ch1.5(2007)

1−a
1−a
3
yuezhengyou
第 1.5 节 卷积
2007-3-3
1.5.2 连续信号的卷积
1．定义
任意连续信号都可由δ (t) 组合而成
信号分解：按矩形信号分解：
用阶梯信号 xa(t)近似 x(t) ， 图中， xa(k∆) = x(k∆)
x (t)
x a(t)
显然
lim
∆ →0
xa
(t)
平移：边际坐标
x2 (t-τ)
1
-2
分段相乘、积分
(1). t<− 1 2
s(t)=0
t-2
tτ
x2 (t-τ)
x1(τ)
1
t-2
t
τ
6
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第 1.5 节 卷积
2007-3-3
(2). − 1 <t<1 2
s(t)=
t
∫
1⋅1 (t−τ )dτ
−1/ 2 2
= 1 (t+ 1)2
条件：收敛
2．计算
⑴ 按定义式计算
⑵ 借助图解、分段卷积
⑶ 变换法
步骤：反褶、平移、相乘、积分
例：若
x1(t)
=
u(t
+
1) 2
−
u(t
−1)
，
x2
(t)
=
1 2
t[u(t)
−
u(t
−
2)]
求 s(t) = x1(t)∗ x2(t)
x1 (t) 1
x2 (t) 1
-1/2
1
反褶：
x2 (-τ) 1
2
m
n≥
N
；
s[n]
=
N∑−1a
m=0
n−
m
−1
=
an
−1
⋅1−a − N 1−a−1
x2[n-m]
作图：趋势、最大值
N-1 n-1 m
按定义式计算
m
N
∞ ∑
a
m
−1u[m
−1]⋅(u[n−m]−u[n−
N
−m])
m =−∞
=
∞ ∑
a
m
−1u[m
−1]⋅
u[n
−
m]
−
∞ ∑
a
m
−1u[m
−1]⋅
u[n
am =
1
u[n]
|a|<1
m=0 1−a
⑵ 借助图解分区间卷积；反褶、平移、相乘、求和
⑶ 变换法求解
例： 已知
x1[n] = u[n]− u[n − N ] x2[n] = an−1u[n −1] 0<a<1 求 s[n] = x1[n]∗ x2[n] 解：图解法，注意边际坐标的确定及求和限的变化
=
x(t)
定义矩形脉冲：
δ∆ (t)
1/∆
∆
任意位置的矩形脉冲
δ∆ (t-k∆)
1/∆
δ
∆
(t)=
1 ∆
[u(t)−u(t
−∆)]
δ
∆
(t
−k∆)=
1 ∆
[u(t
−k∆)−u(t
−k∆−∆)]
k∆ (k+1)∆
于是
∞
xa(t)= ∑ x(k∆)[u(t−k∆)−u(t−k∆−∆)]
k =−∞ ∞
= ∑ x(k∆)δ∆(t−k∆)⋅∆ k =−∞
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第 1.5 节 卷积
1．5 卷积
1.5.1 离散信号的卷积 1．定义
任意离散信号都可由δ [n] 组合而成
x (n)
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x[n]=Lx[−1]δ [n+1]+ x[0]δ [n]+ x[1]δ [n−1]+ x[2]δ [n−2]+L
=
∞
∑
x[m]δ
[n
−
m]
m=−∞
N-1
m
1
m
⑴ n −1< 0 s[n]=0
x2[n-m]
n-1
N-1
m
2
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第 1.5 < N −1,
1≤n<
N
；s[n]
=
n∑−1a
m=0
n−m
−1
=
a
n−1
⋅1−a − n 1−a −1
x2[n-m]
⑶ n −1≥ N −1
n-1 N-1
x[n] =
∞ ∑
x[m]δ
[n−m]
m = −∞
四种运算的综合：反褶、平移、相乘、求和
m 是运算变量
n 是移动变量，也是求和运算的观察时刻
n = 3,
x[3] =
∞ ∑
x[m]δ
[3−m]
=
x[3]
m = −∞
一般情况：
x1[n]∗
x2[n]
=
m
∞ ∑
x1[m]x2[n−m]
= −∞
2．计算
⑴ 按定义计算，注意求和结果存在区间的表示
