2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第六章 不等式与推理证明》6-4
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第六章 不等式、推理与证明 课时作业39 Word版含答案
课时作业39 基本不等式一、选择题1．已知a ，b ∈R ＋且a ≠b ，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是( )A ．x <yB ．x >yC ．x ＝yD ．视a ，b 的值而定解析：由不等式a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可得a ＋b2≥a ＋b2，又因为a ＋b2<a ＋b ，所以可得a ＋b2<a ＋b ，即x <y .答案：A2．设函数f (x )＝x ＋1x －1，当x >1时，不等式f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，72 解析：当x >1时，x －1>0，则f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立，函数f (x )有最小值3.由不等式f (x )≥a 恒成立，得实数a 的取值范围是(－∞，3]．答案：A3．点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上移动，则2a＋4b的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．4 2D ．3 2解析：由题可得a ＋2b ＝3，因为2a＋4b＝2a ＋22b≥22a ＋2b＝223＝42，当且仅当a ＝2b ，即a ＝32，b ＝34时等号成立．答案：C4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：∵2xy ＝x ·2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，∴8＝x ＋2y ＋2xy ≤(x ＋2y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，令x ＋2y ＝t ，则t 2＋4t －32≥0，解得t ≥4或t ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值为4.答案：B5．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B.23 3 C.236 D.433 解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2，又a >0，∴Δ>0，∴x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a＝433，当且仅当a ＝36时取等号．故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433.答案：D6．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝aa －1>0，解得a >1，同理b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1a －＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6. 答案：B 二、填空题 7．y ＝－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为________．解析：由－6≤a ≤3，得3－a ≥0，a ＋6≥0.由基本不等式， 得－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时，等号成立，故y 的最大值为92.答案：928．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a＋4b的取值范围是________． 解析：由直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，得a ＋2b ＝1，则2a＋4b≥22a×4b＝22a ＋2b＝22，当且仅当2a ＝4b，即a ＝12，b ＝14时，等号成立，所以2a＋4b的取值范围是[22，＋∞)． 答案：[22，＋∞)9．(2017·湖北襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y的最小值为________．解析：∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1， ∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋2y＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2yx ＋1＋x ＋y≥52＋12×22y x ＋1·x ＋y＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋1＝x ＋y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y 的最小值为92，所以答案应填92. 答案：92三、解答题10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.11．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥21ab，由此得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，又a 3＋b 3≥2a 3b 3≥223＝42， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a 3＋b 3的最小值是4 2.(2)由(1)得ab ≥2(a ＝b ＝2时取等号)， ∴2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ， 当且仅当2a ＝3b 时等号成立， 故2a ＋3b ≥26ab >43>6，故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值是( )A ．0B ．1 C.94 D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3 ≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B2．(2017·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( )A ．2－ 2 B.2－1 C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：∵圆心为(1,2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b·(a ＋b )＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2.当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2－2，b ＝2－1时等号成立．答案：C3．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为27.答案：274．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240.故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时等号成立．此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。
2018届高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式教师用书 理
第一节 不等关系与不等式☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a ＞b ⇔a －b ＞0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a ＜b ⇔a －b ＜0。
2．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(双向性) (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(单向性) (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；(双向性) (4)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(单向性)(5)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ； (6)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(单向性)(7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n ∈N ，n ≥1)；(单向性) (8)开方法则：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)；(单向性)(9)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b；(双向性) (10)有关分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m(b －m ＞0)②a b ＞a ＋mb ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0)。
微点提醒1．在应用不等式性质时，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性”中的c 的符号等都需注意。
2．当判断两个式子大小时，对错误的关系式举反例即可，对正确的关系式，则需推理论证。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修5P 74练习T 3改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2。
2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第六章 不等式与推理证明》6-1
