1定积分的应用
定积分的物理应用一、物体质量对于密度均匀的物体的质量或、，这时...
定积分的物理应用一、物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法． 例1、 一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量．解 建立如图1坐标系图1则()l x ky γ== ()0k >y '=ds ==dx =()l dm x ds γ=⋅=kRdx = RR m kRdx -=⎰ 22kR =．二、 液体压力液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到，即P gh A γ=⋅，其中γ为液体密度，压强gh γ是个常量（匀压强）． 现在如若把薄板垂直放置呢？薄板上的压强还是常量吗？还能用上边那个简单的公式吗？ 例1 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐（如图8．3．4），试计算闸门一侧所承受的水压力．解回顾例8．3．3，我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地，侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水压力，即dP gxdA γ=2gx ydx γ=22203gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则15022203P gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 15204403g x x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 2315498002009x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 29400000=()N ．三 、 变力做功一圆台形水池，深15m ，上下口半径分别为20m 和10m ，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功?解：水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化图8．3．4其中抽出任意一层水（x 处厚为dx 的扁圆柱体，如图8．3．4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元dW即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则21502203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 21502203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 20625g γπ=202125000π=()J ．。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分在经济学中的应用1
定积分的应用
定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
积分学是微分学和积分学的总称。
由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。
可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。
本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题
2 利用定积分由变化率求总量问题
3 用定积分求经济函数的最大值和最小值
4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
5 利用定积分决定广告策略问题
定积分在数学中占主导地位。
同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。
只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
定积分的应用绕y轴旋转体的体积
绕y轴旋转体的体积可以使用定积分来计算。
假设我们要计算在x轴上由函数y=f(x)和y=g(x)所围成的区域绕y轴旋转一周
形成的体积。
首先，我们可以将该区域在y轴上的投影表示为两个曲线
y=f(x)和y=g(x)之间的区域，即：
ΔV = π * (f(x)² - g(x)²) * Δx
其中，ΔV表示该区域在y轴上的投影扫过的小圆柱体的体积，π表示圆周率，f(x)² - g(x)²表示小圆柱体的底面积，Δx表示小
圆柱体的高度。
然后，我们可以将整个区域划分为许多小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后将所有小圆柱体的体积求和，即可得到整个
旋转体的体积：
V = ∫[a,b] π * (f(x)² - g(x)²) dx
其中，[a,b]表示区间[a,b]上的积分，表示我们要计算的区域的
范围。
通过对上述积分进行计算，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。
请注意，这个方法适用于任何形状的曲线旋转体。
1.定积分的应用(面积)
y = x2
A = ∫0 ( x − x 2 )dx
2 3 x 1 = x2 − = . 3 0 3 3
3 1
1
x
x+dx
求面积的一般步骤： 求面积的一般步骤： 1.作图（如果需要求出交点）. 作图（如果需要求出交点） 作图 微元法 2.用定积分表示面积 用定积分表示面积. 用定积分表示面积 公式法
2）求出一个元素（如 f ( x )dx 称为量U 的元素 ）求出一个元素（ 且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ）；
3)化 为 定 积 分 U =
∫
b
a
du
定积分在几何 几何上的应用 第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系情形 直角坐标系情形
y
y = f ( x)
π
π
3
o π
6
x
3 0
6 0
= − ∫ π sin xdx + ∫ 6 sin xdx
− 3 0
π
= cos x − π + ( − cos x ) 06
3
0
π
3− 3 = 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
相当于定积分的换元） 连续. y = ψ (t )连续 （相当于定积分的换元）
x2 y2 的面积. 例 5 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积
高中数学第一章导数及其应用1定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。
[Xn —1，Xn]。
在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。
定积分的应用一-2022年学习资料
求由连续曲线y=fx,y=gx及x=a,x=b-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=['lfx-gxl x.a<b-类似地，-求由连续曲线x=py,x=y及y=c,y=d-A=∫1p-y1dy.-c<d
例1-求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积.-解-1求积分区间-联立方程组-「y=x-求得 点：A-2,4,B1,1.-积分区间x∈[-2,1].-微分元素dA=[2-x-x2]dx.-3计算面积-可e-wa2-4分
为简便和醒目起见略去下标，将具有代表性的第个-小区间[x-1,x]表示为[x,x+dx],称之为典型小区间 取-5:为区间的左端点x,则有-△A≈fxdx.-通常称fxdx为量A的微分元素或积分元素，记为-dA=f dx.-由量A对区间的可加性取极限过程dx→0（相当于-‖△x→0，将微分元素dA在区间[a,b]上“无限 加”起来-即作定积分就得到量A在区间[α，b]上的值：-A=∫°dA=fxdx.-简言之，我们在这里将定积 解为微分元素的无限剥加.
