高一上册数学学案2.5不等式的证明3沪教版
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明-导学案-沪教版
不等式的证明比较法证明不等式 【学习目标】1．理解比较法证明不等式的理论依据。
2．掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤。
3．会用比较法证明简单的不等式。
【学习过程】1．求差比较法(1)理论依据：①a >b ⇔a －b >0.②a ＝b ⇔a －b ＝0. ③a <b ⇔a －b <0.(2)定义：要证明a >b ，只要转化为证明a －b >0.这种方法称为求差比较法。
(3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论。
2．求商比较法(1)理论依据：当b >0时，①a >b ⇔a b >1，②a <b ⇔a b <1，③a ＝b ⇔a b＝1． (2)定义：证明a >b (b >0)只要转化为证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法。
一、思考探究1．求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？【提示】 作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明。
实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。
2．求商比较法主要适用的类型是什么？【提示】 主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明。
二、课堂互动探究例1 已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋B ．思路探究： 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号。
自主解答： 法一 化成几个平方和 ∵a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋B．法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1．对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋B．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2B．【证明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)。
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明_教案1-沪教版
不等式的证明【教学目标】1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式。
【教学重难点】1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）。
【教学过程】一、课前预习：1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） ()A 1,)+∞ ()B (1]-∞ ()C 1,)+∞ ()D (1]-∞2．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 。
二、例题分析：例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤。
例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21211a a =++，（1介于1a 与2a 之间；（2）证明：2a 比1a更接近于3； （3 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -<。
例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<。
【作业布置】1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ）()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1-()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1-2. 设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 。
3．,,x x y R x y y ∈=-，则x 的取值范围是 。
4．已知221x y +=，求证：y ax -≤ 5．证明：2221111223n ++++<。
6．设,,a b c 为三角形的三边，求证：3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-。
沪教版高一上册数学高一上册学案不等式的证明
§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法☆学习目标： 1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式☻知识情景：1. 基本不等式：10. 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 20. 如果,a b R +∈,那么2a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.30. 如果,,a b c R +∈,那么3a b c++≥, 当且仅当a b c ==时, 等号成立.2.均值不等式：如果,a b R +∈,那么22ab a b a b ++≤≤≤常用推论：10. 20a ≥; 0;a ≥ 12(0)a a a+≥> 20. 2(0)a bab b a +≥>;30. a c bb a c++≥(,,a b c R +∈).3.不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法☆案例学习：综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒例1 ,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:例212n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2n n a a a a a a a a a +∈=+++≥已知且求证:分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：例3例4例5 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++12 ( ) n B B B B A⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知 <求证222222,,0,a b b c c a a b c abca b c ++>≥++已知求证:选修4-5练习 §2.1.2不等式的证明(2) 姓名1、已知,,0,0y x y x ≠>>求证.411yx y x +>+2、已知,0>>b a 求证.b a b a ->-3、已知.0,0>>b a 求证：（1）.4))((11≥++--b a b a （2）.8))()((333322b a b a b a b a ≥+++4、已知d c b a ,,,都是正数。
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明-导学案2-沪教版