−
N
−
m]
m =−∞
m =−∞
=
n ∑
a
m
−1
−
n
−N ∑
a
m
−1
m =1
m =1
=
n∑−1a m
−
n
−N ∑
−1a
m
m=0
m=0
= 1−an ⋅u[n −1]−1−an−N ⋅u[n − N −1]
1−a
1−a
= 1−an ⋅(u[n −1]− u[n − N −1]) − an 1−a−N ⋅u[n − N −1]
x (τ) 1
x (-τ) 1
s(0) = − 1 − 1 = −1 22
s(1) = (−1) • (−1) = 1
-1/2 -1
1 -1
1/2
-1
s(−1) = 0
按公式运算求得 s(t) 后再求函数值 借助图解求得 s(t) 后再求函数值 利用卷积的概念和图形求解 t 是移动变量也是观察变量
11
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24
23 56 8
246 2
23 568
2/π 23 56 8
10
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第 1.5 节 卷积
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（ 3 ） 信 号 x(t) 的 波 形 如 图 所 示 ， 若 卷 积 信 号
s(t) = x(t) ∗ x(t) ，试求 s(0) 、 s(1) 和 s(−1) 的函数值。
∞
卷积的定义： x(t) = ∫ x(τ )δ (t−τ )dτ =x(t)∗δ (t)
−∞
∞
x1(t)∗ x2(t) = ∫ x1(τ )x2(t−τ )dτ −∞ ∞ = ∫ x1(t−τ )x2(τ )dτ −∞
5
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第 1.5 节 卷积
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线性运算，反褶、平移、相乘、积分
2
+
1 2
t
+
3 4
t<− 1,t>3 2
− 1 <t<1 2
1<t< 3 2
3 <t <3 2
1 t-2
tτ
15/16 9/16 -1/2 1 1/2 3
7
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第 1.5 节 卷积
2007-3-3
按定义计算
s(t
)
=
∞
∫ [u(τ
−∞
+
1 2
)−u(τ
−1)]⋅
1 2
(t
−τ
)[u(t
42
x2 (t-τ)
x1(τ)
1
t-2 -1/2 t 1 τ
(3). 1<t< 3 , t>1 t−2<− 1
2
2
s(t)=
1
∫
1⋅1 (t−τ )dτ
−1/ 2 2
=1t− 3
4 16
x1(τ) x2 (t-τ) 1
t-2 -1/2 1 t τ
(4). 3<t<3, − 1 <t−2<1
2
2
s(t)=
= s(t −t1 −t2 )
9
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例：求下列卷积 （1）
第 1.5 节 卷积
x1(t)
1
-3 -2 -1
123
x2(t)
(1)
-2
2
2 s(t)
-5
-3 -1
13
5
s(t) = x1(t)∗[δ (t + 2) +δ (t − 2)]
=x1(t+2)+ x1(t−2) （2）例 1.9(a)
−τ
)−u(t
−τ
−2)]dτ
4 项，分别积分
s1(t)
=
∞
∫ [u(τ
−∞
+
1 2
)⋅1 2
(t
−τ
)u(t
−τ
)dτ
=
t
∫
1 (t −τ )dτ
−1/ 2 2
= 1 (t + 1)2u(t + 1)
42
2
同理可求得其它三项，最后结果同上。
1．5．3 卷积的性质
1．分配律、结合律、交换律 交换律： x1(t)∗ x2(t) = x2(t)∗ x1(t) 结合律：e(t)∗[h1(t)∗h2(t)] =[e(t)∗h2(t)]∗h1(t) 分配律：