微积分学 P.P.t 标准课件03-第3讲数列极限

U(O, )
x1
1 10

0

U(O, 1)
x2n
1


0

x4 x2
1 10 2 1 10 4
(

x3
1 103
) ••• (••• •••• (••• * ••• •••• ••• ) • • •
1 10 2 n 1 1 10 2 n
x2n-1
)
x
0, 从某一项开始, 以后的所有项就都落在U(O, ) 中了.
x2n

x4

x2
1 10 2
)
1 10 4
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
N 0,
以后的所有项
当 n N 时,
都落在 U(0, ) 中.（在 U(0, ) 外面只有有限项）
x1 0 2 x2 … xn …
•••••
n
n
4
… 2n …
• • • • •• • • • •
x
{2n } , 无界 (但下方有界： n 2 ). x
有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.
若 xn M , MR , 则称 { xn} 有上界. 若 xn m , mR， 则称 { xn} 有下界. { xn}: 有界 既有上界 又有下界.
通项 : xn 2n.
x1 0 2 x2 … xn …
•••••
4
… 2n …
• • • • •• • • • •
x
1 : 1 , 1 , 1 , , 1 , ( 2) n 2 2 4 8 2n 1 通项 : xn n . 2
••••• •••••
… xn … x3
(1) | xn 0 | 0 n 10
n
(1) lim 0: n n 10
n
其中,
0 是描述点 xn 与点 0 无限接近的
度量标准, 它是预先任意给定的, 与{xn}的 极限存在与否无关.
0
N 0,
当 n N 时,
N 是否存在 , 取决于数列 {xn } 本身.
现在来讨论如何定义数列的无有界性：
首先看有界性定义的关键所在
对所有的

若 M 0, 使得 | xn | M , n Z 成立,
则称数列 {xn } 有界.
M 这么办？
若有一个 n0 使不等式不成立
若对 M 0, 至少存在一个 n0 , 使得
| xn0 | M 成立, 则称数列{xn } 是无界的.
此时, 也称数列是收敛的.
例4
1 lim n 0 n 2
1 (1) n lim 0 n n
n lim 1 n n 1
数列极限的定义：
数列的项不一定取到 它的极限值.
0 , 若 N 0 ,使当 n N 时,
| xn a |
得到的一串数： x1 , x2 , , xn , 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
2. 数列的表示法
公式法 运用数轴表示
图示法
运用直角坐标系表示 表格法
例1
介绍几个数列
(1) {2n } : 2, 4, 8, , 2n ,
••••• •••••
… xn … x3
1 2n
x2
x1
1 2
0
1 8
1 4
x
1 , 有界 ( 可取 M 1 ). n 2 2
(3) { ( 1)n 1} : 1, 1, 1, 1, , ( 1)n 1 ,
x2n
–1 0
x2 n1
x
1
{( 1) n 1} 不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
{xn } 单调增加 也记为{xn } . ,
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 数列
单调增加(不减少的)
单调减少(不增加的)
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 M 0, 使得当 x I 时, 有 | f ( x ) | M 成立,
第一节 数列的极限 一、数列及其简单性质
二、数列的极限
三、数列极限的性质
一、数列及其简单性质 1. 定义
数列也称为序列
设 f (n) 是以正整数集 Z＋ 为定义域的函数 .
将 f 的值域 f ( Z ) { xn | xn f (n), n N } 中的元素 xn , 按自变量 n 增大的次序排列出来所
{xn } 单调增加 也记为{xn } . ,
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 x2 xn , 则称
{xn } 严格单调增加 记为{xn } . ,
单调减少
若 {xn } 满足 x1 x2 xn , 则称
| xn | < M*, n N xn U( 0, M* ), n N
从数轴上看, 有界数数列 { xn } 的全部点 都落在某区间 (－M*, M* ) 中.
( ••••• ••••• ) 0 M* －M*
xn
x
例2
观察例1 中的几个数列：
1 : 1 , 1 , 1 , , 1 , (1) n 2 2 4 8 2n
1 ( 1) n 通项： xn . n
x2 n1 x2 n
• • • • •
x4
• • • • •
x2 x 1
1 0 x1 n x3 M 所有奇数项
1 2
n : 1 , 2 , 3 , , n , (5) n 1 n 1 2 3 4
n 通项 : xn . n 1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3… n … 1 n 1 3 4
3. 数列的 数列的单调性
若 {xn } 满足 x1 x2 xn , 则称
{xn } 严格单调增加 记为{xn } . ,
单调增加
若 {xn } 满足 x1 x2 xn , 则称
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第三讲 数列的极限
脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第二章 数列的极限与常数项级数
本章学习要求：
了解数列极限的概念， 会用《 N》语言描述数列的 极限。正确理解 和 N 的含义。 熟悉数列极限的性质和 收敛准则。熟悉无穷小 量的概
通过目标不等式来寻找 N > 0 , N = N().
n > N 描述 n .
由 N 存在与否判断数列的极限是否存在.
一般地, 如果数列{xn} 当 n 时,
xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 列{xn} 当 n 时以 a 为极限, 记为
n
lim xn a.
成立, 则称数 a 为数列 {xn } 当 n 时的极限 ,
记为 lim xn a, 或 xn a (n ) .
n
此时, 也称数列{ xn } 是收敛的. 若{ xn }当 n 时没有极限, 则称{ xn }发散. 极限描述的是变量的变化趋势
例5
则称函数 f ( x ) 在区间 I 上有界 .
y
y f (x )
M
yM
(
I
O
M
)
x
y M
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列 {xn } 有界. 否则称 {xn } 是无界的.
想想：
有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？
念和性质。 能熟练运用“放大不等 式”法、“夹逼定理” 以及极
限运算法则计算数列的 极限或简单的极限证明 。 理解常数项级数概念和 性质。掌握级数收敛的 必要条
件以及收敛级数的基本 性质。 熟悉常数项级数的收敛 判别法。掌握交错级数 收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级 数、P－级数的敛散性。
第二章 数列的极限与常数项级数
证 M 1 0 ,
取 n0 [log 2 M ] 1, 则 [log 2 M ] 1 log 2 M 0,
| xn0 | | 2n0 | | 2[log 2 M ]1 | | 2log 2 M | M .
由定义可知数列 {2n } 是无界的.
二、数列的极限
“ n 无限增大” 记为 n .
(1) n “ 无限地接近于 0 ”记为 n 10
这就是该数列 的变化趋势
(1) n 0. n 10
( 1) n 此时称数列 {xn } n 当 n 时以零为 10
(1) n 极限, 记为： lim 0. n n 10
数列有极限, 则 N 存在; 数列无极限, 则 N
不存在.
(1)n 0 n 10
如果 N 存在, 则其不唯一, 所有大于N 的正整数均可取作为N . 并且N 与 有关,
可记为 N N ( ), 一般说来 , 值越小, 则
N 的值越大.
(1) n 0 称为目标不等式. 不等式 n 10