课时规范训练《第六章不等式与推理证明》6-1A 组基础演练1．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是()A.1a －b ＞1b B ．a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D ．a n ＞b n解析：选C.取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．2．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为()A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2}解析：选A.由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．3．设αβ∈0，π2，那么2α－β3的取值范围是()－π6，C ．(0，π)－π，解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的()A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件解析：选D.由“a ＋c >b ＋d ”不能得出“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可以得出“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，故选D.5．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0|－1<x <13ab 的值为()A ．－6B ．－5C ．6D ．5解析：选C.由题意得－1，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，且a <0，－b a ＝－1＋13，1×13，解得a ＝－3，b ＝－2，∴ab ＝6，故选C.6．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________．(用“＞”连接)解析：由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1.又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a .答案：ab ＞ab 2＞a7．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是________．解析：由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.答案：(－∞，－4]∪[3，＋∞)8．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1＞0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)＜0，即k2＞2，∴k＞2或k＜－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．解关于x的不等式(1－ax)2＜1.解：由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈∅.当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a20，即0＜x＜2a.当a＜0，2a＜x＜0.综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集|0＜x；当a＜0|2a＜x＜. 10．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．解：将原不等式整理为关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得(－1)＞0(1)＞0，即2－7x＋12＞02－5x＋6＞0，解得x＜2或x＞4.B组能力突破()A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②解得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图象知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．2．关于x 的不等式ax －b >0x 的不等式ax －2b－x ＋5>0的解集是()A ．(1,5)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：选A.不等式ax －b >0的解集是a >0，且a －2b ＝0，则不等式ax －2b －x ＋5>0等价于x －1－x ＋5>0⇔(x －1)(x －5)<0⇔1<x <5，故选A.3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则()A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－1＜a ＜3D ．－3＜a ＜1解析：选C.(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立．∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－1＜a ＜3.4．设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是__________．解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立．令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，2－2t ≥0，2＋2t ≥0，解得t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)5．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，＜0，＝4－4m(1－m)＜0，不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知不存在这样的m.。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第六章
6．2 等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项三个数a ，A ，b 成等差数列，这时A 叫做a 与b 的________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝________. ①{a n }成等差数列⇔a n ＝pn ＋q ，其中p ＝________，q ＝________，点(n ，a n )是直线________上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为________数列；d ＜0时，{a n }为________数列；d ＝0时，{a n }为________．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝________＝________.其推导方法是________．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ____，a n ＋1____时，S n 最大；若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ____，a n ＋1____时，S n 最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值． 5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1-a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质 (1)a m -a n ＝ d ，即d ＝a m -a nm -n. (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．但要注意：在等差数列a n ＝kn＋b 中，若m ＝p ＋q ，易证得a m ＝a p ＋a q 成立的充要条件是b ＝0，故对一般等差数列而言，若m ＝p ＋q ，则a m ＝a p ＋a q 并不一定成立．(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为 数列，且公差分别为 ， ， .(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md .(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d .(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶-S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.自查自纠1．差 常数 公差 a n -a n -1 a n ＋1-a n 2．等差中项3．a 1＋(n -1)d ①d a 1-d y ＝dx ＋(a 1-d )②单调递增 单调递减 常数列 4．(1)n （a 1＋a n ）2na 1＋n （n -1）d2倒序相加法(2)≥0 ≤0 ≤0 ≥0( ( ( (S ，且⎭⎪⎫a 1-d 2x ，如图，知，抛物线的对称轴为1≤n ≤8时，S n 单调递增；当S 8＝S 9.，所以当n ＝8或9时，S 解法二：设等差数列{a n }的公差为66d ，d ＝-18a 1＜0.-1）d ＝na 1＋n （n -121⎛⎫172S an。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 重点强化课3 不等式及其应用教师用书
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重点强化课(三) 不等式及其应用［复习导读］本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法,简单的线性规划问题,基本不等式及其应用,针对不等式具有很强的工具性,应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用（1)（2016·山东青岛一模)函数y＝错误!的定义域为（）A．（－∞，1］B．［－1,1]C．［1,2）∪（2，＋∞)D。
错误!∪错误!(2)已知函数f（x)＝错误!则满足不等式f(1－x2)〉f(2x)的x的取值范围是__________．(1）D（2)(－1，错误!－1) [（1）由题意得错误!解得错误!即－1≤x≤1且x≠－错误!，所以函数的定义域为错误!，故选D.（2）由题意得错误!或错误!解得－1〈x<0或0≤x〈错误!－1.所以x的取值范围为（－1，错误!－1）．］［规律方法］一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集．（2）与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．（3）与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．［对点训练1] 已知f(x）是定义在R上的奇函数．当x〉0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________. 【导学号：31222215】(－5，0)∪(5，＋∞）[由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时,f(0)＝0；当x〈0时，－x〉0,所以f(－x）＝x2＋4x＝－f(x），即f(x)＝－x2－4x，所以f（x)＝错误!由f（x)〉x，可得错误!或错误!解得x〉5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞）．］重点2 线性规划问题(1）(2017·深圳二次调研）在平面直角坐标系xOy中,若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为（)A。
2018届数学复习第六章不等式、推理与证明课时作业36不等关系与不等式(含解析)文
课时作业36 不等关系与不等式一、选择题1．若a〈0，ay〉0且x＋y〉0，则x与y之间的不等关系是(）A．x＝y B．x>yC．x〈y D．x≥y解析:由a〈0，ay>0知y〈0，又由x＋y〉0知x>0,所以x〉y。
