED ⊥ ∴BC ⊥平面EMD ∴BC EM ⊥∴EMD ∠是平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的平面角-------12分 ∵当()V x 取得最大值时，2CD =,2DB =∴112DM BC ==,225EM ED DM =+=∴25sin 5ED EMD EM ∠==即平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的正弦值为255.--------------------------------------14分 解法２：以点D 为坐标原定，DC 所在的直线为ｘ轴建立空间直角 坐标系如图示，则(0,0,0)D ,(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)C B E∴(0,0,2)DE = ,(2,0,2)EC =- ,(0,2,2)EB =--------12分设平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，平面ECF 的法向量(,,)n a b c =由,,n EC n EB ⊥⊥得220,220a c b c -=-=令1c =得(2,2,1)n = 又∵平面ABCD 的法向量为DE∴25cos 5||||25DE n DE n θ⋅===⋅⋅∴25sin 5θ=.-------------------------14分19、解：（１）依题意知在△DBC 中30BCD ∠= ,18045135DBC ∠=-=CD=6000×160＝100(ｍ),1801353015D ∠=--=，------3分由正弦定理得sin sin CD BCDBC D=∠∠∴sin 100sin15sin sin135CD D BC DBC ⋅∠⨯==∠＝6210050(62)450(31)222-⨯-==-（ｍ）-----6分在Rt △ABE 中，tan AB BEα=∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE CD ⊥------------------8分 当BE CD ⊥时，在Rt △BEC 中cos EC BC BCE =⋅∠350(31)25(33)2=-⋅=-(ｍ),--------------------9分设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟， 则25(33)606060006000EC t -=⨯=⨯334-=（分钟）------------------------------------------10分（２）由（１）知当α取得最大值60°时， BE CD ⊥，在Rt △BEC 中,sin BE BC BCD =⋅∠--------------------- -----------12分∴tan 60sin tan 60AB BE BC BCD =⋅=⋅∠⋅＝150(31)325(33)2-⋅⋅=-（m ）即所求塔高为25(33)-m.----------------------------------------- -----14分 20、解：（１）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2my x =+------------------------①-----1分直线22A N 的方程为：(2)2ny x =--------------------------------------------②----------2分设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22(4)4mn y x =--由3mn = 整理得22143x y +=----------------------------------------5分∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上-----------------6分∴轨迹M 的方程为22143x y +=（2x ≠±）-----------------------------------7分（2）∵点(1,)A t (0t >)在轨迹M 上 ∴21143t +=解得32t =，即点A 的坐标为3(1,)2------------------------------------------------8分 设AE k k =，则直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=并整理得2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=-------------------------------------10分设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F , ∵点3(1,)2A 在轨迹M 上，∴2234()122x 34E k k--=+ ------③, 32E E y kx k =+------④----------------------------11分又0AE AF k k +=得AF k k =-，将③、④式中的k 代换成k -，可得2234()122x 34F k k+-=+，32F F y kx k =-++-----------------------------------------------12分∴直线EF 的斜率()2F E F E EF F E F Ey y k x x k K x x x x --++==--∵2228624,4343E F F Ek kx x x x k k -+=-=++∴22222862(86)2(43)1432424243EF k k kk k k k k K k k k --⋅+--+++===+即直线EF 的斜率为定值，其值为12--------------------------------------------------------14分21、解：（1）当2a =时，不等式()f x x <即|2|x x x -<显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<<---------------------------------2分当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<-3x ⇒>或1x < ∴0x <------------------------------------------------------------------4分 综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或-----------------5分 （2）∵对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，显然0m >即()m x x a m -<-<⇒对(0,1]x ∀∈，m mx a x x-<-<恒成立⇒对(0,1]x ∀∈，m mx a x x x-<<+-------------------------------------6分设(),(0,1]m g x x x x =-∈，()mp x x x=+，(0,1]x ∈则对(0,1]x ∀∈，m mx a x x x-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈----8分∵2'()1,mg x x=+当(0,1]x ∈时'()0g x >∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()1g x m =----------------------------9分又∵2'()1m p x x =-＝2()()x m x m x -+，当1m ≥即1m ≥时，对于(0,1]x ∈，'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数∴min ()(1)1p x p m ==+-------------------------------------------------11分 当1m <，即01m <<时，当(0,]x m ∈，'()0p x ≤ 当(,1]x m ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，min ()()2p x p m m ==-----------------------------------12分（或当01m <<时，在(0,1]上，()mp x x x=+22m x m x ≥⋅=，当x m =时取等号）又∵当01m <<时，要max min ()()g x a p x <<即12m a m -<<还需满足21m m >-解得3221m -<<∴当3221m -<<时，12m a m -<<；-----------------------------------------------13分 当1m ≥时，11m a m -<<+．----------------------------------------------------------------14分。
广东省揭阳市高三数学上学期期末考试试题 文(含解析)新人教A版
2012-2013学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）=（）==2222=2的标准形式为：=2=26．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是，得线段，，可得线段，即，四边形7．（5分）等比数列{a n}中a1=512，公比，记（即表示数列{a n}的前n项之积），，，，中值为正数的个数是（），故奇数项为正数，偶数项为负数．∴，，，8．（5分）（2013•河东区二模）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）时，总共经过了9．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本中心点为（4，5），若解释变量的值10．（5分）定义域R的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时f（x）+xf'（x）＜0恒成立，二、填空题：本题共4小题，满分共20分，把答案填在答题卷相应的位置上．手，抽到高一男生的概率是0.2，则高二的学生人数为1200 ．，再由=0.2=0.212．（5分）（2011•朝阳区三模）如果实数x，y满足条件那么2x﹣y的最大值为 1 ．13．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是．，则底面面积=4V=SH=82．14．（5分）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．cosA=，三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函数g（x）=f（x）•f'（x）的最小值及相应的x值的集合；（2）若f（x）=2f′（x），求的值．利用和角正切公式可求得，即∴cosx=3sinx，故16．（12分）设事件A表示“关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根”．（1）若a、b∈{1，2，3}，求事件A发生的概率P（A）；（2）若a、b∈[1，3]，求事件A发生的概率P（A）．．17．（14分）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．，可得轨迹方程，从而可得动点，，．得，即．）满足题意，则，∴．上存在点的面积18．（14分）已知梯形ABCD中AD∥BC，，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥B C，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；（2）当x变化时，求三棱锥D﹣BCF的体积f（x）的函数式．19．（14分）（2013•浙江模拟）数列{a n}的前n 项和，若，．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{b n}的前n项和T n．，，）利用，得，由，解得，故也适合．；．20．（14分）二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x，若g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．，又由最小值是，联合解之即可；．）的最小值是，故，得a≠0，故．）的减区间是，解得，故．）的减区间是，解得。
广东省揭阳市高三上学期期末学业水平考试数学(理科)试卷 Word版含答案
绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}23B x x =≤，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}1,0,1-（C ）{}3,2,1,0,1,2--- （D ）[]0,2（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32（B ）12（C ）12-（D ）12i -（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）6（4）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + （5）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥ （C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（6）若命题：“20,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则a 的取值范围是（A ）(,8][0,)-∞-+∞ （B ）(8,0)-（C ）(,0]-∞ （D ）[8,0]-（7）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（8）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（A ）3-（B ）2-（C ）3（D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是 （A ）1234 （B ）2017 （C ）2258 （D ）722（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（A ）5204（B ）4568（C ）1568（D ）568（11）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= 图1 （A ）1817 （B ）1217- （C ）417-（D ）417（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）29（B ）25（C ）18 （D ）16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）在8)1(xx -的展开式中，常数项是 ．（14）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为,a b 为实半轴长和 虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 . （15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知正项数列{}n a 的首项11a =，且对一切的正整数n ，均有:211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=，则数 图2列{}n a 的通项公式n a = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2c o s 20C a c --=．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离． （18）（本小题满分12分）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，，3=PC ．(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(Ⅱ）若AD=2，P A=PD ，求CD 与平面P AB 所成角的余弦值． 图3（19）（本小题满分12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金． （Ⅰ）经统计，消费额X 服从正态分布)625,150(N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大． （20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1, 0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ．(Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．（21）（本小题满分12分）设a >0，已知函数)ln()(a x x x f +-=(x >0)．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(0,)+∞上是否有两个零点，并说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． (Ⅰ)若1m =，求函数)(x f 的值域； (Ⅱ)若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．B ,y 1)x揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（9） 输出结果为：2921211122221121-+++++=+=-（10）31363318()4568C C P C ==； （11）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+，由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174x x --则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=.（12）由2222290ab a b ++-=结合222aba b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在 区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点 有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.二、填空题：解析：（15）==522=30222V V V V =+⨯⨯⨯长方体长方体长方体.（16）由211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=1(1)(1)(1)0n n n n n a a na a +⇒++-+=，1(1)[(1)]0n n n a n a na +⇒++-=11n n a na n +⇒=+，则1212112112n n n n a a a n n a a a n n -----⋅=⋅-，1n a n⇒=. 三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2cos 20C a c --=，=1b 结合余弦定理得：22120a c a c a+---=，-------------------------------------------------------------------------------2分221a c ac ⇒+-=-，----------------------------------------------------------------------------------3分则2222211cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-，-----------------------------------------------------5分∵0B π<< ∴23B π=.