直线的一般式方程2
(完整版)直线的一般式方程(附答案)
直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0. (1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2， 得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12， 解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1， 即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______. (2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. (1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1， 所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围. (1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a ≥3. ∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ② 由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去； 当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( ) A.45° B.135° C.1 D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.－3 D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A.C ＝0，B >0 B.A >0，B >0，C ＝0 C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.13 D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A.a ≠±1 B.a ≠1，a ≠2 C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限. 3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y－1＝0. 4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B. 2.答案 D 解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3. 3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断. 4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2). 6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1. 7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题 8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求； 当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。
3.2.3直线的一般式方程
讲授新课
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
y y1 k ( x x1 )
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1) y b 0
( y2 y1 ) x ( x1 x2 ) y x1 ( y1 y2 ) y1 ( x2 x1 ) 0
课堂小结
点斜式 斜率和一点坐标 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
两点坐标 截距式
x y 1 a b
直线方程的一般式与特殊式的互化。
课堂抢答
⒈根据下列条件写出直线的方程，并且 化成一般式：
讲授新课
注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
①按含x项、含y项、常数项顺序排列； ②x项的系数为正； ③x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时，最好将所求直线方程的结 果写成一般式。
课堂练习
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角
4 的正切值是 ， 3
则直线l的点斜式方程是y-0=(-4/3)(x+4) ___________ y=(-4/3)x-16/3 直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
讲授新课
例2 把直线 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解：将直线的一般式方程化为斜截式： y x 3 ， 5
3 它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3 5
讲授新课
直线的一般式方程
(2)由直线的方程可求出斜率 k=－m2－m－3m2＋2＝1，解得 m＝0．
探究：课本P65
在方程Ax By C 0中，A, B,C为何值时，方程表示的直线
k 0, y y0
y
y0
l
yAxC C BB B
l与x轴平行 B 0, A 0,C 0 x l与x轴重合 B 0, A 0,C 0
法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与直线l平行； (2)过点(－1,3)，且与直线l垂直
解（1）法一 l 的方程可化为 y＝－34x＋3，∴l 的斜率为－34. ∵l′与 l 平行，∴l′的斜率为－34. 又∵l′过点(－1,3) ∴由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
（1）已知直线 l
过点
A(5, 3)
，倾斜角为
2
，则直线 l
y 3 3(x 5)
方程为________________.
3
y 5x 3 （2）已知直线 l 过点 A(0, 3) ，斜率为 5 ，则直线 l 方程为________________.
直线的一般式方程(2
• 点斜式 y-y0 =k(x-x0 )(k存在)
• 斜截式 y=kx+b(k存在)
• 两点式 • 截距式
y-y1 y2 -y1
=
x-x1 x2 -x1
(x1
x2 ,y1
y2 )
x + y =1(a 0,b 0)
ab
• 一般式 Ax+By+C=0(A2 +B2 0)
（2）当两条直线中有一条斜率不存在， 即B1 0或B2 0则仍有A1A2 B1B2 0
注：l1 l2 A1A2 B1B2 0
问：一条直线平行或垂直与另一条已知直线，
该直线如何表示？
两条直线平行和垂直的表示：
1）两直线平行： 一直线方程为：Ax+By+C 0 另一直线可设为：Ax+By+C0 0
2)两直线垂直：
一直线方程为Ax+By+C 0 l4 l3
另一直线可设为Bx
Ay+C0
0l2 l1
y
x 0
m4
m3 m2 m1
例题讲解：
例1：已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线l2:mx+3y 2=0平行，求m的值。
例2：已知直线l1：ax+(1 a)y=3 与l2:(a 1)x+(2a+3)y=2互相垂直， 求a的值。
思考：平面内两条直线的位置关系 有哪些？
• 平行 • 相交 • 重合 注：相交中有一种特殊情况是垂直
其中平行和垂直是我们学习的重点， 如何用一般式判断两条直线平行和垂直？
两条直线：
l1:A1 x+B1y+C1 0和l2:A2x+B2 y+C2 0
高一数学直线方程的一般式
直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：
A≠0 ，B =0 ；
B≠0 ，A = 0 ； B≠0 ，A = C= 0 ； A≠0 ，B = C = 0 .
