【沪科版】九年级数学上册：第23章-解直角三角形教案全集23.1.2 第2课时 互余两角的三角函数值2
沪科版数学九年级上册23.1第2课时正弦和余弦 课件(共22张PPT)
sinA=cosB
定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解锐角正弦、余弦的定义．2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
理解锐角正弦、余弦的意义．用正弦Biblioteka 、余弦值表示直角三角形中两边的比.
回顾复习
什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？ 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度；记作：i，即i= .
问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
问题引入
问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23章第2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和直角三角形的性质的基础上进行学习的。
本节的主要内容有：了解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的方法，直角三角形的应用。
本节课的内容在实际生活中的应用非常广泛，如测量身高、距离等。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念和直角三角形的性质已经有了一定的了解。
但是，对于解直角三角形的意义和方法还需要进一步的引导和讲解。
另外，学生对于数学在实际生活中的应用还比较陌生，需要通过具体的实例来引导和激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.让学生了解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的方法。
2.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.解直角三角形的意义和方法。
2.直角三角形的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和解题。
2.使用多媒体教学，通过动画和图片等形式直观地展示解直角三角形的过程。
3.通过实际例题，让学生体验数学在生活中的应用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直角三角形的模型或图片。
3.实际问题实例。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的概念和直角三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示直角三角形的模型或图片，引导学生了解解直角三角形的意义。
然后，通过动画形式展示解直角三角形的方法，让学生初步掌握解直角三角形的基本步骤。
操练（10分钟）教师给出一些实际的例题，让学生独立或合作完成解直角三角形的计算。
教师在这个过程中要注意引导学生运用解直角三角形的方法，并及时给予反馈和指导。
巩固（10分钟）教师可以通过一些练习题让学生进一步巩固解直角三角形的方法。
沪科版九年级数学上册第23章《解直角三角形》教学设计
沪科版九年级数学上册第23章《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版九年级数学上册第23章的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。
本章内容在初中数学中占有重要地位，是为后续学习平面几何和高中的三角学做铺垫。
通过本章的学习，学生能够掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的性质和运算有一定的了解。
但是，对于解直角三角形的理解和应用，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和三角函数的定义。
2.学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的理解和应用。
2.三角函数的定义和应用。
3.解决实际问题时的计算和推理。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题。
2.使用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质和应用。
3.注重实践操作，让学生通过动手操作和实际计算，加深对知识的理解。
4.采用分组合作和讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直角三角形的模型或图片。
3.练习题和实际问题案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直角三角形的图片，引导学生回顾已学的平面几何知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）介绍直角三角形的性质，引导学生学习勾股定理和三角函数的定义。
通过示例和讲解，让学生理解并掌握这些知识。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用直角三角形的模型或图片，进行实际操作，验证勾股定理和三角函数的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括简单的基本计算、应用题等。
教师选取部分题目进行讲解和分析，帮助学生巩固所学知识。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计2
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计2一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节主要让学生掌握解直角三角形的知识和方法，能运用解直角三角形解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的概念和性质，引导学生探究解直角三角形的方法，并通过例题和练习题使学生熟练掌握解直角三角形的技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质和勾股定理，对基础的三角知识有一定的了解。
但是，对于解直角三角形的应用，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，由于九年级学生的学习压力较大，对于较难的知识点可能存在抵触情绪，因此，在教学过程中，需要注重激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
三. 教学目标1.理解直角三角形的概念和性质。
2.掌握解直角三角形的方法，能运用解直角三角形解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.直角三角形的概念和性质。
2.解直角三角形的方法。
3.运用解直角三角形解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.例题教学法：通过讲解典型例题，使学生掌握解直角三角形的方法和技巧。
3.练习法：通过布置不同难度的练习题，使学生巩固所学知识，提高解题能力。
4.小组合作学习：引导学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备直角三角板和测量工具。
3.设计不同难度的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形，如建筑物、家具等，引导学生观察和思考，引出直角三角形的概念和性质。
2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的定义和性质，如直角三角形的三个内角和为180度，直角边与斜边的比例关系等。
通过讲解，使学生理解直角三角形的特点。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用直角三角板和测量工具，测量教室内的直角三角形的边长和角度，验证直角三角形的性质。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固解直角三角形的方法，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形、锐角三角函数等概念有一定的了解。
但是，解直角三角形的方法和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的方法，能够运用解直角三角形解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论等方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：解直角三角形的方法和应用。
2.教学难点：如何引导学生运用解直角三角形解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对解直角三角形的兴趣，进而导入新课。
2.讲解新课：讲解解直角三角形的方法，结合例题进行讲解，让学生通过动手操作、思考问题，掌握解直角三角形的方法。
3.应用拓展：让学生运用解直角三角形的方法解决实际问题，培养学生的应用能力。
4.总结提升：对本节课的内容进行总结，使学生形成知识体系。
5.布置作业：布置一些有关解直角三角形的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
沪科版(2012)初中数学九年级上册 23.2 解直角三角形 教案
教学设计5.课堂小结6.作业布置通过本节课的学习，我们有哪些收获？P125 1.(1)(3)P125 2.(2)(4)教师提问，补充收获教师布置作业学生回答学生课后完成通过小结，使学生梳理本节课所学内容。
巩固本节课的内容。
板书设计23.2解直角三角形及其应用第一课时解直角三角形定义：例1 例2教学反思本节课的重点是解直角三角形，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法,首先要明白解直角三角形的定义，直角三角形三边的关系，两锐角的关系，边角之间的关系。
这些是解直角三角形的依据，是正确、迅速的解决直角三角形的关键。
解直角三角形的方法灵活多样，但是正确选用这些关系，才是迅速解决直角三角形问题的关键，因此虽然部分学生通过自学以后完全可以解决，但例题具有示范作用，是教学中必不可少的一个环节。