求由曲线r=rO及射线r=a,r=Ba<B-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=∫2dA=∫2r0d0 该公式也称为极坐标系种曲边扇形的面积公式
求圆r=3cos0与心形线r=1+cos0所围成的-例7-平面图形的面积.-解-由对称性，求出上半部分的面 A,则A=2A-r =3cos 0-1求积分区间联立方程组-∫r=3cos0-2微分元素-当0≤0≤g时， 边为r=1+cos日，dA=号1+cos62d0-0≤7时，曲边为r=3cos0,dA=6cosd8,
例5-求由摆线x=at-sint,y=aI-cost的第一拱-0≤t≤2π与横轴x所围成的平面图形的面积. 解-1求积分区间-x:0→2πa时，t:0→2π.-2求微分元素-2na x-d A=l yldx=a1ostdat-si1-cost2dt-1-2cost+cos'dt-A =3xd.
(数学一)定积分的物理应用入门(例题讲解)
（数学一）定积分的物理应用入门（例题讲解）1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为182160260===⎰s k ksds W k(牛⋅厘米).2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P , π-=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是hR mgRhW +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为dy ykMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMhk dy y kMm W h R R+⋅==⎰+.(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cx t x v ='=, 阻力4229t kc kv f -=-=. 而32)(cx t =, 所以34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=. 功元素dW =-f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f W a aa===-=⎰⎰⎰. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？ 解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为k kxdx W 21101==⎰,击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+. 因为21W W =, 所以有 )2(21212h h k k +=, 解得12-=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210-=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ,所求功为⎰-=1502)3210(dx x x W π⎰+-=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===⎰x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x . 压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=,所求压力为 ⎰⎰-⋅⋅+=--⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x P ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)=17.3(kN).(提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=-)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为 x y 1015-=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力.解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)=1.65(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为 dy y a Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为dF ra dF x -=, dF r ydF y =.2202222022)(1)(la a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ, )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力.解 根据对称性, F y =0. θμcos 2⋅⋅⋅=Rdsm G dF x θθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=, θθμϕϕd R Gm F x ⎰-=22cos2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰.引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.。
1的定积分
1的定积分1的定积分是一个重要的数学概念，也是微积分中的一个重要内容。
它是由著名的微积分学家、微分几何学家、力学学家狄拉克首先提出来的。
他发现，积分可以用来表达一个函数的空间变化。
对于同一个函数，不同的被积分区域是不同的，因此，对于不同的被积分区域，可以求出不同的积分值。
1的定积分就是这样一个积分，它可以用来研究函数的变化率，从而确定函数的行为。
1的定积分定义如下：给定一个函数f(x)，它的1的定积分为：∫f(x)dx,其中a∈[a,b]，这里的定积分被称为狄拉克积分。
1的定积分有一个重要的性质，即它可以有效地表示一个函数在某一个区域内的变化率。
通常情况下，当函数的积分值大于0时，函数在该区域内是增加的，而当函数的积分值小于0时，函数在该区域内是减少的。
1的定积分的计算方法有多种。
其中，最简单的是采用梯形法，即将被积分区域分成若干小矩形，然后分别求其下面的矩形的面积，最后把这些面积相加求和，得出1的定积分的值。