答案:B2．若1a〈错误!〈0，则下列结论不正确的是（)A．a2<b2B．ab〈b2C．a＋b〈0 D．｜a｜＋｜b|>|a＋b|解析：∵错误!<错误!<0，∴b〈a〈0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a｜＋｜b｜＝|a＋b｜.答案：D3．设a，b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是（ )A ．a 2〈b 2B ．ab 2〈a 2b C.1ab 2〈错误! D.错误!<错误!解析：当a <0时,a 2〈b 2不一定成立，故A 错． 因为ab 2－a 2b ＝ab （b －a )．b －a 〉0，ab 符号不确定．所以ab 2与a 2b 的大小不能确定,故B 错．因为错误!－错误!＝错误!<0.所以错误!〈错误!，故C 正确．D 项中b a 与错误!的大小不能确定．答案：C4．设α∈（0，π2)，β∈[0，错误!］，那么2α－错误!的取值范围是（ )A ．（0，5π6)B ．(－错误!，错误!)C ．（0,π）D ．(－错误!，π）解析：由题设得0<2α<π，0≤错误!≤错误!.∴－π6≤－错误!≤0，∴－错误!<2α－错误!〈π.答案:D5．已知a＝log23＋log2错误!,b＝log29－log2错误!，c ＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a〉b>c解析：a＝log23＋log23＝log23错误!。
b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!。
∴a＝b＝log23错误!〉log22＝1。
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第六章 不等式
第五节合情推理与演绎推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．知识点一合情推理1．归纳推理：(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的________都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)特点：是由______到______，由______到______的推理．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有________的推理．(2)特点：类比推理是由______到______的推理．答案1．(1)全部对象(2)部分整体个别一般2．(1)这些特征(2)特殊特殊1．判断正误(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．( )答案：(1)√(2)×(3)×2．(选修1－1P32练习第1题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：C3．(选修1－1P32练习第3题改编)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________．解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.答案：18知识点二 演绎推理 1．模式：三段论(1)大前提——已知的________； (2)小前提——所研究的________；(3)结论——根据一般原理，对________做出的判断． 2．特点：演绎推理是由______到______的推理．答案1．(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况 2．一般 特殊4．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：当a >1时，y ＝a x为增函数；当0<a <1时，y ＝a x为减函数．故大前提错误． 答案：A热点一 归纳推理考向1 与数、式有关的归纳推理 【例1】 (2016·山东卷)观察下列等式： (sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4；(sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5；…… 照此规律，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π2n ＋1)－2＝________.【解析】 分析各等式的形式特点： 第1个等式右边为：43×1×2；第2个等式右边为：43×2×3；第3个等式右边为：43×3×4依次类推第n 个等式的右边为43×n ×(n ＋1)即43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)考向2 与图形有关的归纳推理【例2】 如图所示，用全等的小正方体木块叠放立体图形，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第7个叠放的立体图形中小正方体木块数应是( )A．25 B．66C．91 D．120【解析】图中前三个立体图形中，用到的小正方体木块数依次为1,2＋1×4,3＋(1＋2)×4，按照前三个立体图形所反映出来的规律，归纳推理可知，第7个叠放的立体图形中用到的小正方体木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91.【答案】 C(1)(2017·广州模拟)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A．2 017×22 013 B．2 017×22 014C．2 016×22 015 D．2 016×22 014(2)(2017·湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．解析：(1)当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20； 当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21； 当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22； 当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23. 归纳推理得，当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014，故选B.(2)由题意可知，图①的单顶帐篷要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷要(17＋2×11)根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管．答案：(1)B (2)83 热点二 类比推理【例3】 已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有________成立．【解析】 由题意知，点A ，B 是函数y ＝a x的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax 1＋ax 22>ax 1＋x 22成立；而函数y ＝sin x (x ∈(0，π))，其变化率逐渐变小，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.【答案】 sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22平面几何中有如下结论：如图(1)，设O 是等腰直角△ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间，如图(2)，设O 是正三棱锥A －BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有________．解析：设O 到各个侧面的距离为d ，而V三棱锥R －AQP＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V 三棱锥R －AQP ＝V 三棱锥O －AQP ＋V 三棱锥O －ARP ＋V 三棱锥O －AQR ＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ，∴16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ，即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝1d ，而V 三棱锥A －BDC ＝13S △BDC ·AO ＝13×34×2×33＝16. ∴V 三棱锥O －ABD ＝13V 三棱锥A －BDC ＝118，即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝13，∴1AQ ＋1AR ＋1AP＝3.答案：1AQ ＋1AR ＋1AP＝3热点三 演绎推理【例4】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，故S n ＋1n ＋1＝2·S nn，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(1)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁(2)已知在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b . 证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b . 其中，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析：(1)若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.答案：(1)D (2)B1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．演绎推理从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．类比推理命题的特点类比推理是由特殊到特殊的推理，借助类比推理可以推测未知、发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法．这正像著名数学家波利亚所说的：“类比是一个伟大的引路人．”因此，在解决某些数学问题时，若能合理地运用类比，可为问题的解决开辟一条便捷之路．在近年各类考试中，类比推理题频频亮相．下面就通过介绍类比推理的一些命题特点，揭示求解规律，希望对同学们求解此类问题有所帮助．1．类比定义【例1】 等和数列的定义是：若数列{a n }(n ∈N *)从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．如果数列{a n }是等和数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的一个通项公式是________．【解析】 由定义知公和为4，且a n ＋a n －1＝4(n ≥2，n ∈N *)，那么a n －2＝－(a n －1－2)，依次类推，于是有a n －2＝(－1)n －1(a 1－2)．因为a 1＝1，所以a n ＝2＋(－1)n.【答案】 a n ＝2＋(－1)n2．类比性质【例2】 我们知道：圆的任意一弦(非直径)的中点和圆心的连线与该弦垂直，那么，若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2的一弦(非过原点的弦)的中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．