因此，在讲解例1时，我设置某一步留空，让学生自己做。
使学生明白方法不止一种，而且让学生知道如何选择简便的方法。
这样既提高了学生的参与程度，也训练了学生解决分析问题的能力。
通过本节课的教学，我认为数学课堂应该给予学生充足的自主探索时间与空间。
应该让学生在积极愉快的环境中汲取知识、探索知识，而培养学生的解决问题的能力。
同时，应该合理有效的使用多媒体技术，激发学生的学习兴趣，丰富教学内容，从而扩大师生交流，提高课堂学习效率。
从教学效果来看，我认为整节课的教学基本上达到了预期的教学目标，是对新课标下的数学课堂的又一次积极的探索与尝试。
也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。
在今后的教学中，我将会更多地关注学生的发展与提升，努力改善和提高自己的教学水平，为教育事业作出应有的贡献,争取取得更好的成绩。
沪科版数学九年级上册第23章《解直角三角形》复习教学设计
沪科版数学九年级上册第23章《解直角三角形》复习教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版数学九年级上册第23章的内容，本节内容是在学生学习了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容有：了解解直角三角形的意义，学会用锐角三角函数解直角三角形的方法，以及直角三角形的应用。
本节课的内容在实际生活中应用广泛，例如在测量、建筑、工程等领域都有广泛的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备了一定的数学基础。
但是，对于如何运用锐角三角函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解解直角三角形的意义，掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在实际生活中的应用价值。
四. 教学重难点1.重点：了解解直角三角形的意义，学会用锐角三角函数解直角三角形的方法。
2.难点：如何将所学知识应用于实际问题，求解未知边和角度。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习法：引导学生独立思考，自主探究，培养学生的学习能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的团队合作意识。
4.实践操作法：让学生亲自动手操作，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引入课题。
2.准备PPT课件，用于辅助教学。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入课题，例如测量旗杆的高度、计算建筑物的高度等，让学生了解解直角三角形的意义。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件，讲解解直角三角形的方法，引导学生掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法。
沪科版数学九年级上册第23章《解直角三角形》复习教学设计
沪科版数学九年级上册第23章《解直角三角形》复习教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版数学九年级上册第23章的内容，本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。
本节主要让学生了解解直角三角形的方法，以及如何运用解直角三角形解决实际问题。
教材通过生动的实例，引导学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备了一定的数学基础。
但是，对于解直角三角形的实际应用，学生可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。
三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
2.培养学生的实际应用能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.解直角三角形的方法。
2.如何将解直角三角形的方法运用到实际问题中。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索解直角三角形的方法。
2.利用实例讲解，让学生了解解直角三角形在实际问题中的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解解直角三角形的方法和应用。
2.准备一些实际问题，用于巩固学生对解直角三角形的掌握。
3.准备教学PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生思考如何解决。
例如：一个房间的长为10米，宽为8米，求房间的对角线长度。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的方法，结合实例进行讲解。
讲解内容包括：（1）解直角三角形的定义和性质。
（2）解直角三角形的方法：勾股定理、锐角三角函数等。
（3）解直角三角形在实际问题中的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，以及学会用三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形的边长和角度的关系，引导学生探究并发现勾股定理，进一步运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认识有一定的基础。
同时，学生已经掌握了锐角三角函数的定义和性质，为本节学习解直角三角形提供了前提。
但在解决实际问题时，部分学生可能对将实际问题转化为数学模型有一定的困难。
三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，掌握勾股定理及运用。
2.学会用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理，会用勾股定理计算直角三角形的边长。
2.教学难点：将实际问题转化为数学模型，运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究直角三角形的性质。
2.运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为数学模型。
3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的能力。
六. 教学准备1.准备相关直角三角形的图片和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用多媒体展示一些与直角三角形相关的图片，如建筑物的侧面、三角板等。
–提问：你们对这些图片有什么观察和发现？–引导学生关注直角三角形的特征，引发学生对直角三角形性质的兴趣。
2.呈现（10分钟）–介绍直角三角形的定义和性质。
–引导学生发现并总结直角三角形的边长关系，即勾股定理。
–通过实例演示，让学生理解并掌握勾股定理的运用。
3.操练（10分钟）–让学生分组讨论，尝试用勾股定理计算给定直角三角形的边长。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计2
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》教学设计2一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行讲解的。
本节主要让学生了解解直角三角形的各种方法，以及如何应用解直角三角形解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，可能会对将实际问题转化为数学问题这一步感到困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能灵活运用解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：解直角三角形的方法和应用。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用解直角三角形解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究解直角三角形的方法。
2.利用实例讲解，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
4.利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备直角三角板和测量工具，以便学生进行实践操作。
3.设计好相关的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，如：“一个长为6米，底边为4米的直角三角形，求其面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出解直角三角形的方法。
2.呈现（10分钟）教师讲解解直角三角形的方法，如：利用勾股定理、锐角三角函数等。
并通过PPT展示相关的例题，让学生跟随教师一起解答。
3.操练（10分钟）教师给出一些有关解直角三角形的练习题，让学生独立完成。
HK沪科版 初三九年级数学 上册第一学期秋(教学设计 教案)第23章 解直角三角形(全章分课时 含反思)
