弹性空间CUPT 2013
中国大学生物理学术竞赛
历届冠军
历届冠军(11张) 注：年份斜体表示夺冠时为东道主。
组织构成
1
顾问委员会
2
指导委员会
3
全国组委会
4
地方组委会
5
裁判委员会
杨国桢（中国科学院院士，中国科学院物理研究所） 葛墨林（中国科学院院士，南开大学陈省身数学研究所） 赵光达（中国科学院院士，北京大学理论物理研究所） 朱邦芬（中国科学院院士，清华大学高等研究院） 邢定钰（中国科学院院士，南京大学物理学院） 张杰 （中国科学院院士，中国科学院大学物理科学学院）
裁判
裁判组成 裁判主席
裁判员 投诉及处理
1、竞赛裁判由各高校教师担任，原则上每个参赛高校最多可派 3名裁判，同时竞赛组委会可以邀请非参赛 高校教师作为独立裁判。
2、每场竞赛由 5-7名裁判组成的裁判组评判，裁判由教师担任，并回避该校队伍参赛的竞赛，同时每个裁 判尽量避免多次裁判同一支队伍。
为了保证竞赛公平公正地进行，组委会制定了如下规则。每位裁判小组的主席都要尽可能严格执行本规则。 竞赛前: 1、主席自我介绍，然后让评委做自我介绍，最后让参赛队伍的队长介绍他们的队伍成员。 2、提醒所有的参赛队员遵守基本的礼节和正确的科学讨论原则。 竞赛中： 1、在每个比赛阶段开始时，介绍每个参赛队的角色。 2、题目确定后，各方的报告人将姓名写在黑板上，或者在报告的PPT中显示出报告人姓名。 3、比赛过程中，只允许各队在本队队员陈述的阶段进行录像和录音。 4、由裁判主席宣布某一环节结束。准备环节结束后，下一环节的计时立即开始。在陈述阶段结束后，裁判主 席可以允许让发言者做最后的陈述，但时长不超过15秒。 5、在报告的准备环节，如果出现意外的技术问题，裁判主席可以决定延长这一环节的时间。
可压缩两气体流动的简化神经网络模型
第９卷㊀第２期２０２４年３月气体物理ＰＨＹＳＩＣＳＯＦＧＡＳＥＳＶｏｌ.９㊀Ｎｏ.２Ｍａｒ.２０２４㊀㊀ＤＯＩ:１０.１９５２７/ｊ.ｃｎｋｉ.２０９６￣１６４２.１０８９可压缩两气体流动的简化神经网络模型刘子岩ꎬ㊀许㊀亮ꎬ㊀刘耀峰(中国航天空气动力技术研究院ꎬ北京１０００７４)ＡＳｉｍｐｌｉｆｉｅｄＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋＭｏｄｅｌｆｏｒＣｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅＴｗｏ￣ＧａｓＦｌｏｗｓＬＩＵＺｉｙａｎꎬ㊀ＸＵＬｉａｎｇꎬ㊀ＬＩＵＹａｏｆｅｎｇ(ＣｈｉｎａＡｃａｄｅｍｙｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅＡｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓꎬＢｅｉｊｉｎｇ１０００７４ꎬＣｈｉｎａ)摘㊀要:实用的虚拟流体方法(ｐｒａｃｔｉｃａｌｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄꎬＰＧＦＭ)利用Ｒｉｅｍａｎｎ问题速度解对可压缩多介质流场界面条件进行建模ꎮ基于构造的嵌入物理约束的神经网络模型预测Ｒｉｅｍａｎｎ问题速度解的方式ꎬ给出一种两气体流动的神经网络模型简化方法ꎮ首先提出完全气体状态方程下神经网络模型输入特征采样范围从无界域到有界域的转换方法ꎬ改善模型预测不同初始条件下Ｒｉｅｍａｎｎ解的泛化性能ꎮ根据该转化方法ꎬ进一步提出一种结构更加简单的神经网络优化方法ꎬ将输入维度从５个减少到３个ꎬ有效提高神经网络的训练效果ꎮ将该神经网络代理模型应用于ＰＧＦＭ程序框架ꎬ通过典型的一维与二维两气体流动问题进行数值验证与对比分析ꎮ结果表明ꎬ简化的网络模型与已有研究的神经网络模型相比ꎬ能取得精度相近的计算结果ꎮ而在神经网络训练效率上ꎬ简化神经网络具有明显优势ꎮ同时因为简化神经网络采样维度少ꎬ方便尝试加密采样提高拟合精度ꎬ更具备发展潜力ꎮ关键词:可压缩多介质问题ꎻ虚拟流体方法ꎻ两气体Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎻ神经网络㊀㊀㊀收稿日期:２０２３￣０９￣２６ꎻ修回日期:２０２３￣１２￣１９基金项目:国家自然科学基金(１１８７２３５１)第一作者简介:刘子岩(１９９８ )㊀男ꎬ博士ꎬ主要研究方向为机器学习在可压缩多介质流问题中的应用ꎮＥ￣ｍａｉｌ:ｌｚｙ２１０＠ｂｕａａ.ｅｄｕ.ｃｎ通信作者简介:许亮(１９８２ )㊀男ꎬ研究员ꎬ主要研究方向为可压缩多介质流模拟方法㊁ＣＦＤ中机器学习建模方法等ꎮ中图分类号:Ｏ３５９㊀㊀文献标志码:ＡＡｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｐｒａｃｔｉｃａｌｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄ(ＰＧＦＭ)ｕｔｉｌｉｚｅｓｖｅｌｏｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍｓｔｏｍｏｄｅｌｔｈｅｉｎｔｅｒｆａｃｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍａｔｅｒｉａｌｆｌｏｗｓ.Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｆｏｒｔｗｏ￣ｇａｓｆｌｏｗｓｂｙｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｅｍｂｅｄｄｅｄｗｉｔｈｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ.Ｆｉｒｓｔｌｙꎬａｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇｔｈｅｓａｍｐｌｉｎｇｒａｎｇｅｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｆｒｏｍｕｎｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎｔｏｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄꎬｗｈｉｃｈｈｏｌｄｓｔｒｕｅｆｏｒｔｈｅｐｅｒｆｅｃｔｇａｓｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｔａｔｅ.Ｉｔｃａｎｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｎｉｔｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ.Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄꎬａｓｉｍｐｌｅｒｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗａｓｆｕｒｔｈｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄ.Ｔｈｅｔｒａｉｎｉｎｇｒｅｓｕｌｔｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｃａｎｂｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｍｐｒｏｖｅｄｂｙｒｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅｉｎｐｕｔｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｆｒｏｍ５ｔｏ３.ＴｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｗａｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅＰＧＦＭ.Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｖａｌｉｄａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｗａｓｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｔｈｒｏｕｇｈｔｙｐｉｃａｌｏｎｅ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌａｎｄｔｗｏ￣ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇａｓｆｌｏｗｐｒｏｂｌｅｍｓ.Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｃａｎａｃｈｉｅｖｅｓｉｍｉｌａｒｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌａｃｃｕｒａｃｙｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｅｘｉｓｔｉｎｇｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｓ.Ｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｒａｉｎｉｎｇｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓꎬｔｈｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｈａｓｏｂｖｉｏｕｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ.Ｍｏｒｅｏｖｅｒꎬｂｅｃａｕｓｅｔｈｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｈａｓｆｅｗｅｒｓａｍｐｌｉｎｇｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓꎬｉｔｉｓｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏｔｒｙｄｅｎｓｅｒｓａｍｐｌｉｎｇｔｏｉｍｐｒｏｖｅｆｉｔｔｉｎｇａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｓｕｃｈｍｅｔｈｏｄｈａｓｍｏｒｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｐｏｔｅｎｔｉａｌ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍａｔｅｒｉａｌｆｌｏｗｓꎻｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄꎻｔｗｏ￣ｇａｓＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍꎻｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ气体物理２０２４年㊀第９卷引㊀言数值模拟可压缩多介质流体动力学问题在航空航天㊁武器物理㊁生物医疗等前沿领域具有大量应用需求[１]ꎮ清晰准确地模拟界面运动及变形是这类问题关注的重点ꎮ处理物质界面的一类方案为锐利界面方法ꎬ即把界面视作零厚度界面ꎬ这种方案须时刻捕捉界面位置并定义非线性波与界面发生作用而产生的边界条件ꎮ捕捉界面位置常用的方法有界面追踪法[２]和水平集(ｌｅｖｅｌｓｅｔ)方法[３]等ꎬ定义边界条件的方法有切割网格法[４]和虚拟流体方法等ꎮ虚拟流体方法有着诸多版本ꎬ其中Ｌｉｕ等[５]提出的修正虚拟流体方法(ｍｏｄｉｆｉｅｄｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄꎬＭＧＦＭ)通过求解界面附近多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题来预测界面状态ꎬ并以此定义虚拟流体状态ꎮ许亮等[６]提出了实用虚拟流体方法ꎬ借助多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题的速度解ꎬ并结合界面另一侧的流场状态可以准确定义虚拟流体状态ꎮ由于充分考虑波与物质界面的相互作用和介质性质对界面运动的影响ꎬ这两种方法已被证明适用于各种强间断气－气㊁气－液㊁流－固等挑战性多介质流动难题[７]ꎮ使用基于Ｒｉｅｍａｎｎ解的虚拟流体方法在定义虚拟流体状态时ꎬ须迭代求解非线性方程ꎮ多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题近似求解可以分成隐式和显式两类方法[８]ꎮ虚拟流体方法中常用的基于双激波结构的隐式近似Ｒｉｅｍａｎｎ解[５]也包含迭代过程ꎮＸｕ等[８]发展了２种不含迭代的显式近似Ｒｉｅｍａｎｎ解ꎬ计算效率高ꎬ但是只适用于刚性气体状态方程ꎮ传统方法求解多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题应对不同的状态方程须进行特定的数学推导ꎮ当问题比较复杂时ꎬ通常会涉及繁琐的计算过程ꎮ比如ꎬ对于含热完全气体的多介质流动问题ꎬ在压力的每一步迭代求解过程中也包含了温度的迭代解[８]ꎮ如果考虑黏性㊁表面张力㊁相变㊁化学反应等影响因素ꎬ那么物质界面求解迭代过程可能更加复杂ꎬ这就对稳定性提出很高要求ꎮ因此ꎬ有必要尝试借助新兴的机器学习方法替代传统的Ｒｉｅｍａｎｎ解算器ꎬ对降低建模难度以及提高计算稳定性等方面进行探索ꎮ机器学习方法近年来被广泛应用于各种研究领域中[９]ꎬ尤其常见于求解偏微分方程的过程中替代复杂的计算ꎬ并取得了较好的效果[１０ꎬ１１]ꎮＦｅｎｇ等[１２ꎬ１３]使用神经网络构造了智能激波指示器ꎬ应用于格式设计ꎬ并给出了机器学习模型的合理性解释ꎮ同时ꎬ研究者们也尝试加入一些约束条件以使得结果更加符合流动物理ꎮ丘润荻等[１４]在相场法中引入含物理约束的神经网络ꎬ用于求解ＲＴ不稳定性问题ꎬ明显提高了计算效率ꎮＭａｇｉｅｒａ等[１５]针对Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ首次提出嵌入物理约束的神经网络模型ꎬ使预测结果尽可能满足Ｒａｎｋｉｎｅ￣Ｈｕｇｏｎｉｏｔ间断条件ꎮ基于该方法ꎬＷａｎｇ等[１６]针对跨临界流的Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ分析了具有不同输入与输出形式的神经网络架构ꎬ提出了兼顾计算效率及计算精度的网络构造方法ꎮＲｕｇｇｅｒｉ等[１７]将Ｒｉｅｍａｎｎ解的神经网络模型推广到真实气体ꎬ比精确Ｒｉｅｍａｎｎ解具有更高的计算效率ꎮ但是ꎬ由于关注的网络输出维度较多ꎬ这些文献所使用的神经网络结构仍较复杂ꎮ本人在文献[９]中提出了多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题速度解的神经网络模型ꎬ通过构建物理约束层的方式考虑流场间断关系ꎬ简化网络规模ꎬ成功应用于ＰＧＦＭ框架求解多介质流动问题ꎮ本文将进一步提出应用于两气体Ｒｉｅｍａｎｎ问题的神经网络标准化映射方法ꎬ构造针对输入特征的神经网络结构优化方式ꎬ能够提高网络的训练效果及应用价值ꎮ１㊀问题描述与求解方法１.１㊀流体控制方程与状态方程研究模型设定为可压缩无黏流动模型ꎬ其二维形式Ｅｕｌｅｒ守恒方程组为∂Ｕ∂ｔ＋∂Ｆ∂ｘ＋∂Ｇ∂ｙ＝０(１)式中ꎬＵ＝[ρꎬρｕꎬρｖꎬＥ]Ｔ代表守恒变量ꎬＦ＝[ρｕꎬρｕ２＋ｐꎬρｕｖꎬ(Ｅ＋ｐ)ｕ]ＴꎬＧ＝[ρｖꎬρｕｖꎬρｖ２＋ｐꎬ(Ｅ＋ｐ)ｖ]Ｔ均为守恒通量ꎮρꎬｐꎬｕ分别是流体的密度ꎬ压力以及速度ꎬＥ是流体总能量ꎬＥ＝ρｅ＋ρｕ２/２ꎮｅ是单位质量流体的内能ꎮ上述方程组的封闭还须补充一个状态方程ꎮ本文目前的工作只涉及由完全气体状态方程ｐ＝(γ－１)ρｅ(２)描述的可压缩两气体流动问题ꎮ式中ꎬγ表示气体比热比ꎮ１.