另外，也可以采用更复杂的数值积分方法，如Simpson积分法，Gauss-Kronrod求积法，Trapezoidal积分法等，以计算出更精确的定积分结果。
1的定积分在数学，物理，化学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解微分方程，即求解物理系统中的动态变化；在数学中，它可以用来求解定积分和无穷级数的值；在化学和工程学中，它可以用来求解复杂的物理和化学过程的传递系数等等。
总之，1的定积分在数学、物理、化学和工程等各个领域均有着重要的作用，它可以有效地帮助我们了解函数的变化规律，研究物理和化学等复杂过程的传递系数，甚至可以应用在定积分和无穷级数的求解中。
因此，1的定积分是一个非常重要的概念，并且可以应用到很多不同领域中。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
定积分在经济学上的应用
投资组合优化
投资组合优化
定积分可用于确定最优投资组合，以最 大化预期收益并最小化风险。通过求解 定积分，可以找到最佳的投资权重分配 ，使得在给定风险水平下获得最大的预 期回报。
VS
有效前沿
在投资组合优化中，定积分可用于计算有 效前沿，即所有可能投资组合中预期收益 与风险的比率最高的组合集合。有效前沿 为投资者提供了在不同风险水平下选择最 优投资组合的参考。
这种方法可以处理具有复杂约束条件的资源分配问题，如环保、安全等， 为决策者提供更加精确和可靠的资源配置方案。
06
定积分在经济增长与经济发展 中的应用
Chapter
经济增长模型的建立与分析
经济增长模型
定积分可以用于建立和分析经济 增长模型，通过积分运算来描述 经济产出的累积效应和动态变化
。
模型分析
资源管理
利用定积分的方法，可以对资源进行合理配置和管理，实 现资源的可持续利用和环境保护。
综合评估
定积分还可以用于综合评估可持续发展目标的实现情况， 通过数据分析和积分运算，分析不同指标之间的相互影响 和制约关系，提出改进措施和解决方案。
THANKS
感谢观看
定积分与不定积分之间的关系是，不 定积分是所有可能的原函数族，而定 积分是其中的一个特定值。
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再相加或相减。
区间可加性
定积分在区间[a, b]上的积分等于在各个子区间上的 积分之和。
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意常数k ，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
这种方法可以应用于各种资源分配场景，如资金、人力、物资等，为决策者提供科学的资源配置方案。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
第十章定积分的应用(一)
π
= abπ .
a x
1 1 2 = x 、y 例2 与直线 x = 3 、 2 2 1+ x x = 3 所围成的图形的面积。 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 2 1 3 x 1 x2 1 S =2[ ∫ ( )dx + ∫ ( )dx ] 2 2 0 1+ x 1 2 2 1+ x 求曲线 y=
例9 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h 及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成一个底 半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。 r 解：过原点 O 及点 P(h，r)的直线方程为 y = x 。 h P ( r , h) r y 所求圆锥体的体积为 y= x h h r 2 r V= ∫ π ( x ) dx 0 h O 2 x h h πr 1 = 2 ∫ x2dx = πhr 2 。 0 3 h
y
Vx = ∫
2π a
0
0
π y dx
2
2 2
y
o
= π ∫ a (1 cos t) a(1 cost) dt
3 π = 2π a (1 cos t)3 dt 0
2π
πa
2πa x
利用对称性
∫
3 2 6 3 5 = 32π a sin u du= 32π a 0 6 2 3
∫
π
3 π 6t =16π a sin dt 0 2
方法2 方法 利用椭圆参数方程
则
V = 2∫ π y2 dx = 2π ∫ ab2 sin3t dt
0
a
2 = 2π ab 3 4 = π ab2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
定积分及其应用 (1)
0 n
2
0 x dx lim 0 i 1
1 2
n
i x i
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
x cos x sin x cos x( x tan x ) f ( x ) 0, 2 2 x x
f ( x ) 在[ , ] 上单调下降, 4 2
故 x 为最大点， x 为最小点, 4 2
2 2 M f( ) , 4
2 m f( ) , 2
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分
五、定积分性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
并作和 S f ( i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b ]
i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I 确定的极限 ， 我们称这个极限 为函数 f ( x ) I 在区间[a , b] 上的定积分， 记为
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
定积分的简单应用(1)
热身练习
用定积分表示下列图形的面积 1
y
y = 1− x
1
x
2
-1
o
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热身练习
2
−π
y
y = sin x
0
π
x
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巩固训练
计算由曲线 y = x2 与 y = x所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积 作出草图，