第23章 解直角三角形 23．1 锐角的三角函数 1．锐角的三角函数第1课时 正 切1．理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；(重点) 2．能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)3．了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题．(重点)一、情境导入如图，这种方法可以用来测量物体的高度．由图我们想到在直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题．二、合作探究探究点一：正切的定义【类型一】 根据已知条件求锐角的正切值如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝7(AC >BC )，AB ＝5，求tan B 的值． 解析：要求tan B 的值，根据锐角三角函数的定义，则需要求出对边AC 和邻边BC 的长．已知斜边AB ＝5，且AC ＋BC ＝7，所以可以根据勾股定理进行计算．解：设AC ＝x ，则BC ＝7－x .根据勾股定理，得x 2＋(7－x )2＝52，解得x ＝3或4.∵AC >BC ，∴AC ＝4，BC ＝3.∴tan B ＝AC BC ＝43.方法总结：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B 的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用．实际上，根据以往做题的经验，不通过计算，直接观察就可以解决．因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3.【类型二】已知锐角的正切值求解其他问题在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积．解析：因为△ABC为直角三角形，所以要求它的面积可求两直角边AC和BC的长．又tan A＝BCAC＝34，AC＋BC＋AB＝24，且AB2＝AC2＋BC2，故可求AC和BC的长，从而可求面积．解：∵∠C＝90°，tan A＝0.75，∴tan A＝BCAC＝34.设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝AC2＋BC2＝16k2＋9k2＝5k.∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2.∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝12AC·BC＝12×8×6＝24.方法总结：题目中已知锐角的正切值，通常利用正切的概念将其转化为边的比值，再根据周长求出各边的长度．这里采用了设参数(k)的方法．探究点二：坡度、坡角如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB 的长是()A．25米B．210米C．45米D．6米解析：先由i＝BCAC＝13，BC＝2米，求出AC，再利用勾股定理求出AB的长．∵∠ACB ＝90°，i＝1∶3，∴i＝BCAC＝13.∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．∴AB＝AC2＋BC2＝36＋4＝210(米)．故选B.方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．三、板书设计正切⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧正切：在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A.tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝BCAC＝ab坡度：坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度，记作i，即i＝hl坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝hl＝tanα.注重学生对锐角的正切概念的理解，引导学生积极主动地参与正切概念的探索过程．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力，并注意联系实际，提高运用数学知识解决实际问题的能力．第2课时 正弦和余弦1．理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点) 2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB )．斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来，水管的长度(AC )也能直接量得．你能求出它的高度(AB )吗？二、合作探究探究点一：正弦的定义 【类型一】 求正弦值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝5，求sin A 和tan A 的值． 解析：先根据勾股定理求出b 的长，再根据锐角三角函数的定义求解． 解：在Rt △ABC 中，c ＝5，a ＝3， ∴b ＝c 2－a 2＝52－32＝4，∴sin A ＝a c ＝35，tan A ＝a b ＝34.方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值．【类型二】已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，则tan B的值为() A.43 B.45 C.54 D.34解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝ac，tan B＝ba，a2＋b2＝c2；由sin A＝35知，若设a＝3x，则c＝5x.结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tan B＝ba＝4x3x＝43.故选A.方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．探究点二：余弦的定义【类型一】求余弦值如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝22＋42＝25，OB＝AB＝32＋12＝10，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cos∠AOB＝OBOA＝1025＝22.方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．【类型二】构造直角三角形求余弦值如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则cosα等于() A.ab B.baC.aa2＋b2D.ba2＋b2解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图．在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝OH2＋PH2＝a2＋b2，∴cosα＝OHOP＝aa2＋b2.故选C.方法总结：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a |，若点P 不在第一象限，则要注意字母的符号．三、板书设计正弦和余弦⎩⎪⎨⎪⎧正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC AB ＝ac 余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝AC AB ＝bc注重学生对锐角正弦、余弦概念的理解．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力．通过数学建模把一些实际问题抽象为数学模型，从而提高分析问题、解决问题的能力．2．30°，45°，60°角的三角函数值第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值1．运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60°角的三角函数值；(重点) 2．熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用．(难点)一、情境导入我们天天与三角板打交道，知道三角板有两大类型．如图，有30°角的三角板和45°角的三角板，但你是否留意，每副三角板中两直角边的比值是多少？二、合作探究探究点一：30°、45°、60°角的三角函数值计算：(1)12sin60°×22cos45°；(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.解析：把30°，45°，60°角的三角函数值代入上式进行计算，注意tan230°表示tan30°·tan30°.解：(1)12sin60°×22cos45°×32×22×22＝38；＝12(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°＝(33)2＋(32)2－(22)2×1＝13＋34－12＝712.方法总结：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．探究点二：由特殊三角函数值确定锐角的度数在Rt△ABC中，若sin A＝32，则cosA2＝________．解析：由sin A＝32，得∠A＝60°，所以cosA2＝cos30°＝32.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin(90°－∠A)＝22，则∠A＝________．解析：因为sin45°＝22，所以90°－∠A＝45°，所以∠A＝45°.方法总结：熟练掌握特殊角的三角函数值，并能够由特殊的三角函数值来确定特殊角的度数．三、板书设计经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，让学生感受数学思考过程的合理性，逐步培养学生观察、分析、概括的思维能力．第2课时互余两角的三角函数值1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；(重点)2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算．(难点)一、情境导入1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________；若∠B＝53°28′，则∠A ＝________．2．sin30°＝cos60°＝________，sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________．完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值．这个规律，是否适合任意一个锐角呢？二、合作探究探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系【类型一】互余两角的正弦、余弦值的关系在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝13，则cos A的值为()A.13 B.233C．1 D.32解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A.已知cosα＝35，α＋β＝90°，则cosβ＝()A.35 B.25 C.45 D.34解析：∵cosα＝35，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝35.