4. 是x 轴所在直线；
5. 是y 轴所在直线.
小结:
知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式， 及求斜率，截距等
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k
2
B(0,3)
A(6,0)
纵截距为3 令y 0则
0
x
x 6
即横截距为－6
所以………
思考
1. 与两条坐标轴都相交； AB≠0 2. 只与x 轴相交； 3. 只与 y 轴相交；
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以
直线方程的几种形式
1 2 1 2 1 1
x1 x2 , y1 y2
a,b存在且 都不为零
x y 1 a b
1、对于平面直角坐标系中任一条直线，都有一 个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程。 2、任何关于x,y的二元一次方程都表示一直线。 直线方程式的一般式:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
x
B
例：经过点A(1,2)并且在两坐标轴上截距的绝对 值相等的直线. 答案:x+y=3,-x+y=1,y=2x
直线方程形式的灵活选择技巧
直线方程的几种形式都有使用的局限性 一般地，已知一点通常选用点斜式；已知斜率选择 斜截式和点斜式；已知截距或两点选择截距式或两 点式 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法， 一般几个待定系数就应列出几个方程（一般，已知 一点就待定斜率k，但应注意斜率不存在的情况； 如果已知斜率k，一般选择斜截式待定纵截距b；如 果已知直线与坐标轴围成三角形的问题就选择截距 式，待定横、纵截距） 有的直线方程可以同时选用几种形式，但选择的形 式不同，导致运算繁简程度不同
直线在x,y轴上的截距分别为a,b，与截距有关的问题： (1)与坐标轴成三角形的周长为 a b （）与坐标轴成三角形的面积为S 2 a 2 b2
1 ab 2 （）直线在两坐标轴上的截距相等，则k 1或过原点， 3 常设方程为x y =a或y kx
简单的对称问题
7、一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点 B(-1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程 8、光线由点A(-1,4)射出，在直线l:2x+3y-6=0上进 62 行反射，已知反射光线过点B(3, )，求反射光线 13 所在直线的方程.
直线的一般式方程 (2)
直线的一般式方程一、 教学目标1、知识与技能：.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式。
2、过程与方法：通过本节课直线方程的学习，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想。
3、情感态度与价值观：过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、 教学重点与难点重点：直线方程的一般式及各种形式的互化难点：在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.三、 课型课时：新课1课时 四、 教学方式：师生交流、合作探究 五、 教学过程1、 情境创设（1）复习前面所学直线的四种表示形式（2）由下列各条件，写出直线的方程 (1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 2、推进新课探究一 直线的一般方程 问题 1、平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示吗？2、每一个关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）都表示一条直线吗？合作交流：①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B A ，在y 轴上的截距为-BC的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论总结：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把.探究二 一般式与四种特殊形式的互化问题1 我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? 讨论：引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化问题2 特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?合作交流：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1问题3 们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性? 合作探究：列表说明如下探究三 应用举例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0 变式训练11.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴? 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0;例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ②由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6. 因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2变式训练2直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 拓展提升（选讲）求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.3、课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式； （3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 六、作业设计习题3.2 A 组11.B 组2、3 七、板书设计直线的一般式方程1、直线的一般式方程2、A 、B 、C 取不同值时方程所表示的含义 （1）…………… （2）…………… （3）…………… （4）…………3、应用 例1…………………例2………………… 变式训练1 变式训练2八、课后反思：。
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
2.2.3 直线的一般式方程
如图所示
课堂练习
1 根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
（2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
（3）经过两点A（2，-3），B（-1，-5）；
（4）在x, y 轴上的截距分别为2，-4.
课堂练习
1 根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.
这也是关于 x, y 的二元一次方程 ，此时方程中 y 的系数为0 .
综上①②知，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 x, y 的
二元一次方程表示.