【解】 假设在圆中，弦(非直径)所在直线的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由两线垂直，我们可以知道两斜率之积为－1.对于方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，若a ＝b ，则方程为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为－b 2a 2或－a 2b2.于是，设椭圆的弦AB 的两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为P ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2⇒b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0⇒y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2⇒k OP ·k AB ＝－b 2a 2，即两斜率之积为－b 2a2. 3．类比方法【例3】 已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”． OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论？并证明． 【解】 在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1. 在四面体O BCD 与A BCD 中， OE AE ＝h O BCD h A BCD ＝13S △BCD ·h O BCD13S △BCD ·h A BCD ＝V O BCDV A BCD. 同理，OF DF ＝V O ABC V D －ABC ，OG BG ＝V O ACD V B ACD ，OH CH ＝V O ABDV C ABD，∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O BCD ＋V O ABC ＋V O ACD ＋V O ABD V A BCD ＝V A BCDV A BCD＝1.。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第六章 数列 6-1 数列的概念与简单表示法 含答案 精品
第六章数列1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念．(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系．6．1 数列的概念与简单表示法1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成，其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n}．(2)通项公式：如果数列{a n}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有、、、 .2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、 .(2)按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔a n＋1a n；递减数列⇔a n＋1a n；常数列⇔a n＋1a n.递增数列与递减数列统称为．3．数列前n项和S n与a n的关系则第七个三角形数是( ) ．27B ．28C ．29D ．30解：观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.故选B . 在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n -1＝a n -1＋(-1)n(n ≥2，，则a 3a 5的值是( )1516B.158C.34 D.38解：因为a n a n -1＝a n -1＋(-1)n，( (a≠3)，a(1)设b n ＝S n -3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解：(1)依题意，S n ＋1-S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1-3n ＋1＝2(S n -3n)，又S 1-31＝a -3(a ≠3)，故数列{S n -3n}是首项为a -3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n -3n ＝(a -3)2n -1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a -3)2n -1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n -S n -1＝3n＋(a -3)2n -1-3n -1-(a -3)2n -2＝2×3n -1＋(a -3)2n -2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，2×3n -1＋（a -3）2n -2，n ≥2. a n ＋1-a n ＝4×3n -1＋(a -3)2n -2＝2n -2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2＋a -3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2＋a -3≥0⇔a ≥-9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求a 的取值范围是[-9，＋∞)．。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 重点强化训练3 不等式及其应用 文 新
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重点强化训练（三）不等式及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．下列不等式一定成立的是( ）A．lg错误!〉lg x(x>0)B．sin x＋错误!≥2(x≠kπ,k∈Z）C．x2＋1≥2|x｜（x∈R)D。
错误!>1（x∈R）C［取x＝错误!,则lg错误!＝lg x,故排除A；取x＝错误!π,则sin x＝－1,故排除B；取x＝0，则错误!＝1,排除D。
]2．（2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6C．10 D．17B[由约束条件作出可行域如图所示,目标函数可化为y＝－错误!x＋错误!z，在图中画出直线y＝－错误!x，平移该直线,易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0），∴z min＝2×3＋5×0＝6.故选B。
］3．(2016·浙江高考）在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域错误!中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则｜AB|＝（）A．2错误!B．4C．3错误!D．6C［由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为｜CD|。
2018高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明教师用书文
第六章⎪⎪⎪ 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ．答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c的大小关系为________． 答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n答案：B2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5． 当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q3－－q5q4－q＝－q －1q4＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5． 综上可知S 3a 3＜S 5a 5． 答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b c B ．a d ＜b c C ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c＝－1，b d＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三 不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0， 则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2． 5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．∴a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥2168．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2．∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0．∴a b2＋b a2≥1a ＋1b ． 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e a －c2>e b －d2．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0． 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1a －c2<1b －d2．又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2·c a<4， ∴c a的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________． 解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得a －b m a a ＋m ＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0． 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ．即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ． 答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5． 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}， 根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}， 所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2． 所以a ＋b ＝－14． 答案：－141．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏] 1．不等式x －3x －1≤0的解集为( ) A ．