---------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ) 设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理知122sin sin 3b R B π===-------------------------------------------------------------------9分故R =,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 则△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离d ===---------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分 在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分 又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分 （Ⅱ）解法1：由O 是AD 中点，P A=PD ，得PO ⊥AD ； 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O -xyz ， ---------- 7分 得)0,1,0(-A ，)0,1,1(-B ，)2,0,0(P ，)0,0,1(C ，)0,1,0(D ， 得)0,1,1(-=CD ，)2,1,0(--=PA ，)0,0,1(=AB ，E设),,(z y x m =是平面P AB 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m PA m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=--=⋅002x m z y PA m ，取z =1，得)1,2,0(-=m，----------------------------------------------------------------------------------10分设CD 与平面P AB 所成角为θ，则|||||,cos |sin m CD m⋅=><=θ33322=⋅=， ∴36cos =θ，即CD 与平面PAB所成角的余弦值为3 ------------------------------12分【解法2：连结OB ，∵OD//BC ，且OD=BC ∴BCDO 为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分由（Ⅰ）知OC ⊥平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，----------------------------------------------------8分过点O 作OE ⊥PA 于E ，连结BE ，则OE ⊥平面PAB ， ∴∠OBE 为CD 与平面PAB 所成的角，----------------------10分 在Rt △OEB中，∵PO AO OE PA ⋅==,OB =∴cos 3BEOBE OB∠===,即CD 与平面P AB所成角的余弦值为3． --------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）依题意得150=μ，6252=σ，得25=σ，σμ2100-=， ------------ 1分消费额X 在区间（100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分人数约为)2(1000μσμ≤<-⨯X P 29544.01000⨯==477人，------------------------3分其中中奖的人数约为477×0.6=286人； -------------------------------------------------------- 4分（Ⅱ）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布)6.0,3(B ，k k k C k P -⋅==334.06.0)(ξ，（k=0, 1, 2, 3） ----------------------------------------------------6分故ξ的分布列为-----------8分（Ⅲ）A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35， 所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ，∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+，---------------------------2分 由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-， ∴所求曲线T 的方程为21y x =-------------------- 4（Ⅱ）解法1：设000(,)(0)P x y x ≠， 由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===---------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为20041(8x x -设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①-----------8分在①中，令001,0x y =±=得35(1)()()084x x y y ++++=，------------------------②35(1)()()084x x y y --++=， -----------------------------------------------------------③由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或 0,1.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩--------------------------------------------------------------10分将30,4x y ==-代入①式，左边=20041335()()8444x y -+---+0011022y y =-==右边， 即以PQ 为直径的圆过点3(0,)4-，--------------------------------------------------------------------11分将10,2x y ==-代入①式，左边≠右边，∴以PQ 为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4---------------------------------------------12分【解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x === -----------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x ---------------------------------------------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()08x x x x y y y x ---+-+=------①------------8分假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ， 则0)45)(()8121)((0000=+-++--b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， )45)(1()45(81823212000202++++--+-+b b x b x a ax x a 0)45)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ，令43,0-==b a ，上式恒成立， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-----------------------------------------------12分】【解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===------------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --------------------------------------------6分假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ， 则由0PH QH ⋅=得20000415()()084x x t y t x -⋅+-+=------① --------------------------------------8分001355()()02844y t t y t +++-+=，031()()042t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4---------------------------12分】（21）解：（Ⅰ）ax xx f +-=121)('，----------------------------------------------------------------1分0)2(220)('22>+-+⇔>+⇔>a x a x x a x x f ，0)2(20)('22<+-+⇔<a x a x x f ，设22)2(2)(a x a x x g +-+=，则)1(16a -=∆， ①当1≥a 时，0≤∆，0)(≥x g ，即0)('≥x f ， ∴)(x f 在),0(∞+上单调递增；-----------------------------------------------------------------3分②当10<<a 时，0>∆， 由0)(=x g 得a a aa x ---=---=122214241，aa x -+-=1222，-----------------------------------------------------------------------------4分可知210x x <<，由)(x g 的图象得：)(x f 在)122,0(a a ---和),122(∞+-+-a a 上单调递增；--------------------5分)(x f 在,122(a a ---)122a a -+-上单调递减． ---------------------------------6分（Ⅱ）解法1：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分假设函数)(x f 有两个零点，由（Ⅰ）知，10<<a ， 因为0ln )0(>-=a f ，则0)(2<x f ，即)ln(22a x x +<， 由0)('2=x f 知222x a x =+，所以）（222ln x x <，设t x =2，则)2l n (t t <（＊）， -----------------------------------------------------------------9分 由)4,1(1222∈-+-=a a x ，得)2,1(∈t ，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ， -------------------------------------------------10分所以)(t h 在)2,1(递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即)2ln(t t >，这与（＊）式矛盾， ---------------------------------------------------------------------------------11分所以上假设不成立，即函数)(x f 没有两个零点． ------------------------------------------12分【解法2：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分由（Ⅰ）知当1≥a 时，函数)(x f 在),0(∞+上单调递增，∴函数)(x f 在),0(∞+上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分当10<<a 时，∵0ln )0(>-=a f ，由（Ⅰ）知当2x x =时，()f x 有极小值，22()=()ln()f x f x x a =+极小11)]=-，---------------------9分1,t =则12t <<，()ln(2)f x t t =-极小，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ，------------------------------------------------------10分∴)(t h 在)2,1(单调递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即()0f x >极小，可知当10<<a 时，函数)(x f 在(0,)+∞不存在零点；综上可得函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分（23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，-------------------------------------------------3分 3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；------------------------------ 5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++，------------------------------- -6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ； --------------------- 7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ； --------------- 8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解； ------------------------9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． -----------------------------------------------------10分。
广东省揭阳市2011届高三上学期学业水平考试(数学文)1
广东省揭阳市2011届高三上学期学业水平考试（数学文）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卷的选择题答题区上将对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A. A B ⊂≠B. B A ⊂≠C. A B B =UD. A B =∅I2．已知复数z 满足(1)2i z -=，则z 为A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i -- 3．已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--，则2log (4)f 的值为 A. 3 B. 4 C. 6 D. －64．若(,3),(,2)a xb x ==-，则“x =a b ⊥”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++的值为A. 18B. 27C. 36D. 54 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α⊂，则l m // D.若l α//，m α//，则l m //7．已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=. A.711 B. 117- C. 113- D. 1138．已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标是3，则点M 到双曲线左焦点的距离是A.4B.1)C. 1)D.8俯视图左视图主视图9．在ABC ∆中,若1c =，a =23A π∠=，则b 为. 10．已知(){},|8,0,0,x y x y x y Ω=+≤≥≥(){},|2,0,30A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投1个点P ，则点P 落入区域A 的概率为 A.14 B. 716 C. 34 D. 316二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．命题P ：“2,12x Rx x∃∈+<”的否定P ⌝为： 、P ⌝的真假为12．如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数S= .13. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如上图所示,根据图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C 上的点到直线220x y -+=的距离的最大值为 . 15．(几何证明选讲选做题) 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =则切线AD 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分） 已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域； (2)求函数()f x 的单调增区间．24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图0.02频率/cm 甲DC B AF E 乙DC B A如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱 AC 、AD 的中点. （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积.18. （本题满分14分） 为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2. 表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在165180cm :的概率； （3）从样本中身高在180:190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185:190cm 之间的概率。
2011年揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考 文-推荐下载
x
1234
f (x) 1 3 1 3
13. 某市新年第一个月前 10 天监测到空气污染指数如下表
（主要污染物为可吸入颗粒物）：（第 i 天监测得到的数据记为 ai ）
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D． {8,10}
D. (1, )
D． 26
6.
A. y 3 x 2
已知函数 y
图象大致是
o
A.
y
f (x), x g(x), x
x
B. y
0 0.
7. 已知 为锐角，且 cos( ) 4 , 则 cos 的值为. 65
43 3
A.
10
8. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图 （又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图 所示，则其俯视图为.