设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝bc＝35，设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ＝ac＝4k5k＝45.故选C.方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．【类型二】互余两个锐角的正切值的关系在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tan A，tan B是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．解析：∵tan A，tan B为方程3x2－tx＋3＝0的两根，∠A，∠B是锐角．∴tan A·tan B＝33＝1，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.方法总结：利用tan A·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．三、板书设计互余两角的三角函数关系⎩⎪⎨⎪⎧任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.sin A＝cos（90°－∠A）cos A＝sin（90°－∠A）tan A·tan（90°－∠A）＝1互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一．掌握这一关系，对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的．3．一般锐角的三角函数值1．会使用科学计算器求锐角的三角函数值；(重点)2．会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小；(重点)3．熟练掌握计算器的按键顺序．(难点)一、情境导入如图，有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)？你能求出两坑的距离吗？二、合作探究探究点一：用计算器求一个锐角的三角函数值求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)解析：按照计算器的说明操作．解：按下列顺序依次按键：sin63D·M′S52D·M′S41D·M′S＝.显示结果为0.897859012.所以sin63°52′41″≈0.8979.计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)()A．－0.5976 B．0.5976C．－0.5977 D．0.5977解析：本题是一道运用计算器进行计算的题目，运用计算器可知其结果是－0.5977.故选C.方法总结：利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据．探究点二：用计算器完成已知三角函数值求锐角已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)解析：已知一个角的三角函数值，求这个锐角，先按2ndF，然后选择有关三角函数的键，输入sin－1或cos－1后，再输入数字，得到这个锐角的度数．此题应填48°24′.探究点三：三角函数大小的比较(1)锐角的正弦值和余弦值随着锐角的变化而变化．试探索：随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系；(3)比较大小：若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)；(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.解：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；(2)sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°，cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°；(3)当α＝45°时，sinα＝cosα；当α<45°时，sinα<cosα；当α>45°时，sinα>cosα；(4)∵cos70°＝sin20°，cos30°＝sin60°，∴sin10°<cos70°<sin50°<cos30°.三、板书设计一般锐角的三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧1.用计算器求锐角的三角函数2.已知三角函数值用计算器求锐角3.三角函数大小的比较本节重点在于掌握用计算器求三角函数值和根据三角函数值求锐角，让学生了解计算器的众多功能．23．2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形1．了解并掌握解直角三角形的概念；2．掌握解直角三角形的依据并能熟练解题．(重点、难点)一、情境导入在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 已知斜边和一直角边解直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝23，a＝3，解这个直角三角形．解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．解：在Rt△ABC中，b＝c2－a2＝12－9＝ 3.∵sin A＝ac＝323＝32，∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．【类型二】已知两直角边解这个直角三角形已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3－1，b＝3－3，解直角三角形．解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．解：由tan B＝ba，得tan B＝3－33－1＝ 3.∴∠B＝60°，则∠A＝30°.由sin A＝ac，得c＝asin A＝3－112＝23－2.【类型三】已知直角三角形一边一锐角解直角三角形在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．解析：如图所示，本题实际上是要求∠A、b、c的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴c＝2a＝2×4＝8.由tan B＝ba，知b＝a·tan B＝4·tan60°＝4 3.(或b＝c2－a2＝82－42＝43) 方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．探究点二：解直角三角形的简单应用【类型一】利用直角三角形求面积在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm 2)解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形． 解：作AB 上的高CD ，在Rt △ACD 中， ∵CD ＝AC ·sin A ＝b ·sin A .∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12bc ·sin A .∵∠A ＝55°，b ＝20cm ，c ＝30cm ， ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×20×30·sin55°＝12×20×30×0.8192＝245.8(cm 2)． 方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．【类型二】 构造直角三角形解决问题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将此矩形折叠，使C 点和A 点重合，求折痕EF 的长．解析：由题意可知A 点和C 点关于直线EF 对称，连接AC ，则AC ⊥EF ，且OA ＝OC ，于是构造了Rt △AOE ，利用解直角三角形的知识求出OE 即可．解：如图，连接AC ，则AC ⊥EF ，OA ＝OC ，∴∠AOE ＝90°.又∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，∴OA ＝5.在Rt △ADC 中，tan ∠DAC ＝DC AD ＝68＝34.在Rt △AOE 中，tan ∠EAO ＝OE AO ，∴OE ＝AO ·tan ∠EAO ＝AO ·tan ∠DAC ＝5×34＝154.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF .∴EF ＝2OE ＝2×154＝152.方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．三、板书设计教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．第2课时仰角与俯角问题1．巩固解直角三角形有关知识；2．能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题．(重点、难点)一、情境导入秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳(OA)的长为3m，静止时秋千踏板(B，大小忽略不计)距离地面(BE)的距离0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角(摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB)约为52°.你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面的最大距离约为多少？二、合作探究探究点：仰角、俯角问题 【类型一】 仰角问题如图所示，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC⊥BC ，自B 沿着BC 方向向前走1000m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)解析：要求AC ，无论是在Rt △ACD 中，还是在Rt △ABC 中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC 看成已知，用含AC 的代数式表示BC 和DC ，由BD ＝1000m 建立关于AC 的方程，从而求得AC .解：在Rt △ABC 中，AC BC ＝tan B ＝tan30°＝33，∴BC ＝3AC .在Rt △ACD 中，ACDC ＝tan∠ADC ＝tan45°＝1，∴DC ＝AC .∴BD ＝BC －DC ＝3AC －AC ＝(3－1)AC ＝1000，∴AC ＝10003－1＝500(3＋1)(m)． 