{x |x ＜1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |1＜x ≤3} D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1． 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0． 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参数的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3．当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m f n，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m ，fn[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4． 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f(－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2． 答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0， 由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)， 1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1， 所以－1＜k ＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2． 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32． 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 考点二 求目标函数的最值题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25．所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,2]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x－y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________． 解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线 2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选 D 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 5．(2017·昆明七校调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2。
2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第六章 不等
课时规范训练 A 组 基础演练1．用数学归纳法证明2n＞2n ＋1，n 的第一个取值应是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.∵当n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n ＋1不成立； 当n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n ＋1不成立； 当n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) A ．一切正整数命题成立 B ．一切正奇数命题成立 C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对解析：选B.n ＝1为奇数，n ＝k ＋2为奇数．故B 项正确．3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B.当n ＝8时，1＋12＋14＋…＋127＝255128＞12764.4．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋解析：选C.当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.故猜想a n ＝1n －n ＋.5．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：选D.在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析：因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 答案：2k ＋17．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n ＝________.解析：∵a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋1＝32，a 3＝12a 2＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝158.由此可猜想a n ＝2n－12n －1.答案：2n－12n －18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析：由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.由此可猜想S n ＝nn ＋1.答案：nn ＋19．设数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n . 求证：对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2. 证明：∵数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n ，∴a 2＝a 1－a 21＞0，解得0＜a 1＜1.当n ＝2时，a 2＝a 1－a 21＝14－(a 1－12)2≤14，不等式成立，假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即a k ≤1k ＋2， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k －a 2k ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122≤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2－122＝k ＋1k ＋2＜k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋＋2， ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立， 由数学归纳法知，对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2. 10．已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：对任意n ∈N *，a n ＞2； (2)判断数列{a n }的单调性，并说明理由． 解：(1)证明：用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k ＞2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论也成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n ＞2成立． (2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)， 又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n . 故{a n }是单调递减的数列．B 组 能力突破1．用数学归纳法证明1＋2＋3…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋4＋k ＋22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：选D.等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 3．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)解析：选D.(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立， 即3(2＋7n)能被9整除， 那么当k ＝n ＋1时有3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，命题对k ∈N *成立．4．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1＞n －22(n ≥2)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＞0＝右边，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋14＋…＋12k －1＞k －22成立，那么n ＝k ＋1时，12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1＞k －22＋12k －1＋…＋12k ＞k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k＝k －22＋2k －12k＝k ＋－22，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时恒成立．5．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．。
2018年大一轮数学理高考复习人教课件第六章 不等式与
的前 10 项的规律推测这个数列的第 2 019 项是________．
1 解析：这个数列的前 10 项按如下规则分组．第一组：1；第二组： 2 1 3 2 1 4 3 2 1 n 1，2；第三组：1，2，3；第四组：1，2，3，4；…；第 n 组：1， n－1 n－2 n－r＋1 nn＋1 1 ，…，n.由不等式 2 ＜2 019，即 2 ， 3 ，…， r nn＋1 n(n＋1)＜4 038， 得 n≤63(n∈N )， 且当 n＝63 时， 2 ＝2 016,2
＝2× 2 2 n 6 1 ，故 a7＝2× ＝4. 2 2
1 答案：4
[方法引航]
解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对
象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行 解决.如解决含有递推关系式的归纳推理的问题，一般是先根据题 中的递推关系式求出一些特殊对象，然后再根据这些特殊对象与 序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出 一般性结论.归纳推理的一般步骤： 1通过观察个别情况发现某些相同的性质； 2从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想.