新知讲解
思考
2. 任意一个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线吗？
对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A , B不同时为0 ) ，
由①②知，关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线.
新知讲解
直线的一般式方程
关于 x, y 的二元一次方程
Ax+By+C=0
(A , B不同时为0 )
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
合作探究
探究
在方程 Ax+By+C=0 中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：
① 平行于 x 轴？
② 平行于 y 轴？
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
解： 由直线的点斜式方程可得 y-3=2(x-1)
整理得 2x-y+1=0
所以直线的一般式方程为2x-y+1=0
（2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
解： 由直线的斜截式方程可得
= +
得一般式方程为 − + =
2.2.3直线的一般式方程
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.3 直线的一般式方程
2
初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是 Ax＋By＋C＝0， 前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，斜截式：y ＝kx＋b，两点式yy2－－yy11＝xx2－－xx11和截距式：ax＋by＝1.它们都可以化成 为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转 化为斜截式和截距式，我们把 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为零)叫做 直线的一般式，下面进入今天的学习．
24
(2)由题意知直线 l1⊥l2， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得 a＝±1， 将 a＝±1 代入方程，均满足题意． 故当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
25
1．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1) 若 l1∥l2 ⇔ A1B2 － A2B1 ＝ 0 且 B1C2 － B2C1≠0( 或 A1C2 － A2C1≠0)． (2)若 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝ 0(m≠C)，与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m ＝0.
A． A≠0
B． B≠0
()
C． A·B≠0
D． A2＋B2≠0
D [方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线的条件为 A，B 不能同时为 0， 即 A2＋B2≠0. 故选 D. ]
8
3．已知直线 2x＋ay＋b＝0 在 x 轴、y 轴上的截距分别为－1，2，
则 a，b 的值分别为( )
A．－1,2
B．－2,2
26
高中数学新教材同步选择性必修第一册 第2章 §2.2 2.2.3 直线的一般式方程
(2)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定 所求直线的斜率，由点斜式写方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行 的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1； 与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋ C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
内容索引
一、直线的一般式方程 二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 三、直线的一般式方程的应用
随堂演练
课时对点练
一、直线的一般式方程
问题1 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示 一条直线吗？ 提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x －y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线.
方法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)过点(－1,3)，且与l垂直.
解 方法一 ∵l′与l垂直， ∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)， ∴由点斜式可得方程为 y－3＝43(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 方法二 由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
∴1b＝－1，∴b＝－1. 又∵ax＋by－1＝0 的斜率 k＝－ab＝a，
且 3x－y－ 3＝0 的倾斜角为 60°，
∴k＝tan 120°＝－ 3，∴a＝－ 3，故选 A.
B.2x＋y－7＝0 D.x－2y＋5＝0
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程一、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程在平面直角坐标系中，任何一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式0(,Ax By C A B ++=不同时为0) (0)A C y x B B B=--≠ 1(,,x yA B C C CA B+=--都不为0)直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当0B ≠时,0Ax By C ++=可化为A Cy x B B=--,它表示在y 轴上的截距为 ,斜率为 的直线.（2）当,,A B C 均不为零时，0Ax By C ++=可化为1x yC C A B+=--，它表示在x 轴上的截距为 ，在y 轴上的截距为 的直线.注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 二、直线系方程 1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程都可表示为 (其中m 为参数且m ≠C )，然后依据题设中另一个条件来确定m 的值. 2．