答：山高为500(3＋1)m.方法总结：在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．【类型二】俯角问题如图，飞机A 在目标B 正上方1000m 处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，则地面目标B ，C 之间的距离是________．解析：由题意可知，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝∠CAD ＝30°，AB ＝1000m ，∴BC ＝AB tan C ＝1000tan30°＝10003(m)，故填10003m.方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是()A．(82＋83)m B．(8＋83)mC．(82＋833)m D．(8＋833)m解析：由题意可知：在Rt△BCE中，∵CE＝8m，∠ECB＝45°，∠ACE＝30°，∴BE＝CE＝8(m)，AE＝EC·tan∠ACE＝8×tan30°＝833(m)，∴AB＝AE＋BE＝(8＋833)m.故选D. 方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．三、板书设计本次教学过程中涉及实际应用问题，在合作探究环节可引导学生探究几个具有代表性的数学模型，从这些数学模型中总结规律并积累解题技巧，培养学生的创新意识和逻辑思维能力．第3课时 方向角问题1．正确理解方向角的概念；(重点)2．灵活运用解直角三角形的知识构建直角三角形模型，会利用所学的知识解决现实生活中的问题．(难点)一、情境导入如图，一艘轮船从A 点出发，航行路线为AC 、CB ，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？二、合作探究探究点：与方向角有关的实际问题一条东西走向的高速公路上有两个加油站A ，B ，在A 的北偏东45°方向还有一个加油站C ，C 到高速公路的最短距离是30km ，B ，C 间的距离是60km ，想要经过C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到B ，C 的距离相等，请求出交叉口P 到加油站A 的距离(结果保留根号)．解析：此题针对点P 的位置分两种情况讨论，即点P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．解：分两种情况：(1)如图①，在Rt △BDC 中，CD ＝30km ，BC ＝60km ，∴∠B ＝30°. ∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°.∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，∴DP ＝CD tan ∠CPD ＝30tan60°＝103(km)．在Rt △ADC 中，∵∠A ＝45°，∴AD ＝DC ＝30km.∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)km ；(2)如图②，同理可求得DP ＝103km ，AD ＝30km. ∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)km.答：交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)km. 方法总结：求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km 远了多少？(参考数据：3≈1.73，2≈1.41，要求在结果化简后再代入参考数据运算，结果保留整数)解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD ＝CD tan30°，BD ＝CDtan45°， ∵AD ＋BD ＝AB ，∴(3＋1)CD ＝600，∴CD ＝300(3－1)(km)．∴在Rt △BCD 中，BC ＝3002(3－1)(km)， 在Rt △ACD 中，AC ＝600(3－1)(km)，∴AC ＋BC ＝600(3－1)＋3002(3－1)≈747(km)，747－600＝147(km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程600km 远了147km. 方法总结：构造直角三角形，分别解两个直角三角形．三、板书设计方向角问题指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．通过学习本课时内容，让学生认识到日常生活中许多问题可以转化为直角三角形的问题，并从中体会直角三角形的边角关系在解决实际问题中的作用．第4课时 坡度问题1．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝hl，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h.如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为()A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求．解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)．∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)． ∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)． 答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝错误!，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
【最新沪科版精选】沪科初中数学九上《23.0第23章 解直角三角形》word教案.doc
第25章解直角三角形复习一.教学内容第25章解直角三角形复习二. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，•由已知三角函数值求它对应的锐角．2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．三. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2. 特殊角的三角函数值3. 锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝；（3）tanα＝，cotα＝．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常见类型有：我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线．水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，•地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，•能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．【典型例题】例1. 已知tanα＝，求的值．分析：利用数形结合思想，将已知条件tanα＝用图形表示．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB＝＝＝5k．∴sinα＝＝＝ cosα＝，∴原式＝＝－7．例2. 计算．（1）sin45°－cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）；（4）．分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．解：（1）sin45°－cos60°＝×－×＝；（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2+×＝2．（3）＝＝＝3－2；（4）＝＝1－sin30º＝1－＝．点拨：像上面第3题分子分母要分别处理，第4•题要特别注意先化简再代入计算．例3. 已知tanα＝，求的值．分析：可将所求式子的分子、分母都除以cosα，转化为含有的式子，•再利用tanα＝进行转化求解．解：将式子的分子、分母都除以cosα，得原式＝＝－7规律总结：因为tanα＝所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．例4. 等腰三角形的底边长为6cm，周长为14cm，试求底角的余切值．分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，•作底边上的高是解决问题常见办法．解：如图所示，作等腰三角形ABC，BC为底边，AD⊥BC于D．∵△ABC的周长为14，底边BC＝6，∴腰长AB＝AC＝4．又∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝3．在直角三角形ABD中，∠ADB＝90°，AD＝＝＝cot∠B＝＝．答：等腰三角形底角的余切值是．点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．例5. Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，•根据下列条件解直角三角形．（1）a＝4，c＝10；（2）b＝2，∠A＝40°；（3）c＝3，∠B＝58°．分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形．解：（1）b＝＝＝2，由sinA＝＝0.4，∠A≈23.6°，∠B＝90°－∠A＝90°－23.6°＝66.4°．（2）∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，由tanA＝，得a＝b·tanA＝2×tan40°≈2×0.8391≈1.678，由cosA＝，得c＝≈2.611．（3）∠A＝90°－∠B＝90°－58°＝32°，由sinB＝，得b＝c·sinB＝3·sin58°≈3×0.848≈2.544，由cosB＝，得a＝c·cosB＝3×cos58°≈3×0.5299≈1.590．点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边．例6. 如图，一艘轮船从离A观察站的正北20海里处的B港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A地北偏西30°的C处，一个半小时后，又测得该船在A•地的北偏西的D处，求此船的速度．