解析：根据已给出的等式归纳推理求解． 4 4 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的3是个固定数，3后 面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数 4 的一半，3后面第二个数是第一数的下一个自然数，所以，所求结 4 4 果为3×n×(n＋1)，即3n(n＋1)．
4 答案：3n(n＋1)
(3)如图， 在等腰直角三角形 ABC 中， 斜边 BC＝2 2.过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1；过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3；…，依此类推．设 BA＝a1，AA1＝a2， A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则 a7＝________.
大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第六章 不等式与推理证明》6-2 Word版含解析
课时规范训练A 组 基础演练1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x －y≥－2，4x ＋3y≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B.在坐标平面内画出直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个．2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋y ≥1，3x －y≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( ) A ．3 B.52C ．2D ．22解析：选C.因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，其面积为12×|AB |×|AC |＝2.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥02x －y －2≤0x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为( )A.132B ．6 C ．11 D ．10解析：选C.令z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z2，作出可行域如图，平移直线x ＋2y ＝0，过点A (3,4)时，z 有最大值，则z max ＝3＋2×4＝11.4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y≥0，y －3x ＋1≥0，则z ＝x －2y 的最大值是( )A ．－3 B.32C.34D ．－32解析：选C.二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，观察可知当直线z ＝x －2y 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－14时，z 取得最大值，最大值为34，故选C.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A.可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7，选A.6．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥x x ＋y≤2x≥m，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.14B.15C.16D.17 解析：选A.根据题中所给约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥x x ＋y≤2x≥m所得的可行域如图所示．根据y ＝－2x ＋z 可知z 的几何含义为直线在y 轴上的截距．显然y ＝－2x ＋z 在点(1,1)和(m ，m )处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m ，故3＝4·3m ，解得m ＝14.7．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13D ．－12解析：选C.画出图形，数形结合得出答案．如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)．当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.8．O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2≤4，2x －y≥0，y≥0，则OM →·ON→的最大值为( ) A.2B ．22 C.3D ．23解析：选B.如图，点N 在图中阴影区域内，当O 、M 、N 共线时，OM →·ON →最大，此时N (2，2)，OM →·ON →＝(1,1)·(2，2)＝22，故选B.9．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是() A ．(1－3，2) B ．(0,2)C ．(3－1,2) D ．(0,1＋3)解析：选A.如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2＜z ＜－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．10．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为()A ．2B ．3C ．－23D ．－53解析：选B.作出可行域如图，问题转化为区域上哪一些与点M (－3,1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.B 组 能力突破1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于()A ．7B ．8C ．10D ．11解析：选C.先作出线性约束条件下的可行域，再平移目标函数所对应的直线．作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (4,2)时，z 取最大值为10.2．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则y x －a的最大值是()A.25B.23C.16D.14解析：选A.目标函数可化为y ＝－1a x ＋1az .要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则－1a ＝k AC ＝1，则a ＝－1.故yx －a ＝yx ＋1，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点M (－1,0)的连线的斜率，可知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y x ＋1max ＝k MC ＝25，故选A. 3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．解析：由线性约束条件画出可行域为如图所示的△ABC 内部区域(包括边界)．由z ＝3x ＋y变形得y ＝－3x ＋z ，作直线l ：y ＝－3x 并平移，当直线平移至过点A (0,1)时，z 取得最小值，且最小值z ＝3×0＋1＝1.答案：14．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，M 为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，即原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值．∴|OM |min ＝|0＋0－2|2＝22＝2.答案：25．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y≥kx＋5，0≤x≤2表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k 的取值范围是________．解析：不等式组所表示的区域是由直线x －y ＋5＝0，x ＝2，x ＝0和过定点(0,5)的直线y ＝kx ＋5所围成的平面区域，如图所示．由图可知，要使阴影部分成锐角三角形，动直线y ＝kx ＋5与直线x ＝2的交点E 必须位于点B (2,3)和点D (2,5)之间，此时－1<k <0.答案：(－1,0)6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤1，x ＋y≥0，x －y －2≤0表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆x 2＋y 2＝1内的概率为________．解析：画出可行域及圆x 2＋y 2＝1(如图)．可行域恰好为等腰直角三角形ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.点A (－1,1)到直线x －y －2＝0的距离为错误!＝2错误!，所以可行域D 的面积为12×22×22＝4.而圆x 2＋y 2＝1在可行域内恰为半圆，面积为π2，故点M 落在圆x 2＋y 2＝1内的概率为π24＝π8.答案：π8。
大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第六章 不等式与推理证明》6-3 Word版含解析