垂直直线系方程一般地，与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程都可表示为 (其中m 为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定m 的值. 三、一般式方程中两直线平行与垂直的条件若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线12,l l 的方程分别为1110A x B y C ++=,2220A x B y C ++=，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若12l l ∥，当斜率存在时，111222A B C A B C =≠；当斜率不存在时，120B B ==且1212C C A A ≠. 即1212210l l A B A B ⇔-=∥,且12210B C B C -≠或12210A C A C -≠. （2）若12l l ⊥，当斜率存在时，1212=1A A B B ⋅-；当斜率不存在时，120,0A B ==或210,0A B ==. 即1212120l l A A B B ⇔+=⊥.K 知识参考答案：一、1．0Ax By C ++= 2．（1）C B -A B - （2）C A - C B- 二、1．0Ax By m ++= 2．0Bx Ay m -+=K —重点 直线的一般式方程 K —难点 直线系方程的应用K —易错忽略直线斜率不存在的情况或两直线重合的情形致错1．直线的一般式方程（1）直线的一般式方程Ax By ++0C =中要求A ,B 不同时为0.（2）由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件. 【例1】若直线:5530l ax y a --+=不经过第二象限,则实数的取值范围是_________. 【答案】【解析】将直线的方程整理得y -35=(x -15),所以直线过定点A (13,55),直线OA 的斜率=305105--=3,要使不经过第二象限,需斜率≥=3,所以.【例2】设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：(1)在轴上的截距是；(2)的斜率是．2．由直线的位置关系求参数对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线12,l l 的方程分别为11A x B y ++10C =(1A ,1B 不同时为0)，2220A x B y C ++=(2A ,2B 不同时为0)，则1212210l l A B A B ⇔-=∥,且1221B C B C -0≠或12210A C A C -≠;1212l l A A ⇔+⊥120B B =.【例3】求m ，n 的值，使直线l 1：y =(m −1)x −n ＋7满足： （1）平行于x 轴；（2）平行于直线l 2：7x −y ＋15=0； （3）垂直于直线l 2：7x −y ＋15=0.【解析】（1）当直线 l 1平行于x 轴时，直线l 1的斜率为0，即m −1=0，m =1．又直线l 1不与x 轴重合，所以70n -+≠，即7n ≠.综上，当m =1且n ≠7时，直线 l 1平行于x 轴. （2）将7x −y ＋15=0化为斜截式得，y =7x ＋15，∴直线l 2的斜率k 2=7，截距b =15，当l 1∥l 2时，应有直线l 1的斜率k 1=7且截距b 1≠15，即m −1=7且−n ＋7≠15，∴m =8，且n ≠−8. （3）由题意及（2）可得(m −1)·7=−1，n ∈R ，即6,7m n =∈R 时，l 1⊥l 2. 3．由直线的位置关系求方程一般地,直线0Ax By C ++=中的系数A ,B 确定直线的斜率.因此,利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程，用待定系数法即可求解.【例4】已知直线1l 的方程为3x ＋4y −12=0，求直线2l 的方程，2l 满足： （1）过点(−1，3)，且与1l 平行； （2）过点(−1，3)，且与1l 垂直【解析】（1）方法一 ：由题设1l 的方程可化为：334y x =-+， ∴1l 的斜率为34-，又2l 与1l 平行，∴2l 的斜率为34-又2l 过(−1，3)，由点斜式知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=. 方法二：由2l 与1l 平行，可设2l 的方程为3x ＋4y ＋m =0(m ≠−12).将点(−1，3)代入上式得m =−∴所求直线方程为3490x y +-=（2）方法一：由题设1l 的方程可化为：334y x =-+，∴1l 的斜率为34-，由2l 与1l 垂直，得2l 的斜率为43， 又2l 过(−1，3)，由点斜式可得方程为43(1)3y x -=+，即4x −3y ＋13=0. 方法二：由2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为4x −3y ＋n =0.将(−1，3)代入上式得n =13. ∴所求直线方程为4x −3y ＋13=0.【例5】已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.4．忽略直线斜率不存在的情况【例6】已知直线1l :(2−a )x +ay −3=0, 2l :(2a +3)x −(a −2)y +2=0互相垂直，求实数a 的值. 【错解】将1l 的方程化为23a y x a a -=+,得斜率12a k a -=;将2l 的方程化为23222a y x a a +=+--,得斜率2232a k a +=-.∵1l ⊥2l ,∴121k k ⋅=-,即23212a a a a+-⋅=--,解得a =−【错因分析】将直线的一般式方程化成斜截式，再运用直线的斜率判断直线垂直，没有考虑直线的斜率不存在的情况，所以答案不完整.【正解】因为1l ⊥2l ，则必有(2−a )(2a +3)−a (a −2)=0,即220a a --=,所以a =2或a =−1.【误区警示】1l ⊥2l 并不等价于121k k ⋅=-，一般地，设直线12,l l 的方程分别为11A x B y ++10C =，2220A x B y C ++=，则1212210l l A B A B ⇔-=∥,且12210B C B C -≠或12210A C A C -≠;12l l ⇔⊥ 12120A A B B +=.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．1．若0＋＋ax by c =表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足的条件为 A ．bc =0 B ．a ≠0 C ．bc =0且a ≠0D ．a ≠0且b =c =02．直线330kx y k --+=恒经过点 A ．(3，0) B ．(3，3) C ．(1，3)D ．(0，3)3．直线0(0)ax y a a -+=≠在两坐标轴上的截距之和是 A ．1a -B ．1a -C ．1a +D ．1a a-4．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y +-=D ．210x y +-=5．已知0,0ab bc <<,则直线ax +by =c 通过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 6．