综合法、放缩法【学习目标】1．理解综合法的方法与步骤，会用综合法证明简单的不等式．2．认识放缩法，了解它的方法与步骤，会用放缩法证明简单的不等式． 【学习内容】1．综合法（1）定义：利用某些 (例如算术平均数和几何平均数的定理)和__________，推导出所要证明的不等式，这种证明方法叫综合法．（2）证明原理：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B ，即从________出发，逐步推演不等式成立的____条件，推导出所要证明的结论B ．做一做1设a ，b ，c 都是正数，求证：(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92． 2．放缩法（1）定义：通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为______．（2）放缩法证明不等式的主要依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．做一做2若n ∈N ＋，求证：1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＜n ＋122．答案：1．（1）已经证明过的不等式 不等式的性质 （2）已知条件A 必要 做一做1证明：∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 3·3a ＋b b ＋c c ＋a ，又1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥3·31a ＋b b ＋cc ＋a，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥12·3·3a ＋b b ＋c c ＋a ·3·31a ＋bb ＋cc ＋a≥92． 2．（1）放缩法 做一做2 分析：利用n n ＋1＜n ＋n ＋12＝2n ＋12来证明．证明：∵nn ＋1＜n ＋n ＋12＝2n ＋12， ∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 3＋2n ＋122＝n n ＋22＝n 2＋2n 2＜n ＋122．【学习重难点】1．分析法与综合法的比较剖析：（1）综合法与分析法的比较如下表． 方法起始步骤 求证过程 求证目标方向综合法基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推理或等价变换要求证的结论 由因导果分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件并证明其成立所需条件全都成立执果索因综合法：A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (结论)(逐步推演不等式成立的必要条件)， 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知或明显成立的条件)(步步寻求不等式成立的充分条件)．总之，分析法与综合法是对立统一的两种方法．2．用放缩法证明不等式剖析：（1）为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法就是放缩法．运用放缩法要注意放缩必须适当，放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的．（2）放缩时使用的主要方法有：①舍去或加上一些项，如⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；②将分子(或分母)放大(或缩小)，如1k 2＜1kk －1(k ＞1)，1k 2＞1kk ＋1，1k＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1(k ∈N ＋)等．（3）放缩法的理论依据主要有①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对不等式而言，放缩法的本质是“不等式的加强”．（4）运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式． 【典型例题】题型一 利用综合法证明不等式 例1设a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3． 分析：利用不等式的性质，对不等式的左边进行整理，化简．反思：在利用a ＋b ≥2ab 时，必须满足“一正二定三相等”，而本题中a ，b ，c 为不全相等的正数，故三项之和取不到6，即等号不能传递下去．题型二 利用放缩法证明不等式例2设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1．分析：要求一个n 项分式1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，先观察每一项的范围，再求整体的范围．反思：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明112＋122＋…＋1n 2＜74，根据1k 2＜1k －1－1k ，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项开始放缩，可证得小于2．当放缩方式不同时，结果也在变化．答案： 例1证明：左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c－1 ＝b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c－3． ∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2中的等号不可能同时成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＞6， ∴b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞6－3＝3． 例2证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k ＜1n ． 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n； … 当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n ． ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1， 即原不等式成立．【随堂练习】1使a＞b＞0成立的一个充分而不必要条件是( )．A．a－2＞b－2 B．a2＞b2＞0C．lg a－lg b＞0 D．x a＞x b且x＞02设a＞0，b＞0，a＋b＝1，M＝1a＋1b＋1ab，则M与8的大小关系是( )．A．M＝8 B．M≥8 C．M＜8 D．M≤8 3已知α∈(0，π)，则下列各式成立的是( )．A．2sin 2α≤sin α1－cos αB．2sin 2α＝sin α1－cos αC．2sin 2α＞sin α1－cos αD．2sin 2α≥sin α1－cos α4设a，b，c，d为任意正实数．求证：1＜aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜2．答案：1．A 由a－2＞b－2，知a－2＞b－2⇒a＞b．又a－2＞0且b－2≥0，∴a＞2且b≥2，∴a＞b≥2＞0．2．B ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1ab≥4．∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1ab≥2ab·21ab＋4＝8．∴1a＋1b＋1ab≥8，即M≥8．当且仅当a＝b＝12时等号成立．3．A ∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0．∴11－cos α＋4(1－cos α)≥4⎝⎛当且仅当cos α＝12，即α＝⎭⎪⎫π3时等号成立，∴4cos α≤11－cos α．∵α∈(0，π)，∴sin α＞0．∴4sin αcos α≤sin α1－cos α．∴2sin 2α≤sin α1－cos α．4．证明：∵a，b，c，d均为正实数，∴aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜aa＋b＋bb＋a＋cc＋d＋dd＋c＝2，且aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＞aa＋b＋c＋d＋ba＋b＋c＋d＋ca＋b＋c＋d＋da＋b＋c＋d＝1．∴原不等式1＜aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜2成立．。
沪教版高一上册数学高一上册教案不等式的基本性质(1)
2.1不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。
渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。
在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。
而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。
二、探究不等式的基本性质判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a>b的充分必要条件是a-b>0；a=b的充分必要条件是a-b=0；a <b 的充分必要条件是a-b <0。
引出等式的性质： a=b ，b=c ⇒a=c ； a=b ⇒ac=bc ； a=b ，c=d ⇒a+c=b+d 。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论： 结论1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
结论2 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