A． (, 2]
B．{0,8,10} C．{6,8,10}
B. (2, )
3. 已知复数 z (tan 3)i 1 ,则“ ”是“ z 是纯虚数”的
i
3
C. (1, 2]
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 设向量 a (1, 2),b (2, y),若a则/ /b, | 3a b | 等于
一. 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1. 已知集合U {0, 2, 4,6,8,10} ， A {2, 4,6} ，则 CU A
2011广东各地试题分类汇编—数列
2011广东各地高三上期末考试题分类汇编—数列一、选择题1、（佛山2011普通高中高三教学质量检测（一））在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k =A ．22B ．23C ．24D ．252、（高州长坡中学2011高三上期末考试）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = （ ）A ．2B ． 4C ．152D ．1723、（高州三中2011高三上期末）在等差数列{}n a 中，若4a +6a +8a +10a +12a =120，则210a -12a 的值为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．284、（高州三中2011高三上期末）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）A ．16（n--41） B ．16（n--21） C ．332（n --41） D ．332（n--21） 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若100101OB a OA a OC =+，且 A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于（ ）A ．100B ．101C ．200D ．201 6、（惠州2011高三第三次调研考试）已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,57、（江门2011高三上期末调研测试）两个正数a 、b 的等差中项是2，一个等比中项是3，则双曲线12222=-by a x 的离心率是A ．3B ．10C ．310 D ．10或3108、（揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的值（ ）A ．18B ．27C ．36D ．549、（肇庆中小学教学质量评估10-11学年高三上期末）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若22=S ，104=S 则=6SA ．12B ．18C ．24D ．3010、（珠海2011届高三上期末考试题）若110lg lg lg lg 1092=++++x x x x ，则x x x x 1092lg lg lg lg ++++ 的值是A ．1022B ．1024C ．2046D ．2048答案：1、A2、C3、C4、B5、A6、【解析】C ； 根据题中规律，有()1,1为第1项，()1,2为第2项，()1,3为第4项，…，()5,11为第56项，因此第60项为()5,7．7、D 8、C 9、C 10、C二、填空题 1、（高州长坡中学2011高三上期末考试）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ． 2、（高州市大井中学2011高三上期末考试）已知函数()31xf x x =+， 对于数列{}n a 有1()n n a f a -=（n N *∈，且2n ≥），如果11a =，那么2a = ，n a = ．3、（广州2011高三上期末调研测试）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若246,30S S ==，则6S = .4、（茂名2011高三上期末考试）若数列{}n a 满足122(2)n n a a d n -=+≥， 且1234567,,,,,,a a a a a a a 的方差为4，则d =________5（汕头10-11学年普通高中毕业班教学质量监测）在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx =+⎰，则公比q 为 ．6、（中山2011届高三上期末统考）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)2,(2*1≥∈++=-n N n n S S n n ，11a =，则5S = ．答案：1、26.2n n -+ 2、14，132n a n =-（n N *∈） 3、126 4、±2 5、3 6、23三、解答题1、（佛山2011普通高中高三教学质量检测（一））设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2nn na b =的前n 项和为n T ，求n T .2、（高州长坡中学2011高三上期末考试）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．3、（高州三中2011高三上期末考试试题）等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设)(2*N n a b n n ∈-=，}{n b 中的部分项n k k k b b b ⋅⋅⋅,,21恰好组成等比数列，且63,141==k k ，求数列}{n k 的通项公式；（III ）设)(*N n nS c nn ∈=，求证：数列}{n c 中任意相邻的三项都不可能成为等比数列．4、（高州市大井中学2011高三上期末考试）已知数列}{n a ，其前n 项和为237()22n S n n n N *=+∈．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和；（Ⅲ）设9(27)(21)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T > 对一切n N *∈都成立的最大正整数k 的值．5、（广州2011高三上期末调研测试）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中， 对于一切n ∈N *,有nk ==且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.6、（惠州2011高三第三次调研考试）2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .7、（江门2011高三上期末调研测试）某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元。
广东省揭阳市高三数学上学期学业水平考试试题 理 新人
揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,,,n x x x L的标准差，s = 其中x 表示样本均值．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}210A x x =-=，(){}10B x x x =-=，则A B ⋃=A. {}1,1-B. {}0,1C.{}0,1-D. {}0,1,1- 2．设i 为虚数单位，复数()21z i =+，则z 的共轭复数为A. 2i -B. 2iC. 22i - D ．22i +3．已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝ 4．已知数列}{n a 的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．1125．已知||6a =r ，||4b =r ，r a 与b r 的夹角为120°，则(2)(3)a b a b +⋅-r r r r的值是.A ．-84B ．144C ．-48D ．-726．若变量,x y 满足约束条件2040330x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，且35z x y =+，则3log 2z 的最大值为A ．18B ．2C ．9D ．331log 47．图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100) 的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为A ．82B ．70C ．48D ．308．已知函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +、(1)f x -都是奇函数，则A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. (5)f x +是偶函数D.(7)f x +是奇函数二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________. 10．函数()1xf x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是 ．11．在61()x x-的二项展开式中，常数项等于 .12．抛物线218y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．13．在区域02,0 4.x y π≤≤⎧⎨≤≤⎩中随机取一点(,)P a b ,则满足sin 1b a ≥+的概率为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<中，曲线2cos ρθ=与24cos 30ρρθ-+=EADCB P的交点的极坐标为 ． 15. （几何证明选讲选做题）如图4，锐角三角形ABC 是一块钢板的余料，边BC=24cm ，BC 边上的高 AD=12cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则这个正方形零件的面积为 cm 2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，b =（1）求a 和c 的值；（2）求cos()B C -的值．17．（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =L 的同（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ， 求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图5，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）已知1AP =，AD =EC 与平面ABCD 所成的角为α，且tan α=，求二面角D AE C --的大小． 图519．（本小题满分14分）已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，． （1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）证明：12233334n n x x x +++<L ．20．（本小题满分14分）已知双曲线C 的焦点分别为12(F F -,且双曲线C 经过点P .（1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B 在直线x=上，且0⋅=u u u r u u u rOA OB ，是否存在以点O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）若实数x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m . （1）若23-x 比1更接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个正数a 、b ，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：DACB CBAD解析：7．由图2知，输出的2345+s A A A A =++，由图1知16(0.00240.0012)50100A A +=+⨯⨯18=,故s=100-18=82，选A.8．由(1)f x +、(1)f x -都是奇函数得(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x --=--，从而有()(2)f x f x =--，()(2)f x f x =---，故有(2)(2)f x f x -=--(2)(2)f x f x ⇒+=-(4)()f x f x ⇒+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，因(1)f x -为奇函数，8也是函数()f x 的周期，所以(7)f x +也是奇函数.选D.二、填空题：9.π；10.y x =-；11. 20-；12.(42,4)(2,4)-或；13.34；14.11(3,)(3,)66ππ或； 15. 64. 解析：13.如图，满足sin 1b a ≥+的点(,)P a b 落在图中阴影部分，根 据对称性易得其面积为14462πππ+⋅=，故所求概率6384P ππ==. 或208(sin 1)63884x dxP πππππ-+===⎰. 三、解答题： 16．解：（1）∵4cos 5B =>0 ∴02B π<< ∴23sin 1cos 5B B =-=--------------1分 由13sin 22S ac B ==,得5ac =-------------------①-------------------------------3分由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,∴2226a c +=---------------②-------------5分由①②结合a c >，解得5,1a c ==.-----------------------------------------------7分(2)由正弦定理知sin sin b c B C =，∴sin sin c B C b=210=，---------------------------9分∵a c >，∴02C π<<,∴22cos 1sin 10C C =-=,---------------------------------------------------10分∴cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+------------------------------------------11分4232510510=⨯+⨯31250=.---------------------------------------------------12分17.解：（1）由61(7076727072)756x +++++=，---------------------------------2分OEADCBPEP解得690x=，-------------------------------------------------------------------3分这6位同学成绩的标准差：7s ===.------6分（2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2 . -----------------------------------------------------7分且34361(0)5C P C ξ===，-----------------------------------------------------------8分2142363(1)5C C P C ξ===，-----------------------------------------------------------9分1242361(2)5C C P C ξ===，--------------------------------------------------------10分∴ξ的分布列为------------------------------11分ξ的数学期望：1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=.---------------------------------------12分18.解：(1)证明：连结BD 交AC 于点O ，连接EO .∵ABCD 为矩形，∴O 为BD 的中点-------------------1分 又E 为PD 的中点，∴EO ∥PB . ----------------------2分 ∵EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ．----------------------------------3分 （2）过点E 作EF//PA 交AD 于F ，连结FC ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴EF⊥平面ABCD ,且1122EF PA ==∴ECF α∠=-------------------------------------4分OQPBCDAE由tan 6EF FC α==得FC =---------------------5分则32CD ==，------------------------6分 解法一：过D 作DQ AE ⊥交AE 于点Q ，连结CQ ，∵PA ⊂面PAD ，∴面PAD ⊥面ABCD ，----------7分 又面PAD ⋂面ABCD AD =，CD AD ⊥ ∴CD ⊥面PAD--------------------------------8分 AQ ⊂Q 面APD CD AQ ∴⊥，且DQ AQ Q ⋂=AQ ∴⊥面CDQ ，故AQ CQ ⊥---------------------------------------------------9分∴DQC ∠是二面角D AE C --的平面角. -----------------------------------------10分 ∵1AP =,AD =∴6PDA π∠=又∵E 为PD 的中点，∴6EAD EDA π∠=∠=--------------------------------------11分在t AQD R ∆中，12DQ AD ==∴3tan CDCQD DQ ∠===-----------------------------------------------13分∵0CQD π<∠<3CQD π∴∠=，即二面角D AE C --的大小为3π.