若直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则n 的值为 A ．12- B ．2- C ．0D ．107．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为−4，则直线l 的点斜式方程为________________；截距式方程为________________；斜截式方程为________________；一般式方程为________________． 8．已知直线:20l ax y a +--=在轴和轴上的截距相等，则的值是________________. 9．中,已知,则边上的中线所在的直线的一般式方程为________________.10．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线的一般式方程是________________. 11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)直线斜率是3，且经过点；(2)直线过点，且垂直于轴；(3)直线斜率为4，在轴上的截距为；(4)直线在轴上的截距为3，且平行于轴； (5)直线经过，两点； (6)直线在，轴上的截距分别是，．12．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？13．已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C =0，若直线l 过原点和第二、四象限，则 A ．B >0，C =0 B ．A >0，B >0，C =0 C ．AB <0，C =0D ．AB >0，C =014．已知过点()m A ,2-和点()4,m B 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=.若12l l ，32l l ⊥，则实数n m +的值为 A ．10-B ．2-C ．0D ．815．若直线4x −3y −12=0被两坐标轴截得的线段长为1c，则c 的值为________________． 16．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a +++-=∈R ．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．1 2 3 4 5 6 13 14 DBAACADA1．【答案】D【解析】y 轴表示的直线方程为x =0，所以a ，b ，c 满足的条件为a ≠0且b =c =0. 2．【答案】B【解析】330kx y k --+=可化为3(3)y k x -=-，所以过定点(3,3).故选B 3．【答案】A【解析】令0x =，得y a =；令0y =，得1x =-，故直线在两坐标轴上的截距之和为1a -. 4．【答案】A【解析】∵所求直线与直线220x y --=平行，∴所求直线的斜率为12k =，则所求直线的点斜式方程为10(1)2y x -=-，整理，得210x y --=. 5．【答案】C【解析】原直线可化为a c y x b b =-+,则a k b =->0,cb<0,故直线通过第一、三、四象限. 6．【答案】A【解析】由两直线垂直得2200,10m m -==，将()1,p 代入420mx y +-=，得104p +-20,2p ==-，将()1,2-代入250x y n -+=，得2100,12n n ++==-.8．【答案】-2或1 【解析】依题意，显然，当时，得，当时，得2a x a +=，则22aa a++=，即，得-2或1. 9．【答案】 【解析】由题意得的中点,所以中线的斜率211123k -==---，所以边上的中线所在的直线方程为()1213y x -=-+,整理得其一般式方程为.10．【答案】340x y ++=【解析】因为()1,3A ，()5,1B -，所以AB 的中点坐标为()2,2-，直线AB 的斜率为311=153-+，所以AB 的中垂线的斜率为3-，所以以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是()232y x -=-+，即340x y ++=．12．【解析】法一：(1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需21432m m +=≠-，解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，121a k a +=--，2123a k a -=-+. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即21·1123a a a a +-⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.13．【答案】D【解析】∵直线l 过原点，∴C =0.又直线l 过二、四象限，则其斜率小于0，即0A B -<，∴AB >0. 14．【答案】A 【解析】12l l ，422AB m k m -∴==-+，解得8-=m .又23l l ⊥，()121n ⎛⎫∴-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2-=n ，10m n ∴+=-.故选A.15．【答案】15【解析】令x =0，得y =−4；令y =0，得x =3.依题意得2213(4)c +-=，∴15c =. 16．【解析】（1）当直线l 过原点时，直线l 在x 轴和y 轴上的截距均为零，显然相等，此时a =2，直线l的方程为3x ＋y =0；当2a ≠时，截距存在且不为0，∴221a a a -=-+，即a ＋1=1，∴a =0，此时方程为x ＋y ＋2=0. 综上，满足题意的方程为3x ＋y =0或x ＋y ＋2=0.（2）将直线l 的方程变形为y =−(a ＋1)x ＋a −2.依题意有(1)020a a -+>⎧⎨-≤⎩，或(1)020a a -+=⎧⎨-≤⎩.解得a<−1，或a=−1.综上得a≤−1，即a的取值范围是(−∞，−1]．。
高中数学必修：直线方程的两点式和一般式
两点式求解实际问题举例
01
02
03
实际问题一
已知两点坐标，求直线方 程。
实际问题二
为$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。
02
一般式方程
直线方程的一般形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$和$B$不同时为
零。
03
斜率截距式与一般式的关系
斜率截距式$y = kx + b$可转化为一般式$kx - y + b = 0$。
计算斜率
利用两点坐标计算直线斜率$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
构造两点式方程
根据点斜式方程$y - y_1 = k(x x_1)$，将斜率$k$和点$P_1$坐标
代入，得到两点式方程$frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$。
解题技巧分享
利用两点式求直线方程
01
当已知直线上两点时，可直接套用两点式方程求解。
一般式方程的求解
02
通过已知条件列出方程组，求解未知数$A$、$B$和$C$。