分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC的长，观察图形，DC＝DB－CB，•而BD在Rt△ABD中可求，BC在Rt△ABC中可求．解：在Rt△ABC中，BC＝AB×tan30°＝20×＝20（海里）．在Rt△ABD中，BD＝AB×tan60°＝20×＝60（海里）．所以DC＝DB－CB＝60－20＝40（海里）．船的速度是：40÷1.5＝26（海里）．答：船的速度是26海里．点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A•为中心的．例7. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D•处分别用测角仪器测得塔顶A 的仰角为30°，45°，已知CD＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）分析：设塔高为x米，根据条件∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米，在直角三角形ABC中，根据∠C＝30°，即tanC＝可求．解：设AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝x．在Rt△ABC中，∠C＝30°，且BC＝CD+BD＝30+x，tanC＝所以tan30°＝，即＝，x＝（15+15）（米）．答：塔高AB为15+15米．例8. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过C作AB的垂线段CM，把AM、BM用含x的代数式x，x表示，利用AM+MB ＝2列方程得，x+x＝2，解出CM的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM的长，列方程解题的思想方法．解：作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，∠MCB＝∠MBC＝45°，则MB＝CM＝x千米．在Rt△AMC中，∠CAM＝30°，∠ACM＝60°tan∠ACM＝∴AM＝CM·tan60°＝x千米∵AM+BM＝2千米∴x+x＝2∴x＝－1≈1.732－1＝0.732∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园．例9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD，其中坝顶AB＝3米，经测量背水坡AD＝20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i＝1：0.6，求迎水坡BC的坡角∠C和坝底宽CD．分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，•一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决．解：过A、B作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足是E、F，根据题意有AE＝BF＝10，四边形ABFE是矩形，EF＝AB＝3．在Rt△ADE中，DE＝＝＝10（米），在Rt△BCF中，，CF＝0.6×BF＝0.6×10＝6（米）所以CD＝CF+EF+DE＝10+3+6＝（9+10）（米）．又在Rt△BCF中，cot∠C＝0.6，所以∠C≈59°．例10. 如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝，AC＝．证明：证明：过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∴，∴，又∵，∴．评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系．同理还可推出：（三角形面积公式）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）．A. 10tan50°B. 10cos50°C. 10sin50°D.2. AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于（）．A. 3：2B. 2：3C. 9：4D. 4：93. 如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，•使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC的值为（）．A. asinθB. acosθC. atanθD. acotθ4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（）．A. sinA＝sinBB. tanA＝tanBC. sinA＝cosBD. cosA＝cosB5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，•则此等腰梯形的周长为（）．A. 19B. 20C. 21D. 226. 如图，秋千拉绳OB的长为3m，静止时踏板到地面的距离BE长为0.6m（•踏板的厚度忽略不计）．小亮荡秋千时，当秋千拉绳从OB运动到OA时，拉绳OA•与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时秋千踏板离地面的高度AD是多少米．（精确到0.1m）7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC•所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）8. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工，从AC 上一点B取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一条直线，•那么开挖点E离D的距离约为多少米?（精确到1m）9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点A处测处山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180m，•另一部分同学在小山顶点B处测得山脚A的俯角为45°，山腰点D处的俯角为60°，•请你帮助他们计算小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，•在搭建客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上升时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题，•要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？【试题答案】1. B 点拨：直接利用三角函数关系求解．2. B3. C 点拨：根据图形找出对角关系．4. C 点拨：在锐角三角函数中，对于任意锐角的正弦值都等于它余角的余弦值．5. D6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴cos∠AOF＝，∴OF＝OA·cos∠AOF．又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，∴OF＝3·cos55°≈1.72m，∴EF＝3+0.6－1.72≈1.9m．∴AD＝EF＝1.9m．7. 如图．（1）在Rt△ABC中，AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．在Rt△ACD中，AD＝≈6.554m，∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．即改善后的台阶会加长1.55m．（2）在Rt△ABC中，BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．在Rt△ACD中，CD＝≈5.558m，∴BD＝CD－BC＝5.558－3.597≈1.96m．即改善后的台阶多占1.96m长的一段地面．8. 368m．9. 过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE＝FC．∵∠HBA＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，∴△ADB是等腰三角形，∴AD＝BD＝180m．在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝，∴DE＝180×sin30°＝180×＝90m，∴FC＝90m．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠HBD＝60°，sin∠BDF＝sin60°＝，∴BF＝180·sin60°＝180×＝90m，∴BC＝BF+FC＝90+90＝90（+1）m．故小山的高度为90（+1）m．10. 根据题意有AF∥BC，∴∠ACB＝∠GAF．又∵∠ABC＝∠AFG＝90°，∴△ABC∽△GFA，∴，得BC＝3.2（m）．CD＝（2+3）－3.2＝1.8（m）．。
沪科版数学九年级上册第23章解直角三角形2解直角三角形(课件)
1
1
sABC
2
AB
CD
bc sin 2
A
当∠A=550，b=20cm，c=30cm时，A有
D
B
SABC
1 2
bc sin
A
1 2
20 30sin 55
1 20 30 0.8192 245.8(cm2 ) 2
中考演练
在△ABC中， ∠B=60°, ∠C=45°, AB=2 (1)求AC的值。 (2)求△ABC的周长与面积 A
解直角三角形
回顾与思考
a b c （1）三边之间的关系： 2
2
2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
A
（3）边角之间的关系：
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
Bห้องสมุดไป่ตู้
B的对边 斜边
b c
b
c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
C
a
B
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
Ａ
bＣ
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能 求出这个三角形的其他元素吗?
B
C
A
如图：Rt△ABC中除直角之外的五要素
三条边:a,b,c;两个锐角:∠A ,∠B
B 在直角三角形的六个元素中, 除直角外,如果知道两个元素,
c a (其中至少有一个是边),就可以 求出其余三个元素.