课时规范训练A 组 基础演练1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b>2abC.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab 解析：选C.因为ab >0，所以ba >0，ab >0，即ba ＋ab≥2b a ·ab＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以选C. 2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12 C.34D.23解析：选B.∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 解析：选C.f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x ＞2，∴x －2＞0. ∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2错误!＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立．又f (x )在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3.4．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53 C ．2 D.54解析：选C.由x ＞0，y ＞0知4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，故选C.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B ．4 C.92D ．5 解析：选C.y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋4b ＝52＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4a b ＋b a ≥52＋12×24a b ·b a ＝92，当且仅当4a b ＝ba，即a ＝23，b ＝43时，不等式取等号，故选C.6．已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx＝8. 当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1， ∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2， ∴x ＋y ≤－2.即(x ＋y )∈(－∞，－2]．8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜ab B ．v ＝abC.ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解析：选A.设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为sa ＋sb ，从而v ＝2s sa ＋sb＝2aba ＋b. ∵0＜a ＜b ，∴ab ＜a ＋b 2，2ab a ＋b ＞2ab 2b ＝a ，∴2a ＋b＜1ab，即2aba ＋b＜ab ，∴a ＜v ＜ab .9．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x2＋1＞1(x ∈R ) 解析：选C.应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确； 当x ＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D 不正确． 10．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4.B 组 能力突破1. 函数y ＝x2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2解析：选A.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝错误!＝错误!＝x－1＋3x－1＋2≥2错误!＋2 ＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．2．设x，y均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy的最小值为()A．4 B．43 C．9 D．16解析：选D.由32＋x＋32＋y＝1得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.3．已知x＞1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：∵x＞1，∴x－1＞0，∴x＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x－1＝4x－1即x＝3时等号成立．答案：54．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．解析：依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|·|2b|＝22|ab|＝2100＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20. 答案：205．若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为__________．解析：由已知得m＋n＝2，所以1m＋1n＝12(m＋n)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1m＋1n＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋nm＋mn≥12⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2nm×mn＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号．答案：26．已知a＞0，b＞0，若不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，则m的最大值是________．解析：∵a＞0，b＞0，∴2a＋1b≥m2a＋b恒成立，等价于m≤5＋2ab＋2ba恒成立．又5＋2ab＋2ba≥5＋24＝9，当且仅当2ab＝2ba，即a＝b时，等号成立．∴m≤9，则m的最大值为9. 答案：9。
2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练：《第六章 不等式与推理证明》6-4含解析
课时规范训练A 组 基础演练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B.5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，…… 推出x －20＝12，所以x ＝32.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123D ．199解析：选 C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 3．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2 D ．不可类比答案：C5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两个说对了，则四名学生中说对了的两人是( ) A ．甲 丙 B ．乙 丁 C ．丙 丁D ．乙 丙解析：选D.如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 … … … A ．809 B ．852 C ．786 D ．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809. 8．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1]( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2解析：选A.由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝ (1)9．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m解析：选D.法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．10．n个连续自然数按如下规律排列：则从2 018到2 020，箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：选C.由题意可知箭头变化的周期为4，又2 018＝504×4＋2，故由可知从2 018到2 020箭头的方向依次为↑→.B组能力突破1．已知集合A n＝{1,3,7，…，(2n－1)}(n∈N*)，记A n中所有可能的k(k＝1,2,3，…，n)个数的乘积的和为T k(若k＝1，规定乘积为此数本身)，记S n＝T1＋T2＋T3＋…＋T n.例如当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；当n＝2时，A2＝{1,3}，T1＝1＋3，T2＝1×3，S2＝1＋3＋1×3＝7，则S n＝()A．2n－1 B．22n－1－1C．2n(n－1)＋1－1 D．－1解析：选D.本题考查推理与证明．当n＝3时，A3＝{1,3,7}，T1＝1＋3＋7＝11，T2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T3＝1×3×7＝21，所以S3＝11＋31＋21＝63.由于S1＝21－1，S2＝23－1，S3＝26－1，所以可猜想S n＝21＋2＋3＋…＋n－1＝－1. 2．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＋c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，∠AOB＝∠B OC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析：选A.如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23.3．观察分析下表中的数据：__________________． 解析：观察分析、归纳推理． 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 答案：F ＋V －E ＝24．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝__________.解析：由S n ＝2a n －n ①，得到S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－1(n ≥2)，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，对①式，令n ＝1，有a 1＝1，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.答案：2n －1 5．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点； 命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点； 命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点； ……请观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)为：________.解析：点的横坐标是命题“n ”的值，纵坐标为n 2，直线的斜率为n ，曲线的系数为n 3，总结为点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点．答案：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4________，________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8。
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课时规范训练
《第六章不等式与推理证明》6-4
A组基础演练
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()
A．28B．32
C．33 D．27
解析：选B.5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，……
推出x－20＝12，所以x＝32.