利用斜率截距式求一般式
03
当直线方程以斜率截距式给出时，可将其转化为一般式进行后
续计算。
拓展延伸：其他类型直线方程
点斜式方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
新教材高中数学第一章直线与方程2
直线的一般式方程新课程标准解读核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式 数学抽象 2.会进行直线方程的五种形式间的转化数学运算同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式． [问题] (1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？ (2)探究它们的方程能否化简为统一的形式．知识点 直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)叫作直线的一般式方程．2．系数的几何意义：当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)； 当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以．2．每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都能表示一条直线吗？提示：都能表示一条直线．1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°.2．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0直线的一般式方程[例1] 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3且经过点A (5，3)； (2)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (3)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1. [解] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0.(2)由两点式方程得y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1），整理得2x ＋y －3＝0.(3)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.求直线一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．[跟踪训练]1．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程： y＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝02．把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．解：把直线l 的一般式方程化为斜截式y ＝12x ＋3.因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3.在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6， 即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A (－6，0)，B (0，3)， 如图，过A ，B 两点作直线，就得直线l .直线的一般式方程的应用[例2] (链接教科书第17页例6)设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)已知直线l 在x 轴上的截距为－3，求m 的值； (2)已知直线l 的斜率为1，求m 的值．[解] (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1， 令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1.由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.[母题探究](变设问)对于本例中的直线l ，若直线l 与y 轴平行，求m 的值． 解：∵直线l 与y 轴平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，－（2m 2＋m －1）＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤[跟踪训练]直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)①当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，显然不符合题意； ②当a ≠－1时，令x ＝0，则y ＝a －2， 令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1. ∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴a －2＝a －2a ＋1， 解得a ＝2或a ＝0. 综上，a 的值为2或0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，故要使l 不经过第二象限，只需⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12答案：C2．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析：选C 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0解析：选D 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 4．已知直线mx －2y －3m ＝0(m ≠0)在x 轴上的截距是它在y 轴上截距的4倍，则m ＝________．解析：直线方程可化为x 3＋y－3m 2＝1，∴－3m 2×4＝3，解得m ＝－12.答案：－12。
2.2.3直线的一般式方程课件
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为 x C . A
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
Hale Waihona Puke 综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表 示一条直线.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的 一般式方程, 简称一般式. 探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
答案：D
A. 3
B．－5
C.9
5
D．－3 3
（1）设 P(m,1)，则 Q(2－m，－3)，∴(2－m)＋3－7＝0，
∴m＝－2，∴P(－2,1)，∴k＝－1＋2－11＝－23.