y2 = x 解方程组 y = x 2 得交点横坐标为 x = 0 及 x = 1
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几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分 ，
y = f ( x)
∫
b
a
f (x)dx
0 a
b
x
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形 和
的面积
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几何意义
y 当函数 f (x) ≤ 0 ， 定积分 a b x
定积分的简单应用
用定积分计算平面图形的面积
授课人:崔志会 授课人 崔志会
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问题情境(复习引入 问题情境 复习引入 )
的几何意义是什么？ 1、 f ( x )dx 的几何意义是什么？ ∫
b a
2、微积分基本定理是什么？ 微积分基本定理是什么？
1
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范例
1、 计算：由曲线 f ( x ) = − x 2 ,直线 、 计算： y
定积分的计算与应用 (1)
哈尔滨师范大学学年论文题目定积分的计算与应用学生刘影指导教师皮晓明年级2010级6班专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年12月电话：180045056定积分的计算与应用刘影摘 要：定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。
本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。
关键词：牛顿莱布尼兹公式 积分 定积分恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。
如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。
一、定积分的计算方法1、 按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限：∑⎰=→∆=nk k kT l bax f dx x f 10)()()(limξ例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。
解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰12dx x .显然，这个定积分是存在的。
取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =，则所求面积为： 1220111lim ()nn k k S x dx S n n→∞=-==⋅∑⎰ 2311lim (1)n n k k n →∞==-∑3(1)(21)1lim63n n n n n →∞--==2、用牛顿--莱布尼兹公式计算定积分若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，即)()(x f x F ='，x ∈[a,b],则)(x f 在],[b a 上可积，且 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()( ， 这称为牛顿—莱布尼兹公式，它也常写成⎰=baba x F dx x f )()(有了牛顿—莱布尼兹公式后，计算定积分关键就是找)(x f 的一个原函数)(x F 。
定积分的物理学应用一`变力所做的功
(2) 在 上任取一小区间 ,当物体从 移动到 时，由于位移很小，变力近似于恒力，则在此小区间上变力所做功的元素为
(3) 变力 在 上所作的功为：
在弹性限度内，弹簧拉伸（或压缩）的长度于外力成正比，已知弹簧拉长0.02（m），需用9.8 （N）的力，求把弹簧拉长0.1（m）所做的功。
由物理学知道，在液体内部深 处的压强 这里 为液体的比重，如果把一面积为 的平板水平放置在液体深为 处，则平板一侧所受液体压力为
考虑用定积分的元素法。
则在此小区间上闸门所受压力的元素为
解
在 上任取一小区间
§5.5 定积分的物理学应用
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演讲人姓名
一、变力所作的功
由于力 的大小随物体所在的位置变化而变化，因此它是一个 的函数，记为 ，并且假定 在 上连续。求变力 在上 所作的功？ 设物体在 轴上运动，且在从 移动到 的过程中，一直受到跟 轴的正方向一致的变力 的作用， 如图所示 考虑用定积分的元素法。 选 为积分变量，则
02
意熟悉相关的物理知识．
03
三、小结
例3 一个竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐 标 如图所示，当水面齐闸门时，求闸门所受的压力？
从而
则在此小区间上端面所受压力的元素为 解 建立坐标系如图， 在 上任取一小区间
定积分的物理应用一般使用“元素法”
01
在求变力作功、液体的压力等物理问题时， 注
例1
设拉力为 ，弹簧的伸长量为 则 （ 为比例系数），从而有 在 上任取一小区间 ，则在此小区间上变力所做功的元素为 解 即变力函数为： 如图建立坐标系，取 为积分变量 于是， 拉力所做的功为
则在此小区间上变力所做功的元素为
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O
π
x
(2) 绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 分析 这个图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的 体积可以看成平面图形 OABC 与 OBC 分别绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积
之差. 1
y C
B y sin x A π x
当x 4(百台)时，利润P ( x )最大，其值为
42 P (4) 4 4 1 7 (万元) 2
x ( y)
o
x
例 5 计算由正旋曲线弧 y sin x , x [0, ]与 x轴
围成的图形分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所成旋转 体的体积.
解 (1) 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 y π y sin x V x π sin 2 x d x
0
π π (1 cos 2 x ) d x 2 0
y x2
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
2º 选 x 为积分变量, x [2, 3]
2O
3
(1) x [2, 0],
d A1 [( x 6 x ) x ]d x
d A2 [ x 2 ( x 3 6 x )]d x
3
2
( 2) x [0,3],
于是所求面积 A A1 A2
0 3 2 3
253 . A ( x 6 x x ) d x ( x x 6 x ) d x 2 0 12
2 3 3
(方法2) 代公式，得
A
( x 6 x x )d x
3 2 2
2 0
f ( x ) g( x ) d x ( x 6 x ) x d x
总成本函数：C ( x ) M ( x ) d x 1 C
0
x
C ( x ) MC ( x ) d x 1 dx 1 x 1
0 0 x
x
总收益函数：
R( x ) M R ( x ) d x
0
x
x
0
x2 (5 x ) d x 5 x . 2
即从利润最大时的ห้องสมุดไป่ตู้量又多生产100台， 总利润减少了 0.5 万元.
25
例9 某产品的总成本 C(x)(单位：万元)的边际 成本为MC (x) = 1 (单位：万元/百台)，总收益 R(x)(单位：万元)的边际收益 MR(x) = 5 x (单位：万元), 其中x 为产量，固定成本为1万元，问： (1) 产量等于多少时总利润 P(x)最大； (2) 从利润最大时再生产一百台，总利润增加多少？ 解 (1) 依题设，有
2 hR R x . 2 3 h 3 0
2 3 h
情形2 平面图形 G2 : 由连续曲线 x ( y ) 、
直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边 梯形.
G2 绕 y 轴旋转 d
2
y
V y [ ( y )] d y
c
d
y• c
2
A ( x x )d x
2 0
1
2 3 x2 3
1 x . 3 3 0
3 1
3 2 y x 6 x y x 计算由曲线 和 所围成 例2
的图形的面积.
y x3 6 x
解 (方法1) 1º两曲线的交点 3 y x 6x 2 y x
2
2 1 y ]0
2π 2
(方法2) 柱壳法，由公式
V y 2 x f ( x ) d x
a
b
y
y sin x
得
V y 2 x sin x d x
0
O
π
x
2
0
x d cos x
0
2 ( x cos x 0 cos x d x )
2 ( sin x 0 ) 2π 2
c
d
d ydy y c
O
x ( y)
x ( y)
x
(c d )
2 2 y x y x 计算由两条抛物线 和 所围成的 例1
y2 x 解 1º 求两曲线 2 y x
图形的面积.
的交点：(0,0) (1,1) 2º选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素: d A ( x x ) d x
3、定积分在经济中的应用
例6 已知某产品总产量的变化率为 3 2 f ( t ) 40 12t t ( 件 / 天 ), 2 求从第2天到第10天生产产品的总量. 解 所求的总产量为
x
10
2
f (t ) d t
2
10
2
3 2 (40 12t t ) d t 2
1 3 10 [40t 6t t ]2 400 ( 件) 2
总利润函数：
2 x P(x) R( x ) C ( x ) 4 x 1. 2
x2 P( x) 4 x 1 2 P( x ) 4 x 0 ，得唯一驻点：x 4
而 P ( x ) 1 0
唯一驻点x 4是P ( x )的极大值点， 从而是P ( x )的最大值点，即
31250. 225
(2) 从利润最大时再生产一百台，总利润 增加多少？ 解 从 x 4 百台增加到x 5 百台时，
总利润的增加量为
P M P ( x ) d x P ( x ) d x ( 4 x ) d x
4 4 4
5
5
5
(4 x ) 0.5 (万元) 2 4
3 2 2 3 2 (x 0
3
253 . x 6 x)d x 12
3
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量能选 y 吗？ 太麻烦！
2 y 2 x 和直线 y x 4 所围成 计算由曲线 例3
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y2 2 x y x4
例8 某产品的边际收益为 M 75( 20 x )， R (1) 求当该产品的生产从225个单位上升到400个单位 时增加的收益. 解 (1) 增加的收益为
R
400
225
MR d x
400
225
75( 20 x ) d x
75 20 x 3
3 400 2 2 x
π
3
2 1 2π arcsin 0
yd y
O
A π x
π
3
2 1 2π arcsin 0
yd y
1 y 1 π 2π y arcsin y |0 d y 2 0 1 y y 2 1 2π dy 2 0 1 y
3 2
2π [ 1
O
(方法1) OB 的方程为 x arcsin y (0 y 1) )
)
AB 的方程为
从而所求的体积为
1
x π arcsin y (0 y 1)
1
Vx
0
2 (arcsin y ) dy ( arcsin y ) d y 0 2 1 2
y π (π C 2π arcsinBy ) d y y sin x 0 1
建立坐标系，如图.
直线 OP 方程为 R y x h 取积分变量为 x ，
x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x d x ] ，
以 dx 为底的窄边矩形绕 x 轴旋转而成的圆柱 体的体积为
R dV x d x h
2
圆锥体的体积 h R 2 V ( x) d x 0 h
a b
一般地，有
( 3) A f ( x ) g ( x ) d x
a b
y
y = g(x) dA
[ f ( x ) g( x )]d x
a
c
y = f(x)
O
a
y
cx x d bx x
[ g( x ) f ( x )]d x
c
b
(a b)
( 4) A ( y ) ( y ) d y
第一讲 定积分的应用
一、 平面图形的面积
二、旋转体的体积
三、在经济上的应用
1、平面图形的面积 (1) 面积元素
d A f ( x)d x
曲边梯形的面积
A f ( x)d x
a
b
(2) 面积元素
d A [ f ( x ) g( x )]d x
曲边梯形的面积 A [ f ( x ) g( x )]d x
的体积便是体积元素：
dVx [ f ( x )]2 d x
(截面积 A( x ) [ f ( x )]2 )
G1 绕 x 轴旋转
的旋转体的体积：
Vx [ f ( x)]2 d x
a
b
例4 连接坐标原点O及点P(h, R)的直线，直线 x=h 及 x 轴围成一个直角三角形. 将它绕 x 轴旋转一周构成一个底半径为R，高为h 的圆锥体，计算该圆锥体的体积. 解
又知 固定成本为20元，即C(0)=20, 所以每天生产x单位时总成本函数为：
C ( x) (0.4t 2)dt C (0)
0
x
0.2 x 2 x 20
2
设销售x单位商品得到的总收益为R(x)，则有 R(x)=18x。 因为L(x)=R(x)-C(x)=-0.2x^2+16x-20 所以L’(x)=-0.4x+16=0，得x=40, 而L’’(40)=-0.4<0 所以每天生产40单位时才能获得最大利润。