A bC
在直角三角形中,由除直角外的已知元素求未
知元素的过程,叫 解直角三角形
例题讲授
例1.在RtABC中, C 90, AC 2, BC 6,
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形 解直角三角形及方位角的应用
(2)求tan∠DAE的值．
知3－练
感悟新知
知3－练
解： (1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，∴BD＝，
感悟新知
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形 知2－练
例如3图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，∠A 4 3
＝60°，解这个直角三角形．
导引：先根据∠B＝90°－∠A求出∠B的
度数，然后根据sinA＝，求 BC 出BC的长，再运用勾股定理求A出BAC的长．
感悟新知
知2－练
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－60°＝30°.
第23章解直角三角形
23.2解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形及 方位角的应用
学习目标
1 课时讲解
已知两边解直角三角形、 已知一边及一锐角解直角三角形、 已知一边及一锐角的三角函数值解
直角三角形、方位角
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 已知两边解直角三角形
感悟新知
知4－练
2．一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°的方向，继续向南航行 30 海里 到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°的方 向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是( B )(结果
保留小数点后两位，参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
【沪科版】九年级数学上册：第23章-解直角三角形教案全集23.2 第2课时 仰角与俯角问题2
23.2 解直角三角形及其应用第2课时仰角与俯角问题教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.【情感、态度与价值】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题.【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体课件出示:南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目.二、共同探究师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?生:能.教师找一生回答.量:你能求出第二根钢索的长吗?生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.教师多媒体课件出示:操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?生:能.师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.师:对,那你知道小明是怎么算的吗?学生思考,交流.生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.三、继续探究,层层推进1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊?生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.2.练习新知.教师多媒体课件出示:(1)如图,∠C=∠DEB=90°,FB∥AC,从A看D的仰角是;从B看D的俯角是;从A看B的角是;从D看B的是;从B看A的角是.师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗?生:能.教师找一生回答,然后集体订正得到:从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠FBD,从A看B的仰角是∠BAC,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.教师多媒体课件出示:(2)如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,求乙楼的高CD.学生看题思考.师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?生:因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以过A作AE∥BD,即有AE⊥BD,得到Rt△ACE和Rt△ADE,确定仰角和俯角.已知AB=24米,可知DE=24米,可求出AE,进而求出CE.教师作图.师:然后怎样做呢?老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:在Rt△AEC中,∠AEC=90°∠EAC=α=30°.∵tanα==,∴CE=8tanα=8×tan30°=8×=8(米).∴CD=CE+DE=24+8=32(米).四、例题讲解【例1】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6 m,问树高AB为多少米?(精确到0.1 m)解:在Rt△ACD中,∠ACD=52°,CD=EB=8 m.由tan∠ACD=,得AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°=8×1.2799≈10.2(m).由DB=CE=16 m得AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m).答:树高AB为11.8 m.【例2】解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m)解:设AB1=x m.在Rt△AC1B1中,由∠AC1B1=45°,得C1B1=AB1.在Rt△AD1B1中,由∠AD1B1=30°,得tan∠AD1B1==,即=.解方程,得x=25(+1)≈68.∴AB=AB1+B1B≈68+1=69(m).答:电视塔的高度为69m.五、巩固提高师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.老师多媒体课件出示题目:1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是()A.250 mB.250 mC. mD.250 m【答案】A2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°,已知水平距离BD=10 m,楼高AB=24 m,则树CD的高度为()A.(24-)mB.(24-10)mC.(24-5)mD.9 m【答案】B3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为.(精确到0.1米)【答案】15.4米4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.【答案】1248米5.如图,为测量某塔AB的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7)【答案】35.5米六、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.。
沪科版-数学-九年级上册-23.2.1 解直角三角形(2) 教案
解直角三角形教学目标【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习激情，增强学好数学的信心.重点难点【重点】直角三角形的解法.【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.教学过程一、复习回顾师:你还记得勾股定理的内容吗？生:记得.学生叙述勾股定理的内容.师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？生:两锐角互余.师:直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？生:30°的角所对的直角边等于斜边的一半.师:很好!二、共同探究，获取新知1.概念.师:由sinA=，你能得到哪些公式？生甲:a=c·sinA.生乙:c=.师:我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同的特点，就是式子的右端至少有一条边，为什么会是这样的呢？学生思考.生:因为左边的也是边，根据右边边与角的关系计算出来的应是长度.师:对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角，我们现在看看解直角三角形的概念.教师板书:在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形.2.练习教师多媒体课件出示:(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形;师:图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？生1:根据cos60°=，得到AB=，然后把AC边的长和60°角的余弦值代入，求出AB边的长，再用勾股定理求出BC边的长，∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到.生2:先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，再由sin60°=得到BC=AB·sin60°，从而得到BC边的长.