(2) 令 y＝0，则 x＝－3 3.
题型二 直线的一般式方程的应用 1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
2.2.3直线的一般式方程
学习目标
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与 二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题．
形式 点斜式 斜截式
条件
直线过点(x0, y0), 且斜率 为k
在y轴上的截距为b, 且 斜率为k
这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成
Ax+By+C=0.
当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0.
这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成 Ax+By+C=0.
直线的一般式方程
1．(题型 1)若直线 x＋ay－1＝0 的倾斜角为 45°，则 a＝ ( )
A．－ 2
B． 2
C．－1
D．1
【答案】C 【解析】直线 x＋ay－1＝0 化为斜截式可得 y＝－a1x＋1a，由题意可 得－a1＝tan 45°＝1，所以 a＝－1．
2．(题型1)下列四组直线中，互相平行的是
()
A．x＋y－1＝0与x－y－1＝0
3．方程Ax＋By＋C＝0表示的特殊直线
直线 与x轴平行 与x轴垂直 与x轴重合 与y轴平行 与y轴垂直 与y轴重合
过原点
A，B，C的值 A＝0，B≠0，C≠0 A≠0，B＝0，C为任意实数 A＝0，B≠0，C＝0 B＝0，A≠0，C≠0 B≠0，A＝0，C为任意实数 B＝0，A≠0，C＝0
C＝0
() B．A·B＜0 D．A＞0或B＜0
【解析】因为倾斜角为锐角，所以 k＝－AB＞0，所以 A·B＜0．
4 ． ( 题 型 2) 直 线 x ＋ (a2 ＋ 1)y ＋ 1 ＝ 0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 为 ________．
1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－12，经过点 A(8，－2)； (2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32，－3； (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解：(1)由点斜式得 y－(－2)＝－12(x－8)， 即 x＋2y－4＝0． (2)得 y＝2，即 y－2＝0． (3)由截距式得3x＋－y3＝1，即 2x－y－3＝0．
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.3 直线的一般式方程
学习目标 1．掌握直线的一般式方程 2．了解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0)表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By ＋C＝0的形式 3．会进行直线方程不同形式的转化
直线的一般式方程2
一般式 Ax By C 0
( A2 B2 0)
A,B,C为系数
不垂直x轴和y 轴
不垂直x轴和y 轴,且不过原点
任何位置的直 线
点斜式
y y1 k(x x1)
(x1,y1)是直线上 一定点,k是斜率
不垂直x轴
斜截式
k是斜率,b是直线
y kx b 在y轴上的截距
不垂直x轴
两点式 y y1 x x1 (x1,y1),(x2,y2)是
y2 y1 x2 x1 直线上两定点
截距式 x y 1 ab
a,b是直线在x,y 轴上的次方程都表示 一条直线吗？
直线方程的一般式
结论：
我们把关于x,y的二元一次方程
Ax+By+C=0
（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程，
简称一般式。
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
直线PB的方程是( C)
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
小结:
1、直线方程一般式：
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
2、由直线方程一般式求斜率和截距 3、直线方程的五种形式的比较
直线方程的五种形式的比较
名称 方程的形式 常数的几何意义 适应范围
(1)平行于x轴 A=0且C≠0
(2)平行于y轴 B=0且C≠0
(3)与x轴重合 (4)与y轴重合
A=0 且C=0 B=0 且C=0
例题分析
已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
直线方程的一般式
3 2 x y 设 线 l的 程 直 方 的 + =1 得a + b =1(a > 0, b > 0) a b
3 2 3 2 ⋅ 由 + =1 ≥ 2 a b a b
得ab ≥ 24