2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选 C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
3．下列推理是归纳推理的是()
A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2
a2＋y2
b2＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.
4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2
，可推知扇形面积公式S 扇等于( )
A.r 22
B.l 22
C.lr 2
D ．不可类比
答案：C
5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，
外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14
，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2
＝( ) A.18
B.19
C.164
D.127 解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2
＝127. 6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两个说对了，则四名学生中说对了的两人是( )
A ．甲 丙
B ．乙 丁
C ．丙 丁
D ．乙 丙
解析：选D.如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.
7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数
为()
1
357
911131517
19212325272931
………
A．809 B．852
C．786 D．893
解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
8．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
(1)1]()
A．n B．n＋1
C．n－1 D．n2
解析：选A.由(n＋1)*1＝n*1＋1，
得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝ (1)
9．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是() A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n
C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m
解析：选D.法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．
法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m 成立．
10．n个连续自然数按如下规律排列：
则从2 018到2 020，箭头的方向依次为()
A．↓→B．→↑
C．↑→D．→↓
解析：选C.由题意可知箭头变化的周期为4，又2 018＝504×4＋2，故由可知从2 018到2 020箭头的方向依次为↑→.
B组能力突破
1．已知集合A n＝{1,3,7，…，(2n－1)}(n↔N*)，记A n中所有可能的k(k＝1,2,3，…，n)个数的乘积的和为T k(若k＝1，规定乘积为此数本身)，记S n＝T1＋T2＋T3＋…＋T n.例如当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；当n＝2时，A2＝{1,3}，T1＝1＋3，T2＝1×3，S2＝1＋3＋1×3＝7，则S n＝()
A．2n－1 B．22n－1－1
C．2n(n－1)＋1－1 D．－1
解析：选D.本题考查推理与证明．当n＝3时，A3＝{1,3,7}，T1＝1＋3＋7＝11，T2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T3＝1×3×7＝21，所以S3＝11＋31＋21＝63.由于S1＝21－1，S2＝23－1，S3＝26－1，所以可猜想S n＝21＋2＋3＋…＋n－1＝－1.
2．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a2＋b2＋c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，
S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正
确的为( )
A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23
B ．S 2
＝1S 21＋1S 22＋1S 23 C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3
D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3
解析：选A.如图，作OD ⊥BC 于点
D ，连接AD ，由立体几何知识知，
AD ⊥BC ，从而S 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2
＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23.
3．观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是__________________． 解析：观察分析、归纳推理．
观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.
答案：F ＋V －E ＝2
4．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝__________. 解析：由S n ＝2a n －n ①，得到S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－1(n ≥2)，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，对①式，令n ＝1，有a 1＝1，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.
答案：2n －1
5．给出下列命题：
命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点；
命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点；
命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点；
……
请观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)为：________.
解析：点的横坐标是命题“n ”的值，纵坐标为n 2，直线的斜率为n ，
曲线的系数为n 3，总结为点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一
个交点．
答案：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，
则T 4________，________，T 16T 12
成等比数列．
解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，
因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12
＝a 13a 14a 15a 16， 而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12
的公比为q 16， 因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12
成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 8。