师:你们回答得都对!还有没有其他的方法了？生3:可以求出AB后用AB的值和∠B的余弦求BC的长.生4:可以在求出AB后不用三角函数，用勾股定理求出BC.师:同学们说出这几种做法都是对的.下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形.学生思考，计算.师:这两个题目中已经给出了图形，现在我们再看几道题.教师多媒体课件出示:【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4，解这个直角三角形.师:你怎样解答这道题呢？先做什么？生:先画出图形.师:很好!现在请同学们画出大致图形.学生画图.教师找一生说说解这个直角三角形的思路，然后让同学们自己做，最后集体订下.解: ∠A=90°-42°6'=47°54'.由cosB=，得a=ccosB=287.4×0.7420≈213.3.由sinB=得b=csinB=287.4×0.6704≈192.7.教师多媒体课件出示:【例2】在△ABC中，∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm.求△ABC的面积S△ABC.(精确到0.1 cm2)师:这道题是已知了三角形的两条边和一个角，求三角形的面积.要先怎样？学生思考.生:先画出图形.师:对，题中没有已知图形时，一般都要自己画出图形.然后呢？你能给出解这道题的思路吗？生1:先计算AB边上的高，以AB为底，AB边上的高为三角形的高，根据三角形的面积公式，就能计算出这个三角形的面积了.生2:还可以先计算AC边上的高，然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积.师:很好!我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法，怎样求AB边上的高呢？教师找一生回答，然后集体订正.解:如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中，CD=AC·sinA=bsinA，∴S△ABC=AB·CD=bcsinA.当∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm时，有S△ABC=bcsinA=×20×30sin55°=×20×30×0.8192≈245.8(cm2).教师多媒体课件出示:【例3】如图，东西两炮台A.B相距2 000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)师:这是一个与解直角三角形有关的实际问题，你能将它转化为数学模型吗？学生思考后回答:会.师:这相当于已知了哪些条件，让你求什么量？生:已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，求它的斜边和另一直角边.师:你回答得很好!现在请同学们计算一下.学生计算，教师巡视指导，最后集体订正.解:在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠D AC=50°，=tan∠CAB，∴BC=AB·tan∠CAB=2 000×tan50°≈2 384(米)又∵=cos50°，∴AC==≈3 111(米).答:敌舰与A.B两炮台的距离分别约为3 111米和2 384米.三、练习新知师:现在请同学们看课本第125页练习1的第(1)、(2)题.教师找两生各板演1题，其余同学在下面做，然后集体订正.解:(1)∠A=90°-80°=10°，AB=≈≈172.81，AC=≈≈170.16，(2)BC===≈7.42.cosA===0.375，∠A≈67.976°≈67°58'32″，∠B=90°-∠A=22°1'28″.教师找一生板演课本第125页练习的第3题，其余同学在下面做，然后集体订正.解:过点A向DC作垂线，与DC交于一点E.AE=ADsin43°=6×sin43°≈6×0.682=4.092.S=(AB+DC)×AE=(4+8)×4.092≈24.55.答:梯形的面积为24.55.四、巩固提高师:同学们，通过刚才的学习，相信大家都掌握了一定的解直角三角形及其应用题的方法，现在我出几道习题来检测下大家学得怎么样!教师多媒体课件出示习题:1.在△ABC中，∠C=90°，下列各式中不正确的是( )A.b=a·tanBB.a=b·cosAC.c=D.c=【答案】B2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=35，b=28，则tanA= ，tanB= .【答案】3.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，b=5，则∠A= ，S△ABC= .【答案】30°4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a=104，b=20.49，求∠A和∠B.(可利用计算器进行运算，精确到1°)【答案】∠A=79°，∠B=11°5.如图，在Rt△ABC中，BC=7.85，AB=11.40，解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字，角度精确到1°)【答案】AC=8.27，∠A=44°，∠B=46°五、课堂小结师:本节课，我们学习了什么内容？学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答.教学反思本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究，达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题.在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用.在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心.。
九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第二课时沪科版
≈3236
答：飞机A到着陆点AC的距离约为3236m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要 在小山的另一侧的E处同时施工。如果从AC上的一点B， 使∠ABD = 140°，BD = 520m,∠D=50°,那么开挖点E 离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到1m）
解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角.
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三 角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
第131页习题23.2第2,3题
第二十三章
23.2解直角三角形及其应用
第2课时
解直角三角形的常用等量关系
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
(3)边角之间的关系:
sin A a , cos A b , tan A a
c
c
b
sin B b , cosB a , tan B b
=
������������������ ������������������������ + ������������������������
������������+������
解方程，得
D1 30° C1 45 °
D 50 m C
B1
x=25( ������+1)≈68(m) AB=AB1+BB1≈68+1=69(m)
才能与已知建立起等
量关系？
D1 30° C1 45 ° D 50 m C
B1 B
解：设AB1=xm.
在Rt△AC1B1中， ∠AB1C1=90 °
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（3）sinA = , ∠A =； （4）cosA = , ∠A = ______；
(5) sinA = ， ∠A =； (6)cosA = , ∠A = ______。
二、导读：仔细观察上面的结果并完成以下问题：
利用这个结论可以把互余两角的正、余弦互化。
☆ 合作探究 ☆
1 .在Rt△ABC中，∠C = 900，sinA = ，则cosA =.
2.比较sin40°、cos40°与tan40°的大小.
.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：
（1） ；
（2）
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，求证： .
☆ 归纳反思 ☆
☆ 达标检测 ☆
1. 在Rt△ABC中，∠C = 900，sinA = ，则cosB=.
cosA =.
2. 已知a为锐角，sina=cos400则a等于 （ ）.
A 、2019B 、30°C、 40°D、 50°
3.（1）已知∠A为锐角，证明tanA·tan（900–A）= 1.
（2）利用上面结论计算tan1°tan2°…tan88°tan89°.
2.30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时互余两角的三角函数值
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
教学目标：1.知道一个锐角的正弦和余角的余弦之间的关系.
2.会把互余两角的正、余弦互化.
教学重点：正弦与其余角的余弦之间的关系.
教学难点：正弦与其余角的余弦之间的关系.
☆ 预习导航 ☆
一、链接：1.在△AFra bibliotekC中，∠C=90°，则
（1）正弦值随角度的增大而_________ ,
（2）余弦值随角度的增大而_________ ,
（3）正切值随角度的增大而_________ .
总结：角大正弦大，角大余弦大，角大正切大。
（4）你能由 sin30°=cos=
sin45°=cos=
sin60°=cos=.
总结：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦。