数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积
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高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
a
－bf(x)dx (2)S＝_____a________；
cf(x)dx－bf(x)dx (3)S＝____a________c__________；
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
a
a
5．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
(1)对被积函数要先化简，再求积分； (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间 的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号 再求积分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
1.设f(x)＝x22－，xx，∈x[∈ 0，11，]，2]，
0
a
f(x)dx＝
2af(x)dx
-a
___0_____.
(2)如果f(x)是[－a，a]上的连续的奇函数，则
a
f(x)dx＝
-a
___0_____.
[典题1] 求下列定积分：
(1)1(－x2＋2x)dx； 0
(2)π(sin x－cos x)dx； 0
(3)21e2x＋1xdx；
在
b
f(x)dx中，____a____与____b____分别叫做积分下限与积
a
分上限，区间__[a_， __b_]__叫做积分区间，函数___f(_x_)___叫做被积
函数，____x____叫做积分变量，__f_(x_)_d_x__叫做被积式．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a_____(k为常数)；
－bf(x)dx (2)S＝_____a________；
cf(x)dx－bf(x)dx (3)S＝____a________c__________；
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
a
a
5．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则
(1)对被积函数要先化简，再求积分； (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间 的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号 再求积分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
1.设f(x)＝x22－，xx，∈x[∈ 0，11，]，2]，
0
a
f(x)dx＝
2af(x)dx
-a
___0_____.
(2)如果f(x)是[－a，a]上的连续的奇函数，则
a
f(x)dx＝
-a
___0_____.
[典题1] 求下列定积分：
(1)1(－x2＋2x)dx； 0
(2)π(sin x－cos x)dx； 0
(3)21e2x＋1xdx；
在
b
f(x)dx中，____a____与____b____分别叫做积分下限与积
a
分上限，区间__[a_， __b_]__叫做积分区间，函数___f(_x_)___叫做被积
函数，____x____叫做积分变量，__f_(x_)_d_x__叫做被积式．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a_____(k为常数)；
高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 定积分与微积分基本定理教师用书 理 新人教版(20
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理教师用书理新人教版（建议用时：40分钟)一、选择题1.（2017·西安调研)定积分错误!（2x＋e x）d x的值为（)A。
e＋2 B。
e＋1 C.e D。
e－1解析错误!（2x＋e x)d x＝(x2＋e x)错误!)＝1＋e1－1＝e.故选C。
答案C2.若错误!错误!d x＝3＋ln 2(a〉1），则a的值是（）A。
2 B.3 C。
4 D.6解析错误!错误!d x＝(x2＋ln x)错误!＝a2＋ln a－1，∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2。
答案A3。
从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( ）A。
错误!g B.g C.错误!g D。
2g解析电视塔高h＝错误!gt d t＝错误!错误!1＝错误!g。
答案C4.如图所示，曲线y＝x2－1,x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为( )A.错误!｜x2－1｜d xB.错误!C。
错误!(x2－1）d xD。
错误!(x2－1）d x＋错误!(1－x2)d x解析由曲线y＝｜x2－1｜的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即错误!|x2－1｜d x.答案A5.若S1＝错误!x2d x，S2＝错误!错误!d x，S3＝错误!e x d x，则S1，S2,S3的大小关系为( )A。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理
3
2
2
2
0
(3x+4)dx=5×2+
3 2
2
4
+ 4 ∣ 2
× 22 + 4 × 2 ∣=36(J).
突破技巧定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时
刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=
v(t)dt.
(2)变力做功:某物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移
=1
i=1
n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常
数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
-
lim ∑ f(ξi).
→∞=1
f(x)dx,即
f(x)dx=
2.定积分的几何意义
(1)当函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分
f(x)dx的
( 8)dx+
1
2
6
2
4 2 32
(6-x)dx= 3 2 |0
6× 6− × 6
2
+
1
2
1 2
6- 2
− 6×2− ×2
2
40
= .
3
∣
6
2
40
×64= 3 .
突破技巧利用定积分求平面图形面积的4个步骤
对点训练2(2021贵州贵阳模拟)已知函数y=2cos x,x∈[0,2π]和y=2的图象围
0
考点三
定积分在物理中的应用
典例突破
2
2
2
0
(3x+4)dx=5×2+
3 2
2
4
+ 4 ∣ 2
× 22 + 4 × 2 ∣=36(J).
突破技巧定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时
刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=
v(t)dt.
(2)变力做功:某物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移
=1
i=1
n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常
数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
-
lim ∑ f(ξi).
→∞=1
f(x)dx,即
f(x)dx=
2.定积分的几何意义
(1)当函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分
f(x)dx的
( 8)dx+
1
2
6
2
4 2 32
(6-x)dx= 3 2 |0
6× 6− × 6
2
+
1
2
1 2
6- 2
− 6×2− ×2
2
40
= .
3
∣
6
2
40
×64= 3 .
突破技巧利用定积分求平面图形面积的4个步骤
对点训练2(2021贵州贵阳模拟)已知函数y=2cos x,x∈[0,2π]和y=2的图象围
0
考点三
定积分在物理中的应用
典例突破
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理课件 理
D．不存在
解：如图，2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝13x3|10＋2x－12x2|21
＝13＋4－2－2＋12＝56.
故选 C.
【点拨】对分段函数 f(x)求定积分，关键是找到分段点 c 后利用定积分
性质bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx 求解．
a
a
c
12/11/2021
12/11/2021
解：由 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)＝0，得 t＝1 或 3(舍
去)．所以路程 s＝01(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)|10＝43(m)．故
填43.
【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对 速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
12/11/2021
(2016·丽水模拟)曲线 y＝x2 和曲线 y2＝x 围 成的图形面积是________．
解：由yy＝2＝xx2，
得x＝0，或x＝1， y＝0 y＝1，
则所求面积
为1( x－x2)dx＝23x32－13x3|10＝13.故填13. 0
12/11/2021
(2016·苍南模拟)1( 1－x2－x)dx＝________. 0
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图 形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微 积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理 意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．
12/11/2021
a
(3)abf(x)dx＝____________________ (其中 a＜c＜b)．
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理课件
a
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的__曲__边__梯__形___的面积
f(x)＜0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的 __相__反__数__
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积__减__去____位于x轴下方的曲边梯形的
(2)若m
－x2－2x dx＝π4，则 m＝________.
－2
12/11/2021
解析 (1)1 ( 1－x2＋xcos x)dx＝1 1－x2dx＋1 xcos xdx.
－1
－1
－1
∵1
1－x2dx 表示位于 x 轴上方半圆 x2＋y2＝1 的面积，
－1
∴1
1－x2dx＝π2，
－1
又 t＝xcos x 为奇函数，知1 xcos xdx＝0， －1
两部分面积之和，即 S＝22 2xdx＋8( 2x－x＋4)dx＝18.
0
2
法二 选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部分的面积
S＝4
y＋4－12y2dy＝18.
－2
答案 18
12/11/2021
规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常 用此方法求定积分. 2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面 积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之 间的关系).
答案
4 9
12/11/2021
6.(2020·长沙一中月考)定积分2 ( 4－x2＋x)dx＝________. －2
解析
2
4－x2dx 表示圆 x2＋y2＝4 在 x 轴及其上方的面积.
第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)
(4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐 的运算，是求定积分常用的方法． (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求 定积分方法．
[例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x ＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1； 解析：(1) 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1
2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3
点评：利用定积分求平面图形的面积时，关 键是将待求面积的平面图形看成可求积分的 平面图形的和或差，还要注意待求面积的平 面图形在y轴上方还是下方，以确定积分的 正负．
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1
高三一轮 第三章3.3 定积分与微积分基本定理
思维升华
计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积 的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.
