数值分析PPT--颜庆津-北京航空航天大学出版社-2000

2 e 16 16
* I 14
* I 13
* I 12
* I 11
* I 10
1 * (1 I 15 ) 0 .063816918 15 1 * (1 I 14 ) 0 .066870220 14 1 * (1 I 13 ) 0 .071779214 13 1 * (1 I 12 ) 0 .077351732 12 1 * (1 I 11 ) 0 .083877115 11

现代数值分析,
（高等教育出版社）.
李庆扬、易大义、王能超 编著
第1章
绪论
§1.1 数值分析的研究对象
§1.1 Introduction: Source & Classification
•
提问：数值分析是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
ln x ,
Ax b , ......

下面定义的 相对误差 更全面地刻画了近似值 与精确值之间差异的情况.
定义 近似值 a 的相对误差(relative error)为 e x a er . x x
e 由于精确值 x 未知, 实际上总把 a 作为 a 的 相对误差，并且仍记为 er , 即
er e . a 定义 近似值 a 的相对误差(上)限(界)定义为
I1* 1 1 I 0* 0 .36787944 ... ... ... ... * I10 1 10 I 9* 0 .08812800 * * I11 1 11 I10 0 .03059200 * * I12 1 12 I11 0 .63289600 ? * * I13 1 13 I12 7 .2276480 ?? * * I14 1 14 I13 94.959424 ? ! I15 1 15 I14 1423.3914 ! !
§1.2 误差知识与算法知识
1.2.1 误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 ( Modeling Error ) 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 ( Measurement Error ) 求近似解 —— 截断误差 ( Truncation Error)

a
b
数值 分析
f ( x )dx,
d f ( x ), dx
近似解
计算机

研究内容


线性方程组的数值解；
矩阵特征值与特征向量计算；
非线性方程的数值解；
数值逼近； 数值积分； 常微、偏微方程的数值解；
研究方法

理论分析


算法分析
误差分析 收敛性分析 收敛速度讨论
1.2.2 误差传播与积累——算法的稳定性
1 1 n x 例：计算 I n x e dx , n 0 , 1, 2 , ...... e 0
公式一： I n 1 n I n 1.
此公式成立, 因为
1 1 1 1 n x 1 n x1 n n 1 x x e dx x e n x n 1e x dx 1 x e dx. 0 e e e0 0 0

是实际问题的解，而若数学模型的解是
y 5x 6, 0 x 106 ,
由此产生的误差叫作模型误差。
观测误差

§2 Error and Significant Digits
数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压
等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到 的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫观测 误差。
以此类推，对 n < N 有：
1 | En | | EN | . N (N 1) (n 1)
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法
(stable algorithm)
在我们今后的讨论中, 误差将不可回避, 算法的
稳定性会是一个非常重要的话题。
1.2.3 误差与有效数字 (Error and Significant Digits )
x2
1
注: 理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负; 由定义 e 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。

例如，a 3.140 作为圆周率 的一个近似值， 它的绝对误差是 e 3.14 又 |e| 0.002.
故， a 3.14 作为 的一个近似值，它的一个 绝对误差限是 e 0.002。
1 3 0.333 333 3, (1.000 002)2 1.000 004 0; 后者的准确结果是 4 1012。

例 :近似计算 e
0
1
x2
dx
大家一起猜？

解法之一：将 e
x2

1 0
e
x2
dx 1
作Taylor展开后再积分

1 0
ex
2
x4 x6 x8 dx (1 x 2 ) dx 0 2! 3! 4!
We just got lucky?
* I1
* I0
1 * (1 I 2 ) 0 .36787944 2 1 * (1 I 1 ) 0 .63212056 1
考察反推一步的误差：
| E N 1 | 1 1 1 * (1 I N ) (1 I N ) | E N | N N N
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
( Remainder )
例 :近似计算 e
0
1
x2
dx = 0.747… …
取 0
1
Hale Waihona Puke e x dx S4 ,
2
1 1 1 1 称为截断误差 ( Truncation Error ). 则 4! 9 5! 11 1 1 这里 R4 0 .005 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 3 10 42 R4
数值分析
Numerical Analysis
教材
( Text Book )
数值分析（第 3 版）, 颜庆津,
北京航空航天大学出版社.
参考书目
( Reference )
Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
0.5 e (b) 0.5 e r (a) 0.16%, e r (b) 2.08%, | a | 312 |b| 24
e (a)
| x a | e (a) 0.5 a 0.5 x a 0.5
311.5 x 312.5，同理 23.5 y 24.5 (mm).
* N
1 1 1 IN , 2 e ( N 1) N 1
| E N | I N I * 0. 当 N 时， N
1 1 n 0 1 1 n 1 0 x e dx I n e 0 x e dx, e
* 取 I 15 1 1 1 0 .042746233
由留下部分引 起
( included terms )
由截掉部分引 起
( excluded terms )
| 舍入误差 ( Roundoff Error ) | 0.0005 2 0.001
计算 0 e -x
1
2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
§2 Error and Significant Digits
避免误差积累的方法
公式
I n 1 n I n1 I n1
1 1 n x I n x e dx e 0
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的 In ( n << N )。
1 1 IN , e ( N 1) N 1
可取 I
近似数!
精确数!

例如， * 3.142 作为圆周率 3.14159265358 …
的一个近似值，它的绝对误差限是

例2 设 a 2.18 和 b 2.120 0 分别由准确
值 x 和 y 经过四舍五入而得到的近似值.
问：e (a), e (b), er(a), er(b) 各是多少？
解
e (a) 0.005，e (b) 0.000 05， e (a) 0.005 e r (a) 0.23%,
(relative accuracy)
ε (a ) εr . |a|

例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙， 分别读出长度 a 312 mm, b 24 mm. 问：e (a), e (b), er(a), er(b) 各是多少？两直杆实际长度 x 和 y 在什么范围？
解 由最小刻度为毫米知, e (a) e (b) 0.5 mm,
记为 1 1 x 1 * I 0 e dx 1 0.63212056 I0 , e 0 e 则初始误差 E0 I 0 I 0 0.5 108.
1 1 n 0 1 1 n 1 1 1 0 x e dx I n e 0 x e dx, e(n 1) I n n 1 e
定义 设 x 为精确值，a为 x 的近似值。 近似值 a 的绝对误差 (absolute error) 为 e x a,