结论3 如果a >b ，那么ac >bc 。
[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的三个性质：性质1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
性质2 如果a >b ，那么a+c >b+c 。
性质3 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc 。
沪教版(上海)数学高一上册-2.1 不等式的基本性质(1) 教案
3．在教师的引导下，通过类比猜想，体验定理的形成过程，进一步养成探索的习惯和意识。
教学重点：掌握判断两个实数大小的基本方法。
教学难点：综合应用不等式的基本性质证明两个实数的大小关系。
教学分析及教学设计：
本节课是高一第二章不等式的第一节第一课时，课程标准的要求是：1、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2、通过类比得到不等式的基本性质，并能加以证明，会用不等式的基本性质判断不等关系；3、培养代数证明的基本能力，并建议两课时完成。可以看出，在高中阶段，学习不等式的基本性质，其目的是为比较实数大小、解不等式以及不等式证明等知识打好基础，同时培养学生代数证明的基本能力、探索意识等科学素养。
【小结】
1、例1结论是不等式的基本性质1~3，今后可直接使用；
2、基本性质中的 可以是任何满足条件的实数或值为实数的代数式。
【设计意图】
通过教师示范、学生模仿，证明不等式的基本性质1~3，并总结比较两实数大小的基本方法“作差法”，初步体验代数证明的过程。通过减法性质和除法性质的提问，使学生产生类比猜想的意识，为叠乘性质的类比猜想做铺垫，并使学生能够更深层地理解加法性质和乘法性质中字母的意义以及性质的地位和作用。
教学过程：
一、复习引入
1、介绍学习目的
在初中，我们已经学习了不等式的性质、如何解一元一次不等式（组）以及如何比较两个具体实数的大小关系。在高中，我们将要学习如何比较两个抽象实数的大小关系，还要学习解一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式和高次不等式，今后我们还要学习不等式的证明。在所有这些问题的推理过程中，我们需要言之有据。这里的“据”就是今天我们将要学习的不等式的基本性质。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质 教案
基础模块（上）不等式的基本性质教学目标：知识目标1、掌握不等式的三个基本性质。
2、了解解不等式的方法。
3、利用不等式的性质解决实际问题。
能力目标通过不等式基本性质的学习，培养学生的观察能力，分析能力及计算技能。
情感、态度和价值观通过不等式性质学习，并应用不等式的性质解决生活、生产中的问题，体验数学的应用价值，提高学生不畏困难，学好数学的决心和信心。
教学重、难点重点：不等式的基本性质及推论。
难点：利用不等式的性质解决实际问题。
教学过程一、创设情景，导入新课1、看屏幕，以上两幅图同学们发现了什么？想到了什么？（引出量的不等性）2、测量三个人身高，小李1.67米，小王1.65米，小王比小张高，那么我们不用测量能知道小李比小张高的结论吗？你的依据是什么？二、推理探究学习新知1、不等式的基本性质1（传递性）如果a＞b 且b ＞c，那么a ＞c证明：a ＞b a- b ＞0b ＞c b- c ＞0于是a- c = (a- b)+(b- c) ＞0因此a ＞c2、不等式的基本性质2（加法性质）如果a ＞b 那么a+c ＞b+c即不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变。
请同学们利用作差法加以证明。
（指名两位同学到黑板上作答，并评价后，看老师所给的证明过程）证明：由：(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b因为a＞b, a-b ＞0于是(a+c)-(b+c) ＞0故a+c ＞b+c请同学们一起说出不等式的基本性质2补充：利用性质2，可以由a+b ＞c得到a ＞c-b，表明在解不等式时也可以进行移项。
3、不等式基本性质3（乘法性质）如果a ＞b,c ＞0,那么ac ＞bc如果a ＞b,c ＜0,那么ac ＜bc不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
请同学们举一些式子，用具体的数字加以验证。
4、特殊性质1（推论1）如果a ＞b,且c ＞d,那么a+c ＞b+d证明：由a ＞b,c ＞d可得a+c ＞b+c, b+c ＞b+d由不等式性质1（传递性）可得：a+c ＞b+d这就说明不等式还具有同向可相加的特殊性质。
上海教育版数学高一上2.5《不等式的证明》word教案
2.5 不等式的证明一、教学内容分析有关不等式的证明问题一直是数学中的难点，除一些基本方法外还牵涉到相当多的技巧问题.作为高一的不等式证明重在基本证明思路、方法的介绍，所以教材中也不牵涉过多的技巧问题，主要涉及利用不等式基本性质以及基本不等式来进行证明.二、教学目标设计1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路.2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用.4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。
三、教学重点及难点重点 利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明. 难点 分析法的基本思路及其表达.四、教学过程设计 一、比较法比较法有两种： （1）比差法：求差与0比.（2）比商法：求商与1比，要注意讨论分母的符号.例1 求证：（1）()()221x x x +<+.（2）222x x >-.证明：（1）因为()()2222122110x x x x x x x +-+=+---=-<，所以，()()221x x x +<+.（2）因为()()()222222111110x x x x x --=-++=-+≥>，所以，222x x >-. [说明]本例的几何意义.（1）()2y x x =+的图像在()21y x =+的下方，如图所示（A 点比B 点低1个单位）.（2）2y x =的图像在22y x =-的图像上方，如图所示（A 点比B 点高）.例2 设0a >，0b >，求证：2211a b b a a b+≥+.（补充） 证明：()()2222332222222211a a b b a b a b a b ab a b b a a b a b a b ---+--⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ()()()()2222222ab a b a b a b a b a b ---+==因为0a >，0b >⇒0a b +>，又，()2220a b a b-≥，当且仅当0a b =>时等号成立，所以，()()2220a b a b a b -+≥，当且仅当0a b =>时等号成立.故2211a b b a a b+≥+. 另证：因为0a >，0b >，所以0ab >，则()3322222221121111a b a b a b ab a b ab b a ab a b ab ab ab a b+++-+===-≥-=-=++.当且仅当0a b =>时等号成立.AB 1⎫⎬⎭个单位1⎫≥⎬⎭个单位AB又0a >，0b >⇒110a b +>，故 2211a b b a a b+≥+.当且仅当0a b =>时等号成立. [说明]此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.二、综合法从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.例3 已知a 、b 、c 均为正数，求证：()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥. 证明：()()()222222ab a b bc b c ca c a a b ab b c bc c a ca +++++=+++++=()()()222222a b bc b c ca c a ab +++++， 因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：222222222a b bc abc b c ca abc c a ab abc ⎫+≥=⎪⎪+≥=⎬⎪⎪+≥=⎭⇒()()()2222226a b bc b c ca c a ab abc +++++≥即，()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥.当且仅当222222a b bc b c ca c a ab ⎧=⎪=⎨⎪=⎩⇔222a b c ==⇔0a b c ==>时等号成立.所以，不等式()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥成立.