---------------------------------14分【解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，-7分则(000)A ，，，3(00)2B ，，，(0D，3(2C ，(00,1)P ，，----------------------8分故1(0)2E ，，Oz yxPBCDAE13(0),(222AE AC ==u u u r u u u r ，，,3(00)2AB =u u u r ，，，-----------9分由条件可知，3(00)2AB =u u u r ，，为平面ADE 的一个法向量，------10分设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则由00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur，得1022302y z x +=⎪⎨⎪+=⎪⎩，取2x =，得3y z ==，∴(2,n =r---------------------------------------------------------------12分设二面角D AE C --的大小为θ，则cos cos ,AB n θ=u u u r r 12||||AB n AB n ⋅==⋅u u u r ru u ur u u r ， 3πθ∴=，即二面角D AE C --的大小为3π．-------------------------------------14分】19.解：（1）由(1)1f =，得3a b += 由1()2f =34得24a b += 解得2,1a b ==， 3()21∴=+xf x x ，----------------------------------------------2分2133392()()328212x f x f ⨯∴====⨯+-----------------------------------------------3分32927()()826x f x f ===---------------------------------------------------------4分（2）解法一：由13()21n n n n x x f x x +==+且0n x ≠得：1211211333n n n nx x x x ++==+⋅，-------5分 即11111(1)3n nx x +-=-，----------------------------------------------------------7分∵131,=2n x x ≠否则与矛盾 ∴1111131n nx x +-=-，------------------------------------8分 ∴数列1{1}n x -是以11113x -=-为首项，公比为13的等比数列，∴11111()33n n x --=-⨯，331n n n x =-.-----------------------------------------------9分【解法二：由132=x ，23927826==x x ，，猜想3()31+=∈-n n n x n N .---------------------6分下面用数学归纳法证明. ①当n = 1猜想显然成立；②假设当n = k （1≥k ）结论成立，即331kk k x =-，则当1n k =+时，111133331()321312131k k k k k k k k k k x x f x x ++++-====+-⋅+-， 即当1=+n k 猜想成立. ----------------------------------------------------------8分综合①、②可知猜想对+∈n N 都成立. 即3()31+=∈-nn nx n N -------------------------9分】（3）证法一：由331n n n x =-得1331n n nx =-， ∵111131331233123nn n n n -----=⋅-=⋅+-≥⋅-------------------------------------11分 ∴111111,(1,2,...,)331233123k k k k k k a k n ---==≤=-⋅+-⋅----------------------------12分∴122211*********3(1)(1)13332333243413n n n n n a a a --+++≤++++=⋅=-<-L L ． ∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分以下其它解法请参照给分。
广东省揭阳市高三上学期期末学业水平考试数学(理科)试卷 Word版含答案
绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}23B x x =≤，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}1,0,1- （C ）{}3,2,1,0,1,2--- （D ）[]0,2（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32（B ）12（C ）12-（D ）12i -（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）6（4）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + （5）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（6）若命题：“20,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则a 的取值范围是（A ）(,8][0,)-∞-+∞ （B ）(8,0)-（C ）(,0]-∞（D ）[8,0]-（7）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（8）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（A ）3-（B ）2-（C ）3（D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是 （A ）1234 （B ）2017 （C ）2258 （D ）722（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（A ）5204（B ）4568（C ）1568（D ）568（11）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= 图1 （A ）1817 （B ）1217- （C ）417-（D ）417（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）29（B ）25（C ）18 （D ）16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）在8)1(xx -的展开式中，常数项是 ．（14）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为,a b 为实半轴长和 虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 . （15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知正项数列{}n a 的首项11a =，且对一切的正整数n ，均有:211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=，则数 图2列{}n a 的通项公式n a = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2c o s 20C a c --=．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离． （18）（本小题满分12分）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，3=PC ．(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(Ⅱ）若AD=2，P A=PD ，求CD 与平面P AB 所成角的余弦值． 图3（19）（本小题满分12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金． （Ⅰ）经统计，消费额X 服从正态分布)625,150(N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大． （20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1, 0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ．(Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．（21）（本小题满分12分）设a >0，已知函数)ln()(a x x x f +-=(x >0)．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(0,)+∞上是否有两个零点，并说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． (Ⅰ)若1m =，求函数)(x f 的值域； (Ⅱ)若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．B ,y 1)x揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（9） 输出结果为：2921211122221121-+++++=+=-（10）31363318()4568C C P C ==； （11）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+，由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174x x --则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=.（12）由2222290ab a b ++-=结合222aba b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在 区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点 有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.二、填空题：解析：（15）==522=30222V V V V =+⨯⨯⨯长方体长方体长方体.（16）由211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=1(1)(1)(1)0n n n n n a a na a +⇒++-+=，1(1)[(1)]0n n n a n a na +⇒++-=11n n a na n +⇒=+，则1212112112n n n n a a a n n a a a n n -----⋅=⋅-，1n a n⇒=. 三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2cos 20C a c --=，=1b 结合余弦定理得：22120a c a c a+---=，-------------------------------------------------------------------------------2分221a c ac ⇒+-=-，----------------------------------------------------------------------------------3分则2222211cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-，-----------------------------------------------------5分∵0B π<< ∴23B π=.---------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ) 设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理知122sin sin 3b R B π===-------------------------------------------------------------------9分故R =,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 则△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离6d ==.---------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分 （Ⅱ）解法1：由O 是AD 中点，P A=PD ，得PO ⊥AD ； 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O -xyz ， ---------- 7分 得)0,1,0(-A ，)0,1,1(-B ，)2,0,0(P ，)0,0,1(C ，)0,1,0(D ， 得)0,1,1(-=CD ，)2,1,0(--=PA ，)0,0,1(=AB ，E设),,(z y x m =是平面P AB 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m PA m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=--=⋅002x m z y m ，取z =1，得)1,2,0(-=m，----------------------------------------------------------------------------------10分 设CD 与平面P AB 所成角为θ，则|||||,cos |sin m CD m⋅=><=θ33322=⋅=， ∴36cos =θ，即CD 与平面PAB------------------------------12分【解法2：连结OB ，∵OD//BC ，且OD=BC ∴BCDO 为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分由（Ⅰ）知OC ⊥平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，----------------------------------------------------8分过点O 作OE ⊥PA 于E ，连结BE ，则OE ⊥平面PAB ， ∴∠OBE 为CD 与平面PAB 所成的角，----------------------10分 在Rt △OEB中，∵PO AO OE PA ⋅==,OB =,∴cos BEOBE OB∠=== 即CD 与平面P AB--------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）依题意得150=μ，6252=σ，得25=σ，σμ2100-=， ------------ 1分消费额X 在区间（100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分人数约为)2(1000μσμ≤<-⨯X P 29544.01000⨯==477人，------------------------3分其中中奖的人数约为477×0.6=286人； -------------------------------------------------------- 4分（Ⅱ）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布)6.0,3(B ，k k kC k P -⋅==334.06.0)(ξ，（k=0, 1, 2, 3） ----------------------------------------------------6分故ξ的分布列为-----------8分（Ⅲ）A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35， 所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ，∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+，---------------------------2分 由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-， ∴所求曲线T 的方程为21y x =-------------------- 4（Ⅱ）解法1：设000(,)(0)P x y x ≠， 由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===---------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为20041(8x x -设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①-----------8分在①中，令001,0x y =±=得35(1)()()084x x y y ++++=，------------------------②35(1)()()084x x y y --++=， -----------------------------------------------------------③由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或 0,1.