２㊀虚拟流体方法在虚拟流体方法中ꎬ把物质界面看成内边界ꎮ一般每种介质取界面附近３~５个网格点的区域作４３第２期刘子岩ꎬ等:可压缩两气体流动的简化神经网络模型为虚拟流体区域ꎬ虚拟流体层数由计算采用的数值格式决定ꎮ该区域内的虚拟流体状态作为内边界条件来定义ꎮ这样可以将多介质界面问题转化成多个单介质问题来模拟ꎮ原则上ꎬ只要这些虚拟流体状态定义准确ꎬ任何高分辨率计算格式可以直接使用ꎬ不需要在界面附近特殊处理ꎮ本文使用水平集方法捕捉界面运动ꎬ使用ＰＧ￣ＦＭ[７]定义不同流体的界面条件ꎬＰＧＦＭ的原理如图１所示ꎮ对比ＭＧＦＭ[５]须使用３个界面自由度定义虚拟流体状态ꎬＰＧＦＭ仅借助１个界面速度就可以计算出虚拟流体速度ꎬ虚拟流体的压力和密度通过镜像对称得到ꎮ这种区别意味着当采用神经网络对流场界面条件建模时ꎬ在ＰＧＦＭ的框架下仅关注界面速度这一个物理量ꎬ神经网络的输入和输出更加简洁ꎬ并能因此取得更好的训练效果ꎮ图１㊀ＰＧＦＭ定义虚拟流体状态的示意图[７]Ｆｉｇ.１㊀ＩｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＰＧＦＭｆｏｒｄｅｆｉｎｉｎｇｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｓｔａｔｅｓ[７]为抑制界面附近的非物理解ꎬ界面附近和虚拟流体的密度也可以通过某些校正技术[７]获得ꎮ１.３㊀多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题的速度解在多维问题中ꎬ虚拟流体方法首先须沿界面法向构造并求解多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎮ一维形式的初始值间断Ｒｉｅｍａｎｎ问题为∂Ｕ∂ｔ＋∂Ｆ∂ｘ＝０ꎬＵ｜ｔ＝０＝ＵＬꎬｘ<ｘＩＵＲꎬｘ>ｘＩ{(３)其中ꎬＵ＝[ρꎬρｕꎬＥ]ＴꎬＦ＝[ρｕꎬρｕ２＋ｐꎬ(Ｅ＋ｐ)ｕ]ＴꎬＵＬ和ＵＲ是界面法向上由位于ｘＩ处的物质界面分开的两个常值状态ꎮ下标Ｉ㊁Ｌ和Ｒ分别表示界面㊁左侧和右侧ꎮ对多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题(３)ꎬ须求解下面的非线性系统ｕＬ－ｕＩ＝ｆＬ(ｐＩ)ｕＩ－ｕＲ＝ｆＲ(ｐＩ){(４)其中函数ｆ的具体形式为[６]ｆＨ(ｐ)＝ｆ(ｐＩꎬｐＨꎬρＨ)＝(ｐ－ｐＨ)/(ｐ－ｐＨ)ρＨρρ－ρＨꎬｐ>ｐＨʏｐｐＨ１ρｄρｄｐｄｐꎬｐɤｐＨìîíïïïïïï(５)式中ꎬＨ＝Ｌ或Ｒꎬρ和ｐ的关系由状态方程确定ꎮ由ｕＩ＝１２(ｆＲ－ｆＬ)＋１２(ｕＬ＋ｕＲ)(６)求出界面速度解ｕＩꎬ然后按照图１中ＰＧＦＭ方式确定虚拟流体状态Ｕ∗Ｒ和Ｕ∗Ｌꎮ这样ꎬ每个时间步在界面处只需求解如下两个带虚拟流体状态的单介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题∂Ｕ∂ｔ＋∂Ｆ∂ｘ＝０ꎬＵ｜ｔ＝０＝ＵＬꎬｘ<ｘ０Ｕ∗Ｒꎬｘ>ｘ０{(７)∂Ｕ∂ｔ＋∂Ｆ∂ｘ＝０ꎬＵｔ＝０＝Ｕ∗Ｌꎬｘ<ｘ０ＵＲꎬｘ>ｘ０{(８)这里上标∗表示虚拟流体状态ꎮ问题(７)的求解区域是从最左边的网格点一直跨过物质界面进入右边介质区的虚拟网格点ꎮ问题(８)的求解区域则是从左边的虚拟网格点跨过物质界面一直到最右边的网格点ꎮ２㊀神经网络模型建立及优化２.１㊀嵌入物理约束的神经网络模型神经网络的输入和输出须根据具体问题确定ꎮＰＧＦＭ定义虚拟流体状态只需利用多介质Ｒｉｅｍａｎｎ问题界面速度解ｕＩꎬ而根据界面速度ｕＩ的求解流程(４)~(６)ꎬ神经网络的输入特征可选择为{ｐＬꎬρＬꎬｐＲꎬρＲꎬΔｕ}共５个量ꎬ神经网络输出特征为函数(５)ｆＬ和ｆＲ的逼近值φＬ和φＲꎮ最终根据神经网络预测结果和式(６)计算得到ｕＩꎮ为了使神经网络学习结果更符合流动物理要求ꎬ根据流场间断关系构建了物理约束条件φＬ＋φＲ＋Δｕ＝０(９)通过构建物理约束层的方式将式(９)嵌入神经网络ꎬ具体操作方法为:将神经网络两个输出φＬ和φＲ改写成φＬ和－Δｕ－φＬꎬ神经网络模型的输出层只需要一个输出量φＬꎮ但神经网络训练样本的标签仍为两个量ꎬ由φＬ和－Δｕ－φＬ物理约束层参与训练ꎮ这种方式能严格满足式(９)的流场间断关５３气体物理２０２４年㊀第９卷系ꎮ考虑物理约束的神经网络原理如图２所示ꎮ图２㊀考虑物理约束的人工神经网络示意图Ｆｉｇ.２㊀Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｒｔｉｆｉｃｉａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ本部分工作已在文献[９]中完成ꎬ具体实现方法和神经网络的基本原理参考文献[９]ꎮ２.２㊀神经网络标准化映射及网络结构简化神经网络代理模型的使用范围应尽量在训练样本采样范围内以保证模型的预测效果ꎮ注意到ＰＧＦＭ的神经网络模型的５个输入量都是无界的ꎮ本质上ꎬ流体的压力和密度取值范围为(０ꎬ＋ɕ)ꎬ界面两侧流体的速度差Dｕ取值范围为(－ɕꎬ＋ɕ)ꎮ为了提高神经网络模型的训练效果ꎬ通过预处理的方法将采样范围从无界域映射到有界域ꎮ基于Ｒｉ￣ｅｍａｎｎ速度解的求解方法可以获得标准化映射方法依赖紧密的一个性质[１８]ꎮ对于完全气体状态方程(２)ꎬ如果界面两侧流体的压力㊁密度经过以下变换ｐ－＝ｐｐ０ꎬρ－＝ρρ０那么界面速度ｕＩ的表达式将被改写成ｕＩ＝１２[ｆ(ｐ－Ｉꎬｐ－Ｒꎬρ－Ｒ)－ｆ(ｐ－Ｉꎬｐ－Ｌꎬρ－Ｌ)]ｐ０ρ０＋１２(ｕＬ＋ｕＲ)(１０)其中ꎬｐ０ꎬρ０为任意大于零的参考压力和参考密度ꎮ为简化网络结构的输入输出关系ꎬ提高神经网络训练效果ꎬ降低采样难度ꎬ考虑将参考压力和参考密度设置为左右两侧压力㊁密度的较大值ꎬ即ｐ０＝ｍａｘ(ｐＬꎬｐＲ)ꎬρ０＝ｍａｘ(ρＬꎬρＲ)显然有０<ｐｍｉｎｐ０ɤ１ꎬｐｍａｘｐ０＝１ꎻ０<ρｍｉｎρ０ɤ１ꎬρｍａｘρ０＝１(１１)经过这样处理ꎬ５个输入特征中的２个特征确定为１ꎬ采样及训练时只须考虑其他３个不为１的输入特征ꎬ达到了简化网络结构的目的ꎮ值得注意的是ꎬ本方法研究对象为两气体问题ꎬ界面两侧流体的不同导致不能通过训练一个神经网络解决该问题ꎮ根据流体左右压力㊁密度的大小关系ꎬ共计有４种情况ꎬ须对应训练４个神经网络代理模型并综合使用ꎬ见表１ꎮ简化的神经网络标准化原理如图３ꎬ该图以ｐＬ<ｐＲꎬρＬȡρＲ的情况为例ꎬ神经网络选用２号神经网络ꎮ表１㊀各神经网络代理模型Ｔａｂｌｅ１㊀ＶａｒｉｏｕｓｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｓＮｏ.ｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｐｒｅｌａｔｉｏｎｏｆρｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｉｎｐｕｔｓ１ｐＬ<ｐＲρＬ<ρＲ{ｐ－Ｌꎬρ－ＬꎬΔｕ－}２ｐＬ<ｐＲρＬȡρＲ{ｐ－Ｌꎬρ－ＲꎬΔｕ－}３ｐＬȡｐＲρＬȡρＲ{ｐ－Ｒꎬρ－ＲꎬΔｕ－}４ｐＬȡｐＲρＬ<ρＲ{ｐ－Ｒꎬρ－ＬꎬΔｕ－}图３㊀简化神经网络标准化原理示意图Ｆｉｇ.３㊀Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋａｆｔｅｒｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ因为每次计算都只会用到其中一个神经网络代理模型ꎬ相比于之前工作的神经网络模型[９]ꎬ简化后的神经网络模型降低了建模复杂度ꎬ同时也减小了计算量ꎬ可以提高计算效率ꎮ另外ꎬ根据前文介绍的性质ꎬ神经网络的输入经过了标准化映射ꎬ输出值也会变成标准化后的结果φ－Ｌ和φ－Ｒꎬ其中φ－Ｒ＝－Δｕ－－φ－ＬꎬΔｕ－＝Δｕ/ｐ０ρ０ꎬ为标准化后的速度差ꎮ须经过一个逆向映射得到φＬ６３第２期刘子岩ꎬ等:可压缩两气体流动的简化神经网络模型和φＲꎬ表达式为φＬ＝ｕ０φ－ＬꎬφＲ＝ｕ０φ－Ｒ(１２)ｕＩ即可根据式(１３)求出ｕＩ＝１２(φＲ－φＬ)＋１２(ｕＬ＋ｕＲ)(１３)２.３㊀训练样本生成神经网络模型的训练集通过一维多介质Ｒｉｅｍａｎｎ精确解算器生成ꎬ即求解非线性系统(４)ꎮ一般根据状态方程的具体表达形式ꎬ通过迭代方法获得界面压力解ｐＩꎬ再根据函数ｆＨ(ｐ)表达形式(５)获得神经网络的样本标签ｆＬ和ｆＲꎮ对于本文关注的完全气体状态方程(２)ꎬ其压力迭代方式和求解流程可以参考文献[１９]ꎮ采样范围根据２.２节的标准化映射方式而定ꎬ由式(１１)ꎬ界面两侧流体压力的较大值映射为１ꎬ较小值映射为一个大于０㊁小于等于１的值ꎻ界面两侧流体密度的较大值映射为１ꎬ较小值映射为一个大于０㊁小于等于１的值ꎮ所以只需对压力㊁密度的较小值进行采样ꎮ本文采用均匀采样的方式ꎬ界面两侧流体的压力㊁密度的较小值在(０ꎬ１]的范围内各取１１个点ꎮ标准化后的速度差Δｕ－与ｐ０和ρ０的选取相关ꎬ无法映射到一个具体的有界范围内ꎬ因此需要选定一个较为合理的范围ꎮ在实际工况下ꎬ压力ｐ０通常在１０５Ｐａ的量级上ꎬ密度ρ０在１ｋｇ/ｍ３的量级上ꎮ如果速度差的采样范围取在[－１０ꎬ１０]ꎬ即可覆盖[－３０００ｍ/ｓꎬ３０００ｍ/ｓ]的范围ꎬ这能满足绝大部分实际工况的需求ꎮ所以速度差在[－１０ꎬ１０]的范围内取２１个点ꎮ对样本数据的初始条件精确求解Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ并根据压力正项条件(Δｕ)ｃｒｉｔʉ２ｃＬγＬ－１＋２ｃＲγＲ－１>Δｕ(１４)去除其中的非物理解ꎬ将结果依次输出ꎬ即可得到训练神经网络需要的样本集ꎮ其中ꎬ(Δｕ)ｃｒｉｔ表示临界的速度差ꎬｃＬ和ｃＲ表示左右声速ꎮ减少神经网络输入维度带来的最直接的好处是大幅压缩了样本量ꎮ简化前的网络结构共有５个输入量ꎬ在忽略非物理解数量的情况下共计１１ˑ１１ˑ１１ˑ１１ˑ２１＝３０７４６１个样本ꎮ而３个输入量的神经网络要达到同样的采样密度ꎬ只需要使用１１ˑ１１ˑ２１＝２５４１个样本ꎮ同时ꎬ简化的神经网络拟合难度更低ꎬ这将大大减少神经网络的训练耗时ꎬ提升该方法的应用价值ꎮ神经网络的训练优势及计算效果将在２.４节算例应用部分进行展示ꎮ２.４㊀神经网络模型的应用方式４个神经网络完成训练后将其相关参数输出ꎬ以数学表达式的形式编制成程序模块嵌入到ＰＧＦＭ计算框架中[９]ꎬ即可直接应用ꎮ对于某个具体的两气体Ｒｉｅｍａｎｎ问题ꎬ首先判断界面左侧的压力㊁密度大小关系ꎬ标准化后应用对应神经网络代理模型ꎬ计算得到φＬ和φＲꎮ而后求解出界面速度ｕＩꎬ即可通过ＰＧＦＭ定义虚拟流体状态ꎮ类似于反射边界条件ꎬ对于一维问题ꎬ定义界面左侧流场的虚拟流体状态为ｐ∗＝ｐＲ㊀ρ∗＝ρＲ㊀ｕ∗＝２ｕＩ－ｕＲ(１５)定义界面右侧流场的虚拟流体状态为ｐ∗＝ｐＬ㊀ρ∗＝ρＬ㊀ｕ∗＝２ｕＩ－ｕＬ(１６)上标∗表示虚拟节点处的状态量ꎮ对于多维问题ꎬ需要根据ＰＧＦＭ的原理ꎬ将预测的界面法向速度与已知的切向速度合成ꎬ构造虚拟流体速度分量ꎬ保持密度和压力的定义不变ꎮ定义界面左侧流场的虚拟流体状态为ｐ∗Ｌ＝ｐＲꎬρ∗Ｌ＝ρＲꎬＶ∗Ｌ＝ＶＲ＋２(ｕｎꎬＩ－ｕｎꎬＲ)ｎ(１７)定义界面右侧流场的虚拟流体状态为ｐ∗Ｒ＝ｐＬꎬρ∗Ｒ＝ρＬꎬＶ∗Ｒ＝ＶＬ＋２(ｕｎꎬＩ－ｕｎꎬＬ)ｎ(１８)这里的下标ｎ表示界面法线方向ꎮ３㊀算例验证３.１㊀训练误差收敛效果本算例通过对比神经网络训练过程中误差的收敛速度和精度体现简化的神经网络结构的优势ꎮ假设左侧气体为空气(γＬ＝１.４)ꎬ右侧气体为氦气(γＲ＝１.６６７)ꎮ通过对比实验发现ꎬ神经网络隐含层层数为２ꎬ即可取得不错的拟合效果ꎮ为表述方便ꎬ本文使用Ｍ１￣Ｍ２￣Ｍ３￣Ｍ４的形式表示神经网络模型的规模ꎬ例如５￣１０￣１０￣２表示的是该神经网络模型输入量为５ꎬ输出量为２ꎬ含２个隐含层ꎬ每个隐含层各包含１０个节点ꎮ本文中所有训练均采用ＰｙＴｏｒｃｈ神经网络框架ꎬ优化过程使用ａｄａｍ优化器ꎮ７３气体物理２０２４年㊀第９卷图４分别给出了隐含层包含５个节点的神经网络模型和包含４０个节点的神经网络模型的两种网络结构训练效果对比ꎮ因为两种网络结构的训练集规模不同且相差较大ꎬ所以收敛对比图的横轴选为训练批量(ｂａｔｃｈ)数而不是训练周期(ｅｐｏｃｈ)数ꎻ纵轴ｌｏｓｓ为神经网络预测值与标签值的均方误差ꎮ具体计算式为ＬＭＳＥ＝１Ｎð ｙ－Ｆθ(ｘ) ２(１９)其中ꎬθ＝{ｗｌꎬｂｌ}Ｋｌ＝１为神经网络各层权重和偏置参数ꎬＦθ(ｘ)为神经网络预测结果ꎬｙ为标签值ꎬＮ表示每个训练批量的样本个数ꎮ训练过程中学习率设定为０.０００２ꎮ从图中结果可以反映出ꎬ３个输入量的神经网络模型在收敛速度上存在明显优势ꎮ５个输入量的神经网络模型也能达到同样的收敛精度ꎬ但是还需要花费相当多的训练步数ꎬ并且误差曲线依然存在明显的振荡ꎮ图中仅分别展示２００００和５０００个批量下的训练过程对比ꎮ(ａ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ５ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎｌａｙｅｒ(ｂ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ４０ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎｌａｙｅｒ图４㊀神经网络训练误差收敛图Ｆｉｇ.４㊀Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｔｒａｉｎｉｎｇｅｒｒｏｒｓ采取同样的方式生成测试集来体现两种类型的神经网络代理模型计算效果ꎮ左侧流体的压力㊁密度在{０.２５ꎬ０.４５ꎬ０.６５}中取值ꎬ速度在{－２.０ꎬ－０.５ꎬ１.０ꎬ２.５}中取值ꎻ右侧流体的压力㊁密度在{０.３５ꎬ０.５５ꎬ０.７５}中取值ꎬ速度在{－２.５ꎬ－１.０ꎬ０.５ꎬ２.０}中取值ꎬ共计１２９６个测试样本ꎮ这些测试样本完全不同于训练样本ꎮ分别给出了两种类型的隐含层包含５个节点的神经网络模型和包含４０个节点的神经网络模型在该测试集上的误差值ꎬ如图５所示ꎮ横坐标表示样本点编号ꎬ纵坐标表示网络预测值与精确解的绝对误差ꎮ(ａ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ５ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎｌａｙｅｒ(ｂ)Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈ４０ｎｏｄｅｓｉｎｔｈｅｈｉｄｄｅｎｌａｙｅｒ图５㊀网络预测值与精确解绝对误差对比图Ｆｉｇ.５㊀Ａｂｓｏｌｕｔｅｅｒｒｏｒｓｂｅｔｗｅｅｎｅｘａｃｔａｎｄｐｒｅｄｉｃｔｅｄｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ该结果初步表明ꎬ简化的神经网络模型的计算精度并没有因输入特征维度及样本量的减少而下降ꎬ并且每个隐含层包含４０个节点的神经网络模型的测试误差基本都在１％以下ꎮ３.２㊀一维气－气问题本节共选取两个一维空气－氦气问题测试各版本神经网络模型的计算效果ꎬ两个算例因初始状态的不同而产生不同的波系结构ꎮ８３第２期刘子岩ꎬ等:可压缩两气体流动的简化神经网络模型算例１的初始无量纲参数为ｘ<０.５:(γＬꎬｕＬꎬｐＬꎬρＬ)＝(１.４ꎬ－１.０ꎬ１.０ꎬ１.０)ｘ>０.５:(γＲꎬｕＲꎬｐＲꎬρＲ)＝(１.６６７ꎬ１.０ꎬ１.０ꎬ１.３８){在本算例中ꎬ物质界面两侧各产生一个稀疏波ꎬ运算到０.１５终止ꎮ算例２的初始无量纲参数为ｘ<０.４５:(γＬꎬｕＬꎬｐＬꎬρＬ)＝(１.４ꎬ－１.０ꎬ１.０ꎬ１.０)ｘ>０.４５:(γＲꎬｕＲꎬｐＲꎬρＲ)＝(１.６６７ꎬ１.０ꎬ１０.０ꎬ１.