例4 已知a 、b R ∈，求证：()()2222a b a b +≥+.证明：()()()22222222222a ba ab b a ab b a b +=+++≥++=+.当且仅当a b =时等号成立.所以不等式2222()()a b a b +≥+成立.例5 22≥.10≥>，由基本不等式得，22112x++==≥=.当且仅当=⇔211x+=⇔0x=时等号成立.22≥成立.[说明]此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.例6求证：()22112a b a b+≤≤++.==a b a b≥==+≥+.当且仅当1aba b=⎧⎨+≥⎩时等号成立.另一方面，()22221122a b+=++.当且仅当=⇔a b=时等号成立.所以，()22112a b a b+≤≤++，当且仅当1aba ba b⎧=⎪+≥⎨⎪=⎩⇔1a b==等号同时成立.[说明]利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.三、分析法从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.分析法也可以如下叙述为： 欲证结论Q ，需先证得1P ，欲要证得1P ，需先证得2P ， 欲要证得2P ，需先证得3P ，……………………………，欲要证得1n P -，需先证得n P .当n P 成立时，若以上步步可逆，则结论Q 成立.用数学语言表述，必须保证下述过程成立Q ⇐1P ⇐2P ⇐3P ⇐…⇐1n P -⇐n P ，因为n P 成立，所以结论Q 成立.[说明]分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7 求证：1+>证明：因为10+>0>，则要证1>即证(2217+>=成立，即证47+>成立.即证3>成立，即证(223>成立，即证129>成立.因为129>成立，且以上步步可逆，所以，1>.例8 已知：ad bc ≠，求证：22222()()()a b c d ac bd ++>+. 证明：要证()()()22222a bc d ac bd ++>+成立，即证22222222a c a d b c b d +++>22222a c acbd b d ++成立即证()()222220a d ad bc b c -+>成立，即证()20ad bc ->成立，由ad bc ≠⇒0ad bc -≠⇒2()0ad bc ->成立，且以上步步可逆，故有 ()()()22222a b c d ac bd ++>+.例9 设a 、b R ∈，求证：a b a b a b -≤+≤+，并指出等号成立的条件. 证：先证“a b a b +≤+”.注意到0a b +≥，0a b +≥，则对于任意a 、b R ∈，要证a b a b +≤+成 即证()22a ba b +≤+成立，即证222222a ab b a ab b ++≤++成立， 即证ab ab ≤成立，由绝对值定义知，任意a 、b R ∈，都有ab ab ≤，且以上步步可逆，因而a b a b +≤+，且等号成立⇔0ab ≥.再证；“a b a b -≤+”.由0a b -≥，0a b +≥，则对于任意a 、b R ∈，要证a b a b -≤+成立， 即证22a b a b -≤+成立，即证()()22a ba b -≤+成立，即证222222a a b b a ab b -⋅+≤++成立， 即证ab ab ≥-成立，由绝对值定义知，任意a 、b R ∈，都有ab ab ≥-，且以上步步可逆，因而a b a b -≤+，且等号成立⇔0ab ≤；综上可得，任意a 、b R ∈，不等式a b a b a b -≤+≤+成立.例9证明的不等式对任意的实数a 、b 成立，以b -换b 得到的不等式a b a b a b --≤-≤+-，即a b a b a b -≤-≤+也成立，此时，右端等号成立⇔()0a b -≥⇔0ab ≤，左端等号成立⇔()0a b -≤⇔0ab ≥.以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为三角不等式 对于任意a 、b R ∈，（1）a b a b a b -≤+≤+，左端等号成立⇔0ab ≤，右端等号成立⇔0ab ≥ （2）a b a b a b -≤-≤+，左端等号成立⇔0ab ≥，右端等号成立⇔0ab ≤. [说明]有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可适学生的具体情况而定.例10 已知2x a ε-<，2y a ε-<，求证：x y ε-<.证明：由三角不等式可得：()()22x y x a y a x a y a εεε-=---≤-+-<+=.所以，||x y ε-<.[说明]此例为练习2.4（5）中的一题.四、课堂小结五、作业布置选用练习2.4（4）（5）（6）、习题2.3中的部分练习.五、教学目标说明有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法.有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上需严格控制，只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即可.教学中的难点为分析法的讲解，一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据，特别在书写格式上应提出严格的要求，防止学生出现证明过程由结论推至条件的严重错误.三种方法介绍完之后，师生应有所归纳与小结，理清证明思路.事实上，一题往往会有多种证法，关键在于对题目的分析，选用哪种证法更为合适显得尤为重要.。
沪教版(上海)数学高一上册-2.5 不等式的证明 教案
课题：2.5 不等式的证明授课教师：教学目标（一）知识与技能目标：1、理解比较法、分析法、综合法的基本思路；2、会用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式；（二）过程与方法目标：1、在证明过程中，加强对不等式性质及基本不等式的应用；2、培养渗透转化、数形结合等数学思想。
（三）情感态度与价值观目标：1、通过揭示问题的本质特征，使得复杂问题转化为简单问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力并提高逻辑推理能力；2、锻炼学生思维的严谨性、灵活性、深刻性。
知识重点利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明教学难点分析法的基本思路和表达教学方法类比，转化教学过程教学方法知识疏理我们已经学习了不等式的性质和两个基本不等式，今天我们要以这些性质为依据，结合基本不等式的特征，研究不等式的证明。
那么，什么是不等式的证明？我们通过下面具体的例题说明.例1、已知a、b∈R，求证：2(a2+b2)≥(a+b)2.师：有哪些方法可以证明上述不等式？生：作差一、比较法证明：2(a2+b2)-(a+b)2=2a2+2b2-a2-2ab-b2=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0所以2(a2+b2)≥(a+b)2证明a>b<=>a-b>0,同样地，证明a<b<=>a-b<0, 证明a=b<=>a-b>=0这种证明不等式的方法称为比较法.比较法的一般步骤：作差=>变形=>定符号【说明】为了确定符号，一般要对式子配方或写成若干个式子乘积的形式.二、分析法师：还有什么方法可以证明上述不等式.生：要证明2(a2+b2)≥(a+b)2，就是要证明a2+b2≥2ab，就是要证明a2+b2-2ab≥0 师：从命题的角度来看，我们在找结论成立的什么条件？生：迟疑思考.证明：要证明2(a2+b2)≥(a+b)2，命题Q就是要证明a2+b2≥2ab，命题P4。
数学2.5不等式的证明教案2沪教版高中一级第一学期
2、设函数 的图象关于直线 对称，证明： 。
在函数方程中的应用
活动4归纳小结
比较法是证明不等式最常用最基本的方法.当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法。
活动5巩固提高
活动内容和目的
活动1课前热身－练习
重温概念领会新知
活动2概念性质－反思
深刻理解定义，注意定义的内涵与外延
活动3提高探究－实践
掌握一般方法。
活动4归－作业
巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1课前热身（资源如下）
通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
重点
能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
难点
能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
教学流程说明
活动流程图
3、已知：a、b是正实数，求证：
综合法
资源3、
1、已知a、b、c是△ABC的三边长，求证：
⑴ 2） ＜
2、1）x∈R，x≠－1，求证： .
2）b>a>0，求证： .