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩--------------------------------------------------------------10分将30,4x y ==-代入①式，左边=20041335()()8444x y -+---+0011022y y =-==右边， 即以PQ 为直径的圆过点3(0,)4-，--------------------------------------------------------------------11分将10,2x y ==-代入①式，左边≠右边，∴以PQ 为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4---------------------------------------------12分【解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x === -----------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x ---------------------------------------------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()08x x x x y y y x ---+-+=------①------------8分假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ， 则0)45)(()8121)((0000=+-++--b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， )45)(1()45(81823212000202++++--+-+b b x b x a ax x a 0)45)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ，令43,0-==b a ，上式恒成立， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-----------------------------------------------12分】【解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===------------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --------------------------------------------6分假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ， 则由0PH QH ⋅=得20000415()()084x x t y t x -⋅+-+=------① --------------------------------------8分001355()()02844y t t y t +++-+=，031()()042t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4---------------------------12分】（21）解：（Ⅰ）ax xx f +-=121)('，----------------------------------------------------------------1分0)2(220)('22>+-+⇔>+⇔>a x a x x a x x f ，0)2(20)('22<+-+⇔<a x a x x f ，设22)2(2)(a x a x x g +-+=，则)1(16a -=∆， ①当1≥a 时，0≤∆，0)(≥x g ，即0)('≥x f ， ∴)(x f 在),0(∞+上单调递增；-----------------------------------------------------------------3分②当10<<a 时，0>∆， 由0)(=x g 得a a aa x ---=---=122214241，aa x -+-=1222，-----------------------------------------------------------------------------4分可知210x x <<，由)(x g 的图象得：)(x f 在)122,0(a a ---和),122(∞+-+-a a 上单调递增；--------------------5分)(x f 在,122(a a ---)122a a -+-上单调递减． ---------------------------------6分（Ⅱ）解法1：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分假设函数)(x f 有两个零点，由（Ⅰ）知，10<<a ， 因为0ln )0(>-=a f ，则0)(2<x f ，即)ln(22a x x +<， 由0)('2=x f 知222x a x =+，所以）（222ln x x <，设t x =2，则)2l n(t t <（＊）， -----------------------------------------------------------------9分 由)4,1(1222∈-+-=a a x ，得)2,1(∈t ，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ， -------------------------------------------------10分所以)(t h 在)2,1(递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即)2ln(t t >，这与（＊）式矛盾， ---------------------------------------------------------------------------------11分所以上假设不成立，即函数)(x f 没有两个零点． ------------------------------------------12分【解法2：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分由（Ⅰ）知当1≥a 时，函数)(x f 在),0(∞+上单调递增，∴函数)(x f 在),0(∞+上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分当10<<a 时，∵0ln )0(>-=a f ，由（Ⅰ）知当2x x =时，()f x 有极小值，22()=()ln()f x f x x a =+极小11)]=-，---------------------9分1,t =则12t <<，()ln(2)f x t t =-极小，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ，------------------------------------------------------10分∴)(t h 在)2,1(单调递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即()0f x >极小，可知当10<<a 时，函数)(x f 在(0,)+∞不存在零点；综上可得函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分（23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，-------------------------------------------------3分 3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；------------------------------ 5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++，------------------------------- -6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ； --------------------- 7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ； --------------- 8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解； ------------------------9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． -----------------------------------------------------10分。
揭阳市届高三上学期学业水平考试(理数)
揭阳市2012届高三上学期学业水平考试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合2{|1,}A x y x x Z ==-∈，则A ．i A ∈B ．2i A ∈C ．3i A ∈D ．4i A ∉2．已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，则tan 2α的值为 A.45 B. 34 C. 43 D. 233．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3xf x m =+（m 为常数），则3(log 5)f -的值为A. 4B.4-C.6D. 6-4．双曲线2213x y -=的一个焦点到它的渐近线的距离为 A. 1 B.2 C.3 D.25．“2a =”是 “函数()2xf x ax =-有零点”的．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6．如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则()BA BC CF ⋅+的值为 A.34 B.32 C. 32 D.32-7．已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥，若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为A.1B.2C.3D.4 8．已知函数()|1|()f x x x x R =-∈,则不等式1()4f x >的解集为 A.12(,)2--∞ B.1(,)2+∞ C.1212(,)22-+ D.12(,)2++∞二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题） 9. 设 i 是虚数单位，若复数1a ii+-为纯虚数，则实数a 的值为 . 10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且151,9a a ==，则6S = . 11．近年来，随着以煤炭为主的能 源消耗大幅攀升、机动车保有量急 剧增加，我国许多大城市灰霾现象 频发，造成灰霾天气的“元凶”之一 是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.右图是某市某 月（按30天计）根据对“pm2.5” 24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标． 12．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法共有 种．（用数字作答） 13．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6，则该 几何体体积的最大值为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题) 直线2()1x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数被圆35cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的弦长为 . 15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 和割线PBA ，已知PC=2PB ，3BC =,则AC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos(),f x x x x R π=+-∈． (1) 求函数()f x 的最小正周期； (2) 求函数()f x 的最大值和最小值；(3) 若1(),(0,)42f παα=∈，求sin cos αα+的值．17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准. （1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润y （单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：1,352,574.7y ξξξ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X ，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望．18. （本小题满分14分） 已知函数321()2,3f x x bx x a =-++2x =是()f x 的一个极值点. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若当[1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围. 19．（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、 F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将 △AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点P 得一三棱锥如图②示. （1）求证：PD EF ⊥;（2）求三棱锥P DEF -的体积； （3）求DE 与平面PDF 所成角的正弦值．20．（本小题满分14分）已知定点A （-3,0），MN 分别为x 轴、y 轴上的动点（M 、N 不重合），且MN AN ⊥,点P 在直线MN 上，32NP MP =. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是曲线228150x y x +-+=上任一点，试探究在轨迹C 上是否存在点T ？使得点T 到点Q 的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知113x =，21n n n x x x a +=+-．（n N *∈，a 为常数） （1）若14a =，求证：数列1lg()2n x ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）在（1）条件下，求证：51(),()62n n x n N *≤-∈；（3）若0a =，试问代数式2011111n nx =+∑的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：BCBA ACCD解析：1．∵{1,0,1}A =-,21i =-，故选B.2．依题意知：1tan 2α=，从而22tan 4tan 21tan 3ααα==-,选C. 3．由()f x 是定义在R 上的奇函数得(0)101f m m =+=⇒=-，3log 533(log 5)(log 5)(31)f f -=-=--4=-,选B.4．双曲线的一个焦点为(2,0)，一条渐近线方程为13y x =，可得焦点到它的渐近线的距离为|20|131-=+，选A. 5．若2a =，则函数()2xf x ax =-必有零点，反之函数()2xf x ax =- 有零点，a 未必为2.故选A.6．由余弦定理得1||11211()32BF =+-⨯⨯⨯-=,3()13cos302BA BC CF BA BF ⋅+=⋅=⨯=,选C. 7．∵a b ⊥ ∴2()02x z y z z x y -++=⇒=+，点(,)x y 的可行域如图示， 当直线2z x y =+过点（1,1）时，Z 取得最大值，max 213z =+=，选C.8．在同一坐标系内作出函数()|1|f x x x =-和14y =的图象如图， 利用数形结合易得答案选D.二．填空题：9. 1；10. 36；11. 27；12. 30；13.π． 14. 82；15. 23.解析：10．易得661611,3()36a S a a ==+=. 11．该市当月“pm2.5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333+++++⨯⨯=（天）;12．间接法.2222444230C C C C ⋅-=（种）；直接法：分成两类：有一门相同的有111432C C C 种，两门相同的有24C 种，至少一门相同有1112432430C C C C +=（种）13．由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为r ，高为h ，则42623r h r h +=⇒+=，2V r h π=3()3r r h ππ++≤=（当r h =时“=”成立）或2V r h π==2(32)r r π-，2'[2(32)2]6(1)V r r r r r ππ=--=-，令'0V =得1r =，当(0,1)r ∈时，'0V >,当(1,)r ∈+∞时，'0V <，故当1r =时，V 有最大值，max V π=，14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得,01=++y x 22(3)(1)25x y -++=，于是弦心距,223=d 弦长9225822l =-=. 15．∵,PCB PAC CPB APC ∠=∠∠=∠ ∴PBC ∆∽PCA ∆ ∴1232PB BC BC AC PC AC AC =⇒=⇒= 三．解题题：16．解：（1）∵()sin cos 2sin(),4f x x x x x R π=-=-∈------------2分∴函数()f x 的最小正周期2T π=---------------------3分（2）函数()f x 的最大值和最小值分别为2,2-．----------------5分 （3）由1()4f α=得1sin cos 4αα-= ∴21(sin cos )16αα-=，----------------------------6分1151sin 2,sin 21616αα-==----------------------------------7分∴21531(sin cos )1sin 211616ααα+=+=+=-------------------9分∵(0,)2πα∈，∴sin cos 0αα+>∴31sin cos 4αα+=．---------------------------12分 17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2----4分 二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；------5分 三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-----6分 （2）∵X 的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1） 可得(1)0.5P X ==,(2)0.3P X ==,(4)0.2P X ==--8分 ∴可得X 的分布列如右：---------------------------10分X1 2 4 ()P X 0.50.30.2其数学期望10.520.340.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=(元) ----------12分 18．解：（1）∵2'()22f x x bx =-+且2x =是()f x 的一个极值点∴'(2)4420f b =-+=32b ⇒=，-------------------------2分 ∴2'()32(1)(2)f x x x x x =-+=-------------------------4分由'()0f x >得2x >或1x <，∴函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞；---6分由'()0f x <得12x <<，∴函数()f x 的单调减区间为(1,2)，----------8分 （2）由（1）知，函数()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 ∴当2x =时，函数()f x 取得最小值，min ()(2)f x f ==23a +，----------10分 [1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立等价于2min 2(),[1,)3a f x x <-∈+∞-----12分 即2001a a a -<⇒<<。
【2011揭阳二模】广东省揭阳市2011届高三数学第二次模拟考试 理
揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的某某和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 乘法公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|11,}M x x x Z =-≤≤∈,{|02}N x x =≤≤，则MN 为A. {1}B. {0,1,2}C. {|01}x x ≤≤D. {0,1} 2．设(12)34i z i -=+，则||z 为A ．553 B ．2215C 5．5 3. 为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图１，则其回归方程可能是 A .10198y x ∧=-- B. 10198y x ∧=-+C. 10198y x ∧=+ D. 10198y x ∧=- 图14．要得到函数sin(2)4y x π=+的图象，只要将函数sin 2y x =的图象图２C 1B 1A 1CBAA.向左平移4π单位 B.向右平移4π单位 C.向右平移8π单位 D.向左平移8π单位5．已知命题p ：x R ∃∈，5cos 4x =；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是A ．命题p q ∧是真命题B ．命题p q ∧⌝是真命题C ．命题p q ⌝∧是真命题D ．命题p q ⌝∨⌝是假命题6．如图2，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A ．16 B． C．．7．已知点(,)M x y 满足1,10,220.x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若ax y +的最小值为3，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知平面区域0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若01m ≤≤，则()P M 的取值X 围为 A ．2(0,]2ππ- B ．2(0,]2ππ+ C ．2[,1]2ππ+ D ．2[,1]2ππ- 二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为.10．双曲线29x －216y =1的离心率e =；焦点到渐近线的距离为. 11．在Rt ABC ∆中，0C=90∠，AB AC ⋅=.12．根据图3所示的程序框图，若0514231,5,10,a a a a a a ======3则输出的V 值为．DECBA男女6432性别人数科别甲科室乙科室13．在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y 、22(,)Q x y 之间的直角距离为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-若点(,1),(1,2),(2,5)A x B C ，且(,)(,)d A B d A C >，则x 的取值X 围为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题, 两题全答的，只计前一题的得分）14．（几何证明选做题）如图4，BD ⊥AE ，90C ，AB ＝4, BC ＝2,AD ＝3,则DE ＝；CE ＝. 图4 15．(坐标系与参数方程选做题)设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和2s ()42in πρθ+=上的动点，则M 与N 的最小距离是.三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S 满足3cos 2S bc A =. （1）求角A 的值； （2）若3a =，设角B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的取值X 围．17.(本小题满分12分)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个 科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率； （3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.18. （本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项11a =，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数列，且2216b S =,3372b S =． (1) 求n a 和n b ；DCBAP(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ．19．（本小题满分14分）已知如图5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,120PAB ∠=,90PBC ∠=.(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ；(2)求三棱锥D －PAC 的体积；(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值． 图520．（本小题满分14分）已知：向量(3,0)OA =，O 为坐标原点，动点M 满足：||||4OM OA OM OA ++-=. (1) 求动点M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线1l 、2l 都过点(0,1)B ，且12l l ⊥，1l 、2l 与轨迹C 分别交于点D 、E ，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE 是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知：函数2()21f x ax x =-+. (1) 若113a ≤≤，且()f x 在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，求()g a 的表达式；(2)在(1)的条件下，求证：1()2g a ≥； （3）设0a >，证明对任意的121,[,)x x a∈+∞，1212|()()|||f x f x a x x -≥-.揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考y=2x-2x数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：DCBD CDCD 解析：5．因命题p 假，命题q 真，所以答案选C. 6．该三棱柱的侧视图是长为4，宽为 D.7. 由各选项知a 取正值，设ax y z +=，结合图形易得当直线y ax z =-+ 过点(1,0)时，ax y +取得最小值，故3a =，选C. 8.已知直线2y mx m =+过半圆y =上一点（－2,０）， 当ｍ＝０时直线与ｘ轴重合，这时()1P M =，故可排除A,B,若ｍ＝１，如图可求得当2()2P M ππ-=，故选D.二．填空题：9.{|23x x <<或3}x >；10.53、4； 11.3；12.32；13.0x <或3x >；14.5、；1 .解析：10．因3,45a b c ==⇒=，所以53e =，焦点(5,0)到渐近线43y x =的距离为4545d ⨯== 11.()2AB AC AC+CB AC AC 3⋅=⋅==，或AB AC |AB ||AC |cos A ⋅=⋅|||AB ||AC ||AB |AC =⋅2||3AC ==． 12．该框图是求多项式5432543210a x a x a x a x a x a +++++当01x x ==时的值，依题意知5432543210a x a x a x a x a x a +++++5(1)x =+，故输出的ｖ值为5(11)32+=.13．由定义得|1|1|2|4|1||2|3x x x x -+>-+⇒--->，解得0x <或3x >． 14.依题意得△ADB∽△ACB AD ABAD AE AC AB AC AE ⇒=⇒⋅=⋅()AD AD DE AC AB ⇒+=⋅ 64953DE ⨯-⇒==,DB ==由DB AD DB ACEC EC AC AD⋅=⇒==15.将方程2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=化为普通方程得2220x y y ++=1x y +=结合图形易得M 与N1.三．解答题：16.解：（1）在ABC ∆中，由cos S A =1sin 2bc A =得tan A =-------------------------------------------------------------------------------3分∵0A π<<∴3A π=-------------------------------------------5分（2）由3a A π==及正弦定理得2sin sin a cA C===，------------7分 ∴22sin 2sin()2sin()3c C A B x ππ==--=---------------------------9分 ∵3A π=∴203x π<<∴22033x ππ<-<--------------------10分 ∴20sin()13x π<-≤，202sin()23x π<-≤即(0,2]c ∈ ------------------------------------------------------------12分 17.解：（1）从甲组应抽取的人数为310215⨯=，从乙组中应抽取的人数为35115⨯=；--------2分（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率26210213C P C =-=（或11246421023C C C P C +==）----------------------------------------------------5分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3-----------------------------------------------------6分2142211054(0)75C C P C C ξ==⋅=，------------------------------------------------------------7分1111246324212110510522(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，---------------------------------------------8分2163211051(3)5C C P C C ξ==⋅=，---------------------------------------------------------------9分34(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==（或 2111166432212110510534(2)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=)-------10分∴ξ的分布列如右4223419012375757555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------------------12分 18.解：(1)设数列{}n a 的公差为d （0d >）数列{}n b 的公比为q ，则1(1),n a n d =+-12n n b q -=.------------------1分 依题意得222(2)16b S q d =+=，2332(33)72b S q d =+=由此得2(2)8(1)12q d q d +=⎧⎨+=⎩∵0d >,解得22d q =⎧⎨=⎩.----------------------5分∴21n a n =-，2nn b =.----------------------------------------------6分(2) ∵()211121342()2n T c a a b a a b +=++++++⋅+⋅⋅⋅212()n n n a a nb -+++＝2121(2)n n S b b nb ++++⋅⋅⋅+---------------------------------------9分令122n A b b nb =+++则22222n A n =+⋅++⋅2312222(1)22n n A n n +=+⋅++-+⋅212222n n A n +-=+++-⋅，∴11222n n A n ++=⋅-+-----------------12分P ABCDE 又2222(1)42n n n a S n +==， ∴2112114222n n n T n n +++=++⋅-+2134(1)2n n n +=++-.-------------------14分19. (1)证明：∵ABCD 为矩形∴AD AB ⊥且//AD BC --------------------------------------1分 ∵BC PB ⊥∴DA PB ⊥且AB PB B = --------------------2分∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面PAB -----------------------------------------5分(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===----------------------------------7分由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB -------------8分 ∴111sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅11216=⨯⨯=----10分 （3）解法1：以点A 为坐标原点，AB 右图示，则依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C,1,,0)22P - 可得35(,1)22CP =--, ----------------------------12分 平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =，设直线PC 与平面ABCD所成角为θ，则cos()28||||1m CP m CP πθ⋅-===⋅⨯∴sin θ=，即直线PC 与平面ABCD 分解法2：由（1）知DA ⊥平面PAB ，∵AD ⊂面ABCD∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则PE⊥平面ABCD ，连结EC ，则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角-------------12分 在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴2PE =,又2222cos1207PB PA AB PA AB =+-⋅=∴PC ==在Rt△PEC 中362sin 822PE PC θ===.即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值6分20．(1)解法１：设'(3)A ------------------------------ 1分 则|||||'|||OM OA OM OA OM OA OM OA ++-=-+-=|'|||4MA MA +=>3分∴动点M 的轨迹为以A 、'A 为焦点，长轴长为 4的椭圆 -----------------5分 由3,242c a a ==⇒=∴221b a c -=----------------------------- 6分∴ 动点M 的轨迹 C 的方程为2214x y += ---------------------------------7分 [解法２：设点(,)M x y ，则(3,),(3,)OM OA x y OM OA x y +=+-=------------------------2分 ∵||||4OM OA OM OA ++-=2222(3)(3)423x y x y ++-+=>------------------------------ 4分 ∴点 M 的轨迹C 是以(3,0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆 ------------5分∴2,3,a c ==∴221b a c =-= --------------------------6分∴ 动点M 的轨迹 C 的方程为2214x y += ------------------7分] (2)由（1）知，轨迹C 是椭圆2214x y +=，点(0,1)B 是它的上顶点， 设满足条件的直线1l 、2l 存在，直线1l 的方程为1(0)y kx k =+>----① 则直线2l 的方程为11y x k=-+，-------------②--------------------------------------------------------------8分 将①代入椭圆方程并整理得：22(14)80k x kx ++=，可得2814D kx k -=+，则228114D k y k -=++.--9分将②代入椭圆方程并整理得：22(4)80k x kx +-=，可得284E kx k =+，则2814E y k-=++.---10分 由△BDE 是等腰直角三角形得||||BD BE=⇒=2422222222264646464(14)(14)(4)(4)k k k k k k k ⇒+=+++++222222222222(1)11(14)(4)(14)(4)k k k k k k k k ++⇒=⇒=++++221144k k k ⇒=++ 3232414144k k k k k k ⇒+=+⇒-=-2(1)(1)4(1)k k k k k ⇒-++=-----③--------12分∴1k =或2310k k -+=-----④-----------------------------------------------------------------------13分 ∵方程④的根判别式50∆=>，即方程④有两个不相等的实根，且不为1. ∴方程③有三个互不相等的实根. 即满足条件的直线1l 、2l 存在，共有3组．-----------------------------------------------------------14分 （注：只答存在1组，给2分） 21.解：（1）∵211()()1f x a x aa=-+-由113a ≤≤得113a ≤≤∴11()()1N a f a a ==-.-----------------------2分 当112a ≤<，即112a <≤时，()M a (3)95f a ==-,故1()96g a a a=+-；-----------3分当123a ≤≤，即1132a ≤≤时，()M a (1)1f a ==-，故1()2g a a a=+-.-------------4分∴1112,[,];32()1196,(,1].2a a a g a a a a ⎧+-∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩-------------------------------------------------5分word- 11 - / 11 （2）∵当11[,]32a ∈时，21'()1g a a =-0<，∴函数()g a 在11[,]32上为减函数；---------6分 当1(,1]2a ∈时，21'()90g a a =->，∴函数()g a 在1(,1]2上为增函数，-------------7分 ∴当12a =时，()g a 取最小值，min 11()()22g a g ==,-------------------------------8分 故1()2g a ≥.------------------------------------------------------------------9分 （3）∵当0a >时，抛物线2()21f x ax x =-+开口向上，对称轴为1x a=， ∴函数()f x 在1[,)a +∞上为增函数，-----------------------------------------------------------10分（或由'()220f x ax =-≥得1x a ≥，∴函数()f x 在1[,)a+∞上为增函数） 不妨设12x x ≤，由121,[,)x x a ∈+∞得12()()f x f x ≤∴1212|()()|||f x f x a x x -≥-2121()()()f x f x a x x ⇔-≥-2211()()f x ax f x ax ⇔-≥- 令2()()(2)1x f x ax ax a x ϕ=-=-++，x ∈1[,)a+∞----------------------------------12分 ∵抛物线()y x ϕ=开口向上，对称轴为22a x a +=，且211122a a a a+=+> ∴函数()x ϕ在1[,)a +∞上单调递增，∴对任意的121,[,)x x a∈+∞，21x x ≥ 有21()()x x ϕϕ≥，即2211()()f x ax f x ax -≥-1212|()()|||f x f x a x x ⇔-≥------------14分。