０){在本算例中ꎬ物质界面左侧会产生一个激波ꎬ界面右侧会产生一个稀疏波ꎬ运算到０.０８终止ꎮ分别采用基于隐式迭代的标准ＰＧＦＭ以及两种结构的神经网络代理模型的ＰＧＦＭ进行求解ꎬ在０<ｘ<１的计算域内共划分１０００个计算网格ꎮ空间离散使用５阶ＷＥＮＯ格式ꎬ时间离散使用３阶Ｒｕｎｇｅ￣Ｋｕｔｔａ格式ꎮ两个算例的速度㊁压力㊁密度计算结果对比分别见图６和图７ꎮ图中ＩｍｐｌｉｃｉｔＲＳ表示隐式迭代求解Ｒｉｅｍａｎｎ问题的方法ꎬ从图中可以看出ꎬ除５￣５￣５￣２㊁５￣１０￣１０￣２与３￣５￣５￣２等含较少神经元的神经网络出现了相对大的误差外ꎬ其他各网络均能较好地拟合标准ＰＧＦＭ结果ꎬ３￣４０￣４０￣２神经网络的计算结果几乎与标准ＰＧＦＭ计算结果完全重合ꎮ(ａ)Ｖｅｌｏｃｉｔｙ(ｂ)Ｐｒｅｓｓｕｒｅ(ｃ)Ｄｅｎｓｉｔｙ图６㊀算例１计算结果对比Ｆｉｇ.６㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｃａｓｅ１(ａ)Ｖｅｌｏｃｉｔｙ(ｂ)Ｐｒｅｓｓｕｒｅ(ｃ)Ｄｅｎｓｉｔｙ图７㊀算例２计算结果对比Ｆｉｇ.７㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｃａｓｅ２９３气体物理２０２４年㊀第９卷将算例２的界面处流体压力㊁速度和密度的部分神经网络预测结果与Ｒｉｅｍａｎｎ问题精确解进行对比ꎬ对相对误差定量统计ꎬ如表２所示ꎮ根据定量分析结果ꎬ简化的网络模型的误差甚至更小ꎮ表２㊀算例２相对误差定量统计表Ｔａｂｌｅ２㊀Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒｓｉｎｃａｓｅ２ｐｈｙｓｉｃａｌｑｕａｎｔｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎ５￣１０￣１０￣２３￣１０￣１０￣２５￣４０￣４０￣２３￣４０￣４０￣２ｐＩｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ２.６１２６５ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ２.６９６１９２.６３０７９２.６０２５６２.６１３６１ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ３.１９８％０.６９４％０.３８６％０.０３７％ｕＩｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ－１.８８３０４ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ－１.８２２５４－１.８７０１５－１.８９０３５－１.８８２４２ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ３.２１３％０.６８５％０.３８８％０.０３３％ρＩＬｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ１.９３６２１ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ１.８５４０２１.９１２８４１.９４０８６１.９２９６８ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ４.２４５％１.２０７％０.２４０％０.３３７％ρＩＲｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎ０.４４７０１ｐｒｅｄｉｃｔｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎ０.４５３５１０.４４６２６０.４４３８７０.４４５０１ｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ１.４５４％０.１６８％０.７０２％０.４４７％可见在计算一维问题时ꎬ简化的神经网络模型也能够在训练效率和计算效率领先的情况下和５个输入特征的神经网络模型保持相近的计算精度ꎮ３.３㊀二维气－气问题本算例模拟左行激波(Ｍａｓ＝１.２２)扫过氦气气泡的过程ꎬ计算域如图８所示ꎬ该算例常被用于测试计算格式的性能ꎬ相关研究可参考文献[２０]ꎮ计算域上下边界采用反射边界条件ꎬ左右边界采用无反射边界条件ꎬ网格密度为６５１ˑ１７９ꎬＣＦＬ数设定为０.５ꎮ初始无量纲条件和状态方程相关参数为ａｉｒ(Ｉ):(γＩꎬｕＩꎬｖＩꎬｐＩꎬρＩ)＝(１.４ꎬ０.０ꎬ０.０ꎬ１.０ꎬ１.０)ａｉｒ(ＩＩ):(γＩＩꎬｕＩＩꎬｖＩＩꎬｐＩＩꎬρＩＩ)＝(１.４ꎬ－０.３９４ꎬ０.０ꎬ１.５６９８ꎬ１.３７６４)ｈｅｌｉｕｍｂｕｂｂｌｅ(ＩＩＩ):(γＩＩＩꎬｕＩＩＩꎬｖＩＩＩꎬｐＩＩＩꎬρＩＩＩ)＝(１.６６７ꎬ０.０ꎬ０.０ꎬ１.０ꎬ０.１３８)ìîíïïïïïïïï图８㊀空气中激波扫过氦气泡算例的计算域(单位:ｍｍ)Ｆｉｇ.８㊀Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｄｏｍａｉｎｏｆａｎａｉｒｓｈｏｃｋｉｍｐｉｎｇｉｎｇｏｎａｈｅｌｉｕｍｂｕｂｂｌｅ(ｕｎｉｔ:ｍｍ)使用嵌入物理约束的４０￣４０规模的神经网络模型对本算例进行计算ꎬ空间离散使用５阶ＷＥＮＯ格式ꎬ时间离散使用３阶Ｒｕｎｇｅ￣Ｋｕｔｔａ格式ꎮ同时ꎬ也给出基于隐式迭代的标准方法计算结果作为对比ꎮ图９给出３种方法在第７３１ꎬ１２０７ꎬ１６０４ꎬ３９９８时间步的流场结果ꎬ图９(ａ)为５￣４０￣４０￣２神经网络代理模型与基于隐式迭代的标准ＰＧＦＭ的对比纹影图ꎬ图９(ｂ)为３￣４０￣４０￣２神经网络代理模型与基于隐式迭代的标准ＰＧＦＭ的对比纹影图ꎮ从图中可以看出ꎬ激波从右向左扫过氦气泡ꎬ氦气泡在激波的作用下被压缩变形ꎬ并形成向四周扩散的膨胀波ꎮ膨胀波在上下壁面发生反射后进一步与气泡作用ꎬ最终形成复杂的波系结构ꎮ(ａ)５￣４０￣４０￣２ＮＮ＆ｉｍｐｌｉｃｉｔＲＳ０４第２期刘子岩ꎬ等:可压缩两气体流动的简化神经网络模型(ｂ)３￣４０￣４０￣２ＮＮ＆ｉｍｐｌｉｃｉｔＲＳ图９㊀激波扫过氦气泡算例纹影对比图Ｆｉｇ.９㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｔｈｅｓｃｈｌｉｅｒｅｎｆｏｒａｎａｉｒｓｈｏｃｋｉｍｐｉｎｇｉｎｇｏｎａｈｅｌｉｕｍｂｕｂｂｌｅ分析两个对比图ꎬ两种结构的神经网络与标准ＰＧＦＭ方法相比ꎬ均能清晰地反映波系结构ꎬ并不会产生明显的误差ꎮ可见在应用于二维问题时ꎬ简化的神经网络也能取得与５个输入量的神经网络相同的计算效果ꎮ４㊀结论本文基于之前提出的嵌入物理约束的可压缩多介质流神经网络模型ꎬ给出一种两气体流动的神经网络模型简化方法ꎮ首先详细介绍了在完全气体状态方程下输入特征从无界集到有界集的标准化映射方法ꎬ可提高神经网络模型的泛化能力ꎮ基于该标准化方法ꎬ通过选取较大压力㊁密度值作为参考压力㊁密度ꎬ可将神经网络的输入量从５个减少到３个ꎮ经过算例验证证实该方法的计算效果与５个输入量的神经网络模型相当ꎬ但神经网络的训练效果得到很大提高ꎮ另外ꎬ因为网络结构的简单化ꎬ计算效率也会进一步提高ꎬ该方法更加具备进一步开发的潜力ꎮ值得注意的是ꎬ目前该工作基于提到的完全气体状态方程具备的性质ꎬ因此目前只适用于两气体界面问题ꎮ对于含有其他状态介质的问题ꎬ还须继续展开相关研究ꎮ参考文献(Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ)[１]㊀刘铁钢ꎬ许亮.模拟多介质界面问题的虚拟流体方法综述[Ｊ].气体物理ꎬ２０１９ꎬ４(２):１￣１６.ＬｉｕＴＧꎬＸｕＬ.Ａｒｅｖｉｅｗｏｆｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｉｎｔｅｒｆａｃｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃｓｏｆＧａｓｅｓꎬ２０１９ꎬ４(２):１￣１６(ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ).[２]ＫａｗａｋａｍｉＫꎬＫｉｔａＹꎬＹａｍａｍｏｔｏＹ.Ｆｒｏｎｔ￣ｔｒａｃｋｉｎｇｓｉｍｕ￣ｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｗｅｔｔｉｎｇｂｅｈａｖｉｏｒｏｆａｎｉｍｐｉｎｇｉｎｇｄｒｏｐｌｅｔｕｓｉｎｇａｒｅｌａｘｅｄｉｍｐｅｒｍｅａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＮａｖｉｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ[Ｊ].Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｆｌｕｉｄｓꎬ２０２３ꎬ２５１:１０５７３９.[３]ＯｓｈｅｒＳꎬＳｅｔｈｉａｎＪＡ.Ｆｒｏｎｔｓｐｒｏｐａｇａｔｉｎｇｗｉｔｈｃｕｒｖａｔｕｒｅ￣ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｓｐｅｅｄ:ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｂａｓｅｄｏｎＨａｍｉｌｔｏｎ￣Ｊａｃｏｂｉｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ１９８８ꎬ７９(１):１２￣４９.[４]ＬｉｕＴＧꎬＫｈｏｏＢＣꎬＹｅｏＫＳ.Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｃｏｍ￣ｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｆｌｏｗ.Ｉ.Ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｗｉｔｈｔｅｓｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏ１Ｄｇａｓ￣ｇａｓａｎｄｇａｓ￣ｗａｔｅｒｃａｓｅｓ[Ｊ].Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｆｌｕｉｄｓꎬ２００１ꎬ３０(３):２９１￣３１４.[５]ＬｉｕＴＧꎬＫｈｏｏＢＣꎬＹｅｏＫＳ.Ｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｔｒｏｎｇｓｈｏｃｋｉｍｐａｃｔｉｎｇｏｎｍａｔｅｒｉａｌｉｎｔｅｒｆａｃｅ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２００３ꎬ１９０(２):６５１￣６８１.[６]许亮ꎬ冯成亮ꎬ刘铁钢.虚拟流体方法的设计原则[Ｊ].计算物理ꎬ２０１６ꎬ３３(６):６７１￣６８０.ＸｕＬꎬＦｅｎｇＣＬꎬＬｉｕＴＧ.Ｄｅｓｉｇｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄ[Ｊ].ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙ￣ｓｉｃｓꎬ２０１６ꎬ３３(６):６７１￣６８０(ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ).[７]ＸｕＬꎬＦｅｎｇＣＬꎬＬｉｕＴＧ.Ｐｒａｃｔｉｃａｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎｇｈｏｓｔｆｌｕｉｄｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｆｌｏｗｓ[Ｊ].ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１６ꎬ２０(３):６１９￣６５９.[８]ＸｕＬꎬＹａｎｇＷＢꎬＬｉｕＴＧ.Ａｎｉｎｔｅｒｆａｃｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｆｏｒｔｗｏ￣ｍａｔｅｒｉａｌｍｕｌｔｉ￣ｓｐｅｃｉｅｓｆｌｏｗｓｉｎｖｏｌｖｉｎｇｔｈｅｒｍａｌｌｙｐｅｒｆｅｃｔｇａｓｅｓｗｉｔｈｃｈｅｍｉｃａｌｒｅａｃｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２２ꎬ４４８:１１０７０７.[９]刘子岩ꎬ许亮.嵌入物理约束的可压缩多介质流神经网络模型[Ｊ].计算物理ꎬ２０２３ꎬ４０(６):７６１￣７６９.ＬｉｕＺＹꎬＸｕＬ.Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｍｏｄｅｌｓｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉ￣ｍｅｄｉｕｍｆｌｏｗｓｅｍｂｅｄｄｅｄｗｉｔｈｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ[Ｊ].ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２３ꎬ４０(６):７６１￣７６９(ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ).[１０]ＸｕＬꎬＬｉｕＴＧ.Ｅｘｐｌｉｃｉｔｉｎｔｅｒｆａｃｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｓｆｏｒｃｏｍｐｒｅｓ￣ｓｉｂｌｅｇａｓ￣ｌｉｑｕｉｄｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｆｌｕｉｄｓꎬ２０１７ꎬ１５３:３４￣４８.[１１]ＲａｙＤꎬＨｅｓｔｈａｖｅｎＪＳ.Ａｎａｒｔｉｆｉｃｉａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋａｓａｔｒｏｕｂｌｅｄ￣ｃｅｌｌｉｎｄｉｃａｔｏｒ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙ￣ｓｉｃｓꎬ２０１８ꎬ３６７:１６６￣１９１.[１２]ＦｅｎｇＹＷꎬＬｉｕＴＧꎬＷａｎｇＫ.Ａｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ￣ｆｅａｔｕｒｅｄｓｈｏｃｋｗａｖｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｆｏｒｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｂａｓｅｄｏｎｔｒａｉｎ￣ｉｎｇａｎａｒｔｉｆｉｃｉａｌｎｅｕｒｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＣｏｍｐｕ￣ｔｉｎｇꎬ２０２０ꎬ８３(１):２１.１４气体物理２０２４年㊀第９卷[１３]ＦｅｎｇＹＷꎬＬｉｕＴＧ.Ａｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ￣ｆｅａｔｕｒｅｄｓｈｏｃｋｗａｖｅｉｎｄｉｃａｔｏｒｏｎｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｇｒｉｄｓｂａｓｅｄｏｎｔｒａｉｎｉｎｇａｎａｒｔｉｆｉ￣ｃｉａｌｎｅｕｒｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２１ꎬ４４３:１１０４４６.[１４]丘润荻ꎬ王静竹ꎬ黄仁芳ꎬ等.改进的物理融合神经网络在瑞利￣泰勒不稳定性问题中的应用[Ｊ].力学学报ꎬ２０２２ꎬ５４(８):２２２４￣２２３４.ＱｉｕＲＤꎬＷａｎｇＪＺꎬＨｕａｎｇＲＦꎬｅｔａｌ.Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｍｏｄｉｆｉｅｄｐｈｙｓｉｃｓ￣ｉｎｆｏｒｍｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｉｎＲａｙｌｅｉｇｈ￣Ｔａｙｌｏｒｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ[Ｊ].ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓꎬ２０２２ꎬ５４(８):２２２４￣２２３４(ｉｎＣｈｉ￣ｎｅｓｅ).[１５]ＭａｇｉｅｒａＪꎬＲａｙＤꎬＨｅｓｔｈａｖｅｎＪＳꎬｅｔａｌ.Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ￣ａｗａｒｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｆｏｒＲｉｅｍａｎｎｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０２０ꎬ４０９:１０９３４５. [１６]ＷａｎｇＪＣꎬＨｉｃｋｅｙＪＰ.ＦｌｕｘＮｅｔ:ａｐｈｙｓｉｃｓ￣ｉｎｆｏｒｍｅｄｌｅａｒｎｉｎｇ￣ｂａｓｅｄＲｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｆｏｒｔｒａｎｓｃｒｉｔｉｃａｌｆｌｏｗｓｗｉｔｈｎｏｎ￣ｉｄｅａｌｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ[Ｊ].ＣｏｍｐｕｔｅｒＭｅｔｈｏｄｓｉｎＡｐ￣ｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬ２０２３ꎬ４１１:１１６０７０. [１７]ＲｕｇｇｅｒｉＭꎬＲｏｙＩꎬＭｕｅｔｅｒｔｈｉｅｓＭＪꎬｅｔａｌ.Ｎｅｕｒａｌ￣ｎｅｔ￣ｗｏｒｋ￣ｂａｓｅｄＲｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｆｏｒｒｅａｌｆｌｕｉｄｓａｎｄｈｉｇｈｅｘｐｌｏ￣ｓｉｖｅｓꎻａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｆｌｕｉｄｄｙｎａｍｉｃｓ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃｓｏｆＦｌｕｉｄｓꎬ２０２２ꎬ３４(１１):１１６１２１.[１８]ＸｕＬꎬＬｉｕＺＹꎬＦｅｎｇＹＷꎬｅｔａｌ.Ｐｈｙｓｉｃｓ￣ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓａｓｍｕｌｔｉ￣ｍａｔｅｒｉａｌＲｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｓｆｏｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｔｗｏ￣ｇａｓｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕ￣ｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅꎬ２０２４ꎬ７８:１０２２６１.[１９]ＴｏｒｏＥＦ.Ｒｉｅｍａｎｎｓｏｌｖｅｒｓａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｆｌｕｉｄｄｙｎａｍｉｃｓ:ａｐｒａｃｔｉｃａｌｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ[Ｍ].３ｒｄｅｄ.Ｂｅｒ￣ｌｉｎꎬＨｅｉｄｅｌｂｅｒｇ:Ｓｐｒｉｎｇｅｒꎬ２００９:１５１￣１６２.[２０]ＣｏｒａｌｉｃＶꎬＣｏｌｏｎｉｕｓＴ.Ｆｉｎｉｔｅ￣ｖｏｌｕｍｅＷＥＮＯｓｃｈｅｍｅｆｏｒｖｉｓｃｏｕｓｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｍｕｌｔｉｃｏｍｐｏｎｅｎｔｆｌｏｗｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１４ꎬ２７４:９５￣１２１.２４。
2013年度高等学校博士学科点专项科研基金资助课题名单(新教师类)
序 号 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
课题编号 20134301120003 20134402120007 20134407120001 20136101120017 20136501120001 20130002120014 20130032120035 20130041120009 20130072120058 20130074120020 20130092120021 20130092120039 20130101120174 20130101120175 20130143120005 20130191120015 20130201120031
2013年度高等学校博士学科点专项科研基金资助课题名单（新教师类）
序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 课题编号 20130001120008 20130003120008 20130006120011 20130009120016 20130031120001 20130031120004 20130032120072 20130032120073 20130032120077 20130071120025 20130071120026 20130072120008 20130074120021 20130076120001 20130076120002 20130076120007 20130076120008 20130092120030 20130121120042 20130132120022 20130141120035 课题名称 Gopakumar-Vafa不变量与节点多项式 球面中极小子流形的谱及相关问题研究 几类非线性模型的分岔及稳定性 复杂系统的信息交互及其在脑电波中的应用 B细胞表位相关若干数学问题研究 丛代数典范基与箭图表示 关于参数依赖于解的轨道的带双边反射的随 机偏微分方程的Malliavin分析 素变数的二次型与Linnik方差法 Sigma_k Yamabe方程解的多重性 微分几何中的若干分析问题 微分动力系统测度的Lyapunov指数、维数探 索 非线性双曲系统的控制与优化 图的圈划分问题的研究 Hochschild 上同调的 Gerstenhaber 李代 数结构的计算与应用 Rapoport-Zink空间的连通分支和不可约分 支 变额年金定价、对冲及其统计分析 保险精算和行为金融中的风险控制问题研究 具有切换有向通信拓扑的高阶多自主体系统 一致性控制及应用 Teichmüller测地流:代数几何在动力系统中 的应用 带脉冲噪声图像复原问题的数值算法及应用 研究 导出等价及其应用 申请学校 北京大学 北京师范大学 北京科技大学 北京交通大学 南开大学 南开大学 天津大学 天津大学 天津大学 复旦大学 复旦大学 同济大学 华东理工大学 华东师范大学 华东师范大学 华东师范大学 华东师范大学 东南大学 厦门大学 中国海洋大学 武汉大学 申请人 郭帅 彦文娇 储继迅 林艾静 高建召 丁明 杨雪 刘志新 郑有泉 王志张 田学廷 尚培培 朱焱 周国栋 陈苗芬 钱林义 毕俊娜 温广辉 于飞 曾雪迎 陈一萍 学科组名称 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 课题类型 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 新教师类 资助额度 （万元） 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
基于RungeＧKutta法分析刚性平面附近空化气泡的动力学
第３７卷第３期２０２３年５月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３７N o ．３M a y ２０２３收稿日期:２０２２Ｇ１１Ｇ０５基金项目:国家自然科学基金(１１８６４００７)作者简介:宣力文(１９９５Ｇ),女,安徽安庆人,在读硕士,研究方向:计算声学和中学物理教学．E Ｇm a i l :７７５７３７６４７＠q q ．c o m．通信作者:梁金福(１９７７Ｇ),男,贵州大方人,教授,博士．研究方向:大学物理教学和声空化物理．E Ｇm a i l :l i a n g．s h i ２００７＠１６３．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２３)０３Ｇ００４０Ｇ０５基于R u n ge ＧK u t t a 法分析刚性平面附近空化气泡的动力学宣力文,梁金福(贵州师范大学物理与电子科学学院,贵州贵阳５５０００１)摘要:用镜像空化泡等效替代刚性平面,得到超声场中刚性平面附近空化泡的动力学方程．运用R u n g e ＧK u t t a 法数值计算了该方程,并和自由声场中空化泡动力学方程的数值解进行对比分析．结果表明:刚性平面对空化气泡脉动具有抑制作用;气泡内的气体绝热系数和液体粘度系数越小,气泡溃灭速度越大,对平面的作用也越大．研究结果有利于认识空化气泡对刚性壁面的作用机制．关键词:R u n g e ＧK u t t a 法;镜像法;刚性平面;空化气泡中图分类号:O ４２６．３㊀㊀㊀文献标志码:AA n a l y s i s o fC a v i t a t i o nB u b b l e sD yn a m i c s N e a rR i g i dP l a n e s b y R u n ge ＧK u t t aM e t h o d X U A N L i Ｇw e n ,L I A N GJ i n Ｇfu (S c h o o l o fP h y s i c s a n dE l e c t r o n i cS c i e n c e ,G u i z h o uN o r m a lU n i v e r s i t y ,G u i y a n g ５５０００１,C h i n a )A b s t r a c t :T h e d y n a m i c e q u a t i o no f t h e c a v i t a t i o nb u b b l e n e a r t h e r i gi d p l a n e i nu l t r a s o n i c f i e l d i s o b t a i n e db y r e p l a c i n g t h e r i g i d p l a n ew i t h t h em i r r o r i m a ge c a v i t a t i o nb u b b l e ．T h e r e v i s e d e q u a t i o n i sn u m e r i c a l l y c a l c u l a t e dt h r o u g ht h eR u n g e ＧK u t t a m e t h o da n dc o m pa r e d w i t ht h e n u m e r i c a l s o l u t i o no f t h eb u b b l e s e qu a t i o n i n t h e f r e e s o u n d f i e l d ．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h e r i gi d p l a n e c a n i n h i b i t t h e p u l s a t i o no f c a v i t a t i o nb u b b l e ．T h e s m a l l e r t h e a d i a b a t i c c o e f f i c i e n t o f t h e g a s i n t h eb u b b l e a n d t h e v i s c o s i t y c o e f f i c i e n t o f t h e l i qu i d ,t h e g r e a t e r t h e b u b b l e c o l Ｇl a p s e v e l o c i t y a n d t h e g r e a t e r t h e e f f e c t o n t h e p l a n e ．T h e s e r e s u l t s a r e h e l p f u l t ou n d e r s t a n d t h e a c t i o nm e c h a n i s mo f c a v i t a t i o nb u b b l e s o n r i gi dw a l l s ．K e y wo r d s :R u n g e ＧK u t t am e t h o d ,m i r r o r i m a g em e t h o d ;r i g i d p l a n e ;c a v i t a t i o nb u b b l e ㊀㊀非线性二阶常微分方程在物理㊁化学㊁生物等学科中不断出现．但由于它具有非线性,人们不能利用线性叠加原理对它进行解析求解．随着计算机技术的发展,非线性微分方程的数值求解逐渐取代了解析求解,有效地解决了相关问题．声空化是物理学中研究的一个热点问题[１],声空化气泡动力学方程是一个非线性二阶常微分方程[２Ｇ３],求精确解非常困难．本文运用四阶R u n ge ＧK u t t a 法[４]数值计算刚性平面附近空化气泡的动力学方程,通过分析计算结果揭示空化气泡对刚性壁面的作用机制．我们知道,超声波是一种机械波,当它通过液体时,液体内部的压力会发生涨落变化,出现低于静态压力的负压区域．当超声波强度超过一定阈值时,液体中负压区域会出现结构断裂,形成缺陷．液体中的微小气泡(空化核)在缺陷处会成长为肉眼可见的㊁微米量级的气泡,这种现象称为声空化[３],形成的气泡叫做空化泡．气泡在声场的作用下,在每一个声周期内,其径向运动表现为先缓慢膨胀,然后急剧塌缩,最后反弹的非线性特征．气泡在坍缩期间,其最大半径可以达到最小半径的一百倍,气泡的最大体积是最小体积的一百万倍,因此,空化泡均具有异常高的聚能能力[３]．空化泡塌缩至最小半径前后,其内部会产生极端的高温高压,有时会导致光辐射,即声致发光[５]．空化气泡内部的高温高压已被应用到超声清洗[６],纳米材料制备[７]和催化化学反应[８]等领域．目前,大多数描写空化泡运动的模型都是在自由场里建立的,如R a y l e i gh ＧP l e s s e t (R P )方程[９]和K e l l e r ＧM i k s i s 方程[１０]．考虑边界对空化泡作用的文献相对较少,但在实际应用中,如超声清洗和纳米材料制备总是存在不同类型的刚性壁面,因此,研究刚性壁面附近空化泡的动力学有着重要意义．镜像法是解决点源边值问题的有效方法之一,其基本思想是用另一个点源(像源)产生的场等效代替边界效应．根据解存在的唯一性定理[１１],点源和像源共同产生的场等效于需要解决的场边值问题．本文应用镜像法建立刚性平面附近空化气泡的动力学方程．1㊀空化泡在刚性平面附近脉动的动力学模型1.1㊀镜像原理的适用性条件空化泡在液体声场中脉动时,可以把空化泡看成一个声源．根据镜像原理,气泡受到刚性平面的反射波可以看作虚拟镜像气泡的辐射波．由此,刚性界面附近空化泡的振动可以看成空化泡与其镜像耦合成的双气泡振动,空化泡模型如图１所示．