多维探究
题型二 定积分的几何意义
(3)ʃ 20|1－x|dx；
解 ʃ 20|1－x|dx＝ʃ 10(1－x)dx＋ʃ 21(x－1)dx ＝x－12x210＋12x2－x21 ＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1. (4)ʃ 21e2x＋1xdx； 解 ʃ 21e2x＋1xdx＝ʃ 12e2xdx＋ʃ 121xdx ＝ 12e2x21＋ln x21＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1 ＝12e4－12e2＋ln 2.
x 轴下方.( × ) (4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是 ʃ 01(x2－x)dx.( × )
1 2 3 4 5 67
题组二 教材改编 2.[P66A 组 T14]ʃ e2＋1x－1 1dx＝__1__. 解析 ʃ e2＋1x－1 1dx＝ln(x－1)|e2＋1＝ln e－ln 1＝1.
为__2__3_－__2_3π__.
解析 令 2sin x＝1，得 sin x＝12，
当 x∈[0，π]时，得 x＝6π或 x＝56π，
5π
所以所求面积S＝
6 π
(2sin x－1)dx
6
5π
＝(－2cos x－x) |π6 2
6
3 2π . 3
师生共研
题型三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) ＝7－3t＋ 25 (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续
18版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理课件理
(2)若 f(x)为奇函数，则ʃa －af(x)dx＝0.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
b (1)设函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续，则ʃb f ( x )d x ＝ ʃ a af(t)dt.( √ )
(2)若函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续且恒正，则ʃb af(x)dx>0.( √ ) (3)若ʃ b af(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定 在 x 轴下方.( × )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的.( × )
2 (5)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是ʃ1 ( x －x)dx.( × ) 0
考点自测
x 1.(2017· 福州质检) ʃ1 0(e ＋2x)dx 等于
答案
解析
A.1
B.e－1
C.e
D.e＋1
x x 2 1 ʃ1 (e ＋ 2 x )d x ＝ (e ＋ x )|0＝e＋1－1＝e. 0
3.微积分基本定理
一般地，如果 f(x) 是区间 [a ， b] 上的连续函数，且 F′(x) ＝ f(x) ，那么
F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿— ʃb af(x)dx ＝
莱布尼茨公式.
b F ( x )| a ， 为了方便，常把F(b)－F(a)记作
即
ʃb af(x)dx ＝ F ( x )
3.(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间
的1 s内经过的位移是 答案
13 A. m 2 B.6 m
解析
15 C. m 2
D.7 m
高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用第三节 定积分及其应用课件(理)
0
0
0
＝k2－k3＝0.∴k＝0 或 k＝1.又 k>0，∴k＝1.
•答案：B
h
11
3．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，则2f(－ 1
x)dx 的值等于( )
5
1
A.6
B.2
2
1
C.3
D.6
h
12
解析：∵f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1.即 f(x)＝x2＋x.
0
1
＝12xdx＋3(3x－x2)dx
0
1
＝x2|01＋(32x2－13x3)|13
＝1＋(32·32－13·33)－(32·12－13·13)＝133.
h
34
•(2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假 定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么 对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( ) •A．在t1时刻，甲车在乙车前面 •B．t1时刻后，甲车在乙车后面 •C．在t0时刻，两车的位置相同 •D．t0时刻后，乙车在甲车前面
h
5
(2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分bf(x)dx
a
的几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．
h
6
②一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和
h
9
1．定积分πcosxdx＝( 0
A．－1
) B．0
C．1
【第一方案】高三数学一轮复习 第三章 导数及其应用第三节 定积分及其应用课件(理)
b ②一般情况下，定积分 f(x)dx ＝a、x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和 (右图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的 积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质 b k f(x)dx(k 常数) b a ① kf ( x )d x ＝ ．
b 那么 f(x)dx ＝ F(b)－F(a)
，这个结论叫做微积分基本定
a
理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
b 为了方便，常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|a b F ( x )| ＝ ＝F(b)－F(a)． a
b ，即 f(x)dx
a
b b 1．若积分变量为 t，则 f(x)dx 与 f(t)dt 是否相等？
0
) B．0 D．π
A．－1 C．1
π π 解析： cosxdx＝sinx|0 ＝sinπ－sin0＝0.