《广东省揭阳市二零一六届高三数学学业水平考试试题文新人教a版》.doc
绝密★启用前揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：棱锥的体积公式：V=-Sh•其中S表示棱锥的底面积，力表示棱锥的高.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z(z-l)对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A = {x|y = lg(x+3)),B = {x|x>2},则下列结论正确的是A.-3e A C. AC\B = B D. A\JB = B3.“0 =兀”是“函数y = sin(2x + 0)为奇函数的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.向fiBA = (-l,2),BC = (3,4),则疋=A. (4,2)B. (-4,-2)C. (2,6)D. (-4,2).某商场有四类食品，食品类别和样本进行食品安全检测•若采用分层抽样的方法抽取样木，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数Z和是A. 7B. 6C. 5D. 46.方程2t-1+x = 5的解所在的区间A. (0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)7.若双曲线二-・=i 的离心率为则其渐近线的斜率为 cT 少（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程p （cos^-sin^） = 2所表示的曲线上一动点，Q 4,-,则|PQ|的最小值为 __________________\ 3丿15.（几何证明选讲选做题）如图（3）,已知AB 是圆0的肓径，C 是AB 延长线上一•点，CD 切圆0于D, CD 二4, AB=3BC,则圆0的半径长是 ______ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.A. ±2B. ±V2c.±l10.已知函数"0 =严+2兀+ 1,（*0）有3个零点，则实数d 的取值范围是 ax 一 3,（兀〉0）A. d v 1B. a >0C. a>\D. 0<a<l填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11 一 13题）11. 计U ： log 318-log 3 2 =12. 图（2）是卬、乙两人在5次综合测评中的成绩的茎叶图，瓦中一个 数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ______ •9 8 83 3 72 1 0 913.对于正整数八若n- pq （p>q.p,qe N^），当p-q 最小时，则称为n 的“最佳分解”，规定/（町=2.关于/⑺）冇下列四个判断：①/（4） = 1；②/（⑶=2；③p 133/(24)=-；O④ 7(2013) =12013•其中正确的序号是 D16.（本小题满分12分）设数列｛©｝是公比为正数的等比数列，67, =2, a 3-a 2=12.（1） 求数列｛色｝的通项公式;（2） 设数列｛仇｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛色+如 的前n 项和S”. 17.（本小题满分12分）AQI （数值）on 5051J 1001013 150151 匚 200201匚 300>300空气质量级别 一级 一.级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类別颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:某市2013年10月1日一10月30日，对空气质量指数AQI 进行监测,获得数据后得火数到如图（4）的条形图（1） 估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；（2） 在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中108 ------------------------------------空气质昴级别三级四级五级六级°任取2个,求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐图（4）红色的概率.18.（本小题满分14分）在AABC 中,角A 、B. C 所对应的边为a.b.c7T(1)若 cos( ----- A) = 2 cos A.求 A 的值；3B（2）若COSA = ?HAABC 的面积"屁，求sinC 的值.Bi求证：A】C丄平面ABC⑶在(2)的条件卜；设点P为CG上的动点，求当PA+PB］取得最小值时PC的长20.(本小题满分14分) x2 y2如图(6),已知F(c，O)是椭圆C: —+ ^ = 1(^>/?>0)的右焦点;cr tr□F:(X-C)2+/=672与x轴交于DE两点，其中E是椭IMIC的左焦点.⑴求椭圆C的离心率;(2)设口F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点,试判断直线与□ F的位置关系；(3)设肓•线BF与口F交于另一点G ,若^BGD的而积为伍，求椭圆C的标准方程.21.(本小题满分14分)设函数/(x) = ax n^ + hx n + c(3： > 0),其中a + h = 0f n为正整数，a, b, c均为常数,曲线尸/(%)在(1J⑴)处的切线方程为兀+ y -1 = 0・(1)求b, c的值；(2)求函数/心)的最大值；(3)证明：对任意的xw(0,+2 )都有//(%) <丄.(£为自然对数的底)e揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考杳内容比照评分标准制订和应的评分细则.二、对计算题当考牛的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，nJ视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考牛正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一.选择题CC A AB CBBCDa <0,9解析:10.函数/(Q有3个零点，须满足彳——<0, nOvovl,故选D.2a4一牝>0.x ►y 图(6)二.填空题：11.2； 12.纟；13.①②;14. V6 ； 15. 3・5 -----解析：12.设被污损的数字为x (XG A^),则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得，88 + 89 + 92 + 91+90〉83 + 83 + 87 + 99 + 90 + 兀，解得05兀<8,即当x 取0,1,……8 47吋符合题意，故所求的概率P = - = -10 5三.解答题：16 .解：(1)设数列｛陽｝的公比为g ,由务=2, Oj-02 =12 ,得2g2_2g_]2 = 0,即q_ — q— 6 = 0. 3 分解得g = 3或g = —2 ,----- 5分・.・q > 0・・・q = -2不合舍去，・・・％ = 2 x 3心；----------------------------------------------------------------------------- 6分(2) •・•数列｛仇｝是首项$ =1,公差d = 2的等差数列，.・.仇=2n — 1, ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分S” =(4 +---------- H Q“)+ (勺 +〃2 -亿)2(3" -1) 71(1 + 2/2-1) 1 , 2= ----------- 1 -------------- = 3—1+7?. ----------------------------------------------------- 3-1 2------------------ 12分17.解：(1)由条形统计图可知,空气质量类别为屮度污染的天数为6,-------------------------------------- 1分所以该城市木月内空气质暈类别为屮度污染的概率P = —= --------------------------------------------- 4 分30 5(2)由条形图知，空气质量类别颜色为紫色的数据有4个，分别设为弘b、c、d ,空气质罐类别颜色为褐红色的数据有2个，分别设为e、f . ------------------------------------------------------------------------- 6 分设从以上6个数据任取2个，至少有一个数据反映的空气质量类別颜色为褐红色为事件A,则基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(a, e), (a, /), (b, e)9 (b, .f), (c, e\ (c, f),A 包含的基本事件有：(&,e)9 (a, /), (b, e), (b, f\ (c, e\ (c, /), (d, e\ (〃, /),(匕 f) 9 种可能, 10分故所求的概率12分7T1& 解：(1)由 cos(A-y) = 2 COS A, cos A cos —+ sin Asin —= 2 cos A. 3 3--------------------------- 2分V3sin A = 3cos A tan A = V3IT 0 < A< 7T A =—3P(A)9 _3 15 _5'/. —cos A +22 cos 4,由余弦定理得：a 2 =b 2+c 2- 2/?ccos A = 9c 2 4- c 2 - 2c 2= 8c 2,12分•: a 2+c 2 =Sc 2+c 2 =9c 2 =b 2 f AAABC 是 RtZ\,角 B 为直角, ------------------------------------------ 13分 sin C =—=—. -----------------------------h 3----------------------------------------- 14分】【：解法 3： vcosA = -, /. 0 < A < — 3 2sin A - Vl - cos 2 A =310分由 余弦定 理得： a 1 =b~ ^-c 2 -2/?ccos A = 9c 2 +c 2 - 2c 2 =a = 2\/2c ---------------------- 12 分又 S=-^sinC = V2c 2 , 得L ・2 近c ・3c ・sWC = 4ic222III S"宀#csin 心爭c得b = 3c •小 sin A /. sinC =——产 2<214分【解法2： z 心，,.0<A 煜/. sin A = Vl-cos 2A =2V21 0由S"宀尹sirM 盲阮得X3c,10分sinC = -. --------------------------------- 14 分】31 71【解法 4： TCOS A = —, /• 0 < A < —32--------------------------------- 10分h r由止弦定理得： --- = ----- ,则 3sin C = sin B = sin [兀 一(A + C)] = sin(A + C),sin B sin C-------- 11分2V2 13sin C = sin(A + C) = sin A cos C + cos Asin C, 3sinC = ------ cos C +—sin C,3 3整理得cosC = 2V2sinC ，代入sin 2C + cos 2 C = l,得sin 2 C = -,9---------------------------------------- 13分7T由 c<b^0<C<-f2•小1sine =. ------------------------------------------------------------------------------------------------3-------------------------------------------- 14分】 19. (1)证明：・・・* //CC,且側=cc }・••四边形ACC/|是平行四边形,1分/.AC/ / A }C }, AC ex 而 A B 、G , AQ u 面人 BQ・・・AC//平面ABQ,sin A = A /I-COS 2A =2V2同理可得B C / /平面A d G,又A C n CB = C,・・・平而ABC//平面AEG------------------------- 4分⑵•・• A4］丄平面ABC , A4, u平面ACC^ .:平面ACC^丄平面ABC ,----------------------- 5分平面ACC.A, CI平面ABC二AC,v AC = 4f BC = 3f AB = 5 :. AC2 + BC2 = AB2 :. BC丄AC・・・BC丄平面ACC|A, -------------------------------------------------------- 7分・•・BC 1. A}C , •・・BC/ /BC・•・BC丄AC又A4,丄AC, AC = AA.得ACC/】为正方形，二4C1 AC, ----------------------------------------------------- 8分、G = G，又AC} n B・・・A】C丄平面AB I C l ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------ 9分(3)将三棱柱ABC-A.B.G的侧而ACC.A绕侧棱CC】旋转到与侧而BCC.B,在同一平而内如PC AC门门AC • BB、 16---- —=> rC = -------------------------------------------------------------------- L =—. BB X AB -------------------------------------------------------------------- A B 720.解：(1)・・・圆F过椭圆C的左焦点，把(-c,O)代入圆F的方程，得14c2 = a2,故椭圆C的离心率《 = — = —：a 2--------------------------------------------------------------------------------- 3分⑵ 在方程(x-c)2 + y2=a2中令兀=0得y2=a2-c2=h29可知点B为椭圆的上顶点,由⑴知，—=—,故a = 2c,b = yja2—c1 = V3c»故B (0, V3c),a 2-------------------------------------- 5分在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为(3c,0),则点A为(-3c,0),-------------------------------------- 6分于是可得直线AB的斜率k AB =¥ =写'--------------------------------------------------------------------------------- 7分而直线FB的斜率k FR— --- = —>/3 ,-C丿•* 5 • kpD = -1，・•・直线AB与口F相切。