图１㊀刚性平面附近空化泡模型㊀㊀镜像原理适用的前提是唯一性定理．为此,需要对模型作如下的假设:①空化泡在脉动过程中保持球形;②只考虑气泡径向振动,忽略气泡平移运动;③考虑液体不可压缩性;④忽略气泡内外的质量交换以及气泡内部的化学反应．根据假设,空化泡在刚性平面附近的脉动可以近似看成半空间内球形声源辐射问题．辐射声场包括两部分[１２]:一是空化泡声源直接到达观测点的声波;二是从声源出发,经边界面反射后再到达观测点的声波．由于两个波的波阵面不同,严格求解这样的声场比较困难．目前的方法是先假设一个解,使其满足两个条件:一是满足声波动方程;二是满足刚性表面上声波法向速度恒为零,即纽曼边界条件．由此,根据波动方程解的唯一性,就能确定假设解就是研究问题的唯一解．具体过程是假设在刚性界面(分界面)的另一侧,与空化泡对称的位置上,存在振动状况完全与原空化泡相同的另外一个声源,用这个假定声源辐射的声波等效代替界面的反射声波,把边界问题等效为由两个空化泡脉动源的辐射问题,其产生的合成声压满足上面提到的两个条件,即解具有惟一性．1.2㊀刚性平面附近空化泡的动力学方程用镜像空化泡替代刚性平面后,形成的双气泡耦合系统的动力学可以用自由场中两个气泡的动力学模型来描写[２],即:R i Ri ＋３２R ２i ＋R ２j L Rj ＋２R j R ２j æèçöø÷＝p (r i )－p (¥)ρ,(１)式中:下标i 和j 分别代表两个不同的气泡;R i 表示气泡i 在任意时刻的半径;Ri 表示气泡径向运动的速度;Ri 表示气泡径向运动的加速度;同理,R j ;Rj 和R j 分别表示另一个气泡的半径㊁气泡径向运动的速度和加速度;L 表示两个气泡之间的距离;ρ表示液体的密度;p (r i )表示液体中r i 处的压强;p (¥)表示液体中无穷远处的压强．在图１中,O １和O ２分别为空化泡与其镜像空化泡的球心坐标,D 为空化泡球心到刚性平面之间的距离．则由(１)式可以得到超声场中刚性平面附近空化泡的动力学方程为:R R＋３２R ２＋R ２２D R＋２R R ２æèçöø÷＝p (r )－p (¥)ρ,(２)１４第３期宣力文等:基于R u n ge ＧK u t t a 法分析刚性平面附近空化气泡的动力学p (r )＝p g －２σR －４ηRR＋R c dd t[p g －p d (t )]－p d (t ),(３)p g ＝p ０＋２σR ０æèçöø÷R ３０－h ３R ３－h ３æèçöø÷r,(４)p d (t )＝p a s i n (w t )．(５)在式(２)－式(５)中:p ０表示液体中的静态压力,一般地,p ０＝p (ɕ);η表示液体的黏度;σ表示空化泡的表面张力;γ表示空化泡里气体的绝热系数;h 是表示气泡的范德尔斯半径,h ＝R ０/８．５;p a 表示驱动声压幅度;w ＝２πf ,f 表示声波频率．2㊀Runge ＧKutta 法数值求解空化泡动力学方程2.1㊀Runge ＧKutta 法R u n g e ＧK u t t a 法是德国数学家C ．R u n g e 和M．K u t t a 提出的数值算法,主要用来数值求解一阶常微分方程的初始值问题[３]．其基本思想是:从点t i ,u i ()计算t i ＋１,u i ＋１(),在计算区间t i ,t i ＋１()上取多个点的斜率值,然后进行加权平均作为平均斜率．考虑一个初始值问题[４]:d u dt ＝f (t ,u ),u (t ０)＝u ０．ìîíïïï(６)其中,u ０为常数．方程(６)的泛定形式为:u (t )＝u ０＋ʏtt ０f (t ,u )d t ．(７)在区间t ,t ＋h []内(h 表示时间间隔),方程(７)可以近似表示为:u (t ＋h )＝u (t )＋ʏt ＋h tf (t ,u )d t ．(８)如果在区间t ,t ＋h []内取m 点,即t ＝t １ɤt ２ɤ ɤt m ɤt ＋h ．则方程(８)近似为:u (t ＋h )ʈu (t )＋h ðm i ＝１c i f (t i ,u (t i )),(９)其中,c i 是加权系数,满足条件:c i ȡ０且ðmi ＝１c i ＝１．为了得到算符公式,令u (t ＋h )＝u n ＋１,u (t )＝u n ．当m ＝１,c １＝１时,方程(９)为:u n ＋１ʈu n ＋f (t n ,u n )h ,(１０)方程(１０)其实就是E u l e r 法．类似地,当m ＝４,c １＝１６,c ２＝１３,c ３＝１３和c ４＝１６时,可以得到常用的四阶R u n ge ＧK u t t a 法[３Ｇ４]为:u n ＋１ʈu n ＋１６K １＋２K ２＋２K ３＋K ４[],K １＝f t n ,u n ()h ,K ２＝f t n ＋１２h ,u n ＋１２K １æèçöø÷h ,K ３＝f t n ＋１２h ,u n ＋１２K ２æèçöø÷h ,K ４＝f t n ＋h ,u n ＋K ３()h ．ìîíïïïïïïïïïï(１１)2.2㊀空化泡动力学方程的数值解与常规的数值求解方程步骤一样,用R u n ge ＧK u t t a 数值求解空化泡的动力学方程,包括时间离散化㊁微分方程离散化㊁求解递进方程㊁误差控制和数据输出５个过程[３]．基于R u n ge ＧK u t t a 法的基本思想和算法,美国M a t h W o r k s 公司在其MA T r i xL A B o r a t o r (MA T L A B )软件包中开发了o d e ２３和o d e ４５两个常微分方程数值求解器[１３],这里的o d e 是 O r d i n a r y D i f f e r e n t E qu a t i o n 的缩写．２３和４５分别表示二/三阶和四/五阶R u n ge ＧK u t t a 算法．一般地,o d e ４５的计算精确度比o d e ２３高,但对适度的刚性问题,o d e ２３比o d e ４５的计算效果好．两者在MA T L A B 软件中的调用格式均相同,即[t ,y ]＝o d e ４５( F u n ,T s p a n ,y ０,o pt i o n s )．其中,[t ,y ]表示微分方程(组)的输出数据,t 和y 均为列矩阵,对应每一个离散节点上的数值．F u n 表示函数文件名,是输入参数,用来定义微分方程(组)．m 表示函数文件名,引用时除了使用英文格式的单引号外,也可以在文件名前加＠界定文件名．T s pa n 是输入参数,表示常微分方程自变量的取值范围,可以设置计算步长的大小,不足之处是步长设定后,在整个计算过程中是固定的,可能会造成计算时间过长．y ０是输入参数,表示初始条件向量,输入格式为:y ０＝[y (t ０)y ᶄ(t ０)y ᵡ(t ０) ]．o p t i o n s 是输入参数,表示选项参数,可以忽略．为了运用R u n ge ＧK u t t a 法求解方程(２),需要经过以下过程:(１)把方程(２)变成两个一阶常微分方程,即:d R d t＝R＝Z ,(１２)d Z d t＝R＝２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷２D ２D R ＋R ２æèçöø÷{１ρP g －P ０－P d ()－２σ＋４ηZ ()ρR －３２Z ２－R D Z ２＋R ρc dd t P g －P d []}．(１３)(２)建立以 B u b b l e为文件名的子文件 B u b b l e ．m ,子文件中包含两个微分方程(１２)和(１３);在同一个文件夹下,建立以B u b D y n a m i c s 为文件名的主文件 B u b D y n a m i c s ．m ,在主文件中调用o d e ４５求解器数值求解子文件中的方程组:[t ,y ]＝o d e ４５(＠B u b b l e ,t s p a n ,y０),其中t s Ｇpa n ＝０:s t e p :p e r i o d ,p e r i o d 表示计算的总时间为一个声周期,s t e p 表示计算步长,通过改变步长的大小控制计算误差．计算中使用的物理量参数值如表１所列．表１㊀计算中的物理参数物理参数数值(单位)D ０．０００５(m )p ０１．０１３ˑ１０５(P a )f ２．５ˑ１０４(H z)p a１．３０ˑ１０５㊀(P a )γ空气１．４;氩气１．６７η水０．００１(k g /m ３);硫酸０．０５６８(k g/m ３)σ水０．０７２５(k g /s２);硫酸０．０２５８(k g /s２)p v 水２３３８．８(P a );硫酸０．０３３(P a)r水１０００(k g /m ３);硫酸１８４０(k g/m ３)R ０i ,j４．５ˑ１０－６(m )(３)使用函数s a v e 保存数据．格式为:s a v e ＇d a t a ．t x t ＇HＧa s c i i ,即把H 矩阵中的数据保存在d a t a ．t x t 文本中,H ＝[t ,y (:,１),y (:,２)],t 表示时间列,y (:,１)表示方程(１２)的数值解,即空化泡半径随时间的演化数据,y (:,２)表示方程(１３)的数值解,即空化泡壁速度随时间的演化数据．(４)把d a t a ．t x t 导入数据处理软件o r i gi n ８．５中进行处理,结果如图２所示．从图２中可以看出,当计算时间步长大于０．０４μs 时,空化泡从最大值坍塌到最小值阶段的相对误差较大;当计算时间步长不大于０．０４μs 时,计算结果几乎一致,因此,本文的计算时间步长设置为０．０４μs ．3㊀刚性平面附近空化泡的动力学行为分析㊀㊀针对文献[２]分析了自由界面和刚性界面附近空化泡的振动,以及分析了气泡初始半径㊁气泡到界面的距离㊁声压幅度和超声频率对空化泡溃灭速度的影响,但从式(２)－式(５)可以看出,除了上面４个因素影响空化泡动力学外,还有液体黏度系数和气体绝热系数等参数对空化泡动力学有影响．下面主要讨论液体黏度系数和气体绝热系数分别对空化泡的振动和溃灭速度的关系．图２㊀刚性平面附近空化泡的半径及其振动速度的时间演化3.1㊀气体绝热系数和液体粘度系数对空化泡径向振动的影响㊀㊀水中空气泡㊁水中氩气泡和硫酸中空气泡在超声作用下,其径向半径的时间演化如图３所示．在刚性界面附近同一位置,在相同的超声波驱动下,水中的空气泡径向振动幅度最大,氩气泡振动幅度次之,硫酸中空气泡振动幅度最小．这说明气体绝热系数越大,粘度系数越大,气泡振动受到的抑制就越大．图３㊀超声场中刚性界面附近气泡的振动特征3.2㊀气体绝热系数和液体粘度系数对空化泡溃灭速度的影响㊀㊀空化泡在材料表面塌缩时产生的微射流是超声清洗和纳米材料制备的主要机制．空化泡壁的溃灭速度与微射流密切相关．为了讨论气体绝热系数和液体粘滞系数与空化泡溃灭速度的影响,文中分别计算了水中和硫酸中的自由空化泡,以３４第３期宣力文等:基于R u n ge ＧK u t t a 法分析刚性平面附近空化气泡的动力学及水－刚性平面和硫酸－刚性平面附近空化泡的溃灭速度,计算公式为[２]:v c o l l a p s e ʈ２３p ０－p v ρR ３m a xR ３０－１æèçöø÷,(１４)其中:v c o l l a p s e 表示空化泡壁的溃灭速度,R m a x 表示空化泡的最大半径,p v 表示液体饱和蒸汽压．根据式(２)－式(５)和式(１４),计算得到水中和硫酸中的自由空化泡㊁水－刚性平面和硫酸－刚性平面附近空化泡的溃灭速度,其关系如图４所示．图４㊀气体绝热系数与气泡溃灭速度的关系㊀㊀从图４可以看出不论是自由场中的空化泡,还是刚性平面附近的空化泡,不论在水中还是硫酸中,空化泡溃灭速度均随着气体绝热系数的增大而减小;硫酸中空化泡的溃灭速度远小于水中的空化泡的溃灭速度．这说明液体粘度系数越大(硫酸的粘度系数比水的大),空化泡的溃灭速度越小．4㊀结论本文首先用镜像法得到了刚性平面附近空化气泡的动力学方程,然后基于R u n ge ＧK u t t a 法,用MA T L A B 软件包编程计算了该方程,分析了气体绝热系数和液体粘度系数对空化泡径向振动及其溃灭速度的影响．结果表明气体绝热系数和粘度系数越大,空化泡振动受到的抑制就越大,空化泡的溃灭速度越小．相同的液体环境和超声驱动下,自由场中空化泡的溃灭速度均比边界场中空化泡的溃灭速度大．这些计算结果不仅表明了四阶R u n ge ＧK u t t a 法在求解非线性常微分方程的可靠性,而且有利于理解空化气泡与界面的相互作用机制,对超声清洗㊁超声制备材料等方面的应用具有指导意义．参考文献:[１]L I A N GJF ,C H E N W Z ,S HA O W H ,e t a l ．A s ph e r i Ｇc a l o s c i l l a t i o no f t w o i n t e r a c t i n g b u b b l e s i na nu l t r a Ｇs o u n d f i e l d [J ]．C h i n e s e P h y s i c sL e t t e r s ,２０１２,２９(７):０７４７０１．[２]郭策,祝锡晶,王建青,等．超声场下刚性界面附近溃灭空化气泡的速度分析[J ]．物理学报,２０１６,６５(４):１８４Ｇ１９１．[３]陈伟中．声空化物理[M ]．北京:高等教育出版社,２０１４．[４]李荣华,刘播．微分方程数值解法[M ]．第４版．北京:高等教育出版社,２０１９．[５]安宇．空化气泡发光机理[J ]．中国科学:物理学力学,２０１１,４１(４):３４３Ｇ３４９．[６]N I E M C Z E W S K IB ．C a v i t a t i o n i n t e n s i t y ofw a t e ru n Ｇd e r p r a c t i c a l u l t r a s o n i c c l e a n i n g c o n d i t i o n s [J ]．U l t r a Ｇs o n i c sS o n o c h e m i s t r y,２０１４,２１:３５４Ｇ３５９．[７]O S H I MAR ,Y AMAMO T O T A ,M I Z U K O S H IY ,e ta l ．E l e c t r o n m i c r o s c o p y o f n ob l em e t a l a l l o y n a n o p a r t i Ｇc l e s p r e p a r ed b y s o n o c he m i c a l m e t h o d s [J ]．N a n o Ｇs t r u c t u r e d M a t e r i a l s ,１９９９,１２:１１１Ｇ１１４．[８]HU S S E I N E M ,K HA I R O U K S ．S o n o c h e m i s t r y:S y n t h e s i s o f b i o a c t i v e h e t e r o c y c l e s [J ]．R e v i e wJ o u r n a l o fC h e m i s t r y,２０１４,４:２２１Ｇ２５１．[９]P L E S S E T M S ．O nt h es t a b i l i t y of f l u i df l o w sw i t h s p h e r i c a l s y mm e t r y [J ]．J o u r n a lo fA p p l i e dP h ys i c s ,１９５４,２５(１):９６Ｇ９８．[１０]K E L L E R J B ,M I K S I S M．B u b b l eo s c i l l a t i o n so fl a r g ea m pl i t u d e [J ]．T h eJ o u r n a lo ft h e A c o u s t i c a l S o c i e t y o fA m e r i c a ,１９８０,６８(２):６２８Ｇ６３３．[１１]郭硕鸿．电动力学[M ]．第３版．北京:高等教育出版社,２００８．[１２]杜功焕,朱哲民,龚秀芬．声学基础[M ]．第２版．南京:南京大学出版社,２００１．[１３]陆君安,尚涛．偏微分方程的MA T L A B 解法[M ]．武汉:武汉大学出版社,２００１．[责任编辑:李㊀岚]４４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷。