0
•答案：B
k 2 2．已知 k>0， (2x－3x )dx＝0，则 k＝(
0
)
A．0 C．0 或 1
B．1 D．以上均不对
k 2 2 2 k 3 k k k 解析： (2x－3x )dx＝ 2xdx－ 3x dx＝x |0 －x |0
1 3 1 2 2 ( x )′＝x ，( x )′＝x， 3 2
2 2 2 2 2 2 ∴ x(x＋1)dx＝ (x ＋x)dx＝ x dx＋ xdx
0
0
0
0
1 3 2 1 2 2 ＝3x |0 ＋2x |0 1 3 1 2 14 ＝(3×2 －0)＋(2×2 －0)＝ 3 .
人教版高三数学一轮复习精品课件2：3.3 定积分与微积分基本定理
4－x2dx 是如
0
图所示的阴影部分的面积，故2 0
4－x2dx＝S 扇形＝41
×22×π＝π.
4. 根据定积分的几何意义，用定积分表示曲边形 ADCB
的面积 S＝
b
a [ f1(x) f2 (x)]dx .
解析：v：根据定积分的几何意义，可用定积分表示曲边 形 ADCB 的面积．由题意，S＝b[f1(x)－f2(x)]dx.
C．当 0＜a＜b 时是正的，当 a＜b＜0 时是负的
D．以上结论都不对
解析：由bf(x)dx 的几何意义及 f(x)＞0，可知bf(x)dx 表
a
示 x＝a，x＝b，y＝0 与 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．所以
bf(x)dx＞0.
a
3.
利用定积分的几何意义，定积分2
4－x2dx＝
.
0
解析：由定积分的几何意义知：2
0
因为 a3＝9，所以aS33＝＝aa11q＋2＝a29＋9＝27 ，
即a1q2＝9 a1＋a1q＝18
，所以1＋q2q＝198＝12，即 2q2－q－1＝0，
解得 q＝1 或 q＝－21.
二 定积分在几何中的应用
【例 2】计算由直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x以及 x 轴所围 成图形的面积 S.
a
5. 一个质点以速度 v(t)＝t2－t＋6(m/s)运动，则在时间
间隔(1,4)s 上的位移是 31.5 m .
解析：因为质点在运动过程中的速度公式 v(t)＝t2－t＋ 6(m/s)，根据变速运动位移公式得，S＝14(t2－t＋6)dt＝(13t3－ 21t2＋6t)41＝31.5(m)．
一 定积分的计算
【跟踪训练 3】如图，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交
人教版高三数学一轮复习精品课件：3.3 定积分与微积分基本定理
(2)一般情况下，定积分
的几何意义是介于 x 轴、曲
线 f(x)以及直线 x＝a、x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 2
中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，
在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
3．定积分的性质
4．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)
＝f(x)．那么
＝__F_(_b_)_－__F_(_a_)__．这个结论叫做微积分基
本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式．
其 为中 了方F(便x)叫，做我们f(x常)的把一F个(b)原－函F(数a)记．作___F_(_x_)_ab_____，
即
＝F(x)ba ＝F(b)－F(a)．
问题探究：一个函数的导数是惟一的，反过来导函数的原 函数惟一吗？
21xdx，S3＝2exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(
)Leabharlann 11A．S1<S2<S3
B．S2<S1<S3
C．S2<S3<S1
D．S3<S2<S1
(2)(2013·河 北 高 三 质 量 监 测 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
sin x，0≤x≤π2 －2πx＋2，π2<x≤π
，则
(3)(2013·武汉市调研测试)1( 2x－x2－x)dx 等于( ) 0 π－2 π－2 π－1 π－1
提示：一个函数的导数是惟一的，而其原函数则有无穷多 个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理 求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般 使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
(1)用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互 逆关系及求导公式的逆向形式．