3、设实数x，y满足y+x2=0，0<a<1求证：
证明：（分析法）要证 ，
，只要证： ，
又 ，
只需证：
∴只需证 ，
即证 ，此式显然成立
∴原不等式成立
分析法
资源4、
1、比较 的大小。
变题：求证：
2、a＞0，b＞0，且a+b=1，求证： 1）ab≤ 2）
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明_导学案-沪教版
不等式的证明【学习目标】1．理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤，并能证明具体的不等式．2．理解不等式证明方法的意义，并掌握不等式中取得等号的条件．【学习内容】1．比较法（1）求差比较法．①理论依据：a＞b⇔______；a＜b⇔______．②证明步骤：____→变形→____→得出结论．（2）求商比较法．①理论依据：b＞0，ab＞1⇒______；b＜0，ab＞1⇒____．②证明步骤：____→变形→________________．做一做1－1已知x，y∈R，M＝x²＋y²＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是( )．A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定做一做1－2设m＞1，P＝m－m－1，Q＝m＋1－m，则P与Q的大小关系是__________．2．分析法（1）定义：从____________出发，分析使此不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件________的问题，如果能够使这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做______．（2）思路：“执果索因”的证明方法，即从______________出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到____________为止．做一做2若a＋b＝1，求证：a＋12＋b＋12≤2．答案：1．（1）①a－b＞0 a－b＜0 ②作差定号（2）①a ＞b a ＜b ②作商 判断与1的大小关系 做一做1－1A M －N ＝x²＋y²＋1－(x ＋y ＋xy )＝12[(x²＋y²－2xy )＋(x²－2x ＋1)＋(y²－2y ＋1)] ＝12[(x －y )²＋(x －1)²＋(y －1)²]≥0． ∴M ≥N ． 做一做1－2P ＞Q P ＝m －m －1＝1m ＋m －1＞0，Q ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m＞0，∴P Q＝m ＋1＋mm ＋m －1＞1，∴P ＞Q ．2．（1）所要证明的结论 是否成立 分析法 （2）求证的不等式 找到已知不等式 做一做2分析：利用分析法来考虑，容易找到证明思路． 证明：要证a ＋12＋b ＋12≤2， 即证⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＋b ＋122≤4，即证a ＋b ＋1＋2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12·b ＋12≤4． ∵a ＋b ＝1，故就是要证a ＋12·b ＋12≤1， 即证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14，只需证ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 也就是只需2ab ≤a 2＋b 2成立，这显然是成立的． 故原不等式成立．【学习重难点】1．比较大小关系的一般方法剖析：比较大小关系的一般方法是求差或求商比较法．可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预测，再进行比较．还有一类较为特殊的比较大小的问题，如数列问题中，两个数或代数式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化，这就要注意对相关问题的讨论，大小关系一定或不一定，首先应判断．2．求商比较法中的符号问题剖析：在求商比较法中，ba ＞1⇒b ＞a 是不正确的，这与a ，b 的符号有关，比如若a ，b＞0，由b a ＞1，可得b ＞a ，但若a ，b ＜0，由ba ＞1，可得b ＜a ，所以在求商比较法中，要对a ，b 的符号作出判断．对于此类问题，分为含参数变量类的和大小固定的，因而可以通过特殊值的方法先进行一定的猜测，进而再给出推理或证明过程． 【典型例题】题型一 用求差比较法证明不等式例1已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：a x²＋b y²≥(ax ＋by )²． 分析：利用作差→变形→定号→结论的步骤去证明．反思：利用比较法来证明不等式时，为了说明差式的符号，有下列三种常用的方法：①将差式分解因式；②将差式通过配方写成一些正(负)数的和；③构造新函数，证明函数恒正或恒负．题型二 用求商比较法证明不等式例2已知a ≥1，求证：a ＋1－a ＜a －a －1．分析：因为a ≥1，所以不等式两边都大于0，可考虑用求商比较法比较大小．反思：根据左、右两边都含无理根号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号方向．题型三 用分析法证明不等式例3已知α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且α≠β，求证：tan α＋tan β＞2tan α＋β2．分析：本题证明关系比较复杂，直接证明不易观察出因果关系，因此可以用分析法去找出证明思路．反思：利用分析法论证“若A 则B”这个命题的模式是：欲证命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而又只需证明命题B 2为真，从而又……只需证明命题A 为真，又已知A 为真，故B 为真．可简写成B ⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A ．题型四 易错辨析例4设a ＋b ＞0，n 为偶数，求证：b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b ．错解：b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＝a n －b na n －1－b n －1ab n．∵n 为偶数，∴(ab )n ＞0． 又a n －b n 和a n －1－b n －1同号，∴b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＞0， ∴b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b． 错因分析：由a ＋b ＞0可知a ，b 同正，也可以存在一正一负的情况，上面错解没有考虑这种情况，并且等号的取得也没有考虑．反思：在证明不等式的过程中，充分挖掘条件，利用条件是关键，特别是“等号”是否成立的条件的判断上要特别注意．答案：例1证明：∵a ＋b ＝1， ∴a x²＋b y²－(ax ＋by )² ＝a x²＋b y²－a 2x²－2abxy －b 2y² ＝a (1－a )x²＋b (1－b )y²－2abxy ＝ab x²＋ab y²－2abxy ＝ab (x －y )²． 又a ，b ∈R ，∴ab (x －y )²≥0，∴a x²＋b y²≥(ax ＋by )²．例2证明：∵a ≥1，∴a ＋1－a ＞0，a －a －1＞0， ∴左边右边＝a ＋1－a a －a －1＝a ＋a －1a ＋1＋a＜1， ∴左边＜右边，即a ＋1－a ＜a －a －1．例3证明：欲证tan α＋tan β＞2tanα＋β2，只需证sin αcos α＋sin βcos β＞2sinα＋β2cosα＋β2，只需证sin α＋βcos αcos β＞2sinα＋β2cosα＋β2．∵α＋β2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin α＋β2＞0．