弹性力学问题Locking-free有限元离散系统的两水平方法
０ ５时 ， 些方 法 的求解 ． 这
比， 种单元 需要较 多 的 自由度 ， 应 的有限元 离散 系统 的求解 ， 这 相 当问题规 模很 大时 ， 需要更 多 的计算 机存 储单元， 具有 更高 的计 算复杂 性 。 因此 ， 对这 种 Ｌ ｃ ｉｇ ｆ ｅ有限 元离散 系统 的求 解 ， 针 ｏｋｎ — ｅ ｒ 设计 相 应的高 效求 解 方法 具有 重要 的实际 应用价 值 。
中图分类号 ： ４ ； Ｂ １ ０３３ Ｔ １ ５
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ １６０ （０ ２ Ｏ —０ ５０ １０ —６ ０ ２ １ ） １０ １—７
弹性力 学 问题 的有 限元求 解在 科学 计算 和工程 技术 上都是 很重 要 的问题 。 在实 际工程 中， 有相 当多 的
材 料 （ 橡胶 、 料） 现几 乎 不可 压 缩 的性 质 （ 松 比 一 ０ ５ 或 Ｌ ｍ６常数 一 。 ） 对其 进 行有 限 元分 如 塑 呈 泊 ．， ａ 。， 析 时会 出现 闭锁 （ ｏ ｋｎ ） Ｌ ｃ ｉｇ 现象 Ｌ ］即 有限元 解不 再收 敛到原 问题 的解 或达不 到最 优收 敛 阶。克 服 Ｌ ｃ — １， ≈ ｏ ｋ ｉｇ现象 的方 法很 多 ， 混合 有 限元法 ［ ］非协调 有 限元 法 ［ ］高 阶协调 元 法Ｅ 及减 缩积 分法 ［ ｎ 如 ４、 ６、 ｛ 】 。利用
多 重 网格 （ ｌＧｒ ； Ｍｕｔ ｉ ＭＧ） 是求 解 由偏微 分 方程 离散 化 所得 大型 线性 代 数 系统 的最 为 有效 的 方法 ｉ ｄ 法
之一Ｌ ¨ 。 于 弹性 问题 高 次有限 元离散 系统 的 ＭＧ法 ， １ ］关 已取 得 了很 多好 的成果 ， 见文 献［ ４１ ］ 而 对于 １— ７ 。 Ｌ ｃ ｉｇｆｅ （ ｏ ｋｎ —ｒｅ 四次或 四 次 以上 ） 限元情 形 ， 我 们所 知 目前还 没有 学 者对 其 离散 系 统 的 ＭＧ 法 特别 是 有 据 代 数多 重 网格 （ ｇ ｂａｃＭｕｔ ｉ ＡＭＧ） Ａｌｅ ｒｉ ｌ Ｇｒ ｉ ｄ； 法进 行 系统 的研 究 。一 种 常用 的做 法是 将 四次 或 四次 以 上有 限元计 算化 归为低 次 （ 线性 或 二次 ） 有限元 的计 算 ， 以减少 运算规 模 、 提高计 算效 率 。这就需 要解 决粗 网格 的 自由度难 以控制 、 选取适 用 于 ０ ５的光滑算 子及 粗 网格 Ｌ ｃ ｉｇ３个 问题 。最近 ， ． ｏ ｋｎ 文献 ［ ８ 针对 二维 １］ 弹 力学 问题 Ｌ ｃ ｉｇｆｅ 有 限元 离散 系统 ， ｏ ｋｎ —ｒｅ 对影 响其求 解效 果的 几个 因素 ， 磨光 算子 、 网格矩 阵等 ， 如 粗 进 行 了较 为系 统的研 究 。 过选 取不 同的磨 光子 ， 通 以线性 元 为粗水 平 空间 ， 结合 减缩 积分方 案 ， 计 了几种 再 设 计 算效 率得 到 了大 大提 高的两 水平 （ Ｔｗｏｌｖ １方 法及 相应 的 ＡＭＧ法 。 当 — ｅ） ｅ 但
program-分会7-冷原子物理与量子模拟pdf
冷原子物理与量子模拟20日下午，地点：208，主持人：朱诗亮，南京大学 时 间 报告人 报告题目13：30-14：00张天才山西大学Full control and measurement of singleatom in micro-trap and micro-cavity14：00-14：30 史保森中科大Entanglement between a collective Rydbergexcitation and a ground-state spin wave14：30-15：00颜辉华南师大Narrowband single photons: Generation andApplication休息20日下午，地点：208，主持人：张天才，山西大学15：20-15：50 管习文物数所Luttinger liquid and beyond in one-dimensionalspin-1/2 Heisenberg antiferromagnet CuPzN15：50 -16:20钱静华东师大Non-equilibrium quantum phases in ultracold Rydberg atoms with strong blockadeeffect16：20-16：40金家森大连理工Steady-state phase diagram of a drivenQED-cavity array with cross-Kerrnonlinearities16：40-17：00魏世杰清华大学Duality Quantum Computer Simulates Open QuantumSystems Efficiently17：00-17：20周增荣清华大学The efficient quantum simulation algorithm in duality quantum computer21日上午，地点：208，主持人：颜辉，华南师范大学 时 间 报告人 报告题目8:30-9:00张靖山西大学Experimental realization of a two-dimensionalsynthetic spin-orbit coupling in ultracoldFermi gases9：00-9：30周小计北京大学Quantum dynamical evolution of cold atoms in the high bands of an optical lattice9：30-10：00张熙博北京大学Studying many-body physics based on coldstrontium atoms休息21日上午，地点：208，主持人：龙桂鲁，清华大学10：20-10：50冯芒物数所Precise control and quantum gating with trappedions10：50-11：20颜波浙江大学Ultracold polar molecules in an 3D opticallattice11：20-11：50陈澍物理所Existence of critical phase in quasiperiodic optical lattices11：50-12：10周智超武汉大学Thermal valence-bond-solid transition andcooling of SU(2N) ultra-cold Dirac fermions inthe optical lattice休息与海报21日下午，地点：208，主持人：刘伍明，中科院物理所 时 间 报告人 报告题目13：30-14：00 龙桂鲁清华大学Duality Quantum Computing: A New Paradiam forEfficient Quantum Simulation14：00-14：30 王大军港中文Creation of an ultracold gas of ground-statedipolar 23Na87Rb molecules14：30-15：00 纪安春首师大Oscillations of Solitons in 1D Spin-Orb it Coupled Bose-Einstein Condensates休息21日下午，地点：208，主持人：陈澍，中科院物理所15：20-15：50 许志芳华中科大Interaction-driven topological edgeexcitations in a bosonic chiral p-wavesuperfluid15：50-16:20 刘伍明物理所光晶格中冷原子的拓扑量子相变16：20-16：50 江开军物数所TBA16：50-17：20 朱诗亮南京大学Simulation of PT-invariant topological nodal loop bands with ultracold atoms in an optical lattice。
BCC金属弹性及热力学性质随温度变化的理论计算
性常数的准确度十分重要。通过密度泛函理论（ｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｔｈｅｏｒｙ，ＤＦＴ）和密度泛函微扰理论（ｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｐｅｒｔｕｒ ｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ，ＤＦＰＴ）计算得出弹性常数随温度的升高而降低，并通过力学稳定判断标准得到 Ｔａ、Ｆｅ、Ｗ、Ｍｏ在０～１５００Ｋ 时晶 格结构稳定，不发生相变。此外，通过计算得出的体积模量犅 和剪切模量犌 的比值犅／犌 判断出 Ｔａ、Ｆｅ、Ｗ、Ｍｏ在０～１５００Ｋ 表 现为韧性。并预测了 Ｔａ、Ｆｅ、Ｗ、Ｍｏ的热膨胀系数、等压热容、等容热容与温度的关系，发现在低温区域（０～３００Ｋ）等容热容遵 循犜３ 定律，在高温区域（１０００～１５００Ｋ）遵循能量均分定律，证明了计算方法的合理性。 关键词：体心立方金属；热力学性质；弹性常数；温度；密度泛函理论
第１３卷 第５期 ２０１８年３月
中国科技论文 ＣＨＩＮＡＳＣＩＥＮＣＥＰＡＰＥＲ
Ｖｏｌ．１３Ｎｏ．５ Ｍａｒ．２０１８
犅犆犆 金属弹性及热力学性质随温度变化的理论计算
刘瑞萍，肖理君，郝璐瑶，李秀燕，杨 致，徐利春
（太原理工大学物理与光电工程学院，太原 ０３００２４）
摘 要：基于密度泛函第一性原理计算了体心立方金属 Ｔａ、Ｆｅ、Ｗ、Ｍｏ的弹性和热力学性质。使用２种不同的交换关联泛函广 义梯度近似（ｇｅｎｅｒａｌｇｒａｄｉｅｎｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ，ＧＧＡ）和局域密度近似（ｌｏｃａｌｄｅｎｓｉｔｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ，ＬＤＡ）计算了犜＝０Ｋ 时 Ｔａ、Ｆｅ、 Ｗ、Ｍｏ的晶格常数和弹性常数，发现使用 ＧＧＡ 与实验值符合较好，说明在计算弹性常数时选择合适的交换关联泛函对计算弹
ｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ． 犓犲狔狑狅狉犱狊：ＢＣＣｍｅｔａｌｓ；ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ；ｅｌａｓｔｉｃｃｏｎｓｔａｎｔ；ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ；ｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｔｈｅｏｒｙ
2013年CUPT整理
目录一、第四届中国大学生物理学术竞赛简介二、第四届中国大学生物理学术竞赛题目三、第四届中国大学生物理学术竞赛总结一、第四届中国大学生物理学术竞赛简介大学生物理学术竞赛（China Undergraduate Physicists’ Tournament, CPUT）是中国借鉴国际青年物理学家竞赛（IYPT）的模式创办的国内全国性赛事，该项活动得到了教育部的支持，是实践国家教育中长期发展规划纲要的重要大学生创新竞赛活动之一。
CUPT是一项以团队对抗为形式的物理竞赛，它以协同创新为根本理念，旨在提高学生综合运用所学知识分析解决实际物理问题的能力，培养学生的开放性思维能力。
参赛学生就实际物理问题的基本知识、理论分析、实验研究、结果讨论等进行辩论性比赛。
不仅可以锻炼学生分析问题、解决问题的能力，培养科研素质，还能培养学生的创新意识、团队合作精神、交流表达能力，使学生的知识、能力和素质全面协调发展，同时注重加强青年学生之间的友谊和交流。
这种比赛形式为我国各高校之间进行交流、共同探讨高素质物理人才的培养模式提供了一个很好的平台，本项赛事既可以纳入国家理科基地的能力培养项目，也可以在我国“拔尖学生培养试验珠峰计划”实施过程中起到非常大的推动作用，更为新时期建设创新型国家，创建世界一流学科提供了人才培养方面的有力支持。
CUPT竞赛淡化锦标意识，侧重高校学子间的学术交流。
团队之间各抒己见、友好讨论、展示风采、相互学习、共同提高，已成为我国高校物理菁英的年度交流盛会。
第四届大学生物理学术竞赛于2013年8月12日至8月17日在兰州大学举行，共有来自包括北京大学、清华大学等在内的38所高校的39支代表队参加。
本届比赛南开大学、北京大学、哈尔滨工业大学以及北京师范大学三所学校进入决赛，冠军队伍为南开大学。
比赛期间，组委会主席许京军介绍了中国大学生物理学术竞赛历程，中科院院士吴岳良作了题为“物理学的主旋律与挑战”的学术报告。
磁流变弹性体隔振器的非线性滞回力学模型
磁流变弹性体隔振器的非线性滞回力学模型刘星夏品奇（南京航空航天大学直升机技术研究所南京，210016）摘要：磁流变弹性体（magnetorheological elastomers）兼具磁流变材料和弹性体的优点，因而近年来成为研究的一个热点。
根据叠层式的磁流变弹性体隔振器的实验数据，本文采用Bouc-Wen单元、一个弹簧单元和一个阻尼单元并联的现象模型，建立了磁流变弹性体隔振器的非线性力学模型，利用遗传算法对该模型的参数进行辨识，表明该模型能较好的反映磁流变弹性体隔振器的力—位移和力—速度的非线性关系。
关键词：磁流变弹性体；非线性；Bouc-Wen模型；参数辨识Nonlinear hysteresis Model of a magnetorheological elastomerisolatorLiu Xing Xia Pin-qi(National Key Laboratory of Rotorcraft Aeromechanics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China) Abstract: Magnetorheological elastomer has the advantages of both magnetorheological materials and elastomer，therefore it has become a hot research topic in recent years. Based on the experimental data of a MRE isolator，a Bouc-Wen dynamic model was considered and its parameters were obtained by using genetic algorithm(GA).The validation results verify the model’s effectiveness to portray the MRE isolator.Key words: magnetorheological elastomer; nonlinear; Bouc-Wen model; parameter identification;引言磁流变弹性体是由软铁磁性颗粒和聚合物基体组成，它的力学、电学诸性能可以由外加磁场来控制。
用弹性波来做“CT”——记南京航空航天大学航空学院教授钱征华
