内蒙古包头一中2013届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(附答案)

2012～2013学年度包头一中第二次模拟考试高三年级数学（理科）试卷命题人 ： 朱巴特尔 审题人：高三数学备课组第Ⅰ卷一.选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是 符合要求的）1.如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0xBy y x ==>，则A *B =（ ） A ．(2,)+∞ B ．[)0,1(2,)⋃+∞ C ．[]0,1(2,)⋃+∞ D ．[]0,1[2,)⋃+∞ 2. 给出以下结论： （1）命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是：“不存在02,00>∈x R x ；（2）复数iz +=11在复平面内对应的点在第二象限（3）l 为直线，βα,为两个不同平面，若βαβ⊥⊥,l ，则α//l （4）已知某次高三模拟的数学考试成绩ξ～())0(,902>σσN ,统计结果 显示()6.011070=≤≤ξp ，则()2.070=<ξp .其中结论正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.13. 若()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=21 ,211 ,sin 3x x x x x f ，则()=⎰-dx x f 21( )A.0B.1C.2D.34. 对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122ab--的上确界为（ ）A.92B.92-C.41D.-45.已知已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by ax 上，C 的焦距为4，则它的离心率为（ ）A.2B. 3C. 22D. 32 6.若(xn 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．1207.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++的取值范围是（ ）A ．[]1,5B ．[]2,6C ．[]3,10D ．[]3,118. 设曲线21y x =+在其上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 （ ）A ．B ．C ．D ．9．某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A. 48种B. 42种 C . 35种 D. 30种10. 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F FAF ，则直线AB 的方程是 ( )A ．11. 在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量O Q则点Q 的坐标是（ ）A. (2)--B.(2)-C.(-D. (-12．设集合]2,1[),1,0[==B A ，函数=)(x f {),(,24),(,2B x x A x x∈-∈,0A x ∈且,)]([0A x f f ∈则0x 的取值范围是 ( ) A ．(1,32) B ．[0，43] C ．(1,23log2) D ．(1,2log 3)第Ⅱ卷（非选择题90分）二.填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的 相应位置）13．设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段A B 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 .14．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得 到y 关于x 的线性回归直线方程：yˆ=0．254x +0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增 加l 万元.年饮食支出平均增加 __________ 万元．15. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°, E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上 折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的 体积为________.16. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，设122,nn n n b a b b b =+++ 则的结果为 。

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的解答过程填在答卷纸的相应位置）17.（本题满分12分）已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan 2)(παα++=x x f ，数列{n a }的首项)(,111n n a f a a ==+.（Ⅰ）求函数)(x f 的表达式； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和nS .18.（本题满分12分）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：（I ）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（II ）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB ，M 、N 分别是PA 、BC 的中点．(I)求证：MN∥平面PCD ；(II)在棱PC 上是否存在点E ，使得AE ⊥平面PBD?若存在，求出AE 与平面PBC 所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线 的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分. （1）求p ，t 的值；（2）求△ABP 面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.请考生在．．．．22．．、．23．．、．24．．三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．记分．．．作答时用2B 铅笔在答题纸上把所选题号涂黑.22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如图，直线A B 过圆心O ，交⊙O 于,A B ，直线A F 交⊙O 于F(不与B 重合)，直线l 与⊙O 相切于C ,交A B 于E ,且与A F 垂直，垂足为G ,连结A C . 求证：(1) B A C C A G ∠=∠; (2) 2AC AE AF =∙.23.(本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》在直角坐标系xo y 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数) M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C .(1)求2C 的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求A B .24.（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值.包头一中第二次模拟考试 高三年级数学（理科）答案一、选择题： CDCBA BDADA CC 二、填空题 13. 34k ≥或4k ≤- 14． 0.25415.86π 16. 12n n +⋅三、解答题17. （本小题满分12分） 解：⑴1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααα又∵α为锐角 ∴42πα=∴ 12)(+=x x f ………5分（2） ∵121+=+n n a a ， ∴)1(211+=++n n a a∵11=a ∴数列{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列。

可得n n a 21=+，∴12-=nn a ， …9分∴2221)21(21--=---=+n n S n nn…………12分 18. （本小题满分12分）解：（I ）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A ，则()3815320210110==CC C A P答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为3815. …………4分（II ）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31.所以………6分()811632310404=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()8132323113114=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()2788124323122224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()818323131334=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()811323140444=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ. …………10分随机变量ξ的分布列为：3481148183812428132181160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……12分解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31. …………………5分则随机变量ξ服从参数为4，31的二项分布，即ξ～)31,4(B .……………7分随机变量ξ的分布列为：所以34314=⨯==np E ξ ……12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取PD 中点为F ，连结FC ，MF ． ∵1,2M F A D M F A D =,1//,2N C A D N C A D =.∴四边形M N C F 为平行四边形，……………3分 ∴//M N F C ，又F C ⊂平面PC D ,…………5分 ∴MN ∥平面PCD. ……………………6分 （Ⅱ）以A 为原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设AB=2，则B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)， (,,)x y z ，PE PC λ=，设PC 上一点E 坐标为即(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-， 则(2,2,22)E λλλ-．………………7分由00A E PB A E P D ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得12λ=． ∴(1,1,1)AE =.………………9分作AH ⊥ PB 于H ，∵BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥AH ，∴AH ⊥平面PBC,取AH为平面PBC 的法向量．则1()(1,0,1)2A H AB A P =+= ，∴设AE 与平面PBC 所成角为θ，AH ,AE的夹角为α，则sin |cos |3||||AH AE AH AE θα====.…………12分20. （本小题满分12分）解：（1）由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2pt ＝1，1＋p 2＝54得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12t ＝1.…………4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 故k ·2m ＝1.所以直线AB 方程为y －m ＝12m(x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0. …………6分 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0， 所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.…………8分设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2. …………9分由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1.令u ＝m －m 2，0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)，设S (u )＝u (1－2u 2)，0＜u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0得u ＝66∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以S (u )max＝S ⎝⎛⎭⎫66＝69.故△ABP 面积的最大值为69.…………12分21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）22()e xx ax af x x-+'=， …………2分当2a =时，2222()e xx x f x x-+'=，12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-，………………4分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………5分 所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=. …………6分（Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根，……………7分 则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩ …………8分 所以4a >. …………9分设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， …………10分因为，512()()e f x f x =，所以，1251212e ee xx x a x a x x --⨯=，………………11分即1225121212()ee x x x x a x x ax x +-++=，225e e a a a aa-+=，5e e a=，解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =. ………………12分22.【证明】(1)连结BC,∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。