又∵sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2，故只需证cosα＋β2cos αcos β＞1cosα＋β2，∴只需证cos 2α＋β2＞cos αcos β， 即证1＋cos α＋β2＞cos αcos β，即证1＋cos αcos β－sin αsin β＞2cos αcos β． 只需证1＞cos(α－β)， ∵α≠β，∴结论显然成立． 故原不等式成立． 例4正解：b n －1a n ＋a n －1b n －1a －1b ＝a n －b na n －1－b n －1ab n．当a ＞0，b ＞0时，(a n －b n )(a n －1－b n －1)≥0，(ab )n ＞0， ∴a n －b na n －1－b n －1ab n≥0，∴b n －1a n ＋a n －1b n ≥1a ＋1b． 当a ，b 有一个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0．∵a ＋b ＞0，∴a ＞|b |．又∵n 为偶数，∴(a n －b n )(a n －1－b n －1)＞0． ∵(ab )n ＞0，∴a n －b na n －1－b n －1ab n＞0，∴b n －1a n ＋a n －1b n ＞1a ＋1b ． 综上，原不等式成立． 【随堂练习】1已知x ＞0，y ＞0，则下列关系式成立的是( )． A ．()()11223323x yx y +>+ B ．()()11223323x yx y ++＝ C ．()()11223323x yxy+<+ D ．()()11223323x yxy+≤+2设n ∈N ＋，则n ＋4－n ＋3__________n ＋2－n ＋1．3若a ，b ，m ，n 都为正实数，且m ＋n ＝1，则ma ＋nb 与m a ＋n b 的大小关系是__________． 4(2010·江苏高考)设a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 答案：1．A 假设11223332()()x y x y +>+成立，下面证明： 要证明11223332()()x y x y +>+． 只需证(x²＋y²)3＞(x³＋y³)²，即证x 6＋3x 4y²＋3x²y 4＋y 6＞x 6＋2x³y³＋y 6， 即证3x 4y²＋3x²y 4＞2x³y³．∵x ＞0，y ＞0，∴x²y²＞0，即证3x²＋3y²＞2xy ． ∵3x²＋3y²＞x²＋y²≥2xy ， ∴3x²＋3y²＞2xy 成立． ∴11223332()()x y x y +>+． 2．＜ ∵n ＋4－n ＋3＝1n ＋4＋n ＋3，n ＋2－n ＋1＝1n ＋2＋n ＋1，∴n＋4－n＋3n＋2－n＋1＝n＋2＋n＋1n＋4＋n＋3＜1，又n＋4＋n＋3＞0，∴n＋2＋n＋1＜n＋4＋n＋3，∴n＋4－n＋3＜n＋2－n＋1．3．ma＋nb≥m a＋n b由a，b，m，n为正数，且m＋n＝1，可知m＝1－n，n＝1－m，∴(ma＋nb)²－(m a＋n b)²＝ma＋nb－m²a－n2b－2mn ab＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab＝mn(a－b)²≥0．又ma＋nb＞0，m a＋n b＞0，∴ma＋nb≥m a＋n b．4．证明：由a，b是非负实数，求差，得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b≥0时，a≥b，∴(a)5≥(b)5．∴(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当0≤a＜b时，a＜b，∴(a)5＜(b)5．∴(a－b)[(a)5－(b)5]＞0．综上，可得a3＋b3≥ab(a2＋b2)．。
沪教版高一上册数学高一上册教案不等式的证明(2)
第七教时教材：不等式证明二（综合法，分析法，反证法，变换法）目的：加强不等式证明的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。
过程：1 综合法有时我们可以利用某些已经证明过的不等式(例如均值不等式)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种方法通常叫做综合法,也叫做公式法.2 分析法证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法通常叫做分析法.证明:()abcc b a a bc c b 20,22222≥+∴>≥+ 同()()abcb ac abc c a b 222222≥+≥+因为 不全相等,所以三式不能全取等cb a ,,()()()abcb ac a c b c b a 6222222>+++++∴cb a ,,()()()abcb ac a c b c b a 6222222>+++++证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,例如这道题,我们很难想到从21<25下手,因此,我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要方法3 反证法5273<+73+525273<+()()225273<+2021210<+10212<521<2521<证明:因为 和 都是正数,所以为了证明只需证明 展开得因为 成立,所以 成立2521<5273<+例3 证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大证明:设周长为 ,依题意,圆的面积为 ,正方形面积为 . 所以本题只需证明为了证明上式成立,只需证明: 两边同时乘以正数 ,得: 因此只需证明: 上式是成立的,所以: 这就证明了,如果周长相等,那么圆的面积比正方形的面积大.L 22⎪⎭⎫ ⎝⎛ππL 24⎪⎭⎫ ⎝⎛L 2242⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛L L ππ164222L L >ππ24L 411>ππ>42242⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛L L ππ例2 求证:反证法是一种间接证明方法,我们如果欲证明“若A 则B”,可以通过否定B 来达到肯定B 的效果,步骤一般分为三步:1.反设结论不成立;2.归谬,由假设作为条件推出矛盾;3.结论,肯定欲证结论的正确所以，矛盾！4 变换法变换法就是利用拆项或者插项,换元(三角换元,增量换元,等价转化)等变换达到证明不等式的目的,其中,最为常用的就是三角换元法,把多个变量换成同一个角的三角函数值,再用三角公式进行证明.三、小结：各种证明方法c b a ,,()()()ac c b b a ---1,1,1中至少有一个不大于41证明:假()()()411,411,411>->->-a c c b b a ()()()()()()23111211,211,211,,>-+-+-∴>->->-∴a c c b b a a c c b b a cb a ()()()()()()23212121111=+-++-++-≤-+-+-a c c b b a a c c b b a 都是小于1的正数但已知: ,且 求证:+∈R c b a ,,222c b a =+)2,(>∈<+n N n c b a n n n 证明:由已知,可ααsin ,cos ==b a ()()nn n n n n n n n c c c b a =+<+=+∴<<<<∴<<<<αααααααααα2222cos sin cos sin cos cos 0,sin sin 01cos 0,1sin 0 已知都是小于1的正数,求证:四、作业： P15—16 练习 1，2P18 习题6. 3 1，2，3。
1高中数学沪教版高一第一学期：2.1不等式的性质教案