26封底人物用弹性波来做“CT”——记南京航空航天大学航空学院教授钱征华 张方方 于德萍当弹性介质中某处物质粒子离开平衡位置时，这个粒子在弹性力的作用下发生振动，同时又引起周围粒子的振动，这样形成的振动在弹性介质中的传播过程称为“弹性波”。
“‘弹性波’研究很早就有了，我们现在研究它，是为了把它应用到工程中。
”南京航空航天大学航空学院教授钱征华说。
打个比方，在做电子计算机断层扫描（CT）时，可以用X射线扫描人体组织器官获得大量的数据，当这些数据以影像的形式被“绘制”成片，就能方便医生判断其中是否存在病变。
钱征华的研究也像是另一种意义上的C T诊断——通过研究波导结构或者复合材料结构里弹性波的传播规律，去发现其中的缺陷，从而进行定量化无损检测。
“其实弹性波研究涉及很多应用，缺陷检测是我们的研究动机之一。
”在钱征华眼中，他所钻研的科学问题最终都将指向工程应用，这方天地，值得他持之以恒地去开拓。
干一行，专一行1998年走进西安交通大学工程力学系时，钱征华对这个专业所知甚少。
“我高中时物理学习还可以，对物理现象也比较感兴趣。
所以高考填报志愿时，在班主任老师的建议下，报考了与物理相关的力学专业。
”采访伊始，他就用一句“没有什么特殊的故事”给自己的科研生涯定了个基调，一路至今，他的轨迹中写满的都是“水到渠成”。
西安交通大学工程力学专业历史悠久，“西迁”前，可追溯到1923年高等力学实验室的创建；“西迁”后，1957年建立国内首批应用力学专业，1979年成立工程力学系。
到钱征华入学那年，学校已经设立了力学一级学科博士点。
而他对专业感情的建立，就是从摸清其历史脉络开始的。
“力学是工科的基础，也是连接基础科学与工程技术的桥梁。
上到大国重器，下到生活中简单的机械零件等，都离不开力学。
它跟物理学相关，但两者差别很大，这也是为什么它能从物理学科中独立出来的原因。
”经过一番了解，钱征华越来越感受到力学的魅力，他唯一的想法就是“既然选择了，就要把专业学好、搞透”。
基于弹性半空间理论的深潜器观察窗应力分析
察 窗 与窗 座 之 间 的 接 触 锥 形 面 进 行 了打 磨 处 理 ，，
约为 ０ ． １ ，观 察 窗 与 窗 座 之 间 的接 触 形 式 为 面 一面
接触 ，具 体样 式如 图 １所示 。
的应力 分 布 是 观 察 窗 设 计 的 重 要 基 础 。 文 献 ［ ２ ］ 采
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ ｌ ｙ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｅ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｎａ ｌ ｓ ｔ ｒ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｄ ｅ ｅ ｐ－ ｓ ｅ ａ ｈ ｕ ｍａ ｎ ｏ ｃ ｃ ｕ ｐ ｉ ｅ ｄ Ｖｅ ｈ ｉ ｃ ｌ ｅ Ｓ ｖ ｉ ｅ ｗ— ｐ ｏ ｒ ｔ
用 计算 分 析和试 验 ２种 手 段 对 观 察 窗 的蠕 变 特 性 进 行 了研 究 ；文献 ［ ３ ］ 在文 献 ［ ２ ］ 的基 础上 对 观 察 窗受 力 进行 了理论 上 探 索 ；文 献 ［ ４ ］ 在 总 结 文献 ［ ２— ３ ］
摘 要 ： 准确 分析大深 度潜器观 察窗 内部 应力 ， 对于深潜 器观察 窗的开 口设计具 有重 要意 义 。利 用 弹性半
空 间理论对 其应力进 行计算 ， 并利用 Ａ ｎ ｓ ｙ ｓ 进 行仿 真 ， 证 明 了 弹 性 半 空 间 理 论 是 分 析 观 察 窗 内 部 应 力 的 一 种 可 靠
Ｓ ｔ ｒ ｅ ｓ ｓ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｄ ｅ ｅ ｐ－ ｓ ｅ ａ ｖ ｅ ｈ ｉ ｃ ｌ ｅ ｓ ｖ ｉ ｅ ｗ－ ｐ ｏ ｒ ｔ ｗｉ ｎ ｄｏ ｗｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ
ｏ ｎ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｈａ ｌ ｆ － ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｔ ｈｅ ｏ ｒ ｙ
第三章 弹性半空间问题
p( , )dd P
S
作用区域S趋近于零
H 1 H P log( z ) z H P/ z
1
x2 y2 z2
法向集中力作用在原点
沿着r方向投影
做变换
a sin r sin
2
uz
rcosΦ
积分=0
ur
(1 2 )(1 ) p cosdsd 2E
a 2 cos2 d 4(1 ) p / 2 0 r1 (a 2 / r 2 ) sin 2 E 4(1 2 ) pr E(a / r ) (1 a 2 / r 2 )K (a / r ), r a E
2016/12/20
王战江 授课 1
3. 弹性半空间问题
问题描述
如何求解任意压力和切向力作用，弹性半空 间内部和表面的应力和位移
王战江 授课 2
接触力学
西南交通大学 王战江
p是压力，qx是沿x轴切向力，qy是沿y轴切向 力。
取C(ξ, η)点是载荷作用域S内的任意一点。 A(x, y, z)点是体内任意一点，B(x, y)点是表 面任意一点。CA之间的距离为
F1 q x ( , )dd
S
王战江 授课 4
G1 q y ( , )dd
S
G1 q y ( , )dd
S
H 1 p( , )dd
S
H 1 p( , )dd
S
式中 z log( z )
x
王战江 授课 16
xz
r2 p p 0 (1 2 ) n a
基于时域最小残值法求解含间隙非线性气动弹性系统的半解析解
第 62 卷第 6 期2023 年11 月Vol.62 No.6Nov.2023中山大学学报（自然科学版）（中英文）ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM UNIVERSITATIS SUNYATSENI基于时域最小残值法求解含间隙非线性气动弹性系统的半解析解*秦英泉1，2，刘祚秋1，刘济科1，刘广1，21. 中山大学航空航天学院，广东深圳 5181072. 深圳市智能微小卫星星座技术与应用重点实验室，广东深圳 518107摘要：采用时域最小残值法求解了含间隙非线性气动弹性系统的半解析周期解。
首先，将气动弹性系统的周期解展开为傅里叶级数，并截断前N项作为系统的近似解析解；通过对近似解求导，获得系统的速度和加速度函数；并将位移、速度和加速度函数回代到原始的气动弹性系统，将半解析解求解问题转化为一个非线性最小二乘优化问题。
最后，通过增强响应灵敏度方法来迭代求解该最小值问题。
在迭代过程中，Tikhonov正则化和“置信域限制”被用来增强算法的收敛性。
数值算例表明，时域最小残值法可以快速获得高精度的半解析解。
关键词：间隙非线性；时域最小残值法；周期解；Tikhonov正则化中图分类号：V21 文献标志码：A 文章编号：2097 - 0137（2023）06 - 0098 - 09Semi-analytical solution of nonlinear aeroelastic systems with freeplay based on the time-domain minimum residual methodQIN Yingquan1，2， LIU Zuoqiu1， LIU Jike1， LIU Guang1，21. School of Aeronautics and Astronautics， Sun Yat-sen University， Shenzhen 518107， China2. Shenzhen Key Laboratory of Intelligent Microsatellite Constellation， Shenzhen 518107， ChinaAbstract：The semi-analytical periodic solution of a nonlinear aeroelastic system with freeplay was solved by the time-domain minimum residual method. First， the periodic solution of the aeroelastic sys‐tem is expanded into the Fourier series， and the first N term is truncated as the approximate analytical solution. Then， the velocity and acceleration of the system are obtained by taking the derivative of the approximate solution in the time. And the displacement， velocity and acceleration functions are substi‐tuted back into the original aeroelastic system. Then，the problem of solving the semi-analytical solu‐tion is transformed into a nonlinear least-square optimization problem. Finally，such minimum value optimization problem is iteratively solved by the enhanced response sensitivity approach. In the above iteration， the Tikhonov regularization and “trust-region constraint” are used to enhance the algorithm’s convergence. Numerical examples show that the time-domain minimum residual method can quickly obtain high-precision semi-analytical solutions.Key words：freeplay nonlinearity；the time-domain minimum residual method；periodic solution；Tikhonov regularizationDOI：10.13471/ki.acta.snus.2023B031*收稿日期：2023 − 05 − 27 录用日期：2023 − 06 − 29 网络首发日期：2023 − 09 − 21基金项目：国家自然科学基金（12172387）；广东省基础与应用基础研究基金（2021A1515110750，2023A1515010028）；深圳市科技计划（ZDSYS20210623091808026）作者简介：秦英泉（1999年生），男；研究方向：非线性振动；E-mail：*****************通信作者：刘广（1992年生），男；研究方向：非线性振动、参数识别；E-mail：****************第 6 期秦英泉，等：基于时域最小残值法求解含间隙非线性气动弹性系统的半解析解近几十年中，对含非线性因素的机翼气动弹性响应进行了大量的研究（杨超等， 2018；杨智春等， 2016）。
2结果和讨论-中国力学学会
Copyright © 2014版权所有 中国力学学会地址: 北京市朝阳区平乐园100号 邮政编码:100124 Address: No.100 Pingleyuan, Chaoyang District, Beijing 100124第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18～21日 甘肃兰州文章编号： CSTAM2014-B01-0211标题：微结构滑动减阻的实验及数值模拟研究作者：申峰，李易，刘赵淼, 肖鹏单位：北京工业大学机械工程与应用电子技术学院第八届全国流体力学学术会议 2014年9月18-21日 甘肃 兰州S080071）基金资助项目：国家自然科学基金项目(11002007, 11072011) 微结构滑动减阻的实验及数值模拟研究1）申峰，李易，刘赵淼2），肖鹏（ 北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京 100124 ）摘要 微结构滑动减阻成为目前润滑减阻的研究热点。
本文利用DHKFC-1型静、动滑动摩擦因数测试系统及计算流体力学（CFD ）数值模拟方法，对表面凹槽滑块在下滑过程中速度及阻力变化进行实验及数值模拟研究。
实验中研制了四种具有不同宽高比（e =0.5, 1, 2, 3）以及相同宽高比但尺寸不同的表面凹槽结构的滑块，使其分别在均匀厚度油膜中下滑，记录其速度和加速度值，加速度为动摩擦因数的测量提供理论值，取平均速度进行数值模拟，并与理论值进行对比。
实验获得的理论值与数值模拟结果基本一致。
分析了凹槽内流场结构、压力、不同位置速度以及壁面切应力值，并研究了凹槽几何结构、壁面运动速度等对滑动阻力的影响。
结果表明，减阻效果不仅与凹槽尺寸有关，同时受滑块滑动速度等其它因素影响。
关键词 微结构，表面凹槽，流动润滑，减阻，滑动阻力引 言随着现代工业和科技的发展，应用于航空航天、船舶、汽车制造、电力等行业中的流体动力系统的运行工况发生了很大的变化。
机械设备不断的大型化和高速化以及对其运转高精度、高效率的要求导致了机械中摩擦部位所面临的润滑条件越发残酷。
CUPT题目(IYPT翻译和插图)
201届国际青年物理学家竞赛赛IYPIYPT T 20133年第26届国际青年物理学家竞参考翻译))题目((参考翻译题目1.自己创造如果一张纸被“手风琴式”折叠或者被卷成筒，那么它将更加难以弯曲。
使用一张单一的A4纸和少量胶水，如果需要的话，构建一座跨越280毫米间隙的桥梁。
介绍相关参数，用以描述该桥梁的强度，并优化其中的部分参数或全部参数。
2．弹性空间大球在水平拉伸膜上滚动的动态效果和它们之间明显的相互作用通常用于说明引力场。
进一步探究该系统。
在这样一个“引力场世界”确定和测量明显的“引力常数”是否可能？如果你站在地面上拿着乒乓球，并释放它，它会反弹。
如果乒乓球内含有液体，碰撞的性质会发生变化。
探究碰撞的性质如何取决于球内液体的含量和其他相关参数。
4．孤子沿水平轴等距离安装一链相似的摆，相邻的摆用轻绳相连接。
每一个摆可以绕轴旋转，但不能侧向移动（见图）。
探究沿着这样一条链的一种旋转的传播。
当各摆都经历360º旋转时，孤立波的速度是多少？一个轻球（如乒乓球），可以被向上的气流所支撑。
气流的方向可以倾斜，然而它仍然可以支撑球。
探究气流倾斜的影响，并优化该系统，得出在保持球处于稳定状态的情况下，气流倾斜的最大角度。
6．彩色塑料在明亮光线的照射下，一个透明的塑料物体（如一张空白的CD外壳）有时可以呈现各种不同的颜色（见图）。
研究和解释这种现象。
确定一下，当使用各种不同颜色的光源时，是否也可以看到这些颜色。
7．聆听光的声音将一个罐子内表面的一半涂一层锅灰，并在它的盖子上钻一个孔（见图）。
当连接交流电的灯泡发出的光线射到罐子的黑墙（锅灰层）时，可以听到明显的声音。
解释和探究这种现象。
8．喷射和薄膜喷射的细液体流对肥皂薄膜的作用（见图）。
喷射的液体流可以渗透通过薄膜或者与薄膜合并，产生有趣的形状，这取决于相关参数。
解释和探究这种相互作用，以及由此产生的形状。
9．碳麦克风一个麦克风的设计已经涉及碳颗粒的使用很多年了。
利用焦利氏秤测定弹簧有效质量实验的几点讨论