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广东揭阳市2011届高三上学期学业水平考试（数学文）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卷的选择题答题区上将对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则（ ）A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =UD ．A B =∅I 2．已知复数z 满足(1)2i z -=，则z 为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--，则2log (4)f 的值为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．－64．若(,3),(,2)a x b x ==-，则“x =a b ⊥ ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的值为（ ）A ．18B ．27C ．36D ．54 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //7．已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=．（ ）A ．711 B ．117-C ．113-D ．113俯视图左视图主视图8．已知双曲线221412x y-=上一点M的横坐标是3，则点M到双曲线左焦点的距离是（）A．4 B．1)C．1)D．89．在ABC∆中,若1c=，a=23Aπ∠=，则b为．（）A．1 B．2 C D10．已知(){},|8,0,0,x y x y x yΩ=+≤≥≥(){},|2,0,30A x y x y x y=≤≥-≥，若向区域Ω上随机投1个点P，则点P落入区域A的概率为（）A．14B．716C．34D．316二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．命题P：“2,12x Rx x∃∈+<”的否定P⌝为：、P⌝的真假为12．如果执行右面的框图，输入5N=，则输出的数S= ．13P在底面ABCD中的投影恰好是A图中的信息，在四棱锥P ABCD-为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为1cos,sin.xyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C上的点到直线220x y-+=的距离的最大值为．15．（几何证明选讲选做题）已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22，3AB=，邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂则切线AD的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数()cosf x x xππ+, x R∈．甲DCBAF E乙DBA（1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）求函数()f x 的单调增区间． 17．（本题满分12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠= 105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积．24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图频率/cm18．（本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2． 表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在165180cm :的概率；（3）从样本中身高在180:190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185:190cm 之间的概率。
19．（本题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>1F ，2F 是它的左，右焦点．（1）若P C ∈，且210PF PF ⋅=uuu r uu u r，12||||4PF PF ⋅=，求1F 、2F 的坐标；（2）在（1）的条件下，过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM （M 是切点），且使1QF =，求动点Q 的轨迹方程．20．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且131,()2n n S S n N *+=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ,求满足不等式3n n T S >的n 值．21．（本题满分14分）已知函数()ln f x ax x =-．（a 为常数） （1）当1a =时，求函数()f x 的最值； （2）求函数()f x 在[1,)+∞上的最值；（3）试证明对任意的n N *∈都有1ln(1)1nn+<．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BACBC BCDAD解析：2．22(1)112i z i i +===+-，选 A ． 3．由幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--得3111()()3282n n -=-=-⇒=，则目322log (4)log 46f ==,故选C ．5．由35712a a a ++=得553124a a =⇒=，129a a a +++ =1959()9362a a a +==，选C ．7．tan tan[()]βααβ=--11tan tan()14311tan tan()13112ααβααβ---===-+-+，选C ．8．依题意可求得点M的坐标为(3,，左焦点1(4,0)F -,根据对称性只需求点到1(4,0)F -的距离,由两点的距离公式易得所求的距离为8，选 D ．9．由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-220b b ⇒+-=1b ⇒=，选A ．10．由右图易得，满足条件A 的区域面积()6S A =,满足条件Ω的区域面积()32S Ω=,故所求的概率633216P ==,故选D ． 二、填空题：11．2,12x R x x ∀∈+≥、真；12．45；13．4；1415．15． 12．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111012233445S =++++⨯⨯⨯⨯11111111411223344555=-+-+-+-=-= 13．有PA 与BC;PA 与DB;PA 与CD;PB 与AD;PD 与AB;PC 与DB 共6对互相垂直异面直线． 14．将曲线C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩化为直角坐标方程得22(1)1x y -+=，易得所求最F E乙DCBA1+=15．解析：依题意，BC =，∴AC =5，2AD =.AB AC =15，∴AD =15三、解答题：16．解：（1）∵()cos f x x x ππ+=1cos )2x x ππ+ =2sin()6x ππ+------------------------------------------------------------------------3分∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==-----------------------------------------4分又∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴22sin()26x ππ-≤+≤--------------------------------------------------------------6分∴函数()f x 的值域为{|22}y y -≤≤．----------------------------------------------7分 （2）由22262k x k ππππππ-≤+≤+，k Z ∈----------------------------------------9分得212233k x k -≤≤+，k Z ∈-------------------------------------------------11分 ∴函数()f x 的单调增区间为21[2,2]()33k k k Z -+∈------------------------------------12分17．解：（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=∴45ADB ∠=,90ABC ∠=即AB BD ⊥----------------------------------------------------------------------------------------2分在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．------------------------------------------4分又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC,且AB BC B =∴DC ⊥平面AB C ．-----------------------------------------------------6分 （2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点 ∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，--------------------------------------------------------7分 ∴13A BFE F AEBAEB V V S FE --∆==⋅-------------------------8分 在图甲中，∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠=由CD a=得2,BD a BC = ,1122EF CD a ==--------------------------10分∴211222ABC S AB BC a ∆=⋅=⋅=∴2AEB S ∆=男生样本频率分布直方图频率/cm65456345623456654321∴231132212A BFE V a a -=⋅⋅=-------------------------------------------12分 18．解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．----2分 频率分布直方图如右图示：--------------------------------------------------6分 （2）由表1、表2知，样本中身高在165180cm :的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在165180cm :的频率423705==f -------------------------------------------------------8分 故由f 估计该校学生身高在165180cm :的概率35=p ．----------------------------9分（3）样本中身高在180:185cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④ 样本中身高在185:190cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：--12分故从样本中身高在180:190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185:190cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率93155p ==．---------------14分 [或从上述6人中任取2人的所有可能的情况为、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）共15种，其中至少有1人身高在185~190cm 之间的可能结果有9种，故所求概率93155p ==] 19．解：（1）依题意知a =-----------------①-------------------------------------------1分∵021=⋅PF ∴12PF PF ⊥， ∴()22222212248PF PF c (a b )b +==-=---------3分又P C ∈，由椭圆定义可知122PF PF a+=，()22212884PFPF b a +=+=------②-----5分由①②得2262a ,b ==⇒2c =．∴()120F -，、()220F ，---------------------------------------7分（2）由已知1QF =，即2212QF QM=------9∵QM 是2F 的切线 ∴222||||1QM QF =- ∴()221221QF QF =-------------------------------------------11分设(,)Q x y ，则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦即()22634x y -+=（或221220x y x +-+=）-------------------------------------13分 综上所述，所求动点Q 的轨迹方程为：()22634x y -+=-----------------------------14分20．解：（1）解法1：由1312n n S S +=+得 当2n ≥时1312n n S S -=+∴113()2n n n n S S S S +--=- 即132n n a a += ∴132n n a a +=------------------4分又11a =，得2112312S a a a =+=+ ∴232a = ∴2132a a =-------------6分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为32的等比数列 ∴13()2n n a -=--------------------------------------------------------------7分解法2：由1312n n S S +=+得132(2)2n n S S ++=+--------------------------------3分 即12322n n S S ++=+ ∴数列{2}n S +是首项为123S +=,公比为32的等比数列----4分∴1323()2n n S -+=⋅ 即133()22n n S -=⋅----------------------------------5分当2n ≥时∴1n n n a S S -=-＝12333()2[3()2]22n n --⋅--⋅-＝13()2n ----------------------6分 显然当1n =时上式也成立 ∴13()2n n a -=．----------------------------------------------------------7分（2）∵z 数列{}n a 是首项为1，公比为32的等比数列， ∴数列1{}na 是首项为1，公比为23的等比数列，------------------------------8分 ∴21()233[1()]313nn n T -==--，---------------------------------------------9分 又∵32()22n n S =⋅- ∴不等式3n n T S > 即239[1()]2()232n n ->⋅------------------------------10分 令2()3n m =并整理得291120m m -+<，解得219m <<---------------------11分 即22()193n <<，将1,2,3n =代入都符合，又42162()3819=< 且函数2()3x y =在R 上为减函数，故当4n ≥时都有22()39n <-----------------13分 ∴满足不等式3n n T S >的n 值为：1，2，3．----------------------------------14分21．解：（1）当1a =时，函数()f x =ln x x-，(0,)x ∈+∞ ∵1'()1f x x=-，令'()0f x =得1x =---------------------------------------2分 ∵当(0,1)x ∈时，'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上为减函数∵当(1,)x ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在(1,)+∞上为增函数∴当1x =时，函数()f x 有最小值，()(1)1f x f ==最小值----------------------------------4分（2）∵1'()f x a x=- 若0a ≤，则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <，∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数 ∴函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，没有最小值，()(1)f x f a ==最大值；------------6分若0a >，令'()0f x =得1x a =当01a <<时，11a >，当1(1,)x a ∈时'()0f x <，函数()f x 在1(1,)a上为减函数 当1(,)x a ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在1(,)a+∞上为增函数 ∴当1x a =时，函数()f x 有最小值，11()()1ln f x f a a==-最小值--------8分 当1a ≥时，11a≤在[1,)+∞恒有'()0f x ≥ ∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()(1)f x f a ==最小值．---------------------------------------------------------9分综上得：当0a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，()f x a =最大值；当01a <<时，函数()f x 有最小值，1()1ln f x a=-最小值； 当1a ≥时，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()f x a =最小值．--------------------10分（3）证法1：由（1）知函数()f x =ln x x -在(0,)+∞上有最小值1即对任意的(0,)x ∈+∞都有ln 1x x -≥，即1ln x x -≥，-------------------------12分 当且仅当1x =时“＝”成立∵n N *∈ ∴10n n +>且11n n +≠ ∴11111ln ln n n n n n n n +++->⇔>111ln(1)1ln(1)n n n n⇔>+⇔>+ ∴对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n+<．---------------------------------------------------------------14分 证法2：要证明对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n +<，只须证明11ln(1)n n+<，-----------11分设函数()ln(1)g x x x =+-，(1,)x ∈-+∞ ∵1'()111x g x x x=-=-++，令'()0g x =得0x =-------------------------------12分 ∵当(1,0)x ∈-时'()0g x <，当(0,)x ∈+∞时'()0g x >∴函数()g x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增∴当0x =时，函数()g x 取得最小值，()(0)0g x g ==最小值即对任意的(1,)x ∈-+∞，都有ln(1)x x +≥，当且仅当0x =时“＝”成立∵n N *∈ ∴10n> ∴1111ln(1)ln(1)1ln(1)1n n n n n n+>⇔+>⇔+> 即对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n +<．-----------------------------------14分。