3 2 1 1 时 S∆AOB = ab ≥ 12 当 = = 时 即a = 6, b = 4 ， a b 2 2 x y S∆AOB的 小 的 12 此 最 值 ， 时 + =1 6 4
对截距概念的深刻理解
求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? 求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? (1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线
当两截距都不的0时 当两截距都不的 时 解:设 直线的方程的: x + y =1 a a 代入得： 把(1,2)代入得： 代入得
1 2 + =1 a a
解：三条 设
x y 1 a+b= a =b
解得：a=b=3或a=-b=-1 解得： 或 直线方程的： 直线方程的：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 或
(1,2)并且在 轴上的截距是x 并且在y 变：过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上的截 距的2倍的直线是（ 距的2倍的直线是（ ）
即：a=3 所以直线方程的： 所以直线方程的：x+y-3=0 那还有一条呢？ 那还有一条呢？
法二：用点斜式求解 法二：
当两截距都等于0时 当两截距都等于 时 y=2x (与x轴和 轴的截距都的 轴和y轴的截距都的 与 轴和 轴的截距都的0)
对截距概念的深刻理解
(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 变： 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条? 绝对值相等的直线有几条?
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[学习要求]
直线的一般式方程
1．掌握直线的一般式方程； 2．理解关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同 时为 0)都表示直线； 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化． [学法指导] 通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一 般式；通过直线方程的五种形式间的相互转化，学会用分 类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与 相互转化.
即 8x－5y＋20＝0 或 2x－5y－10＝0.
x
4．求经过点 A(2,1)，且与直线 2x＋y－10＝0 垂直的直线 l 的方程．
解 方法一 设直线 l 的斜率为 k. ∵直线 l 与直线 2x＋y－10＝0 垂直， ∴k· (－2)＝－1， 1 1 ∴k＝2.∴y－1＝2(x－2)，即 x－2y＝0.
方法二 设与直线 2x＋y－10＝0 垂直的直线方程为 x－2y＋m＝0.
∵直线 l 经过点 A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴m＝0.
∴所求直线 l 的方程为 x－2y＝0.
(2)将与 l 垂直的直线方程设为 4x－3y＋C2＝0，
又过点 A(2,2)，
所以 4×2－3×2＋C2＝0，所以 C2＝－2， 所以直线方程为 4x－3y－2＝0.
小结 一般地，直线 Ax＋By＋C＝0 中系数 A、B 确定直线 的斜率，因此，与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设 为 Ax＋By＋m＝0，与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程 可设为 Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．
即 4a＋5b＝－ab.
1 又 |a|· |b|＝5，即|ab|＝10， 2
4a＋5b＝－ab， 解方程组 |ab|＝10
5 a＝5， a＝－ ， 2 得 或 b＝－2. b＝4
y x y 故所求直线 l 的方程为 5＋4＝1 或5＋ ＝1. －2 － 2
探究点三 例3
综合问题
已知 A(2,2)和直线 l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程； (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．
解 (1)将与直线 l 平行的方程设为 3x＋4y＋C1＝0，
又过点 A(2,2)， 所以 3×2＋4×2＋C1＝0，所以 C1＝－14. 所求直线方程为 3x＋4y－14＝0.
跟踪训练 3
已知直线 l 经过点 P(－5，－4)，且与两坐标轴
围成的三角形面积为 5，求直线 l 的方程，并将直线的方程 化为一般式．
解 由题意知直线不过原点， 且与两坐标轴都相交， 可设直线 x y l 的方程为a＋b＝1，
∵直线 l 过点 P(－5，－4)， －5 －4 ∴ a ＋ b ＝1，