利用焦利氏秤测定弹簧有效质量实验的几点讨论张春玲;孙骞;崔秀美;唐蕾【摘要】从利用焦利氏秤测定弹簧有效质量实验出发,研究了弹簧与重物组成的系统做简谐振动时,弹簧形状和质量等参数对弹簧有效质量的影响,分析了开始计时的取点问题以及使用不同数据处理方法所带来的影响,并对所用开放式教学方法进行了探讨.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)006【总页数】5页(P31-35)【关键词】简谐振动;焦利氏秤;有效质量;数据处理【作者】张春玲;孙骞;崔秀美;唐蕾【作者单位】南开大学物理科学学院,天津300071;南开大学物理科学学院,天津300071;武警后勤学院基础部,天津300309;武警后勤学院基础部,天津300309【正文语种】中文【中图分类】O313.2弹簧一端固定另一端连接质点，组成的弹簧加质点系统的振动问题非常经典.其中，对于计及弹簧质量的系统，本质上就是弹性介质中波的传播问题[1-5].因为相关研究内容涉及理论和实验多方面知识，对于培养学生的实验能力有很大帮助，所以弹簧有效质量的测量成为大学物理实验中的基本内容.笔者在选修课“基本实验技能训练”中，主要教给学生基本实验仪器的使用和基本实验数据处理方法，“用焦利氏秤测量弹簧的有效质量”就是所开设的题目之一.在教学中，教师不指定实验步骤，而是采取训练南开大学CUPT(中国大学生物理学术竞赛)队员的开放式教学方法，教师仅介绍焦利氏秤的使用方法，然后让学生先做预实验以观察实验现象、发现问题，再进行师生讨论，探讨所发现问题的解决方案，最后通过后续实验对讨论的结果进行验证.本文将针对教学中师生讨论的比较多的问题，如弹簧形状与质量、砝码质量等参数对弹簧有效质量的影响、开始计时的取点问题、使用不同数据处理方法所带来的影响等进行介绍，并对所采用的开放式教学方法进行讨论.质量为m0、倔强系数为k的弹簧一端固定，另一端悬挂质量为m的物体组成研究系统，在不计所受阻力的条件下，系统的振动周期为其中，ms=αm0称为弹簧的有效质量，表示弹簧的质量对系统振动周期的影响，α为弹簧有效质量系数.在大学物理实验课上，为了求出ms和α，通常首先测量弹簧质量m0、砝码托盘与指示镜总质量m′和砝码质量m.调整焦利氏秤，记录砝码托盘中添加不同质量砝码时的焦利氏秤读数，利用环差法或者最小二乘法处理数据算出弹簧倔强系数k，然后在砝码托盘中加入不同质量的砝码，测量所对应的弹簧振动周期T.考虑砝码托盘与指示镜的总质量m′后，式(1)变形并两边平方得到对测量结果用最小二乘法直线拟合进行数据处理，得到斜率和截距(ms+m′)，则可由下式计算出ms进一步求出α，焦利氏秤的配件盒中包含金属丝粗细不同的两根锥状弹簧和一根柱状弹簧，如图1所示.如果教师不特别指出，多数学生会只选择一根弹簧进行测量，然后在结论部分直接给出“弹簧的有效质量是……”，或者参考周围同学的结果，给出“所用柱状(或者锥状)弹簧的有效质量是……”.然而在说明弹簧的有效质量时，还需要辅助说明弹簧的质量、形状、金属丝直径、匝数密度以及所加重物的质量，因为它们都对弹簧的有效质量有影响.例如，当锥状弹簧两端的半径R1和R2差异大时，如果忽略次级小量的影响，μm0中的系数μ可以简化为，表明弹簧的形状会影响其有效质量[6].学生在实验中还发现一个细节，即对弹簧测重时都是包含了弹簧顶部用于固定在焦利氏秤上的非弹性固定棒，如图1中虚线框所示，而剪下废弃弹簧上面的固定棒称其质量就有0.60 g左右.如果首先测得整个弹簧连同顶部固定棒的质量m0，然后按照柱状弹簧有效质量为实际质量的三分之一，锥状弹簧有效质量为其实际质量的五分之一，粗略计算弹簧有效质量的理论值ms理论，然后再测量顶部固定棒的质量m棒，利用m0-m棒粗略计算理论值s理论，结果如表1所示.可以看出是否扣除固定棒的质量会对计算结果有一定的影响，尤其是对于轻质弹簧的影响更大一些.因此,为准确表示弹簧弹性部分的有效质量,需要考虑此项的影响.在测量系统的振动周期时，可以选用数字毫秒计直接计时提高实验精度，也可以利用测力传感器间接测量振动周期.但是，为了训练学生在实验器材有限的情况下优选实验方案的能力，首先要求学生只能使用秒表.这就要求学生必须考虑影响实验结果的各方面因素，分析其对实验结果的影响程度,尽量做到物尽其用、扬长避短. 有的学生为了降低人的反应时间给计时带来的误差，直接将测量周期数定为20或者30.但是也有学生考虑到阻尼的存在可能会导致周期随振动时间的延长而变化.他们在弹簧起振后间断测量多组n个周期的时间,每组在上一组计时结束后相同时间开始计时，对比周期的变化，寻找振动周期变化相对较小的开始计时时间和测量周期数n.对于具体计时起点的选择，学生们有两种考虑.大家都认可系统的上下振动与单摆摆球的左右摆动相似，如果在系统静置时调整指示镜上刻度线与玻璃管上刻度线和其在指示镜上的像三线合一[7]，则此状态为平衡状态，系统处于此状态时的振动速度最快，如能准确计时的话，在三线合一时开始计时和停止计时的话误差最小.少数学生认为处于此状态的时间太短，或者说很难判断某时刻系统是否处于三线合一，会使计时有较大误差.他们认为应该将砝码托盘拉到最低点，从松手的时刻开始计时，保证开始计时时间的准确性.不过，多数学生认为以砝码托盘运动速度为零的最高或者最低处开始和结束计时的方法有两点不妥：首先，由简谐振动的图像可知，在速度很小的时候，很小的速度变化就会对应较大的时间间隔，而某时刻速度是否为零很难判断；其次，由于系统实际上为阻尼振动，砝码托盘能达到的最低位置会随时间变化，所以无法以固定的最低点进行计时.在和学生讨论时，教师指导学生应从实际出发考虑各方面影响因素，不能单纯依靠直觉，而是要进行理论推导和设计实验进行验证，通过具体的分析和实验结果来验证自己的猜想.讨论之后，学生们重新从理论和实验上对问题进行了研究.有学生从理论上考虑弹簧振子做简谐振动时的位移和时间.对于从平衡位置开始计时的方法，若实验者在区间开始计时，arcsin ，则对应的最大角度误差为，所以最大计时误差值为.对于从振幅极大值点开始计时的方法，若实验者在或者在区间内开始计时，arcsin ，对应的最大角度误差为，最大计时误差为.从图2中可以明显看出，在同等时间精度下，方法一的空间容错率远大于方法二.此外也有学生从人眼的极限频率、视角观测极限、人眼能看到的极限速度出发，去分析中心反应误差和边缘反应误差.除了理论推导，学生们也从实验上进行了验证.真实实验现象表明，当弹簧的振幅比较大时，指示镜经过平衡位置附近时上下振动的速度非常快，很难准确判断是否达到三线合一状态，这种情况下比较适合用顶端或者底端开始计时的方法.当弹簧的振幅比较小时，则可以采用三线合一的计时方法.此外，除了力传感器和光电门等传统的实验室仪器，学生也可使用手机，用手机对实验过程进行录像，然后对录像进行取帧.因为一般的手机能达到每秒120帧，部分手机甚至可以达到每秒480帧，所以通过部分关键位置逐帧进行仔细查看对比，时间测量的精度可以达到1/120 s 甚至1/480 s.学生们对于测量ms时是否需要单独测量和计算出弹簧的倔强系数k有不同的观点.有的学生认为可以根据式(2)推导出式(4)，然后通过斜率和截距直接算出ms.本文暂将这种处理方法称之为T方法，将本文第1部分所介绍的方法称为x方法.但是师生讨论发现x方法计算出的ms比用式(4)计算的结果更加接近理论值.为找出两种数据处理方法的误差源，我们设计了对比试验.实验对配件盒中的3根弹簧均进行了测量，包括弹簧整体质量m0、砝码托盘和指示镜的质量m′、砝码质量m(0～6 g)以及在砝码托盘中加有砝码情况下焦利氏秤读数和由系统振动20个周期的总时间计算的单个周期，表2中周期为3次测量的平均值.利用最小二乘法，根据m和T的测量结果计算出式(2)中的斜率α、截距b、线性相关系数r，然后通过式(4)计算出ms，又根据m和x的测量结果计算出弹簧的倔强系数k、线性相关系数r，利用k与T方法中的b计算出ms，相关结果见表3中上面数据所示.对比两种数据处理方法得到的k，发现柱状弹簧和细锥弹簧的有效质量相差不大，但是对于粗锥弹簧，两种数据处理方法得到的有效质量分别为7.092 g和4.971 g，二者差别显著.我们又把砝码的质量范围扩大为0至超过弹簧自重，但是考虑到弹簧的承受力以及焦利氏秤的测量范围，砝码质量只比弹簧自重略大，这样砝码质量与托盘及指示镜的质量和一般比弹簧自重大5 g左右.将只用前5组小质量砝码的计算结果称为mss，全部数据都用上的结果称为ms，只用5组最大质量砝码的结果称为msl，a、b、r和k的标记方法与此相同.与本文第2部分中粗略计算的弹簧有效质量s 理论相比，发现对于粗锥弹簧，当砝码质量增大到超过弹簧自重后，只利用大质量砝码通过x方法算出的msl更接近理论值.同理,对于细锥弹簧,也是利用大质量砝码通过x方法算出的msl更接近理论值.但是对于柱状弹簧，利用大质量砝码通过x方法和T方法计算出的ms比较接近，利用T方法计算出的ms结果更接近理论值一些.由此我们得到结论，对于柱状弹簧和锥状弹簧，所加砝码质量对弹簧有效质量都有比较大的影响，当所加砝码质量比较小时，测量结果误差比较大，当增大砝码质量后，误差能够减小，这与文献[8,9]中的研究结果相似，例如对于柱状弹簧，其中，表明弹簧有效质量与弹簧质量m0和重物的质量m有关.我们发现对于粗锥弹簧，砝码质量的影响尤为明显，这是因为粗锥弹簧的质量最大，所以当只使用0～6 g左右的砝码时，砝码相对于弹簧的自重显得过小.我们进一步明确，对于锥状弹簧，T方法也就是直接通过斜率和截距计算弹簧有效质量的方法误差比较大，而利用焦利氏秤读数的方法也就是x方法得到的结果更接近理论值，而对于柱状弹簧，当所加砝码质量足够大时，两种方法得到的ms值差别不大.在教学中，教师如果采取预实验、讨论再加实验的开放式教学方法，引导学生对实验参数和现象多进行分析，这样即使实验仪器简单，学生也能从中学到丰富的知识.例如在本实验中，焦利氏秤配合秒表测量弹簧有效质量显得并不那么“高大上”，但是单独对于弹簧来说就需要考虑弹簧形状与质量、弹簧质量与重物质量的比值、弹簧劲度系数大小等,不同数据处理方法的细致对比也能引人深思.因此,开放式教学方法不仅能培养学生严谨的实验态度，提高学生的实验水平，还能够训练学生的语言表达能力和团队合作能力，在物理实验教学中有重要作用.【相关文献】[1] Rob Weinstoek.Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the Stiehjes integral[J]. American Journal of Physics，1979，47(6)：508-514.[2] Ernesto E Galloni，Mario Kohen.Influence of mass of the spring on its static anddynamic effects[J].American Journal of Physics，1979，47(12)：1076-1078.[3] Joseph Christensen.An improved calculation of the mass for the resonant spring pendulum[J].American Journal of Physics，2004，72(6)：818-824.[4] Triana C A，Fajardo F.The influence of spring length on the physical parameters of simple harmonic motion [J].European Journal of Physics，2012，33(1)：219-229.[5] 吴文良，张瑶，付在琦，等.弹簧等效质量系数的不确定度研究[J].重庆科技学院学报(自然科学版)，2011，13(5)：169-171.[6] 林中鹤.圆锥形螺旋弹簧等效质量的准确计算[J].华中师范大学学报(自然科学版)，1993，27(3)：321-323.[7] 张春玲，刘冠男，钱钧，等，拉脱法测液体表面张力系数实验探讨[J].大学物理，2016，35(1):31-34.[8] 沈中尉，张峰.弹簧质量对振动周期的影响[J].大学物理，2013，32(3):44-48.[9] 尹殿云.弹簧有效质量的实验研究[J].黄淮学报，1994，10(3):67-69.。
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数据采集结果及拟合（橡胶膜 组）
拟合效果： 实验测得本系统G值：
模型分析
• 结论为一般弹性膜在误差允许的情况下， 具有定义引力场的条件。
• 这个模型只能定义引力场在一个平面上的 作用情况（二维）。 • 换用多层保鲜膜，橡胶模收到较好的模拟 效果效果。
模型的不足
• 不能针对膜的一些特性系数直接求出任意 弹性膜系统中G的数值，而是要基于实验测 量。 • 未能对更多材导致拟合 效果并不理想。 • 未对膜型变规律进行函数刻画。
参考文献
• • • • Wikipedia: Gravity well, /wiki/Gravity_well http://www.spiral /guide/Gravity_Wells_Mirenberg.pdf Ideas on the Nature of the Cosmos(Cambridge Univ. Press, 2003)
重球压在弹性薄膜上后，膜下端会产生下 陷，形成如图所示形态。
实验思路
基本原理： 根据引力场模型，反推出薄膜应具有的形态。 模型假设： 1.中心物体（即产生此引力场场的物体）质量为M1， 场中物体总质量为m，设M1>>m，即场中物体对场 的影响可忽略不计。 2.薄膜的形变是关于中心轴对称的，且符合弹性膜 应有的物理属性。 3.用物体所受指向圆心的力模拟二维空间中的引力。
正方陈述
题目二：Elastic space
发言人：孙传昊
题目二—陈述内容
（一）题目描述 （二）实验思路 （三）参数定义 （四）数学模型建立
（五）推导结果
（六）实验验证
（七）不足之处
题目Elastic space：描述
• （一）题目描述： • The dynamics and apparent interactions of massive balls rolling on a stretched horizontal membrane are often used to illustrate gravitation. Investigate the system further. Is it possible to define and measure the apparent “gravitational constant” in such a “world”?（题目重点） • 实验现象：
实验中使用重物下压来 使形变明显。
用圆规深入测量h
实验验证
• 实验用具： • 弹性薄膜：多层保鲜膜，橡胶模。 • 球体：硬质塑料球。 • 普通塑料盆。 • 刻度尺。 测量方式 见视频：
实验流程
• 实验视频 • 描述：
数据采集结果及拟合（保鲜膜 组）
r 0 1.4 3 4.2 h 2 2.6 4 4.8 推导值h 误差
THANK YOU
参数定义
• 基本方法：微元分析法
•a
• • • • • •
水平
场中物体水平方向上的加速度。
r：距圆心的距离。 h：距底面的高度。 L：所取微元的切向长度。 Θ：所取微元与水平方向的夹角。 M：中心物体的质量。 g：地球的重力加速度。
数学模型建立
• 根据假设，膜上物体不会使膜发生形变。 • 量化薄膜的形变Θ=f（r）有经典力学不难推出
•a
水平
=gsin（Θ）=G M/r
• =>G=(gsin（Θ）r)/M=(gsin（f（r））r)/M
推导结果
合理性研究
• 为观察模型的合理性，设X=2，以盆口为0 高度面，数值积分，得到近似图形如下。
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 h 1 2 3 4
r
5
6
7
模型在形态上很符合理论要求与实际现象。