教案首页教学过程教学内容【新课导入】不等号的由来:现实世界中存在着大量的不等关系，如何用符号来表示呢? 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们曾绞尽脑汁.英国数学家哈里奥特(T. Harriot，1560—1621)首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号，但都因书写起来十分繁琐而被淘汰.【英】哈里奥特(T. Harriot，1560—1621)当表达一个数(或量)大于或等于另一个数(或量)时，把“>”和“= ”有机地结合起来得到符号“≥”，读做“大于等于”，有时也称为“不小于”. 同样，把符号“≤”读做“小于等于”，有时也称为“不大于”.在现实世界里充满着大小关系：路程的长短、时间的多少、物体的轻重、温度的高低……，这些不等关系时刻围绕在我们的身旁，我们要去面对和处理这些不等关系，因此，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.如图：小陈在家电商场电视机专柜做营销，在他负责的专柜中有A、B、C三款电视机. 不等关系举例：以下填写（大于；小于；等于）已知A款价格大于B款价格，1. 若B款价格大于C款价格，则A款价格大于C款价格；2. 若在促销活动中，A、B两款电视机同时降价200元，则降价后的A款价格大于降价后的B款价格；3. 若在促销活动中，A、B两款电视机同时打八折，则打折后的A款价格大于打折后的B款价格.【双基讲解】1.不等式的三个基本性质（1）若A款价格大于B款价格，B款价格大于C款价格，则A款价格大于C款价格.不等式的传递性，亦即不等式性质1：若a>b，b>c，则a>c.2.不等式的三个基本性质（2）若A、B两款电视机同时降价200元，则降价后的A款价格> 降价后的B款价格.不等式性质2：不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变.亦即：若a>b，则a+m>b+m.3.不等式的三个基本性质（3）若A、B两款电视机同时打八折，则打折后的A款价格> 打折后的B款价格.不等式性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；亦即：若a>b，m>0，则am>bm；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 亦即：若a>b，m<0，则am<bm.练一练：用前面学习的不等式性质，看看下面不等式中的x应该是什么范围的数？(1) x-5>0 (2) 0. 5x<8让我们回顾一下：一元一次不等式、一元一次不等式组只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式.其解法的一般步骤是：去分母，去括号，移项，化成ax>b(或ax<b)的形式(其中a≠0)，再根据性质3，得到不等式的解.由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 不等式组中所有不等式的解集的交集叫做这个不等式的解集. 其解法步骤是：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出所有不等式解集的交集，就得到这个不等式组的解集.【示范例题】例1 解不等式1122x x ->+，并将解集在数轴上表示出来. 解 去分母，得 1122x x ⎛⎫->+⎪⎝⎭去括号，得 x -1>2x+1 移项，得 -x >2两边同乘以-1，得 x < -2所以，原不等式的解集是 (),2-∞-.例2 解不等式组536263x x x x-<-⎧⎨-≤-⎩，并将解集在数轴上表示出来.解 由原不等式组 536263x x x x -<-⎧⎨-≤-⎩得 2148x x >⎧⎨≤⎩即122x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩所以，原不等式的解集是1,22⎛⎤⎥⎝⎦.【巩固练习】 课堂练习2.11. 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来.(1) 2x -3>7 ； (2)5332x x +>-. 2. 解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来. (1) 215312x x +>-⎧⎨->⎩； (2)3026x x x-<⎧⎨≤-⎩；(3)932163xx->⎧⎪-⎨>⎪⎩；(4)1253351x xx x-<-⎧⎨->+⎩.课堂小结1.不等式及其三个基本性质：性质1：若a>b，b>c，则a>c；性质2：若a>b，则a+m>b+m；性质3：若a>b，m>0，则am>bm；若a>b，m<0，则am<bm.2.一元一次不等式的解法.3. 一元一次不等式组的解法.。
沪教版(上海)高中数学高一上册第二章2.5不等式的证明教案
不等式的证明【教学目标】1.通过具体问题复习比较法、分析法和综合法的基本思路。
2.会用比较法、分析法、综合法证明不等式。
3.通过不等式的求证，提高分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】不等式证明的主要方法的意义和运用。
【教学难点】用比较法、分析法、综合法证明不等式。
【教学过程】一、知识要点1.比较法作差→变形（通分、因式分解等）→判断符号。
作商→变形（化为幂的形式等）→与1比较大小。
（分母要为正的）2. 分析法（执果索因）分析法的证明过程就是寻找欲证不等式成立的充分条件的过程。
3. 综合法（由因导果）综合法证明不等式时，主要利用某些已经证明过的重要不等式为基础，再运用不等式的性质，在严密的演绎推理下，推导出所要求证的不等式。
二、课堂例题例1 已知0,0a b >>，求证：22b a a b a b+≥+。
证明：（比较法——作差）左-右22b a a b a b =+--222222()()b a a b b a b a a b ab ----=+=2()()0b a b a ab-+=≥（等号成立a b ⇔=）。
故22b a a b a b+≥+得证。
（比较法——作商）0,0a b >>，220,0b a a b a b∴+>+>， 223322()()()()b a a b a b a ab b a b a b ab a b ab a b +++-+===+++左右22a ab b ab -+= 21ab ab ab-≥=（等号成立a b ⇔=）。
故22b a a b a b +≥+得证。
（分析法）要证22b a a b a b+≥+， 只需证33()a b a b ab +≥+， 只需证22()()()a b a ab b a b ab +-+≥+， 0a b +>，故只需证22a ab b ab -+≥，只需证2()0a b -≥， 2()0a b -≥成立，则22a ab b ab -+≥成立，且以上各步均可逆， 故22b a a b a b+≥+成立。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质(1) 教案
2.1不等式的基本性质(1)学习目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；3．会用不等式的基本性质判断不等关系。
学习重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假及代数证明。
学习难点：不等式的基本性质代数证明。
学习过程：一、课前练习：1. x>0是x>-1的 条件。
2. xy=0是x=0的 条件。
3. 设命题B A p ≠⊂:,命题A B A q = :,则p,q 之间的推出关系为 。
4. 设{}1≥=x x A ，{}a x x B ≤=，若R B A = ，则实数a 的取值范围是 。
5. 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取下列各数中的（ ）(A)2; (B)3; (C)4; (D)5.二、探究不等式的基本性质判断两个实数a 与b 之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a >b 的充分必要条件是a =b 的充分必要条件是a <b 的充分必要条件是[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的8个性质：性质1 。
性质2 。
性质3 。
性质4(例1) 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
性质5 。
性质6 。
性质7 。
性质8 。
说明：性质7、8先引进，下节课证明。
三、例题分析例1．判断下列命题的真假。
（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。
（2）若ac >2bc 2，那么a >b 。
（3）若a >b ，c >d ，那么a-c >b-d 。
（4）若cd a b<，那么ad bc <。
四、反馈练习：书P30练习2.1(1)1-4五、小结：利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质的使用前提.(乘除法，求倒数)六、同步练习：1. 用适当符号填空：φ {0}2. 用列举法表示16以内的质数集合为3. 用描述法表示被4除余数为1的正整数集合4. 下列各式中，满足集合A=B 的序号是(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈-==∈+==,12,,121;(){}{}N k k x x B N k k x x A ∈-==∈+==,12,,122;(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈±==∈+==,14,,123;(){}{}Z k k x x B Z k k x x A ∈-==∈+==,23,,134;5. 设{}{}22,122++==-==x x y y B x y y A ,则A 与B 的关系是6. 设命题x :α是方程0232=+-x x 的根，2:=x β,则用合适的推出记号表示α β7. 一个命题的逆命题是“若实数b a ,满足1=a 且2=b ，则4<+b a ”，则原命题的否命题是 （并判断真假）8. 设U 为全集，M,N 是U 的子集，且M N M = ,则（ ）();N M C A U = ();M N C B U = ();N C M C C U U ⊆ ().M C N C D U U ⊆9. 命题“若M b M a ∉∈则,”的等价命题是（ ）()M b M a A ∉∈则若,; ()M a M b B ∈∉则若,; ()M b M a C ∈∉则若,;10.集合(){}012=-++=k x x k x M 是单元素集合，求实数k 的值组成的集合。
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§2.1.3不等式的的证明(3)☆学习目标：1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10．已知222a y x =+，可设 ， ；20．已知122≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )；30．已知12222=+b ya x ，可设 ， .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知例2 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（）.A 1,)-+∞ .B (1]-∞- .C 1,)++∞.D (1]-∞例3 已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0ab <<，0m >，则a a m b b m+<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：122=>=()*,1k N k ∈>，2==()*,1k N k ∈> ⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯例4 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例5求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n例6 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a选修4-5练习 §2.1.3不等式的证明(3) 姓名1、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21.2、设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于413、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）.4、若x , y > 0，且x + y >2，则x y +1和yx+1中至少有一个小于2。
5、已知 1≤22x y +≤2，求证：12≤22x xy y -+≤36、设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+；7、求证：311112≤+--≤-x x x8、求证.111bb aa ba b a +++≤+++9、设n 为大于1的自然数，求证.2121312111>+++++++n n n n10、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n11、求证：223111112212n n n-<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)12、求证：21-<⋅⋅⋅+<()*n N ∈参考答案:例1 例2 例33.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。
常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，22131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②将分子或分母放大（或缩小）③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则a a mb b m+<+” ④利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2x x -≥14()x R ∈；20x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：2=>=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑨应用二项式定理.4.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.贝努利不等式例如，对于任何0>x 和任何正整数n ，由牛顿二项式定理可得 .321)2)(1(21)1(1)1(22n n x x n n n x n n nx x ++⨯⨯--+⨯-++=+ 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nx x n +>+1)1(. 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。
该不等式不仅当n 是正整数的时候成立，而且当n 是任何大于1的有理数的时候也成立。
这就是著名的贝努利不等式。
在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1->x ，则在1>α或0<α时，x x αα+≥+1)1(，在10≤≤α时，.1)1(x x αα+≤+例4证：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n例5证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn 例6证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
练习1．证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时， 通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？2、 证：设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >41,则三式相乘：ab < (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a <641①又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b , 41)1(≤-c c 以上三式相乘： (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤641与①矛盾. ∴原式成立 4提示：反设x y+1≥2，yx +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
10 证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。